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डेरिवेटिव के एप्लीकेशन की समझ

यही ओवरऑल निचोड़ है आप सबसे पहला काम सा ऑफ f ' x देखो अगर किसी पॉइंट के पहले स्लोप पॉजिटिव बाद में नेगेटिव या पहले नेगेटिव बाद में पॉजिटिव तो नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग दोनों साइड पॉजिटिव तो फंक्शन इंक्रीजिंग पहले स्लोप नेगेटिव बाद में नेगेटिव तो फंक्शन तो जब भी हम किसी से कंपैरिजन करते हैं तो वहां पर रिलेटिव का टर्म यूज़ होता है मतलब उ इस पॉइंट के रिलेटिव में यहां पर सबसे बड़ी वैल्यू ई इस पॉइंट के रिलेटिव में यहां पर सबसे बड़ी वैल्यू है हेलो हेलो हेलो मेरे प्यारे बच्चों कैसे हैं आप सभी लोग आई होप आप सभी लोग बहुत अच्छे होंगे मैं हूं शशांक सिंह राजपूत आप सभी का स्वागत करता हूं सीवीटी 247 पर तो क्या हाल चाल है सभी बच्चों का बच्चों आज एक जबरदस्त वन शॉट करने वाले हैं मैथ के सबसे वन ऑफ द मोस्ट सबसे फेवरेट सबसे जबरदस्त सबसे इंपॉर्टेंट चैप्टर पर और दैट इज द नन अदर दन एप्लीकेशन ऑफ द डेरिवेटिव मतलब मोस्ट मोस्ट मोस्ट इंपॉर्टेंट चैप्टर है पूरी मैथ का बुक नंबर वन का सबसे लास्ट चैप्टर है इसके पहले बच्चों मैं आपको पांच चैप्टर करवा चुका हूं सारे चैप्टर के वन शॉट मैंने आपको करा दिए हैं रिलेशन एंड फंक्शन इवर्स ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन मैट्रिसेज डिटर ट कंटिन्यूटी एंड डिफरेंस बिलिटी भाई सारे चैप्टर के वन शॉट एकदम खतरनाक लेवल के करा रखे हैं जितने भी बच्चों ने नहीं देखा बेटा आप लोग जरूर एक बार चेक आउट कर लो तो आज के सेशन को शुरुआत देते हैं र आज के सेशन को शुरुआत करते हैं तो बच्चों फाइनली कैलकुलस के अंदर ही एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव आता है और एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव से आपका एक तो केस बेस स्टडी का आप यह समझ लो कि चार नंबर का सवाल केस बेस स्टडी से और इसके अलावा इसके अलावा दो तीन नंबर और मान लो यानी कि नियर अबाउट लगभग सात से आठ मार्क्स का ये चैप्टर का वेटेज है आपके कैलकुलस में तो बहुत ही इंपॉर्टेंट चैप्टर है एक चीज आपको और बताता हूं ये चैप्टर एओडी एप्लीकेशन ऑफ द डेरिवेटिव बोर्ड के लिए तो बच्चों इंपॉर्टेंट है ही साथ ही साथ अगर आप साथ में सीबीटी दे रहे हो या जेई का पेपर दे रहे हो या आप कोई सा भी पेपर अगर दे रहे हो बेटा हर एक पेपर के लिए एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव कंपटीशन लेवल का सबसे वन ऑफ द मोस्ट फेवरेट चैप्टर है मतलब आप यह मान के चलना कि कम से कम आप कोई सा भी अगर कंपटीशन अगर दोगे हर एक कंपटीशन में आपको सबसे ज्यादा वेटेज वाला चैप्टर आपको एप्लीकेशन ऑफ द डेरिवेटिव ही मिलेगा मतलब हाईली इंपॉर्टेंट चैप्टर में से एक है लेकिन आपके लिए एक बहुत बड़ी खुशखबरी है खुशखबरी सर किस बात की खुशखबरी इस बात की है कि आपका यह जो सिलेबस है बहुत ही ज्यादा छोटा कर दिया गया है जो पिछले 3 सालों से पिछले 2 सालों से चला आ रहा है ये सिलेबस बेटा काफी ज्यादा रिड्यूस्ड सिलेबस है जो जो आपका सिलेबस है एप्लीकेशन ऑफ द डेरिवेटिव में रेट ऑफ चेंज ऑफ क्वांटिटीज इंक्रीजिंग डिक्रीजिंग फंक्शन मैक्सिमा एंड मिनिम फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग ज्योमेटिक रिप्रेजेंट इसका सेकंड डेरिवेटिव टेस्टिंग ठीक है सिंपल प्रॉब्लम दैट इलस्ट्रेट बेसिक प्रिंसिपल एंड अंडरस्टैंडिंग ऑफ द सब्जेक्ट एज वेल एज रियल लाइफ सिचुएशंस तो यही आपका पूरा का पूरा सिलेबस है इसके अलावा इसमें टेंज एंड नॉर्मल भी होता है इसके अलावा इसमें थ्योरम्स भी होती है रोल थरम एलएमवीटी थ्योरम मीन वैल्यू थ्योरम ठीक है रिमाइंडर थ्योरम सारी थ्योरम्स आपके सिलेबस से डिलीटेड है यह सब आपके सिलेबस में नहीं है आपके सिलेबस में मात्र यही पोर्शन है अगर मैं आपको कैटेगरी बोलूं तो यह सिर्फ और सिर्फ एओडी का सिर्फ तीन पोर् प है एक तो मैक्सिमा मिनिम इंक्रीजिंग डिक्रीजिंग और तीसरा एक यह रेट ऑफ चेंज ऑफ बॉडीज वाला बस इतना ही है इसके अलावा और कुछ भी नहीं है तो यह चैप्टर बेटा काफी ज्यादा छोटा चैप्टर बन जाता है आपके लेवल पे तो चलो यार शुरुआत करते हैं भैया आज के सेशन हम लोग कवर क्या-क्या करने वाले हैं जरा एक बार को यहां पर देखते हैं फटाफट एक तो कवर करने वाले मोनोटोन सिटी ऑफ अ फंक्शन मोनोटोनिक फंक्शन क्या किसी भी पॉइंट पर कैसे निकालते हैं किसी इंटरवल में कैसे निकालते हैं पॉइंट ऑफ इफ्लेक्शन क्या होता है इसके अलावा मैक्सिमा मिनिम क्या होता है फर्स्ट ऑर्डर सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग देखें सम इंपॉर्टेंट टेक्निक्स देखेंगे मैक्सिमा मिनिम की स्टेशनरी पॉइंट के बारे में देखेंगे ग्लोबल मैक्सिमा ग्लोबल मिनिम जिसे हम एब्सलूट मैक्सिमा एब्सलूट मिनिम कहते हैं उसको भी देखेंगे और सबसे लास्ट में रेट ऑफ चेंज ऑफ बॉडीज देखेंगे तो ये बात ध्यान रखना रेट ऑफ चेंज ऑफ बॉडीज मैं सबसे बाद में कराता हूं ताकि आप पूरे चैप्टर की अंडरस्टैंडिंग को अच्छी तरीके से कर लो उसके बाद हम लोग उस पर आएंगे ठीक है क्लियर है तो ये पूरी की पूरी यार बेसिक आउटलाइन है आज हम लोग कवर क्या-क्या करने वाले हैं आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है तो यार सबसे पहले शुरुआत करते हैं मोनोटोन सिटी ऑफ अ फंक्शन से तो बेटा इसको समझने के लिए ना कुछ एक बेसिक डेफिनेशन सबसे पहले आप लिखो यहां प सबसे पहले लिखो मोनोटोनिक फंक्शन सबसे पहले ऐसा लिखो इंक्रीजिंग फंक्शन ठीक है कुछ एक ना बेसिक टर्म आप समझो लिखो इंक्रीजिंग फंक्शन आई ए सी आर ई ए एस आई एन जी इंक्रीजिंग आखिरकार इंक्रीजिंग फंक्शन किसे कहते हैं और यहां पर दूसरा लिखो स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन बेटा एक-एक वर्ड अच्छी तरीके से समझना आप है ना तभी समझ आएगा नहीं तो थोड़ी देर बाद अभी सब मिक्स अप होने लग जाएगा स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन आपको बहुत ही डिटेल में मैं कराऊंगा डोंट वरी बस एक-एक अक्षर अच्छी तरीके से समझते चलो देखो इंक्रीजिंग फंक्शन हम किसे बोलेंगे अगर कोई भी फंक्शन जैसे इस तरीके से बढ़ रहा हो यानी कि बढ़े और फिर इस तरीके से कांस्टेंट हो जाए फिर बढ़ रहा है फिर कांस्टेंट फिर बढ़ा रहा है फिर कांस्टेंट ऐसे फंक्शन को बेटा इंक्रीजिंग बोलेंगे और स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग किसे बोलेंगे कोई भी फंक्शन अगर इस तरीके से बढ़ रहा है यानी कि वह लगातार बढ़ता जा रहा है तो ऐसे फंक्शन को क्या बोलेंगे सर स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन बोलेंगे आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है ठीक है अब सेम इसी तरीके से बेटा डिक्रीजिंग और स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग जरा यहां पर लिखो डिक्रीजिंग एंड स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन ठीक है यहां पर सर डिक्रीजिंग और यहां पर स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन ठीक है तो यह सारे टर्म बेटा आपके लिए हाईली इंपॉर्टेंट है जितना अच्छी तरीके से यह बेसिक आप समझ जाओगे उतना ही बेहतर है तो अच्छा अब जरा इसके बारे में मुझे बताओ जैसे यहां पर देखो यह डिक्रीज हो रहा है तो सर अगर यह डिक्रीज हो रहा है यानी किस तरीके से इस तरीके से घ घट रहा है मतलब घट रहा है फिर कांस्टेंट हो रहा है फिर घट रहा है फिर कांस्टेंट हो रहा है तो दिस इज द डिक्रीजिंग फंक्शन और स्ट्रिक्टली डिक्रीज में इस तरीके से अगर घटे तो दिस इज द स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन ठीक है आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अी तरीके से क्रिस्टल क्लियर बहुत बढ़िया अब एक टर्म आता है बेटा नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग ठीक है तो यहां पर लिखना नीदर इंक्रीजिंग नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग इसका मतलब क्या होता है ये सारे टर्म आप जितनी अच्छी तरीके से समझ जाओगे उतने ही ज्यादा मजा आएगा पढ़ने में नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग इसका कहने का मतलब क्या है इसका कहने का मतलब ये है जैसे कोई फंक्शन अगर इंक्रीज करे फिर डिक्रीज करे फिर इंक्रीज करे फिर डिक्रीज करे तो दिस इज द नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग जैसे फॉर एग्जांपल y = x स् का ग्राफ इस तरीके से बनता है तो दिस इज द नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग फंक्शन यानी कोई फंक्शन बढ़े फिर घट जाए फिर बढ़े फिर घट जाए तो इस तरीके से अगर कोई फंक्शन है तो नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग अभी मैं सब कुछ एकदम डिटेल में आपको समझाऊं डोंट वरी अभी मैं सिर्फ और सिर्फ आपको बेसिक शब्द समझा रहा हूं बेसिक वर्ड बेटा समझा रहा हूं ठीक है अब इसके बाद हेडिंग डालो मोनोटोनिक फंक्शन ठीक है यहां पर हेडिंग डालना मोनोटोनिक फंक्शन एओ ए मोनोटोनिक फंक्शन सर मोनोटोनिक फंक्शन हम किसे कहते हैं देखो मोनोटोनिक फंक्शन बेटा ऐसे फंक्शन को कहते हैं जो या तो स्ट्रिक्टली इक्रीज या तो इंक्रीजिंग हो या तो डिक्रीजिंग हो यहां पर हेडिंग ल यहां पर लिख लो इफ फंक्शन इ इदर इंक्रीजिंग अगर कोई फंक्शन या तो इंक्रीज कर रहा है या डिक्रीजिंग ठीक है दोनों को ही मोनोटोनिक फंक्शन बोलेंगे यानी कहने का मतलब क्या है सर कहने का मतलब यह है कि सर हम इसको भी मोनोटोनिक बोलेंगे अगर इस तरीके का कोई फंक्शन है अगर इस तरीके का कोई फंक्शन है तो हम इसको भी मोनोटोनिक बोलेंगे ठीक आई थिंक सभी बच्चों को अच्छी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है अब अगला टम बेटा नॉन मोनोटोनिक फंक्शन यहां पर हेडिंग डालना नॉन मोनोटोनिक फंक्शन नॉन मोनोटोनिक नॉन मोनोटोनिक फंक्शन किसे बोलेंगे अगर कोई फंक्शन ना तो इंक्रीज करे ना तो डिक्रीज करे सिंपल ठीक है तो इफ अ फंक्शन इज नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग तो ना तो इंक्रीज करे ना तो डिक्रीज करे तो दिस इज द नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग नॉन मोनोटोनिक फंक्शन ठीक है तो ये पूरी की पूरी कहानी है बेटा मोनोटोन सिटी की मोनोटोन मोनोटोनिक वर्ड की कहानी पूरी अच्छा अगर कोई फंक्शन लगातार इंक्रीज कर र है तो हम इसको क्या कह सकते हैं इसको मोनोटोनिक इंक्रीजिंग भी कह सकते हैं अगर कोई लगातार इंक्रीज कर रहा है तो हम इसको मोनोटोनिक इंक्रीजिंग को मैं इस तरीके से साइन लगा दे रहा हूं ठीक है अपने बोर्ड में मत लगाना इस तरीके से और अगर कोई फंक्शन लगातार डिक्रीज कर रहा है तो हम इसको मोनोटोनिक मोनोटोनिक डिक्रीजिंग फंक्शन में कह दे रहा हूं ठीक है क्रिस्टल क्लियर तो आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से ये सारी चीजें क्लियर है अब एक बार को जरा दोबारा देख देख लेते हैं इंक्रीजिंग फंक्शन किसे बोलेंगे कोई फंक्शन लगातार इस तरीके से इंक्रीज करे तो इंक्रीजिंग इस तरीके से इंक्रीज करे तो स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग ठीक दूसरी चीज डिक्रीजिंग कैसे अगर कोई फंक्शन इस तरीके से डिक्रीज करे तो डिक्रीजिंग इस तरीके से डिक्रीज करे तो स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग से नेक्स्ट नीदर इंक्रीजिंग नॉ डिक्रीजिंग कोई फंक्शन बढ़े घटे बढ़े घटे तो ऐसे फंक्शन को नीदर इंक्रीजिंग नॉ डिक्रीजिंग बोलेंगे ठीक है उसके बाद हमने मोनोटोनिक फंक्शन कोई फंक्शन या तो इंक्रीज करे या तो डिक्रीज करे दोनों को ही मोनोटोनिक मोनोटोनिक फंक्शन कहते हैं अगर इंक्रीज कर रहे है तो मोनोटोनिक इंक्रीजिंग अगर डिक्रीज कर रहे है तो मोनोटोनिक डिक्रीजिंग ठीक नॉन मोनोटोनिक फंक्शन किसे बोलेंगे अगर कोई फंक्शन बढ़ रहा है घट रहा है तो ऐसे फंक्शन को नॉन मोनोटोनिक फंक्शन बोलेंगे तो दिस इज द सबसे बेसिक थिंग आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है अब बेटा अगर आपको यह सारी कहानी अच्छी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है जस्ट वन सेकंड ठीक है अगर यह सारी चीजें बेटा आपको अच्छी तरीके से अगर क्लियर है है ना तो आ जाओ जल्दी से आगे चलते हैं मो मोटोनोसिटी ऑफ अ फंक्शन एट अ पॉइंट जरा हेडिंग डालना सभी बच्चे मोनोटोन सिटी ऑफ अ फंक्शन एट अ पॉइंट ठीक इसका कहने का मतलब क्या है बाबू कहने का मतलब यह है अगर आपको किसी पॉइंट पर अगर आपको चेक करना है कि कोई फंक्शन मोनोटोनिक है या नहीं है तो आप करते क्या हो सर हम यहां पर तीन पॉइंट ले लेते हैं मान लो अगर आपको यहां पर चेक करना है कहां पर सर ट x इ a पर मान लो x इ ए पर आपको चेक करना है कि ये फंक्शन इंक्रीज है या डिक्रीज है तो हम करेंगे क्या एक इसके नेबरहुड में इससे बड़ा पॉइंट लेंगे एक इसके नेबरहुड में इससे छोटा पॉइंट ले लेंगे यानी कि एक ले लेंगे सर ए प् ए और दूसरा ले लेंगे भैया ए माइ h ठीक है क्लियर और यह फंक्शन है बाबू y = f एक का ठीक है आई थिंक सभी को क्लियर है अब र यहां पर आप देख सकते हो कि यहां पर बेटा कौन बड़ा है सिंस ए प् ए बड़ा है किससे ए से और अगर ए प् एच बड़ा है ए से तो आप ये देख सकते हो एफ ए प् ए बड़ा है भैया किससे f a से बिल्कुल सही बात है सर इसके अलावा यहां पर जो a है a बड़ा है किससे f ऑफ a - h से और यहां से आप देख सकते हो कि f ए जो बड़ा है f a - h से ठीक है तो बेटा अगर इन दोनों को हम मिला दें तो हमारे पास यहां पर क्या आ रहा है सिंस a + h बड़ा है a से और यह बड़ा है सर a - h से तो जो इनकी फंक्शन पर वैल्यू है यानी एफ ए प् ए ये सर बड़ा है एफ ए से और एफ ए बड़ा है किससे एफ ए - ए से तो अगर कहीं पर ऐसा केस बने मतलब कि आप x को बढ़ाते जाओ और अगर फंक्शन की वैल्यू भी अगर बढ़ती जाए तो हम ऐसे केसेस में क्या बोलेंगे y = जो f ऑफ एक है इज इंक्रीजिंग फंक्शन ये कैसा फंक्शन है भैया ये सर इंक्रीजिंग फंक्शन है कहां पर ट x = a पर पर ठीक है क्लियर है इंक्रीजिंग फंक्शन है कहां पर सर ट x = a पर आई थिंक सभी बच्चों को अी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है अच्छा अब सेम इसी का जस्ट अपोजिट केस लेते हैं एक बार को जैसे मान लो अगर हमारे पास यहां पर कोई फंक्शन कुछ इस तरीके का आ रहा है इस तरीके का और यहां पर सर हमारे पास तीन पॉइंट है ठीक है अगर मान लो हमें पहली बात तो यहीं पर चेक करनी है x = a पर कि ये फंक्शन इंक्रीज कर रहा या डिक्रीज कर रहा है तो आप क्या करोगे सर यहां पर एक पॉइंट हम इससे बड़ा लेंगे एक पॉइंट इससे छोटा ले लेंगे यार आप लोग जानते हो दिस इज द एक्स एक्सिस और एक्स एक्सिस प आप जितना इधर जाओगे पॉइंट की वैल्यू उतनी बढ़ती जाएगी यानी a + h ओबवियस सी बात है बड़ा होगा ए से और a बड़ा होगा किससे a - ए से ठीक है तो यहां पर हम क्या लिखेंगे सिंस जो a प् ए है यह बड़ा है सर ए से और a बड़ा है भैया a - ए से ठीक है देन जो यहां पर फंक्शन की वैल्यू है a + ए पर यह देख सबसे छोटी है हां या ना ये यहां पर फंक्शन की वैल्यू कहां पर सबसे बड़ी है a- h पर यह देखो यह फंक्शन क्या है y = f एक तो यहां पर देखो हाइट सबसे बड़ी है एफ ए - ए पर f ऑफ ए f ऑफ ए प् h ठीक तो आप जैसे जैसे x को बढ़ा रहे हो उस पर फंक्शन की वैल्यू क्या हो रही है घट रही है तो अगर आप x को बढ़ाओ फंक्शन की वैल्यू घटे तो ऐसी जगह पर आप क्या बोलोगे सर जो y = f एक है इ स्ट्रिक्टली इज डिक्रीजिंग फंक्शन आप इस तरीके से लिख सकते हो कि ये कैसा फंक्शन है भैया सर ये डिक्रीजिंग फंक्शन है ठीक है क्रिस्टल क्लियर तो ये सबसे बेसिक सी कहानी है वैसे आपको बेटा इसमें बहुत ज्यादा माथा फोड़ी करनी नहीं है आप सीधी सी बात ये समझ लो कि अगर कोई फंक्शन बढ़ रहा है तो उसमें अगर हम x बढ़ाएंगे तो फंक्शन पर वैल्यू बढ़ेगी ओबवियस सी बात है क्योंकि अगर ये f ऑफ x है तो ये वाली हाइट f ए + ए हो जाएगी इसकी हाइट एफ ए हो जाएगी इसकी हाइट f ए - h जाएगी है ना तो जैसे जैसे x बढ़ा रहे हैं आप देख रहे हो फंक्शन की वैल्यू बढ़ रही है तो अगर ऐसा केस है तो दिस इज द इंक्रीजिंग और अगर हम जैसे से x की वैल्यू बढ़ा रहे हैं अगर फंक्शन की वैल्यू गिरे तो यानी दिस इज द डिक्रीजिंग फंक्शन तो यही पूरा ओवरऑल कहानी है तो अब जरा आगे चलते हैं इसमें ग्राफ वगैरह देखते हैं ग्राफ पर बेस कई सारे क्वेश्चन आपके पेपर में आता है y f = x क इज इंक्रीजिंग ये कहां पर इंक्रीज करेगा अब बेटा इसमें ऐसे सवालों में ना आपको सीधा-सीधा ग्राफ ड्रा करना है ज्यादा गणित लगानी नहीं है y = x क का ग्राफ किस तरीके से बनता है सर इस तरीके से बनता है भई अगर इस तरीके से बनता है तो यह कहां पर इंक्रीज कर रहा है सर यह तो हर जगह पर इंक्रीज कर रहा है फॉर ऑल x बिलोस टू रियल नंबर पर हां या ना तो यह हर एक जगह पर इंक्रीज कर रहा है ओनली पॉजिटिव ओनली नेगेटिव फॉर ऑल रियल वैल्यूज ऑफ द x यानी कि सी पार्ट इज द करेक्ट आंसर यह देखो हर जगह पर माइनस इनफिट टू प्स इनफिट इंक्रीज कर रहा है नेक्स्ट क्वेश्चन पर आता है द वैल्यू ऑफ द a फॉर च f = a टू द पावर x ये कहां पर इंक्रीज कर रहा है ऑन r a की किस वैल्यू के लिए f एक = a टू द पावर x इंक्रीज कर रहा है यार a टू द पावर x का ग्राफ मैं आपको बहुत बार समझा चुका हूं a टू द पावर x का ग्राफ कैसा ग्राफ बनता है सर इसमें दो ग्राफ बनता है सर कैसा सर अगर a1 से बड़ा है तो इस तरीके का ग्राफ बनेगा अगर a 0 से लेकर वन के बीच में है तो इस तरीके से ग्राफ बनेगा अब सवाल में क्या कह र है सवाल में यह कह रहा है कि इंक्रीज करना चाहिए r में तो इंक्रीज कब करेगा जब a वन से बड़ा होगा यानी कि a1 से इनफिट तो कौन सा पार्ट आ गया सी पार्ट शुड बी द करेक्ट आंसर ये सब आप देख रहे हो एक एक नंबर के सवाल बेटा इस तरीके से बेसिक बेसिक क्वेश्चन आपसे पूछे जा सकते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन पर आते हैं y = x - 9 काल स्क्वा कह रहा है कि सर यह कहां पर स्ट्रिक्टली इंक्रीज करेगा किस इंटरवल में या अब इसका ग्राफ जरा देखो कैसे बनाता है मैंने इसका भी आपको बता रखा है शिफ्टिंग ऑफ द ग्राफ में तो y = x स् का ग्राफ कैसा बनता सर दिस ग्राफ इज द y = x स् का अगर x x की जगह पर x - 9 करेंगे तो क्या होगा ये ग्राफ सर न यूनिट इधर शिफ्ट हो जाएगा हां या ना तो ये पॉइंट क्या हो गया सर दिस इज द 9 0 और ये ग्राफ किसका हो गया x - 9 काल स्क्वा अब कह रहे है कि ये इंक्रीज कहां पर कर रहा है तो ये आप देख सकते हो कहां से कहां इंक्रीज कर रहा है सर यहां पर इंक्रीज कर रहा है हां या ना यहां पर इंक्रीज कर रहा है तो यानी कि हम क्या बोलेंगे सर x जो है ना से लेकर इनफा हो जाएगा है ना तो एक्स अगर ना से लेकर इनफा है तो यहां पर यह क्या होगा इंक्रीज करेगा तो करेक्ट आंसर इ द नान से लेकर इनफा ठीक है क्रिस्टल क्लियर है सभी मेरे बच्चों को हा या ना जल्दी से बताओ आई थंकर सभी बच्चों को अी तरीके से क्लियर है तो यह सारे क्वेश्चन आप देख सकते हो बेटा ग्राफ पर बेस है इनमें कहीं भी आपको कलम नहीं चलाना नेक्स्ट क्वेश्चन पर आते है f = 3 एक स् तो यार 3 एक स् का ग्राफ कैसा बनता है सर जैसे स्क्वा का ग्राफ बनता है तो यह ग्राफ किसका हो गया y = 3x स् का ठीक है क्लियर बस इसमें हर एक पॉइंट का मैग्निटिया ये ओबवियस सी बात है कहां पर डिक्रीज कर रहा है सर माइनस इनफिट से जीरो में डिक्रीज कर रहा है और जीरो से इनफिट में आप ये देख सकते हो इंक्रीज कर रहा है ऑप्शन देख लो इंक्रीज कहां पर जीरो टू इनफिट डिक्रीज कहां पर माइनस इनफिट टू जीरो यानी कि पार्ट इज द करेक्ट आंसर ठीक है कुछ लग रहा है ऐसा बस आपको ग्राफ पता होना चाहिए आराम से सवाल उड़ा सकते हो इस तरीके से नेक्स्ट क्वेश्चन पर आता है fx3 + 1 बेटा अभी तो हम बहुत ही बेसिक पर है इस चैप्टर में fx3 + 1 इसका ग्राफ ड्र करो कैसे ड्र करते हैं सर सबसे पहला काम y = x क का ग्राफ ड्र करते हैं y = x क का ग्राफ कैसा होता है इस तरीके से अब जब x क + 1 का ग्राफ ड्रा करेंगे तो यह ग्राफ क्या होगा एक यूनिट ऊप परर खिसक जाएगा यानी कि यही ये पॉइंट क्या हो गया सर 01 ये पॉइंट क्या है x = 0 ठीक अब क्या कह र है इंक्रीज इन टू से लेके थ्री के बीच में तो यार ओबवियस सी बात है टू कहां पर होगा टू यहां कहीं पर और थ्री जो है यहां कहीं पर है ना तो ये देखो दो से लेके तीन के बीच में तो यार इंक्रीज करेगा इंक्रीज एट x = व ओनली यह तो गलत है ओनली वर्ड गलत है डिक्रीज करेगा डिक्रीज तो ये कहीं करेगा ही नहीं ये तो हर जगह पर इंक्रीज करेगा नीदर इंक्रीज नॉट डिक्रीज गलत है यानी सबसे परफेक्ट आंसर कौन सा है सर ए पार्ट शुड बी द राइट आंसर ठीक है भैया क्रिस्टल क्लियर सभी बच्चों को कोई भी दिक्कत नहीं होना चाहिए बिल्कुल नहीं होना चाहिए ठीक है बहुत बढ़िया तो यह पूरी कहानी थी बाबू बेसिक की मतलब यह जो सबसे बच्चा बेसिक की जो ब्रुश अप है वो यह थी ठीक है आई थिंक सभी बच्चों को क्लियर है तो अगर क्लियर है तो नीचे कमेंट सेक्शन के अंदर बता हां सर क्लियर है सब कुछ अब आगे चलते हैं मोनोटोन सिटी इन एन इंटरवल की बात करते हैं ये इंपॉर्टेंट है मेनली बेटा जो मोनोटोनिसिटी का सवाल आता है वो आपके पेपर में यहीं से आता है ठीक है अब जरा समझने की कोशिश करना इसको अच्छी तरीके से समझना जरा इसको ठीक है तो यहां पर एक काम कर रहा हूं मैं सर एक ग्राफ बनाते हैं इस तरीके से एक सुंदर सा ठीक एक सुंदर सा प्यारा सा ग्राफ बनाओ अब यहां पर हम कर क्या रहे सर यहां पर हमारे पास एक पॉइंट है एक इ ए ले लेते इस पॉइंट का नाम ठीक और हमें यह पता करना है दिस ग्राफ इ दवा इ f एक्स का हमें यह पता करना है कि ए पर यह फंक्शन इंक्रीज कर रहा है या क्या कर रहा है तो ऐसे केसेस में हम सवाल को सॉल्व कैसे करेंगे देखो हर एक पॉइंट पर भैया क्या ड्र करते हैं सर टेंज ड्र करेंगे हर एक पॉइंट पर टजन ड्रा करेंगे ठीक है हर एक पॉइंट पर इस तरीके से ट आप ड्र करते जाओ इस ग्राफ पर टेंट क्या होती है टेंट बेसिकली वा बाडी एक् होती है अगर किसी बच्चे को नहीं मालूम है तो इसको लिख लेना बेटा टेंट क्या होती है सरवा बाडी एक् होती है और वा बाडी एक् क्या होता है इसी को हम रेट ऑफ चेंज भी कहते हैं इसी को हम रेट ऑफ चेंज भी कहते ठीक है और वा बाडी एकस को ही हम क्या कहते स्लोप भी कहते हैं इसी को हमलो कहते और स्लोप होता क्या न थीटा होता है ध्यान रखना न थीटा होता है स्लोप ठीक बहुत बढ़िया इतनी कहानी अगर तुम्ह समझ आ गई है तो हमने क्या करा है सर हमने सिंपल सा काम करा है कि यह कर्व के हर पॉइंट पर स्लोप देखा है अब यार अगर मैं स्लोप की यहां पर डायरेक्शन देखता हूं सर हर एक पॉइंट पर अगर मैं थीटा देख रहा हूं तो थीटा लेसन 90 डिग्री आ रहा है कि नहीं ब अगर हम किसी भी पॉइंट पर बेटा देख रहे हैं तो थ लेस 90 डिग्री आ रहा है बिल्कुल सही बात है सर तो यानी कि यहां पर हम क्या लिख सकते हैं सिंस थीटा इज लेन 90 डिग्री भैया अगर थीटा ले 90 डिग्री होगा तो tan3 पॉजिटिव होगा कि नहीं क्यों क्योंकि सर अगर हम कभी भी कोई भी कोऑर्डिनेट सिस्टम में अगर दिस इज द x दिस इज द y फर्स्ट क्वाड्रेंट में तो सारे के सारे ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन पॉजिटिव होते है तो थीटा अगर लेसन 90 डिग्री है तो थीटा यही यहां कहीं पर होगा फर्स्ट क्वाड्रेंट में और फर्स्ट क्वाड्रेंट में तो सारे ट्रिग्नोमेट्री एंगल पॉजिटिव होते हैं तो यानी t थीटा पॉजिटिव हो गया अब ये tan3 क्या है सर tan3 ही स्लोप है यानी कि सर स्लोप पॉजिटिव हो गया हां या ना और स्लोप ही क्या है सर स्लोप ही dydekop.org कि भैया फंक्शन इंक्रीज कर रहा है ठीक है तो यहां पर हम क्या लिखेंगे सर सा ऑफ f ' x अभी सब समझ आएगा डोंट वरी यहां पर लिखेंगे सा ऑफ f ' x तो सा ऑफ f ' x के लिए हम क्या करेंगे सर यहां पर एक रियल लाइन बनाएंगे यहां पर लिखेंगे सर x = a और बेटा यहां पर साइन कन्वेंशन थोड़ा सा ध्यान से लिखना अगर पहले भी स्लोप पॉजिटिव है बाद में भी स्लोप पॉजिटिव है है ना तो यहां पर हम क्या लिखेंगे यहां पर लिखेंगे ट x = या ऐसे लिख लो f एक इज स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन ट एक्स इट ए पर ठीक है क्लियर अगरवा बाडी एक ग्रेटर दन जीरो है तो सर यहां पर हम क्या बोलेंगे f एक जो है स्ट्रिक्टली इंक्रीज करेगा किसी भी पॉइंट पर उस पॉइंट पर ठीक है क्लियर चलो अब जरा इसका उल्टा देखते बेटा इसका रिवर्स प्रोसेस जरा एक बार को समझते हैं जैसे मान लो अगर यहां पर हमारे पास कोई एक फंक्शन इस तरीके का और र यहां पर कोई पॉइंट पर हमें चेक करना है कि यह बताओ कि यह फंक्शन इंक्रीज कर रहा है या क्या कर रहा है तो अगेन देखो प्रोसेस यही है कि हम क्या करेंगे सर हर एक पॉइंट पर हम स्लोप ड्र करेंगे जितने भी पॉइंट्स है भैया सब पर हम स्लोप ड्र करेंगे इस तरीके से आप हर पॉइंट पर स्लोप ड्रा करते चले जाओ ठीक है तो हर एक पॉइंट पर सर हम स्लोप ड्रा करेंगे और यहां पर क्या करेंगे स्लोप की डायरेक्शन देखेंगे स्लोप पॉजिटिव है कि नेगेटिव है कि क्या है तो अगर हम यहां पर थीटा देखते तो यहां पर थ क्या है सर ग्रेटर दन 90 है यहां पर भी थीटा ग्रेटर दन 90 है यार यहां पर भी थीटा ग्रेटर दन 90 है तो यह तो हर एक जगह पर थीटा क्या हो रहा है सर ग्रेटर दन 90 हो रहा है कि नहीं बताओ यहां पर भी थीटा ग्रेटर दन 90 है ठीक है तो यहां पर हम क्या बोलेंगे यहां पर हम ये बोलेंगे सिंस थीटा इज ग्रेटर दन 90 डिग्री तो भैया अगर थीटा ग्रेटर दन 90 डिग्री है यानी कि बेटा हम इस क्वाड्रेंट सिस्टम की बात कर रहे हैं थ ग्रेटर 90 डिग्री यानी कि हम सेकंड डिग्री की सेकंड क्वाड्रेंट की बात कर रहे और सेकंड क्वाड्रेंट में tan0 tan3 अगर लेसन 0 तो स्लोप लेसन 0 स्लोप अगर लेसन 0 तो सर dydekop.org तो यहां पर हम लिख लेंगे साइन ऑफ एड एक्स ठीक है बेटा मैथ में कुछ भी एक्सेप्शन नहीं है हर चीज के पीछे देखो रीजन है कुछ भी ऐसा नहीं है जो आपको रट्टा मारना है आपको हर चीज समझनी है यहां पर तो दिस इ द इ ए पहले अगरवा बाडी एक का साइन नेगेटिव है बाद में भी अगर साइन नेगेटिव है ठीक है तो हम यहां पर क्या बोलेंगे f एक् विल बी f एक् इज स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन ट एक्स इ ए पर ठीक है क्लियर है सभी मेरे बच्चों को हां या ना आई थिंक सभी बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है ठीक है बहुत बढ़िया तो यार अब इसमें आगे चलते हैं भैया इसमें जो अगला कांसेप्ट है मैं यहां पर ना एक निचोड़ आपको लिखा रहा हूं बेटा ठीक है यहां पर एक लिखना इंपॉर्टेंट नोट इंपॉर्टेंट निचोड़ ऐसा करके लिखो इंपॉर्टेंट निचोड़ यह हाईली इंपोर्टेंट है बस तुम्हारे को यही ध्यान रखना है ठीक है यहां पर लिखो सा ऑफ f ' x साइन ऑफ f ' एक ठीक है या यहां पर ऐसा ध्यान रखना सा ऑफ f ' एक या सा ऑफ dydekop.org पहला केस ये हो सकता है कि x = a के पहले भी स्लोप पॉजिटिव बाद में भी स्लोप पॉजिटिव तो हम यहां पर क्या बोलेंगे fx8 x = a पर ठीक सेम इसी तरीके से अगर मान लो यहां पर x = a लेते हैं पहले स्लोप अगर नेगेटिव है बाद में भी स्लोप नेगेटिव है तो यहां से हम क्या बोलेंगे स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन आस इ ए पर ठीक तीसरा केस यहां पर क्या हो सकता है अगर मान लो य x = ए है पहले स्लोप पॉजिटिव है बाद में स्लोप अगर नेगेटिव है ठीक अगला केस यह भी हो सकता है कि x = ए है पहले स्लोप नेगेटिव बाद में स्लोप पॉजिटिव तो इन दोनों केसेस में क्या बोलेंगे भैया नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग फंक्शन ठीक है नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग फंक्शन तो यही पूरा का पूरा बेटा ओवरऑल निचोड़ है यही ओवरऑल निचोड़ है आप सबसे पहला काम साइन ऑफ एड एक् देखो अगर किसी पॉइंट के पहले स्लोप पॉजिटिव बाद में नेगेटिव या पहले नेगेटिव बाद में पॉजिटिव तो नीदर इंक्रीजिंग नॉर डिक्रीजिंग अगर दोनों साइड स्लोप पॉजिटिव तो इंक्रीजिंग दोनों साइड स्लोप नेगेटिव तो डिक्रीजिंग आसान है कि नहीं महा आसान ठीक है आई थिंक सभी बच्चों को क्लियर आ जाओ अब यहां पर जो सबसे इंपॉर्टेंट चीज है वो ये है जो तुम्हारे पेपर में पूछा जाता है सेपरेटिंग द इंटरवल ऑफ मोनोटोन सिटी अब जरा इसको समझते हैं हम लोग कैसे क्या करेंगे यहां पे देखो तो यहां पर लिखो लेट वी हैव लेट वी हैव अ फंक्शन y इ f एक ठीक अब इसमें करना क्या है इसमें करना ये है स्टेप्स ठीक सबसे पहला काम आप यह करो फाइंड एड एक्स ठीक दूसरा काम आपको क्या करना है दूसरा काम एड एक सबसे पहला काम निकालो ठीक यूज अगर कहीं पर पॉलिनो है अगर कहीं पर पॉलिनो है देन यूज वेवी कर्व मेथड यूज वेवी कर्व मेथड फॉर साइन ऑफ एड एक् ठीक और अगर कहीं पर कुछ और है तो वहां पर हमें अलग तरीके से निकालना पड़ेगा मेनली पॉलिनो पूछा जाता है अगर कहीं पर ट्रिगोनोमेट्रिक है तो बेटा हमें डायरेक्ट इक्वलिटी को सॉल्व करना पड़ेगा ठीक है तो सा ऑफ f आपको देखना है तीसरा काम यहां पर क्या करेंगे अगर कहीं पर पहले स्लोप पॉजिटिव बाद में नेगेटिव ओ सॉरी दोनों साइड पॉजिटिव तो फंक्शन इंक्रीजिंग पहले स्लोप नेगेटिव बाद में नेगेटिव तो फंक्शन डिक्रीजिंग यह पूरा का पूरा मेथड है डोंट वरी अभी हम सवाल करेंगे तो आपको समझ आ जाएगा यहां पर एक टर्म है वेवी कर मेथड वेवी कर मेथड बेटा बेसिकली आपने क्लास 11थ में पढ़ा होगा सबसे पहला काम किसी भी पॉलिनो मियल को फैक्टराइजेशन करते हैं सारे फैक्टर को रियल लाइन पर बनाते हैं राइट साइड से प्लस से शुरुआत करते हैं प्लस माइनस प्लस माइनस अल्टरनेट करते जाते हैं उसके के बाद जहां पर इंटरवल में साइन पॉजिटिव होता है वहां पर हम बोलेंगे दिस इज द स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग और जहां कहीं पर नेगेटिव होगा वहां पर बोलेंगे स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग तो दिस इज द ओवरऑल कांसेप्ट बेटा है ना अगर किसी को वेवी कर् मेथड नहीं मालूम है तो नीचे कमेंट सेक्शन के अंदर बता के जाना मैं इसका 20-2 मिनट का एक अलग से वीडियो बना के डाल दूंगा चैनल पे तो आप लोग उसको चेक आउट कर लेना ठीक है तो आ जाओ जरा इस पर बेस कुछ एक सवाल देखते हैं सबसे पहले लिखा फाइंड द इंटरवल इनमें जहां कहीं पर ये स्ट्रिक्टली क्या हो भैया इंक्रीज करे तो आपको इंटरवल बताना है जरा सवाल को बेटा समझो आप एक बार एक दो सवाल समझोगे आराम से समझ आ जाएगा डोंट वरी ठीक है तो यहां पर गिवन एफ एक् हमारे हमें क्या दिया गया है सर 7 माइ 4x माइनस एक स्क दिया गया तो सबसे पहला काम क्या करेंगे एड एक्स निकालेंगे तो क्या हो जाएगा यह हो जाएगा सर माइ 4 माइन 2x यही हो जाएगा ठीक है तो ए एकस इसमें से अगर -2 को कॉमन ले लेते हैं तो यहां पर क्या हो जाएगा 2 प् एक हो जाएगा एड एक् कितना हो गया -22 प् एक आई थंक सभी को क्लियर ठीक अब बेटा यहां पर हमें चाहिए फॉर स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग तो सबसे पहला काम फॉर स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन बोर्ड में पूरा लिखना यार फॉर स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग के लिए क्या होना चाहिए सर dydekop.org सर लेसन माइट आ गया यानी कि अगर x लेसन माइट होगा ठीक है यानी कि अगर x बिलोस टू माइनस इनफिट से लेकर माइनस दो होगा तो यह जो फंक्शन है क्या होगा स्ट्रिक्टली इंक्रीज करेगा देन ए ऑफ एक्स विल बी स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग फंक्शन ठीक है बोर्ड में पूरा लिखना बेटा इंक्रीजिंग क्लियर अब मान लो सवाल में स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग पूछता तो क्या करते फॉर स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग अगर मान लो स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग कहता तो क्या करते तो स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग के लिए सर यहां पर एड एक् कैसा होता लेसन जीरो और एड क्या था माइट टाइम्स 2 प् एक्स लेसन जी तो यहां से 2 प् एकस क्या हो जाता ग्रेटर दन 0 तो ग्रेटर दन माइट यानी कि हम क्या कंक्लूजन से लेकर इनफिट तो यहां पर एड एक्स क्या होगा लेसन जीरो एंड एफ एक क्या होगा विल बी स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन क्या होगा सर स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग फंक्शन ठीक है क्लियर है तो दिस इज द ओवरऑल कांसेप्ट आई थक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है आ जाओ नेक्स्ट क्वेश्चन पर चलते हैं फटाफट अगला सवाल आपके स्क्रीन पर ये रहा कह रहा है सर वैल्यूज ऑफ द एक फॉर विच द फंक्शन f एक कह रहा है कि कहां पर डिक्रीज करेगा ठीक है चलो आ जाओ जल्दी से फटाफट यह सवाल देखते हैं तो यहां पर सर गिवन f एक क्या दिया गया है f = 2+ 3x - x क ठीक और बेटा हमें चाहिए क्या सर हमें डिक्रीजिंग फंक्शन चाहिए लेकिन कुछ भी चाहिए हो सबसे पहला काम सबसे पहला काम आपको f एक् निकालना है तो क्या हो जाएगा 3-3 एक स् यानी कि हो गया सर 31 माइन एक्स स् यानी हो गया सर 31 प् एक्सव माइ एक्स आ गया ठीक है क्लियर तो बेटा अगर हम इसमें से माइनस को बाहर ले लेते हैं तो हम इसको लिख सकते हैं माइनस 3 टाइम x प्व एकस माइव हम f एक्स को इस से लिख सकते ठीक है क्लियर अब र यहां पर हमें डिक्रीजिंग चाहिए बेटा तो सबसे पहला डिक्रीजिंग देख लेते हैं फॉर डिक्रीजिंग फंक्शन यहां पर अभी एक छोटी सी बात आपको समझाऊ ध्यान रखना फॉर डिक्रीजिंग फंक्शन ठीक डिक्रीजिंग फंक्शन के लिए सर एड एक् क्या होना चाहिए लेसन जीरो होना चाहिए ध्यान रखना अगर यहां पर डिक्रीजिंग है तो बेटा यहां पर इक्वलिटी लगाओगे ठीक है अगर देखो अगर कहीं पर स्ट्रिक्टली इंक्रीज कह रहा है तो यहां पर इनक्व ग्रेटर देन अगर कहीं पर स्ट्रिक्टली डिक्रीज कह रहा है तो इक्वलिटी लेस देन ठीक क्लियर और अगर कहीं पर सिर्फ और सिर्फ इंक्रीज कह रहा है तो इनक्व ग्रेटर दन और इक्वल टू 0 लगाओगे और अगर कहीं पर सिर्फ और सिर्फ डिक्रीजिंग कह रहा है तो इनक्व लेस देन और इक्वल टू जीरो लगाओगे ठीक है तो ये बेसिक सी बात एक छोटी सी बात ध्यान रखना सब्जेक्टिव सवालों में इसका ध्यान रखना है ऑब्जेक्टिव सवालों में तो ऑप्शन से समझ आ जाएगा ज्यादा दिक्कत नहीं है लेकिन सब्जेक्टिव क्वेश्चन में ध्यान रखना अगर कहीं पर डिक्रीजिंग लिखा है तो इक्वलिटी लगेगी और अगर कहीं पर स्ट्रिक्टली लगा है तो इक्वलिटी नहीं लगेगी माइन्यूट सी बात है इंपॉर्टेंट है तो यानी कि यहां से क्या हो गया -3 टाइम्स x+ 1 x - 1 लेन इक्व टू 0 तो -3 से बेटा अगर माइनस से अगर हम डिवाइड करेंगे तो क्या हो जाएगा इक्वलिटी का साइन पलट जाएगा ठीक उसके बाद ्र से डिवाइड कर दो तो इक्वलिटी का साइन सेम रहेगा क्यों क्योंकि ी कैसा नंबर है पॉजिटिव नंबर अब क्या करेंगे क्रिटिकल पॉइंट वेकर मेथड अप्लाई करेंगे वेकर मेथड क्या कहता है यूजिंग वेकर मेथड वेवी कर्व मेथड क्या कहता है वे कर् मेथड बताओ क्रिटिकल पॉइंट एकस इ माइव दूसरा इ प्व है माइव एक्स प्व तो यहां पर प्लस यहां पर माइनस यहां पर प्लस अब जिस इंटरवल में प्लस है उसी को लिख लो तो यानी कि एक्स बिलोंग टू माइनस इनफिट टू माइव अच्छा अब देखो यहां पर बेटा इक्वलिटी लगी है तो यहां पर माइनस व पर क्लोज इंटरवल लगाएंगे ध्यान रखना और प्लस इनफा माइनस इट पर हमेशा ओपन इंटरवल लगाएंगे ठीक है तो दिस इ द सवाल का पहला पोर्शन दूसरा पोर्शन दूसरा है नहीं वैसे मैं बता दे रहा हूं आपको अगर मान लो फॉर इंक्रीजिंग फंक्शन अगर लिखना होता इसी को अगर मान लो यही सवाल इंक्रीजिंग होता तो क्या करते फॉर इंक्रीजिंग फंक्शन ठीक इंक्रीजिंग के लिए क्या होता एड एक् इ -3 एक -1 एकस प्व ग्रेटर जी होता ठीक है तो यहां से बेटा अगर हम माइनस से मल्टीप्लाई करते तो क्या हो जाता x-1 एक् प्व लेसन और इक्वल टू 0 ठीक है तो यहां पर हम दोबारा वेकर मेथड लगाते तो दिस इज द माइनस व एंड दिस वन इ द प्लस व वैसे एक ही बार करने की जरूरत होती है अगर एक ही सवाल में पूछा है तो तो यानी कि यहां पर बेटा इंटरवल कहां से कहां लेते एक्स बिलोस टू माइव सेव ठीक है क्लियर तो फॉर डिक्रीजिंग x यहां से यहां लाई करेगा और फॉर इन इंक्रीजिंग अगर यही सवाल में कहता तो इंक्रीजिंग के लिए हम इस तरीके से कर रहे होते हैं आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है ठीक है आ जाओ बेटा कुछ एक सवाल और देखते हैं अभी आपको और क्लेरिटी आएगी डोंट वरी नेक्स्ट क्वेश्चन आपकी स्क्रीन पर यह रहा अगला क्वेश्चन आपकी स्क्रीन पर यह रहा देखो क्या लिखा है बाबू शो दैट द फंक्शन यह फंक्शन ये लंबा चौड़ा फंक्शन दिस वन यह कह रहा है कि स्ट्रिक्टली डिक्रीज करेगा कहां से कहां तक सर पाई बाटू से लेकर पाई के बीच में यह सवाल है देखते हैं क्वेश्चन क्या कह रहा है सर तो भैया यहां पर f एक इट आपको क्या दिया है यह दिया गया 16 सा एक् अपन बेटा सबसे पहला काम आपको एड एक से निकालना है चलो निकालो फटाफट तो यार f एक् क्या हो जाएगा देखो यहां पर तो बेटा हम य बावी मेथड लगाएंगे डिवीजन का तो ये हो जाएगा 4 प्स कॉ x का होल स्क्वायर तो पहले ऊपर वाले का करेंगे तो ये हो जाएगा 16 क एक सही लिखा है मैंने बिल्कुल सही लिखा है माइनस अब 16 सा को ए इट इज रखेंगे नीचे वाले का डेरिवेटिव करेंगे 4 का0 क x का क्या हो जाएगा माइनस सा एक हो जाएगा और एकस का -1 हो जाएगा ठीक इ इक्वल टू अच्छे से करना तसल्ली से करना ठीक है यहां पर एक छोटा सा मिस्टेक है यहां पर मैंने 4 प् कॉ x नहीं लिखा है ना तो यहां पर 4 प् कॉ x भी लिखा होना चाहिए 16 कॉस एक और यह हो गया भैया 4 प्स कॉस एक एज इट इज रखेंगे माइनस 16 साइ एक ए इट इज रखेंगे और 4 प् कॉ एक का माइनस सा एक रखेंगे एंड मानव ठीक है दिस इ द थिंग तो अब यहां से जरा इसको सिंपलीफाई करते तो ये हो गया 64 क x प्लस 16 कॉस स् एक माइनस माइनस प्लस 16 साइ स्क्वा एक् ठीक माइनस यहां से हो जाएगा देखो 4 प् क x का होल स्क्वायर पूरा डिवाइडेड बाय 4 प् क x का होल स्क्वायर यही आ गया सर हमारे पास f ठीक अब इसको सिंपलीफाई करते हैं प् सा स् तोय तो हो जाएगा य से 16 निकल आएगा अब इसको जरा ओपन करते हैं तो भैया यहां सेस बराबर इ इक्वल टू कितना हो गया नीचे तो हो जाएगा 4 प्स कॉस का होल स्क्वायर ऊपर कितना बन रहा 64 कॉस एकस प् 16 64 कॉस एकस प् 16 माइन 4 प् क काल स्क्वा इसको ओपन करके लिखना है बेटा प् क स् x 4 प्लस है ना हां + 8c x ठीक है क्लियर तो दिस इज द थिंग यार तो यहां से देखो 16 से 16 तो कैंसिल हो गया है ना 64 में से 8 घटा दो तो चार और चार उधर यानी कितना हो गया 56 * क x आ गया माइनस का क स्क्वा x डिवाइडेड बाय 4+ क x काल स्क्वायर आ गया f एक तो अगर इसको थोड़ा सा और सिंपलीफाई करके अगर मैं लिख दूं तो यह क x तो आ जाएगा कॉमन और यहां पर आ गया 56 माइ क x तो यह हो गया सर 4 प् क x का होल स्क्वायर ठीक है तो दिस इज द थिंग यार अब जरा यहां पर समझना बेटा अब 4 प् क x का होल स्क्वायर किसी भी चीज का स्क्वायर तो हमेशा ग्रेटर दन 0 होगा 4 जोड़ेंगे तो यस सी बात है ग्रेटर दन 0 होगा यार क x हमेशा -1 सेव के बीच में लाई करता है तो 56 जोड़ेंगे तो यह वाला टर्म तो हमेशा ही पॉजिटिव आएगा हां या ना यानी कहने का मतलब क्या है यह पूरा टर्म तो हमेशा ही पॉजिटिव आ रहा है यानी कि f का साइन किस पर डिपेंड कर रहा है सिर्फ और सिर्फ क x पर डिपेंड कर रहा है तो यहां से लिख लो सिंस साइन ऑफ f एक् ओनली डिपेंड्स ऑन साइन ऑफ किस पर साइन ऑफ क x पर हा या ना ठीक है तो यार अगर हम इसके ग्राफ से अगर मैं समझाऊं तुम्हारे को तो क x का ग्राफ कैसा बनता है इस तरीके से बनता है हा या ना क एक का ग्राफ कैसा बनता है इस तरीके से ठीक तो यह होता है सर जीरो दिस इज द पाई बाटू और यहां कहीं पर पाई होता है है ना तो आप यह देख सकते हो बेटा जब एक्स जीरो से लेकर पाई के बीच पाई बाटू के बीच में है है ना देखो इ एक्स बिलोंग टू जीरो से लेकर पाई बाटू तो तो यहां पर क x कैसा है क x पॉजिटिव है अगर क x पॉजिटिव है तो f एक्स क्या होगा पॉजिटिव होगा और अगर एड एक् पॉजिटिव है तो f एक क्या बोलोगे इंक्रीजिंग फंक्शन सेम सी तरीके से इफ x बिलोंग टू पाई बाटू से लेकर पाई अगर हम ले लेते हैं तो यार यहां पर क x देखो नीचे यानी क x क्या हो जाएगा लेसन जीरो हो जाएगा यानी कि अगर क x लेन 0 तो f एक ले जी तो fx2 से लेकर पाई के बीच में तो यह आप देख सकते हो अब यहां पर आपका एक सवाल आएगा कि सर क्या यही इंटरवल होंगे जहां पर ये इंक्रीज डिक्रीज करेगा ऐसा नहीं है बेटा ढेर सारे इंटरवल होंगे ये तो मैंने बस एक इंटरवल लिखा हुआ है यह इनफैक्ट - p / 2 से लेके पा यियन 3p / 2 से लेके 5p / 2 जितने भी ऑड मल्टीपल ऑफ़ पा / 2 का इंटरवल है जैसे है ना पा / 2 - पा / 2 से लेके पा / 2 3p / 2 से लेके 5p / 2 है ना जितने भी ऑड मल्टीपल ऑफ़ पा / 2 का इंटरवल बन रहा है वहां पर यह क्या हो रहा है पॉजिटिव हो रहा है और जो यह पा / 2 से लेके 3p / 2 है ना यहां पर 5p / 2 से लेकर 7 पाई बा 2 इस तरीके का जो भी बन रहा है यहां पर ये डिक्रीज हो रहा है तो यही चीज हमारे को प्रूफ करनी थी आई थिंक सभी बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है हेंस प्रूव्ड ठीक है यार क्लियर अच्छा अगर किसी बच्चे को यह ग्राफ से नहीं समझ आए तो मैं आपको एक तरीका और बताता हूं क्वाड्रेंट सिस्टम का तो अगर आपको यह ग्राफ नहीं समझ आए तो आप क्वाड्रेंट सिस्टम की हेल्प ले लो कि सर क्वाड्रेंट सिस्टम में यहां पर सारे के सारे साइन पॉजिटिव होते हैं अगर कोई भी थीटा रो से लेकर पाई बा 2 के बीच में है तो यहां पर आप देख सकते हो क थीटा पॉजिटिव है और अगर कोई भी थीटा पा / 2 से लेके पाई के बीच में है तो यहां पर आप देख सकते हो कि क थीटा लेसन 0 है तो आप एग्जामिनर को किसी भी तरीके से दिखा सकते हो चाहे क्वाड्रेंट सिस्टम से चाहे आप ग्राफ से दोनों ही बेटा इक्वली इंपॉर्टेंट है मतलब दोनों इक्वली सही है कोई भी दिक्कत वाली बात नहीं है कई सारे लोग कहते हैं ना कि बोर्ड के टाइम पे ग्राफ मत यूज करो भाई बोर्ड में आपको ग्राफ पढ़ाते ही नहीं है इसी वजह से हर कोई मना कर देता है अदर वाइज इ मैथ विदाउट ग्राफ इज द बेटा नथिंग मैथ बिना ग्राफ के कुछ भी नहीं है समझ रहे हो तो अच्छी तरीके से सभी मेरे बच्चे ध्यान में रखना ठीक है बाबू क्लियर है सभी को हां या ना जल्दी से देखो एक बार फटाफट ठीक है सर सब कुछ एकदम अच्छी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है है ना चलो आ जाओ जल्दी से एक सवाल एक सवाल करते हैं बहुत अच्छा क्वेश्चन है सभी मेरे बच्चे जरा देखो लिखा है सर इंटरवल इन विच द फंक्शन जिसमें ये वाला फंक्शन क्या कर रहा है सर डिक्रीज कर रहा है तो क्या है सर पॉलिनो सबसे पहला काम f ' एक निकालो वेवी कर मेथड का यूज करो उसके बाद साइन कन्वेंशन चेक करो ठीक तो यहां पर f एक हमारे को दिया गया है तो क्या हो जाएगा टू 6 एक्स स् माइनस 6 एकस माइनस का 12 तो यार स लेलो कॉमन य हो गया एकस स्क्वा माइनस एक्स माइन 2 तो यहां से क्या हो गया 6 एक्स स्क्वा माइन 2 एक्स प् एक्स माइ 2 इसको सॉल्व करो ये हो जाएगा x माइ 2 x प्व एड एक्स यही हो गया हा या ना अब इसमें कह रहा देखो फॉर डिक्रीजिंग है ना हमें डिक्रीजिंग देखना है तो चाहे हमें इंक्रीजिंग डिक्रीजिंग कुछ भी देखना है आप हमेशा क्या करोगे वेवी कर मेथड यूज करोगे यूजिंग वेवी कर्व मेथड तो वेवी कर्व मेथड क्या कहता है कि सर अगर हमारे पास यहां पर जो भी क्रिटिकल पॉइंट है लिख लो x = -1 एक ट 2 यहां से प्लस चालू करो अल्टरनेट प्लस माइनस प्लस ठीक तो जहां पर जिस इंटरवल में साइन पॉजिटिव वहां पर इंक्रीजिंग जहां पर नेगेटिव वहां पर डिक्रीजिंग तो यानी कि सिंस x बिलोंग टू माइनस इनफा टू -1 यूनियन ू से लेके इनफिट यहां पर f ' एक क्या हो रहा है सर यहां पर f ' एक ग्रेटर और इक्वल टू 0 हो रहा है यानी कि सर f एक कैसा हो रहा है f एक विल बी इंक्रीजिंग और अगर x -1 से लेकर टू के बीच में है तो यहां पर यार एड एक् क्या हो जाएगा सर लेसन जीरो तो यहां से सर f एक क्या हो जाएगा डिक्रीजिंग फंक्शन ठीक है तो दिस इज द थिंग तो यानी हमारा करेक्ट आंसर क्या आ गया डिक्रीजिंग का माइव से टू शुड बी द राइट आंसर ठीक है भैया क्लियर है सभी को कोई भी दिक्कत नहीं होना चाहिए सर नहीं होना चाहिए ठीक है चलो आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है आ जाओ नेक्स्ट क्वेश्चन पर आगे चलते हैं ठीक चलो आ जा नेक्स्ट क्वेश्चन आपकी स्क्रीन पर यह रहा इसमें बताना कि सर यह कहां पर डिक्रीज करेगा तो सबसे पहला काम क्या करेंगे भैया f एक निकालेंगे तो क्या हो गया / 12 ये हो गया बेटा 12 एक्स क्य प् 12 एक्स स् स् माइनस का 12 इन 2 ये कितना हो जाएगा 24 एक ठीक तो ऊपर से 12 आप ले लो कॉमन नीचे हो गया 12 यह हो गया एकस क्य प्स एक्स स्क्वा माइनस का 2 तो -2 एक तो 12 से 12 कैंसिल ये हो गया एकस एक्स स्क्वा प् एक्स माइनस काट तो अभी भी इसका फैक्टराइजेशन करा था वही सेम फैक्टराइजेशन यहां पर भी हो जाएगा यानी कि हो गया सर x + 2 x - 1 ठीक तो यहां पर बेटा आप यह वाले x को x - 0 लिख सकते हो तो यानी कि अगेन यहां पर हम क्या करेंगे वेवी करर मेथड का यूज करो रियल लाइन बनाओ तो x = -2 x = 0 x = + 1 जितने भी क्रिटिकल पॉइंट है सारे क्रिटिकल पॉइंट को लिखना है यहां पर x - 0 x = -2 x = + 1 तो यहां से शुरुआत प्लस माइनस प् माइनस ठीक जिस इंटरवल में यार मा माइनस है वहां पर यह डिक्रीज करेगा ठीक तो यहां पर लिखो सिंस एक्स बिलोस टू माइनस इनफिट टू माइट देखो डिक्रीज इंक्रीज क रहा है यूनियन जीरो से लेकर न यहां पर एड एकस क्या कर रहा है लेसन जीरो तो यहां पर f एक कैसा फंक्शन होगा डिक्रीजिंग और अगर यही एक माइट से लेकर जी के बीच में यूनियन वन से लेकर इनफिट है यहां पर एड एक क्या हो रहा है पॉजिटिव तो यहां पर f एक कैसा हो जाएगा इंक्रीजिंग फंक्शन ठीक है तो दिस इज द थिंग बेटा तो हमसे पूछा क्या है हमसे डिक्रीजिंग पूछा है तो माइनस इनफिट से लेके माइनस दो यूनियन जीरो से लेके न तो दिस शुड बी करेक्ट आंसर ठीक है अब कई सारे बच्चों का सवाल होगा कि सर यह तो यहां पर क्लोज लगा रखा है लेकिन ऑप्शन में तो तो इसको लेकर कभी कंफ्यूज मत करना ठीक है कई बार आप ऐसा देखोगे आपसे सवाल में इंक्रीजिंग डिक्रीजिंग दिया रहेगा लेकिन ऑप्शनल सवालों में कई बार कोई ये क्लोज ब्रैकेट नहीं लगाते मेनली इंक्रीजिंग डिक्रीजिंग कहने का मतलब ऑटोमेटिक स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग होता है यह ऑब्जेक्टिव सवालों में जिस हिसाब से ऑप्शन है बेटा उस हिसाब से आप देख लेना लेकिन जब आप सब्जेक्टिव क्वेश्चन करोगे तो इक्वलिटी का विशेष ध्यान रखोगे तो ऐसे सवालों में इक्वलिटी जरूर लगाओगे ठीक है क्लियर है सभी बच्चों को हां या ना आई थिंक सभी को अच्छी तरी से क्लियर है बहुत बढ़िया ग्रेट यार तो इसके बाद यार यहां पर देखो हम लोग अब आगे जो इसका अगला सेगमेंट है बेटा दैट इज द मैक्सिमा एंड मिनिम जो एप्लीकेशन ऑफ डेरिवेटिव का सेकंड पोर्शन है मतलब आप ये समझ लो कि इन्हीं दोनों से बेटा सवाल आते हैं मोस्ट ऑफ द क्वेश्चन सारे के सारे इसी पर आते हैं केस बेस स्टडी के सवाल भी आते हैं केस बेस स्टडी के सवाल हम अलग से देखेंगे लेकिन जो इसका कांसेप्चुअल पोर्शन है मेनली बस यही दो ही है अब जरा बेटा लोकल मैक्सिमा लोकल मिनिम एट पॉइंट हम जरा देखते हैं ठीक है इसका एक नाम और है लोकल मैक्सिमा लोकल मिनिम एट पॉइंट इसका एक नाम और होता है सर रिलेटिव मैक्सिमा रिलेटिव मिनिम ठीक है रिलेटिव मैक्सिमा रिलेटिव मिनिम रिलेटिव मिनीमा ठीक है इसका तो बेटा यह दोनों नाम अगर कहीं पर लिखे तो इन दोनों बातों को अच्छी तरीके से ध्यान में रखना तो अब जरा इसको समझते हैं कि आखिरकार ये डेफिनेशन क्या कहती है देखो आसान सा है ज्यादा कुछ इसको कॉम्प्लिकेटेड नहीं करते अगर मान लो हमारे पास कुछ इस तरीके की सिचुएशन है एक केस यहां पर ले लेते सर इस तरीके का और दूसरा केस भैया ले लेते सर इस तरीके का ठीक अब यहां पर हमारे पास एक पॉइंट है लेटस से दिस पॉइंट इ ए यह पॉइंट हम ले लेते ए और अब बेटा अगर हमें यह बताना है कि सर इस पॉइंट पर यह मैक्सिमा है या मिनिम है कि क्या है तो आप क्या करोगे ए यजल वही काम जो अभी तक हम कर रहे थे सर यहां पर हम इसके नेबरहुड में यानी कि इसके पड़ोसी में सर हम दो पॉइंट ले लेंगे ठीक एक पॉइंट इससे बड़ा और एक पॉइंट इससे छोटा ले लेंगे ध्यान से समझना हमने क्या करा इसके पड़ोसी में एक इससे बड़ा पॉइंट ले लिया और एक इससे छोटा पॉइंट ले लिया ठीक अब यहां पर कंक्लूजन हम क्या देंगे जरा ध्यान से इसको समझना कंक्लूजन को कंक्लूजन यहां पर हम ये दे रहे हैं सिंस जो ए प् एच है यह बड़ा होगा ओबवियस सी बात है ए से लेकिन जो ए ए पर वैल्यू है ए पर ये देख रहे हो सबसे बड़ी है तो यहां पर ए पर वैल्यू बड़ी है किससे f ऑफ ए + h से सिंस जो a है यह बड़ा है a - ए से लेकिन अभी भी ए पर वैल्यू बड़ी है किससे f ऑफ ए - h से यानी कहने का मतलब यह है कि अगर किसी भी पॉइंट पर वैल्यू उसके आसपास की वैल्यूज से बड़ी है देखो ए पर वैल्यू इसके आसपास की वैल्यूज से बड़ी है तो हम x = a पर क्या बोलेंगे दिस इज द पॉइंट ऑफ लोकल मैक्सिमा तो x = a क्या हो जाएगा पॉइंट ऑफ लोकल मैक्सिमा जरा ध्यान से समझना बेटा इस चीज को पॉइंट ऑफ लोकल मैक्सिमा हो जाएगा ठीक है क्लियर हां या ना सेम उसी तरीके से अब यहां पर जरा हम दो पॉइंट लेते हैं लेट्स से हमें यहां पर बताना है x = a तो बेटा यहां पर एक इससे बड़ा पॉइंट लेंगे एक इससे छोटा पॉइंट लेंगे दिस इज द a प् h और ये हो गया सर a - ए ठीक अब यार यहां पर देखो सिचुएशन क्या बन रही है सिंस a + h ओबवियस बात है बड़ा होगा a से लेकिन जो ए पर वैल्यू है यह छोटी होगी किससे f a + h से आप ये हाइट देख सकते हो सिंस जो a है यह बड़ा होगा a - h से लेकिन ए पर वैल्यू ओबवियस सी बात है छोटी होगी किससे f ऑफ a - h से ठीक है क्लियर तो यहां पर आप देख रहे हो अगर किसी भी पॉइंट पर वैल्यू उसके आसपास की वैल्यूज से अगर छोटी है तो बेटा इस पॉइंट को हम क्या बोलेंगे पॉइंट ऑफ मिनीमा बोलेंगे तो यानी सर x = ए क्या हो जाएगा पॉइंट ऑफ लोकल मिनिम ठीक है क्लियर है सभी मेरे बच्चों को हां या ना तो दिस पॉइंट विल बी पॉइंट ऑफ लोकल मिनिम क्लियर है सभी को तो दिस इज द थिंग बेटा आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है एक बार को मैं दोबारा कं साइज करता हूं अच्छा इसका नाम रिलेटिव मैक्सिमा रिलेटिव मिनीमा क्यों है क्योंकि यह अपने आसपास की वैल्यूज के कंपैरिजन में सबसे बड़ी वैल्यू है तो जब भी हम किसी से कप करते तो वहां पर रिलेटिव का टर्म यूज होता है मतलब इस पॉइंट के रिलेटिव में यहां पर सबसे बड़ी वैल्यू है इस पॉइंट के रिलेटिव में यहां पर सबसे बड़ी वैल्यू है देन दिस पॉइंट इज द पॉइंट ऑफ लोकल मैक्सिमम यहां पर इस पॉइंट पर वैल्यू इसके रिलेटिव में छोटा है दैट इज वाई दिस इज द पॉइंट ऑफ लोकल मिनिम आई थिंक सभी मेरे बच्चों को ी तरीके से क्रिस्टल क्लियर होना चाहिए तो अब आ जाओ जल्दी से इस पर बेस कुछ एक सवाल देखते हैं फटाफट धुआधार तरीके से सबसे पहला क्वेश्चन आपकी स्क्रीन पर यह रहा फाइंड द लोकल मिनिमम वैल्यू लोकल मिनिमम वैल्यू ऑफ द फंक्शन ठीक है तो लोकल मिनिमम वैल्यू जहां पर रियल नंबर तो बेटा अन हम क्या करेंगे सर यहां पर इसका ग्राफ ड्र कर लेंगे इ म एक प् 2 का ग्राफ कैसा बनता है इस तरीके से बनेगा दिस इ द 0 तो बेटा इसकी लोकल मिनिमम वैल्यू कहां पर है सर एट एक्स 0 पर ठीक तो अगरवा इ मोड एक्स प् 2 है ना इसकी लोकल मिनिमम वैल्यू इसकी लोकल मिनिमम वैल्यू कितनी है लोकल मिनिमम वैल्यू है दो कहां पर है ट x = 0 पर ट x = 0 पर वैल्यू कितनी है वैल्यू हम क्या बताते हैं वैल्यू बेसिकली f एक की वैल्यू है बेटा तो fx2 है दो से इनफाइकिल 0 पर तो यहां पर हमसे लोकल मिनिमम वैल्यू पूछ रहा है तो वैल्यू कितनी है ू इज द करेक्ट आंसर ठीक नेक्स्ट क्वेश्चन आता है मिनिमम वैल्यू ऑफ दिस वन देख रहे हो मिनिमम वैल्यू कह रहा है इसकी तो क्या करेंगे सर अगेन मॉडल फंक्शन का ग्राफ है यार कैसा बनेगा x इ 1 बाटू पर ये नॉन डिफरेंशिएबल होगा इस तरीके से तो यह हो जाएगा सर 1 बाटू 0 तो इसकी लोकल मिनिमम वैल्यू कितनी है यहां पर तो ओबवियस सी बात है जीरो है तो लोकल मिनिमम वैल्यू लोकल मिनिमम वैल्यू है जीरो कहां पर एट एक्व बाट पर इसको ऐसे समझ सकते जो वैल्यू हम बताते हैं ववा की वैल्यू होती है किस एक्स पर है वो एक्स इव बाटू ठीक है बेटा क्लियर आई थंक सभी मेरे बच्चों को अी तरीके से क्लियर है अब य पर नोट बना के लिखो ठीक है नोट बना के लिखो य पर नोट नीदर मैक्सिमा नॉर मिनिम नीदर मैक्सिमा नॉर मिनिम नीदर न और मिनिम का मतलब क्या होता है देखो इसका मतलब यह होता है अगर मान लो कोई फंक्शन इस तरीके का है कि लगातार बढ़ता जाए या मान लो कोई फंक्शन इस तरीके का है लगातार गिरता जाए तो यह देख सकते हो कि सर यहां पर कोई मैक्सिमम मिनिमम वाला पॉइंट आ रहा है सर यहां पर कोई मैक्सिमम मिनिमम वाला पॉइंट नहीं आ रहा है आ रहा है क्या नहीं आ रहा ना यह तो लगातार बढ़ता जा रहा है लगातार गिरता जा रहा है यानी दोनों क्या कैसे केसे है नीदर मैक्सिमा नर मिनिम के केसेस ऐसे भी कह सकते हो कि सर कोई फंक्शन लगातार या तो इंक्रीज करे या तो लगातार डिक्रीज करे सर दोनों ही फंक्शन कैसे हो जाएंगे नीदर मैक्सिमा नॉर मिनिम कास ठीक है क्लियर आई थंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है अब आ जा नेक्स्ट कांसेप्ट है बेटा एक्सट्रीमा एक्सट्रीमा किसे कहते हैं देखो एक्सट्रीमा का मतलब यह होता है बाबू इदर लोकल मैक्सिमा इदर लोकल मैक्सिमा और और लोकल मिनीमा ठीक दोनों को ही हम एक्सट्रीमा कहते हैं अब जरा इसका कांसेप्ट समझना एक्सट्रीमा का जैसे मान लो अगर हमारे पास यहां पर कोई भी एक कर्व है इस तरीके से ठीक यह हमारे पास कोई भी कर्व है कुछ एक पॉइंट्स यहां पर बना लो ठीक नाम दे देना ए बी सीडी इस तरीके से नाम दे देना इसका ए बी सीडी ठीक है तो बेटा अगर हम यहां पर स्लोप ड्र करते ए पर तो आप यह देखो यहां पर स्लोप किसके पैरेलल है दिस इज द एक्स एक्सिस हा या ना तो र यस सी बात है यहां पर सर थीटा जीरो होगा थीटा अगर जीरो होगा तो सर न थीटा जीरो होगा न थीटा अगर जीरो होगा तो यहां परवा बाडी एक क्या होगा जीरो होगा क्यों क्योंकि स्लोप जीरो होगा वैसे भी समझ सकते हो कि कोई भी लाइन अगर एक्स एक्सिस के पैरेलल है तो सर यहां पर स्लोप जीरो होता है सेम इसी तरीके से यहां पर भी स्लोप जीरो होगा सेम इसी तरीके जैसे यहां पर भी स्लोप जीरो होगा इस पॉइंट पर भी स्लोप जीरो होगा और यहां पर भी स्लोप जीरो होगा यानी कि सर हम लिखना अगर चाहे तो या हम यहां पर क्या लिख सकते हैं f ' b = 0 यहां पर क्या लिख सकते हैं f ' c = 0 यहां पर क्या लिख सकते हैं f'd = 0 यहां पर क्या लिख सकता है f ' e = 0 यानी कहने का मतलब क्या हो गया कि सर अगर हमारे पास कोई भी फंक्शन है जहां पर ये फंक्शन घूमता है या जहां पर इसकी मैक्सिमम वैल्यू है जहां पर इसकी मिनिमम वैल्यू है यहां पर इसका क्या होता है बेटा जीरो होता है ठीक है तो यहां पर आप इस पॉइंट को बना के लिख लो एट द एक्सट्रीमा एट द एक्सट्रीमा डी वा बाडी एक्स क्या होता है सर जीरो होता है ठीक है क्लियर एक्सट्रीमा परवा बाडी एक् क्या होगा बेटा जीरो होगा ठीक या तो ऐसा लिख लो इ एड एक्स इफ ए एकस अटस एक्सट्रीमा एट एक्स इ ए पर देन एड ए बराबर क्या हो जाएगा जीरो हो जाएगा ठीक है क्लियर चलो आ जाओ जल्दी से फटाफट इस सवाल को करते हैं यहां पर देखो क्या लिखा हु भैया हमारे पास यहां पर एक फंक्शन दिया है कह रहा अटस लोकल मैक्सिमम वैल्यू ए पर तो आपको बताना है कि सर ए की वैल्यू क्या होगी ठीक तो यानी कि हम क्या बोलेंगे हम क्या बोलेंगे सिंस एफ एक्स अटस लोकल मैक्सिमम वैल्यू लोकल मैक्सिमम वैल्यू एट एक्स इव पर तो बेटा यहां से हम क्या बोल देंगे भव बराब 0 तो यार सबसे पहला काम f एक्स आप निकाल लो तो एक क्या हो जाएगा 4x क्यूब - 124 एक प् ए हो जाएगा बेटा तो यार यहां से f1 बराबर 0 कर दो तो हम हर जगह पर वन पुट कर देंगे तो 4 * 1 - 124 प् ए = 0 तो a की वैल्यू कितनी आ गई बाबू भैया 120 आ गई ठीक तो यानी कि 120 शुड बी द करेक्ट आंसर ठीक है क्लियर सभी मेरे बच्चों को हां या ना यह कांसेप्ट अच्छी तरीके से सभी बच्चों को क्लियर है बेटा बहुत बढ़िया ग्रेट र आ जाओ नेक्स्ट क्वेश्चन पर यह सवाल आई थिंक अब आप लोगों से हो जाना चाहिए जरा आप क्वेश्चन पढ़ो इस पर बेस लिखा यार द fx1 पर है तो वैल्यू ऑफ द k आपको बताना है सीधा-सीधा f ' -1 बराबर आप 0 कर दो तो f ' एक सबसे पहले तो निकाल लो ये हो जाएगा 3x स् माइनस का k तो यार f ' -1 क्या हो जाएगा ये हो जाएगा 3 - के बराबर जी तो के की वैल्यू कितनी आ गई थ आ गई ठीक है आसान सा कांसेप्ट है कि सर किसी भी पॉइंट पर अगर एक्सट्रीमा है तो सर वहां पर ए एक् बराबर 0 होगा या तो एक्सट्रीमा मतलब इदर लोकल मैक्सिमा या लोकल मिनिम ठीक है भैया क्लियर चलो बहुत अच्छी बात है अब नेक्स्ट कांसेप्ट इ बेटा क्रिटिकल पॉइंट ठीक है क्रिटिकल पॉइंट आखिरकार सर क्रिटिकल पॉइंट हम किसे कहते हैं जरा क्रिटिकल पॉइंट समझना ठीक यहां पर आप लिखो ि को भी हम थोड़ी देर में लिखते हैं पहले आप इसका कांसेप्ट समझ लो क्रिटिकल पॉइंट का अगर मान लो हमारे पास कोई भी फंक्शन है बेटा ठीक है अगर हमारे पास कोई भी फंक्शन है यहां पर यह सारे पॉइंट्स लिख लो ए बी सीडी ठीक है ए बी सीडी तो यहां पर क्या होगा सर यहां पर एड ए बराबर 0 हो जाएगा यहां पर क्या होगा एड बी बराबर 0 यहां पर क्या हो जाएगा सर एड सी बराबर 0 बेटा यहां पर क्या होगा यहां पर शार्प टर्न है यानी कि ए डडी बराबर डज नॉट एजिस्ट हो जाएगा ठीक एड क्या हो जाएगा सर डज नॉट एजिस्ट हो जाएगा ठीक तो कोई भी अगर हमारे पास फंक्शन है कहीं पर अगर f ' x = 0 है या डज नॉट एजिस्ट है बेटा ये दोनों चीजों को हम क्या कहते हैं क्रिटिकल पॉइंट कहते हैं ठीक है तो दोनों केसेस को हम क्या बोलेंगे क्रिटिकल पॉइंट तो यहां पर डेफिनेशन लिखो फॉर लिखो अ इफ वी हैव अ फंक्शन y = f x देन द क्रिटिकल पॉइंट देन द क्रिटिकल पॉइंट ऑफ वा इ एफ एक्स विल बी एट वा बायडी एक्स बराबर 0 या डी वा बायडी एक इ डज नॉट एजिस्ट ठीक है तो ये दोनों केसेस को बेटा हम क्रिटिकल पॉइंट लेते हैं जहां पर d बा d एक बराबर 0 हो या डज नॉट एजिस्ट है ठीक है तो जरा इसका एग्जांपल देखते हैं एक बार को फटाफट जैसे मान लोवा = मड x है ठीक है इसका फाइंड क्रिटिकल पॉइंट फाइंड क्रिटिकल पॉइंट तो कैसे बताओगे सर यहां पर y = मोड x का ग्राफ ड्र करेंगे ठीक तो यहां पर आप देख सकते हो शार्प टर्न तो यानी कि इ 0 क्या हो गया x = 0 क्रिटिकल पॉइंट हो गया ठीक जैसे मान लो y = मड x -1 अगर मान लो पूछे तो मड x -1 का ग्राफ किस तरीके से बनेगा इस तरीके से बनेगा 1 0 तो क्रिटिकल पॉइंट क्या हो गया x = 1 हो गया ठीक है क्लियर जैसे मान लो y = x स् - 1 इसका ग्राफ कैसा बनेगा एक्स स्क्वा का ग्राफ यहां से तो एकस स्क्वा मानव का एक यूनिट नीचे से तो यह कहां पर हो गया क्रिटिकल पॉइंट एक्स इ 0 पर ठीक एक्स इ 0 क्या हो गया क्रिटिकल पॉइंट हो गया क्लियर है तो आ इस पर एक सवाल देखते हैं बेटा यह क्रांतिक बिंदु का मतलब क्रिटिकल पॉइंट होता है तो एफ एक् आपको दिया गया है तो हमें क्रिटिकल पॉइंट बताना है तो फॉर क्रिटिकल पॉइंट क्या बोलोगे सर बराब 0 यानी कि 2 एक् माइ 2 बराबर 0 यानी कि ू टाइम्स एक्स माइव इ 0 यानी एक्स इ क्या हो गया सीप एक इव हो गया ठीक है क्लियर है सभी बच्चों को हा या ना जल्दी से बताओ नेक्स्ट क्वेश्चन पर आओ जल्दी से यहां पर हमारे पास य पॉइंट दिया गया ये कर्व दिया गया f तो हमें बेटा इसका क्रिटिकल पॉइंट कह रहा है ठीक है तो फॉर क्रिटिकल पॉइंट क्रिटिकल पॉइंट के लिए क्या करेंगे सर f ' एक बराब 0 कर दो तो ये हो जाएगा 3x स् + 2x + 1 = 0 यही हो जाएगा तो यार यहां पर अगर आप देखोगे बेटा इसका d d ब स् - 4ac होता है तो यार यहां से b स्क्वा कितना हो गया 2 स् - 4 c की वैल्यू व यानी क्या हो गया 4 - 12 यानी कि -8 तोर यहां पर d कैसा हो गया सर लेसन जीरो हो गया कि नहीं हां या ना और इसका a कैसा है पॉजिटिव है तो एक थोरम होती है अगर याद हो तुम लोगों को अगर a पॉजिटिव है और d नेगेटिव है तो भैया ऐसी जगह पर यह जो फंक्शन है यह क्या होता है पॉजिटिव होता है तो यानी कि जो ये f ' एक है ये क्या हो जाएगा f ' एक विल बी ग्रेटर दन 0 ठीक यानी कि f ' एक कैन नॉट बी इ इक्वल टू 0 ये जीरो हो ही नहीं सकता क्योंकि अगर d ले 0 होगा तो इसका कभी भी कोई भी रियल रूट आएगा ही नहीं रियल रूट नहीं आएगा तो क्रिटिकल पॉइंट नहीं आएगा ठीक तो यहां पर हम क्या बोलेंगे नो क्रिटिकल पॉइंट यहां पर कोई भी क्रिटिकल पॉइंट नहीं होगा क्यों क्योंकि इसका फैक्टराइजेशन ही नहीं होगा ना अगर डी लेसन जी है तो ठीक है तो क्या बोलेंगे सर डू नॉट एजिस्ट इ द करेक्ट आंसर ठीक है क्लियर बहुत बढ़िया अब जो सबसे ज्यादा काम की है वह चीज बेटा यहां से चालू होती है कहां से फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग से ठीक है जैसे हमने मोनोटोन सिटी में पढ़ा था इंक्रीजिंग डिक्रीजिंग में सेम ऐसे यहां पर भी जैसे मान लो हमारे पास ये एक फंक्शन है और इस पॉइंट पर बेटा हमें पता करना है कि x = ए पर यह मैक्सिमा है या मिनिम है तो हम कैसे पता करेंगे सर यहां पर लिख लेंगे x ए तो बेटा यहां पर प्रोसेस यह होता है कि आप इसके पहले स्लोप की डायरेक्शन देखो और इसके बाद आप स्लोप की डायरेक्शन देखो ठीक है तो इसके पहले आप स्लोप की डायरेक्शन देखो और इसके बाद आप स्लोप की डायरेक्शन देखो तो यहां पर सीन क्या हो रहा है यह आप देखो थ ले 90 डिग्री यहां पर पहले थीटा लेसन 90 है पहले थीटा लेसन 90 है यहां पर बेटा थीटा जीरो है फिर थीटा क्या हो रहा है ग्रेटर दन 90 हां या ना बताओ तो क्लियर आप यहां से समझ सकते हो कि किसी भी पॉइंट के पहले बेटा अगर स्लोप पॉजिटिव है ओ सॉरी अगर यार थीटा ले 90 डिग्री है तो यहां पर f एक् क्या होगा f ' एक पॉजिटिव होगा अगर थ = 0 है तो f एक बरा 0 होगा थीटा ग्रेटर दन 90 है तो यहां पर ए क्या होगा लेसन जीरो होगा यानी कि अगर पहले स्लोप पॉजिटिव बाद में स्लोप नेगेटिव और बीच में अगर स्लोप जीरो है तो ऐसे केस में इ ए क्या हो जाएगा पॉइंट ऑफ लोकल मैक्सिमा हो जाएगा ठीक है तो यहां पर आप लिखो साइन ऑफ एड एक्स साइन ऑफ एक् क्या हो क्या कैसा होगा बेटा अगर मान लो यहां पर एकस इ ए है इसके पहले अगर स्लोप पॉजिटिव है बाद में अगर स्लोप नेगेटिव है तो आप ऐसे सोचो कि स्लोप अगर पॉजिटिव यानी रेट ऑफ चेंज बढ़ेगा फिर स्लोप नेगेटिव यानी रेट ऑफ चेंज घटेगा यानी कोई ना कोई ऐसा पॉइंट जरूर होगा जहां पर इसकी मैक्सिमम वैल्यू होगी तो यहां पर एकस इ ए क्या हो जाएगा पॉइंट ऑफ लोकल मैक्सिमा और यहां से ए ऑफ ए क्या हो जाएगा यह हो जाएगी मैक्सिमम वैल्यू ठीक तो अगर मैक्सिमम वैल्यू पूछे तो यही की वैल्यू उठा के फंक्शन में पुट कर दो ठीक और x = a क्या होगा पॉइंट ऑफ लोकल मैक्सिमा ए क्या हो जाएगी मैक्सिमम वैल्यू सेम इसी तरीके से अगर मान लो हमारे पास यहां पर इस तरीके का बेटा कोई ग्राफ है और यहां पर हमसे साइन कन्वेंशन अगर पूछा जाए तो देखो अगर हम हर जगह पर टेंट ड्र करेंगे तो टेंट का साइन इस तरीके से नेगेटिव होगा फिर सर यहां पर टेंज क्या होगा पॉजिटिव होगा हां या ना तो सर यहां पर स्लोप हमारा ग्रेटर द 90° यहां पर थीटा हमारा ग्रेटर द 90 यहां पर सर थ = 0 यहां पर थ < 90 थ < 90° ठीक तो यार यहां पर अगर थ > 90d है तो यहां पर f ' x बराबर क्या हो जाएगा ले 0 यहां पर f ' x = 0 अब तो रट गया होगा यहां पर सर तो अगर हम यहां पर साइन ऑफ एड एक्स लिखते हैं साइन ऑफ एड एक्स तो साइन ऑफ f एक् कैसे लिखेंगे यहां पर क्रिटिकल पॉइंट लिखो x ए पहले स्लोप नेगेटिव बाद में स्लोप पॉजिटिव तो तुम ऐसा सोचो कि पहले अगर स्लोप नेगेटिव है यानी फंक्शन गिरा होगा फिर स्लोप पॉजिटिव है यानी फंक्शन उठा होगा यानी बीच में कोई ना कोई ऐसा पॉइंट आया होगा जहां पर फंक्शन की सबसे छोटी वैल्यू है तो यहां पर x इ ए क्या हो जाएगा लोकल मिनीमा और ए क्या हो जाएगा ए हो जाएगी सर इसकी मिनिमम वैल्यू ठीक है क्रिस्टल क्लियर सभी मेरे बच्चों को हा या ना तो दिस थ ठीक है तो अब इसका अगर हम निचोड़ लिख देते हैं निचोड़ है ना इंपॉर्टेंट नोट सबसे पहला अगर हमारे पास कोई भी पॉइंट है साइन ऑफ एड एक्स पहले स्लोप पॉजिटिव बाद में अगर स्लोप नेगेटिव है तो यानी कि बेटा यह क्या हो जाएगा पॉइंट ऑफ मैक्सिमा ठीक ए क्या हो जाएगा मैक्स वैल्यू क्लियर सेम इसी तरीके से दूसरा केस य हो सकता है कि अगर हमारे पास कहीं कोई भी पॉइंट है पहले स्लोप नेगेटिव बाद में स्लोप पॉजिटिव यहां पर x = a पॉइंट ऑफ मिनीमा ए क्या हो जाएगा मिनिमम वैल्यू ठीक नेक्स्ट है बेटा अगर मान लो हमारे पास पहले स्लोप पॉजिटिव है बाद में भी स्लोप पॉजिटिव है तो यार ये लगातार इंक्रीजिंग फंक्शन हो जाएगा और अगर ऐसा केस है पहले स्लोप नेगेटिव बाद में नेगेटिव तो यह लगातार डिक्रीजिंग इन दोनों केसेस को बेटा हम नीदर मैक्सिमा नॉर मिनिम भी कह सकता है ठीक नीदर मैक्सिमा नॉर मिनिम इसको हम इंक्रीजिंग और इसको हम डिक्रीजिंग भी कह सकते हैं इन टर्म्स ऑफ द इंक्रीजिंग एंड डिक्रीजिंग तो दिस इज द ओवरऑल निचोड़ यार आई थिंक सभी बच्चों को क्लियर है ठीक है अब जरा स्टेप टू फाइंड आउट मैक्सिम मिमा देखते आखिरकार यहां पर स्टेप क्या है बेटा इन स्टेप्स को हम फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग भी कहते हैं ठीक तो इसको भी नोट डाउन कर लेना तो यहां पर लिख लेना फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग ठीक है फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग क्या कहता है इसका रूल जरा नोट डाउन कर लेना सबसे पहला काम क्या होता है सर सबसे पहला काम फाइंड क्रिटिकल पॉइंट फाइंड क्रिटिकल पॉइंट्स ठीक कैसे सर d वा बा d एक बराबर 0 कर दो या डज नॉट एक्जिस्ट करके ठीक उसके बाद क्या करना है उसके बाद यूजिंग साइन कन्वेंशन ठीक यूजिंग साइन कन्वेंशन अगर किसी भी पॉइंट पर पहले स्लोप नेगेटिव बाद में पॉजिटिव तो दिस इज द पॉइंट ऑफ मिनीमा किसी भी पॉइंट पर पहले स्लोप पॉजिटिव बाद में नेगेटिव तो दिस इज द पॉइंट ऑफ मैक्सिमम तो यह तरीका होता है बेटा इसको करने का यह मेथड होता है इसको करने का ठीक है फर्स्ट ऑडर डेरिवेटिव टेस्टिंग का यह तरीका है अगर हमारे पास कोई भी पॉइंट कोई भी कर्व अगर लिख लेना यहां पर लेट वी हैव अ फंक्शन y इ f एक इन द डिफाइंड डोमेन ये नोट डाउन कर लेना इन द डिफाइंड डोमेन ठीक तो सबसे पहला काम क्रिटिकल पॉइंट साइन कन्वेंशन चेक कर लो इस तरीके से ठीक है तो आ जाएगा आज इस पर बेस क्वेश्चन करते हैं अभी आपको समझ आएगा जैसे यहां पर हमारे पास देखो एक फंक्शन लिखा हुआ है हमें यह बताना है कितने लोकल मैक्सिमा कितने लोकल मिनिम होंगे इस तरीके से तो क्या करेंगे सर सबसे पहला काम क्रिटिकल पॉइंट निकालेंगे तो फॉर क्रिटिकल पॉइंट बेटा पेपर में सीपी मत लिखना पेपर में फुल लिखना क्रिटिकल पॉइंट तो सर यहां पर f बराब 0 कर देते हैंड क्या हो जाएगा टू 6 एकस स् माइन 6 एक माइ 12 = 0 ठीक तो यहां से र हमारे पास क्या हो जाएगा x स् माइ एकस - 2 = 0 ये हो गया x स् -2x तो ये हो गया भैया x - 2x + 1 = 0 ठीक अब यहां पर क्या करेंगे सर यूजिंग फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग यूज करेंगे तो ये हो गया x = -1 यहां पर हो गया x = 2 तो प्लस माइनस प्लस ठीक तो भैया जहां पर स्लोप देखो जहां पर स्लोप पॉजिटिव है यहां पर फंक्शन इंक्रीज करेगा जहां पर नेगेटिव है वहां पर डिक्रीज करेगा तो सिंस x बिलोंग टू माइनस इनफिट टू -1 यूनियन टू से लेके इनफिट यहां पर f x कैसा है सर ग्रेटर दन 0 ओ सॉरी यार इस तरीके से नहीं करेंगे इसमें हमें हम यहां पर मैक्सिमा मिनिम देख रहे हैं बेटा है ना तो यहां पर देखो यहां पर सीन क्या हो रहा है सर यहां पर फंक्शन का स्लोप पॉजिटिव टू नेगेटिव यानी फंक्शन बढ़ा फिर यहां से गिरा ठीक तो यहां पर x = -1 क्या हो गया पॉइंट ऑफ मैक्सिमा x = 2 क्या हो गया बाबू पॉइंट ऑफ मिनिम ठीक तो दिस इज द हमारा फाइनल आंसर यानी वन मैक्सिमा एंड वन मिनिम इज द करेक्ट आंसर ठीक अब मान लो इसी में आपसे मैक्सिमम वैल्यू पूछता तो मान लो इसी में अगर आपसे मैक्सिमम वैल्यू पूछे इसकी मैक्सिमम वैल्यू बताओ तो मैक्सिमम वैल्यू क्या बोलोगे f ऑफ माइव अगर मान लो इसी में आपसे मिनिमम वैल्यू पूछता तो मिनिमम वैल्यू हो जाती f2 ठीक है तो इस तरीके से बेटा हम निकाल लेते f माइव कैसे निकालो हर जगह पर माइव पुट कर दो जो वैल्यू आ जाए वही है एट कैसे निकालो हर जगह पर ट पुट कर दो तो ट पुट करने के बाद जो वैल्यू आएगी व मिनिमम वैल्यू आ जाएगी आराम से क्लियर है सभी को हां या ना चलो नेक्स्ट आगे के कुछ एक सवाल अभी हम करते हैं सबसे पहले उसके पहले हम पढ़ लेते हैं सर सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग ठीक है तो सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग क्या है बेटा सीन क्या होता है जैसे अभी हमारे पास पॉलिनो मियल है ठीक है तो पॉलिनो अगर हमारे पास है आप इसको फैक्टराइजेशन करके साइन कन्वेंशन य से देख ले रहे हो प्लस माइनस प्लस एंड ऑल करके ठीक है लेकिन हमेशा ऐसा तो नहीं होगा कई बार को ऐसा भी हो सकता है कि आप साइन कन्वेंशन ना देख पाओ है कि नहीं मान लो कहीं पर ऐसी सिचुएशन है जहां पर आप साइन कन्वेंशन देख ही नहीं पा रहे हो जैसे मान लो अगर कहीं पर आपको आ जाए t x / x अ लेट्स से ये f ' x बराबर कुछ ऐसा सा बन रहा है अब इसमें साइन कन्वेंशन आप कैसे देखोगे नहीं देख पाओगे तो ऐसी जगह पर हम क्या करेंगे डबल डेरिवेटिव टेस्टिंग हम यूज करते हैं सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग यूज़ करते हैं तो जनरली आप कई जगहों पर ऐसा भी पढ़ा देखोगे कि अगर कहीं पर फर्स्ट ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग फेल हो जाए तो वहां पर सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग का यूज करते हैं जो कि गलत है ऐसा कुछ नहीं है आप सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव टेस्टिंग कहीं भी कर सकते हो ऐसा नहीं है कि फर्स्ट डर डेरिवेटिव टेस्टिंग का फेल होना जरूरी है नहीं अगर नहीं भी फेल है तो भी आप इसका यूज कर सकते हो ठीक है तो आप इसका रूल नोट डाउन कर लो लेट वी हैव अ फंक्शन वा इ एफ एकस इन द डिफाइंड डोमेन ठीक इसका रूल क्या है सबसे पहला काम फाइंड क्रिटिकल पॉइंट कैसे एज यूजुअल एड एक् बराबर 0 या डज नॉट एसिस्ट से दूसरा काम क्या करोगे फाइंड एफ डबल ड एक्स है ना या टवा बाडी एक स्क्वा ठीक आप क्या करोगे d2 बा d एक स् निकालो अब यहां पर सबसे इंपोर्टेंट पॉइंट आता है है ना अगर d 2y बा d एक स् का साइन किसी भी क्रिटिकल पॉइंट पर नेगेटिव है मान लो ट x = p पर तो यहां पर देन x = p विल बी क्या पॉइंट ऑफ मैक्सिमा ध्यान रखना मैक्सिमा के लिए डबल डेरिवेटिव का साइन नेगेटिव होना चाहिए किसी भी क्रिटिकल पॉइंट पर और अगर डबल डेरिवेटिव का साइन d2i / dx2 ग्रेटर दन 0 है किसी भी क्रिटिकल पॉइंट पर आ x = q पर देन x = q विल बी पॉइंट ऑफ मिनिम ठीक है तो अगर ड डबल डेरिवेटिव का साइन पॉजिटिव तो दिस इज द पॉइंट ऑफ मिनीमा डबल डेरिवेटिव का साइन नेगेटिव तो दिस इज द पॉइंट ऑफ मैक्सिमा ठीक है भैया क्लियर है सभी बच्चों को हां या ना जल्दी से एक बार देख लो फटाफट आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है ठीक है अब जैसे यही क्वेश्चन है लास्ट वाला यही सवाल हम लोग कर रहे थे अब इसको डबल डेरिवेटिव टेस्टिंग से करते हैं तो सबसे पहला काम हमने क्या किया था सर f x निकाला था ये हो गया था 6x स् - 6x माइ का 12 तो यहां से हो गया 6 एक स् - एक्स -2 तो फॉर क्रिटिकल पॉइंट एड एक्स बराबर हम 0 कर देंगे तो यहां से x स्क्वा माइ एकस माइ 2 = 0 तो यह हो जाएगा x स्क माइ 2x प् x माइ 2 = 0 तो यह हो जाएगा भैया x माइ 2 एक्स प्व तो क्रिटिकल पॉइंट क्या क्या आ गया x 2 और x = -1 आ गया ठीक अब मैक्सिमा मिनिम चेक करने के लिए क्या करेंगे डबल डेरिवेटिव इसका निकालेंगे तो d2 बा d एक स् इसका निकालो तो d2 बा d एक स् य से क्या हो गया य हो गया सर 2x माइव हो गया अब दोनों क्रिटिकल पॉइंट पर इसका साइन देखो तो d2 बाडी एक स्क्वा ए एक इट पर निकालो ये हो गया 4-1 = 3 यानी कि पॉजिटिव है यानी कि x 2 क्या हो गया दिस इज द पॉइंट ऑफ मिनीमा ठीक सेम सी तरीके से d2i बाडी एक स्क्वा x = -1 पर निकालो -2 = -3 यानी कि लेसन दिस वन तो x -1 क्या हो गया पॉइंट ऑफ मैक्सिमा ठीक है तो यही चीज उससे भी आया था यही चीज फर्स्ट ऑडर डेरिवेटिव टेस्टिंग से भी आया था यही चीज सेकंड र डेरिवेटिव टेस्टिंग से भी आ गया हां या ना क्लियर है सभी बच्चों को तो दिस इज द थिंग बेटा आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्लियर है ठीक बहुत बढ़िया ग्रेट यार तो आ जाओ एक सवाल करते हैं एक सेकंड हम ठीक है तो आज एक क्वेश्चन करते हैं बेटा हमें बताना क्या है सर इसकी मैक्सिमम वैल्यू बतानी है किसकी f इ टू दिस वन ठीक है अब ये सवाल में मैक्सिमम वैल्यू बतानी है तो यहां पर हम लिख सकते हैं टू फाइंड मैक्स वैल्यू ऑफ fx1 अप 4x स् + 2x + 1 तो बेटा यहां पर वी शुड फाइंड वी शुड फाइंड हम मिनिमम वैल्यू इसकी निकाल सकते हैं मिनिमम वैल्यू ऑफ 4x स् प् 2x + 1 हां या ना यार अगर इसकी मैक्सिमम वैल्यू निकालनी है तो हम नोमिन को क्या करते मिनिमम कर देते तो यानी कि अगर हम इसकी मिनिमम वैल्यू निकाल लेंगे तो ओवरऑल इसकी क्या हो जाएगी मैक्सिमम वैल्यू निकल आएगी तो बेटा यहां से मान लेते हैं कि लेट भैया यह है सर हमारे पास g एक इ टू 4x स् प् 2x + 1 हम इसकी मिनिमम वैल्यू निकालेंगे वही मिनिमम वैल्यू उठा के यहां पर पुट कर देंगे हमारे पास मैक्सिमम वैल्यू आ जाएगी बेसिक फंडा तो य यहां से हमारे पास ' x कितना हो जाएगा 4 * 2 8x + 2 तो इसका क्रिटिकल पॉइंट निकालते है फॉर क्रिटिकल पॉइंट ' x = 0 यानी 8x + 2 = 0 x = आ गया - 1/4 ठीक है क्लियर अब ये - 1/4 हो सकता है कि मैक्सिमा हो मैक्सिमम पॉइंट हो हो सकता है मिनिमम पॉइंट हो तो इसके लिए हम क्या करते हैं डड एक् आप चेक कर लो तो जी डड एक क्या हो जाएगा यानी d 2y बा d एक स् इसका तो ये तो हो गया 8 तो यार ये तो हमेशा ही पॉजिटिव है है ना यानी कि आप यहां पर कोई भी क्रिटिकल पॉइंट रखो ये तो हमेशा ही पॉजिटिव आएगा तो ये ट x = - 1/4 पर भी पॉजिटिव ही आएगा इस वजह से x = - 1/4 ये क्या हो गया दिस इज द पॉइंट ऑफ क्या दिस इज द पॉइंट ऑफ मिनीमा हां या ना क्यों क्योंकि ड ड x क्या हो गया ग्रेटर दन 0 तो x = - 1/4 क्या हो गया पॉइंट ऑफ मिनिम अब मिनिमम वैल्यू क्या होगी मिनिमम वैल्यू तो मिनिमम वैल्यू हो जाएगी g - 1/4 ठीक तो g - 1/4 कहां से निकलेगा यहां से निकलेगा अब इसको सॉल्व करो g ऑफ - 1/4 ठीक है तो g - 1/4 ये हो जाएगा 4 * - 1/4 का स्क्वा + 2 माइव बा फ प्व तो 1 बा फ का स्क्वायर फो कट जाएगा तो यह हो जाएगा 1/4 माइनस 2 बा फ प्व ठीक तोय हो जाएगा भैया माइव बा फ प्व यानी कि चार में से घटा दो य हो गया सर 3 बा फ ठीक है तो यानी कि जी की जो सबसे छोटी वैल्यू है यह कितनी आ गई सर 3 बा फ आ गई क्लियर तो बेटा हमें बताना क्या है हमें हमारे पास इसकी मिनिमम वैल्यू निकाल आई हमें चाहिए वल इसकी तो मैक्सिमम वैल्यू क्या हो जाएगी उा के बस यही चीज सब्सीट्यूट कर दो तो मैक्स वैल्यू ऑफ ए ऑफ एक्स यह क्या हो जाएगा न अपॉन जी मिनिमम तो यानी कि न अपॉन इसकी मिनिमम वैल्यू कितनी आई 3 बा फ तो यह हो गया यानी कि हो गया 4 बाथ शुड बी द करेक्ट आंसर ठीक है तो 4/3 इ द राइट आंसर यह जो हमने कहानी इतनी लंबी चौड़ी लिखी ठी है ना बेटा आगे चलके आपको इन्हीं कहानियों को बहुत ही आराम से आप कर लोगे हालांकि बोर्ड मेथड में तो आपको ऐसे ही करना पड़ेगा बोर्ड मेथड में आपको इसका कोई शॉर्टकट मैं बताने वाला नहीं हूं इन सबका शॉर्टकट होता है आप आराम से चुटकियों में आंसर निकाल सकते हो इस सवाल का इतनी नौटंकी बिना किए लेकिन मैं आपको बताऊंगा नहीं उसके पीछे का रीजन ये है क्योंकि वो आपके सिलेबस में नहीं होगा आपको बोर्ड लेवल प बेटा ऐसे ही करना पड़ेगा ठीक है भैया क्लियर है सभी बच्चों को हां या ना चलो अच्छी बात है ग्रेट यार एक सवाल और करते हैं अच्छा क्वेश्चन है इस सवाल में जनरली बहुत सारे बच्चे गलती करते हैं लिखा है मैक्सिमम स्लोप ऑफ द कर्व ध्यान रखना यहां पर स्लोप को मैक्सिमाइज करना है यह हमारे पास एक कर्व है इसके स्लोप की मैक्सिमम वैल्यू बेटा हमें निकालने है ठीक तो गिवन y इ ट - x क + 3 स् + 9x - 27 ठीक है र इसका स्लोप क्या हो जाएगा इसका स्लोप हो जाएगा सरवा बाडी एक तो यह हो जाएगा सर -3 एक्स स्क्वा टू 6 एक प् 9 ठीक यह हो गया स्लोप तो यार स्लोप को ले लेते हैं लेटज एक इट -3 एक्स स्क्वा प् 6 एक् प् 9 अब सवाल पता क्या कह रहा सवाल यह कह रहा है कि आप स्लोप की मैक्सिमम वैल्यू बताओ तो वी हैव टू फाइंड वी हैव टू फाइंड मैक्स वैल्यू किसकी मैक्सिमम वैल्यू ऑफ जी एक् की तो कैसे निकालेंगे ए यजल वही काम सबसे पहला काम जीड एक् क्रिटिकल पॉइंट निकालेंगे मैक्सिमा मिनिम देखेंगे किस पॉइंट पर आएगा उसके बाद उठाकर पुट कर देंगे तो यहां से कैसे क्या करेंगे तो यहां से जीड एक्स निकालो फॉर क्रिटिकल पॉइंट तो यहां से जीड एक् क्या हो जाएगा 3 टू 6x प् 6 ठीक बराबर 0 तो यानी कि यहां से आ गया सर x = 1 आ गया अब x = 1 पॉइंट ऑफ मैक्सिमा है कि मिनिम है तो इसका जी डड एक निकालो यह चीज जानने के लिए तो यह तो हो गया -6 यानी कि लेसन 0 किसी भी क्रिटिकल पॉइंट पर इसका जी डड एक क्या हो रहा है लेसन 0 इस वजह से x = 1 क्या हो गया इ पॉइंट ऑफ मैक्सिमा ठीक तो अगर यह पॉइंट ऑफ मैक्सिमा है तो इसकी मैक्सिमम वैल्यू क्या हो जाएगी तो मैक्स वैल्यू क्या हो जाएगी मैक्स वैल्यू यह हो जाएगी जी ऑफव तो यहां पर बेटा न उठा के पुट कर दो तो जीव मैक्सिमम वैल्यू हो जाएगी य हो गया माइनस 3 प् 6 प् ना 15 में से तीन घटा दो यानी कितना हो गया सर 12 आ गया तो शड बी द करेक्ट आंसर ठीक है क्लियर है यह क्वेश्चन अच्छा सवाल है इस सवाल में जनरली बच्चे गलती करते हैं और गलती कहां पर करते हैं मालूम गलती यहां पर करते हैं आप मैक्सिमम वैल्यू इसकी निकालने लग जाते हो जो कि गलत है यहां पर स्लोप की मैक्सिमम वैल्यू पूछ रहा है बेटा तो सबसे पहले आप स्लोप निकालो फिर स्लोप के ऊपर यह मैक्सिमा मिनीमा का कांसेप्ट आपको अप्लाई करना है तो दिस इज द डिफरेंस जहां पर जनरली बच्चे गलती करते हैं ठीक है क्लियर चलो बहुत अच्छी बात है मैक्सिमा मिनीमा का सबसे लास्ट कांसेप्ट ग्लोबल मैक्सिमा ग्लोबल गलोल मैक्सिमा ग्लोबल मिनीमा का एक नाम और भी होता है इसी को कहते हैं सर एब्सलूट मैक्सिमा या एब्सलूट मिनीमा ठीक इसी का एक नाम और होता है ग्रेटेस्ट वैल्यू इन डोमेन या लीस्ट वैल्यू इन अ डोमेन ठीक है ग्रेटेस्ट वैल्यू इन अ डोमेन या लीस्ट वैल्यू इन द डोमेन तो यह सब इसी के नाम है ग्लोबल मैक्सिमा ग्लोबल मिनिम लोकल दिस वन ठीक है तो सबसे पहली बात हम ना एक बहुत ही गहराई से बहुत ही एक अच्छी बात समझते हैं देखो एक पॉइंट एक अच्छे से एक कर्व बनाओ जैसे मैं बना रहा हूं ठीक है इस तरीके से कर्व बना लो अब यार यहां पर ढेर सारे पॉइंट है तो सारे पॉइंट को रिप्रेजेंट करो तो यह सारे पॉइंट आप बनाओ ठीक है भैया य पॉइंट का नाम दे देते हैं सर ए बी सी डी ई एफ जी एच आई जे के ठीक है यह सारे पॉइंट्स है अब या यस सी बात है यहां पर ढेर सारे पॉइंट है तो अगर हम यहां पर स्लोप ड्रा करते हैं तो इन सारे पॉइंट्स पर स्लोप क्या होगा जीरो होगा और अगर किसी भी पॉइंट पर स्लोप जीरो होता है तो हम उसे क्या उस पॉइंट को क्या कहते हैं एक्सट्रीमा कहते हैं यानी कि वहां पर या तो लोकल मैक्सिमा होगा या तो लोकल मिनिम होगा ठीक है तो यहां पर आप ये देख सकते हो इन सभी पॉइंट पर या तो स्लोप जो है जीरो है यानी कि यहां पर लोकल यहां पर मैक्सिमा और मिनिम ठीक अब जरा समझते हैं ध्यान से समझना जो ये पॉइंट्स है बेटा ये मैक्सिमा वाले यह सारे के सारे इन सबको क्या कहेंगे इन सबको लोकल मैक्सिमा कहेंगे यानी ए सी ई जी आई के ये सारे के सारे क्या है लोकल मैक्सिम तो लिखो इसको ए ए बी सी है ना ए सी ई जी आई और के इसको क्या बोलेंगे बाबू लोकल मैक्सिमा बोलेंगे ठीक यह जहां जहां पर मिनिम है इसको लोकल मिनिम बोलेंगे यानी बी डी एफ एच जे ये सारे क्या है लोकल मिनिम ठीक है अब इन सब में जो सबसे बड़ी वैल्यू है सबसे बड़ी वैल्यू कहां पर है के प तो के को क्या बोलेंगे ग्लोबल मैक्सिमा बोलेंगे यानी सभी मैक्सिमा में जो सबसे बड़ा मैक्सिमा है उसको ग्लोबल मैक्सिमा इन सारे लोकल मिनिम में जहां पर सबसे छोटी वैल्यू है उसको क्या बोलेंगे ग्लोबल मिनिम यानी ज को क्या बोलेंगे भैया ग्लोबल मिनिमम आसान है कि नहीं ठीक यानी कि आपके दिमाग में अब यह आ रहा होगा कि सर कहने का मतलब तो यह है कि अगर हमारे पास कोई भी फंक्शन है इस फंक्शन में लोकल मैक्सिमा एक से ज्यादा हो सकता है बिल्कुल सही बात है सर लोकल मिनिम भी एक से ज्यादा हो सकता है बिल्कुल सही बात है लेकिन ग्लोबल मैक्सिमा हमेशा एक होगा ग्लोबल मिनिम हमेशा एक होगा यह बात सभी लोग ध्यान रखना बेसिकली ग्लोबल मैक्सिमा इज नथिंग बट सारे के सारे लोकल मैक्सिमा में जो सबसे बड़ा वाला मैक्सिमा है दैट इज द ग्लोबल मैक्सिमा सारे के सारे लोकल मिनिम में जहां पर सबसे छोटी वैल्यू है दैट इज द ग्लोबल मिनिम इसी वजह से इसको कहते हैं एब्सलूट मैक्सिमा एब्सलूट मिनिम क्योंकि एब्सलूट मतलब इन सब में जो सबसे बड़ा एब्सलूट इसी वजह से इसको कहते हैं ग्रेटेस्ट वैल्यू इन द डोमेन किसी डोमेन में सबसे बड़ी वैल्यू जो है उसको कहते हैं हम ग्लोबल मैक्सिमा किसी डोमेन में जो सबसे छोटी वैल्यू है उसको कहते हैं ठीक है क्लियर है सभी को हा या ना तोस अब जरा इसका प्रोसीजर बेटा नोट डाउन करो इसका जो सॉल्विंग रूल है वह नोट डाउन करो लिखो लेट वी हैव अ फंक्शन वा इ एफ एक्स इन द डिफाइंड डोमेन इन द डोमेन क्लोज इंटरवल ए टू बी ले लो ठीक है मान लोर ऐसा दिया हो इंटरवल भी ठीक है तो यहां पर रूल क्या है सबसे पहला काम फाइंड क्रिटिकल पॉइंट क्रिटिकल पॉइंट कैसे सरवा बायडी एक् बराबर 0 याडी वा बायडी एक्स इ टू डज नॉट एजिस्ट ठीक है ऐसे करके ठीक है तो यहां पर मान लेते हैं कि इ x1 x2 ऐसे करके ये एक् सारे के सारे क्या है ये क्रिटिकल पॉइंट आ गए आ जाएंगे दूसरा काम यहां पर क्या करेंगे फाइंड वैल्यूज एट कहां पर सारे के सारे क्रिटिकल पॉइंट पर यानी f ऑफ एक्व पर f ऑफ एक्सट पर ठीक जितने भी क्रिटिकल पॉइंट आएंगे इन सभी क्रिटिकल पॉइंट पर आपको वैल्यूज निकालनी है सारे के सारे ऑल क्रिटिकल पॉइंट्स पर वैल्यू निकालो एंड ये जो बाउंड्री पॉइंट है इन पर भी बेटा आपको वैल्यू निकालनी पड़ेगी ए ऑफ ए ए ऑफ बी पर भी वैल्यू आप निकालो और कहां पर निकालो बाउंड्री पॉइंट्स पर भी आप वैल्यूज निकालो ठीक अब यार इन सब में जो सबसे बड़ी वैल्यू है ग्रेटेस्ट वैल्यू ग्रेटेस्ट वैल्यू अमंग ऑल उसको आप क्या बोलोगे ग्लोबल मैक्सिमम ग्लोबल मैक्सिमा ठीक इन सब में जो सबसे छोटी वैल्यू होगी लीस्ट वैल्यू अमंग अमंग ऑल इसको क्या बोलेंगे भैया ग्लोबल मिनिम बोलेंगे ठीक है क्रिस्टल क्लियर सभी बच्चों को हां या ना तो कुल मिला केर बेसिक सी बात इतनी है कि जब भी अगर आपको ग्लोबल मैक्सिमा ग्लोबल मिनिमाप काम क्या करो क्रिटिकल पॉइंट निकालो क्रिटिकल पॉइंट निकालने के बाद सारे के सारे क्रिटिकल पॉइंट पर फंक्शन की वैल्यू निकालो जो बाउंड्री पॉइंट है बाउंड्री पॉइंट पर फंक्शन की वैल्यू निकाल लो इन सब में जो सबसे बड़ी वैल्यू है उसको बोलेंगे ग्लोबल मैक्सिमा इन सब में जो सबसे छोटी वैल्यू है दैट इज द ग्लोबल मिनिम यही पूरा का पूरा बेटा कांसेप्ट है ठीक है तो तो आई थिंक सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से कहानी समझ आ गई होगी जैसे आ जाओ ये सवाल करता है फटाफट ठीक है लिख सर मैक्सिमम वैल्यू ऑफ द फंक्शन हमारे पास यहां पर एक फंक्शन दिया गया है दिस वन इन द इंटरवल क्लोज इंटरवल वन से लेकर थ के बीच में तो कैसे निकालेंगे सर सबसे पहला काम गिवन f एक ये भैया 2 एक्स कब माइन 24 एक प् 107 तो एड एक् कितना हो जाएगा 2 3 6 एकस स् माइ 24 ठीक तो फॉर क्रिटिकल पॉइंट एड एक्स बराबर 0 तो 6 एक् स् - 24 = 0 x स् = 4 एक की वैल्यू कितनी आ गई प्लस माइनस 2 आ गई ठीक अब हमें यहां पर मैक्सिमम वैल्यू निकालना है तो हम फंक्शन की वैल्यू कहां क पर निकालेंगे क्रिटिकल पॉइंट पर ठीक है f2 पर यहां पर एक चीज सभी मेरे बच्च ध्यान रखना x = कितना आया + -2 ठीक + -2 या हम ऐसे लिख लेते हैं x = + 2 x = -2 यहां पर बेटा डोमेन क्या दिया गया है डोमेन दिया गया है क्लोज इंटरवल वन से लेके थ तो आप इसको देखो कि वन से लेके थ है क्या बिल्कुल है क्या यह वन से लेके 3 के बीच में है नहीं है यानी कि x = -2 क्रिटिकल पॉइंट होगा ही नहीं ठीक है तो x = -2 इज नॉट क्रिटिकल पॉइंट सभी बच्चों को क्लियर तो जब भी आप क्रिटिकल पॉइंट निकालो अगर कभी भी क्लोज इंटरवल दिया गया है आप यह चीज जरूर चेक आउट करो कि क्या वो क्रिटिकल पॉइंट उस इंटरवल के अंदर में है कि नहीं है अगर अंदर होगा तो ही आप लोगे अगर अंदर नहीं होगा तो आप उसको क्रिटिकल पॉइंट लोगे ही नहीं ठीक है क्लियर है क्योंकि वहां पर फंक्शन है ही नहीं तो क्रिटिकल पॉइंट कहां से हो जाएगा ठीक है तो यानी कि हम अब अब कहां कहां पर वैल्यू निकालेंगे नाउ अब हम कहां-कहां पर वैल्यू निकालेंगे f2 पर फंक्शन की वैल्यू निकालेंगे और बाउंडी पॉइंट पर निकालेंगे f ऑफव पर निकालेंगे f ऑफ 3 पर वैल्यू निकालेंगे अब इनमें जहां पर वैल्यू सबसे बड़ी आएगी दैट विल बी द मैक्सिमम वैल्यू इनमें जहां पर छोटी आएगी दैट विल बी द मिनिमम वैल्यू तो f2 पर वैल्यू निकालो ये हो जाएगा 2 * 2 कू - 24 * 2 + 107 ठीक है तो सिंपलीफाई करो बेटा इसको कितना आएगा य हो गया 16 माइन 48 प् 107 कितना आ जाएगा 107 और 16 कितना होता है 123 में से 48 घटा दो 13 में से 8 घटाओ 5 11 में से सा च सा य आ गया सर 75 है ना ए2 आ गया 75 सेम सी तरीके से एव निकालो तो एव कितना आ जाएगा 2 माइन 107 है ना तो 107 में से 22 घटा दो सा में से दो घटा 5 ये आ जाएगा सर 85 ठीक सेम इसी तरीके से f3 पर वैल्यू निकालो f3 पर तो 2 * 27 - 24 * 3 + 107 तो ये कितना आ जाएगा 27 2 54 107 में 54 जोड़ दो 107 में 54 जोड़ दो बेटा 7 च 11 161 में से 72 सबक्स 8 है ना 89 आ जाएगा सही किया मैंने 89 आएगा तो यहां पर सबसे बड़ी वैल्यू कहां पर आ रही है 9 पर आ रही है तो 89 विल बी द ग्लोबल मैक्सिमम वैल्यू ठीक है तो 89 शुड बी द ग्लोबल मैक्सिमम वैल्यू आई थिंक सभी बच्चों को क्लियर है ठीक है एक छोटा सा टिप देता हूं बच्चों को अगर कहीं पर बेटा जैसे मैक्सिमम वैल्यू निकाला जाए जैसे देखो मैक्सिमम वैल्यू कह रहा है ना तो मैक्सिमम वैल्यू मतलब सबसे बड़ी वैल्यू निकालो और अगर आपको क्लोज इंटरवल दिया जाए जब भी क्लोज इंटरवल दिया जाए हमेशा बाउंड्री पॉइंट पर वैल्यू जरूर निकालो क्योंकि बाउंड्री पॉइंट पर भी मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू आ सकती है क्लियर तो दिस इ द थिंग बाउंड्री पॉइंट पर हमेशा बेटा मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू आपको निकालनी है चलो एक क्वेश्चन और करते हैं यहां पर आ जाओ इस सवाल में यहां पर एक इंटरवल दिया है इनटू से ू हमें मिनिमम वैल्यू बतानी है बेटा इस फंक्शन की तो यहां पर सर ए एक इ टू हमें क्या दिया गया f इ एक्स क 3 एक्स प् 4 तो क्या करेंगे फॉर क्रिटिकल पॉइंट एड एक्स बराब 0 यानी की 3 एक्स स्क्वा माइनस 3 = 0 य होगा एक्स स्क्वा माइन 1 = 0 तो यह हो गया एकस इव एक्स इ माइव ठीक अब एक चीज जरा सभी मेरे बच्चे जरा ध्यान से सुनना य एकस इ क्या माइट से लेकर टू के बीच में लाई कर रहा है ठीक है x इ माइव क्या माइट से टू के बीच में लाई कर रहा है बिल्कुल कर रहा है यानी कि हम फंक्शन की वैल्यू कहां कहा पर निकालेंगे भैया सर फंक्शन की वैल्यू निकालेंगे ए ऑफव पर भी ए ऑफ माइव पर भी अब यहां पर एक मुद्दे की बात है सर क्या बाउंड्री पॉइंट पर फंक्शन की वैल्यू निकालेंगे वीडियो को पॉज करो और बताओ यहीं पर वीडियो को पॉज करो और एक बार जल्दी से कमेंट सेक्शन के अंदर बताओ कि क्या बाउंड्री पॉइंट पर भी हम फंक्शन की वैल्यू निकालेंगे आई थिंक सोच के नीचे तुम लोग लिख चुके होंगे बेटा हम नहीं निकालेंगे क्यों क्योंकि -2 और 2 ओपन ब्रैकेट लगा हुआ है ठीक -2 और 2 पर देखो ये ओपन ब्रैकेट लगा है ओपन ब्रैकेट का मतलब यह है कि ये दोनों पॉइंट इस इंटरवल में काउंट नहीं होंगे यानी कि हम बाउंड्री पॉइंट पर यहां पर वैल्यू नहीं निकालेंगे तो हम कहां पर निकालेंगे सिर्फ और सिर्फ क्रिटिकल पॉइंट पर निकालेंगे ये कांसेप्ट अच्छी तरीके से समझ लो तो यहां पर f1 की वैल्यू कितनी हो गई 1 माइ 3 प् 4 तो कितना आ गया 4 एक पा में से तीन घटा दो दो f-1 पर वैल्यू सात में से एक घटा देंगे तो सिस आ गया ठीक है क्लियर हमें बताना क्या है मिनिमम वैल्यू बतानी है तो इ इन दोनों में जो सबसे छोटी वैल्यू है मिनिमम वैल्यू मिनिमम वैल्यू कहां पर आ गया दो पर आ गया तो टू शुड बी द करेक्ट आंसर ठीक है भैया क्लियर है सभी बच्चों को हां या ना जल्दी से एक बार देख लो फटाफट आ सभी मेरे बच्चों को अच्छी तरीके से क्रिस्टल क्लियर है ठीक है पितर कोई भी डाउट नहीं है सर बिल्कुल नहीं है चलो कुछ एक इंपॉर्टेंट टेक्निक्स और ट्रिक्स बता देता हूं आपको अगर कभी भी ऑब्जेक्टिव सवाल आए तो आप हमेशा ध्यान में रखना सबसे पहला है बाबू अगर मान लो कहीं पर ए साइन एकस प्लस माइनस बी कॉस एकस लिखा है इसकी सबसे बड़ी वैल्यू होती है रट ए स्क प् बी स्क इसकी सबसे छोटी वैल्यू होती है माइनस स् प् b स् ठीक आज के बाद औरली याद रखना दूसरा अगर कहीं पर मान लो f = सा x * क x लिखा मेले तो इसका तरीका ये होता है आप इसमें वन से ऊपर नीचे मल्टीप्लाई कर दो 2 सा x न क x तो ये तो बन गया sin2x ठीक अब क्या लगाओगे सर sin2x कहां से कहां लाई करेगा माइव सेव तो / साइन 2x कहां से कहां लाई करेगा माइव बाटू से 1 बाटू ठीक यह हो गया दूसरा कांसेप्ट तीसरा अगर कहीं पर पैराबोला दिया गया है ए एक्स स्क्वा प्स बी एक् वैसे मैं बताना नहीं चाह रहा था अगर कहीं पर ए ग्रेटर देन जीरो है तो पैराबोला अपवर्ड तो इसकी सबसे छोटी वैल्यू क्या होगी माइडी बा 4a य इस की सबसे छोटी मिनिमम वैल्यू होगी बेटा और अगर पैराबोला का ए लेसन जीरो है तो पैराबोला डाउन वर्ड बनेगा इसकी जो सबसे बड़ी वैल्यू है यह हो जाएगी माइडी बा फ ठीक तो ली याद रख लेना यह दोनों चीजों को पैराबोला अपवर्ड तो सबसे छोटी वैल्यू पैराबोला डाउन वर्ड तो सबसे बड़ी वैल्यू तो हालांकि अब इनको आपको ज्यादा यूज नहीं करना ठीक है ऑब्जेक्टिव सवालों में यूज करना है पहला क्वेश्चन देखो मैक्सिमम वैल्यू आपसे कह रहा है सा एक प् क x का तो क्या हो जाएगा ए की वैल्यू न बी की वैल्यू व तो 1 स्क्वा प्व स्क्वा यानी हो गया रट से लेके माइनस रट तो रट हो जाएगी मैक्सिमम वैल्यू ठीक है तो इस तरीके से ध्यान में रखना जैसे यहां पर देखो इसकी वैल्यू कह रहा मैक्सिमम वैल्यू तो मैक्सिमम वैल्यू तो ली याद रखो कि 1/2 है तो 1/2 जो है इसकी मैक्सिमम वैल्यू हो जाएगी आई थिंक यार सभी मेरे बच्चों को अच्छी तर से क्रिस्टल क्लियर है ठीक है य स्टेशनरी पॉइंट किसे कहते हैं स्टेशनरी पॉइंट बेसिकली बेटा ऐसे पॉइंट को कहते हैं सर जहां पर dy4 से का प डाउनलोड कर लेना पुत्तर ऐप डाउनलोड करके आपको मैथमेटिक्स बाय शशांक सर पर आपको करना क्या है आप यहां कम्युनिटी ग्रुप में आना साइड में एक्सप्लोर करके लिखा होता है एक्सप्लोर पर जाओगे तो मैथमेटिक्स बाय शशांक सर करके आपको यह कम्युनिटी ग्रुप नजर आएगा यह सारे पीडीएफ बेटा वहीं पर नजर आएंगे आपको ठीक है तो वहां से आप डाउनलोड कर सकते हो इसके अलावा अगर आपको कोई भी डाउट है तो बेटा आप मुझे इस मेल आईडी पर आप मुझे ईमेल कर सकते हो फॉर एनी डाउट ठीक है इसके अलावा जितने भी मेरे बच्चे पढ़ रहे हैं बेटा अगर आप मुझसे पर्सनली पढ़ना चाहते हो अगर आपको कोई भी ऐसा लग रहा है कि सर मुझे तो पढ़ के मजा आ रहा है आपसे और हम आपसे पर्सनली कनेक्ट होना चाहते हैं तो आपको करना क्या है बेटा आप अडा 247 के किसी भी बैच में अच्छी तरीके से एनरोल कर लो जिसमें भी तुम्हारी जिसमें भी तुम्हारा मन है उसी में एनरोल कर लेना ठीक है मेरी रिकमेंडेशन हमेशा से महा पैक की रहती है तो आप लोग कोशिश करना महा पैक में एनरोल करने का सीवीटी यूजी पर आओगे सीवीटी महा पैक अगर आप महा पैक में लेना चाहते हो इंडिविजुअल बैच में जाना चाहो तो सबसे लेटेस्ट बैच में जाओ ठीक है तो फॉर एग्जांपल अगर आपको साइंस का माहा पैक चाहिए कॉमर्स का चाहिए ह्यूमैनिटीज का चाहिए तो तीनों यहां पर अवेलेबल है आपको करना क्या है बेटा बाय नाउ पर आपको जाना है यहां पर कूपन कोड लगाना है y 457 ठीक है तो यहां से सारे कूपन कोड हटा देना y 457 आप लगा देना तो आपको यह देखो सबसे मैक्सिमम डिस्काउंट आपको बेटा y 457 पर मिलता है तो आप लोग यह कोड लगा के सबसे मैक्सिमम डिस्काउंट जो भी उस टाइम का होगा वो आप अवेल कर सकते हो ठीक है एक बार आपको कुछ एक क्लेरिटी दे देता हूं बेटा आप जैसे ही वा 4 57 लगाते हो सबसे मैक्सिमम डिस्काउंट आपको मिल रहा होता है यह बात ध्यान रखना ठीक है तो यह बैच आपका 1169 का पड़ेगा यहां पर मैं आपको कुछ एक बातें क्लियर कर दूं बेटा इसमें आपके सारे बैचर का एक्सेस होता है ऑल बैच एक्सेस मतलब अड्डा 247 के सारे बैच अगर आगे आने वाले टाइम प अड्डा 247 के 10 बैच आएंगे 20 बैच आएंगे और सारे बैचे का एक्सेस रहेगा आप मल्टीपल टाइम्स लाइव क्लास देख के अपने आप को रिकॉल कर सकते हो कोई भी चीज एक बार में नहीं समझ आए 10 बार में आप समझ सकते हो ठीक है तो बेटा सारे बैचेज का एक्सेस आपको इसमें प्रोवाइड किया जाता है इसके अलावा इसमें आपको सारी की सारी किताबें आपके घर पर भेजी जाती है सारा का सारा मॉक टेस्ट बेटा आपको मिलता है मतलब आप यह समझ लो कि महा पैक से बढ़कर कुछ और है ही नहीं मतलब आप जैसे ही अच्छा एक चीज और जब आप y 457 लगाते हो तो कुछ एक चीजें आपको एक्स्ट्रा प्रोवाइड मैं करता हूं एक तो मैथ्स की ब्लैक पीपीटी ब्लैक पीपीटी 4.2 दूसरी चीज मैथ की क्वेश्चन प्रैक्टिस शीट इसके अलावा एडिशनल इसके अलावा एडिशनल मक बेटा कम से कम 15 से 20 एडिशनल मोक्स मैं आपको प्रोवाइड करता हूं अगर आप लोग सीवीटी वगैरह की तैयारी कर रहे हो ठीक है इसके अलावा मेरी मेंटरशिप मेरा जो मेंटरशिप प्रोग्राम है यह आपको कंपलीटली फ्री ऑफ कॉस्ट मैं आपको प्रोवाइड करता हूं बस आपको करना क्या होता है y 457 डिस्काउंट कोड लगाओ और इसके बाद आप एनरोल करके मुझे बेटा इसका स्क्रीनशॉट मेल कर दो शशांक डॉट सिंह शशांक डॉट सिंह 1ad 247.com पे ठीक आप मुझे यहां पर मेल कर दो तो आपको यह सारा चीज़ आपको मैं प्रोवाइड कर रहा हूंगा तो जितने भी बच्चे हैं यार अच्छी तरीके से आप पढ़ाई करो इसमें हर एक जो इंडिया के सबसे टॉप नोच फैकल्टीज है यार सबकी क्लास आपको यहां पर मिलने वाली है मतलब आपको इसके अलावा कहीं भटकने की जरूरत नहीं पड़ेगी किसी भी महा पैक में चाहे आप किसी भी अ स्ट्रीम से हो चाहे आप साइंस के हो चाहे कॉमर्स के हो चाहे ह्यूमिज के हो ठीक इन सभी बच्चों के लिए वहां पक है आप अच्छे से एनरोल करके अच्छे से पढ़ाई कर सकते हो आई होप यार सभी मेरे बच्चों को सेशन समझ आया होगा सेशन पसंद आया होगा कोई भी और डाउट है बेटा नीचे कमेंट सेक्शन के अंदर बता के चले जाना एक चीज और है जो वर्ड प्रॉब्लम है वर्ड प्रॉब्लम को यार अलग से मैं अ टैकल करूंगा उसको ठीक है एओडी का जो वर्ड प्रॉब्लम है उसका अलग से सेशन मैं लेके आऊंगा इतना मेन है इतना मेन है आप इसको अच्छी तरीके से समझ लो बाकी वर्ड प्रॉब्लम तो बाद की बात है उसको उसको मैं अलग से एक सेपरेट सेशन में मैं आप लोगों को लिए लेके आऊंगा ठीक है क्लियर तो होप फुली सभी मेरे बच्चों को समझ आ गया होगा आप लोगों ने अच्छी तरीके से नोट्स बना लिया होगा नोट्स को डाउनलोड कर लेना कि इंटीग्रल ठीक है तो बुक वन के सारे चैप्टर चैप्टर नंबर वन से लेकर चैप्टर नंबर सिक्स मैंने डिटेल वन शॉट सब कुछ करा दिया है बाकी इस पर सब्सीट्यूट होगा जो क्वेश्चन प्रैक्टिस का सेशन है वो फिर दोनों मिला के एक अच्छा सेशन बन रहा होगा ठीक है सो थैंक यू सो मच वाचिंग दिस सेशन गॉड ब्लेस यू ऑल सभी मेरे बच्चों को बाय बाय टेक केयर बेटा ऑल द बेस्ट