Overview
یادداشتهای درس درباره همرزیهای مرتبه اول و دوم برای توابع مثلثاتی و معکوس آنها در محاسبه حدها، با تاکید بر شرایط کاربرد.
همرزیهای مرتبه اول
- معیار: عبارت جلوی تابع مثلثاتی U به سمت صفر میل کند؛ نه الزاماً x.
- سینوس: اگر U → 0، sin U ~ U؛ میتوان کلمه سینوس را حذف و U نوشت.
- مثال: sin^3(3x+1) با x → −1/3؛ چون 3x+1 → 0، داریم sin(3x+1) ~ 3x+1؛ کل عبارت ~ (3x+1)^3.
- تانجانت: اگر U → 0، tan U ~ U؛ کلمه تانجانت حذف میشود و U جایگزین میگردد.
- کوتانجانت: همرزی مستقیم ندارد؛ به تانجانت تبدیل و از همرزی tan استفاده کنید.
- کسینوس: اگر U → 0، 1 − cos U ~ U^2/2؛ یعنی توان دوم U تقسیم بر 2.
- توان در cos: اگر cos(… ) دارای توان m باشد، همچنان 1 − cos U ~ U^2/2؛ ضریب m روی کل عبارت اثر میگذارد.
همرزیهای مرتبه دوم
- زمان استفاده: وقتی همرزی مرتبه اول منجر به صفر بیمعنی شود یا کافی نباشد.
- مشکل نمونه: U − sin U با U → 0؛ اگر sin U را با U عوض کنیم، U − U = 0 بیمعنی میشود.
- جایگزین درست: U − sin U ~ U^3/6 برای U → 0.
- تانجانت: tan U − U ~ U^3/3 برای U → 0.
- جابهجایی طرفین: همارزی را مانند تساوی به کار ببرید؛ میتوان عبارات را دو طرف نقل مکان داد.
- ترکیبها:
- sin U ~ U − U^3/6
- tan U ~ U + U^3/3
- نتیجه: tan U − sin U ~ U^3/3 + U^3/6 = U^3/2
جدول همرزیهای کلیدی
| تابع/عبارت | مرتبه اول (U → 0) | مرتبه دوم (U → 0) | نکته کاربردی |
|---|
| sin U | U | U − U^3/6 | حذف sin وقتی جلوی آن به صفر میل کند |
| tan U | U | U + U^3/3 | مانند sin؛ کوتانجانت را به tan تبدیل کنید |
| 1 − cos U | U^2/2 | U^2/2 (پایه) | در توان m، ضریب کلی m اعمال میشود |
| U − sin U | 0 (بیاعتبار) | U^3/6 | استفاده وقتی مرتبه اول ب یفایده است |
| tan U − U | 0 (بیاعتبار) | U^3/3 | جایگزین مناسب مرتبه دوم |
| tan U − sin U | 0 (بیاعتبار) | U^3/2 | حاصل جمع دو همرزی مرتبه دوم |
نکات مفهومی و مقایسهها
- معیار اصلی: همواره رفتار U مهم است؛ بررسی کنید U → 0 یا خیر.
- نابرابری شناختهشده: sin U ≤ U ≤ tan U برای U نزدیک صفر؛
- نتیجه نشانهها: U − sin U ≥ 0 و tan U − U ≥ 0.
- عدم قاطیکردن ساختارها:
- بنویسید U − sin U یا tan U − U بر اساس اینکه کدام بزرگتر است.
- ترتیب صحیح باعث مثبت بودن اختلافها میشود.
همرزیهای توابع معکوس مثلثاتی
- دامنه کاربرد: فقط برای arcsin(U) و arctan(U) ارائه شده است.
- مرتبه اول:
- arcsin U ~ U
- arctan U ~ U
- مرتبه دوم:
- arcsin U ~ U + U^3/6
- arctan U ~ U − U^3/3
Key Terms & Definitions
- همرزی (همارزی): دو عبارت که در همسایگی نقطهای (اینجا صفر) رفتار یکسانِ حدی دارند.
- U: عبارت بر حسب x که جلوی تابع مثلثاتی قرار دارد؛ معیار میل به صفر است.
- مرتبه اول: تقریب خطی در حوالی صفر؛ مانند sin U ~ U.
- مرتبه دوم: تقریب شامل جمله درجه سه؛ برای اختلافها یا دقت بالاتر.
Action Items / Next Steps
- در مسائل حد، ابتدا بررسی کنید آیا U → 0 است؛ سپس همرزی مناسب را انتخاب کنید.
- اگر همرزی مرتبه اول به صفر بیمعنی انجامید، بلافاصله به مرتبه دوم بروید.
- برای کوتانجانت، آن را به تانجانت تبدیل کرده و سپس همرزی را اعمال کنید.
- در ترکیبها مانند tan U − sin U، از جمع همرزیهای مرتبه دوم استفاده کنید.