प्रफाउंड एडुकेशन inverse का meaning होता है exact opposite, किसी भी चीज़ का exact opposite inverse कहलाता है, तो सबसे पहले देखते हैं inverse of a number, एक number का inverse क्या होता है, तो इसके लिए हम पहले clean let कर रहा है एक number जो कि 2 है इस number 2 का उल्टा क्या हो सकता है यह अभी numerator में है और इसको अगर denominator में ले आएंगे तो यह उल्टा हो जाएगा तो let a number equals to 2 inverse of a number equals to 1 by 2 अभी यह मेरे पास दो number आए है इन दो numbers को अगर हम multiply करते हैं तो 2 से 2 cancel out हो जाएगा तो हमें 1 मिलेगा इसको हम एक unit value कहेंगे unit, एक number, तो ऐसे ही inverse of a matrix देखते हैं, एक matrix A है, अगर आप उसका inverse निकालते हैं, तो आप उसको A inverse से ऐसे denote करेंगे, A minus 1, तो ये denotion है, एक inverse of a matrix का, अगर वो capital उसे denote हो रहा है, तो आप उसको A inverse ऐसे दिखाएंगे, अगर वो capital B से denote हो रहा है, तो आप उसको capital B और minus 1 दिखाए एक A matrix के लिए भी कुछ elements होते हैं, वो elements अलग होंगे A inverse matrix से, अगर आप A.A inverse करेंगे, मतलब A की multiply करेंगे A inverse के साथ, या A inverse की multiply करेंगे A के साथ, तो हमेशा आपको identity matrix मिलेगा या unit matrix मिलेगा. तो अब हम देखते हैं Inverse of a Matrix हम कैसे Find out करेंगे इसके लिए सबसे पहले आपने उस Matrix का जो Matrix आपको Given है उसका Determinant Find out करना है Friends Determinant कैसे Find out करते हैं वो अभी हम देखेंगे लेकिन सबसे पहले आपने Matrix का Determinant Find out करना होगा Find Determinant of A मालिजे A एक Matrix है जिसका Determinant हमने निकाला Determinant एक Value होगी तो A Matrix को हम शो कर रहे हैं, डिटार्मिनेंट, वर्टिकल, दो लाइंज, वर्टिकल आप ड्रॉआ कर लेंगे, अगर आपकी वैल्यू 0 आती है, तो ए इनवर्ट्स नहीं पॉसिबल, उस मैट्रिक्स का पॉसिबल ही नहीं है इनवर्ट्स, या आप लिख सकते हो कि ए इस नॉट इनवर् तो matrix का inverse possible ही नहीं है अगर determinant 0 नहीं आया तो उसका matrix का possible है inverse या आप उसे कहेंगे A is invertible या A is non-singular determinant आने के बाद आपने co-factors find out करने है उस A matrix के जो given matrix होगी आपकी, co-factors find out करने के बाद adjoint निकालेंगे, adjoint A, then इसके बाद A inverse निकालेंगे, का formula है one by determinant adjoint a adjoint a को आप a, d, j भी लिख सकते हैं तो a inverse आप इस formula से find out करेंगे तो आप question करते हैं direct तो अब हम देखेंगे Inverse of a Matrix of Order 2 by 2 एक 2 by 2 Matrix का Inverse आप कैसे Find out करेंगे? Question है Find the Inverse of A जहाँ पर आपको Elements गिवन है A Matrix के जिसका Order है 2 by 2 तो सबसे बड़े Solution स्टार्ट करना है आपने इसके बाद जो Given पार्ट है उसको लिख लेना है ठीक है A Matrix लिखने के बाद सबसे बड़े Step क्या था Determinant Find out करने का तो determinant form में लिखी है matrix को, A की side में भी आप vertical line draw कर देंगे, इसका मतलब हम A का determinant find out करने जा रहे हैं, तो इसके बाद आपने elements के left and right side भी determinant form में इनको लिख लेना है, अब सबसे बड़े जो step है, वो आपने plus and minus sign assign करना है, सबसे पहले जो आएगा वो plus होगा, then अगले element के minus होगा, अब इसके बाद आपने सबसे पहले tree को multiply करना होगा, 4 के साथ, minus 3 को multiply करेंगे 4 के साथ, आगे plus है, तो इनके आगे कोई sign use नहीं करना है, minus 3 into 4, then उसके बाद आपने 5 को into करना होगा 2 के साथ, अब 5 के उपर minus sign है, तो हमने minus sign यूज़ किया है minus 3 into 4 minus 5 into 2 हमें मिला इन दोनों को multiply करके minus 12 minus 5 into 2, 10 minus plus होगा तो इन दोनों की addition से we get 22 इन दोनों में से जो greater है वो 12 है तो हम minus sign assign करेंगे तो friends हमारा जो determinant आई है वो value है minus 22 minus 22 हमारी value आई है, जो कि एक zero value नहीं है, मतलब ये non zero value है, तो since determinant is not equal to zero, zero नहीं आया है, तो उस matrix का inverse possible है, आप इसमें इन तीरों में से कोई एक statement लिख सकते हैं, A inverse is possible, और A is invertible, और A is non singular matrix, डिटामिनन के बाद co-factors find out करने हैं तो co-factors find out करने के लिए आपने जो matrix है उसका use करना है तो सबसे पहले co-factors क्या होते हैं वो elements ही होते हैं तो elements के लिए हम इनको लिख लेते हैं पहले a11 मतलब पहला element a12 second element a21 third element a22 fourth element 2 by 2 matrix में 4 element है तो चारों को हमने लिख लिया इसके बाद इसमें एक formula use करेंगे जो की है minus 1 i plus j i क्या होता है i number of row rows होता है, j number of columns होता है, तो इसमें हम इनकी power में addition करते हैं, row और column का, minus 1 की, तो सबसे पहले element के लिए हमारे पास i और j क्या है? 1, 1 तो minus 1 power में आएगा 1 plus 1 multiply करेंगे minus 1 raise to the power 1 plus 1 के साथ एक element का अब वो element क्या होगा? इस matrix में से आपने जो पहला element है वो है 1, 1 तो आपने first row height करनी होगी और first column height करना होगा तो first row height करेंगे तो और column height करेंगे तो हमें मिला 4, देखिए element हमें मिल रहा है 4, row और column height करने पर, तो इसलिए हमने यहाँ पे value रखी 4, minus 1, raise to the power 2, into में 4, minus 1, 2 times multiply होगा, क्योंकि power में 2 है, तो 2 बारी into करेंगे, into में 4, then इसका minus sign cancel out हो जाएगा, तो हमारी value, multiply होके positive 4 आएगी, नेक्स्ट एलिमेंट फाइंड आउट करते हैं, एक 1, 2, इसके लिए i प्लस j होगा 1 प्लस 2, इंटू में जो एलिमेंट होगा वो 1, row और second column को हाइट करने से मिलेगा, row and second column height करेंगे तो 2 हमें मिल रहा है तो इसलिए हमने यहाँ 2 लिखा है इसके बाद 1 plus 2 होगा 3 मतलब minus 1 की 3 times multiply होगा 3 times multiply करेंगे करने के बाद दो sign तो cancel out हो जाएंगे negative एक sign हमारे पास remaining बचेगा तो वो अगर 2 के साथ multiply होगा तो हमारे पास negative value आईगी तो value आई minus 2 third element के लिए a21 के लिए वही same as it is आप positions को add करेंगे अब हमारे पास जो position है वो second row and first column है तो second row first column, तो हमें value मिल रही है 5, 5 हमने लिखा 3 बारी multiply करेंगे minus 1 की, 2 sign तो cancel out हो जाएंगे आपस में, 1 हमें बचेगा remaining, तो उसकी multiply होगे 5 से minus 5 हमें मिला, last element है a22 a22 मतलब second row second column second row second column तो element हमें पास आया minus का 3 minus 1 की 4 times into होगी तो 4 row ही cancel out हो जाएंगे even signs cancel out हो जाते हैं और odd signs cancel out नहीं हो पाते हैं उसमें से एक बचेगा minus 3 बचा, तो ये सब तो cancel out हो गए, minus cancel, इससे ये minus cancel, तो हमारे पास बचा minus 3, तो minus 3 हमारे पास answer आ गया, तो friends ऐसे आप co-factors find out करेंगे, 2 by 2 matrix का, co-factors निकालने का एक simple तरीका भी है, तो इसके लिए आपने cofactors of matrix A लिखेगा, फिर elements रखेंगे A11, अब इसमें आपने क्या कर रहा है, 11 है, मतलब कि 1 plus 1 कितना होगा, 2 होगा, 2 होगा तो एक ही even value है, even value के लिए positive sign use होगा, odd value के लिए, लिए negative sign use होगा तो यहाँ पर हम positive मतलब कुछ ना लगाएं तो भी चलेगा तो first row first column तो हमारे पास value आई 4 फिर second element के लिए second element क्या होगा first row और second column में होगा वो element one plus two कितना आएगा odd आएगा तो negative sign assign कर दीजिए उसे assign करने के बाद hide करेंगे first row second column तो हमारे पास value आई two minus का two हो गया value थर्ड element के लिए 8, 2, 1, फिर थर्ड element क्या होगा, second row और first column में, तो वो third row होगा हमारा, तो 2 plus 1 कितना होगा, एक odd value मिलेगा, तो odd होगा तो negative sign आप use करेंगे, तो second row and first column को hide कीजिए, हमारे पास value आई 5, तो minus का 5 value होगे, फिर 8, 2, 2 के लिए value आईगी minus 3, 2 plus 2 positive value, even value मिलेगा, even value मिलेगा तो हम positive sign assign करेंगे, तो ऐसे भी आप co-factors find out कर सकते हैं, अगर आप minus 1 raise to the power 1 plus 1 या i plus j करके नहीं करना चाहें तो, co-factors के बाद next step है adjoint निकालने का, अब adjoint देखते हैं, आपको factors के जो elements आये हैं, वो है 4, first element, second है minus 2, third है minus 5, fourth है minus 3, इनको हम adjoint form में लिखेंगे, तो पहले आप इनको 1, 1 की जगा लिखेंगे, मतलब first row and first column में element होगा 4, second element है 1, 2, मतलब first row, second column का element होगा minus 2, फिर a21, second row, first column, तो element होगा minus 5, फिर ऐसे ही last element.
अब इनका हमने transpose लिखा है यहाँ पे, transpose मतलब कि row column बनेगा, तब जाके वो adjoint matrix कलाएगा, अब यह adjoint नहीं है, क्योंकि हमने इनको भी transpose करना है. Friends, हमने अब जो co-factors किये हैं, हमने इस method से किये हैं, और दूसरा direct method, जिसमें even के लिए positive sign यूज़ करेंगे, और odd के लिए negative sign यूज़ करेंगे, तो जब हम 3 by 3 order का matrix find out करेंगे, inverse उसका, तो हम उस case में plus और minus का sign यूज़ करते वे चलेंगे, even odd के case की तरह. इसके बाद adjoint matrix को transpose कर दीजिए, जिसमें आपका row जो की है 4 और minus 2 column हो जाएगा, और यहाँ पर minus 5 और minus 3 इसका column हो जाएगा, तो first row, first column, second row, second column, तो यह हमारी adjoint matrix आई है, इसके बाद आपने formula implement करना है, formula है a inverse equals to 1 by determinant adjoint a, ए इनवर्ट्स अब बिटामिनेंट का जो वैल्यू आया था वो माइनस का 22 आया था तो इसलिए हम इसको निमरेटर में लिखेंगे तो 1 by माइनस 22 एडजॉइंट एके लिए पूरा मेट्रिक्स लिखिए तो ये हमारे पास ए इनवर्ट्स का आन्सर आ गया है फ्रेंड्स आप इसको ऐसे भी लिख सकते हैं या इसको आप ऐसे भी दिखा सकते हैं इसमें क्या हो रहे हैं आपका ये जो 22 है ये डिवाइड हो रहे है हर एक एलिमेंट के साथ तो माइनस 4 by 22 5 by 22 क्योंकि इन दोनों के sign cancel out हो जाएंगे, 2 by 22 and 3 by 22. अगर आपको हमारी वीडियोस पसंद आई है तो like करें, हमारी आगे आने वाली वीडियोस में update रहने के लिए subscribe करें, और दोस्तों अगर आपके कुछ suggestions हैं तो हमें comment करें.
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