مقدمة وطرق التفاضل الأساسية

# محاضرة في التفاضل

## مقدمة في التفاضل
- التفاضل يعنى بالتغير في معامل أو متغير بالنسبة إلى آخر.
- مثال: إذا كان \( y \) دالة في \( x \)، \( f(x) \)، فإن التغير في \( y \) بالنسبة إلى \( x \) هو \( \frac{dy}{dx} = f'(x) \).
- وبالمثل، إذا كان \( m \) دالة في \( t \)، \( f(t) \)، فإن التغير في \( m \) بالنسبة إلى \( t \) هو \( \frac{dm}{dt} = f'(t) \).

## طرق التفاضل
1. **الطريقة العامة**
2. **طريقة المبدأ الأول**
3. **قاعدة السلسلة**
   - تُعرف أيضًا بدالة الدالة
4. **قاعدة الضرب**
5. **قاعدة القسمة**
6. **التفاضل الضمني**

## الطريقة العامة للتفاضل
- المفهوم الأساسي: ضرب في الأس، ناقص 1 من الأس.
- إذا كان \( y = f(x) = x^n \)، فإن \( \frac{dy}{dx} = nx^{n-1} \).

### المثال 1
- المعطى: \( y = x^3 \)
- التفاضل: \( \frac{dy}{dx} = 3x^{3-1} = 3x^2 \)

### المثال 2
- المعطى: \( y = x^4 - 6x^3 + 2x^2 - 8x + 11 \)
- الخطوات:
  - التفاضل لكل حد باستخدام القاعدة (ضرب في الأس، ناقص 1 من الأس):
    - \( 4x^3 \) من \( x^4 \)
    - \( -18x^2 \) من \( -6x^3 \)
    - \( 4x \) من \( 2x^2 \)
    - \( -8 \) من \( -8x \)
    - \( 0 \) من الحد الثابت \( 11 \)
- النتيجة: \( \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 18x^2 + 4x - 8 \)
- مُفككة: \( 2(2x^3 - 9x^2 + 2x - 4) \)

### الملاحظات
1. تفاضل الحد مع \( x \) يعطي الحد نفسه:
   - مثال: \( -8x \to -8 \)
2. تفاضل حد ثابت يعطي صفرًا:
   - مثال: \( 11 \to 0 \)

### المثال 3
- المعطى: \( y = 6x + 7 \)
- التفاضل:
  - \( 6 \) من \( 6x \)
  - \( 0 \) من الحد الثابت \( 7 \)
- النتيجة: \( \frac{dy}{dx} = 6 \)