कॉम्प्लेक्स इंटीग्रेशन लेक्चर नोट्स

परिचय

• प्रदीप ग अकाेडमी चैनल में स्वागत
• आज का विषय: कॉम्प्लेक्स इंटीग्रेशन
• पहले से बने वीडियो: लीनियर एलजेब्रा
• आज का पहला टॉपिक: लाइन इंटीग्रल (सर्कल और पाराबोला)

प्राथमिक बातें

• सर्कल से संबंधित बुनियादी बातें。
• जेड को 𝑟e^(iθ) के रूप में प्रदर्शित किया जाता है:
  • जेड का मतलब: 𝑟e^(iθ) (एक्सपोनेंशियल फॉर्म)
  • मोड ऑफ़ जेड denoted by 𝑟 (मोद का मतलब: √(𝑥² + 𝑦²))

मुख्य फॉर्म्स

• 𝑟e^(iθ): एक्सपोनेंशियल फॉर्म
• 𝑚𝑜𝑑 𝑓(𝑧) = √(𝑥² + 𝑦²)

यूनिट सर्कल

• यूनिट सर्कल: रेडियस = 1
• एंगल वेवंग:
  • 0°
  • π/2 (90°)
  • π (180°)
  • 3π/2 (270°)
  • 2π (360°)

अपर हाफ सर्कल

• यदि मामला अपर हाफ सर्कल का हो:
  • सीमाएँ: 0 से π

इंटीग्रेशन प्रक्रिया

• इंटीग्रेशन की प्रक्रिया और कदम:
  1. सर्कल के लिए 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑓(𝑡) की पहचान करना (0 से 2π)
  2. जेड का मान रखना: 𝑧 = 𝑟e^(iθ)
  3. dz का मान प्रस्तुत करना: dz = 𝑟e^(iθ) + ...

उदाहरण प्रश्न

• इवैल्यूएट करें: ∫(e^(iθ) dθ)
  • 0 से π तक का क्षेत्रफल

गणनाएँ एवं उत्तर

• मुख्य कदम: 𝑟 का मान और उसके बाद इंटीग्रेशन
• प्रश्न में दिये गए निर्देशों का पालन करें

विस्तृत प्रश्नों का हल

1. कार्यक्षेत्र:

   • 𝑒^(iθ) और 𝑑𝑧 का कृत्रिम चयन
   • विशेष ध्यान देना: य, वी, और उनकी सीमाएँ

2. अंतिम परिणामों की पुष्टि:

   • ऑलरेडी ज्ञात उत्तर की स्थिति के अनुसार समाधान करना

3. प्रमुख उत्तर:

   • कुछ हृदय परिवर्तन के बाद, सब कुछ सरल बनाना

समापन

• अगले लेक्चर में स्ट्रेट लाइन और पाराबोला पर ध्यान केंद्रित करेंगे।
• सभी के लिए धन्यवाद! जय हिंद!