Overview
La clase explica los conceptos de límites infinitos y límites en el infinito, cómo identificarlos en gráficas y su notación simbólica.
Límites infinitos y comportamiento de funciones
- Un límite infinito describe funciones cuyos valores crecen o decrecen sin tope cuando x se aproxima a cierto valor.
- Si x → a^+ (por la derecha) y f(x) crece indefinidamente, se dice que el límite es +∞.
- Si x → a^- (por la izquierda) y f(x) decrece indefinidamente, el límite es -∞.
- La recta x = a es una asíntota vertical si la función tiende a ±∞ al acercarse x a a.
- El comportamiento de estas funciones no se describe con los límites convencionales, sino con notación de infinito.
Notación y lenguaje de límites infinitos
- Se usa lim_{x→a} f(x) = ∞ para indicar crecimiento sin tope.
- Se usa lim_{x→a} f(x) = -∞ para indicar decrecimiento sin tope.
- Si el crecimiento/decrecimiento ocurre sólo por un lado, se indica lim_{x→a^+} o lim_{x→a^-}.
- Estos límites no existen en el sentido tradicional, pero describen el comportamiento cuando x se acerca a a.
Ejemplo gráfico y justificación formal
- Para f(x) dada en una gráfica, si al acercarse x a 3 por cualquiera de los dos lados, f(x) supera cualquier valor absoluto, se indica lim_{x→3} f(x) = ±∞.
- Trazando horizontales y observando dónde f(x) supera esos valores, se justifica la noción formal de límite infinito._
Definiciones formales de límite infinito
- lim_{x→a} f(x) = ∞ si para todo N > 0 existe δ > 0 tal que f(x) > N cuando 0 < |x−a| < δ.
- lim_{x→a} f(x) = -∞ si para N < 0 existe δ > 0 tal que f(x) < N cuando 0 < |x−a| < δ.
Ejemplos prácticos de cálculo de límites infinitos
- Si el denominador tiende a cero y el numerador es negativo, el límite es -∞ por la derecha y +∞ por la izquierda de x=a.
- Si el comportamiento es diferente por ambos lados, puede que el límite no exista.
Key Terms & Definitions
- Límite infinito — Cuando f(x) crece o decrece sin tope real al acercarse x a cierto valor.
- Asíntota vertical — Recta x = a donde f(x) tiende a ±∞ al acercarse x a a.
- lim_{x→a^+} — Límite por la derecha; x se acerca a a desde valores mayores.
- lim_{x→a^-} — Límite por la izquierda; x se acerca a a desde valores menores.
Action Items / Next Steps
- Practica identificar asíntotas verticales y calcular límites infinitos en gráficos y funciones racionales.