Cours Complet sur les Suites

Introduction

• Objectif : Comprendre les éléments essentiels des suites, en particulier le comportement à l'infini, les propriétés des suites géométriques, et la notion de suite majorée et minorée.
• Exercices : Il est crucial de s'entraîner avec des exercices supplémentaires.
• Non inclus : Raisonnement par récurrence et algorithmique en relation avec les suites.

Comportement à l'Infini d'une Suite

• Exemple de suite : $u_n = n^2$
  • Calcul des premiers termes : $u_0 = 0$, $u_1 = 1$, $u_2 = 4$, $u_3 = 9$
  • Question : Que se passe-t-il lorsque $n$ est très grand?
• Limites : Notation $\lim_{n \to \infty} u_n = \infty$
  • Les termes de $u_n$ peuvent devenir aussi grands qu'on le souhaite à partir d'un certain rang.
• Graphique : Tous les termes au-dessus de la valeur $a$ à partir d'un certain rang.
• Définition formelle : $\lim_{n \to \infty} u_n = \infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $\infty$ contient tous les termes à partir d'un certain rang.

Limite Finie

• Exemple de suite : $u_n = 1 + \frac{1}{n^2}$
  • Calcul des premiers termes : $u_1 = 2$, $u_2 = 1,25$, $u_3 = 1,11$
  • Observation : Les termes semblent se rapprocher de 1.
• Définition rigoureuse : $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$ signifie que tout intervalle ouvert contenant 1 contient tous les termes à partir d'un certain rang.
• Vocabulaire : Suite convergente vs divergente
  • Convergente : $u_n$ tend vers un nombre réel, ex. $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$
  • Divergente : $u_n$ tend vers $\infty$ ou $-\infty$ ou n'a pas de limite.

Suites Usuelles et Limites Connues

• Limites infinies : $n, n^2, \sqrt{n} \to \infty$
• Limites finies : $\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}, \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$

Propriétés des Limites

• Somme : $\lim_{n \to \infty} (u_n + v_n) = L + L'$
• Produit : $\lim_{n \to \infty} (u_n \cdot v_n) = L \cdot L'$
  • Cas particuliers avec $\infty$ et $\lim_{n \to \infty} u_n = -4$
• Quotient : $\lim_{n \to \infty} (\frac{u_n}{v_n})$
  • Formes indéterminées : $\infty - \infty, \frac{\infty}{\infty}, \frac{0}{0}$

Suites Géométriques

• Forme de récurrence : $u_{n+1} = q \cdot u_n$
• Forme explicite : $u_n = u_0 \cdot q^n$
• Limites des suites géométriques :
  • $q > 1 \to \infty$
  • $-1 < q < 1 \to 0$
  • $q = 1 \to 1$
  • $q \leq -1$ : Pas de limite
• Somme de termes : $1 + q + q^2 + ... + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Théorèmes de Comparaison

• Théorème du sandwich (Théorème des gendarmes) :
  • Si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et $\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} w_n = L$, alors $\lim_{n \to \infty} v_n = L$.
• Théorème de comparaison :
  • Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim_{n \to \infty} u_n = \infty$, alors $\lim_{n \to \infty} v_n = \infty$. (Idem pour $-\infty$)

Suites Majorées et Minorées

• Suite Majorée : Il existe une constante $M$ telle que $u_n \leq M$ pour tout $n$.
• Suite Minorée : Il existe une constante $m$ telle que $u_n \geq m$ pour tout $n$.
• Suite Bornée: Suite à la fois majorée et minorée.

Théorème de Convergence Monotone

• Croissante et majorée : Suite convergente.
  • Exemple : suite décroissante et minorée $\to$ convergente.
• Corollaire :
  • Suite croissante non majorée $\to \infty$
  • Suite décroissante non minorée $\to -\infty$

Conclusion

• Importance de faire des exercices pour maîtriser les concepts.