Persiapan Olimpiade Matematika

Halo teman-teman, kembali di channel Dr. Matematika. Bagi kalian yang baru pertama kali mampir di channel Dr. Matematika, perkenalkan aku Dr. Jeff, dan di channel ini aku akan membahas informasi seputar Olimpiade Matematika. Nah, aku menyadari banyak dari teman-teman yang ketika pertama kali mengikuti kompetisi matematika sangat bingung untuk memulai belajar dari mana. Dan tidak sedikit pula, yang sangat kaget ketika harus memakili sekolahnya dalam kompetisi matematika tersebut. Di sini, dokter matematika akan memberikan beberapa tips untuk teman-teman belajar mempersiapkan kompetisi pertama kalian ini. Nah, yang penuh teman-teman ketahui, sebenarnya materi olimpiade adalah soal-soal pelajaran sekolah yang level kesulitannya dibuat lebih sulit. Atau mungkin, membutuhkan kemampuan teman-teman untuk berpikir kritis dan kreatif. Jadi, bagi teman-teman yang mungkin bingung harus belajar dari mana, pertama-tama coba kalian tamatkan dulu pelajaran sekolah dari jenjang kalian. Sebagai contoh, mungkin bagi kalian yang berada di kelas 7, kalian bisa mulai untuk mempelajari materi-materi di kelas 8 dan kelas 9. Begitu pula, jika kalian sekarang ini sedang duduk di kelas 10, kalian bisa menamatkan dulu. pelajaran di kelas 11 dan 12. Nah, untuk buku dan materinya, kalian bisa meminta bantuan dari guru sekolah kalian atau bisa dari kakak kelas angkatan kalian. Nah, dengan menamatkan materi dari kelas 7, 8, dan 9 ataupun 10, 11, 12, teman-teman akan setidaknya memiliki dasar untuk memahami soal-soal yang disajikan di kompetisi tersebut. Jadi, sisanya tinggal bagaimana teman-teman mengembangkan materi yang sudah didapatkan tersebut untuk sesuai dengan level yang lebih tinggi, sekelas kompetisi matematika. Tapi, perlu teman-teman ketahui juga tidak sedikit dari teman-teman yang sering melupakan materi-materi yang telah dilalui. Sebagai contohnya, terkadang siswa SMA tidak mampu mengerjakan soal kesebangunan. Padahal soal kesebangunan ini sudah seharusnya teman-teman dapatkan di kelas 9. Jadi, trik lain yang bisa teman-teman praktekan adalah mereview ulang, atau mengulas kembali materi-materi yang telah teman-teman lewati, maupun itu materi SMA atau materi SMP yang sudah teman-teman dapatkan. Barulah setelah teman-teman selesai mereview materi-materi tersebut, teman-teman bisa mencoba soal-soal selevel kompetisi matematika. Sebenarnya aku paham teman-teman, soal olimpiade matematika itu memanglah sulit. Namun kalau teman-teman sering berlatih dan juga rajin mengikuti lomba, maka teman-teman akan mengetahui setidaknya bagaimana pola-pola dari soal Olimpiade Matematika. Sehingga lama-kelamaan kalian akan terbiasa dengan soal-soal yang sulit tersebut. Jadi, aku akan membahas 10 tipe soal yang akan sering kalian temui di kompetisi matematika dan sangat cocok bagi kalian yang pemula atau baru pertama kali mengikuti kompetisi matematika. Oke, sekarang kita masuk ke topik olimpiade pertama yaitu aljabar dengan memisalkan. Nah, mungkin teman-teman yang ada dari tingkat SD menuju tingkat SMP ataupun di tingkat SMA sekalipun, itu terkadang ketakutan dengan yang namanya variable seperti X, Y, Z, kemudian ada A, B, M, dan juga N. Nah, padahal di beberapa kasus justru variable itu akan mempermudah teman-teman dalam pengerjaan soal. Nah, bagi kalian yang masih kesulitan untuk memahami maksudku, kita langsung masuk ke contoh soalnya. Nah, di sini kita mendapatkan sebuah pecahan, yaitu 2 ditambah 3 per 2 ditambah 3 per sampai seterusnya menjadi tak hingga. Nah, secara sepintas soal ini kelihatan sangat sulit, karena didapatkan perolah penghitungan yang harus berulang kali sampai tak hingga. Namun dengan menghadirkan sebuah variable, itu justru akan mempermudah kalian. Sebagai contoh di sini, kita dapat memisalkan pecahan ini dengan X. Nah, awalnya kelihatan tidak berguna, tapi kalau kalian perhatikan, benda yang berada di bawah ini, pecahan yang di bawah ini, itu ternyata juga identik dengan X. Jadi soal ini sebenarnya kita bisa pecahkan menjadi sebagai berikut. 2 ditambah 3 per X sama dengan X. Nah, di sini kita bisa kalikan kedua ruas dengan X, supaya pecahan yang dibawahnya itu tidak ada variable lagi. Karena kita kalikan kedua ruas dengan X, maka kita akan mendapatkan 2X ditambah 3 sama dengan X kuadrat. kita pindahkan x kuadratnya ke ruas kanan semua, jadi 2x plus 3 dipindahkan ke ruas kanan, kita akan mendapatkan sama 0 sama dengan x kuadrat dikurangi 2x dikurangi 3. Nah, di sini kita bisa faktorkan menjadi x min 3 dikalikan dengan x plus 1. Jadi, solusi untuk x yang mungkin adalah x-nya sama dengan 3 atau sama dengan minus 1. Tapi kalau kita perhatikan dalam bentuk pecahan yang... sebelumnya, soal di awal, sangat tidak mungkin jika hasil X ini adalah bilangan negatif, karena 2 ditambah sebuah pecahan yang juga positif terus. Maka, solusi jawabannya mungkin adalah X-nya sama dengan 3. Jadi nilainya pecahan ini adalah 3. Nah, menjadi sangat mudah ya teman-teman. Coba kita lihat ke contoh berikutnya. Nah, contoh berikutnya ini adalah merupakan salah satu bentuk pecahan. Nah, teman-teman disuruh mencari sebuah pecahan Yang ternyata kalau dinyatakan dalam bentuk desimal, itu bentuknya adalah 0,525252 sampai tak berhingga. Nah, di sini mungkin teman-teman sedikit asing ya, bagaimana cara menghitung sebuah pecahan yang di belakang komanya sampai tak berhingga. Nah, trik untuk menyelesaikan soal ini adalah teman-teman kembali lagi memisahkan sebuah variable baru. Contohnya di sini aku misalkan 0,525252 dan seterusnya dengan X. Nah di sini untuk menghilangkan angka di belakang koma yang sampai tak beringga ini aku kalikan terlebih dahulu X ini dengan 100. Jadi aku akan mendapatkan 100 X itu yang ruas kanan sama dengan 0,525252 ini kalau aku kalikan 100 akan menjadi 52,525252 sampai tak beringga. Ketika aku kurangkan 100x dengan 100, jadi aku pindahkan soal di awal ke bawah seperti ini, kemudian aku kurangkan, ruas kiri ini ternyata bagian desimal di belakang 0 ini, di belakang koma, akan menjadi hilang semua dan akan hanya tersisa 52 yang di depan angka koma tersebut. Namun 100 dikurangi 1 yaitu adalah 99x. Jadi kita akan tahu x sendiri pecahannya berbentuk 52 per 99. Cukup menarik ya teman-teman. Mungkin beberapa soal olimpiade sering mengeluarkan bentuk tipe soal seperti ini. Jadi teman-teman kalau misalkan bisa menggunakan kalkulator jika ditanya bentuk pecahan 7 per 9 itu akan menjadi 0,777777 sampai tak peringkat. Nah triknya adalah pecahannya adalah 9 kemudian ada pecahannya 99 seperti itu. Sebagai contoh lainnya, misalkan teman-teman memperoleh 23 per 99, maka pecahannya akan menjadi 0,23, 23, 23, dan seterusnya. Nah, ini bisa teman-teman gunakan sebagai ide untuk mengerjakan soal, tapi prinsipnya untuk mengerjakan soal ini menggunakan yang namanya ajabar pemisahan. Oke, cukup menarik ya teman-teman. Kita lanjut ke topik nomor 2. Kita masuk ke topik nomor 2. Jadi topik nomor 2 adalah deret aritematika dan deret geometri. Nah, topik ini sebenarnya sudah diajarkan dari tingkat SMP. Dan SMA juga diulang lagi sehingga seharusnya teman-teman cukup menguasai beberapa soal terkait dengan topik ini. Jadi seperti yang teman-teman tahu, deret aritematika adalah suatu deret yang memiliki perbedaan dari suku ke suku yang sama besar. Bagai contoh, Barisan 1, 3, 5, 7, dan 9 di sini memiliki beda yang sama, yaitu bertambah 2 di tiap sukunya. Nah, untuk mencari suku ke N dari barisan aritematika, mungkin teman-teman sudah belajar di sekolah, yaitu rumusnya A ditambah dengan N-1 dikali B. Dengan A itu adalah suku awal, sedangkan N itu adalah merupakan suku ke N, dan B adalah beda. dari tiap barisan berdekatan. Nah, sedangkan untuk direct geometry, itu adalah sebuah barisan di mana dari suku ke suku memiliki perbedaan rasio yang sama. Rasio di sini mengartikan bahwa perbandingan antara suku ke N dan suku ke N-1 terhadap suku sebelumnya. Bagai contoh, barisan 1, 3, 9, 27, 81 itu merupakan suatu direct geometry karena Suku kedua merupakan 3 kali lipat dari suku ke-1, suku ketiga merupakan 3 kali lipat dari suku ke-2, dan begitu juga seterusnya. Untuk rumus umum dari diet geometri, itu adalah A dikalikan R mangkat N-1, di mana A itu adalah suku awal, R itu merupakan rasio, dan juga N adalah suku ke N. Nah, mungkin sampai di titik ini teman-teman merasa, wah ini mudah sekali ya, karena ini sesuai dengan materi pelajaran sekolah. Nah, di soal olimpiade itu selalu satu tingkat lebih tinggi dari pelajaran sekolah. Jadi biasanya soalnya terkadang menggabungkan kedua barisan ini menjadi satu kesatuan. Nah kita lihat contoh soal nomor 2 ini. Nah kita memiliki sebuah pecahan yaitu 1 per 2 ditambah 2 per 4 ditambah 3 per 8 ditambah 4 per 16 dan seterusnya. Kalau teman-teman lihat untuk bagian pembilangnya disini adalah suatu deret aritematika 1, 2, 3, 4, dan 5. Sedangkan pecahan di bawahnya itu merupakan deret geometri yang antar sukunya merupakan 2 kali lipat dari suku sebelumnya. Teknik untuk menyelesaikan soal ini ternyata juga menggunakan pemisahan dari topik sebelumnya. Nah, seperti soal ini kita bisa memisalkan penjumlah ini sebagai suatu variable S. Nah, karena bagian penyebutnya itu selalu dua kali lebih besar, di sini teman-teman bisa mengalikan S ini dengan setengah. Jadi kita kalikan dengan setengah S. Maka akan didapatkan setengah. menjadi 1 per 4. Jadi setengah ini akan menjadi 1 per 4 karena kita kalikan dengan setengah. Kemudian 2 per 4 ini akan menjadi 2 per 8. 3 per 8 akan menjadi 3 per 16. Dan seterusnya. Aku geser ke kanan agar kalian membandingkan 2 per 4 ini dengan yang 1 per 4. Sedangkan 3 per 8 dengan yang 2 per 8. Dan yang terakhir di sini juga 4 per... 32 dan seterusnya dan ini sampai tak berhingga kemudian teman-teman bisa kurangkan antara pecahan yang penjumlahan pecahan di atas dengan penjumlahan di bawahnya disini teman-teman akan mendapatkan 1 per 2 ditambah 1 per 4 ditambah 1 per 8 ditambah 1 per 16 dan seterusnya sama dengan S dikurangi setengah S itu adalah setengah S Nah, di sini teman-teman tahu ya, kalau ada setengah, seperempat, seperelapan, seperembelas ini merupakan suatu deret geometri. Deret geometri kalau sampai tak berhingga, di sini memiliki rumus umum yaitu A dibagi 1 min R. A-nya itu adalah suku awal dan R itu merupakan rasionya. Jadi di sini suku awalnya adalah setengah, kita masukkan A-nya setengah. Kemudian R-nya di sini adalah setengah juga, dari setengah ke seperempat itu dikalikan setengah. 1 per 4 ke 1 per 8 dikalikan setengah, dan seterusnya. Jadi 1 min 1 per 2. Jadi jumlahnya ini akan menjadi setengah dibagi setengah, atau nilainya sama dengan 1. Nah, di sini menariknya adalah luas kiri ini akan menjadi 1, jadi 1 akan sama dengan setengah S. Kita kalikan kedua ruas dengan angka 2, kita akan mendapatkan 2 sama dengan S. S. Jadi soal yang kelihatan sulit ini, pecahan ini, dengan teknik pemisahan yang sama dengan topik nomor 1, maka kita akan mendapatkan nilainya sama dengan 2. Cukup menarik ya teman-teman. Kita lanjut ke topik ketiga. Kita masuk ke topik nomor 3. Di sini adalah menghitung banyaknya faktor. Nah, uniknya teman-teman, materi teori bilangan di dalam olimpiada ini tidak pernah diajarkan di tingkat SMP maupun SMA. Terkadang baru diajarkan di tingkat SD. Namun kalian tahu ya, untuk materi SD sendiri itu tidak pernah sedalam materi olimpiade. Sehingga di sini kalian mungkin belum pernah belajar materi ini sebelumnya. Nah, untuk menghitung banyaknya faktor, kalian harus mengenal istilah yaitu faktorisasi prima. Jadi kalian harus bisa menyatakan suatu bilangan dalam perkalian faktor-faktor primanya. Aku beri contoh. Misalkan bilangan 24, 24 itu merupakan 2 dikali 12, 12 itu 2 dikali 6, 6 itu adalah 2 dikali 3. Jadi 24 itu bisa kita tuliskan sebagai 2 dikali 2, dikali 2, dikali 3. Atau kalau kita tulis sebagai faktorisasi prima, ini bisa kita tulis sebagai 2 pangkat 3, dikalikan dengan 3 pangkat 1. Setelah kalian mampu, untuk menuliskan bilangan tersebut dalam faktorisasi prima, di sini akan lebih mudah untuk kalian menghitung banyaknya faktor. Rumus untuk banyaknya faktor adalah kalian tinggal menuliskan masing-masing pangkat dari prima-prima tersebut ke dalam kurung-kurung ini. Jadi sebagai contoh, 24 tadi, 2 pangkat 3, kalian ambil 3-nya, kalian masukkan ke dalam kurung, kemudian kalian tambahkan 1. Sama juga dengan 3 pangkat 1, kalian masukkan ke kurung kedua, kalian tambahkan dengan 1 lagi. Kemudian kalian kalikan kurung-kurung masing-masing ini. Jadi banyaknya faktor dari 24 itu adalah 3 tambah 1 atau 4 dikalikan dengan 1 tambah 1 yaitu 2. 4 dikalikan 2 akan sama dengan 8. Nah apa saja sih faktor dari 24? Kalian sendiri bisa menghitungnya ya. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24. Jadi daripada kalian menghitung secara manual, seperti satu persatu yang aku lakukan tadi, kalian bisa menggunakan rumus tersebut. Nah, coba nih kalian sekarang komentar di bawah nih. Kira-kira banyaknya faktor dari 30 itu berapa ya? Nah, sekarang kita masuk ke contoh soal yang ada di Olimpiade. Di sini diberikan pertanyaan, banyaknya bilangan yang kurang dari sama dengan 50 yang memiliki faktor sebanyak 6. Di sini dimaksudnya adalah faktor positif ya, teman-teman. Nah, jadi serunya adalah dengan menggunakan teori tadi, untuk mendapatkan banyak faktor sebanyak 6, maka kita bisa tulis 6 itu sebagai suatu prima pangkat 5. Karena kalau prima pangkat 5, itu banyaknya faktor adalah 5 ditambah 1. Jadi 6 langsung. Atau cara kedua bisa juga bentuknya adalah P kuadrat dikalikan Ki, di mana P dan Ki sama-sama prima. P kuadrat Q, kan kalau ada 2-nya di situ, maka 2 ditambah 1 menjadi 3. Sedangkan Q, Q-nya pangkatnya 1, menjadi 1 plus 1, yaitu 2. 3 dikalikan 2 akan menjadi 6. Nah, kalau teman-teman pelajari, ternyata hanya 2 cara ini saja yang mungkin untuk menghasilkan banyak faktor sebanyak 6. Oke, kita lihat untuk P pangkat 5, yang mungkin hanyalah 2 pangkat 5. 2 pangkat 5 adalah 32. Karena kalau kita lihat 3 pangkat 5, maka akan melebihi 50. 3 pangkat 5 adalah 243. Jadi 32 adalah contoh pertama untuk bilangan yang kurang dari 50, namun miliki faktor sebanyak 6, yaitu 1, 2, 4, 8, 16, dan yang 32, itu yang terakhir ada 6. Untuk yang bentuk P kuadrat Ki, kita bagi-bagi. Yaitu yang pertama kalau P-nya sama dengan 2, maka dia akan menjadi 2 kuadrat dikalikan Ki. Ingat ya, P dan Ki tidak boleh sama, karena kalau P dan Ki sama, maka dia akan melebur menjadi 1. Jadi kemungkinan Ki yang mungkin di sini adalah ketikanya Ki-nya 3. Kalau Ki-nya 3, maka 2 kuadrat dikalikan 3 itu adalah 12. Kalau Q-nya 5, 5 adalah prima terkecil kedua ya, setelah 3, maka 5, 2 kuadrat dikalikan 5 itu akan menjadi 20. Kalau Q-nya sama dengan 7, maka akan menjadi 2 kuadrat dikali 7, 28. Ingat 8, 9, 10 itu bukan prima, jadi kita lewati. Q-nya sama dengan 11, ini akan menjadi 44. Kalau Q-nya kita ambil 13, maka akan menjadi 2 kuadrat dikali 13. Ini akan lebih dari 50. 52 lebih dari 50. Nah, sekarang kita lihat untuk... P-nya ketika sama dengan 3. Di sini maka akan menjadi 3 kuadrat dikalikan dengan Q. Maka 9 dikalikan Q. Q yang mungkin adalah yang pertama Q-nya 2. Kalau Q-nya 2, 3 kuadrat dikalikan 2, ini adalah 18. Kalau Q-nya sama dengan 5, maka 9 dikalikan 5, menjadi 45. Untuk selebihnya, Q-nya 7. 3 kuadrat kali 7 adalah 63, lebih dari 50. Kita tidak perlu hitung. Kalau kita ambil P-nya sama dengan 5, maka akan menjadi 5 kuadrat dikalikan Q. Kita ambil Q-nya sama dengan 2, maka dia akan menjadi 50. Nah, untuk Q di atas itu sudah tidak mungkin. Nah, P yang di atas 5 juga sudah tidak mungkin. Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi hanyalah 32, 12, 20, 28, 44, 18, 45, dan 50. Totalnya ada sebanyak... 8 bilangan. Oke, kita lanjut ke topik nomor 4. Nah, untuk topik nomor 4 ini adalah topik kombinatorika yaitu permutasi. Nah, perlu teman-teman ketahui sebenarnya topik ini diajarkan di sekolah sekitar kelas 10 sampai kelas 11. Namun ternyata banyak olimpiada di tingkat SD maupun SMP sudah harus mempelajari topik tersebut. Jadi sebenarnya cukup nggak adil ya teman-teman ya. Tapi itu realitas teman-teman harus belajar permutasi sedini mungkin. Nah permutasi itu merupakan menghitung banyaknya kemungkinan dari suatu kejadian. Mungkin kalau di tingkat SMA teman-teman akan menghadapi banyak rumus. Rumus permutasi, rumus kombinasi yang bentuknya mungkin seperti ini ya. N kombinasi R atau N permutasi R. Namun justru menurutku untuk tingkat dasar olimpiade lebih baik teman-teman menghindari belajar dari simbol-simbol tersebut. Langkah paling mudah adalah dengan yang namanya mengisi ruang atau filling the slot. Nah daripada teman-teman berbingung-bingung lagi, kita langsung masuk ke contoh soalnya. Di sini terdapat 6 orang yang ingin berkendara menggunakan mobil ini. Namun ternyata hanya ada 2 orang yang memiliki SIM dan bisa menyetir. Nah pertanyaannya adalah, berapa banyaknya cara menyusun 6 orang tersebut ke dalam sebuah mobil untuk bertama siang mungkin ya. Jadi pertama-tama kita lihat. slot-slot yang tersedia atau tempat-tempat yang tersedia. Di sini ada 6 tempat, di mana hanya sisi sebelah kanan depan yang ditempati oleh sang pengundi. Nah, di sini teman-teman bisa mulai menghitung banyaknya kemungkinan. Nah, trik untuk mengerjakan soal ini, teman-teman bisa mengerjakan dari tempat yang paling banyak syaratnya. Di soal ini, tempat yang paling banyak syaratnya adalah tempat duduk pengemudi. Pengemudi di sini ternyata mengharuskan orang yang memiliki SIM yang duduk di situ. Jadi untuk tempat pertama di sini, hanya kemungkinan diisi oleh dua orang. Sedangkan untuk kursi di sebelah kiri, di belakangnya, atau di belakangnya lagi, itu tidak memiliki syarat tambahan seperti di kursi pengemudi. Jadi kita bisa kerjakan secara acak. Kita mulai dari yang sebelah kiri dulu. Jadi di sini seharusnya 6 orang bisa menduduki kursi nomor 2 ini, bebas. Tapi perlu teman-teman ingat, sudah ada 1 orang yang wajib duduk di kursi pengemudi. Jadi sisanya adalah 6 dikurangi 1, yaitu 5. Sisa 5 orang untuk duduk di kursi nomor 2. Begitu juga di kursi nomor 3, nomor 4, nomor 5, dan nomor 6. Jadi ada 6 orang yang bisa duduk di tempat situ. namun karena sudah ada 2, maka tersisa 4 kemungkinan. Begitu juga di sebelah sini, 3, dan ini 2, dan ini 1. Untuk menyatakan banyaknya kemungkinan untuk duduk di tempat tersebut. Banyaknya cara, tinggal kita kalikan bilangan-bilangan yang sudah kita tulis ini. Jadi 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Jadi totalnya adalah 240 cara atau kemungkinan untuk menyusun Orang-orang yang akan pergi bertamas ya ini. Oke, cukup mudah ya. Kita lanjut ke topik nomor 5. Oke teman-teman, kita lanjut ke topik kelima, yaitu prinsip inklusi-eksklusi. Bagi teman-teman yang merasa cukup asing dengan prinsip ini, sebenarnya untuk mudahnya adalah, mungkin yang teman-teman kenal dengan istilah diagram Venn. Nah, kalau diagram Venn, aku yakin teman-teman cukup familiar ya. Ini adalah materi yang diajarkan di kelas 7. Jadi diagram Venn itu adalah menghitung irisan atau gabungan dari dua kelompok tertentu. Aku beri contoh, misalkan aku punya sebuah lingkaran yang merepresentasikan dari kelompok A, sedangkan lingkaran kedua ini adalah gambaran dari kelompok B. Nah, A dan B ini terkadang memiliki irisan di tengah-tengah. Nah, sebagai ilustrasi, teman-teman bisa menganggapnya mungkin lingkaran A ini adalah kelompok orang yang menyukai matematika. Sedangkan untuk kelompok B, B itu adalah orang yang menyukai pelajaran IPA. Nah, di sini ada orang yang hanya menyukai matematika, namun tidak menyukai IPA, itu ada di sebelah kiri. Sedangkan ada juga orang yang menyukai IPA, namun tidak menyukai matematika, itu ada di ruas sebelah kanan. Sedangkan kalau menyukai dua-duanya, maka dia terdapat di tengah irisan dari kedua lingkaran tersebut. Ada juga yang mungkin tidak menyukai keduanya, di luar dari dua lingkaran tersebut. Rumus yang akan sering teman-teman temui atau teman-teman gunakan yaitu adalah A gabungan B atau A union B. Itu sama dengan banyaknya A ditambahkan dengan banyaknya B dikurangi dengan irisan A dan B. Oke, kita lihat ke contoh soalnya. Ini merupakan contoh langsung ya teman-teman dari soal OSN. Berapakah banyaknya bilangan kelipatan 6 atau kelipatan 15 yang berada di antara 1 sampai 1000? Nah, jadi kalau teman-teman melihat kata atau di sini, atau ini melambangkan union. atau gabungan. Jadi kita bisa misalkan, A itu adalah banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 6, sedangkan B itu adalah banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 15. Nah, kalau teman-teman mencari tahu, A gabungan B atau union B, maka teman-teman harus tahu yang namanya irisan terlebih dahulu. Nah, A irisan B itu merupakan bilangan yang kelipatan 6 dan juga kelipatan 15 secara bersamaan. Nah, otomatis bilangan tersebut haruslah merupakan kelipatan 30, karena KPK dari 6 dan 15 itu adalah 30. Jadi, A irisan B Atau A intersection B di sini adalah merupakan banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 30. Nah sekarang kita tinggal daftar bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 6. Di sini ada angka 6, kemudian 12, kemudian ada 18, dan seterusnya sampai yang paling mendekati angka 1000 yaitu adalah 996. Sedangkan bilangan yang merupakan kelipatan 15, teman-teman juga bisa daftar, yaitu 15, kemudian 30, kemudian 45, dan seterusnya, sampai yang terakhir adalah 990. Untuk yang kelipatan 30, itu mirip dengan yang B ya, jadi ada 30, ada 60, 90, sampai yang terakhir 990. Nah, untuk menghitung banyaknya bilangan dari 6, 12, 18, sampai 996, teman-teman bisa coba bagi masing-masing angka dengan 6 ya. Akan didapatkan 6 ini menjadi 1, kemudian 12 ini 2, 18 ini 3, dan seterusnya sampai 996. Kalau dibagi 6 menjadi 166. Jadi, banyaknya bilangan dari 6 sampai 996 ini adalah 166. bilangan. Sedangkan untuk yang kelipatan 15, 15 ini kita anggap 1, kita bagi semuanya dengan 15 ya teman-teman ya. Kemudian 30 ini adalah 2, 45 ini adalah 3, dan seterusnya sampai 990, maka ini banyaknya adalah 66. Jadi totalnya ada 66 bilangan. Sedangkan untuk yang terakhir, kita bagi dengan 30, maka menjadi 1, 2, 3, dan yang terakhir Adalah 33. Di sini ada 33 bilangan. Nah, menggunakan rumus yang tadi aku sudah ajarkan, yang teman-teman juga pelajari di kelas 7 dan 8, itu A gabungan B itu akan sama dengan banyaknya A, ditambah dengan banyaknya B, dikurangi dengan A irisan B. Jadi, akan menjadi 166 ditambah dengan 66, dikurangi 33. Jadi, banyaknya A gabungan B adalah A. 199. Oke, memang soal stripa ini sedikit lebih tinggi dari pelajaran sekolah, namun seharusnya teman-teman kalau memiliki konsep yang cukup baik, itu tidaklah terlalu sulit. Kita lanjut ke topik nomor 6. Nah, kita masuk ke topik nomor 6. Nah, di sini topiknya cukup menarik, yaitu adalah direct telescopic. Nah, mungkin di video lainnya aku akan jelaskan lebih... detail mengenai apa itu direct telescopic namun secara singkatnya adalah bagaimana cara teman-teman menyatakan sebuah barisan dengan bentuk barisan lain yang saling menghilangkan antar satu suku lainnya jadi untuk mudahnya kita langsung lihat ke contoh soalnya saja disini didapatkan pecahan yaitu 1 dibagi 1 kali 2 ditambah 1 dibagi 2 kali 3 ditambah titik-titik sampai 1 per 99 kali 100 aku yakin teman-teman pasti sudah sering menemui soal seperti ini. Namun kadang kalian mesti bingung bagaimana cara menyelesaikan soal tersebut. Karena kalau dilihat secara kasat mata, penjumlahan ini... Sangat panjang ya, dan tidak bisa dihitung. Nah, trik untuk menyelesaikannya adalah menggunakan trik teleskopik. Pertama-tama, teman-teman bisa menulis angka 1 per 1 kali 2 ini sebagai 1 per 1 dikurangi 1 per 2. Nah, kenapa harus dibentuk seperti ini? Kita coba lanjutkan dulu ya. Jadi 1 per 2 kali 3, itu teman-teman bisa tulis sebagai 1 per 2 dikurangi 1 per 3. Tujuannya adalah karena nanti di antara dua suku ini ada bagian minus setengah yang bisa kalian coret dengan suku setelahnya yaitu setengah ini. Bagaimana ya untuk mendapatkan 1 per 1 dikurangi 1 per 2? Di sini teman-teman kalau lihat balik 1 per 1 dikurangi 1 per 2, teman-teman samakan penyebutnya, maka akan menjadi 2 dibagi 1 kali 2, itu untuk 1 per 1. Sedangkan yang sebelah kanan itu adalah 1 dibagi 1 kali 2. Karena teknik menyamakan penyebut ini ya, maka akan menjadi 1 per 1 kali 2. Begitu juga dengan 1 per 2 dikurangi 1 per 3. Akan menjadi 3 dibagi 2 kali 3, dikurangi dengan 2 dibagi 2 kali 3. Ini akan menjadikan 1 dibagi 2 kali 3. Oke, jadi... Begitu juga selanjutnya, teman-teman bisa tulis 1 per 3 kali 4 itu menjadi 1 per 3 dikurangi 1 per 4, nanti 1 per 4 dikurangi 1 per 5, 1 per 5 dikurangi 1 per 6, sampai ke 1 per 99 dikali 100. Maka akan menjadi 1 per 99 dikurangi 1 per 100. Jadi, dua suku yang berdekatan ini, kalau teman-teman jumlahkan, itu bisa saling mencoret setengah dengan setengah. 1 per 3 dengan 1 per 3-nya, 1 per 4 dengan 1 per 4, dan yang terakhir 1 per 99-nya juga ikut tercoret. Kalau teman-teman jumlahkan, maka yang bersisa hanyalah 1 per 1 dikurangi 1 per 100. Padahal kelihatannya sulit ya teman-teman, tapi dalam pengerjaan seperti ini akan terlihat sangat mudah. Maka hasilnya akan menjadi 99 per 100. Oke, jadi soal yang rumit ini, jawaban akhirnya adalah 99 per 100. Cukup menarik ya teman-teman. Kita lanjut ke topik ke-7. Oke, sekarang kita masuk ke topik berikutnya, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam. Nah, mungkin beberapa dari kalian cukup asing dengan istilah lingkaran luar dan lingkaran dalam. Jadi, sebagai ilustrasi di gambar ini, lingkaran luar adalah lingkaran yang melewati dari titik-titik sudut segitiga. Jadi kalau ada segitiga, maka dia akan berada di luarnya dari segitiga tersebut. Sedangkan lingkaran dalam, itu adalah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi dari segitiga tersebut. Jadi lingkaran yang berada di dalam segitiga, tetapi harus menyinggung ya. Nah di sini mungkin untuk pelajaran geometri, teman-teman jarang sekali mendapatkan topik ini di sekolah. Jadi cukup asing dan mungkin teman-teman juga tidak tahu bagaimana cara pengerjaannya. Soal-soal yang sering diberikan biasanya adalah mencari panjang dari jari-jari lingkaran luar maupun jari-jari lingkaran dalam. Nah tanpa teman-teman sadari ternyata ini ada rumusnya loh dan teman-teman tinggal menghafalkan rumus ini. Untuk lingkaran luar teman-teman ada rumus jari-jari lingkaran luar sama dengan A dikali B dikali C dibagi 4 kali luas segitiga. A, B, dan C merupakan sisi-sisi dari segitiga tersebut. Sedangkan untuk jari-jari lingkaran dalam, rumusnya adalah luas segitiga dibagi dengan A ditambah B ditambah C dibagi 2. Tapi sebelum mengetahui berapa jari-jarinya, berarti teman-teman harus mengetahui rumus untuk mencari luas dari segitiga. Banyak rumus luas yang bisa teman-teman gunakan, seperti setengah alas kali tinggi, atau juga rumus Heron. yang mungkin cukup familiar di telinga teman-teman. Jadi rumus Heron untuk mencari luas segitiga adalah akar dari S dikalikan S-A dikalikan S-B dikalikan S-C, di mana S itu adalah setengah dari keliling. Nah mungkin kalau teman-teman masih bingung, kita langsung masuk ke contoh soal berikut. Oke, jadi di sini kita diberikan sebuah segitiga yang panjang sisinya 7, 8, dan 9. Berapakah panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga tersebut? Jadi, teman-teman, pertama-tama yang harus dilakukan adalah mencari luas segitiga. Luas segitiga di sini, kalau sisi-sisinya diketahui panjangnya, lebih baik menunjukan kumus heron. Rumus Heron adalah akar dari S dikalikan S-A dikalikan S-B dikalikan S-C. S itu merupakan setengah dari keliling segitiga. Jadi kelilingnya adalah 7 ditambah 8 ditambah 9 kita bagikan dengan 2. Itu adalah S. 7 tambah 8 tambah 9 itu adalah 24. 24 dibagi dengan 2 maka nilainya adalah 12. Maka luas dari segitiga tersebut akan sama dengan akar dari 12, itu adalah S yang pertama. Kita kemudian kalikan S-A, A-nya itu kita ambil yang 7, teman-teman bisa ambil 8 atau 9 dengan urutan yang terserah. Namun di sini aku ambil yang 7, 12 dikurangi 7, kemudian S-B, yaitu 12 dikurangi 8, dan yang terakhir S-C. 12 dikurangi 9. Oke, maka luasnya adalah akar 12 dikalikan 5, dikalikan 12 kurangi 8, 4, dikalikan 12 kurangi 9, yaitu 3. Nah, di sini akan menjadi akar dari 12 kali 12 dikali 5. Kalau ada akar 12 kali 12, teman-teman bisa coret ya, karena 12 kuadrat, kalau di akar akan menjadi 12 akar 5. Nah, pertama-tama langkah pertamanya sudah kita tahu ya, maka luas segitiganya adalah 12 akar 5. Nah, sekarang kita masuk ke langkah berikutnya, yaitu mengetahui lingkaran dalam dan lingkaran luarnya. Di sini, rumus dari lingkaran luar atau jari-jari R besar atau jari-jari lingkaran luar adalah A dikali B dikali C dibagi 4 kali luas segitiga. Jadi kita bisa tulis A-nya adalah 7 dikali 8 dikali 9, B dan C-nya ya, dibagi dengan 4 kali luas segitiga, 12 akar 5. Ada beberapa yang bisa kita coret, 4-nya kita coret dengan 8 menjadi 2, kemudian 12-nya kita bisa coret 3-nya menjadi 3 dan 4, 2-nya kita coret lagi. Jadi akan menjadi 21 per 2 akar 5. Untuk membuat dia menjadi lebih rasional, kita kalikan akar 5 per akar 5. Nilainya akan menjadi 21 per 10 akar 5. Ini adalah jari-jari lingkaran luar. Sedangkan untuk jari-jari lingkaran dalam R kecil, rumusnya adalah luas segitiga dibagi dengan S atau A plus B plus C dibagi 2. Ini sama dengan S ya teman-teman bawahnya. Jadi luas segitiganya adalah 12 akar 5 dibagi dengan S. S nya tadi sudah kita temukan yaitu 12. Jadi jari-jari lingkaran dalamnya adalah akar 5. Oke cukup menarik ya. Jadi rumus ini cukup teman-teman hafalkan dan akan sangat berguna untuk teman-teman menghadapi soal-soal kompetisi matematika. Kita lanjut ke topik berikutnya. Nah untuk topik ke-8 ini Ini adalah topik geometri yang juga cukup sering keluar di soal olimpiade, yaitu mengenai lingkaran bersinggungan. Nah, sering sekali di soal-soal olimpiade didapatkan dua atau lebih lingkaran yang saling bersinggungan, dan teman-teman disuruh mencari panjang dari jari-jarinya. Nah, sebenarnya trik untuk mengerjakan soal ini cukup beragam ya, namun tips yang aku bisa beri untuk mengerjakan soal ini adalah teman-teman hubungkan masing-masing pusat lingkaran satu sama lain. dan juga tandai titik singgung dari dua lingkaran yang saling bersinggungan. Tanpa berlama-lama lagi kita masuk ke contoh soalnya. Nah sebagai contoh, di soal ini terdapat tiga lingkaran, yaitu lambangnya adalah omega 1, omega 2, dan omega 3. Di mana ketiga lingkaran ini saling bersinggungan, di mana omega 1 dan omega 2 ini bersinggungan di titik ini. Atau titik ini kita sebut dengan huruf P. Nah titik Q ini melambangkan persinggungan antara lingkaran omega 1 dan omega 3. Sedangkan titik ketiga ini kita bisa tulis sebagai R. Atau titik singgung dari lingkaran kedua dan lingkaran ketiga. Jangan lupa langkah pertama teman-teman tandai dulu titik pusat dari masing-masing lingkaran. Jadi aku misalkan di sini pusat pertama adalah U1, pusat kedua adalah U2. Dan detik ketiga adalah O3. Di sini langkah paling mudah adalah teman-teman bisa hubungkan masing-masing. Pusat dari lingkaran tersebut. Nah, pusat dari lingkaran tersebut akan melewati titik singgungnya. Jadi P ini dengan O1, O2 akan menjadi satu garis. Sedangkan O3 dan O2 akan segaris dengan R. O1 dan O3 itu akan melewati G. Nah, soal ini cukup sering ya teman-teman temui. Langkah yang... Seharusnya teman-teman gunakan adalah bisa menggunakan pitagoras. Namun untuk memudahkan teman-teman mengejarkan trik soal ini, khusus kalau ada dua lingkaran yang menyinggung satu garis yang sama dengan ada lingkaran ketiga, di sini teman-teman bisa menggunakan rumus 1 per jari-jari lingkaran pertama, teman-teman akar, ditambah dengan 1 per jari-jari lingkaran kedua, teman-teman akar, itu akan sama dengan 1 per jari-jari lingkaran ketiga. Nah ini aku ajarkan rumus cepatnya, supaya teman-teman lebih mudah untuk menjawab soal soalan piade. Di soal ini, lingkaran pertama dan lingkaran kedua jari-jarinya adalah 9. Jadi teman-teman bisa masukkan ke sini, 1 per akar 9 ditambah dengan 1 per akar 4, itu akan sama dengan 1 per jari-jari lingkaran ketiga. 1 per 9 ini teman-teman bisa hitung ya, menjadi 1 per 3. Sedangkan 1 per 2, sedangkan 1 per akar 4 akan menjadi 1 per 2. 1 per 3 ditambah dengan 1 per 2 adalah 5 per 6. Nah ini sendiri akan menjadi 1 per akar R3. Teman-teman balik ya pembilang dan penyebutnya, maka akar R3 menjadi 6 per 5. Jadi 5 per 6 teman-teman juga harus tukar 6 per 5. Untuk mencari jari-jari lingkaran ketiga, teman-teman tinggal mengkwadratkan dari 6 per 5. Jadi nilainya adalah 36 per 25. Nah, trik ini juga aku sering gunakan di lomba-lomba untuk menghemat waktu dalam pengerjaan soal. Sebenarnya masih banyak lagi ya, teman-teman, tipe soal yang menggunakan trik singgung-menyinggung antar lingkaran. Namun soal yang tipe ini paling sering keluar di soal olimpiade. Nah, untuk teknik lain, prinsip yang harus teman-teman gunakan adalah menghubungkan pusat dan pusat serta titik singgung, itu yang paling utama tapi untuk soal ini teman-teman bisa menggunakan rumus cepat kita masuk ke topik ke sembilan nah untuk topik yang ke sembilan disini adalah yang namanya modulo mungkin teman-teman berapa masih merasa asing dengan isilah modulo ini modulo itu lebih tepatnya identik dengan yang namanya sisa Jadi sebagai contoh kalau teman-teman bertanya ketika 7 dibagi dengan 3 bersisa berapa, maka 7 dibagi 3 adalah 2 bersisa 1. Nah ketika kita belajar mengenai modulo, hasil bagi atau yang tadi kita temukan angka 2 itu menjadi kurang penting. Yang lebih penting adalah sisanya. Nah di sini angka 1 ini merupakan modulo dari 7 ketika dibagi dengan 3. Bentuk penulisan dari modulo ini biasanya adalah N sama dengan, tapi sama dengannya bentuknya tandanya 3 ya teman-teman. Ini khusus untuk modulo yang artinya bersisa atau kongruen sama dengan. Kongruen K modulo R. Jadi R ini adalah pembagi, sedangkan X adalah bilangan yang dibagi. Kongruen ini adalah sisanya teman-teman. Jadi kita bisa menuliskan 7. Kongruen 1 dalam kurung modulo 3. Nah, mungkin banyak dari kalian yang belum familiar dengan modulo ini, sehingga menganggap topik modulo ini sangat menakutkan dan sangat sulit. Namun yang biasa aku ajarkan ke murid-muridku, modulo itu justru sangat memudahkan membantu kalian. Bahkan modulo ini menggunakan prinsip penjumlahan, perkalian, pembagian, dan pengurangan yang sama persis dengan Aja berbiasa. Justru modulo ini memudahkan kalian dan sangat fleksibel dan bisa kalian gunakan. Oke, tanpa berlama-lama lagi, kita langsung coba ke contoh soalnya. Jadi carilah sisa pembagian dari 3 pangkat 100, yang tampak sangat menakutkan ya, 3 pangkat 100. Karena 3 pangkat 4 itu 81, 3 pangkat 5 itu 243, 3 pangkat 6 itu 729. Sepertinya angka yang berikutnya akan semakin besar dan semakin besar. Kalau teman-teman mencari 3 pangkat 100-nya sendiri, itu akan sangat menakutkan. Tapi, kalau teman-teman sudah belajar modulo, ini justru akan terasa sangat mudah. Oke, berapakah sisa 3 pangkat 100 dibagi dengan 7? Sisanya berapa? Dan teman-teman tidak perlu mencari 3 pangkat 100, tapi idenya adalah mencari 3 pangkat berapa yang dekat dengan angka 7. Dekat di sini artinya adalah bersisa 1 atau min 1 ketika dibagi 7. Coba kita list bilangan tersebut dulu ya. 3 pangkat 1 ini adalah 3. Dia tidak bersisa 1 ketika dibagi 7. Dan juga tidak bersisa min 1 ketika dibagi 7. Oke, jadi kita jangan pilih 3 pangkat 1. Kalau kita pilih 3 kuadrat, 3 kuadrat adalah 9. 9 ini tidak berjarak 1 dengan kelipatan 7, karena angka terdekatnya adalah 7 ya, itu jaraknya 2. Jadi kita jangan pilih angka 9. 3 pangkat 3 itu adalah 27. Kalau teman-teman perhatikan 27 itu dekat dengan angka 28. 27 itu... berjarak 1 dengan 28, atau min 1 sisanya ketika dibagi dengan 7, karena mundur 1 dari angka 28. Kita bisa menggunakan itu, jadi 3 pangkat 3 kita akan pakai. Jadi kita nyatakan 3 pangkat 100 sebagai kumpulan perkalian dari 3 pangkat 3. Jadi 3 pangkat 100, teman-teman bisa tulis sebagai 3 pangkat 3, dikalikan dengan 3 pangkat 3, dikalikan 3 pangkat 3, dikalikan 3 pangkat 3, gitu ya. Karena tahu ya teman-teman ya, dalam bentuk eksponensial, A dipangkatkan M dikali A pangkat N itu adalah A dipangkatkan M plus N. Jadi ini 100-nya aku pecah sebagai 3 tambah 3, tambah 3, tambah 3, seterusnya, sampai yang paling dekat adalah 99 ya teman-teman ya. Jadi 3 pangkat 3 lagi dikalikan 3 pangkat 1. Jadi di sini ada sebanyak 33 kali, akan menghasilkan 3 pangkat 99. 3 pangkat 3 tambah 3 tambah 3 tambah 3 sebanyak 33 kali itu berarti 3 pangkat 99 nanti dikalikan lagi dengan 3 pangkat 1 jadi 3 pangkat 99 ditambah 1 jadi akan menjadi 3 pangkat 100 jadi aku ubah 3 pangkat 100 ini menjadi perkalian 3 pangkat 3 nah 3 pangkat 3 ini akan bersisa jadi aku tulis disini 3 pangkat 3 akan kongruen minus 1, minus 1 ini dapatnya dari 27 yang bersisa min 1 dalam modulo 7. Karena tadi jaraknya mundur 1 ya, 27 adalah min 1 dari 28. Bersisa min 1 dalam modulo 7. Nah, jadi aku bisa ganti saja 3 pangkat 100 ini langsung menjadi bersisa min 1. Dikali min 1, dikali min 1, dikali min 1 sebanyak 33 kali. Dikalikan dengan 3 pangkat 1, 3 pangkat 1 adalah 3. Nah, minus 1 dikalikan min 1 itu akan menjadi 1. Dikalikan min 1 lagi, menjadi min 1. Dikalikan min 1 lagi, jadi 1. Jadi bergantian, minus positif, minus positif. Tapi karena ada sebanyak ganjil kali, yaitu 33 kali, maka perkaliannya akan menjadi minus 1. Nanti min 1 ini dikalikan dengan 3, maka akan bersisa minus 3 dalam modulo 7. Nah, karena sangat jelek ya kalau menulis dalam sisa dalam bentuk minus, maka kita tambahkan angka 7 di sini tidak apa-apa. 7 dikurangi 3, maka sisanya adalah 4 dalam modulo 7. Jadi soal yang kelihatan sulit, tapi bisa menjadi gampang dengan menggunakan yang namanya modulo. jadi sisanya adalah 4 oke kita masuk ke topik 10 yaitu AMGM banyak nih teman-teman yang baru belajar olimpia dan matematika itu sering mendengar pembahasan soal yang mengatakan penyelesaiannya menggunakan AMGM nah mungkin cukup familiar namun teman-teman tidak pernah belajar topik ini sebelumnya jujur saja materi ini tidak pernah diajarkan di pelajaran sekolah, ST, SMP, SMA maupun terkadang kuliah juga tidak pernah. Sehingga soal ini sangat fokus terhadap materi olimpiade. Nah AM sendiri merupakan singkatan dari aritmatik min atau rata aritmatika. Jadi mungkin teman-teman yang sudah pernah belajar mengenai rata-rata, rata-rata yang biasanya kalian pelajari adalah rata aritmatika. Jadi kalau kalian memiliki data X1, X2, X3, itu rata-ratanya adalah X1 ditambah X2 ditambah X3 dibagi 3. Itu adalah rata aritematika. Sedangkan ada rata lain yang mungkin tidak pernah kalian dengar, yaitu rata geometri. atau yang disingkat dengan geometric mean. Nah, jika aku miliki X1, X2, X3, bisa aja aku merata-ratakannya dengan cara aku kalikan ketiganya, X1 dikali X2 dikali X3, kemudian aku akar angka 3. Sehingga ini merupakan rata geometrik. Nah, uniknya, ternyata rata aritematika itu selalu lebih besar daripada rata geometri. Sehingga didapatkan kesamaan bahwa AM itu selalu lebih besar sama dengan GM. Nah perlu diingat teori ini hanya berlaku ketika bilangan-bilangan yang kita rata-ratakan ini itu merupakan bilangan real positif. Jadi ketika di soal ada tulisan negatif, teman-teman kemungkinan besar jangan menggunakan teknik AM-GM. Nah tanpa berlama-lama lagi kita coba ke contoh soalnya. Nah jadi di sini aku diberikan 3 buah batang kayu. yang total panjangnya adalah 12 meter. Nah, pertanyaannya adalah berapakah hasil kali maksimum dari ketiga batang kayu tersebut. Jadi, aku misalkan panjang ketiga batang kayunya adalah A, B, C, dan kita tahu ya panjang suatu batang tidak mungkin negatif, jadi panjangnya adalah bilangan positif. Nah, di sini kita tahu A ditambah B ditambah C itu nilainya selama dengan 12, panjang totalnya 12 meter. Yang kita minta adalah perkalian dari ABC, maksimum berapa. Nah di sini sangat identik untuk menggunakan yang namanya MGM. Kalau teman-teman pelajari AMGM di sini, AM-nya selalu lebih besar daripada GM. A-nya adalah A ditambah B ditambah C dibagi 3, itu adalah AM-nya. Sedangkan GM-nya, Geometric Mean, itu adalah akar pangkat 3 dari A dikali B. dikali C, oke yang ditanyakan adalah berapa hasil kali maksimum dari ketiga batang ini maka ada di perkalian A kali B kali C, sehingga A plus B plus C kita bisa tulis 12 dibagi 3, itu adalah rata-ratanya aritematikanya lebih besar sama dengan akar pangkat 3 dari A kali B kali C 12 per 3 itu adalah 4 nah, kalau kita mau Hilangkan akar pangkat 3-nya, kita pangkatkan pangkat 3 di kedua ruas, kita kubikkan. Jadi 4 pangkat 3 itu selalu lebih besar daripada A kali B kali C. Sehingga perkalian ABC ini maksimal adalah 64. Jadi teman-teman bisa langsung menjawab bahwa hasil kali maksimumnya adalah 64. Oke, semoga video ini bermanfaat. And see you on the next video. Terima

Nah, yang penuh teman-teman ketahui, sebenarnya materi olimpiade adalah soal-soal pelajaran sekolah yang level kesulitannya dibuat lebih sulit. Atau mungkin, membutuhkan kemampuan teman-teman untuk berpikir kritis dan kreatif. Jadi, bagi teman-teman yang mungkin bingung harus belajar dari mana, pertama-tama coba kalian tamatkan dulu pelajaran sekolah dari jenjang kalian.

Sebagai contoh, mungkin bagi kalian yang berada di kelas 7, kalian bisa mulai untuk mempelajari materi-materi di kelas 8 dan kelas 9. Begitu pula, jika kalian sekarang ini sedang duduk di kelas 10, kalian bisa menamatkan dulu. pelajaran di kelas 11 dan 12. Nah, untuk buku dan materinya, kalian bisa meminta bantuan dari guru sekolah kalian atau bisa dari kakak kelas angkatan kalian. Nah, dengan menamatkan materi dari kelas 7, 8, dan 9 ataupun 10, 11, 12, teman-teman akan setidaknya memiliki dasar untuk memahami soal-soal yang disajikan di kompetisi tersebut.

Jadi, sisanya tinggal bagaimana teman-teman mengembangkan materi yang sudah didapatkan tersebut untuk sesuai dengan level yang lebih tinggi, sekelas kompetisi matematika. Tapi, perlu teman-teman ketahui juga tidak sedikit dari teman-teman yang sering melupakan materi-materi yang telah dilalui. Sebagai contohnya, terkadang siswa SMA tidak mampu mengerjakan soal kesebangunan. Padahal soal kesebangunan ini sudah seharusnya teman-teman dapatkan di kelas 9. Jadi, trik lain yang bisa teman-teman praktekan adalah mereview ulang, atau mengulas kembali materi-materi yang telah teman-teman lewati, maupun itu materi SMA atau materi SMP yang sudah teman-teman dapatkan.

Barulah setelah teman-teman selesai mereview materi-materi tersebut, teman-teman bisa mencoba soal-soal selevel kompetisi matematika. Sebenarnya aku paham teman-teman, soal olimpiade matematika itu memanglah sulit. Namun kalau teman-teman sering berlatih dan juga rajin mengikuti lomba, maka teman-teman akan mengetahui setidaknya bagaimana pola-pola dari soal Olimpiade Matematika.

Sehingga lama-kelamaan kalian akan terbiasa dengan soal-soal yang sulit tersebut. Jadi, aku akan membahas 10 tipe soal yang akan sering kalian temui di kompetisi matematika dan sangat cocok bagi kalian yang pemula atau baru pertama kali mengikuti kompetisi matematika. Oke, sekarang kita masuk ke topik olimpiade pertama yaitu aljabar dengan memisalkan.

Nah, mungkin teman-teman yang ada dari tingkat SD menuju tingkat SMP ataupun di tingkat SMA sekalipun, itu terkadang ketakutan dengan yang namanya variable seperti X, Y, Z, kemudian ada A, B, M, dan juga N. Nah, padahal di beberapa kasus justru variable itu akan mempermudah teman-teman dalam pengerjaan soal. Nah, bagi kalian yang masih kesulitan untuk memahami maksudku, kita langsung masuk ke contoh soalnya.

Nah, di sini kita mendapatkan sebuah pecahan, yaitu 2 ditambah 3 per 2 ditambah 3 per sampai seterusnya menjadi tak hingga. Nah, secara sepintas soal ini kelihatan sangat sulit, karena didapatkan perolah penghitungan yang harus berulang kali sampai tak hingga. Namun dengan menghadirkan sebuah variable, itu justru akan mempermudah kalian.

Sebagai contoh di sini, kita dapat memisalkan pecahan ini dengan X. Nah, awalnya kelihatan tidak berguna, tapi kalau kalian perhatikan, benda yang berada di bawah ini, pecahan yang di bawah ini, itu ternyata juga identik dengan X. Jadi soal ini sebenarnya kita bisa pecahkan menjadi sebagai berikut. 2 ditambah 3 per X sama dengan X.

Nah, di sini kita bisa kalikan kedua ruas dengan X, supaya pecahan yang dibawahnya itu tidak ada variable lagi. Karena kita kalikan kedua ruas dengan X, maka kita akan mendapatkan 2X ditambah 3 sama dengan X kuadrat. kita pindahkan x kuadratnya ke ruas kanan semua, jadi 2x plus 3 dipindahkan ke ruas kanan, kita akan mendapatkan sama 0 sama dengan x kuadrat dikurangi 2x dikurangi 3. Nah, di sini kita bisa faktorkan menjadi x min 3 dikalikan dengan x plus 1. Jadi, solusi untuk x yang mungkin adalah x-nya sama dengan 3 atau sama dengan minus 1. Tapi kalau kita perhatikan dalam bentuk pecahan yang... sebelumnya, soal di awal, sangat tidak mungkin jika hasil X ini adalah bilangan negatif, karena 2 ditambah sebuah pecahan yang juga positif terus.

Maka, solusi jawabannya mungkin adalah X-nya sama dengan 3. Jadi nilainya pecahan ini adalah 3. Nah, menjadi sangat mudah ya teman-teman. Coba kita lihat ke contoh berikutnya. Nah, contoh berikutnya ini adalah merupakan salah satu bentuk pecahan. Nah, teman-teman disuruh mencari sebuah pecahan Yang ternyata kalau dinyatakan dalam bentuk desimal, itu bentuknya adalah 0,525252 sampai tak berhingga. Nah, di sini mungkin teman-teman sedikit asing ya, bagaimana cara menghitung sebuah pecahan yang di belakang komanya sampai tak berhingga.

Nah, trik untuk menyelesaikan soal ini adalah teman-teman kembali lagi memisahkan sebuah variable baru. Contohnya di sini aku misalkan 0,525252 dan seterusnya dengan X. Nah di sini untuk menghilangkan angka di belakang koma yang sampai tak beringga ini aku kalikan terlebih dahulu X ini dengan 100. Jadi aku akan mendapatkan 100 X itu yang ruas kanan sama dengan 0,525252 ini kalau aku kalikan 100 akan menjadi 52,525252 sampai tak beringga.

Ketika aku kurangkan 100x dengan 100, jadi aku pindahkan soal di awal ke bawah seperti ini, kemudian aku kurangkan, ruas kiri ini ternyata bagian desimal di belakang 0 ini, di belakang koma, akan menjadi hilang semua dan akan hanya tersisa 52 yang di depan angka koma tersebut. Namun 100 dikurangi 1 yaitu adalah 99x. Jadi kita akan tahu x sendiri pecahannya berbentuk 52 per 99. Cukup menarik ya teman-teman. Mungkin beberapa soal olimpiade sering mengeluarkan bentuk tipe soal seperti ini. Jadi teman-teman kalau misalkan bisa menggunakan kalkulator jika ditanya bentuk pecahan 7 per 9 itu akan menjadi 0,777777 sampai tak peringkat.

Nah triknya adalah pecahannya adalah 9 kemudian ada pecahannya 99 seperti itu. Sebagai contoh lainnya, misalkan teman-teman memperoleh 23 per 99, maka pecahannya akan menjadi 0,23, 23, 23, dan seterusnya. Nah, ini bisa teman-teman gunakan sebagai ide untuk mengerjakan soal, tapi prinsipnya untuk mengerjakan soal ini menggunakan yang namanya ajabar pemisahan.

Oke, cukup menarik ya teman-teman. Kita lanjut ke topik nomor 2. Kita masuk ke topik nomor 2. Jadi topik nomor 2 adalah deret aritematika dan deret geometri. Nah, topik ini sebenarnya sudah diajarkan dari tingkat SMP.

Dan SMA juga diulang lagi sehingga seharusnya teman-teman cukup menguasai beberapa soal terkait dengan topik ini. Jadi seperti yang teman-teman tahu, deret aritematika adalah suatu deret yang memiliki perbedaan dari suku ke suku yang sama besar. Bagai contoh, Barisan 1, 3, 5, 7, dan 9 di sini memiliki beda yang sama, yaitu bertambah 2 di tiap sukunya.

Nah, untuk mencari suku ke N dari barisan aritematika, mungkin teman-teman sudah belajar di sekolah, yaitu rumusnya A ditambah dengan N-1 dikali B. Dengan A itu adalah suku awal, sedangkan N itu adalah merupakan suku ke N, dan B adalah beda. dari tiap barisan berdekatan.

Nah, sedangkan untuk direct geometry, itu adalah sebuah barisan di mana dari suku ke suku memiliki perbedaan rasio yang sama. Rasio di sini mengartikan bahwa perbandingan antara suku ke N dan suku ke N-1 terhadap suku sebelumnya. Bagai contoh, barisan 1, 3, 9, 27, 81 itu merupakan suatu direct geometry karena Suku kedua merupakan 3 kali lipat dari suku ke-1, suku ketiga merupakan 3 kali lipat dari suku ke-2, dan begitu juga seterusnya. Untuk rumus umum dari diet geometri, itu adalah A dikalikan R mangkat N-1, di mana A itu adalah suku awal, R itu merupakan rasio, dan juga N adalah suku ke N.

Nah, mungkin sampai di titik ini teman-teman merasa, wah ini mudah sekali ya, karena ini sesuai dengan materi pelajaran sekolah. Nah, di soal olimpiade itu selalu satu tingkat lebih tinggi dari pelajaran sekolah. Jadi biasanya soalnya terkadang menggabungkan kedua barisan ini menjadi satu kesatuan. Nah kita lihat contoh soal nomor 2 ini. Nah kita memiliki sebuah pecahan yaitu 1 per 2 ditambah 2 per 4 ditambah 3 per 8 ditambah 4 per 16 dan seterusnya.

Kalau teman-teman lihat untuk bagian pembilangnya disini adalah suatu deret aritematika 1, 2, 3, 4, dan 5. Sedangkan pecahan di bawahnya itu merupakan deret geometri yang antar sukunya merupakan 2 kali lipat dari suku sebelumnya. Teknik untuk menyelesaikan soal ini ternyata juga menggunakan pemisahan dari topik sebelumnya. Nah, seperti soal ini kita bisa memisalkan penjumlah ini sebagai suatu variable S.

Nah, karena bagian penyebutnya itu selalu dua kali lebih besar, di sini teman-teman bisa mengalikan S ini dengan setengah. Jadi kita kalikan dengan setengah S. Maka akan didapatkan setengah.

menjadi 1 per 4. Jadi setengah ini akan menjadi 1 per 4 karena kita kalikan dengan setengah. Kemudian 2 per 4 ini akan menjadi 2 per 8. 3 per 8 akan menjadi 3 per 16. Dan seterusnya. Aku geser ke kanan agar kalian membandingkan 2 per 4 ini dengan yang 1 per 4. Sedangkan 3 per 8 dengan yang 2 per 8. Dan yang terakhir di sini juga 4 per... 32 dan seterusnya dan ini sampai tak berhingga kemudian teman-teman bisa kurangkan antara pecahan yang penjumlahan pecahan di atas dengan penjumlahan di bawahnya disini teman-teman akan mendapatkan 1 per 2 ditambah 1 per 4 ditambah 1 per 8 ditambah 1 per 16 dan seterusnya sama dengan S dikurangi setengah S itu adalah setengah S Nah, di sini teman-teman tahu ya, kalau ada setengah, seperempat, seperelapan, seperembelas ini merupakan suatu deret geometri. Deret geometri kalau sampai tak berhingga, di sini memiliki rumus umum yaitu A dibagi 1 min R.

A-nya itu adalah suku awal dan R itu merupakan rasionya. Jadi di sini suku awalnya adalah setengah, kita masukkan A-nya setengah. Kemudian R-nya di sini adalah setengah juga, dari setengah ke seperempat itu dikalikan setengah. 1 per 4 ke 1 per 8 dikalikan setengah, dan seterusnya. Jadi 1 min 1 per 2. Jadi jumlahnya ini akan menjadi setengah dibagi setengah, atau nilainya sama dengan 1. Nah, di sini menariknya adalah luas kiri ini akan menjadi 1, jadi 1 akan sama dengan setengah S.

Kita kalikan kedua ruas dengan angka 2, kita akan mendapatkan 2 sama dengan S. S. Jadi soal yang kelihatan sulit ini, pecahan ini, dengan teknik pemisahan yang sama dengan topik nomor 1, maka kita akan mendapatkan nilainya sama dengan 2. Cukup menarik ya teman-teman. Kita lanjut ke topik ketiga. Kita masuk ke topik nomor 3. Di sini adalah menghitung banyaknya faktor. Nah, uniknya teman-teman, materi teori bilangan di dalam olimpiada ini tidak pernah diajarkan di tingkat SMP maupun SMA.

Terkadang baru diajarkan di tingkat SD. Namun kalian tahu ya, untuk materi SD sendiri itu tidak pernah sedalam materi olimpiade. Sehingga di sini kalian mungkin belum pernah belajar materi ini sebelumnya.

Nah, untuk menghitung banyaknya faktor, kalian harus mengenal istilah yaitu faktorisasi prima. Jadi kalian harus bisa menyatakan suatu bilangan dalam perkalian faktor-faktor primanya. Aku beri contoh. Misalkan bilangan 24, 24 itu merupakan 2 dikali 12, 12 itu 2 dikali 6, 6 itu adalah 2 dikali 3. Jadi 24 itu bisa kita tuliskan sebagai 2 dikali 2, dikali 2, dikali 3. Atau kalau kita tulis sebagai faktorisasi prima, ini bisa kita tulis sebagai 2 pangkat 3, dikalikan dengan 3 pangkat 1. Setelah kalian mampu, untuk menuliskan bilangan tersebut dalam faktorisasi prima, di sini akan lebih mudah untuk kalian menghitung banyaknya faktor. Rumus untuk banyaknya faktor adalah kalian tinggal menuliskan masing-masing pangkat dari prima-prima tersebut ke dalam kurung-kurung ini.

Jadi sebagai contoh, 24 tadi, 2 pangkat 3, kalian ambil 3-nya, kalian masukkan ke dalam kurung, kemudian kalian tambahkan 1. Sama juga dengan 3 pangkat 1, kalian masukkan ke kurung kedua, kalian tambahkan dengan 1 lagi. Kemudian kalian kalikan kurung-kurung masing-masing ini. Jadi banyaknya faktor dari 24 itu adalah 3 tambah 1 atau 4 dikalikan dengan 1 tambah 1 yaitu 2. 4 dikalikan 2 akan sama dengan 8. Nah apa saja sih faktor dari 24? Kalian sendiri bisa menghitungnya ya. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24. Jadi daripada kalian menghitung secara manual, seperti satu persatu yang aku lakukan tadi, kalian bisa menggunakan rumus tersebut.

Nah, coba nih kalian sekarang komentar di bawah nih. Kira-kira banyaknya faktor dari 30 itu berapa ya? Nah, sekarang kita masuk ke contoh soal yang ada di Olimpiade. Di sini diberikan pertanyaan, banyaknya bilangan yang kurang dari sama dengan 50 yang memiliki faktor sebanyak 6. Di sini dimaksudnya adalah faktor positif ya, teman-teman. Nah, jadi serunya adalah dengan menggunakan teori tadi, untuk mendapatkan banyak faktor sebanyak 6, maka kita bisa tulis 6 itu sebagai suatu prima pangkat 5. Karena kalau prima pangkat 5, itu banyaknya faktor adalah 5 ditambah 1. Jadi 6 langsung.

Atau cara kedua bisa juga bentuknya adalah P kuadrat dikalikan Ki, di mana P dan Ki sama-sama prima. P kuadrat Q, kan kalau ada 2-nya di situ, maka 2 ditambah 1 menjadi 3. Sedangkan Q, Q-nya pangkatnya 1, menjadi 1 plus 1, yaitu 2. 3 dikalikan 2 akan menjadi 6. Nah, kalau teman-teman pelajari, ternyata hanya 2 cara ini saja yang mungkin untuk menghasilkan banyak faktor sebanyak 6. Oke, kita lihat untuk P pangkat 5, yang mungkin hanyalah 2 pangkat 5. 2 pangkat 5 adalah 32. Karena kalau kita lihat 3 pangkat 5, maka akan melebihi 50. 3 pangkat 5 adalah 243. Jadi 32 adalah contoh pertama untuk bilangan yang kurang dari 50, namun miliki faktor sebanyak 6, yaitu 1, 2, 4, 8, 16, dan yang 32, itu yang terakhir ada 6. Untuk yang bentuk P kuadrat Ki, kita bagi-bagi. Yaitu yang pertama kalau P-nya sama dengan 2, maka dia akan menjadi 2 kuadrat dikalikan Ki. Ingat ya, P dan Ki tidak boleh sama, karena kalau P dan Ki sama, maka dia akan melebur menjadi 1. Jadi kemungkinan Ki yang mungkin di sini adalah ketikanya Ki-nya 3. Kalau Ki-nya 3, maka 2 kuadrat dikalikan 3 itu adalah 12. Kalau Q-nya 5, 5 adalah prima terkecil kedua ya, setelah 3, maka 5, 2 kuadrat dikalikan 5 itu akan menjadi 20. Kalau Q-nya sama dengan 7, maka akan menjadi 2 kuadrat dikali 7, 28. Ingat 8, 9, 10 itu bukan prima, jadi kita lewati.

Q-nya sama dengan 11, ini akan menjadi 44. Kalau Q-nya kita ambil 13, maka akan menjadi 2 kuadrat dikali 13. Ini akan lebih dari 50. 52 lebih dari 50. Nah, sekarang kita lihat untuk... P-nya ketika sama dengan 3. Di sini maka akan menjadi 3 kuadrat dikalikan dengan Q. Maka 9 dikalikan Q. Q yang mungkin adalah yang pertama Q-nya 2. Kalau Q-nya 2, 3 kuadrat dikalikan 2, ini adalah 18. Kalau Q-nya sama dengan 5, maka 9 dikalikan 5, menjadi 45. Untuk selebihnya, Q-nya 7. 3 kuadrat kali 7 adalah 63, lebih dari 50. Kita tidak perlu hitung.

Kalau kita ambil P-nya sama dengan 5, maka akan menjadi 5 kuadrat dikalikan Q. Kita ambil Q-nya sama dengan 2, maka dia akan menjadi 50. Nah, untuk Q di atas itu sudah tidak mungkin. Nah, P yang di atas 5 juga sudah tidak mungkin. Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi hanyalah 32, 12, 20, 28, 44, 18, 45, dan 50. Totalnya ada sebanyak... 8 bilangan.

Oke, kita lanjut ke topik nomor 4. Nah, untuk topik nomor 4 ini adalah topik kombinatorika yaitu permutasi. Nah, perlu teman-teman ketahui sebenarnya topik ini diajarkan di sekolah sekitar kelas 10 sampai kelas 11. Namun ternyata banyak olimpiada di tingkat SD maupun SMP sudah harus mempelajari topik tersebut. Jadi sebenarnya cukup nggak adil ya teman-teman ya. Tapi itu realitas teman-teman harus belajar permutasi sedini mungkin.

Nah permutasi itu merupakan menghitung banyaknya kemungkinan dari suatu kejadian. Mungkin kalau di tingkat SMA teman-teman akan menghadapi banyak rumus. Rumus permutasi, rumus kombinasi yang bentuknya mungkin seperti ini ya.

N kombinasi R atau N permutasi R. Namun justru menurutku untuk tingkat dasar olimpiade lebih baik teman-teman menghindari belajar dari simbol-simbol tersebut. Langkah paling mudah adalah dengan yang namanya mengisi ruang atau filling the slot.

Nah daripada teman-teman berbingung-bingung lagi, kita langsung masuk ke contoh soalnya. Di sini terdapat 6 orang yang ingin berkendara menggunakan mobil ini. Namun ternyata hanya ada 2 orang yang memiliki SIM dan bisa menyetir.

Nah pertanyaannya adalah, berapa banyaknya cara menyusun 6 orang tersebut ke dalam sebuah mobil untuk bertama siang mungkin ya. Jadi pertama-tama kita lihat. slot-slot yang tersedia atau tempat-tempat yang tersedia. Di sini ada 6 tempat, di mana hanya sisi sebelah kanan depan yang ditempati oleh sang pengundi. Nah, di sini teman-teman bisa mulai menghitung banyaknya kemungkinan.

Nah, trik untuk mengerjakan soal ini, teman-teman bisa mengerjakan dari tempat yang paling banyak syaratnya. Di soal ini, tempat yang paling banyak syaratnya adalah tempat duduk pengemudi. Pengemudi di sini ternyata mengharuskan orang yang memiliki SIM yang duduk di situ.

Jadi untuk tempat pertama di sini, hanya kemungkinan diisi oleh dua orang. Sedangkan untuk kursi di sebelah kiri, di belakangnya, atau di belakangnya lagi, itu tidak memiliki syarat tambahan seperti di kursi pengemudi. Jadi kita bisa kerjakan secara acak.

Kita mulai dari yang sebelah kiri dulu. Jadi di sini seharusnya 6 orang bisa menduduki kursi nomor 2 ini, bebas. Tapi perlu teman-teman ingat, sudah ada 1 orang yang wajib duduk di kursi pengemudi. Jadi sisanya adalah 6 dikurangi 1, yaitu 5. Sisa 5 orang untuk duduk di kursi nomor 2. Begitu juga di kursi nomor 3, nomor 4, nomor 5, dan nomor 6. Jadi ada 6 orang yang bisa duduk di tempat situ. namun karena sudah ada 2, maka tersisa 4 kemungkinan.

Begitu juga di sebelah sini, 3, dan ini 2, dan ini 1. Untuk menyatakan banyaknya kemungkinan untuk duduk di tempat tersebut. Banyaknya cara, tinggal kita kalikan bilangan-bilangan yang sudah kita tulis ini. Jadi 2 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Jadi totalnya adalah 240 cara atau kemungkinan untuk menyusun Orang-orang yang akan pergi bertamas ya ini.

Oke, cukup mudah ya. Kita lanjut ke topik nomor 5. Oke teman-teman, kita lanjut ke topik kelima, yaitu prinsip inklusi-eksklusi. Bagi teman-teman yang merasa cukup asing dengan prinsip ini, sebenarnya untuk mudahnya adalah, mungkin yang teman-teman kenal dengan istilah diagram Venn. Nah, kalau diagram Venn, aku yakin teman-teman cukup familiar ya. Ini adalah materi yang diajarkan di kelas 7. Jadi diagram Venn itu adalah menghitung irisan atau gabungan dari dua kelompok tertentu.

Aku beri contoh, misalkan aku punya sebuah lingkaran yang merepresentasikan dari kelompok A, sedangkan lingkaran kedua ini adalah gambaran dari kelompok B. Nah, A dan B ini terkadang memiliki irisan di tengah-tengah. Nah, sebagai ilustrasi, teman-teman bisa menganggapnya mungkin lingkaran A ini adalah kelompok orang yang menyukai matematika.

Sedangkan untuk kelompok B, B itu adalah orang yang menyukai pelajaran IPA. Nah, di sini ada orang yang hanya menyukai matematika, namun tidak menyukai IPA, itu ada di sebelah kiri. Sedangkan ada juga orang yang menyukai IPA, namun tidak menyukai matematika, itu ada di ruas sebelah kanan.

Sedangkan kalau menyukai dua-duanya, maka dia terdapat di tengah irisan dari kedua lingkaran tersebut. Ada juga yang mungkin tidak menyukai keduanya, di luar dari dua lingkaran tersebut. Rumus yang akan sering teman-teman temui atau teman-teman gunakan yaitu adalah A gabungan B atau A union B.

Itu sama dengan banyaknya A ditambahkan dengan banyaknya B dikurangi dengan irisan A dan B. Oke, kita lihat ke contoh soalnya. Ini merupakan contoh langsung ya teman-teman dari soal OSN.

Berapakah banyaknya bilangan kelipatan 6 atau kelipatan 15 yang berada di antara 1 sampai 1000? Nah, jadi kalau teman-teman melihat kata atau di sini, atau ini melambangkan union. atau gabungan. Jadi kita bisa misalkan, A itu adalah banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 6, sedangkan B itu adalah banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 15. Nah, kalau teman-teman mencari tahu, A gabungan B atau union B, maka teman-teman harus tahu yang namanya irisan terlebih dahulu. Nah, A irisan B itu merupakan bilangan yang kelipatan 6 dan juga kelipatan 15 secara bersamaan.

Nah, otomatis bilangan tersebut haruslah merupakan kelipatan 30, karena KPK dari 6 dan 15 itu adalah 30. Jadi, A irisan B Atau A intersection B di sini adalah merupakan banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 30. Nah sekarang kita tinggal daftar bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 6. Di sini ada angka 6, kemudian 12, kemudian ada 18, dan seterusnya sampai yang paling mendekati angka 1000 yaitu adalah 996. Sedangkan bilangan yang merupakan kelipatan 15, teman-teman juga bisa daftar, yaitu 15, kemudian 30, kemudian 45, dan seterusnya, sampai yang terakhir adalah 990. Untuk yang kelipatan 30, itu mirip dengan yang B ya, jadi ada 30, ada 60, 90, sampai yang terakhir 990. Nah, untuk menghitung banyaknya bilangan dari 6, 12, 18, sampai 996, teman-teman bisa coba bagi masing-masing angka dengan 6 ya. Akan didapatkan 6 ini menjadi 1, kemudian 12 ini 2, 18 ini 3, dan seterusnya sampai 996. Kalau dibagi 6 menjadi 166. Jadi, banyaknya bilangan dari 6 sampai 996 ini adalah 166. bilangan. Sedangkan untuk yang kelipatan 15, 15 ini kita anggap 1, kita bagi semuanya dengan 15 ya teman-teman ya. Kemudian 30 ini adalah 2, 45 ini adalah 3, dan seterusnya sampai 990, maka ini banyaknya adalah 66. Jadi totalnya ada 66 bilangan.

Sedangkan untuk yang terakhir, kita bagi dengan 30, maka menjadi 1, 2, 3, dan yang terakhir Adalah 33. Di sini ada 33 bilangan. Nah, menggunakan rumus yang tadi aku sudah ajarkan, yang teman-teman juga pelajari di kelas 7 dan 8, itu A gabungan B itu akan sama dengan banyaknya A, ditambah dengan banyaknya B, dikurangi dengan A irisan B. Jadi, akan menjadi 166 ditambah dengan 66, dikurangi 33. Jadi, banyaknya A gabungan B adalah A. 199. Oke, memang soal stripa ini sedikit lebih tinggi dari pelajaran sekolah, namun seharusnya teman-teman kalau memiliki konsep yang cukup baik, itu tidaklah terlalu sulit.

Kita lanjut ke topik nomor 6. Nah, kita masuk ke topik nomor 6. Nah, di sini topiknya cukup menarik, yaitu adalah direct telescopic. Nah, mungkin di video lainnya aku akan jelaskan lebih... detail mengenai apa itu direct telescopic namun secara singkatnya adalah bagaimana cara teman-teman menyatakan sebuah barisan dengan bentuk barisan lain yang saling menghilangkan antar satu suku lainnya jadi untuk mudahnya kita langsung lihat ke contoh soalnya saja disini didapatkan pecahan yaitu 1 dibagi 1 kali 2 ditambah 1 dibagi 2 kali 3 ditambah titik-titik sampai 1 per 99 kali 100 aku yakin teman-teman pasti sudah sering menemui soal seperti ini.

Namun kadang kalian mesti bingung bagaimana cara menyelesaikan soal tersebut. Karena kalau dilihat secara kasat mata, penjumlahan ini... Sangat panjang ya, dan tidak bisa dihitung.

Nah, trik untuk menyelesaikannya adalah menggunakan trik teleskopik. Pertama-tama, teman-teman bisa menulis angka 1 per 1 kali 2 ini sebagai 1 per 1 dikurangi 1 per 2. Nah, kenapa harus dibentuk seperti ini? Kita coba lanjutkan dulu ya. Jadi 1 per 2 kali 3, itu teman-teman bisa tulis sebagai 1 per 2 dikurangi 1 per 3. Tujuannya adalah karena nanti di antara dua suku ini ada bagian minus setengah yang bisa kalian coret dengan suku setelahnya yaitu setengah ini. Bagaimana ya untuk mendapatkan 1 per 1 dikurangi 1 per 2?

Di sini teman-teman kalau lihat balik 1 per 1 dikurangi 1 per 2, teman-teman samakan penyebutnya, maka akan menjadi 2 dibagi 1 kali 2, itu untuk 1 per 1. Sedangkan yang sebelah kanan itu adalah 1 dibagi 1 kali 2. Karena teknik menyamakan penyebut ini ya, maka akan menjadi 1 per 1 kali 2. Begitu juga dengan 1 per 2 dikurangi 1 per 3. Akan menjadi 3 dibagi 2 kali 3, dikurangi dengan 2 dibagi 2 kali 3. Ini akan menjadikan 1 dibagi 2 kali 3. Oke, jadi... Begitu juga selanjutnya, teman-teman bisa tulis 1 per 3 kali 4 itu menjadi 1 per 3 dikurangi 1 per 4, nanti 1 per 4 dikurangi 1 per 5, 1 per 5 dikurangi 1 per 6, sampai ke 1 per 99 dikali 100. Maka akan menjadi 1 per 99 dikurangi 1 per 100. Jadi, dua suku yang berdekatan ini, kalau teman-teman jumlahkan, itu bisa saling mencoret setengah dengan setengah. 1 per 3 dengan 1 per 3-nya, 1 per 4 dengan 1 per 4, dan yang terakhir 1 per 99-nya juga ikut tercoret. Kalau teman-teman jumlahkan, maka yang bersisa hanyalah 1 per 1 dikurangi 1 per 100. Padahal kelihatannya sulit ya teman-teman, tapi dalam pengerjaan seperti ini akan terlihat sangat mudah.

Maka hasilnya akan menjadi 99 per 100. Oke, jadi soal yang rumit ini, jawaban akhirnya adalah 99 per 100. Cukup menarik ya teman-teman. Kita lanjut ke topik ke-7. Oke, sekarang kita masuk ke topik berikutnya, yaitu lingkaran luar dan lingkaran dalam. Nah, mungkin beberapa dari kalian cukup asing dengan istilah lingkaran luar dan lingkaran dalam.

Jadi, sebagai ilustrasi di gambar ini, lingkaran luar adalah lingkaran yang melewati dari titik-titik sudut segitiga. Jadi kalau ada segitiga, maka dia akan berada di luarnya dari segitiga tersebut. Sedangkan lingkaran dalam, itu adalah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi dari segitiga tersebut.

Jadi lingkaran yang berada di dalam segitiga, tetapi harus menyinggung ya. Nah di sini mungkin untuk pelajaran geometri, teman-teman jarang sekali mendapatkan topik ini di sekolah. Jadi cukup asing dan mungkin teman-teman juga tidak tahu bagaimana cara pengerjaannya. Soal-soal yang sering diberikan biasanya adalah mencari panjang dari jari-jari lingkaran luar maupun jari-jari lingkaran dalam. Nah tanpa teman-teman sadari ternyata ini ada rumusnya loh dan teman-teman tinggal menghafalkan rumus ini.

Untuk lingkaran luar teman-teman ada rumus jari-jari lingkaran luar sama dengan A dikali B dikali C dibagi 4 kali luas segitiga. A, B, dan C merupakan sisi-sisi dari segitiga tersebut. Sedangkan untuk jari-jari lingkaran dalam, rumusnya adalah luas segitiga dibagi dengan A ditambah B ditambah C dibagi 2. Tapi sebelum mengetahui berapa jari-jarinya, berarti teman-teman harus mengetahui rumus untuk mencari luas dari segitiga. Banyak rumus luas yang bisa teman-teman gunakan, seperti setengah alas kali tinggi, atau juga rumus Heron. yang mungkin cukup familiar di telinga teman-teman.

Jadi rumus Heron untuk mencari luas segitiga adalah akar dari S dikalikan S-A dikalikan S-B dikalikan S-C, di mana S itu adalah setengah dari keliling. Nah mungkin kalau teman-teman masih bingung, kita langsung masuk ke contoh soal berikut. Oke, jadi di sini kita diberikan sebuah segitiga yang panjang sisinya 7, 8, dan 9. Berapakah panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga tersebut? Jadi, teman-teman, pertama-tama yang harus dilakukan adalah mencari luas segitiga.

Luas segitiga di sini, kalau sisi-sisinya diketahui panjangnya, lebih baik menunjukan kumus heron. Rumus Heron adalah akar dari S dikalikan S-A dikalikan S-B dikalikan S-C. S itu merupakan setengah dari keliling segitiga.

Jadi kelilingnya adalah 7 ditambah 8 ditambah 9 kita bagikan dengan 2. Itu adalah S. 7 tambah 8 tambah 9 itu adalah 24. 24 dibagi dengan 2 maka nilainya adalah 12. Maka luas dari segitiga tersebut akan sama dengan akar dari 12, itu adalah S yang pertama. Kita kemudian kalikan S-A, A-nya itu kita ambil yang 7, teman-teman bisa ambil 8 atau 9 dengan urutan yang terserah. Namun di sini aku ambil yang 7, 12 dikurangi 7, kemudian S-B, yaitu 12 dikurangi 8, dan yang terakhir S-C. 12 dikurangi 9. Oke, maka luasnya adalah akar 12 dikalikan 5, dikalikan 12 kurangi 8, 4, dikalikan 12 kurangi 9, yaitu 3. Nah, di sini akan menjadi akar dari 12 kali 12 dikali 5. Kalau ada akar 12 kali 12, teman-teman bisa coret ya, karena 12 kuadrat, kalau di akar akan menjadi 12 akar 5. Nah, pertama-tama langkah pertamanya sudah kita tahu ya, maka luas segitiganya adalah 12 akar 5. Nah, sekarang kita masuk ke langkah berikutnya, yaitu mengetahui lingkaran dalam dan lingkaran luarnya.

Di sini, rumus dari lingkaran luar atau jari-jari R besar atau jari-jari lingkaran luar adalah A dikali B dikali C dibagi 4 kali luas segitiga. Jadi kita bisa tulis A-nya adalah 7 dikali 8 dikali 9, B dan C-nya ya, dibagi dengan 4 kali luas segitiga, 12 akar 5. Ada beberapa yang bisa kita coret, 4-nya kita coret dengan 8 menjadi 2, kemudian 12-nya kita bisa coret 3-nya menjadi 3 dan 4, 2-nya kita coret lagi. Jadi akan menjadi 21 per 2 akar 5. Untuk membuat dia menjadi lebih rasional, kita kalikan akar 5 per akar 5. Nilainya akan menjadi 21 per 10 akar 5. Ini adalah jari-jari lingkaran luar.

Sedangkan untuk jari-jari lingkaran dalam R kecil, rumusnya adalah luas segitiga dibagi dengan S atau A plus B plus C dibagi 2. Ini sama dengan S ya teman-teman bawahnya. Jadi luas segitiganya adalah 12 akar 5 dibagi dengan S. S nya tadi sudah kita temukan yaitu 12. Jadi jari-jari lingkaran dalamnya adalah akar 5. Oke cukup menarik ya. Jadi rumus ini cukup teman-teman hafalkan dan akan sangat berguna untuk teman-teman menghadapi soal-soal kompetisi matematika. Kita lanjut ke topik berikutnya.

Nah untuk topik ke-8 ini Ini adalah topik geometri yang juga cukup sering keluar di soal olimpiade, yaitu mengenai lingkaran bersinggungan. Nah, sering sekali di soal-soal olimpiade didapatkan dua atau lebih lingkaran yang saling bersinggungan, dan teman-teman disuruh mencari panjang dari jari-jarinya. Nah, sebenarnya trik untuk mengerjakan soal ini cukup beragam ya, namun tips yang aku bisa beri untuk mengerjakan soal ini adalah teman-teman hubungkan masing-masing pusat lingkaran satu sama lain.

dan juga tandai titik singgung dari dua lingkaran yang saling bersinggungan. Tanpa berlama-lama lagi kita masuk ke contoh soalnya. Nah sebagai contoh, di soal ini terdapat tiga lingkaran, yaitu lambangnya adalah omega 1, omega 2, dan omega 3. Di mana ketiga lingkaran ini saling bersinggungan, di mana omega 1 dan omega 2 ini bersinggungan di titik ini.

Atau titik ini kita sebut dengan huruf P. Nah titik Q ini melambangkan persinggungan antara lingkaran omega 1 dan omega 3. Sedangkan titik ketiga ini kita bisa tulis sebagai R. Atau titik singgung dari lingkaran kedua dan lingkaran ketiga. Jangan lupa langkah pertama teman-teman tandai dulu titik pusat dari masing-masing lingkaran.

Jadi aku misalkan di sini pusat pertama adalah U1, pusat kedua adalah U2. Dan detik ketiga adalah O3. Di sini langkah paling mudah adalah teman-teman bisa hubungkan masing-masing.

Pusat dari lingkaran tersebut. Nah, pusat dari lingkaran tersebut akan melewati titik singgungnya. Jadi P ini dengan O1, O2 akan menjadi satu garis.

Sedangkan O3 dan O2 akan segaris dengan R. O1 dan O3 itu akan melewati G. Nah, soal ini cukup sering ya teman-teman temui. Langkah yang...

Seharusnya teman-teman gunakan adalah bisa menggunakan pitagoras. Namun untuk memudahkan teman-teman mengejarkan trik soal ini, khusus kalau ada dua lingkaran yang menyinggung satu garis yang sama dengan ada lingkaran ketiga, di sini teman-teman bisa menggunakan rumus 1 per jari-jari lingkaran pertama, teman-teman akar, ditambah dengan 1 per jari-jari lingkaran kedua, teman-teman akar, itu akan sama dengan 1 per jari-jari lingkaran ketiga. Nah ini aku ajarkan rumus cepatnya, supaya teman-teman lebih mudah untuk menjawab soal soalan piade. Di soal ini, lingkaran pertama dan lingkaran kedua jari-jarinya adalah 9. Jadi teman-teman bisa masukkan ke sini, 1 per akar 9 ditambah dengan 1 per akar 4, itu akan sama dengan 1 per jari-jari lingkaran ketiga. 1 per 9 ini teman-teman bisa hitung ya, menjadi 1 per 3. Sedangkan 1 per 2, sedangkan 1 per akar 4 akan menjadi 1 per 2. 1 per 3 ditambah dengan 1 per 2 adalah 5 per 6. Nah ini sendiri akan menjadi 1 per akar R3.

Teman-teman balik ya pembilang dan penyebutnya, maka akar R3 menjadi 6 per 5. Jadi 5 per 6 teman-teman juga harus tukar 6 per 5. Untuk mencari jari-jari lingkaran ketiga, teman-teman tinggal mengkwadratkan dari 6 per 5. Jadi nilainya adalah 36 per 25. Nah, trik ini juga aku sering gunakan di lomba-lomba untuk menghemat waktu dalam pengerjaan soal. Sebenarnya masih banyak lagi ya, teman-teman, tipe soal yang menggunakan trik singgung-menyinggung antar lingkaran. Namun soal yang tipe ini paling sering keluar di soal olimpiade.

Nah, untuk teknik lain, prinsip yang harus teman-teman gunakan adalah menghubungkan pusat dan pusat serta titik singgung, itu yang paling utama tapi untuk soal ini teman-teman bisa menggunakan rumus cepat kita masuk ke topik ke sembilan nah untuk topik yang ke sembilan disini adalah yang namanya modulo mungkin teman-teman berapa masih merasa asing dengan isilah modulo ini modulo itu lebih tepatnya identik dengan yang namanya sisa Jadi sebagai contoh kalau teman-teman bertanya ketika 7 dibagi dengan 3 bersisa berapa, maka 7 dibagi 3 adalah 2 bersisa 1. Nah ketika kita belajar mengenai modulo, hasil bagi atau yang tadi kita temukan angka 2 itu menjadi kurang penting. Yang lebih penting adalah sisanya. Nah di sini angka 1 ini merupakan modulo dari 7 ketika dibagi dengan 3. Bentuk penulisan dari modulo ini biasanya adalah N sama dengan, tapi sama dengannya bentuknya tandanya 3 ya teman-teman. Ini khusus untuk modulo yang artinya bersisa atau kongruen sama dengan. Kongruen K modulo R.

Jadi R ini adalah pembagi, sedangkan X adalah bilangan yang dibagi. Kongruen ini adalah sisanya teman-teman. Jadi kita bisa menuliskan 7. Kongruen 1 dalam kurung modulo 3. Nah, mungkin banyak dari kalian yang belum familiar dengan modulo ini, sehingga menganggap topik modulo ini sangat menakutkan dan sangat sulit. Namun yang biasa aku ajarkan ke murid-muridku, modulo itu justru sangat memudahkan membantu kalian. Bahkan modulo ini menggunakan prinsip penjumlahan, perkalian, pembagian, dan pengurangan yang sama persis dengan Aja berbiasa.

Justru modulo ini memudahkan kalian dan sangat fleksibel dan bisa kalian gunakan. Oke, tanpa berlama-lama lagi, kita langsung coba ke contoh soalnya. Jadi carilah sisa pembagian dari 3 pangkat 100, yang tampak sangat menakutkan ya, 3 pangkat 100. Karena 3 pangkat 4 itu 81, 3 pangkat 5 itu 243, 3 pangkat 6 itu 729. Sepertinya angka yang berikutnya akan semakin besar dan semakin besar. Kalau teman-teman mencari 3 pangkat 100-nya sendiri, itu akan sangat menakutkan. Tapi, kalau teman-teman sudah belajar modulo, ini justru akan terasa sangat mudah.

Oke, berapakah sisa 3 pangkat 100 dibagi dengan 7? Sisanya berapa? Dan teman-teman tidak perlu mencari 3 pangkat 100, tapi idenya adalah mencari 3 pangkat berapa yang dekat dengan angka 7. Dekat di sini artinya adalah bersisa 1 atau min 1 ketika dibagi 7. Coba kita list bilangan tersebut dulu ya. 3 pangkat 1 ini adalah 3. Dia tidak bersisa 1 ketika dibagi 7. Dan juga tidak bersisa min 1 ketika dibagi 7. Oke, jadi kita jangan pilih 3 pangkat 1. Kalau kita pilih 3 kuadrat, 3 kuadrat adalah 9. 9 ini tidak berjarak 1 dengan kelipatan 7, karena angka terdekatnya adalah 7 ya, itu jaraknya 2. Jadi kita jangan pilih angka 9. 3 pangkat 3 itu adalah 27. Kalau teman-teman perhatikan 27 itu dekat dengan angka 28. 27 itu...

berjarak 1 dengan 28, atau min 1 sisanya ketika dibagi dengan 7, karena mundur 1 dari angka 28. Kita bisa menggunakan itu, jadi 3 pangkat 3 kita akan pakai. Jadi kita nyatakan 3 pangkat 100 sebagai kumpulan perkalian dari 3 pangkat 3. Jadi 3 pangkat 100, teman-teman bisa tulis sebagai 3 pangkat 3, dikalikan dengan 3 pangkat 3, dikalikan 3 pangkat 3, dikalikan 3 pangkat 3, gitu ya. Karena tahu ya teman-teman ya, dalam bentuk eksponensial, A dipangkatkan M dikali A pangkat N itu adalah A dipangkatkan M plus N. Jadi ini 100-nya aku pecah sebagai 3 tambah 3, tambah 3, tambah 3, seterusnya, sampai yang paling dekat adalah 99 ya teman-teman ya.

Jadi 3 pangkat 3 lagi dikalikan 3 pangkat 1. Jadi di sini ada sebanyak 33 kali, akan menghasilkan 3 pangkat 99. 3 pangkat 3 tambah 3 tambah 3 tambah 3 sebanyak 33 kali itu berarti 3 pangkat 99 nanti dikalikan lagi dengan 3 pangkat 1 jadi 3 pangkat 99 ditambah 1 jadi akan menjadi 3 pangkat 100 jadi aku ubah 3 pangkat 100 ini menjadi perkalian 3 pangkat 3 nah 3 pangkat 3 ini akan bersisa jadi aku tulis disini 3 pangkat 3 akan kongruen minus 1, minus 1 ini dapatnya dari 27 yang bersisa min 1 dalam modulo 7. Karena tadi jaraknya mundur 1 ya, 27 adalah min 1 dari 28. Bersisa min 1 dalam modulo 7. Nah, jadi aku bisa ganti saja 3 pangkat 100 ini langsung menjadi bersisa min 1. Dikali min 1, dikali min 1, dikali min 1 sebanyak 33 kali. Dikalikan dengan 3 pangkat 1, 3 pangkat 1 adalah 3. Nah, minus 1 dikalikan min 1 itu akan menjadi 1. Dikalikan min 1 lagi, menjadi min 1. Dikalikan min 1 lagi, jadi 1. Jadi bergantian, minus positif, minus positif. Tapi karena ada sebanyak ganjil kali, yaitu 33 kali, maka perkaliannya akan menjadi minus 1. Nanti min 1 ini dikalikan dengan 3, maka akan bersisa minus 3 dalam modulo 7. Nah, karena sangat jelek ya kalau menulis dalam sisa dalam bentuk minus, maka kita tambahkan angka 7 di sini tidak apa-apa.

7 dikurangi 3, maka sisanya adalah 4 dalam modulo 7. Jadi soal yang kelihatan sulit, tapi bisa menjadi gampang dengan menggunakan yang namanya modulo. jadi sisanya adalah 4 oke kita masuk ke topik 10 yaitu AMGM banyak nih teman-teman yang baru belajar olimpia dan matematika itu sering mendengar pembahasan soal yang mengatakan penyelesaiannya menggunakan AMGM nah mungkin cukup familiar namun teman-teman tidak pernah belajar topik ini sebelumnya jujur saja materi ini tidak pernah diajarkan di pelajaran sekolah, ST, SMP, SMA maupun terkadang kuliah juga tidak pernah. Sehingga soal ini sangat fokus terhadap materi olimpiade.

Nah AM sendiri merupakan singkatan dari aritmatik min atau rata aritmatika. Jadi mungkin teman-teman yang sudah pernah belajar mengenai rata-rata, rata-rata yang biasanya kalian pelajari adalah rata aritmatika. Jadi kalau kalian memiliki data X1, X2, X3, itu rata-ratanya adalah X1 ditambah X2 ditambah X3 dibagi 3. Itu adalah rata aritematika.

Sedangkan ada rata lain yang mungkin tidak pernah kalian dengar, yaitu rata geometri. atau yang disingkat dengan geometric mean. Nah, jika aku miliki X1, X2, X3, bisa aja aku merata-ratakannya dengan cara aku kalikan ketiganya, X1 dikali X2 dikali X3, kemudian aku akar angka 3. Sehingga ini merupakan rata geometrik. Nah, uniknya, ternyata rata aritematika itu selalu lebih besar daripada rata geometri. Sehingga didapatkan kesamaan bahwa AM itu selalu lebih besar sama dengan GM.

Nah perlu diingat teori ini hanya berlaku ketika bilangan-bilangan yang kita rata-ratakan ini itu merupakan bilangan real positif. Jadi ketika di soal ada tulisan negatif, teman-teman kemungkinan besar jangan menggunakan teknik AM-GM. Nah tanpa berlama-lama lagi kita coba ke contoh soalnya.

Nah jadi di sini aku diberikan 3 buah batang kayu. yang total panjangnya adalah 12 meter. Nah, pertanyaannya adalah berapakah hasil kali maksimum dari ketiga batang kayu tersebut. Jadi, aku misalkan panjang ketiga batang kayunya adalah A, B, C, dan kita tahu ya panjang suatu batang tidak mungkin negatif, jadi panjangnya adalah bilangan positif. Nah, di sini kita tahu A ditambah B ditambah C itu nilainya selama dengan 12, panjang totalnya 12 meter.

Yang kita minta adalah perkalian dari ABC, maksimum berapa. Nah di sini sangat identik untuk menggunakan yang namanya MGM. Kalau teman-teman pelajari AMGM di sini, AM-nya selalu lebih besar daripada GM.

A-nya adalah A ditambah B ditambah C dibagi 3, itu adalah AM-nya. Sedangkan GM-nya, Geometric Mean, itu adalah akar pangkat 3 dari A dikali B. dikali C, oke yang ditanyakan adalah berapa hasil kali maksimum dari ketiga batang ini maka ada di perkalian A kali B kali C, sehingga A plus B plus C kita bisa tulis 12 dibagi 3, itu adalah rata-ratanya aritematikanya lebih besar sama dengan akar pangkat 3 dari A kali B kali C 12 per 3 itu adalah 4 nah, kalau kita mau Hilangkan akar pangkat 3-nya, kita pangkatkan pangkat 3 di kedua ruas, kita kubikkan. Jadi 4 pangkat 3 itu selalu lebih besar daripada A kali B kali C.

Sehingga perkalian ABC ini maksimal adalah 64. Jadi teman-teman bisa langsung menjawab bahwa hasil kali maksimumnya adalah 64. Oke, semoga video ini bermanfaat. And see you on the next video. Terima

Transcript for:Persiapan Olimpiade Matematika

Transcript for:
Persiapan Olimpiade Matematika