Тойм
Квадрат тэгшитгэл, тэгшитгэлийн тэмдэгт солигдол, завсар шалгах арга, дискриминант, Виетын томьёо ашиглан шийдэх, тэгш бишийн тэмдэглэл болон завсрын аргачлалын тухай дасгалуудыг шаталсан байдлаар тайлбарласан хичээлийн тэмдэглэл.
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс
- Квадрат тэгшитгэл: ax^2 + bx + c = 0 хэлбэртэй.
- Шийд олох аргууд: задлан үржвэрт хувиргах, Виетын томьёо, дискриминант.
- Тэгш бишийн тэмдэг солигдох: эгзгийн цэгүүдийг тооцоод завсруудад тэмдгийг шалгах.
Задлан үржвэрт хувиргах
- Зорилго: a(x − x1)(x − x2) хэлбэрт оруулах.
- Алхмууд:
- Харьцуулж үржүүлэх ба нийлбэрийг тааруулах (Виетын санаа).
- Тэгүүдийг олж, тооны шулуун дээр байрлуулна.
- Завсар бүрт тэмдэг: энгийн квадратад ихэвчлэн “+ − +”.
- Жишээ санаа:
- x − 4 = 0 ⇒ x = 4.
- (x − 7)(x + 1) = 0 ⇒ x = 7, x = −1.
Виетын томьёо
- ax^2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийн хувьд:
- Үндэсний нийлбэр: x1 + x2 = −b/a.
- Үндэсний үржвэр: x1·x2 = c/a.
- Хэрэглээ: 2x^2 − 9x + 4 ⇒ D = 49 ⇒ x1 = 4, x2 = 1/2.
Дискриминантын арга
- Томьёо: D = b^2 − 4ac.
- D > 0: хоёр бодит шийд; D = 0: давхцсан нэг шийд; D < 0: бодит шийдгүй.
- Жишээ: 2x^2 − 3x + 7 ⇒ D < 0 ⇒ бодит шийдгүй.
Тэгш бишийн тэмдэглэл ба завсрын арга
- Эгзгийн цэгүүд: тэгшитгэл 0 болох x-ийн утгууд.
- Тооны шулуун дээр тэмдэглэх, завсар бүрт тэмдгийг шалгах.
- Ерөнхий хэв маяг:
- Хоёрын зэрэгт илтгэгчтэй хүчин зүйлс тэмдэг солигдохгүй.
- Шулуун тэнцэтгэл (шугаман) хүчин зүйл өнгөрөхөд тэмдэг солигдоно.
- З авсар бичих: (a, b), [a, b], (−∞, a), (b, +∞).
Тэгш биш ба квадрат хэлбэрүүд
- “+ − +” хэв маяг: эерэг коэффициенттэй квадрат үржвэрийн нийт тэмдэг.
- Тэгш бишийн шийд:
- ≥ 0 үед: эгзгийн цэгүүдийг оруулна.
-
0 үед: эгзгийн цэгүүдийг оруулахгүй.
Тусгай хувиргалтууд
- Ялгаврын квадрат: A^2 − B^2 = (A − B)(A + B).
- Төгс квадрат гурвалжин: (x − a)^2 = x^2 − 2ax + a^2.
- Бүтцийг таних:
- x^2 − 12x + 36 = (x − 6)^2.
- x^2 − 6x + 9 = (x − 3)^2.
Илэрхийллийн тэгш биш
- Хорогдуулалт, тэмдэг гаргах:
- Хүрээ (домайн) хязгаарлалтыг анхаарна.
- Хуваагч 0 болох цэгүүдийг хасна.
- Хэлбэржүүлэлт: илэрхийллийг үржвэрийн хэлбэрт оруулж, тэмдэгт шинжилгээ хийх.
Шийдэл шалгах ба бичих арга
- Эгзгийн цэгүүдийг өсөхөөр эрэмбэлнэ.
- Завсрын тэмдгийг сорьц утгаар шалгана.
- Шийдийг завсрын тэмдэглэлээр товч бичнэ.
- Хуваагчтай илэрхийлэлд хориг цэгүүдийг шийдээс хасна.
Жишээ тохиолдлуудын нэгтгэл
- Тэгшитгэл ба тэгш бишийн шийдийг авах логик дараалал хэрэглэсэн.
- Зарим дасгалд:
- 9x^2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1/3.
- 2x^2 − 9x + 4 = 0 ⇒ x = 4, x = 1/2.
- (x − 6)^2 = 0 ⇒ x = 6.
- x^2 − 6x + 9 = 0 ⇒ x = 3.
Томьёо ба дүрэмийн хүснэгт
| Сэдэв | Томьёо/Дүрэм | Тайлбар |
|---|
| Дискриминант | D = b^2 − 4ac | D>0 хоёр шийд, D=0 давхцсан, D<0 бодит шийдгүй |
| Квадратын үндэс | x = (−b ± √D)/(2a) | Классик шийдний томьёо |
| Виетын томьёо | x1 + x2 = −b/a, x1·x2 = c/a | Үндэсний нийлбэр, үржвэр |
| Ялгаврын квадрат | A^2 − B^2 = (A − B)(A + B) | Хурдан задлан бичих |
| Төгс квадрат | (x − a)^2 = x^2 − 2ax + a^2 | Давхцсан үндэстэй хэлбэр |
| Тэмдэг шалгах | “+ − +” хэв маяг | Шугаман хүчин зүйлсийн үндсээр тэмдэг солигдоно |
| Завсрын бичиглэл | (a, b), [a, b] | Хаалттай/нээлттэй завсар тэмдэглэнэ |
| Хуваагчийн хориг | Хуваагч ≠ 0 | Хориг цэгийг шийдээс хасна |
Гол нэр томьёо ба тодорхойлолт
- Квадрат тэгшитгэл: x^2 оролцсон хоёрын зэрэгт тэгшитгэл.
- Эгзгийн цэг: илэрхийлэл 0 болдог x-ийн утга.
- Дискриминант: D = b^2 − 4ac; шийдийн тоо, төрлийг тогтооно.
- Виетын томьёо: үндэсний нийлбэр, үржвэрийг коэффициенттэй холбосон дүрэм.
- Завсрын арга: эгзгийн цэгүүдийн хооронд тэмдэг шалган шийд олох.
- Төгс квадрат: нэг шугаман гишүүний квадрат хэлбэр.
- Ялгаврын квадрат: хоёр квадратын ялгаврын үржвэрийн задлал.
Үйлдлүүд / Дараагийн алхамууд
- Дасгал бүрт:
- Төрлийг таних (задлагдах уу, дискриминант хэрэгтэй юу).
- Эгзгийн цэгүүдийг олох, домайныг тогтоох.
- Завсрын тэмдэг шалгах; шийдийг завсрын тэмдэглэлээр бичих.
- Давтлага:
- Виетын томьёогоор хурдан задлах дасгал.
- D<0 тохиолдолд бодит шийдгүйг таних.
- Хуваагчтай илэрхийллийн хориг цэгийг тогтмол хасах.