Détermination de la maille cristalline

Overview

• But : déterminer la structure cristalline de l’aluminium par comparaison des masses volumiques théoriques et expérimentale.
• Méthode : calculs théoriques pour trois types de mailles cubiques, mesure expérimentale de la masse volumique par déplacement d’eau, comparaison des valeurs.

Concepts et définitions clés

• Cristal : solide constitué d’un empilement périodique d’entités (atomes, ions, molécules).
• Maille : unité répétitive d’un cristal.
• Paramètre de maille a : longueur de l’arête de la maille (m).
• Masse volumique ρ = masse de la maille / volume de la maille = m_maille / a^3 (kg·m^-3).
• Contribution d’un atome selon sa position dans la maille :
  • Sommet : 1/8 d’un atome par maille.
  • Face : 1/2 d’un atome par maille.
  • Centre : 1 atome par maille.

Types de mailles cubiques (principales)

• Maille cubique simple (CS) :
  • Atomes par maille : 1 (8 sommets × 1/8).
• Maille cubique centrée (CC) :
  • Atomes par maille : 2 (1 au centre + 8 sommets × 1/8).
• Maille cubique à faces centrées (CFC) :
  • Atomes par maille : 4 (6 faces × 1/2 + 8 sommets × 1/8).

Données numériques

• Paramètre de maille de l’aluminium : a = 404 × 10^-12 m.
• Masse d’un atome d’aluminium : m_Al = 4,49 × 10^-26 kg.

Calculs de masse volumique théorique

• Formule générale : ρ = (N_atomes × m_Al) / a^3.
• Valeurs calculées :
  • CS (1 atome/maille) : ρ_CS = 681 kg·m^-3.
  • CC (2 atomes/maille) : ρ_CC = 1 362 kg·m^-3.
  • CFC (4 atomes/maille) : ρ_CFC = 2 724 kg·m^-3.

Tableau récapitulatif des masses volumiques théoriques

Mesure expérimentale

• Méthode : déplacement d’eau pour mesurer le volume du cylindre en aluminium.
• Mesures fournies :
  • Volume par déplacement : V_Al = 38 mL.
  • Masse du cylindre : m_Al = 100,0 g.
• Calcul masse volumique expérimentale :
  • ρ_exp = m / V = 100,0 g / 38 mL = 2,63 g·mL^-1.
  • Conversion : 2,63 g·mL^-1 = 2,63 × 10^3 kg·m^-3.

Conclusion et justification

• Comparaison : ρ_exp = 2,63 × 10^3 kg·m^-3 ≈ 2 630 kg·m^-3.
• Valeur théorique la plus proche : ρ_CFC = 2 724 kg·m^-3.
• Conclusion : l’aluminium cristallise dans la structure cubique à faces centrées (CFC), car ρ_exp se rapproche le plus de ρ_CFC.

Matériel et protocole (points pratiques)

• Matériel disponible : cylindre en aluminium (ou fer mentionné), ficelle, balance électronique (0,01 g), eau, éprouvettes graduées (10, 25, 250 mL).
• Protocole résumé :
  • Mesurer masse du solide sur balance.
  • Mesurer volume par déplacement d’eau (V2 − V1) avec éprouvette graduée.
  • Calculer ρ_exp puis convertir en kg·m^-3.
  • Comparer avec valeurs théoriques pour identifier la maille.

Remarques pour vérification

• Vérifier unités et conversions (mL → m^3, g → kg).
• Vérifier répétabilité des mesures de volume pour réduire incertitude.
• Vérifier paramètre de maille et masse atomique utilisées pour les calculs théoriques.