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LCM और HCF के सिद्धान्त

Dec 12, 2025

Overview

  • यह नोट्स LCM (Least Common Multiple) और HCF (Highest Common Factor) के सिद्धान्त और विधियों का संक्षिप्त सार हैं।
  • दोनों को निकालने के दो मुख्य तरीके बताए गए हैं: Prime Factorization और Short Division।
  • कई उदाहरणों के माध्यम से step-by-step समाधान दिए गए हैं।

HCF (Highest Common Factor) — परिभाषा और मूल विचार

  • HCF दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा समान गुणक (factor) होता है।
  • तरीका 1: फैक्टर्स लिखकर कॉमन फैक्टर्स में से सबसे बड़ा चुनें।
  • तरीका 2: Prime factorization से कॉमन प्राइम फैक्टर्स को गुणा करें।

HCF — उदाहरण (फैक्टर मेथड)

  • उदाहरण: HCF(4, 6)
    • factors(4) = 1,2,4; factors(6) = 1,2,3,6
    • common = 1,2 → HCF = 2
  • उदाहरण: HCF(1,12,24)
    • factors(1)=1; 12=1,2,3,4,6,12; 24=1,2,3,4,6,8,12,24
    • common = 1,2,4 → HCF = 4

HCF — Prime Factorization विधि (सिद्धांत)

  • Prime factorization: संख्या को उसके प्राइम फैक्टर्स के गुणनखण्डों के रूप में लिखना।
  • HCF निकालने के लिए तीनों/दोनों संख्याओं में जो समान प्राइम फैक्टर्स हों, उन्हें उसी पावर के साथ गुणा करें जो सभी में मौजूद हो।

HCF — Prime Factorization उदाहरण

  • HCF(15,45)
    • 15 = 3 × 5; 45 = 3 × 3 × 5
    • common primes = 3,5 → HCF = 3×5 = 15
  • HCF(8,12,24)
    • 8 = 2×2×2; 12 = 2×2×3; 24 = 2×2×2×3
    • common primes (तीनों में) = 2×2 → HCF = 4
  • HCF(32,80,96)
    • 32 = 2^5; 80 = 2^4 ×5; 96 = 2^5 ×3
    • तीनों में न्यूनतम पावर = 2^4? (यहाँ ध्यान दें transcript के अनुसार common factors 2×2×2×2 =16) → HCF = 16

HCF — Short Division विधि (सिद्धांत)

  • सभी संख्याएँ एक साथ विभाजित करते जाएँ smallest possible common divisor से।
  • हर divisor को बाएँ तरफ लिखें; जब नीचे जो बचे संख्याओं में आगे कोई common divisor न रहे, तब बंद करें।
  • HCF = बाएँ तरफ के लिखे divisor का गुणनफल।

HCF — Short Division उदाहरण

  • HCF(12,8)
    • 12,8 ÷2 → 6,4 ÷2 → 3,2 अब कोई common divisor नहीं → HCF = 2×2 = 4
  • HCF(48,54)
    • दोनों ÷2 → 24,27; फिर ÷3 → 8,9; अब common नहीं → HCF = 2×3 = 6
  • HCF(27,81,18)
    • सब ÷3 → 9,27,6; फिर ÷3 → 3,9,2; अब कोई common नहीं → HCF = 3×3 = 9
  • HCF(96,108,180)
    • ÷2 → 48,54,90; ÷2 → 24,27,45; ÷3 → 8,9,15; अब common नहीं → HCF = 2×2×3 = 12

LCM (Least Common Multiple) — परिभाषा और मूल विचार

  • LCM दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा समवर्त्य (common multiple) होता है।
  • तरीका 1: Prime factorization से LCM — प्रत्येक प्राइम faktor को सबसे बड़ी पावर के साथ एक बार शामिल करें।
  • तरीका 2: Short division से LCM — जितने divisor दाएँ तरफ लिखे जाएँ उनका गुणनफल LCM देता है।

LCM — Prime Factorization विधि (नियम)

  • सभी संख्याओं के प्राइम फैक्टर्स लिखें।
  • प्रत्येक प्राइम को उसकी अधिकतम शक्ति के साथ एक बार लें।
  • उन चुने गए प्राइम फैक्टर्स का गुणनफल LCM होगा।

LCM — Prime Factorization उदाहरण

  • LCM(2,3) = 6 (2 के multiples और 3 के multiples का smallest common =6)
  • LCM(12,15)
    • 12 = 2^2 ×3; 15 = 3×5
    • सबसे बड़ी पावर: 2^2, 3^1, 5^1 → LCM = 2^2×3×5 = 60
  • LCM(10,15,18)
    • 10 = 2×5; 15 = 3×5; 18 = 2×3^2
    • प्राइम्स (max power): 2^1, 3^2, 5^1 → LCM = 2×9×5 = 90 (transcript में प्रक्रिया: हर प्राइम को एक बार और बाकी बचा हुआ as-is)
  • LCM(21,54,63)
    • 21 = 3×7; 54 = 2×3^3; 63 = 3^2×7
    • select max powers: 2^1, 3^3, 7^1 → LCM = 2×27×7 = 378

LCM — Short Division विधि (प्रक्रिया)

  • उन divisors से संख्याओं को लगातार बाँटते जाएँ जो कम से कम एक संख्या को विभाजित करें।
  • हर step में divisor को बाएँ तरफ लिखें; नीचे जो बचे संख्याएँ बनती हैं।
  • तब तक जारी रखें जब तक सभी नीचे 1 न हो जाएँ।
  • LCM = बाएँ तरफ के divisorों का गुणनफल।

LCM — Short Division उदाहरण

  • LCM(12,8)
    • ÷2 → 6,4; ÷2 → 3,2; अब 3 को ÷3 → 1,2; ÷2 → 1,1 → multiply divisors 2×2×3×2? (सरल रूप: transcript में 2×2×2×3 = 24) → LCM = 24
  • LCM(26,91)
    • ÷2 → 13,91; ÷13 → 1,7; ÷7 → 1,1 → divisors 2×13×7 = 182 → LCM = 182
  • LCM(12,15,40)
    • ÷2 → 6,15,20; ÷2 → 3,15,10; ÷3 →1,5,10; ÷5 →1,1,2; ÷2 →1,1,1
    • divisors multiplied = 2×2×3×5×2 = 120 → LCM = 120
  • LCM(8,18,24)
    • ÷2 →4,9,12; ÷2 →2,9,6; ÷2 →1,9,3; ÷3 →1,3,1; ÷3 →1,1,1
    • divisors = 2×2×2×3×3 = 72 → LCM = 72

Key Terms And Definitions

  • HCF (Greatest Common Factor): दो/अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा साझा गुणक।
  • LCM (Least Common Multiple): दो/अधिक संख्याओं का सबसे छोटा साझा गुणनफल।
  • Prime Factorization: संख्या को प्राइम संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना।
  • Short Division: एक साथ कई संख्याओं को बार-बार विभाजित कर divisors इकट्ठा करने की विधि।

Action Items / Next Steps (अभ्यास हेतु)

  • हर विधि से कम से कम 5 प्रश्न स्वयं हल करें: अलग-अलग तरह के (दो संख्याएँ, तीन संख्याएँ, बड़े प्राइम फैक्टर वाले)।
  • Prime factorization की तालिका (प्राइम्स और पावर) का अभ्यास करें।
  • Short division के लिए divisibility rules (2,3,5,7,11 आदि) याद रखें।
  • गुणा-भाग में सावधानी रखें; अक्सर गणना त्रुटि से उत्तर गलत आते हैं।

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