حل معادلات من الدرجة الثانية

Overview

الدرس تناول معادلات من الدرجة الثانية، وركز على إيجاد مجموع وجدء الحلين، مناقشة وجود وإشارة الحلول، وكيفية تحديد عددين من مجموعهما وجدائهما.

مجموع وجدء حلين معادلة من الدرجة الثانية

• معادلة من الشكل: ( ax^2 + bx + c = 0 ) يجب أن يكون ( a \neq 0 ).
• إذا كان ( \Delta > 0 )، يوجد حلان: ( x_1 ) و( x_2 ).
• مجموع الحلين: ( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ).
• جداء الحلين: ( P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} ).
• يمكن استخدام ( S ) و( P ) لإيجاد الحل الثاني إذا كان أحد الحلين معلوماً.

تعيين عددين من معرفة مجموعهما وجدائهما

• إذا كان مجموع عددين ( S ) وجداؤهما ( P ) معلومين، العددان هما حلانا للمعادلة: ( x^2 - Sx + P = 0 ).
• تُستخدم هذه القاعدة في مسائل المستطيلات والمحيط والمساحة.
• يتم إيجاد الحلين بحساب المميز (( \Delta )) وحل المعادلة.

مناقشة عدد وإشارة حلول معادلة من الدرجة الثانية حسب وسيط متغير

• يتم دراسة وجود وإشارة الحلول حسب قيم وسيط ( m ) في المعادلة.
• إذا انعدم معامل ( x^2 ) (مثلاً ( m = 1 )) تصبح المعادلة من الدرجة الأولى.
• لحساب عدد الحلول: نوجد المميز (( \Delta )) وندرس إشارته حسب قيم الوسيط.
• إذا ( \Delta > 0 ) يوجد حلان؛ إذا ( \Delta = 0 ) حل مكرر؛ إذا ( \Delta < 0 ) لا يوجد حل.
• لتحديد إشارة الحلول ندرس إشارة ( \frac{c}{a} ) و( -\frac{b}{a} ).

تعيين إشارة الحلين دون حسابهما

• إذا كان ( \frac{c}{a} < 0 ) (جداء الحلين سالب) فإن الحلين مختلفين في الإشارة.
• إذا كان ( \frac{c}{a} > 0 ) (جداء موجب) والحلين لهما نفس الإشارة.
• إذا كان ( -\frac{b}{a} > 0 ) وكان الجداء موجب، فالحلان موجبان.
• إذا كان ( -\frac{b}{a} < 0 ) وكان الجداء موجب، فالحلان سالبان.

Key Terms & Definitions

• معادلة من الدرجة الثانية — معادلة على شكل ( ax^2 + bx + c = 0 ).
• المميز (( \Delta )) — قيمة ( b^2 - 4ac ) تحدد عدد الحلول.
• جداء الحلين (( P )) — ناتج ضرب الحلين ويساوي ( \frac{c}{a} ).
• مجموع الحلين (( S )) — مجموع الحلين ويساوي ( -\frac{b}{a} ).
• وسيط — متغير (غالباً ( m )) تتغير حسبه معاملات المعادلة.

Action Items / Next Steps

• حل تمارين صفحة 46 من الكتاب حول تعيين الحلين ومناقشة إشارتهم.
• مراجعة القواعد المتعلقة بالمميز وجدوى تطبيقها على مسائل واقعية.