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मैट्रिसेस व्याख्यान नोट्स

Jul 13, 2024

मैट्रिसेस परिचय व्याख्यान

मेन टॉपिक्स:

  • स्क्वायर मैट्रिक्स
  • अलजेब्रा ऑफ मैट्रिक्स
  • मल्टीप्लिकेशन ऑफ मैट्रिक्स
  • ट्रांसपोर्ट ऑफ मैट्रिक्स
  • सिमेट्रिक और ऍंटी-सिमेट्रिक मैट्रिक्स
  • पॉजिटिव इंटीग्रल पावर्स ऑफ मैट्रिक्स
  • एडज्वाइंट और इन्वर्स
  • मेथड सॉल्यूशन ऑफ लीनियर इक्वेशंस
  • करैक्टेरिस्टिक थिंग्स और थ्योरी

मैट्रिक्स का परिचय

  • ऐरेन्ज़मेंट ऑफ रोज एंड कॉलम्स
  • ऑर्डर ऑफ मैट्रिक्स: एम x एन
  • एलिमेंट्स: रोज x कॉलम्स

स्पेशल टाइप्स ऑफ मैट्रिक्स

  1. स्क्वायर मैट्रिक्स: रोज=कॉलम्स
  2. रेक्टेंगुलर मैट्रिक्स: रोज ≠ कॉलम्स
  3. जीरो मैट्रिक्स: सभी एंट्री जीरो
  4. हॉरिजॉन्टल & वर्टिकल मैट्रिक्स: रोज और कॉलम्स अनुपात
  5. स्केलर मैट्रिक्स: डायग्नल एलिमेंट्स समान
  6. आइडेंटिटी मैट्रिक्स: डायग्नल एलिमेंट्स 1
  7. त्रिकोणीय मैट्रिक्स:
    • अप्पर: सब एंट्रीज जीरो नीचे डायग्नल
    • लोअर: सब एंट्रीज जीरो ऊपर डायग्नल

मैट्रिक्स एलजेब्रा

  1. इक्वलिटी: दोनों मैट्रिक्स का ऑर्डर और एलिमेंट्स सामान
  2. एडिशन: कॉरस्पॉंडिंग एलिमेंट्स ऐड
  3. मल्टीप्लिकेशन: रो x कॉलम, ऑर्डर महत्वपूर्ण
    • एम x एन और एन x पी का परिणाम एम x पी
  4. ट्रांस्पोज: रो और कॉलम स्वैपिंग
    • (A^T): A का ट्रांस्पोज
  5. त्रेस: स्क्वायर मैट्रिक्स की डायग्नल एंट्रीज का योग

सिमेट्रिक और ऐंटी-सिमेट्रिक मैट्रिक्स

  1. सिमेट्रिक: A = A^T
  2. ऐंटी-सिमेट्रिक: A^T = -A
    • सभी डायग्नल एंट्रीज जीरो

एडज्वाइंट और इन्वर्स

  1. एडज्वाइंट: को-फैक्टर मैट्रिक्स का ट्रांसपोज
  2. इन्वर्स: A^(-1) = (Adjoint(A))/det(A)
    • A * A^(-1) = I*

करैक्टरिस्टिक इक्वेशन और केलि-हेमिल्टन थ्योरम

  1. करैक्टरिस्टिक इक्वेशन: det(A - λI) = 0
  2. केलि-हेमिल्टन थ्योरम: हर मैट्रिक्स अपनी करैक्टरिस्टिक इक्वेशन को संतुष्ट करती है
  3. इन्वर्स फाइंडिंग: थ्योरम का उपयोग कर इन्वर्स निकालना

आवृत्तिक मैट्रिक्स

  1. आवृत्तिक मैट्रिक्स: A^(k+1) = A
    • के-तम आवृत्ति

Important Points and Summary

  • मैट्रिक का ज्ञान स्क्वायर एंड रेक्टेंगुलर में महत्वपूर्ण
  • डायग्नल एंट्रीज, सिमेट्रिक और ऐंटी-सिमेट्रिक विशेष तौर पर याद रखें
  • करैक्टरिस्टिक इक्वेशन और केलि-हेमिल्टन थ्योरम का अध्धयन आवश्य करें
  • रोज और कॉलम्स के रिलेशन महत्वपूर्ण हैं