Resolución de Integrales Mediante Cambio de Variable

Jul 4, 2024

Resolución de Integrales Mediante Cambio de Variable

Estrategia General para Integrar

  • Aplicación Inmediata: Siempre intenta realizar la integral de forma inmediata.
  • Cambio de Variable: Cuando sea muy complicado, se sugiere el uso del cambio de variable.

Pasos en el Cambio de Variable

  1. Identificar Molestias: Localizar términos que dificultan la integral (por ejemplo, una raíz cuadrada).
  2. Introducir una Nueva Variable: Igualar el término molesto a una nueva variable.
    • Ejemplo: si tenemos ( \sqrt{x+1} ), podemos hacer que ( t = x+1 ).
  3. Derivar la Nueva Variable: Derivar ambos lados de la expresión para encontrar ( dx ) en términos de la nueva variable.
    • Ejemplo: ( t = u^2 \implies dt = 2u du ).
  4. Sustituir de Vuelta en la Integral: Reemplazar en la integral original usando las nuevas variables y sus derivadas.

Ejemplo Detallado

  • Integral Inicial: ( \int \sqrt{x+1} dx )
  • Cambio de Variable: ( t = \sqrt{x+1} ), entonces ( t^2 = x+1 ), y ( x = t^2 -1 ).
  • Derivada del Cambio: ( dt = 2 t dt ).
  • Sustitución: Sustituir en la integral para eliminar ( x ) y ( dx ).
    • ( \int t^2 t dt ).
    • Distribuir si es necesario y resolver la integral resultante.

Detalles Importantes

  • Revisar las Variables: Asegurarse de que después de la sustitución no queda ( x ) en la integral.
  • Simplificación: Puede ser necesario simplificar expresiones antes de integrar.
  • Constante de Integración: No olvidar añadir la constante de integración al final del proceso.

Ejemplo de Resolución

  1. Partimos de la integral ( \int \sqrt{x+1} dx ).
  2. Sustituimos ( t = \sqrt{x+1} ), y derivamos para obtener ( dx = 2t dt ).
  3. Reescribimos la integral en términos de ( t ): ( \int t^2 t dt ).
  4. Simplificamos y resolvemos: ( \int t^2 t dt = \int 2t^3 dt ).
  5. Integramos: ( 2 \frac{t^4}{4} - \frac{2}{3} t^3 ).
  6. Sustituimos ( t ) por ( \sqrt{x+1} ), y agregamos la constante de integración.

Observaciones Finales

  • Practicar: La práctica constante es fundamental para dominar estas técnicas.
  • Errores Comunes: Comprobar siempre que no quedan términos de ( x ) tras el cambio de variable.

Conclusión: A través del cambio de variable se facilita la integración de funciones más complicadas, asegurándose de simplificar y revisar cada paso del proceso.