हेलो एवरीवन वेलकम बैक टू माय चैनल और आज हम बात करने वाले हैं पेपर प्रीवियस यर क्वेश्चन जो कि हमारा 26 फरवरी 2023 का है ओके क्विज वन का प्रीवियस ईयर पेपर है स्टट्स टू का ओके तो स्टार्ट करते हैं ओके तो सबसे पहला क्वेश्चन क्या है कह रहा जॉइंट पीएमएफ ऑफ टू डिस्क्रीट रम वेबल एक्स एंडवा इ गिवन ठीक है एंड दिस इज द इक्वेशन ओके क व्ट वैल्यू ऑफ प 0 टू 1.5 गिवन एक इ ग्रेटर 0 ठीक है एक इ ग्रेटर 0 के लिए गिवन है क्या एकस बड़ा है जीरो से ओके तो हम क्या करते सबसे पहले इससे हम पीएमएफ टेबल बना लेते हैं तो पीएमएफ टेबल कुछ ऐसा बनेगा है ना एक्स और वा की वैल्यूज हमने ले ली क्योंकि ये एक्स और वा दोनों ही 01 01 2 से बिलोंग कर रहा है तो एक्स की वैल्यू भी 012 ले सकता है और वा भी वैल्यू क्या ले सकता है 0 वट ले सकता है राइट सो उस फॉर्म में यह हम टेबल बनेगा राइट ठीक है यहां पर एक्स की वैल्यू जैसे कि जीरो जीरो है मतलब एकस भी जीवा भी तो ये जीरो हो जाएगा लाइक फिर रोव है ना x = 1 एंडवा इ 0 तो यहां प हम क्या करेंगे y इ 0 पुट करेंगे x तो वहा से हमें ये मिल जाएगा सो दिस इ हाउ वी मेट द टेबल नाउ यहां से हम एकस का मार्जिनल टेबल निकाल सकते राइट मार्जिनल पीएमएफ टेबल ठीक है तो मार्जिनल प टेब के लिए हम क्या करेंगे रोज के सारे प्रोबेबिलिटी को ऐड करेंगे है ना तो 1/27 प् 2/27 ट इ 3/27 तो p इ 0 की प्रोबेबिलिटी कितनी है 3 बा 27 ठीक है ऐसे हमने सारा निकाल लिया अब यह आ गया हमें पूछ रहा है क्या प्रोबेबिलिटी की 0 से 1.5 के बीच में एक होना चाहिए और एक् क्या होना चाहि बड़ा होना चाहिए जीरो से तो एकस कह रहा है बड़ा होना चाहिए जीरो से राइट तो यह कंडीशनल है हमारा क्याय कंडीशनल कंडीशनल इक्वल टू हमें पता क्या होता है जॉइंट अपन मार्जिनल जॉइंट अपॉन मार्जिनल मार्जिनल ऑफ व्ट जिसका कंडीशन है राइट कंडीशन किसका x x ग्र 0 का तो उसी का मार्जिनल खगा ठीक है नाउ कह रहा है जी0 से लेसन इक्व x ग्रेटर दन इ x होना चाहिए और 1.5 होना चाहिए और यहां पर एक और क्या कह रहा है कि x बड़ा होना चाहिए जीरो से इसका मतलब कि यहां पर जीरो इंक्लूड नहीं होगा ठीक है क्योंकि x हमेशा जीरो से बड़ा होने चाहिए इसमें इस केस में राइट सो इसका मतलब क्या है इसको हम कह सकते हैं p ऑफ एक ग्रेटर प ऑफ 0 ग्रेट एक्स ग्र 1.5 अपन पफ एक ग्रेटर 0 तो इसकी वैल्यू क्या होगी य से तो बेसिकली यह वाला राइट सिर्फ वन आएगा इसके बीच में तो प्रोबेबिलिटी ऑफ x एट व इ 9 बा 27 और एकस ग्र 0 कीटी कितने हो ग 1 प् दोनों का ट इ 9 बा 27 प् 15 बा 27 ट इ सॉल्विंग आफ्टर दिस व विल गेट 3/8 जो कि हमारा आंसर है ठीक है नाउ टॉकिंग अबाउट नेक्स्ट क्वेश्चन तो कह रहा है एक्स यूनिफॉर्म है ठीक है दिस एवा यम दिस और कह रहा है दोनों क्या है इंडिपेंडेंट है एंड कहा अनदर वेरिएबल इ मोड एक्स माइन मोडवा कह रहा फाइंड प ऑफ ठीक है तो एस यूनिफॉर्म है तो हर एक का एलिमेंट का प्रोटी कितनी बा इधर की और इधर की 1 बाटू ठीक है ना जी के बारे में बात करते तो जी है तो जी का क्या क्या वैल्यू टेक कर सकता है क्या क्या ले सकता है वैल्यू तो क्योंकि मोड है तो नेगेटिव वाले तो भूल जाओ सारे ठीक है तो x ले सकता है मोड x ले सकता है क्या 01 2 एंड मडवा ले सकता है 1 राइट तो x माइन मोड एक माइन मडवा क्या क्या ले सकते है माइनस 0 माइव इ माइव एंड 0 माइव इ 0 एंड 2 माइव इ 1 तो ये तीन वैल्यूज y ले सकता जी ले सकते है ठीक है अब मैं क्या करता हूं क्योंकि यह तीन वैल्यू ले सकता है तो यह वाला तो ऑप्शन हमारा ऐसे ही खत्म हो गया बचा -1 0 वाले ये ऑप्शन ठीक है देख लेते हैं तो -1 प हम चेक करते क्योंकि -1 प ये भी अलग है ये भी अलग है और ये भी अलग है ठीक है तो -1 प चेक कर लेते हैं सीधा तो p ऑफ = -1 क्या होगा तो इ -1 के दो चीज हो सकती है क्योंकि मड x है एंड मोडवा है ठीक है तो x अगर 0 ले और y इव ले तब हमें -1 मिल सकता है राइट या फिर 0 ले x एंड y मेरा -1 ले तब भी मेरे को क्या मिलेगा -1 ही मिलेगा राइट क्योंकि मोड है है ना तो ये माइनस को भी पॉजिटिव में कर देगा राइट तो ये दो केसेस है जहां पर मेरे को क्या मिल सकते हैं -1 मिल सकते हैं g की वैल्यूज राइट तो इन दोनों का हम प्रोबेबिलिटी निकाल लेंगे तो p x = 0 y = 1 प् p x = 0 y = -1 ठीक है दोनों की प्रोटी अब x = 0 प्रोटी कितनी है 1/5 और / -1 पे 1/2 ठीक है तो ऐसे ही हम इन सब का लिए तो 1/5 * 1/2 प् 1/5 * 1/2 दैट इज 1/5 दैट इज ठीक है तो ये हमारा आंसर आ गया ट इ ये वाला है ना ये वाला हमारा आंसर होगा ओके चलो नेक्स्ट क्वेश्चन देखते हैं कहा कंसीडर फंक्शन एफ आ से आर है और f एक दे रखा है दिस है ना जीरो से इनफिट तक ये है और बाकी जीरो है अदर वाइज ठीक है कह रहा वेयर ए इज अ एनी रियल कांस्टेंट रियल कांस्टेंट तो कह रहा कि फाइंड द ए स दैट ए इज द वैलिड डेंसिटी फंक्शन तो वैलिड डेंसिटी फंक्शन के हमारे पास ये कंडीशन होती है राइट कि माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी तक इंटीग्रल इंटीग्रल करा जाए पीएमएफ का तो वो किसके बराबर आएगा वन के बराबर आएगा राइट ठीक है तो इंटीग्रेट करेंगे तो यहां पे है क्या e की पावर 1 - a राइट तो इसको हम ऐसे भी लिख सकते हैं e की पावर 1 * e की पावर - है ना क्योंकि मल्टीप्लाई है दोनों का तो पावर प्लस हो जाता है राइट तो ये हो गया ये कांस्टेंट टर्म है ठीक है तो ये इंटीग्रेशन के बाहर निकल जाएगा तो ये हो जाएगा यहां पे वन है तो e को इधर ले जाएंगे तो 1 अप e हो जाएगा ठीक है और e बचा e की पावर माइ a d एक है ना इंटीग्रेशन तो e की पावर d एक का इंटीग्रेशन यहां प दिया हुआ है हिंट प राइट तो इट विल ब व्ट e की पावर माइ एक अपन - ए है ना ये होगा ठीक है तो ये हो गया और इसका लिमिट कहां से जीरो से इंफिनिट क्योंकि माइनस इनफिनिटी से जीरो तक की वैल्यू तो दे रखी है जीरो है ना तो यह हो गया ये जीरो से इनफिनिटी तो इसको पुट करेंगे तो ये हो जाएगा माइ e की पावर इनफिनिटी दैट इज जीरो ठीक है माइनस माइनस ऑफ e की पावर 0 इज बेसिकली 1 अपन a तो ये जाएगा 1 अप a है ना तो 1 अप a हो गया तो 1 अप a = 1 अप e तो यहां से हमें निकल गया a इ e तो जो कि हमारा आंसर है ठीक है क्लियर नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं फोर्थ क्वेश्चन ठीक है कह रहा है पीएमएफ दिया हुआ है ठीक है डिस्क्रीट ंड वेरिएबल एक्स एंडवा का जॉइंट पीएम टेबल दे रखा है कह रहा है a कोई रियल नंबर है पॉजिटिव रियल नंबर है a क्योंकि यहां पे a है है ना अब कह रहा है कि फाइंड द वैल्यू ऑफ a सच दैट कोवारिस इक्व ट 0 तो कोवारिस जीरो है मतलब कि हम कह सकते कोरिस का फार्मूला ये होता है एकवा - e = 0 तो यहां से हम कह सकते हैं एकवा = * e जोक कंडीशन होता है इंडिपेंडेंस का ठीक है लेकिन यहां पे एक मैं नोट एक बात बता दूं दैट इज नोट दैट इज अगर को वेरियंस हमारा x y है जो कि जीरो के बराबर है तो इसका यह मतलब नहीं है कि x कमावा इज इंडिपेंडेंट ठीक है यह बिल्कुल गलत बात है ठीक है लेकिन x एंड y अगर इंडिपेंडेंट है ठीक है तो कोवेरिएट x एंड y क्या हो सकता है जीरो होगा दैट इज ट्रू ठीक है तो अभी के लिए हम मान लेते हैं क्या है कि इंडिपेंडेंट है क्योंकि इंडिपेंडेंट करके भी हम एक वैल्यू एकही निकाल सकते हैं राइट ठीक है तो हम कर देते हैं कोई दिक्कत नहीं है चलो तो fx8 इक्वल टू दोनों का मार्जिनल का प्रोडक्ट राइट तो इसमें निका लूंगा तो मेरे को y में a का झमेला नहीं आएगा बस इसमें a का झमेला आएगा दैट इज मैं सॉल्व कर लूंगा राइट सो इसीलिए मैंने इसको चूज करा तो fxxx.pro 6 ओके तो 3/6 आ गया ठीक है तो यहां से हम क्या करेंगे a की वैल्यू को सॉल्व कर लेंगे दैट इज 1/6 हमारा आंसर सो यहां से हमें निकल गया आराम से आंसर नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं ये क्वेश्चन ये इस क्वेश्चन मतलब ये हमारा सबसे ट्रिकिएस्ट क्वेश्चन है इस पेपर का सबसे मतलब वन ऑफ द हार्डस्टॉप पज एन अन बायड कॉइन इज टॉड ए टाइम्स अन बायड कॉइन है ए टाइम्स टॉस हुआ वा क्या कह रहा है कि वा इज द रेशो ऑफ नंबर ऑफ हेड टू द नंबर ऑफ टसे y एक रेशियो है दैट इज द नंबर ऑफ हेड अपॉन नंबर ऑफ टसे ठीक है यूजिंग चेबी सेप्स इनिक्वालिटी फाइंड द मिनिमम नंबर ऑफ n मिनिमम नंबर ऑफ n सच दैट द प्रोबेबिलिटी ऑफ y लाइज बिटवीन 0.4 टू 0.6 इज एटलीस्ट 0.9 तो एटलीस्ट कहने का मतलब क्या है ये लोअर बाउंड है लोअर बाउंड इसका कहने का मतलब क्या है इस पर्टिकुलर लाइन कहने का मतलब क्या है कि प्रोबेबिलिटी 0.4 ग्र x ग्र 0.6 इज बेसिकली है यना ओके अच्छा चलो य बात तो बा हमारा क्या है रेश ऑफ नंबर ऑफ हेड अपन नंबर ऑफ ट राइट अच्छा अगर मैं बात करू नंबर ऑफ हेड इन एन टसे नंबर ऑफ हेड इन एटस की बात करो ठीक है तो यह मेरे को पता क्या कर बानो मियल फलो करेगा बानो मियल एव बाटू यही आएगा ठीक तो ये आएगा तो हमें पता है कि बानो मियल है तो इसका मीन क्या होगा मीन होगा [संगीत] कांस्टेंट है तो मैं बाहर निकालना चाहूंगा तो ये क्या होगा 1 / n नटू में मीन ऑफ x है ना और बानो मियल का मीन क्या होता है np2 = np1 राइट इतनी चीज हमें पता है ठीक है तो मीन ऑफ़ n क्या और तो 1 / n * np0 तो n से n कैंसिल हो गया यानी p यानी कि 0.5 है ना प्रोडक्ट ऑफ सेस p 0.5 तो मीन मेरा y का कितना आ गया 0.5 बात कर लेते हैं थोड़ा वेरियंस का भी तो वेरियंस सिगमा स् है ना वेरियंस तो वेरियंस ऑफ y अगर मैं लिखना चाहूं तो वो क्या होगा वेरियंस ऑफ x बा n ठीक है और अंदर से कांस्टेंट बाहर निकाल तो वो होगा 1 बा n स्क वेरियंस ऑफ x है ना सो 1 बा n स्क वेरियंस ऑफ x क्या होगा n प क n से n कैंसिल हो गया तो बचा क्या हमारे पास p क बा n है ना क्योंकि n स्क्वा है ये तो ये इसका मतलब क्या 25 अप n है ना जाक वेरियंस है तो मैंने यहां से म निकाल लिया और वेरियंस निकाल लिया ठीक है नाउ नेक्स्ट बात करते हैं ये इक्वेशन है ठीक है फर लोअर बाउंड राइट ठीक है इसको हम ऐसे भी लिख सकते हैं है ना तो यहां से और हमारे पास एक ये है तो इन दोनों का अगर मैं कंपेयर करू तो य से पता च 0.9 क्या है माइव बा के स् राइट है ना और अगर मैं बात करू य तो म माइनस के सिग बेसली और म प् के सिग स तो य से के की वैल्यू निकाल की वैल्यू मेरा ये पूछ आएगा है ना म और सिगमा की टर्म्स में निकालू ठीक है ये आ गया अब 1 - k स् इक्वल टू दिस ठीक है और k स् की वैल्यू ये है तो यहां पे पुट कर दूंगा मैं तो 0.6 मतलब k स् मतलब इन दोनों का स्क्वायर है तो 6 - म का स्क्वा अपॉन में ये सिगमा स्क्वा ऊपर चला जाएगा राइट तो अब इनकी वैल्यू पुट कर दो तो 25 अप n दैट इज द सिग्मा की वैल्यू है ना सिग्मा स्क्वा की वैल्यू अपॉन में 6 - म इज बेसिकली 5 तो ये तो यहां से 0.1 हो गया ये तो 1 का स्क्वायर ठीक है और 25 * n नीचे आ जाएगा ठीक है तो ये यहां से n की वैल्यू सॉल्व करोगे n की वैल्यू कितनी आएगी 250 ठीक है तो यहां पर ट्रिक क्या ट्रिकिएस्ट पाथ क्या था ट्रिकिएस्ट पाथ था हमारा ये ये मीन एंड वेरियंस ये हमें दिया हुआ नहीं है क्वेश्चन में ठीक है और हमें यह सोचना होगा ऐसे करके ऐसे क्वेश्चन आते भी है क्वेश्चन ऐसे ही आते हैं ठीक है चेवी सेप्स का तो इस बात का ध्यान रखना थोड़ा सा ओके चलो नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन भी हमारा बहुत अच्छा इंटरेस्टिंग एक क्वेश्चन है सोचने वाला थोड़ा सा क्वेश्चन है दैट इज एन अनबाय कॉइन इज टॉस थ्री टाइम्स इंडिपेंडेंटली तीन टाइम हम अनबाय कॉइन को टॉस करते हैं इंडिपेंडेंटली x कह रहा है नंबर ऑफ हेड ठीक है नंबर ऑफ हेड्स टोटल यानी बानो मियल है ठीक है बाय रिप्रेजेंट्स नंबर ऑफ टेल्स आफ्टर द फर्स्ट टॉस यानी कि पहले टॉस में क्या है उससे मतलब नहीं है उसके बाद क्या है तो यहां से अगर x की बात करें तो x क्या वैल्यू ले सकते है 0 1 2 3 यानी या तो रो हेड होगा या वन हेड होगा या टू हेड होगा या थ्री होगा y की बात करें तो पहले पे तो डिपेंड ही नहीं करर तो या तो रो टेल्स होगा या तो वन टेल्स होगा या तो टू टेल्स होगा मैक्सिमम राइट मतलब पहले को छोड़ के दो बचे तो दो ही ट टेल्स मैक्सिमम हो सकता है राइट अब य जो है य एक नया रैंडम वेरिएबल है दैट इज x * y ठीक है x * y है ओके कह रहा है पीएमए ऑफ य बताओ तो ठीक है हम करते हैं तो हमने टेबल बना लिया ठीक है तो x00 ले सकता है और इसके अकॉर्डिंग y 0 1 2 ठीक है फिर वन इसके अकॉर्डिंग 0 1 2 एंड टू एंड ्र और थ्री में मैंने थोड़ा इसको ज्यादा लिख दिया है तो इसको इग्नोर करना ठीक है ओके नाउ नेक्स्ट आगे बढ़ते हैं तो x = 0 और y = 0 तो हम देख रहे हैं कि हमारे पास क्या है तीन बॉक्सेस लेट्स से तीन ट्रायल्स है ठीक है तो x 0 मतलब नंबर ऑफ हेड्स जीरो है नंबर ऑफ हेड्स जीरो होने का मतलब क्या सारे टेल्स होना चाहिए ठीक है लेकिन कह रहा है नंबर ऑफ टेल्स भी जीरो है मतलब कि इन दोनों में से जीरो टेल्स आनी चाहिए तो ऐसा तो पॉसिबल नहीं है कि हेड भी जीरो हो टेल भी जीरो तो ये जीरो हो गया राइट अब दूसरे की बात करते हैं तो जीरो हेड जीरो हेड है मतलब हेड है ही नहीं ठीक है तो हेड नहीं है तो टेल्स एटलीस्ट जीरो या वन हो सकता है राइट क्योंकि y इ y बेसिकली जीरो या वन हो सकता है मतलब अ वन और टू हो सकता है राइट सो ये वाला केस भी पॉसिबल नहीं है चलो इसको भी हटा दो अब बात करें इसका यानी कि x 0 है x 0 का मतलब सारे टेल्स है राइट और y y हमारा इन दोनों का है तो y दोनों भी टेल्स है तो ये हमारा परफेक्ट कंडीशन है राइट टीटीटी वाला ओके सो इसकी आने की प्रोटी 1/8 तो 1/8 हो गया ठीक है नाउ वन हेड हमारा वन है और टेल्स हमारा जीरो है ठीक है तो ये भी पॉसिबल नहीं है तो इसको भी हटाओ अब कह रहा है कि हेड हमारा वन है एंड टेल्स यानी वाई यानी कि इन दोनों में से एक कोई हेड है ठीक है तो ये दो केसेस हो सकते हैं दैट इज टेल हेड टेल हेड टेल और टेल टेल हेड ये दोनों केसेस हो सकते हैं जिसमें हेड एक ही है दोनों में हेड कितने हैं एक है और टेल्स कितने हैं अगर y की बात करूं यानी x इव है और y इट भी क्या है वन है राइट तो ये हो सकता है दैट इज दो केसेस है 2/8 ठीक है सिमिलरली मैंने सारा लिख दिया ठीक है और इनके हिसाब से इनकी प्रोबेबिलिटीज तो ये 0 एकवा मतलब ये तो प्रोबेबिलिटी हो ही गई x y अब निकालना क्योंकि हमरे को x y चाहिए राइट x y तो x * y 0 x * y 0 0 0 1 2 राइट 0 2 4 0 3 एंड 6 ठीक है तो ये हो गए हमारे सारे एलिमेंट तो यहां से हम देख रहे हैं क्या कि u इ 0 1 2 है ना थ पे हमारा कुछ जीरो ही है प्रोबेबिलिटी ओके और सिक्स है ही नहीं ठीक है सिक्स पे भी जीरो है ठीक है तो ये हो गया तो इससे हमने कलेक्ट करा तो इसे हमारा जीरो की बात करू तो जीरो वाली ये है ये है ये है ये है और ये है और ये है इन सभी का सम तो इसके लिए जीरो ही है ये 0 है 1/8 हो गया 1/8 + 0 और प् 1/8 2/8 और 2/8 + 1/8 इज 3/8 तो 3/8 एक हो गया वन के लिए ये है दैट इज एक ही है तो 2/8 एंड टू के लिए क्या है टू के लिए हमारे पास क्या है 2 2 एंड बस तो 1/8 + 2/8 दैट इज 3/8 ठीक है न 2/8 को हम 1/4 भी कह सकते हैं तो ये दैट इज द ये वाला हमारा थर्ड ऑप्शन इज द आंसर ओके नेक्स्ट क्वेश्चन की बात करते हैं इसी का अ म नेक्स्ट क्वेश्चन है कह रहा है फाइंड द अ इफ p ऑफ u = a गिवन u इज ग्रेटर दन 1 की वैल्यू 3/5 है तो कह रहा है a क्या है ठीक है तो a के लिए अपने पास क्या है तीन केसेस या तो रो होगा a या तो वन होगा या टू होगा तो हम तीनों निकाल लेते हैं यहां से क्योंकि हमारे पास टीबल है ही राइट तो टेबल से हमने क्या करा रो के लिए ये निकाल लिया है ना p 0 और > दन हुआ तो ये बेसिकली रो ही हो जाएगा राइट क्योंकि म ग्रेटर दन 1 बोल र तो उससे पहले का सरा रो ही होगा राइट अब = 1 और म ग्रेटर 1 मतलब कि मव है और म ग्र 1 है तो इसका एक ही मतलब है कि p ऑफ म = 1 अपॉन में क्योंकि कंडीशन है तो जॉइंट अपॉन मार्जिनल तो p ऑफ म > 1 है ना तो p ऑफ म ग्र दन 1 ग्रेटर दन 1 का मतलब क्या है ग्रेटर दन इक्वल टू 1 मतलब वन और टू दोनों है ना और म = 1 इज बेसिकली दिस तो 2 बा 8 अप 5/8 तो यहां से 2/5 है जो कि नहीं है हमें तो ये चाहिए थे ठीक है तो अब टू के लिए निकालते टू के लिए खा तो = 2 गिवन म इज ग्रेटर दन इव 1 दैट इज जॉइंट अपॉन मार्जिनल राइट तो इसका जॉइंट म = 2 इज बेसिकली p ऑफ म = 2 / p ऑफ म ग्रेटर = 1 इसको सॉल्व करा हमने आ 3/5 तो इसका मतलब क्या है हमारे पास जो म की वैल्यू a की वैल्यू थी क्या है a की वैल्यू हमारे पास टू है तो आंसर हमारा क्या हो गया टू ओके नेक्स्ट क्वेश्चन यह क्वेश्चन ठीक है यह भी बढ़िया क्वेश्चन है तो कह रहा क्या कि अन वन कंटेन थ्री बल टू एंड अन टू कंटन थ बॉल्स टूथ य नंबर्स है बॉल के ठीक है कहा वन बॉल इ डन फ्रॉम ईच अ हर एक से एक एक बॉल निकाले जाते है टोटल में दो बल निकाले जाते है ठीक है कहा एक्सव डिनोट द नंबर ऑफ बॉल डन फम डिनोट द नंबर ऑन द बॉल ऑन द बॉल फ्रॉम वन ठीक है और क्या है x2 जो क्या है नंबर ऑफ नंबर ऑन द बॉल टू है ना ऑन टू से निकाला हुआ व y कह रहा है सपोज एक रैंडम वे y है जो कि x1 - x2 है फाइंड द वैल्यू ऑफ p > = 1 ठीक है इंटर द करेक्ट आंसर अप टू टू डेसिमल नबर ठीक है तो हमें यहां से पता चल गया कि x1 क्या है यूनिफॉर्म 01 2 है एंड x2 भी क्या है यूनिफॉर्म 1 2 3 क्योंकि हर एक नंबर का वल नंबर कोई सा भी हो हर एक की निकालने की प्रोबेबिलिटी कितनी होगी 1/3 है है ना तीन वल है तो 1/3 थ है दोनों में ही राइट तो ये भी ठीक है तो अब हम टेबल बनाते हैं टेबल के लिए x1 और x2 है ना x1 अगर रो निकले लेट्स से पहला ट्राई लिखा तो x1 क्या निकला रो यानी पहले वल से जीरो वाला निकला दूसरे अन से वन निकर है ठीक है ऐसे ही पहले से रो निकल सकता दूसरे अ सेट एंड 0 3 ऐसे करके हमने सारा टेबल बनाया अब हर एक की प्रोबेबिलिटी यानी कि पहले अं से जीरो निकालने की प्रोबेबिलिटी एंड दूसरे एन से वन निकालने के तो ये दोनों क्या है तो 1/3 इसका 1/3 इसका यानी 1/9 तो हर एक की प्र कितनी है 1/9 ठीक है नाउ हमें निकालना है y = x1 - 2 x2 है ना सो x1 - x2 करेंगे तो -1 2 -3 0 -1 -2 1 0 -1 ये हो गया तो यहां से हम पीएमएफ टेबल बनाएंगे y का मार्जिनल टेबल है ना तो y इ y क्याक वैल्यू र सकता है -3 -2 -1 0 1 ठीक है और इसके अकॉर्डिंग हम इसका प्रोटी कैलकुलेट करें तो ये हमारा पीएमएफ टेबल हो गया राइट पीएमएफ टेबल ऑफ y है ना अब यहां से से हमें क्या निकाल था p y > = 0 तो ग्रेटर दन इक्व ट 0 कहने का मतलब क्या है 0 और वन दोनों है ना तो इन दोनों का प्रोबेबिलिटी सम निकाल देंगे दैट इज 0.333 हमारा आंसर ओके नाउ दूसरा कह रहा है कि g = मैक्स ऑफ x1 x2 तो हमारे पास ये तीन टेबल्स था ही अब g इ टू क्या है मैक्स ऑफ x1 x2 तो 0 और व का मैक्स क्या है वन 0 और टू का मैक्स क्या है टू 0 और 3 का मैक्स थी ऐसा करके हमने सारा निकाल लिया तो g का हमने पीएमएफ टेबल बना लिया यहां से है ना 1 2 3 ले सकता है अब हमें क्या कह रहा है g इज लेस देन इक्वल टूव लेसन इक्व टूव मतलब यही सीधा वैल्यू तो इसकी वैल्यू क्या है 2/9 तो 2/9 हमारा आंसर है ठीक है ओके नेक्स्ट क्वेश्चन ये क्वेश्चन ठीक है ये भी बढ़िया क्वेश्चन है और ऐसे टाइप के क्वेश्चन आते हैं ठीक है इस पर ध्यान देना तो इसमें आधा स्टेटमेंट प ही मतलब क्वेश्चन तो आधा समझने का स्टेटमेंट सेही है तो टू मैचेस प्लेड बिटवीन जॉन एंड वाल्टर दो मैचेस खेले जाते हैं जॉन एंड वाल्टर के बीच में तो प्रोबेबिलिटी दैट जॉन विनस द फर्स्ट मैच अगेंस्ट वाल्टर इज 75 कह रहा है कि पहला मैच जीतने की प्रायोरिटी जॉन की अगेंस्ट वाल्टर इज 0.75 यानी प एक्सव क्योंकि x1 एक्स आ इ बेसिकली वन अगर जॉन जीतता है पहला मैच और जीरो अगर जॉन जीतता है पहला मैच है नहीं वन अगर वो मैच जीतता है जॉन और जीरो अगर मैच जीतता है वाल्टर ठीक है तो यहां से हमें पता चल px1 = 1 की प्रायोरिटी कितनी है 75 ठीक है आगे बढ़ते हैं द प्रोबेबिलिटी दैट जॉन वि द सेकंड मैच गिवन दैट ही वन द फर्स्ट मैच इ 0.9 तो p ऑफ x2 = 1 गिवन दैट x1 = 1 इज 0 व्ट ना यहां से हमें मिल गया राइट सेकंड से नाउ द प्रोबेबिलिटी दैट जॉन विनस द सेकंड मैच गिवन दैट ही लूजस द फर्स्ट मैच 0.5 यानी p ऑफ x2 इ 1 गिवन के x1 = 0 इ बेसिकली पॉट 5 ठीक है अब कह रहा है पीएमएफ टेबल ठीक है तो हमें सबसे सबसे पहले इसको उठा लिया क्योंकि हमारे पास x = 1 है ऑलरेडी तो यहां से हम इसको अगर सॉल्व करें तो हमें एक यहां से यह मिल जाएगी जॉइंट मिलेगा राइट तो p x2 = 1 गिवन की x1 = 1 इज बेसिकली p x1 = 1 x2 = 1 / p x1 = 1 तो यहां से इसकी वैल्यू हमें नहीं पता लेकिन इसकी वैल्यू पता है इसकी वैल्यू पता है तो p x1 = 1 x2 = 1 इज बेसिकली दिस इनटू दिस दैट इज 0.75 * 0.9 दैट इज 0.67 5 इसको सॉल्व करेंगे तो हम आएगा 27 / 40 हमें पता चल गया 1 एंड 1 की वैल्यू कितनी है 27/4 तो यहां से यह वाला ऑप्शन खत्म यह वाला ऑप्शन खत्म बचा यह और यह राइट अब बात करते हैं नेक्स्ट तो हमें x1 = 0 दे रखा x1 = 1 की प्रायोरिटी दे रखा है तो x1 = 0 की प्रायोरिटी 1 - कर देंगे तो ये आ गया अब हमारे पास दूसरा भी दे र था x2 = 1 और x1 = 0 तो इसको हम उठाते हैं तो यह कंडीशनल था तो यह बेसिकली जॉइन अपॉन मार्जिनल तो x2 = 1 एंड x1 = 0 / px1 = 0 तो यहां से इसकी वैल्यू हमें पता है इसकी वैल्यू हमें पता है तो ये निकालना है तो यहां से हमने ये निकाल लिया ट इ 0.125 इसको हम सॉल्व करेंगे 8 तो x2 इव एंड x1 इ 0 यानी कि x10 एंड एक्टूव प कितनी वैल्यू है 1/8 और यहां पर 3 बा 40 तो यह गलत हो गया यह हमारा सही हो गया तो हमारा यही हमारा क्या है आंसर है फदर सॉल्व करने की जरूरत नहीं है तो यह आ गया हमारे पास टेबल राइट नाउ दूसरा क्वेश्चन इसी का सब क्वेश्चन हैट इ फाइंड द प्र सेकंड मैच या प एक्स निकाल क्या हो एकस यानी की मतलब दूसरा मैच हार तो या तो पहला मैच जीता होगा या हारा होगा तो दोनों की ड कर देते ट बा प्लस 3 बा तो इससे सॉल्व कर हमने पट हमारा आंसर ओके नेक्स्ट वेल सफ कार्ड ठीक है फम वेल सफ कार्ड ऑफ 52 कार्ड्स वन कार्ड इज ड्रॉन रैंडम अब कह रहा है कि x इ 0 अगर रेड कार्ड आ जाए यानी कि हार्ट या डायमंड आ अदर वाइज वन y इ 0 अगर फेस कार्ड आ अदर वाइज वन और कह रहा एक्स स्क्वा स्क्वा निकालो मतलब एक्सवा का होल स्क्वायर निकालो ठीक है एक्सपेक्टेशन निकालना तो एक्स हमारा जीरो या वन ले सकता है तो जीरो और वन जीरो यानी कि रेड कार्ड आने की प्रोटी तो जीरो यानी 26 ड कार्ड्स होते हैं तो 26 अप 52 ऐसे वन आने की पटी तो फिर 26 अप 52 क्योंकि अदर वाइज है वन है ना अरवा नॉट रेड काड तो बला एक कार्ड बचे तो वो आ गया ठीक है वा की तो अगर फेस कार्ड आता है फेस कार्ड 12 होता है तो 12 अप 52 और नहीं आने की 40 अप 52 नाउ हमें एकवा चाहिए एक्वा टेबल बना लेते हैं तो x और y और एक्सवा ठीक है एकवा एक्सवा 0 0 तो 0 0 व तो 0 0 0 तो 0 एंड वव इज व आ मीन सब की प्रोबेबिलिटीज भी तो x = 0 की प्रोटी 26 52 * y = 0 की प्रोबेबिलिटी 12 अप 52 तो इन दोनों को मल्टीप्लाई करेंगे तो 6 अप 52 आएगा सेम 01 के लिए 20 अप 52 10 के लिए 6 अप 52 1 के लिए 20 अप 52 ठीक है तो एकवा पीएमएफ टेबल हमारा यह बन गया राइट यहां से जीरो वाले सारे सम कर दिए एक जगह और वन वाले सम कर दिए एक जगह तो 0 और व की ये आ गया तोवा स् एक्सपेक्टेशन ऑफ एक्सवा स्क्वा इ बेसिकली एक्सवा का स्क्वायर इनटू में f ऑफ एक्सवा राइट यही आता है ठीक है तो और इसका समेशन भी ठीक है इसका समेशन राइट ठीक है तो इस ये हो गया तो यहां से हमें जीरो वाले लिखने की जरूरत ही नहीं क्योंकि एकवा का स्क्वायर है ना एक्सवा का स्क्वायर यानी एक्सवा हमारा ऑलरेडी जीरो है तो कुछ भी लिखो उसे मतलब नहीं है तो इसको इग्नोर करो वन की बात करते 1 का स्क्वायर इनटू में 20/2 1 का स्क्वा * 22 दैट इज 0 38 0.38 इज आवर आंसर फॉर दिस क्वेश्चन ठीक है नाउ इसी का सब क्वेश्चन क्या है फाइंड द वेरियंस ऑफ x वेरियंस ऑफ x क्या होता है e ऑफ एकवा का होल स्क्वा माइ e ऑफ एकवा का होल स्क्वा ठीक है ठीक है तो हमने ये तो निकाल लिया अभी ऊपर ठीक है हमें ये निकालना है e ऑफ एक्वा निकालना है तो एक e ऑफ एक्वा एकवा टेबल हमारे पास यहां है तो यहां से e ऑफ एकवा भी सेम ही आएगा राइट 1 अप 20 20 अप 52 राइट 20 अप 52 बस यहां पे क्या है इसका पूरे का होल स् 20 / 52 का होल स्क्वा तो 20 / 52 - 20 / 52 का स्क्वा दैट इज 20 / 52 - 400 / 2704 ओके सॉल्व करेंगे हमारे पास आएगा 40 अप 169 दैट इज दिस आंसर ओके ठीक है ये क्वेश्चन भी हो गया नेक्स्ट की बात करते हैं यह क्वेश्चन यह भी थोड़ा सा ट्रिकी क्वेश्चन है क्योंकि इसमें बहुत सारी चीजें दी नहीं हु है हमें खुद सोच नहीं है ठीक है तो लेट्स से तो ग्राफ दे रखा है ठीक है कह रहा है वच ऑफ द फॉलोइंग इज ट्रू अल्फा बीटा इ अल्फ बीटा इट यासस ठीक है तो हम ये दे रखा है अल्फा माइनस अल्फा जीरो से लेके अल्फावन पर है और जीरो बीटा ये क्या है प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन ठीक है तो प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन से हम जानते हैं कि क्या होता है अगर पूरे का इंटीग्रेशन कर दो तो वन होता है ठीक है आल्सो हम जानते कि पीएमएफ जो होता है व बेसिकली क्या होता है एरिया अंडर दिस क ऑफ डेंसिटी फंक्शन है डेंसिटी फंक्शन का जो ग्राफ बनता है तो एरिया अंडर द कर्व बेसिकली व्ट पए राइट ठीक है हमें पता है हम क्या करते हैं यहां से एरिया अंडर द कर्व निकालते हैं इसका तो एरिया के लिए क्या इसका डिस्टेंस अपन क्योंकि ट्रायंगल है तो बेस इनटू हाइट कर सकते हैं हाफ इन बेस इन हाइट तो बेस क्या है ये है दो पॉइंट दिया हुआ है तो इस लेंथ निकाल लोगे तो लेंथ मैंने निकाल 2 अल्फा आया हाइट अगेन ये जीरो जीरो है तो इन दोनों से हाइट भी निकालो तो बीटा आया ठीक है तो एरिया क्या है मेरा 1/2 इन बेस * हाइट दैट इज 1 इक्व ू एरिया वन है ना क्योंकि पूरा ही है तो 1 इक्व टू हाफ इनटू बेस बेस क्या है 2 अल्फा इनटू में हाइट अल्फा ठीक है बीटा तो ू से टू कैंसिल हो गया तो अल्फा * बीटा = 1 तो यहां से हमें पता चल गया अल्फा * बीटा क्या है वन है नेक्स्ट क्वेश्चन कह रहा है p ऑफ x का मड ग्रेटर दन अल्फा बा 2 ठीक है का आंसर क्या होगा ठीक है तो x का मोड ग्रेटर दन अल्फ / 2 मतलब कि x इ ग्रेटर अफ / 2 x इ ले - अफ / 2 ठीक है तो ये हो गया ठीक है ये हो गया इसका कहने का मतलब क्या है ये एरिया प्लस में ये एरिया हमने ग्राफ में क्या करा प्लॉटिंग करी - अल्फ बा 2 दैट इज दिस पॉइंट एंड अल्फ बा 2 दैट इज दिस पॉइंट है ना तो इस वाले एरिया की बात कर रहा है प्लस में इस वाले एरिया की बात कर र है इधर वाले एरिया की राइट ये वाले एरिया की ठीक है इन दोनों का प्रोटी निकालना है तो हमने क्या करा हमने कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री यूज करा तो बेसिकली ये पॉइंट तो हमें पता चल गया है ना क्योंकि ये मिड पॉइंट है इस दोनों ने का ये रो जी और 0 अल्फा बाटू का तो ये निकल आया मेरा सेम यहां पे ये निकल आया मेरा ठीक है अब ये दोनों निकल आ है तो हम देखेंगे ये क्या है ये मेरा एक ट्रायंगल है ये मेरा एक ट्रायंगल है और ये दोनों लाइन आपस में क्या है पैरेलल है ठीक है और ये एक मिड पॉइंट है तो हमें ट्रायंगल थ्योरी से पता है कि अगर ये मिड पॉइंट है तो ये भी क्या होगा मिड पॉइंट होगा राइट तो मिड पॉइंट होगा तो ये ये और ये कोऑर्डिनेट पता है तो ये कोऑर्डिनेट मेरे को पता चल गया सेम ये ये कोऑर्डिनेट पता है तो ये कोऑर्डिनेट हमें पता चल गया ठीक है सब चीज पता चल गया तो ये हो गया तो अब मेरे को क्या करना है बस इसका एरिया निकाल दूं और वन में से माइनस कर दूं तो इसका इसका एरिया निकल जाएगा राइट तो ये एरिया निकालने के लिए मेरे को इस रेक्टेंगल प्लस इस ट्रायंगल का एरिया निकालना होगा ठीक है तो क्योंकि हमारे पास ये कोऑर्डिनेट ये कोऑर्डिनेट ये कोऑर्डिनेट ये कोऑर्डिनेट है तो सारे मतलब कोऑर्डिनेट्स है ही तो लेंथ निकाल लेते हैं तो इसका लेंथ निकाल लेंगे इसका लेंथ निकाल लेंगे ठीक है फिर इसका लेंथ निकाल ले अच्छा ये भी क्या होगा हाफ होगा हाइट राइट ये भी क्या होगा हाफ होगा क्योंकि ये और ये है ये इसका बीच का पॉइंट है यानी मिड पॉइंट है क्योंकि ये सेम ऐसे है तो इन दोनों का मिड पॉइंट ये होगा राइट तो यहां से ये ये से हाइट निकाल के हम 1/2 * बेस इनटू हाइट कर देंगे और यहां से बेस इनटू हाइट कर देंगे तो ये पूरा एरिया और दोनों का सम कर देंगे तो एरिया निकाल तो यही मैंने कह रहा ए बी सीडी ए बी सीडी तो हाफ बेस इनटू हाइट तो बेस मेरा कितना आया अल्फा और हाइट कितना आया बीटा / 2 है ना तो दैट इज 1/2 आया मेरा क्योंकि अल्फा बीटा हमने ऊपर निकाल रखा है अल्फा बीटा की वैल्यू कितनी है वन है ना तो 1/2 और एरिया ऑफ a a 1/2 * बेस इन हाफ इनटू बेस मेरा अल्फा है और बीटा मतलब हाइट आया बीटा / 2 है ना तो यहां से अल्फा बीटा / 4 आया तो अल्फा बीटा की वैल्यू व है तो 1 बा 4 ठीक है एंड हां ठीक है यह आ गया ओके नाउ यह आ गया तो इस वाले का बेसिकली प्रोटी क्या हुई इस वाले की प्रोटी हो गई 1 माइनस एरिया ऑफ दिस a बी सीडी है ए बी सीडी कौन सी है ये पूरी a बी a e बी सीडी ठीक है ये हो गया ठीक है तो ये 3/4 आया था उसका तो 1 - 3/4 दैट इज 1/4 दैट इज 0.25 जो कि हमारा आंसर है ठीक है तो इस पेपर में इतना ही था इतने ही क्वेश्चन थे तो आई होप आपको सारे क्वेश्चन समझ में आया होगा अगर नहीं समझ में आया तो आप बिल्कुल कमेंट कर सकते हो और वीडियो को लाइक करना चैनल को सब्सक्राइब करना मिलते हैं नेक्स्ट वीडियो में तब तक के लिए बाय बाय