नोट्स: अनुप्रयोग अवकलन (Application of Derivatives)

परिचय

• आज का विषय: अनुप्रयोग अवकलन
• पिछले लेक्चर में अध्ययन किया था: निरंतरता और अंतर्यामी
• इस कक्षा में हम सीखेंगे कि अवकलन का उपयोग कैसे करें।

मुख्य विषय

1. परिमाण की दर का परिवर्तन
   • अवकलन का पहला विषय
2. बढ़ना और घटना
   • दूसरे विषय
3. अधिकतम और न्यूनतम
   • अंतिम विषय

परिमाण की दर का परिवर्तन

• दर परिवर्तन का अर्थ:
  • परिमाण के परिवर्तन की दर, जैसे कि:
    • वृत्त, त्रिकोण, वर्ग, आयत के क्षेत्रफल के फॉर्मुले
    • क्षेत्रफल, परिधि, और वॉल्यूम के फॉर्मुले

फॉर्मूले

• वृत्त:
  • क्षेत्रफल: ( ext{Area} = ext{πr}^2 )
  • परिधि: ( ext{Circumference} = 2 ext{πr} )
• त्रिकोण:
  • क्षेत्रफल: ( ext{Area} = rac{\sqrt{3}}{4} a^2 )
  • परिधि: ( ext{Perimeter} = 3a )
• आयत:
  • क्षेत्रफल: ( ext{Area} = L \times B )
  • परिधि: ( ext{Perimeter} = 2(L + B) )

बढ़ना और घटना

• एक फ़ंक्शन बढ़ता है यदि:
  • ( f'(x) > 0 )
• एक फ़ंक्शन घटता है यदि:
  • ( f'(x) < 0 )
• "सख्त बढ़ना" और "सख्त घटना" का अर्थ है कि फ़ंक्शन कभी स्थिर नहीं होता।

अधिकतम और न्यूनतम

• अधिकतम (Maxima) और न्यूनतम (Minima) के प्रकार:
  • स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम
  • वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम
• अधिकतम और न्यूनतम की पहचान:
  • यदि ( f'(x) ) का संकेत बदलता है, तो फ़ंक्शन अधिकतम या न्यूनतम होता है।

महत्वपूर्ण बातें

1. एक फ़ंक्शन अधिकतम होता है जब ( f'(x) ) सकारात्मक से नकारात्मक में परिवर्तन करता है।
2. एक फ़ंक्शन न्यूनतम होता है जब ( f'(x) ) नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तन करता है।

निष्कर्ष

• आज हमने अवकलन के अनुप्रयोगों को समझा।
• अगले लेक्चर में "अवकलन के अनुप्रयोग" के अन्य महत्वपूर्ण विषयों पर चर्चा करेंगे।
• ध्यान दें कि अध्ययन करते रहें।

धन्यवाद

• अगली कक्षा में मिलने की आशा! जय हिंद!