Cours sur les fonctions exponentielles

Définition de la fonction exponentielle

• Théorème de base : Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
  • $f'(x) = f(x)$
  • $f(0) = 1$
• Cette unique fonction est appelée fonction exponentielle et notée initialement exp.
• Conséquences immédiates :
  • $\exp(0) = 1$
  • La fonction est strictement croissante.
  • La courbe de la fonction traverse l'axe des ordonnées en $1$.
  • La croissance de l'exponentielle est très rapide.

Étude de la fonction exponentielle

Dérivabilité

• La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et continue.
• Sa dérivée vérifie :
  • $\frac{d}{dx}[\exp(x)] = \exp(x)$
  • Attention : Ceci n'est pas valable pour une fonction composée $u(x)$.

Variations et limites

• Variations : La fonction est strictement croissante.
• Limites :
  • En $-\infty$, la limite est $0$ (asymptote horizontale $y = 0$).
  • En $+\infty$, la limite est $+\infty$ (pas d'asymptote verticale).

• Tableau de variations :

Propriétés fonctionnelles

• Relation fonctionnelle : Transformation d'une somme en produit.
  • $\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$
• Autres propriétés :
  • $\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}$
  • $\exp(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$

Introduction du nombre $e$

• Définition : $e = \exp(1)$
• Valeur approchée : $e \approx 2,718$
• $e$ est un nombre irrationnel (comme $\pi$).

Nouvelle notation

• À partir de $e$, on peut exprimer l'exponentielle comme une fonction puissance :
  • $\exp(x) = e^x$
• Ceci permet d'utiliser les propriétés des puissances :
  • $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$
  • $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$

Propriétés supplémentaires

• Formules :
  • $e^0 = 1$
  • $e^1 = e$
  • $\exp(x) > 0$
  • Dérivée : $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$
  • Limites :
    • En $-\infty$, $e^x \rightarrow 0$
    • En $+\infty$, $e^x \rightarrow +\infty$
• Équations et inéquations :
  • $e^a = e^b$ est équivalent à $a = b$
  • $e^a < e^b$ est équivalent à $a < b$