Hallo ihr Lieben, in diesem Video möchte ich mir mit euch zusammen die verschiedenen Zahlenmengen anschauen, die es gibt. Und die habe ich euch jetzt hier schon mal hingeschrieben. Es gibt die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen. Es gibt auch noch komplexe Zahlen, aber die habe ich jetzt hier erstmal rausgelassen.
Das sind die vier wichtigsten, die ihr auf jeden Fall braucht. Und wir schauen uns jetzt mal die unterschiedlichen Typen davon an. Wir starten mit den einfachsten, nämlich den natürlichen Zahlen.
Die werden mit einem N, großen N abgekürzt, mit so einem Doppelstrich hier vorne. Und das sind die allerersten Zahlen, die ihr überhaupt jemals kennengelernt hattet. Das sind alle Zahlen, mit denen man eben zählen kann. Also los geht's bei der 1, 2, 3, 4 und so weiter und so fort. Das sind positive Zahlen und ganze Zahlen, also da ist keine Kommazahl mehr drin.
Das ist alles, was man wirklich zählen kann. Ein Apfel, zwei Äpfel, drei Äpfel. Fertig.
Bei manchen ist die Null auch noch mit hier drin. Das muss aber nicht sein. Das kommt immer darauf an, wie das bei euch festgelegt ist. Da müsst ihr einfach darauf achten, wie das bei euch zu machen ist.
Manche bezeichnen dann aber, wenn sie ganz sicher gehen wollen, dass die Null mit drin sein soll, dann sieht man sowas. So ein N mit einer Null dran. dann ist die 0 auf jeden Fall mit drin. Also wenn ihr das seht, dann müsst ihr die 0 mit aufnehmen und dann geht es einfach ganz normal weiter, wie ihr eben zählen würdet. Das sind die natürlichen Zahlen.
Das ist die kleinste Zahlenmenge, die es gibt. Die haben natürlich nicht ausgereicht, deswegen hat man noch weitere Zahlen hinzugefügt. Also die ganzen Zahlen ist jetzt die nächstgrößere Zahlengruppe oder Zahlenmenge und...
Die werden mit einem Z abgekürzt, das auch so einen Doppelstrich hier hat. Und die ganzen Zahlen, die beinhalten die natürlichen Zahlen. Also da sind auch ganz normal die 1, 2, 3, 4 und so weiter und so fort dabei. Die 0 ist auf jeden Fall mit dabei. Aber es kommen zu diesen natürlichen Zahlen, kommen jetzt noch weitere Zahlen hinzu, weil man wollte die Menge eben erweitern.
Und zwar hat man jetzt die negativen Zahlen mit. reingenommen hier. Also hier sind auch minus 1, minus 2, minus 3 und so weiter und sofort drin.
Aber auch als ganze Zahlen. Also hier sind keine negativen Kommazahlen drin, sondern alle positiven Zahlen, mit denen man zählen kann und alle negativen Varianten davon. Das ist die Menge der ganzen Zahlen.
Und das hat dann aber irgendwann auch nicht mehr ausgereicht und deswegen hat man sich eben... noch eine größere Menge gesucht. Vielleicht können wir die Mengen, die wir bisher haben, aber auch erstmal anschaulich uns angucken.
Also die natürlichen Zahlen ist die kleinste Menge, das hatte ich ja eben schon gesagt. Also wenn wir die zeichnen würden sozusagen, wäre das hier so diese kleine Menge. Und die hat eben nicht ausgereicht, deswegen hat man sich eine größere Menge gesucht. Das waren die ganzen Zahlen, die ich euch eben gezeigt hatte, wo auch die negativen mit drin liegen. Wie ihr hier seht, Die natürlichen Zahlen liegen auch in den ganzen Zahlen drin.
Das sind ja diese positiven. Und zusätzlich liegen aber eben noch minus 1 und minus 2 hier drin. In den natürlichen Zahlen liegen 1, 2, 3. Und in den ganzen Zahlen kamen eben noch die negativen mit dazu. Okay, dann erweitern wir uns. Wir kommen zu den rationalen Zahlen.
Da nimmt man jetzt noch mehr Zahlen dazu. Und das Ding wird mit einem Q. Abgekürzt.
In den rationalen Zahlen liegen jetzt natürlich alle, die vorher schon drin lagen. Also da ist auch die minus 3 drin, die minus 2, die 0, die 1 und so weiter und so fort. Alle Zahlen, die schon vorher drin waren, liegen auch in den rationalen Zahlen.
Aber es kommen jetzt noch welche dazu, die eben nicht in den vorherigen Mengen drin lagen. Und das sind die sogenannten Brüche. Einhalb, zwei Drittel. Alle Zahlen, die man als...
Bruch darstellen kann, kommen bei den rationalen Zahlen noch dazu. Dinge, die man als, oder Zahlen, die man als Bruch schreiben kann, die kann man ja auch als Kommazahl schreiben. Also zum Beispiel 1,25 wäre auch natürlich in den rationalen Zahlen drin, denn das ist ja einfach nur eigentlich ein Bruch, den man dann eben als Kommazahl oder Dezimalzahl schreiben könnte.
Auch 1,3 Periode oder 1, 2,3 Periode. Periode 3, auch die Zahl liegt in den rationalen Zahlen, weil sie als Bruch darstellbar ist. Also alle Brüche und dementsprechend alle Kommazahlen die endlich sind, also von den Nachkommastellen irgendwann aufhören, also 1,2345, wenn die Zahl dann vorbei ist. Die Zahl liegt in den rationalen Zahlen. Oder wenn es periodische Kommazahlen sind, dann liegen die in den rationalen Zahlen drin.
Das heißt, wenn wir unser Diagramm jetzt gleich nochmal anschauen, haben wir jetzt eine noch größere Menge gefunden. Die heißt Q, das sind die rationalen Zahlen. In Q liegen alle vorherigen natürlichen Zahlen und auch alle vorherigen ganzen Zahlen drin, aber zusätzlich kommen noch alle Brüche dazu.
Einhalb, zwei Drittel oder wie gesagt auch dementsprechend die Kommazahlen dazu. 1,25, 1, Periode 3, 7, 7, 3, so rum. Alle endlichen Kommazahlen und periodischen Kommazahlen. Das sind ja... die Brüche.
Und das hat aber irgendwann immer noch nicht ausgereicht und deswegen hat man die letzte Menge der Zahlen dann eben gebildet. Die Größe, die euch bekannt sein sollte, das sind dann die reellen Zahlen, die mit einem großen R, mit so einem Doppelstrich abgekürzt werden. Wie gesagt, es gibt noch eine größere, das sind die komplexen Zahlen, aber da man die normalerweise nicht in der Schule kennenlernt.
Wahrscheinlich, ja, manchmal schon, nicht immer, habe ich die jetzt einfach mal hier weggelassen. Die reellen Zahlen beinhalten, wie eben auch, alle vorherigen Zahlen. Also da sind die minus 3 aus den ganzen Zahlen drin. Es ist auch die 4 aus den natürlichen Zahlen drin. Es sind auch die Brüche aus den rationalen Zahlen drin.
Und welche sind jetzt neu? Das sind die sogenannten irrationalen Zahlen. Irrationale Zahlen sind Zahlen, die als Kommazahl darstellbar sind, aber die bricht nicht ab.
Also das ist wie wenn ihr in euren Taschenrechner irgendwas eintippt und hinten steht nur noch Punkt, Punkt, Punkt. Die Zahl geht immer weiter. Das wären so Zahlen wie Wurzel aus 2. Wenn ihr das in euren Taschenrechner eintippt, kommt da irgendeine komische Zahl raus, die auf jeden Fall nicht endet und auch nicht periodisch ist als Kommazahl. Oder die Zahl Pi, falls ihr über die schon mal...
oder auf die ihr schon mal gestoßen seid, die ist hier auch mit drin. Das sind irrationale Zahlen. Die sind zusätzlich zu allen anderen dann in den reellen Zahlen drin.
Das heißt, wenn wir auf unser Diagramm nochmal gehen, hier hätten wir jetzt die letzte Zahlenmenge. Die ist die größte, in der es wirklich sind alle Zahlen drin, die ihr überhaupt kennt. Das sind die reellen Zahlen.
Die beinhalten natürlich die... Rationalen Zahlen, die ganzen Zahlen und die natürlichen Zahlen, aber zusätzlich zu denen da kommen dann halt, wie gesagt, noch Wurzel aus 2, Pi oder wenn ihr dann 1,32578 irgendwelche Kommazahlen, die nicht aufhören, die liegen hier drin. Wurzeln liegen hier drin, aber da müsst ihr ein bisschen aufpassen, Wurzel aus 2 ist eine irrationale Zahl, weil wenn ihr den Taschenrechner eben eintippt, ich glaube...
1,41 und so weiter und so fort, die hört nicht auf. Also die geht einfach Punkt, Punkt, Punkt weiter. Das ist eine irrationale Zahl. Die Wurzel aus 25 aber zum Beispiel, ich schreibe die mal nicht da rein. Wir gucken uns die erstmal an, wo die überhaupt hingehört.
Die Wurzel aus 25 kann man ja ziehen. Die ist ja 5. Das heißt, das ist eine natürliche Zahl, die Wurzel aus 25. Die hätte schon direkt hier drin gesteckt in den natürlichen Zahlen. Also lasst euch da nicht irgendwie verwirren. Das müssen nicht immer Wurzeln sein, die dann in den reellen Zahlen drin sind.
Es kommt ganz darauf an, wie diese Wurzel dann halt eben, ob die gezogen werden kann oder nicht. Also die Wurzel 25 wäre 5 und damit eine natürliche Zahl. Genau, diese Zahlen gibt es alle ganz außenrum. Immer noch der Vollständigkeit halber stecken da noch die komplexen Zahlen, die mit einem C abgekürzt werden. Aber das...
Hat euch, glaube ich, noch nichts zu interessieren. Das kommt dann erst später. Vielleicht überhaupt.
Genau, das ist das Riesending. Ich hoffe, es ist jetzt klar geworden, welche Zahlen in welchen Mengen drinstecken. Falls ihr aber Fragen habt, dann meldet euch einfach in den Kommentaren.