Overview
Pertemuan ini membahas aplikasi teorema residu untuk menghitung integral fungsi real, terutama integral tak wajar, integral yang memiliki titik singular di sumbu-x, dan integral fungsi trigonometri. Penekanan pada identifikasi titik singular dan penerapan lintasan tertutup dalam bidang kompleks.
Konsep Dasar Teorema Residu
- Teorema residu digunakan untuk menghitung integral fungsi real tertentu dengan mengidentifikasi residu di titik singularnya.
- Integral metode residu berlaku untuk lintasan tertutup sederhana berorientasi positif.
- Yang diperhatikan hanya titik singular di dalam interior lintasan, bukan di luar.
- Jika semua titik tidak analitik di luar lintasan, nilai integralnya nol.
Cara Menentukan Residu
- Residu dapat dicari dengan menguraikan fungsi menjadi deret Laurent atau menggunakan rumus limit dan turunan sesuai tipe pole (sederhana atau orde m).
- Untuk pole sederhana gunakan limit; untuk orde m gunakan turunan ke-(m-1).
Aplikasi Integral Tak Wajar
- Integral tak wajar diidentifikasi dari batas tak hingga dan/atau kehadiran titik singular dalam selang.
- Integral tak wajar konvergen jika nilai limitnya berhingga, divergen jika tidak.
- Principal value (nilai utama) dinilai dari limit integral bilateral, penting untuk kasus selang simetri.
- Principal value ada belum tentu integralnya konvergen.
Penerapan Teorema Residu pada Integral Tak Wajar
- Pilih bentuk FX = PX/QX, dengan PX dan QX polinom real tanpa faktor persekutuan.
- Ubah FX menjadi FZ dengan mengganti x ke z, lalu identifikasi titik singular di atas sumbu-x.
- Bentuk lintasan tertutup dari sumbu-x dan setengah lingkaran di atas sumbu-x.
- Integral pada setengah lingkaran mendekati nol jika derajat penyebut lebih besar dari pembilang.
- Principal value integral dari -∞ sampai ∞ sama dengan 2πi × jumlah residu pada titik singular di atas sumbu-x.
Integral Dengan Titik Singular di Sumbu-x
- Jika ada titik singular di sumbu-x, lintasan dibuat menghindari titik tersebut dengan setengah lingkaran kecil (C2).
- Integral pada CR tetap nol; integral pada C2 dihitung sebagai -πi × residu di titik singular pada sumbu-x.
- Principal value = 2πi × (jumlah residu di atas sumbu-x) + πi × residu pada sumbu-x.
Integral Trigonometri dan Integral Tentu
- Untuk fungsi kosinus dan sinus gunakan ekspresi eksponensial (e^(iz)); kos diambil bagian real, sin bagian imajiner.
- Pada integral tentu 0 sampai 2Ï€, konversikan ke lintasan melingkar penuh dan gunakan substitusi bilangan kompleks.
Key Terms & Definitions
- Teorema Residu — Metode menghitung integral lintasan kompleks dengan menjumlahkan residu di titik singular dalam lintasan.
- Titik Singular — Titik pada fungsi di mana fungsi tidak analitik (misal, penyebut nol).
- Principal Value — Nilai utama integral tak wajar, dihitung dari limit simetris integral.
- Pole/Tiang — Jenis titik singular, sederhana atau orde m (multiplisitas m).
- Lintasan C — Lintasan tertutup yang digunakan dalam integral kompleks (biasanya setengah atau penuh lingkaran).
- Integral Tak Wajar — Integral dengan batas tak hingga atau fungsi tidak terdefinisi pada beberapa titik dalam interval.
Action Items / Next Steps
- Kerjakan soal latihan: nomor 1a, 2d, dan 3b (deadline akan diinformasikan).
- Pelajari kembali teknik mencari residu, khususnya untuk pole orde dua.
- Siapkan diri untuk kuis, fokus pada aplikasi teorema residu pada integral tak wajar fungsi real.