Determinazione del dominio e codominio di una funzione

Concetti chiave

• Dominio naturale: il più grande sottoinsieme di ( \mathbb{R} ) su cui la funzione è definita.
• Codominio: a priori tutto ( \mathbb{R} ), ma si cerca l'insieme immagine, cioè i valori effettivamente assunti dalla funzione.

Esempi di funzioni

Esempio 1: ( y = 4 + x^2 )

1. Dominio naturale:
   • Funzione polinomiale: dominio naturale ( \mathbb{R} ).
2. Insieme immagine:
   • ( x^2 ) è sempre ( \geq 0 ).
   • ( y = 4 + x^2 ) quindi ( y \geq 4 ).
   • Intervallo: ([4, +\infty)).
3. Grafico:
   • Parabola con vertice su asse ( y ) in ((0, 4)), concava verso l'alto.](streamdown:incomplete-link)

Esempio 2: ( y = \sqrt{1 - x^2} )

1. Dominio naturale:
   • Radice quadrata definita quando ( 1 - x^2 \geq 0 ).
   • Risulta (-1 \leq x \leq 1).
   • Intervallo: ([-1, 1]).
2. Insieme immagine:
   • ( \sqrt{1 - x^2} \geq 0 ) e ( \leq 1 ).
   • Intervallo: ([0, 1]).
3. Grafico:
   • Semicirconferenza con centro nell'origine e raggio 1.

Esempio 3: ( y = |x + 4| - x )

1. Dominio naturale:
   • Nessun campanello d'allarme: dominio naturale ( \mathbb{R} ).
2. Insieme immagine:
   • La funzione è definita a tratti:
     • ( x + 4 \geq 0 ): ( y = 4 ).
     • ( x + 4 < 0 ): ( y = -2x - 4 ).
   • La funzione assume valori ( \geq 4 ).
   • Intervallo: ([4, +\infty)).
3. Grafico:
   • Retta orizzontale da ( x = -4 ) a destra e una retta inclinata a sinistra, si incrociano in ((-4, 4)).](streamdown:incomplete-link)

Note finali

• I "campanelli d'allarme" per il dominio sono: frazioni, logaritmi, radici di indice pari.
• L'analisi del grafico della funzione aiuta a confermare i calcoli dell'insieme immagine.