Ejercicios de Programación Lineal

Contexto

• Canal: Matemáticas con Juan
• Tema: Maximización de beneficios en fabricación de sillas y sillones.

Enunciado del Problema

• Datos del problema:

  • Un carpintero fabrica sillas y sillones.
  • Tiempo de fabricación: 2 horas por silla, 4 horas por sillón.
  • Beneficio: 20 euros por silla, 35 euros por sillón.
  • Horas máximas de trabajo: 32 horas semanales.
  • Producción mínima: 2 sillones y 4 sillas por semana.

• Objetivo:

  • Determinar cuántas sillas y sillones debe fabricar para maximizar el beneficio.

Formulación Algebraica

• Variables:

  • X: Número de sillas semanales.
  • Y: Número de sillones semanales.

• Restricciones:

  • Horas de trabajo: ( 2X + 4Y \leq 32 )
  • Sillas mínimas: ( X \geq 4 )
  • Sillones mínimos: ( Y \geq 2 )

• Función Beneficio:

  • ( B(X, Y) = 20X + 35Y )

Resolución Gráfica

1. Dibujo en el plano cartesiano:

   • Se simplifica ( 2X + 4Y \leq 32 ) a ( X + 2Y \leq 16 ).
   • Gráfica de restricciones para determinar región factible:
     • Línea de ( X + 2Y = 16 ): Puntos (0,8) y (16,0).
     • Línea de ( X = 4 ): Recta vertical.
     • Línea de ( Y = 2 ): Recta horizontal.

2. Evaluación de la Función Beneficio en Puntos Clave:

   • P1 (4,6): ( B = 290 ) euros.
   • P2 (12,2): ( B = 310 ) euros.
   • P3 (4,2): No evaluado ya que es menos beneficioso que P1.

Conclusión

• El carpintero debe fabricar 12 sillas y 2 sillones para maximizar el beneficio, obteniendo así 310 euros semanales.

Reflexión Final

• Comprensión de cómo trasladar un problema verbal a un modelo algebraico.
• Importancia de las restricciones y su representación gráfica para resolver problemas de optimización.
• Ejercicio concluido con éxito, destacando el uso del lenguaje algebraico para facilitar el proceso de maximización.