वृत्त के मुख्य सूत्र और गुण

Overview

• यह नोट्स सर्किल (Circle) के मुख्य फॉर्मुलों और गुणों का संक्षेपित पुनरावर्तन हैं।
• उद्देश्य: परीक्षा-स्तर पर जरूरी परिणाम और उपयोगी सूत्र याद रखना।

Circle के मूल समीकरण

• केंद्र Origin और त्रिज्या R: x^2 + y^2 = R^2
• केंद्र (h, k) और त्रिज्या r: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
• डायमेट्रिक फॉर्म (diameter endpoints (x1,y1) और (x2,y2)): (x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = 0

General Form और शर्तें

• सामान्य द्वितीय-क्रमीय रूप: ax^2 + by^2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0
• यह सर्किल तभी होगा जब a = b और h = 0
• सर्किल का सामान्य रूप: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
• केंद्र: (-g, -f)
• त्रिज्या: sqrt(g^2 + f^2 - c)

बिंदु की स्थिति (Point Position)

• किसी बिंदु (x1, y1) के लिए S में रखने पर मान S1 लेना:
  • S1 > 0 → बिंदु सर्किल के बाहर
  • S1 = 0 → बिंदु सर्किल पर
  • S1 < 0 → बिंदु सर्किल के भीतर

बिंदु से सर्किल की न्यूनतम/अधिकतम दूरी

• किसी बिंदु P से केंद्र C तक दूरी = CP
• न्यूनतम दूरी = |CP - R|
• अधिकतम दूरी = CP + R

रेखा और सर्किल: स्पर्शरेखा (Tangent)

• कोई curve पर बिंदु (x1, y1) पर स्पर्शरेखा का सामान्य संकेत: T = 0
• सर्किल x^2 + y^2 = a^2 पर रेखा y = mx + c तब tangent होगी जब c^2 = a^2(1 + m^2)
• उसी से tangent की समीकरण: y = mx ± a√(1 + m^2)
• केंद्र (h, k) वाले सर्किल के लिए बदलना: x → x - h, y → y - k
• बिंदु स्पर्शबिंदु (point of contact) पाने का तरीका: T = 0 और slope-form तुलना करके (x1, y1) निकालें
• बाहरी बिंदु (x1,y1) से स्पर्शरेखा की लंबाई = √(S1) (जहाँ S1 = सर्किल में वह बिंदु रखने पर प्राप्त मान)

Power Of A Point

• बाहरी बिंदु P से किसी रेखा पर सर्किल के दो छेद A, B हों तो PA·PB = (tangent length)^2 = PT^2 = S1

Chord Of Contact (स्पर्शरेखा का जोड़)

• बाहरी बिंदु P से खींचे गए दो स्पर्शरेखाओं के स्पर्शबिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को chord of contact कहते हैं
• इसका समीकरण: T = 0 (यहाँ x1,y1 वह बाहरी बिंदु होंगे)
• यदि chord का mid-point दिया हो तो chord की समीकरण: T = S1 (S1 उस mid-point को सर्किल में रखने पर प्राप्त मान)

Director Circle

• उन बिंदुओं का लम्बागत स्थान जहाँ से निकली दो स्पर्शरेखाएँ परस्पर लम्ब हैं (mutually perpendicular)
• मूल सर्किल और director circle समकेंद्रक (concentric) होते हैं
• यदि मूल सर्किल की त्रिज्या R है तो director circle की त्रिज्या = √2 · R

Pair Of Tangents

• संयुक्त समीकरण: S·S1 = T^2 (S और S1 पहले व दूसरे सर्किल/बिंदु के संदर्भ में)
• या slope-form से दो m के मान निकालकर दोनों tangent मिलाई जा सकती हैं

दो सर्किल का विश्लेषण (Analysis Of Two Circles)

• दो सर्किलों के बीच दूरी C1C2 और त्रिज्याएँ R1, R2 का प्रयोग करके स्थितियाँ:

  • दोनों अलग-एक-दूसरे से बाहर: C1C2 > R1 + R2 → 4 कॉमन टैन्जेंट
  • बाह्य स्पर्श (externally touch): C1C2 = R1 + R2 → 3 कॉमन टैन्जेंट
  • द्विघात-अन्तरण (intersect): |R1 - R2| < C1C2 < R1 + R2 → 2 कॉमन टैन्जेंट
  • आंतरिक स्पर्श (internally touch): C1C2 = |R1 - R2| → 1 कॉमन टैन्जेंट
  • एक अंदर पूरी तरह: C1C2 < |R1 - R2| → 0 टैन्जेंट (कोई वास्तविक कॉमन टैन्जेंट नहीं)

• Direct common tangent और Transverse common tangent की लंबाइयाँ:

  • Direct common tangent length = √(C1C2^2 - (R1 - R2)^2)
  • Transverse common tangent length = √(C1C2^2 - (R1 + R2)^2)

• किसी विशेष केस में transverse common tangent समीकरण = S1 - S2 = 0 (जब उपयुक्त)

Orthogonal Circles (90° पर मिलना)

• दो सर्किलें परस्पर लम्बवत हों तो शर्त:
  • 2g1g2 + 2f1f2 = c1 + c2 (जब दोनों सर्किल सामान्य रूप में दिए हों)

Radical Axis और Radical Center

• Radical axis: उन बिंदुओं की जगह जहाँ से दोनों सर्किलों के स्पर्शरेखा की लंबाई समान हो
• समीकरण: S1 - S2 = 0
• Radical axis हर जोड़ी के लिए मौजूद रहती है, भले intersect करें या externally touch करें
• तीन सर्किलों के pairwise radical axes एक बिंदु पर concurrent होते हैं; वह बिंदु radical center कहलाता है

Family Of Circles (परिवार-राशियाँ)

• एक रेखा L = 0 और एक सर्किल S = 0 से गुजरने वाले सभी सर्किलों का परिवार: S + λL = 0
• दो सर्किल S1 = 0 और S2 = 0 के बीच से गुजरने वाले सर्किल: S1 + λS2 = 0
  • λ = -1 होने पर यह common chord की समीकरण दे देता है
• एक बिंदु (x1,y1) से गुजरने वाले और रेखा L को स्पर्श करने वाले सर्किलों का परिवार:
  • (x - x1)^2 + (y - y1)^2 + λL = 0
• दो निश्चित बिंदुओं से गुजरने वाले सर्किलों का सामान्य रूप:
  • (x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) + λL = 0, जहाँ L उन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा है

Key Terms And Definitions

• S, S1, T आदि:
  • S: सर्किल की मूल समीकरण
  • S1: किसी बिंदु को S में रखने पर प्राप्त मान
  • T: tangent का प्रतिनिधि अभिव्यक्ति (point-form)
• Power of a Point: PA·PB = PT^2 = S1
• Radical Axis: S1 - S2 = 0
• Radical Center: तीन सर्किलों की pairwise radical axes का intersection

Action Items / Revision Steps

• सभी मुख्य फॉर्मулы (केंद्र, त्रिज्या, tangent शर्त, c^2 = a^2(1+m^2)) याद करें।
• दो सर्किलों के अलग-अलग केस (externally touch, intersect, internally touch) के लिए स्थितियाँ और कॉमन टैन्जेंट की संख्या याद रखें।
• Radical axis और family of circles के सामान्य रूपों पर कम-से-कम 4-5 प्रश्न हल करें।
• Orthogonal circles की शर्त और director circle के त्रिज्या √2R को रिवाइज़ करें।