భూపరిమాణం మరియు రేఖాగణిత పరిచయం

# భూపరిమాణం మరియు రేఖాగణితంపై లెక్చర్ నోట్స్

## గణితశాస్త్రజ్ఞుని ప్రత్యేకణ  
- ప్రస్తుత దృష్టి: బిల్లియర్డ్స్ కు సంబంధించిన భూపరిమాణం మరియు డైనమికల్ సిస్టమ్స్ పై పరిశోధన.  
- సాధారణ బిల్లియర్డ్స్ 1800లలో అర్థం చేసుకున్నారు.  
- పరిశోధన ఒక **పంచభుజాకార మూలతో బిల్లియర్డ్ చప్పుడు తో** ఉంటుంది.  
- అంతరాలకు ఉదాహరణలు చూపించడం, అందం మరియు సమర్పణను ప్రదర్శిస్తుంది.

## రేఖాగణితం మరియు బహుళ వేరియబుల్ కాల్కులస్ పరిచయం  
- **రేఖాగణితం**: సజ్జా వస్తువులపై దృష్టి కేంద్రీకరించడం (రేఖలు మరియు మ్యారపీ).  
- **బహుళ వేరియబుల్ కాల్కులస్**: వక్రీభూత వస్తువులపై దృష్టి కేంద్రీకరించడం (పరిపాటి మరియు వంశవృక్షాలు).  
- ప్రారంభ బిందువు: **క్లాసు ఉత్పాదకం** ఉపయోగించి రేఖలు మరియు మ్యారపులను అర్థం చేసుకోవడం.

### రెండు రేఖల యొక్క ఖండను కనుగొనడం  
- ఉదాహరణ రేఖలు:  
  - రేఖ 1: X + Y = 2  
  - రేఖ 2: X - Y = 0
- శ్రేణి వాటరణ మిత్రిక ద్వారా ఖండం కనుగొనబడింది.  
- ఫలితం: ఖండ బిందువు (1, 1).
- **స్వేచ్ఛాపదాలు**:  
  - రెండు వేరియబుల్స్: X మరియు Y (2 స్వేచ్ఛాపదాలు).  
  - రెండు నియామకాలు (రేఖలు): స్వేచ్ఛాపదాలు నష్టపోవడం లేకోసమ్ (ఫల్ను చూపుతుంది).

### మూడు పరిమాణ స్థలంలో మ్యారపు అర్థం చేసుకోవడం  
- ఇచ్చిన సమీకరణ: X - 2Y + 3Z = 6.  
- మూడు వేరియబుల్స్ (3 స్వేచ్ఛాపదాలు), ఒక నియామకం (2 స్వేచ్ఛాపదాలకు తగ్గింపబడింది): ఇది ఒక **మ్యారపు** ను సూచిస్తుంది.
- మ్యారపు సమీకరణ సంతృప్తం చేసే బిందువుల ఉదాహరణలు:  
  - (3, 0, 1), (1, -1, 1), (0, 0, 2).

### R3 లో రేఖ యొక్క సమీకరణ వ్రాయడం  
- R3 లో, ఒక రేఖ రెండు మ్యారపుల యొక్క సంధి ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది.  
- ఉదాహరణ మ్యారలు:  
  - మ్యార 1: X - 2Y + 3Z = 6  
  - మ్యార 2: 3X - 2Y + Z = 2
- సంధి ఒక నియమిత రేఖను ఇస్తుంది:  
  - x = -2 + t  
  - y = -4 + 2t  
  - z = t.
- **పరామితి t** ఏదైనా నిజ సంఖ్యను సూచిస్తది, రేఖపైన కదలడానికి అనుమతిస్తుంది.

### రేఖలు మరియు మ్యారపులను ప్రత్యేకంగా నిర్వచించడం  
- **రేఖ నిర్వచనం**: రెండు విభిన్న బిందువులు లేదా ఒక బిందువు మరియు ఒక దిశా వెక్టర్ ఒక రేఖను నిర్వచిస్తాయి.  
  - సమీకరణ: R(t) = P + tV (ఇక్కడ P ఒక బిందువు మరియు V ఒక దిశా వెక్టర్).
- **మ్యారపు నిర్వచనం**: మూడు అభజన బిందువులు లేదా ఒక బిందువు మరియు ఒక సార్వజన దిశా (సామాన్య దిశా) అవసరం.  
  - ఒక బిందువు (X0, Y0, Z0) మరియు ఒక సార్వజన దిశా (A, B, C) ఉపయోగించి, మ్యారపు సమీకరణ:  
   
  A(X - X0) + B(Y - Y0) + C(Z - Z0) = 0.

### క్రాస్ ఉత్పాదక బునాదలు  
- క్రాస్ ఉత్పాదకం: V1 x V2 రెండు V1 మరియు V2 కు అనులంబ అయిన వెక్టర్ ను ఇస్తుంది.  
- **రైట్-హ్యాండ్ రూల్**: క్రాస్ ఉత్పాదకం దిశాని నివారణం చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.  
- **ప్రతిమానం**: V1 మరియు V2 తో ఏర్పడిన అధరువరం యొక్క స్థలం  
  - స్థలం = |V1 x V2|.
- మూడు బిందువులతో ఓ పరీక్ష కొరకు ఏర్పాటు చేసిన త్రిభుజ స్థలం కనుగొనడం:  
  - రెండు ప్రక్కలు వెక్టర్లుగా తీసుకుని, క్రాస్ ఉత్పాదకాన్ని కనుగొని, అధరువరం స్థలం యొక్క అర్థాన్ని తీసుకుని త్రిభుజ స్థలాన్ని పొందుతారు.

## ముగింపు  
- రేఖాగణితం మరియు బహుళ వేరియబుల్ కాల్కులస్ భావనలు వివిధ భూపరిమాణ సూచనల ద్వారా అనుసరించబడుతున్నాయి.  
- రేఖలు, మ్యారపులు మరియు వాటి సమీకరణ అర్థం చేసుకోవడం భూపరిమాణం మరియు కాల్కులస్ లో మరింత అధ్యనానికి ప్రాముఖ్యత ఉంది.  
- లోతైన అర్థాల కోసం ప్రశ్నలు మరియు చర్చలు ప్రోత్సహించబడతాయి.