Overview
La lección explica la interpretación geométrica de la derivada como pendiente de la recta tangente a una curva en un punto y resuelve un ejemplo.
Interpretación geométrica de la derivada
- Cuando dos puntos de una curva se acercan, la secante entre ellos se convierte en la tangente en ese punto.
- La pendiente de la recta tangente a una función en un punto es igual al valor de la derivada en ese punto.
- La derivada expresa la tasa de cambio instantánea de la función respecto a la variable independiente.
Ejemplo práctico
- Se pide hallar los puntos de la parábola y = x² en que la tangente sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante (y = x).
- La pendiente de la bisectriz es 1.
- Igualamos la derivada de la parábola (y' = 2x) a 1 para obtener los puntos buscados.
- Resolviendo 2x = 1 se obtiene x = 1/2 como la coordenada x.
- La coordenada y se obtiene sustituyendo x en la parábola: y = (1/2)² = 1/4.
- El punto donde la tangente es paralela a y = x es (1/2, 1/4).
Key Terms & Definitions
- Derivada — Límite de la razón de cambio promedio cuando el incremento tiende a cero; pendiente de la tangente.
- Recta tangente — Línea que toca una curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto.
- Pendiente — Medida de inclinación de una recta; en la tangente, es igual a la derivada de la función en el punto.
- Secante — Recta que une dos puntos de una curva.
Action Items / Next Steps
- Repasar cómo calcular la derivada y la recta tangente en diversos puntos.
- Leer sobre la ecuación de la recta tangente a una curva.