Vorlesung: Einführung in die fortgeschrittene Verschlüsselungstechnik

Überblick

• Thema: Advanced Encryption Standard (AES)
• Wichtige mathematische Grundlagen zur Verschlüsselung
• Einführung neuer Mitglieder der Universität
• Fokussierung auf Effizienz und Motivation in der Kryptographie

Kapitel 2: Einführung in finite Felder

Definition und Eigenschaften

• Gruppe: Struktur bestehend aus Elementen und zwei Operationen
  • Geschlossenheit
  • Assoziativität
  • Existenz eines neutralen Elements
  • Existenz eines inversen Elements
• Feld: Erweiterte Struktur mit zusätzlichen Eigenschaften
  • Addition und Multiplikation
  • Distributivität der Multiplikation über die Addition

Endliche Felder (Galois-Felder)

• Notation: GF(p^m), wobei p eine Primzahl ist und m eine positive ganze Zahl
• Beispiele: GF(2), GF(2^8)
• Eigenschaften von Elementen
• Polynome: Repräsentation von Elementen und Operationen in endlichen Feldern

Anwendung in der Kryptographie

• Verschlüsselung in Web-Browsern, Kreditkarten und anderen sicheren Kommunikationssystemen
• Effiziente Berechnungen in endlichen Feldern
• Spezialoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Termination und Notation

• Polynomiale Repräsentation: Darstellung von Elementen als Polynome
• Modulararithmetik: Berechnungen modulo ein irreduzibles Polynom
• Praktische Rechenbeispiele: Multiplikation und Reduktion

Wichtigkeit von Primzahlen

• Definition: Primzahlen sind positive, ganze Zahlen größer als 1 ohne andere positive Teiler als 1 und sich selbst
• Verwendung: Grundlegende Bausteine in der Kryptographie
• Beispiele: Verwendung von Primzahlen in der Konstruktion von Feldern GF(p)

Computation und Algorithmen

• Algorithmische Berechnungen: Schritte zur Berechnung in endlichen Feldern
  • Multiplikation und Reduktion von Polynomen
  • Verwendung spezieller Algorithmen zur Effizienzsteigerung
• Praxisnahe Anwendungen: Beispiele aus der realen Welt wie Webbrowser und sichere Kommunikationssysteme

Zusammenfassung

• Wiederholung der Kernkonzepte: Gruppen, Felder, endliche Felder und ihre Eigenschaften
• Bedeutung der Primzahlen: Schlüsselrolle in der Kryptographie
• Praktische Anwendungen: Nutzung von endlichen Feldern in der modernen Verschlüsselungstechnologie

Fragen und Diskussionen: Möglichkeit zum Stellen von Fragen und Diskussion über die Vorlesungsinhalte