Panoramica
Questa lezione spiega i prodotti notevoli nell'algebra dei polinomi, concentrandosi sul quadrato di un binomio e sulla somma per differenza, con esempi svolti e osservazioni chiave.
Prodotti Notevoli: Introduzione
- I prodotti notevoli sono regole rapide per eseguire operazioni comuni sui polinomi in modo veloce.
- Queste regole sono particolarmente utili per semplificare e fattorizzare polinomi.
Quadrato di un Binomio
- Il quadrato di un binomio (a + b)² è uguale a a² + 2ab + b².
- Questa formula funziona per qualsiasi monomio sostituito a a e b.
- (a - b)² è uguale a a² - 2ab + b²; il segno del termine centrale dipende dai segni di a e b.
- Il quadrato della somma non è uguale alla somma dei quadrati: (a + b)² ≠ a² + b².
- Esempio: (2x + 3y)² = 4x² + 12xy + 9y².
- Esempio: (2x - 3y)² = 4x² - 12xy + 9y².
- Esempio: (−2x² + ½xy)² = 4x⁴ − 2x³y + ¼x²y².
- Il segno del termine del doppio prodotto (2ab) è positivo se entrambi i termini hanno lo stesso segno, negativo se i segni sono diversi.
- I quadrati sono sempre positivi.
- Interpretazione geometrica: (a + b)² rappresenta l'area di un quadrato con lati a + b, diviso in parti specifiche corrispondenti alla formula.
Somma per Differenza (Prodotto di una Somma e una Differenza)
- (a + b)(a - b) = a² - b² (differenza di quadrati).
- Funziona per qualsiasi espressione al posto di a e b, anche se sono somme complesse.
- Esempio: (3x + 2y)(3x − 2y) = 9x² − 4y².
- Esempio: (⅔x − 1)(⅔x + 1) = 4x²/9 − 1.
- Esempio: (−x³ + z)(−x³ − z) = x⁶ − z².
- Esempio: (x + y + 1)(x + y − 1) = (x + y)² − 1 = x² + 2xy + y² − 1.
- Se entrambi i termini tra parentesi cambiano segno, non è una somma per differenza; es. (a − b)(b − a) = −(b − a)².
- Interpretazione geometrica: (a + b)(a − b) è uguale alla differenza delle aree di due quadrati.
Termini Chiave e Definizioni
- Prodotti Notevoli — Regole brevi per operazioni algebriche comuni che coinvolgono polinomi.
- Binomio — Un'espressione algebrica con due termini.
- Quadrato di un Binomio — Formula: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- Somma per Differenza — Il prodotto (a + b)(a − b) = a² − b².
- Differenza di Quadrati — a² − b², risultato della moltiplicazione della somma per la differenza degli stessi due termini.
- Doppio Prodotto — Il termine 2ab in (a + b)² o (a − b)².
Azioni / Passi Successivi
- Esercitarsi ad applicare le formule dei prodotti notevoli per semplificare ed espandere espressioni polinomiali.
- Prepararsi per la prossima lezione sul cubo di un binomio e il quadrato di un trinomio.