Tja! I den här lektionen kommer vi att öva på funktionslära. Och funktionslära handlar om... Funktionslära handlar om f av x-notationen och vad vi kan göra med den.
Så vad vi kommer att göra rent praktiskt är att öva på hur man kan använda notationer på lite olika sätt. Vi kommer börja med lite repetition och sen kommer vi arbeta oss uppåt i svårighetsgraden. Så låt oss hoppa på ett exempel. Vi tar exempel 1. Betrakta funktionen. f av x är lika med 6 minus 2x.
Så det här är huvuddelen av uppgiften och så kommer jag ha nu några delfrågor. Vi börjar med delfråga A. Beräkna f av minus 3. Så kom ihåg nu när det står f av minus 3 så innebär det att x ska vara minus 3. Så det vi ska göra är att sätta det helt enkelt in i vår funktion.
Och då kommer vi få f av minus 3 är lika med 6 minus 2 gånger x. x som är minus 3. Och kom ihåg när man ersätter x med ett negativt tal så måste man ha en parentes. Och då blir det här 6 minus 2 gånger minus 3 kommer bli positivt 6. Vilket blir 12. Så jag vill skriva en liten text. Så här fick vi alltså x är lika med minus 3. Och använder det. För att bestämma i. Så vi bestämde vad funktionsvärdet var, det vill säga i.
Men nu så ska vi göra tvärtom. Men nu gör vi tvärtom. Så nu hoppar vi på nästa delfråga.
Vi utgår fortfarande från samma funktion och då ska vi lösa ekvationen f av x är lika med minus 4. Så jag skriver om funktionen igen. Det vi har fått reda på nu är y-värdet, det vill säga att vi har fått reda på f av x, vad det är. Det ska vara minus 4 och det som söks är x.
Om jag ersätter f av x med minus 4 så får jag en ekvation som ser ut så här. Och det jag behöver göra då är att bestämma x. Och det är därför den här uppgiften brukar vara lösekvationen. Man kan även säga bestäm f av x är lika med minus 4. Men lösekvationen kommer naturligt för det är oftast en ekvation man får fram som man ska lösa.
Så jag subtraherar 6 från båda sidorna. Och då får jag minus 10. Det är lika med minus 2x. Och sen är det bara för mig att dividera båda sidorna med minus 2. Och då får jag att x är lika med 5. Positivt. Så jag vill skriva en liten text här också. Så här fick vi y-värdet.
Och använder det för att bestämma x. Så låt oss nu kika på lite mer komplicerade grejer. Så jag bläddrar till nästa sida. Så delfråga C.
Beräkna. f av 4 genom f av minus 1. Och vår funktion är fortfarande f av x är lika med 6 minus 2x. Innan jag löser uppgiften så vill jag bara skriva en text. Här kan vi antingen lösa allt med en gång. Eller så kan vi dela upp kvoten och beräkna täljaren och nämnare var och för sig.
För sig. Och sedan beräkna kvoten. Så då tänker jag att jag kommer visa de här två metoderna. Sen kommer jag ge en kommentar kring det. Så vi skriver den ena som metod 1. Och då är det helt enkelt att man tar f av 4 genom f av minus 1. Och det man är tvungen att göra då.
Det är att man sätter in x är lika med 4 i vår funktion och skriver ut det i taljaren. 6 minus 2 gånger 4. I nämnaren gör jag samma sak men då är x minus 1 istället. I taljaren kommer det bli 6 minus 8. I nämnaren kommer det bli 6 plus 2. Det här kommer bli minus 2 genom 8 vilket blir minus en fjärdedel. Metod 2. Metod 2 går ut på att jag beräknar först vad f av 4 är separat från f av minus 1 och då kommer jag få 6 minus 2 gånger 4 vilket blir 6 minus 8 vilket blir minus 2. Sen gör jag samma sak för f av minus 1. Det blir 6 minus 2 gånger minus 1. Det är lika med 6 plus 2 vilket blir 8. Så nu när jag har beräknat vad båda funktionerna är.
Det jag kan göra då är att jag kan skriva att f av 4 genom f av minus 1 blir helt enkelt minus 2 genom 8. Så ersätt det. Täljer de och nämner det med det jag har räknat ut. Vilket jag sen kan skriva som minus en fjärdedel. Så kom ihåg att ni får själv välja vilken metod som ni föredrar. Men jag kommer att utgå från metod två, det vill säga att jag kommer att dela upp och beräkna.
Och jag tror att det här är det lättaste sättet att lösa de här uppgifterna på för att det leder också till minst slarvfel. Kom ihåg att det är många som tror att de kan hantera metod 1 men det är då man begår de här slarvfelen. Så jag skulle rekommendera metod 2. Vi går till delfråga D.
D. Bestäm f av x plus h. Fram till den här punkten, när vi har ersatt x med någonting i vår funktion så har det alltid varit med tal. Men det är ingenting som stoppar oss från att sätta in någonting annat än tal som vi känner till. Vi kan sätta in bokstäver, vi kan sätta in x med någonting annat så som vi har det här. Bestäm f av x plus h.
Jag tar upp funktionen som vi hade från början. Och sen vill jag visa hur man hanterar det här. Det jag kommer att göra är att jag kommer att ersätta det här x där med x plus h. Så jag kommer att få f av x plus h.
Och sen så sätter jag in det i vår funktion. Så det blir 6 minus 2. Tänk er om det hade stått minus 3 där. Då hade ni ersatt x med minus 3. Men nu står det x plus h.
Då ska jag ersätta x med x plus h. Och jag måste ha en parentes. Nu vill jag ge en viktig kommentar också till...
till när man ska ha parentes utöka det sättet att tänka på. Det enda gången ni kan i stort sett ignorera parentesen det är om ni ersätter x med ett positivt tal som ni känner till till exempel när x är lika med 5, 7, 11 och så vidare. Men så fort ni ersätter x med ett negativt tal eller med någonting som är flera termer eller flera faktorer, det vill säga till exempel att ni ersätter det med 2 gånger a då måste ni ha en parentes. För det kommer träffa på oss situationen där om ni glömmer parentesen så kommer ni få fel. Så parentesen här är super, super viktig.
Sen här efter, det man brukar göra i de här uppgifterna, det är att utveckla och förenkla så mycket som det går. Så till exempel Här kan jag multiplicera in tvåan i parentesen. Så jag kommer få 6. Minus 2 gånger x är minus 2x. Och minus 2 gånger h är minus 2h.
Så man brukar ju som sagt utveckla de här. Så nu kommer jag gå vidare till de nästa uppgifterna och då har vi egentligen gått igenom alla grundläggande saker ni behöver känna till. Men det här är nu olika typer av funktioner som har olika utmaningar så det är bra att ni följer dem också.
Exempel 2. Betrakta g av x är lika med x kvadrat minus 1 och bestäm. Så har vi delfråga A. g av 2 plus g av minus 2. Så den här uppgiften är lik exempel 1c men istället för att det är en kvot här så är det en summa.
Så det jag kommer göra är att jag kommer först berakna vad g av 2 är. Vilket blir 2 i kvotet. kvadrat minus 1. 2 i kvadrat blir 4 minus 1, det här blir 3. g av minus 2 kommer bli minus 2 i kvadrat, så här återigen glöm inte parentesen, vi ersätter x med ett negativt tal och lägger dit en parentes, minus 1. Ett negativt tal i kvadrat blir positivt.
Så det här blir positivt 4 minus 1 vilket också blir 3. Så g av 2 plus g av minus 2 kommer helt enkelt bli 3 plus 3 vilket blir 6. B-frågan. Vi ska beräkna g av minus 3 genom g av 4. Så återigen, jag delar upp våra beräkningar här. g av minus 3 är lika med minus 3 i kvadrat minus 1. Det här kommer bli 9 minus 1 vilket blir 8. Och g av 4 kommer bli 4 i kvadrat minus 1. Det här blir 16 minus 1, det här blir 15. Så g av minus 3 genom g av 4 kommer att bli 8 genom 15. Och sen självklart ska ni försöka förkorta det. Om ni kan förkorta det, om det inte går, då låter ni den vara.
Jag går till delfråga C. Här ska vi bestämma g av x plus h. Så nu kan det här vara lite utmanande men om vi tänker på hur vi gjorde i delfråga D på exempel 1 så ser vi att det enda vi ska göra är att titta på vår funktion. Skriva g av x plus h. Vi ersätter x med x plus h.
Så x plus h. Glöm inte bort parentesen. Då är vi uppe i 2. Minus 1. Sen är det bara för oss att utveckla den här parentesen. Det här kan ni antingen göra som två parenteser eller så kan ni använda er av kvadreringsreglerna. Kvadreringsreglerna sa då att man ska ta x i kvadrat plus 2 gånger x gånger h.
Plus h i kvadrat. Och om ni tänker ifrån regeln, ni kommer säkert känna igen. Om ni byter ut x och h mot a och b så ser ni i stort sett regeln rakt av.
Minus 1. Och här kan vi inte göra någonting mer. För vi kan inte slå ihop några termer här med varandra. Och då är ekvationer. Och här kan vi inte egentligen göra någonting mer. Här är funktionen utvecklat så mycket som det går.
Och sen har vi D-frågan för exempel 2. Och då ska vi bestämma g av x är lika med 15. Och kom ihåg att den här uppgiften går ut på att bestämma vad x är när y är 15. Så det vill säga att vi kommer ta... vår funktion x kvadrat minus 1 och sätta det lika med 15. Och sen är det bara för oss att lösa den här ekvationen. Jag tycker inte att ni ska gå till vägen att köra pq utan ni adderar 1 på båda sidorna. sidorna då får vi x kvadrat är lika med 16 och sen tar vi roten ur båda sidorna och glöm inte bort plus minus och då får vi att x är lika med plus minus 4 eller om man vill x1 är 4 och x2 är lika med minus 4 Och vi avslutar nu med en lite svårare funktion så vi går till exempel 3. För funktionen f av x är lika med x kvadrat minus 2x. Bestäm a, f av x är lika med 0. Så det här är en uppgift som är väldigt lik exempel 2d.
Det vi helt enkelt ska göra är att vi ska lyssna ut vad x är när y är 0. Så vi sätter x kvadrat minus 2x är lika med 0. Så det här är också bra repetition för er så att ni kommer ihåg hur man löser sådana här uppgifter. Här skulle ni kunna använda er av pq-formen för att kunna lösa uppgiften. Men det finns ett lite snabbare sätt att göra det här på. Eftersom att vi har två termer och båda innehåller x så ser jag att jag kan bryta ut ett x från båda termerna.
Så kommer jag få x gånger x minus 2 är lika med 0. Och då ser jag med hjälp av nollproduktmetoden, skriver npm, så ser jag att x1 är 0. Och sen ser jag här att x2 bär bara 2. Så det här är våra svar. B-frågan så ska vi bestämma f av minus 3 minus f av 2. Återigen här, vi har att funktionen används två gånger så jag tycker här att vi separerar beräkningarna. Och då har vi att f av minus 3 är lika med minus 3 i kvadrat minus 2 gånger minus 3. Så här ser ni att det är ganska mycket minustecken som ni kommer behöva hantera.
Så var försiktiga här borta. Glöm inte bort vart ni har minustecken och hur ni måste hantera dem. Minus 3 kvadrat är positivt 9. Minus 2 gånger minus 3 är positivt 6. Det vill säga att det här blir 15. F av 2 blir helt enkelt 2 i kvadrat minus 2 gånger 2. 2 i kvadrat är 4, 2 gånger 2 är 4 så det blir 4 minus 4 vilket blir 0. Så det vill säga att f av minus 3 minus f av 2 kommer bli 15 minus 0. Vilket blir 15. Så avslutningsvis så kommer jag ta nu delfråga C. Där vi ska bestämma f av x plus h.
Så f av x plus h blir. Så jag ersätter det första x med x plus h. Och så skriver jag upphäjt till 2. Minus 2 gånger x som är x plus h som parentes där. Jag utvecklar den första parentesen och då använder vi första kvadrinsregeln igen som vi gjorde tidigare. Den första parentesen blir x i kvadrat plus 2 gånger x gånger h så det blir 2xh.
plus h i kvadrat och nästa här kommer bli minus 2 gånger x, det är minus 2x och sen har vi minus 2 gånger h, det blir minus 2h. Och här kan vi inte göra någonting mer så vårt svar blir det som står här. Och då går vi vidare nu till läxorna.
Lycka till!