Overview
Clase de preparación PAES centrada en forma canónica de funciones cuadráticas, desplazamientos, vértice y proporcionalidad directa e inversa. Incluye consejos de estudio con cronómetro y una aplicación a un problema de maximización.
Hábitos de estudio para la PAES
- Usar cronómetro en guías y ensayos; entrenar la gestión de tiempo desde hoy.
- Acostumbrarse a los nervios practicando en condiciones cronometradas.
- Hacer mini ensayos recomendados: 5 preguntas en 15 minutos.
- Planificar semanalmente; completar guías hasta el domingo para retroalimentación.
Función cuadrática: forma canónica
- Forma canónica: f(x) = a(x − h)² + k.
- a determina concavidad: a > 0 convexa (abre hacia arriba); a < 0 cóncava (abre hacia abajo).
- Vértice: (h, k). h se obtiene invirtiendo el signo dentro del paréntesis; k es directo.
- Identificación rápida del vértice sin fórmulas adicionales.
Desplazamientos horizontales (parámetro h)
- Igualar el paréntesis a 0 para hallar h: x − h = 0 → x = h.
- Si aparece x + c, el desplazamiento es a la izquierda c unidades (signo opuesto).
- Si aparece x − c, el desplazamiento es a la derecha c unidades.
Desplazamientos verticales (parámetro k)
- k > 0: la parábola sube k unidades; k < 0: baja k unidades.
- Interpretación: sumar/restar a todos los valores de la función desplaza verticalmente.
Concavidad y máximos/mínimos
- Máximo si a < 0 (carita triste); mínimo si a > 0.
- La presencia de “maximizar/minimizar” sugiere buscar el vértice y revisar el signo de a.
Ejemplo aplicado: maximizar ganancia (licitación de lápices)
- Modelo: G(L) = −(L − 4,2)² + 3, con L en millones (solo enteros).
- Concavidad negativa: existe máximo en el vértice.
- Desplazamiento: derecha 4,2; arriba 3; vértice en (4,2; 3).
- Decisión discreta: comparar L = 4 y L = 5; L = 4 está más cerca del vértice → mayor ganancia.
Proporcionalidad: directa e inversa
- Razón: comparación de dos cantidades mediante división.
- Proporción: igualdad de razones; puede ser directa o inversa.
- Directa: x/y = k constante para todos los pares (ambas varían en la misma proporción).
- Inversa: x·y = k constante para todos los pares (una sube mientras la otra baja).
- La proporcionalidad directa es una función lineal (pasa por el origen si no hay término independiente).
Ejercicio de tablas M, P y T (verdaderas)
- Verificar directa con divisiones constantes; inversa con productos constantes.
| Tabla | Relación | Cálculo de constancia | Constante k | Conclusión |
|---|
| M | Directa (propuesta) | x/y: 3/2, 4/2, 5/2, 6/2 → 1,5; 2; 2,5; 3 | No constante | Falsa |
| P | Directa | x/y: 8/4; 6/3; 2/1; 3/1,5 → todos 2 | 2 | Verdadera |
| T | Inversa | x·y: 3·4; 1·12; 4·3; 6·2 → todos 12 | 12 | Verdadera |
Claves prácticas y trucos
- Truco h: igualar el paréntesis a 0 para hallar desplazamiento horizontal sin memorizar.
- Lectura de signos: dentro del paréntesis va al lado opuesto; k desplaza directo.
- Para decidir máximo/mínimo: mirar solo el signo de a.
- Si confunde la canónica, expandir y trabajar en forma general; el vértice sigue siendo identificable.
Términos clave y definiciones
- Forma canónica: representación f(x) = a(x − h)² + k que muestra el vértice claramente.
- Vértice: punto (h, k) que da el máximo o mínimo de la parábola.
- Concavidad: dirección de apertura de la parábola, determinada por el signo de a.
- Proporcionalidad directa: cociente constante entre variables.
- Proporcionalidad inversa: producto constante entre variables.
- Coeficiente de posición: f(0) en forma desarrollada; en canónica requiere evaluar x = 0.
Action Items / Next Steps
- Hacer el segundo mini ensayo PAES (5 preguntas, 15 minutos) con cronómetro.
- Completar guía de funciones/ecuaciones cuadráticas antes del domingo.
- Revisar el PPT del plan de estudio M1 y practicar con GeoGebra.
- Escribir dudas al contacto del curso y seguir la planificación semanal.