Ableitungsregeln Übersicht
Ableitung von Konstanten
- Konstante Zahlen verschwinden beim Ableiten: Die Ableitung einer Konstante ist 0.
- Beispiel: (-\sqrt{2}) wird zu 0.
Potenzregel
- Die häufigste Regel für Ableitungen von (x^n).
- Vorgehensweise:
- Die Hochzahl (n) wird als Faktor vorangestellt.
- Die Hochzahl wird um 1 verringert: (x^n \rightarrow n \cdot x^{n-1}).
- Beispiele:
- (x^3 \rightarrow 3x^2)
- (x^{1000} \rightarrow 1000x^{999})
- (x^{-7} \rightarrow -7x^{-8})
Faktorregel
- Faktoren, die außerhalb der Variable stehen (z.B. (3 \cdot x^5)), bleiben beim Ableiten erhalten.
- Nur die Variable wird abgeleitet:
- Auch bei negativen oder gebrochenen Faktoren (z.B. (\frac{1}{5}x^3)) bleibt der Faktor erhalten.
Summenregel
- Teile, die durch Plus oder Minus verbunden sind, werden einzeln abgeleitet.
- Beispiel: (x^2 - 5x^3 + 7)
- (x^2 \rightarrow 2x)
- (-5x^3 \rightarrow -15x^2)
- (7 \rightarrow 0) (Konstante)
Produktregel
- Für Produkte von Funktionen, die beide ein x enthalten:
- Formel: (u'v + uv')
- Beispiel: ((x^3)(x^5))
- (u = x^3, \quad v = x^5)
- (u' = 3x^2, \quad v' = 5x^4)
- Ergebnis: (3x^2 \cdot x^5 + x^3 \cdot 5x^4 = 8x^7)
Quotientenregel
- Regel für Brüche, bei denen sowohl der Zähler als auch der Nenner ein x enthalten:
- Formel: (\frac{u'v - uv'}{v^2})
- Beispiel: (\frac{2x + 3}{x^5})
- (u = 2x + 3, \quad v = x^5)
- (u' = 2, \quad v' = 5x^4)
- Ergebnis: Einsetzen in die Quotientenregel und vereinfachen.
Kettenregel
- Anwendung bei Funktionen, die ineinander verschachtelt sind:
- Innere Funktion (u), äußere Funktion (v).
- Formel: (u' \cdot v') (mit Rücksubstitution der inneren Funktion)
- Beispiel: ((x^4 + 5)^7)
- Innere: (u = x^4 + 5)
- Äußere: (v = u^7)
- (u' = 4x^3, \quad v' = 7u^6)
- Ergebnis: (4x^3 \cdot 7(x^4 + 5)^6)
Weitere Hinweise
- Für Spezialfälle wie Wurzeln, e-Funktion, Sinus, Kosinus und Tangens gelten dieselben Grundprinzipien.
- Für detaillierte Informationen zu Spezialfällen auf weitere Videos verweisen.
Hinweis: Bei Unklarheiten oder Fragen Kommentare nutzen.