Вступ до тригонометричних функцій

Overview

• Лекція присвячена введенню тригонометричних функцій, їх означенням у прямокутному трикутнику та на одиничному колі.
• Розглядаються основні співвідношення, знаки функцій у чвертях та правило використання формул зведення.

Подібність трикутників і поява тригонометрії

• Згадується теорема Фалеса про рівні відрізки, що відтинаються паралельними прямими в куті.
• На основі теореми Фалеса вводиться поняття пропорційних відрізків та подібності трикутників.
• Перша ознака подібності: два трикутники подібні, якщо мають два рівні кути.
• Для прямокутних трикутників: наявний спільний прямий кут, тому достатньо рівності одного гострого кута.
• Відповідні сторони подібних трикутників пропорційні, їхні відношення постійні для даного кута.
• Звідси: гострому куту можна поставити у відповідність сталі відношення сторін.

Відношення сторін у прямокутному трикутнику

• Нехай у двох подібних прямокутних трикутниках сторони: A₁, B₁, C₁ та A₂, B₂, C₂.
• Розглядаються всі можливі відношення A₁, B₁, C₁ попарно, включно з оберненими.
• Можемо утворити шість різних відношень сторін у прямокутному трикутнику.
• Кожному гострому куту відповідає певне фіксоване числове відношення, незалежно від розміру трикутника.
• Така відповідність є функціональною залежністю – виникають тригонометричні функції кута.

Тригонометричні функції гострого кута в трикутнику

• Розглядається прямокутний трикутник з гострим кутом α.
• Вводяться назви шести основних відношень сторін.

• Найчастіше у практиці використовують sin, cos, tg; решту виражають через них.
• Наприклад: sec α = 1 / cos α, cosec α = 1 / sin α тощо.

Зв’язок тригонометричних функцій доповняльних кутів

• У прямокутному трикутнику: сума гострих кутів дорівнює 90°.
• Якщо один гострий кут α, інший дорівнює 90° − α.
• Позначаємо катети A, B, гіпотенузу C.
• cos α = A / C, sin α = B / C.
• Для кута 90° − α прилеглим буде катет B, протилежним – катет A.
• cos(90° − α) = B / C = sin α.
• sin(90° − α) = A / C = cos α.
• Це перші приклади формул зведення для синуса й косинуса.

Основна тригонометрична тотожність

• Маємо: cos α = A / C, sin α = B / C.
• Виражаємо катети: A = C·cos α, B = C·sin α.
• За теоремою Піфагора: A² + B² = C².
• Підставляємо: (C·cos α)² + (C·sin α)² = C².
• Отримуємо: C²cos²α + C²sin²α = C².
• Ділимо на C²: cos²α + sin²α = 1.
• Це основна тригонометрична тотожність, незалежна від конкретного значення α.
• Важливо: аргументи синуса і косинуса у тотожності мають бути однаковими.

Зв’язки між sin, cos, tg, ctg

• У прямокутному трикутнику:
  • tg α = (протилежний катет) / (прилеглий катет) = B₁ / A₁.
  • ctg α = (прилеглий катет) / (протилежний катет) = A₁ / B₁.
• Добуток A₁ / B₁ · B₁ / A₁ = 1 ⇒ tg α · ctg α = 1 (якщо обидві функції визначені).
• Відношення:
  • (cos α) / (sin α) = (A₁ / C₁) / (B₁ / C₁) = A₁ / B₁ = ctg α.
  • (sin α) / (cos α) = (B₁ / C₁) / (A₁ / C₁) = B₁ / A₁ = tg α.
• Таким чином:
  • tg α = sin α / cos α.
  • ctg α = cos α / sin α.

Одиничне коло та означення sin і cos довільного кута

• Будується прямокутна система координат і коло радіуса 1 із центром у початку координат.
• Вибирається точка A(x₀; y₀) на колі в першій чверті.
• Опускається перпендикуляр з A на вісь Ox, отримується точка B(x₀; 0).
• Відрізки: OB = x₀, AB = y₀, OA = 1 (радіус).
• У цьому прямокутному трикутнику:
  • sin α = протилежний катет / гіпотенуза = y₀ / 1 = y₀.
  • cos α = прилеглий катет / гіпотенуза = x₀ / 1 = x₀.
• Отже, координати точки A на одиничному колі визначаються кутом α.

Нові узагальнені означення

• Синусом кута α називають y‑координату відповідної точки на одиничному колі.
• Косинусом кута α називають x‑координату відповідної точки на одиничному колі.
• Ці означення узгоджуються з означеннями у прямокутному трикутнику для гострих кутів.

Знаки sin і cos у координатних чвертях

• При русі по одиничному колу значення sin α і cos α залежать від чверті.

• При 0°: точка на осі Ox з координатами (1; 0): sin 0° = 0, cos 0° = 1.
• При 90°: точка на осі Oy з координатами (0; 1): sin 90° = 1, cos 90° = 0.
• При 180°: точка (−1; 0): sin 180° = 0, cos 180° = −1.
• При 270°: точка (0; −1): sin 270° = −1, cos 270° = 0.
• При додаванні 360° кут повертається в ту саму точку (періодичність).
• Наприклад, 450° = 360° + 90° ⇒ точка (0; 1), як для 90°.

Означення tg і ctg за допомогою одиничного кола

Тангенс через лінію тангенсів

• Будується одиничне коло, точка A(x₀; y₀) на ньому, початок координат O(0; 0).
• Через точку (1; 0) проводиться пряма, паралельна осі Oy – це лінія тангенсів.
• Пряма OA перетинає лінію тангенсів у точці B(1; y₁).
• Кут між віссю Ox та OA дорівнює α, такий самий кут при точці (1; 0).
• У прямокутному трикутнику з кутом α:
  • протилежний катет = y₁, прилеглий катет = 1.
  • tg α = y₁ / 1 = y₁.
• Тангенсом кута α є y‑координата точки перетину прямої OA з лінією тангенсів.

Котангенс через лінію котангенсів

• Будується одиничне коло, точка A(x₀; y₀) на колі.
• Лінія котангенсів – пряма, дотична до кола в точці (0; 1), паралельна осі Ox.
• Пряма OA перетинає цю лінію в точці C(x₁; 1).
• Утворюється прямокутний трикутник з катетами x₁ і 1.
• Кут α – той же, що й при побудові OA.
• ctg α = прилеглий катет / протилежний катет = x₁ / 1 = x₁.
• Котангенсом кута α є x‑координата точки перетину OA з лінією котангенсів.

Знаки tg і ctg та точки невизначеності

• tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α.
• Знак tg і ctg визначається знаком sin і cos:

• tg і ctg додатні в I та III чвертях, від’ємні в II та IV чвертях.
• Де sin α = 0, tg α не визначений (ділення на нуль).
• Де cos α = 0, ctg α не визначений.
• Наприклад:
  • ctg 0° не існує: пряма вздовж осі Ox не перетне паралельну до Ox лінію котангенсів.
  • tg 90° не існує: вісь Oy не перетне паралельну до Oy лінію тангенсів.
• Причина невизначеності – ділення на нуль; це не усувається звичайними арифметичними операціями.

Формули зведення та «швидкий» рахунок тригонометричних виразів

• Формули зведення дозволяють зводити значення sin, cos, tg, ctg великих кутів до «табличних».
• Використовується одиничне коло й аналіз положення кута відносно осей.

Основні ідеї

• Кут подають як суму або різницю з 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
• Від чого «відштовхуємося»:
  • від осі Ox (0°, 180°, 360°…) – функцію не змінюємо.
  • від осі Oy (90°, 270°…) – функцію змінюємо на кофункцію.
• Кофункції:
  • до sin – cos, до cos – sin, до tg – ctg, до ctg – tg.
• Знак визначається чвертю, у яку «переходимо» після додавання або віднімання кута.

Приклад: sin 210°

• 210° = 180° + 30°.
• Відштовхуємось від 180° (точка на осі Ox) ⇒ функцію не змінюємо: sin залишається sin.
• Плюс означає рух у наступну чверть — з II у III чверть.
• У III чверті sin від’ємний.
• Відкидаємо 180°, беремо sin 30°: sin 30° = 1/2.
• Враховуємо знак у III чверті ⇒ sin 210° = −1/2.

Геометричне доведення sin 30° = 1/2

• Беремо прямокутний трикутник із кутом 30° та гіпотенузою 2a.
• Проти кута 30° лежить катет довжини a.
• Добудовуємо другий такий самий трикутник симетрично, отримуємо рівносторонній трикутник.
• У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні 2a, внутрішні кути по 60°.
• Катет проти 30° в початковому трикутнику дорівнює половині гіпотенузи.
• Отже, sin 30° = a / 2a = 1/2.

Приклад: sin 120°

• Варіант 1: 120° = 90° + 30°.
  • Відштовхуємось від 90° (вісь Oy) ⇒ замінюємо sin на cofункцію — cos.
  • Плюс означає рух у наступну, тобто II чверть.
  • У II чверті sin додатний, знак не змінюється.
  • Отримаємо sin 120° = cos 30° = √3/2.
• Варіант 2: 120° = 180° − 60°.
  • Відштовхуємось від 180° (вісь Ox) ⇒ функцію не змінюємо: sin залишається sin.
  • Мінус означає рух у попередню чверть — II.
  • У II чверті sin додатний ⇒ знак зберігається.
  • Отримуємо sin 120° = sin 60° = √3/2.

Узагальнені приклади формул зведення

• sin(180° − α):
  • від 180° (вісь Ox) ⇒ функцію не змінюємо (sin → sin),
  • потрапляємо в II чверть, де sin > 0 ⇒ sin(180° − α) = sin α.
• cos(270° − β):
  • від 270° (вісь Oy) ⇒ cos змінюємо на кофункцію sin,
  • рух у попередню чверть, тобто III, де cos < 0.
  • Знак для cos у III чверті від’ємний ⇒ результат із «−».
  • cos(270° − β) = −sin β.

Два ключові правила для формул зведення

• Правило кофункції:
  • від осі Ox (0°, 180°, 360°…) – функцію не змінюємо;
  • від осі Oy (90°, 270°…) – замінюємо на кофункцію.
• Правило знаку:
  • плюс – перехід у наступну чверть, мінус – у попередню;
  • знак визначаємо за функцією, яка залишилася після можливої заміни на кофункцію.
• У підсумку не потрібно заучувати всі 32 формули; достатньо цих двох правил і розуміння чвертей.

Ключові терміни та означення

• Тригонометрія – розділ математики, що вивчає зв’язки між кутами і сторонами трикутників, тригонометричні функції.
• Прямокутний трикутник – трикутник з одним прямим кутом (90°).
• Катет – сторона прямокутного трикутника, прилегла до прямого кута.
• Гіпотенуза – сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту.
• Прилеглий катет (до кута) – катет, що утворює даний кут.
• Протилежний катет (до кута) – катет, який лежить навпроти даного кута.
• Синус кута – відношення протилежного катета до гіпотенузи; на колі – y‑координата.
• Косинус кута – відношення прилеглого катета до гіпотенузи; на колі – x‑координата.
• Тангенс кута – відношення синуса до косинуса, або протилежного катета до прилеглого.
• Котангенс кута – відношення косинуса до синуса, або прилеглого катета до протилежного.
• Секанс кута – обернена до косинуса функція, відношення гіпотенузи до прилеглого катета.
• Косеканс кута – обернена до синуса функція, відношення гіпотенузи до протилежного катета.
• Одиничне коло – коло радіуса 1 з центром у початку координат.
• Лінія тангенсів – пряма, паралельна Oy, дотична до одиничного кола в точці (1; 0).
• Лінія котангенсів – пряма, паралельна Ox, дотична до одиничного кола в точці (0; 1).
• Формули зведення – співвідношення, що виражають sin, cos, tg, ctg кутів виду 90°±α, 180°±α, 270°±α через функції кута α.
• Кофункція – «парна» функція: для sin – cos, для cos – sin, для tg – ctg, для ctg – tg.

Action Items / Next Steps

• Повторити означення шести тригонометричних функцій у прямокутному трикутнику і на одиничному колі.
• Вивчити й використовувати основну тотожність sin²α + cos²α = 1 та зв’язок tg α·ctg α = 1.
• Тренуватися визначати знаки sin, cos, tg, ctg за номером координатної чверті.
• Відпрацювати правило кофункції і правило знаку для формул зведення на різних прикладах.
• Підготуватися до обчислення sin, cos, tg, ctg кутів типу 420°, 170°, 1050° тощо з допомогою формул зведення.