डिफरेंशियेबलिटी पर व्याख्यान

परिचय

• आज का विषय: डिफरेंशियेबलिटी
• पिछली वीडियो में कंटिनूटी पर चर्चा की गई थी।

डिफरेंशियेबलिटी क्या है?

• एक फंक्शन तब डिफरेंशियेबल होता है जब उसका डेरिवेटिव उस विशेष बिंदु पर मौजूद हो।
• डेरिवेटिव का होना जरूरी है ताकि हम कह सकें कि फंक्शन उस बिंदु पर डिफरेंशियेबल है।

डेरिवेटिव का गणितीय निरूपण

• पॉइंट A पर डेरिवेटिव निकालने का तरीका:
  • एफ डैश ऑफ ए = लिमिट (एच → 0) [(एफ ऑफ ए प्लस एच - एफ ऑफ ए) / एच]
  • यहाँ, ए और ए + एच के बीच की दूरी बहुत कम होती है क्यूंकि एच 0 के करीब होता है।

दृष्टिगत प्रस्तुति

• एफ ऑफ एक्स का ग्राफ:
  • पॉइंट A पर एफ ऑफ ए की वैल्यू।
  • अगला पॉइंट ए + एच, जहाँ उसकी वैल्यू एफ ऑफ ए प्लस एच होगी।

टेंजेंट और उसका ढलान

• टेंजेंट का ढलान निकालने के लिए:
  • ढलान = डेल्टा वाई / डेल्टा एक्स
  • डेल्टा वाई = एफ ऑफ ए प्लस एच - एफ ऑफ ए
  • डेल्टा एक्स = ए + एच - ए = एच

महत्वपूर्ण बिंदु

• अगर कोई फंक्शन डिफरेंशियेबल है, तो उसका टेंजेंट उस बिंदु पर बनाया जा सकता है।
• यदि डिफरेंशिएबल है, तो यह निरंतर भी होना चाहिए।
• यदि कोई फंक्शन उस बिंदु पर नॉन-डिफरेंशियेबल है, तो आप वहाँ टेंजेंट नहीं खींच सकते।

निष्कर्ष

• डिफरेंशिएबलिटी और कंटिन्यूटी के बीच का संबंध समझना महत्वपूर्ण है।
• कुछ न्यूमेरिकल उदाहरणों के माध्यम से इसका और अधिक स्पष्टता से अध्ययन किया जाएगा।