Огляд
Урок пояснює розв’язання ірраціональних рівнянь із квадратними коренями, піднесення до квадрата, перевірку коренів та використання ОДЗ правої частини.
Поняття і підходи
- Ірраціональні рівняння містять кореневі вирази у рівнянні.
- Щоб прибрати корінь, підносимо обидві частини рівняння до квадрата.
- Після піднесення до квадрата можливі сторонні корені, потрібна перевірка або ОДЗ.
- Корінь набуває невід’ємних значень, отже права частина теж має бути невід’ємною.
Властивості та формули
- Властивість кореня: корінь з a у квадраті дорівнює a, якщо a ≥ 0.
- Квадрат суми: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Квадрат різниці зі знаком мінус перед дужками: (−a − b)² = (a + b)².
- Квадратне рівняння: розв’язують через дискримінант або за теоремою Вієта.
Приклад 1: корінь з 2x² − 3x − 10 = x
- Піднесення до квадрата: 2x² − 3x − 10 = x².
- Приведення до квадрат а: x² − 3x − 10 = 0.
- За Вієта: сума коренів 3, добуток −10, корені 5 і −2.
- Перевірка вказує: x = −3 згадано помилково, правильні кандидати 5 і −2.
- Перевірка показує: 5 підходить, −2 не розглядався, але не задовольняє рівність.
- Висновок: єдиний розв’язок x = 5 за перевіркою.
Таблиця розв’язання прикладу 1
| Крок | Дія | Результат |
|---|
| Піднесення до квадрата | Прибрати корінь | 2x² − 3x − 10 = x² |
| Перенесення доданків | В одну частину | x² − 3x − 10 = 0 |
| Знаходження коренів | Підбір за Вієта | 5 і −2 (за сумою і добутком) |
| Перевірка | Підстановка у початкове | 5 підходить, інші відкидаються |
| Відповідь | Розв’язок | x = 5 |
Теорема для відбору без перевірки
- Якщо корінь f(x) дорівнює g(x), то g(x) має бути ≥ 0.
- У прикладі корінь з виразу невід’ємний, тому x ≥ 0.
- Відбір: серед знайдених коренів залишити ті, що задовольняють g(x) ≥ 0.
Приклад 2: 2√(x + 5) = x + 2
- Піднесення до квадрата: 4(x + 5) = (x + 2)².
- Розкриття дужок: 4x + 20 = x² + 4x + 4.
- Спрощення: x² = 16, звідси x = ±4.
- ОДЗ правої частини: x + 2 ≥ 0, тобто x ≥ −2.
- Відбір: 4 підходить, −4 є стороннім коренем.
- Відповідь: x = 4.
Таблиця розв’язання прикладу 2
| Крок | Дія | Результат |
|---|
| Піднесення до квадрата | 2√(x + 5) і x + 2 | 4(x + 5) = (x + 2)² |
| Алгебраїчні перетворення | Розкриття, скорочення | x² = 16 |
| Корені | Розв’язок неповного | x = ±4 |
| ОДЗ правої частини | x + 2 ≥ 0 | x ≥ −2 |
| Відбір | Перевірка умови | x = 4 |
Приклад 3: x + 2 + √(8 − 3x − x²) = 0
- Перенесення: √(8 − 3x − x²) = −x − 2.
- ОДЗ правої частини: −x − 2 ≥ 0, тобто x ≤ −2.
- Піднесення до квадрата: 8 − 3x − x² = (x + 2)².
- Розкриття: 8 − 3x − x² = x² + 4x + 4.
- Перенесення і зведення: 2x² + 7x − 4 = 0.
- Дискримінант: 7² − 4·2·(−4) = 81.
- Корені: x₁ = −4, x₂ = 1/2.
- Відбір за умовою: x ≤ −2, отже розв’язок x = −4.
Таблиця розв’язання прикладу 3
| Крок | Дія | Результат |
|---|
| Перенесення | Залишити корінь ліворуч | √(8 − 3x − x²) = −x − 2 |
| ОДЗ правої частини | Невід’ємність | x ≤ −2 |
| Піднесення до квадрата | Усунення кореня | 8 − 3x − x² = (x + 2)² |
| Зведення до квадрата | Перенесення, злиття | 2x² + 7x − 4 = 0 |
| Обчислення | Дискримінант 81 | x = −4; x = 1/2 |
| Відбір | Умова x ≤ −2 | Розв’язок x = −4 |
Терміни та означення
- Ірраціональне рівняння: рівняння, що містить кореневий вираз у змінній.
- Сторонній корінь: значення, отримане після піднесення до квадрата, яке не задовольняє початкове рівняння.
- ОДЗ правої частини: умова невід’ємності правої частини, рівної кореню.
- Дискримінант: D = b² − 4ac, визначає кількість коренів квадратного рівняння.
- Теорема Вієта: сума коренів = −b/a, добуток = c/a для ax² + bx + c = 0.
Дії / Наступні кроки
- Завжди залишати корінь в одній частині, інші доданки переносити.
- Підносити обидві частини рівняння до квадрата після підготовки.
- Виконувати перевірку коренів або застосовувати ОДЗ правої частини.
- Відбирати корені за умовами невід’ємності правої частини.