हुआ है तो बेरी गुडी विडियो के बाद वेलकम टो दे सेशन वॉइस वीडियो क् वेरी गुड़ी इवनिंग एवरिवान, आई थिंग वॉइस और वीडियो सबको क्लियर होनी चाहिए ठीक है, बड़ा अच्छा लग रहा है इतने दिनों बाद, हाथ में वापस से पेन आ गई है, वापस से तो सबसे पहले तो ये बताओ, आप में से कितने लोग ऐसे हैं, जिन्नोंने नई कॉपी आज खरीदी हैं और आज से सुचा है कि आज के बाद नई शुरुवात करेंगे, आज से जितने भी चीजे पढ़ेंगे, सिस्टमाटिक पढ़ें mathematics के lecture का weight मैं भी कर रहा था आप लोग भी कर रहे थे और आज जाके वो weight खतम हुआ है somehow तो शुरू करते हैं फिर आज का बहुत important session बहुत ही बढ़िया ठीक है perfect ठीक है session start करने से पहले मैं चाहता हूँ कि अभी आप लोगों का over हुआ होगा तो let us wait for one or two more minutes तब तक किस वे में sessions होने वाले हैं यहाँ पे गाइडलाइन्स होगी जो हम लोगों को फॉलो करनी चाहिए है ना तो यह सारी चीज हम लोग आज के सेशन में करने वाले हैं बहुत ही बढ़िया शानदार सबसे पहले तो आप लोग यह बताओ कि मैथेमेटिक्स जो आप पढ़ने जा रहे हो है ना तो मुझे बहुत बिड़े सिविल से भी है सीएस इसी इलेक्ट्रिकल मेकानिकल चलो ठीक है समझ गया मैं यही मैं एक्सपेड कर रहा था कि आप लोग आएंगे या फिर सिर्फ आप मैसेज कर देते हो विसेट कर दो तो स्टार्ट कर देंगे उसके बाद आपका भी उसके पहले आपके दिमाग में जितनी भी queries चल रहे हैं, जितनी भी doubts चल रहे हैं, जितनी भी thoughts चल रहे हैं, सबका मैं systematically answer करने की कोशिश करता हूँ, ठीक है, चलिए, शुरू कर देते हैं, perfect, तो देखिए, हम लोग आज के session में cover क्या करने जा रहे हैं, engineering, mathematics cover करने जा रहे हैं जित्ती भी branches में mathematics पूछा जाता हैं, उन सारे branches के topics को मैं systematically cover करूँगा, ठीक है, detail में cover करूँगा, बहुत सारे बच्चों का doubt है, sir, क्या ये comprehensive course है, absolutely, यार, ये detailed comprehensive course है, जहाँ पे इतने questions कराए जाएंगे, उसके बाद आपको कोई और question करने की need नहीं पड़ेगी, ठीक है, चल तो आप सभी लोग अपनी copy पर यह heading डाल लो भाई, linear algebra, first page पर heading डालने का अलगी सुकून मिलता है, determinants आप heading डाल सकते हो, ठीक है, अब immediately इसके बाद मैं determinants start नहीं कर रहा हूँ, मुझे पता आपके दिवाँग में बहुत सारी queries हैं, उनको पहले quickly answer कर लेते हैं, meanwhile बाकी लोग 25 थी ठीक है, I have qualified so many PSU's, बहुत सारे PSU's भी मैंने qualify किये, उन में से बहुत सारे PSU's के interview story भी बहुत सारे लोग सुन चुके होंगे, जिनों ने नहीं सुना होगा, उनको इस course के साल साथ मैं सुना दूँगा, ठीक है, apart from that, 9 plus years का teaching experience हो गया, and apart from that mentored more than 1 lakh students में, online, offline दोनों included हैं, आपको दिखेगा, कि 7.5 करोड से जादा watch minutes वहाँ पे मेरे present है, 7.5 करोड watch minutes वहाँ पे, मतलब इतनी बार बच्चे, मेरे lectures को वहाँ पे देख चुके हैं, पसंद करते हैं, rank लेके आते हैं, और जैसे मैंने बार-बार बोला न, वही हमारा drug है, वही हमारा addiction है, उसी से हमें क्या मिलती, kick मिलती है, ठीक है, बाकि normal खाना पीना तो सब लोग खात कि अगला पहले तो यह बताओ सभी लोग जान गए मुझे ठीक है या फिर कुछ और पूछना बेरे बारे में कि सर और बता दी कोई पर्सनल इंफॉर्मेशन नहीं पूछेगा जो पब्लिक डोमेन में इंफॉर्मेशन अवेलेबल है कि सर आपकी सैलरी तो पहला चैप्टर linear algebra अब विस्ति हम लोग पढ़ने वाले हैं, ठीक है, तो linear algebra में आपको बहुत मज़ा आएगा, ठीक है, क्योंकि linear algebra ना free mind से पढ़ोगे, free mind से पढ़ने का मतलब, क्योंकि आपने ग्यारवी बारवी में linear algebra या in fact अगर मैं बोलूं तो determinants तक ही थोड़ा ब बारवी में ITJ के preparation कीती कोटा कानपूर जहां से भी कीती और जाहिर सी बात है कि अगर 100 लोग preparation करने जाते हैं तो 98 लोग जाते तो वहाँ पर है लौटते हैं और 96 लोग है साथ उनका बाबू भी आता है तो आपको तो calculus of real variables कवर करेंगे, बहुत interesting होता है, बशिरते कि आप अपना इतिहास वहीं पर छोड़के आ जाओ, तो आपको इसमें बहुत मदाएगा, एक बार देखो, ये chapter complete हो गया, calculus of real variables, तो इसके maximum concept को, जैसे calculus में basically होता ही क्या है, differentiation और integration, यही तो होता है, तो अगर आपने इसका differentiation वही calculus आगे चलके आपको complex variables पर implement करना है, ठीक है, तो ये तीन chapter हम अपने इशा sink में पढ़ेंगे, देखें मेरा हमेशा से ऐसा मानना रहा है, ये तीन chapter हमेशा back to back होने चाहिए, ऐसा नहीं हो सकता कि आप calculus और vector variable पहले पढ़ ले, real variable बाद में पढ़े, complex वाला फिर कहीं last में तो second chapter का नाम सिर्फ calculus लिख देते हैं, यहाँ पे vector calculus लिखते हैं, और यहाँ पे complex calculus लिख देते हैं, उसी को मैंने थोड़ा detail करके आपको दे दिया कि है calculus ही, है differentiation, integration ही, but एक बार real variable पे लगाएंगे, एक बार vector पे, एक बार complex, इस सब क्या होते है, chapters में बहुत detail में देखा जा� जो probability में मैंने star mark करवा हुए थे, as it is equation exam में पूछे गया है, computer science वगरा के paper में, ठीक है, and last chapter numerical methods, और देखो miscellaneous में न, यह जो miscellaneous वाला topic है, इसमें आपकी series हो गया, यह miscellaneous वाला जो topic हो, supply demand basis पर रहेगा, जो आप demand करोगे, उसके मैं supply करने की कोशिश करूँगा, ठीक है, मुझे लग रहा काफी time हो गया, 20-25 दिन से शायद मैंने pen भी नहीं पकला है, ठीक है, है न, देखो, branch wise syllabus का न, मैं एक video बना दूँगा अलग से, कि कौन सी branch में कौन सा topic नहीं है, but linear algebra सारे branches में है, तो पहले chapter में तो सब लोग start करो ही करो, है न, एक आदे topic बीच में इधर उ� books sir कौन सी follow करनी चाहिए, देखिए अगर आप class के lectures attend कर रहे हो ना, तो मेरे हिसाब से कोई books वगरा follow करनी के ज़रूरत नहीं है, अगर आप class notes को ही अच्छी तरीके से revise करेंगे, अच्छी तरीके से practice करते रहेंगे, तो आपको कोई problem इसमें आने वाली है नहीं, but again अगर आप आपको इनके PDF मिल जाएगे आप डाउनलोड कर लिए, अदरवाइस अगर आपके कॉलेज में कुछ ऐसी बुक्स चलती हैं, ठीक है, जैसे बहुत सारे कॉलेज में एचके दास चलती है, है न, बहुत सारे कॉलेज में आई थिंग एंपी बाली चलती है, ठीक है, बहुत सारे बी एस ग्रेवाल बहुत ही बढ़ तो बी एस ग्रेवाल तो अगर आपके पास इन में से कोई भी एक किताब है ना तो आप उसको भी फॉलो कर सकते हैं ये भी अच्छी किताबें ठीक है तो इंजिनरिंग मैथमेटिक्स पॉइंट ओफ यू से ये अच्छी किताबें ये सारी किताबों में आपको बहुत सारा क तो एक चीज का तो मुझे भरूसा है कि पता नहीं मैथ समझ पाओ कि नहीं समझ पाओ इसको पढ़कर बॉडी जरूर रहा है कि काफी मोटी-मोटी किताब होती है ठीक है तो मेरी कहने का मतलब क्या है कि क्लास अगर अटेंड कर रहो तो यहां पर कुछ करने के जरूरत नहीं है आप कभी कबार कोई टॉपिक में लगी कि थोड़ा और हो रही मचल रामन करना यह सारी किताब उतने सुन्दर नहीं, मतलब उसमें डाइग्राम आपको बहुत क्लियर नहीं दिखेंगे, 3D वगरा, इसमें बहुत सुन्दर डाइग्राम आपको मिल जाएंगे, so this book you can generally keep the PDF only, ठीक है न, PDF आप इसका डाउनलोड कर सकते हैं, ठीक है, तो बताओ कि मैं उनके answer कर देता हूँ, जल्दी से देखिए, सबसे पहली चीज, who can attend this lecture, देखे, जो भी engineering कर रहा है, irrespective of your branch, आप इस lecture को attend कर सकते हैं, sir, मैंने 11-12 वी में mathematics नहीं पढ़ी हुई है, तो क्या मैं कर सकता हूँ, बिल्कुल आप कर सकते हैं, इसके लिए 11-12 के mathematics की need ही नहीं है इर्स्पेक्टिव ऑफ ब्रांच इर्स्पेक्टिव ऑफ कि आप की अ इर्स्पेक्टिव ऑफ कि आपने गार्वी वारों मैथमेटिक्स पढ़ाएं प्रॉब्लम यहां पर फोकस करना पड़ेगा चलो दूसरा सबसे पॉपुलर क्वेश्चन कि सर यह विशाल गेट प्रैक्टिस प्रॉब्लम सर कहां पर मिलेगी इसको हम कैसे अक्सेस कर सकते हैं तो इमीडिटली काम करो आप सभी लोग एक बार इसी वीडियो के description में जाओ, देखो सबसे उपर एक special class का link आ रहा होगा, एक बार फटा फट जल्दी से वो link आप लोग देखो, link देख के जल्दी से मुझे chat box में confirm करो कि हाँ सर वो link दिख रहा है, chat box में लिख रहा है कि link दिख रहा है, बस ये मत लिखना दिख रहा है, मु� इसी वीडियो के डिस्क्रिप्षन में, ठीक है? जब आप इसी वीडियो के नीचे जाएंगे, तो एक डिस्क्रिप्षन आता है वीडियो का, उस पे आप क्लिक करेंगे, वहाँ पे आपको एक लिंक दिख रहा है, पक्का? चलो, बहुत ही बढ़िया, सबको लिंक दिख रहा आज की timing मैंने 8 PM रखी हुई है क्योंकि मुझे नहीं पता आज class कितने बजे तक जाएगी क्योंकि मुझे कुछ general information भी आपको देनी थी most probably शायद उसकी timing 7.30 PM के अपरोक्स रहनी चाहिए बट वो class की immediately बाद रहेगी तो हमेशा इस sink में चलता रहेगा title के साथ लिखा होगा ठ मेरे कहाल से interface ऐसा होता है कि जो लोग पहली बार शायद enter करेंगे, उनको ये code मागेगा, तो ये code लगा के आप enter कर लेना, मेरी special class में, वहाँ पे आपको क्या मिल जाएगा, class के बाद properly well typed PDF मिल जाएगे, और इस PDF का live video solution आपको मिल जाएगा, ठीक है न, बट वो 8 बजे live हम लो वो ऐसा नहीं कि live class के बाद वो गायब हो जाएगा, वो हमेशा pinned रहेगा, सब्पोस आप आज से दो महीने बाद आप किसी को recommend करते हों कि भाई सर ने वो session start किया था, वहाँ से आके mathematics cover कर लो, सर ने अच्छा पढ़ाया था, तो अगर वो बच्चा भी दो महीने बाद आता है, यह बताओ सेकेंड वाली क्वेरी का सबको आंसर मिल गया, बोलते जाओ यार, जल्दी अलदी बोलते हो, थोड़ा फास्ट करना हम लोग न, 21st century वाले हम लोग हैं, social media वाले, quickly response हमको चाहिए, हमारे पास patience चलिए, perfect, ठीक है, उसके अलाबा, सर, अगर classes खतम हो गई, तो हम और question कहां से practice करें, भाई, और question practice करने के ज़रूरत नहीं, class में question करवा रहो, उसको करो, DPP के question practice कर लो, उसके साथ PYQ बस practice करना, और कुछ करने के ज़रूरत नहीं, सर, क्या आप PYQ provide कराओगे, यार मैं Mathematics की PYQ की hard copy आप लोग जरूर खरीदें ठीक है? ओके यह देखो एक मेरा भाई कितना अच्छा आदमी है यह बोल रहा है सर यह course को आप paid कर दो यार आप जैसे अगर सभी लोग होते हैं ना कितना अच्छा होता है इस दुनिया में बताओ तो इस भाई को तो मेरा big salute है यह बाकी लोग जो है ना यह लोग हमारे साथ नहीं है ना है तो देखिए होगा क्या वैसे तो मैंने यह सोचा है कि हर फ्राइडेस वरी हर संडे आपका टेस्ट करवाऊंगा ठीक है तो संडे जो टेस्ट करवाना रहेगा उसका मैं एक जैक्टिक अलग से वीडियो आपको बनाकर बताऊंगा तेस्ट बाकी लोगों से compete कर पा रहे हो, leader board देख पा रहे हो, तो पहले तो बताओ इस बात पर aligned हो आप लोग, अगर मैं एक दो दिन में इसमें session लेकर आपको समझा दू, कि test कैसे conduct करवाया जाएगा, ठीक है, तो यह मैं आपको बताओंगा, proper तरीके से बताओंगा, कैसे आप इसमे तो देखें मैं आपको बताता हूँ, suppose अगर आपने सुबा और शाम वाला slot book कर रखा है, suppose आप सुबा किसी teacher से पढ़ रहे हैं, शाम को किसी teacher से पढ़ रहे हैं, तो अपना schedule disturb मत करें, क्योंकि अन अकाडमी प्लस पे भी मैं आप लोगों को mathematics complete करवाँगा, ठीक है, but suppose अगर क crash course, crash course होता है, comprehensive course, comprehensive course होता है, crash courses में 70% के आसपास concepts discuss किये जाते हैं, जबकि comprehensive course में पूरा discuss किया जाएगा, जैसे अगर मैं इमानदारी से बताओ, जब मैंने crash course करवाया था, तो मैंने complex variables में roots की calculation का basic discuss नहीं किया था, है न, बट वो एक question आपका gate में पूछ लिया गया, जबकि तो comprehensive जो पढ़के जाएगा ना वो 13 में से 13 नंबर लाने की probability उसकी बढ़ जाएगे, जो crash करके जाएगा वो 7-8 नंबर ला सकता है, बट ये 4-5 नंबर का difference फिल करना generally मुश्किल हो जाता है अगर paper थोड़ा ठीक ठाक आता है तो ठीक है ना, तो क्या ये frequently asked questions में आपके दिमा� पर शायद आप लोग मुझे फॉलो नहीं कर पा रहे होंगे और नहीं मेरी कम्यूटी देख पा रहे होंगे कुछ टेक्निकल प्रॉब्लम है यार ठीक है और उस पर थोड़ा टाइम लग रहा है मैंने अलरेडी काफी बार रिक्वेस्ट रेस कर रखी है मोस्ट पर भी शाय� मैंने सेशन के स्टार्टिंग के सारे जो डाउट से वह मैंने आप लोगों के सॉल्ड कर दिया अब मैं चाहूंगा कि क्योंकि मैथमेटिक्स का कोर्स है तो आप लोगों को थोड़ा बहुत बेसिक मैथमेटिक्स आना चाहिए जनरली जब भी कोई सब्जेक्ट ये session के बाद मैं आपको बताऊंगा, ठीक है, session के बाद, उसके लिए session के आखरी तक रहना पड़ेगा, भाई ऐसा तो लिए, शुरुवात में सारे question के answer ले लोगे, last तक तो रुकोगे न, ठीक है, चलो, तो मैं आप लोगों से न probability का एक बहुत आसान सा question पूछता हूँ, आ आप लोगों ने मेरी प्रोफाइल देख ली, तो मैंने Engineering Services 2013 में Interview तक पहुँचा, 2014 में 98 Rank है, 2025 में मेरी 25th Rank है, उसके लावा और सारे एग्जांस बहुत सारे Qualify किये, पिछले 8-9 सालों से पढ़ा रहो, भगवान के देवा से Feedback भी ठीक ठाक है, बच्चे तारीफ करते हैं, अ question सबको समझ में आ गया, बोलो, पक्का, है न, यानि आप मानते हो कि इस बात की probability वन है कि सर जो हम सोच रहे हैं, वो आप सोच चुके होगे, या तो as a teacher, या तो as a student, मतलब, जो काम आप लोग करने जा रहे हो, वो मैं करके छोड़ चुका हूँ, तो कहने का मतलब क्य किसी भी चीज को सीखने का जो सबसे पहला स्टेप होता वो था listening listening is the first step of learning जिसने ढंग से सुनना सीख लिया उसने किसी भी चीज को सीखने के process को बहुत असान कर दिया हर एक चोटी-चोटी बातों पर सवाल लगाने की कोशिश करेंगे और close करने की कोशिश करेंगे topic को तो उस query को हम कहीं पे note down कर लें, मैं 99.999999% guarantee देता हूँ, class खतम होते उते तक, वो query automatically आपके खतम हो जाएगी, by the way उसके बाद भी रह जाती है, तो आप नीचे comment box में डाल देजे, फिर मैं तो हूँ हूँ, उसको solve करने के लिए, ठीक है, चलिए, बहुत ही बढ़िया, तो अब पक्का, चलो, तो एक बार chat box में लिख दो linear algebra, शुरू कर देते हैं आज की कहानी, बहतरीन, बहुत ही बढ़िया, ठीक है, चलो, तो linear algebra शुरू करते हैं, अब देखें linear algebra में हमको पढ़ना क्या है, अब थोड़ा सा हम लोग आ जाते हैं, topic के अंदर enter करने की कोशिश करते हैं, देखे, linear algebra के syllabus में actually हमें start तो matrices से करना चाहिए, है न, actually start कहां से करना चाहिए, matrices से करना चाहिए, but होता क्या है न, चाहिए आप matrices पढ़ो, matrices के बाद वाले ज़रा topics का न तो आप बोलो कहें सर ये क्या बात कर रहे हो वो तो obvious सी बात है matrix या mathematics कभी भी पढ़ेंगे तो multiplication और division तो रहे गए similarly जो आप linear जब पढ़ते हो ना तो वहाँ पे ना determinant इसका multiplication addition जो आप समझना चाहो समझ लो बिना इसके ये चारो topics अधूर है और मुझे पता है गैरवी बारवी में generally उतना strong नहीं होता determinant वगरा तो determinant हम पढ़ने के कोशिश करते हैं at the same time जो determinant हम पढ़ेंगे ना उसका बहुत basic सा portion touch करना जितना मैं आपको पढ़ा रहो अगर उतना determinant आप लोगों ने अच्छी तरीके से absorb कर लिया मुझे नहीं लगता है कि आगे के किसी भी topic में आपको कोई भी दिक्कत आने वाली है ठीक है तो सबसे पहला topic जो हम आज start करने वाले हैं आज का हमारा agenda है determinant का हमें कुछ basic clear होना चाहिए उसके बाद फिर matrices पे आएंगे बड़ा interesting यह होता है फिर rank की calculation पे आएंगे rank की calculation जो हम लोग पढ़ेंगे तो हमारा पडोसवाली आंटी का मैं आपको क्या बताऊंगा एक characteristics है न पडोसवाली आंटिया क्या होती है आप बताइए वो सामने वो अपने घर में देखते हैं या फिर बगल वाले के घर में तो आ तो rank का पूरा concept कौन सिखाएगा हमको पड़ोस वाली आंटी पूरा concept आपको सिखा के जाएगी rank वाला बहुत simple होता है बहुत मज़ाएगा एक बार rank हमारे पकड़ में आ गया ना तो भाई साथ system of equation में कुछ ही नहीं है और यह निपड़ गया तो eigen value, eigen vector में कुछ नहीं है सारे linked हैं तो मुझसे कोई यह नहीं बोलेगा कि sir मैं eigen value, eigen vector attend कर रहा हूँ जो भी topics हम पढ़ेंगे sequence में हम लोग पढ़ने वाले है sequence अगर clear नहीं है, तो topics में हमेशा कोई ना कोई problem आती रहेगे, that is why मैंने आपसे first class में बुला था, कि इस course की fees वैसे तो 10,000 है, आगे वाला one मैंने हटा दिया था, but उसके बदले मैंने मागी थी, आपलोगों से consistency, dedication और उसके साथ classes को regularly attend करें, ठीक है, चलो, शुरू किया डिटर्मिनेंट पढ़ क्यों रहे हैं, क्यों पढ़ रहे हैं डिटर्मिनेंट, उसके पीछे का क्या लॉजिक है, 5 मिनट उसका डिस्क्रिशन करते है चलो सबसे पहले हम लोग बात करते हैं linear equation की थोड़ा सा discussion करते हैं फिर सीधा determinant start करते हैं linear equation कैसी equation होती है तो ये बोल रहा है कि जो linear equation होती है न उससे variable की maximum power 1 होनी चाहिए example के तौर पे suppose अगर मैं ऐसी कोई equation लिखता हूँ y is equal to 2x plus 3 है न ऐसा मैंने लिखा तो क्या हम सबी लोग agree करते हैं कि ये linear equation है जब भी आप इसकी plotting करेंगे y is equal to mx plus ck according एक linear line वहाँ पर बन जाएगे बनेगे न एक line ठीक है perfect तो अगर मैं इसमें variables की बात करूँ, तो इसमें variables कौन-कौन से present है, आप बोलोगे सर देखे, 2 तो constant है, 3 constant है, यह x और y variable है, यह कोई भी value ले सकता है, तो अगर मैं variables की power देखूं, तो यहाँ पर मुझे 1 दिख रहा है, अगर मैं चाहता, त वो कभी भी 1 नहीं होती है, similarly जो infinite की power 0 होती है, वो कभी भी 1 नहीं होती है, इन दोनों के अलावा आप कोई भी number लीजिए, और उसकी power अगर आप 0 करेंगे, तो हमेशा 1 मिलेगे, जब हम लोग calculus पढ़ेंगे, या limits पढ़ेंगे, वहाँ पे बताऊंगा, कि ये दोनो formats को generally हम एक variable y था, एक x था, एक z था, इसमें variables की power maximum आपको 1 मिल सकती है, तब ही हम किसी equation को क्या बोलेंगे, linear equation बोलेंगे, done है, चलो अब यह बताना, क्या मैं इसको linear equation बोल सकता हूँ, जरा ध्यान दीजेगा सभी लोग, ax plus by plus cz equal to d, फटा फट सभी लोग एक बट chat box मेरा सवाल आप तो आप बोलोगे सर बिल्कुल, ये देखिए, x की power 1, y की power 1, z की power 1, suppose अगर यहाँ पर कोई variable लगा भी देते, तो उसकी power हम 0 कर सकते हैं, तो linear equation में variable की power maximum 1 हो सकती है, उससे ज़ादा नहीं हो सकती, power अगर उससे ज़ादा करोगे, तो फिर वो non-linear equation हो जाएगी, equation तो अभी भ x by a, y by b equal to 1, फिर से मेरा वही सवाल कि क्या ये एक linear equation है, जल्दी से बोलो, हाँ या ना, ये x, ये y, क्या ये linear equation है, बिल्कुल, अगर कोई मुझसे बोलेगा कि सर इसकी plotting जरा करके दिखाईए, तो इसकी plotting में दिखे, ये जो a वाला point होता है, ये क्या represent करता है, intercept on x axis, क्या represent क ऑन एक्स पर किस पॉइंट पर यह कट करेगा और इसको आप क्या बोलते हो इंटर सेप्ट ऑन वाई एक्स चलेगा बोलो ठीक है तो अगर मैं यहां पर देखूं तो इस लाइन की जब आप एक्वेशन ड्रॉप करोगे ना एक ऐसी क्लिक दिया करो ठीक है बोलो आता है सबको बनाना अ देखो मैंने इसलिए आप तोगों से भूला था कि भाई focus यहाँ पर रहना चाहिए ना, यहाँ पर focus रहें, जिसका focus chat box में है या comment section में है कि भाई कौन-कौन क्या-क्या reply कर रहा है ना, भाई मैं आपको बदा रहा हूँ कि आप एक बहुत important चीज़ miss out कर रहे हो ना, focus पूरी अब ये बताईए जरा आप में से कितने लोग ऐसे हैं जिनके शादी हो चुकी है, है कोई, साब, सारे शादी शुदा लोग मेरी क्लास में आ गए, आप लोगों से ये उम्मीद नहीं थे, कितने लोग हो भाई, सारे शादी शुदा हो, इसी उमर में, तो गेट की त्यारी क् आप आयो यहाँ पर पढ़ने के लिए, चलो, खैर, मान लेते हैं कुछ लोगों की हुई है, कुछ लोगों की नहीं हुई थी, जो भी है, खैर, तो मैं आपको बताता हूँ कि जब किसी की शादी होती है न, तो असल में कैसे उसकी लाइफ में क्या चेंजेज आते ह अगर मुझसे कल को कोई इसके solution का nature पूछना चाहे, इसके nature पर हम क्या comment कर सकते हैं, तो इसको शादी शुदा जिन्दगी से बड़ी असानी से हम लोग relate कर सकते हैं, आईए जर मैं आप लोगों से चाहूँगा कि सबसे उपर वाली जो equation लिखी हुई है, अभी note मत करना, बस देखते जाना, ठीक है, यह first equation लिखी हुई है, इसको मैं 1 का नाम दे देता हूँ, मैं इसको ऐसा लिख लूँ, किसी को कोई आपत्ती तो नहीं है, यह दो को 2 था, इसको उठा क सुनते जाना है कहानी सुना रहूं आपको, ये कहानी सुन लोगे तो आपको पूरा आईडिया क्लियर हो जाएगा अब देखो मैं 2 से इतर डिवाइड करूँ अगर, तो ये हो जाएगा 2x प्लस y एक्वल टो 1 इसको मैं लिख सकता था, x बटा 1 by 2, x by 1 by 2, y by 1 एक्वल टो 1 है ना ये फर्स्ट लाइन है, ये दूसरी लाइन है कितने लोग बोलते हैं कि सर ये क्या मज़ाग कर रहे हो सर आप ये दोनों तो सेमी लाइन है ना भले ही आपने इन दोनों को अलग equation का नाम दिया, बट कही ना कही ये दोनों तो same line को represent कर रही थी, बोलिये हाँ या ना, तो आप बोलोगे कि हाँ सर दोनों तो same line है, मैं वही कहना चाहों कि ये जो first equation और second equation है, अगर मैं somehow दोनों को plot करता, तो क्या दोनों exactly overlap करते, ये देखो पहली line पहले बदाओ, सबी ने देख ली, बोलो हाँ, यह first line यह आपको दिख रही है आप बोलोगे हाँ सर बिल्कुल दिख रही है तो मैं क्या करता हूँ पहले दूसरी line को चमका देता हूँ फिर यह दिखे यह दिखे दूसरी line मैंने यहाँ पर बना दी ठीक है तो दिख रही है आपको चमकते हुए दूसरी line बिल्कुल इसके उपर यह बिल्कुल overlapped format में present है अब मैं क्या करता हूँ exact इसको draw भी कर देता हूँ फिर मैं आपको बताता हूँ कि यह है क्या actually ठीक है यह क्या actually है देखो ठीक है तो जब होता क्या है ना जब दो लोगों की नई शादी होती है तो suppose husband है वो दिन बर काम वाम करके शाम को वापस आता है, वो बोलता है अजी सुनती हो एक ग्लास पानी देना, तो जो वाइफ होती है, वो सिर्फ पानी लेके नहीं आती है, पानी के साथ कुछ मीठा भी रहता है, मीटे के साथ चाय भी रहती है, चाय के साथ दुनिया बर के स्नाक्स भी रहते हैं, और पूछ इस point पे देखो, हर एक जगह पे ये दोनों एक दूसरे से बिल्कुल राजी हैं, अगर ये हर एक जगह पे दोनों एक दूसरे से राजी हैं, तो क्या ऐसा बोल सकते हैं, कि दोनों के thought process में, दोनों के मिलन में infinite possible solutions exist कर रहे हैं, बोलो हाई य कि उनके infinite possible solutions exist करें, आप बोलोगे बिल्कुल हो सकता है सर, कब, जब, दोनों same equation को represent कर रहे हैं, ये पहला वाला equation और दूसरा वाला equation बिल्कुल same है, तो जब इन दोनो lines को आप बनाओगे, ये दोनो lines हर एक point पे एक दूसरे को intersect करेंगे, हर एक point पे एक दूसरे को touch करेंगी, इच पॉइंट आपके बात से बहुत ही बढ़िया बहुत ही शानदार बिल्कुल मैं आपके बात से अग्री करता हूँ भाई ये भी एक सॉल्यूशन है ये भी एक सॉल्यूशन है ये भी यहाँ पर आपको दिख रहा है x प्लस y इक्वल टू और एक दिख रहा y minus 2x equal to 4, क्या आप लोगों को linear equation solve करना आता है, आप बोलों के हाँ सर आता है, ये थी पहली equation x plus y equal to 2, मैं यहाँ से x की value calculate कर लेता हूँ, ये मुझे मिल जाएगी 2 minus y, कर सकते हैं, करते रहो आप सभी लोग, जो लोग कर पा रहे हैं, वो लोग solution में निकाल क second equation, y की value निकाले x की, यहाँ पर put कर दो, यह हो जाएगा y minus 2, बहुत ही basic discussion कर रहे हैं, इसमें कुछ भी हम लोग, कुछ भी हम लोग technical बात नहीं कर रहे हैं, बस एक philosophy build up करना चाह रहे हैं, कि बाई हम करना क्या चाहते हैं इस chapter में, उसके लिए यह discussion बहुत important हो जाता है, तो क्या हम x की value यहां से calculate कर सकते हैं, कर लेते हैं, 2 minus 8 by, तो x की value यहाँ से मिल जाएगी minus 2 by 3, बोलो, clear?
यानि कि जब हम इन दोनों equations को solve कर रहे हैं, तो मुझे बताईए क्या इनका infinite solution आ रहा है, या फिर एक मातर, single, unique solution मिल रहा है, एक मात्र unique solution exist कर रहा है, that to minus 2 by 3, 8 by 3, बोलिए, तो आप बोलोगे सर एक ही तो solution exist कर रहा है, एक ही solution exist कर रहा है इसका, इन दोनों equations में x और y की एक single ऐसी unique value है, जो इसके LHS और RHS को satisfy करेगी, तो अगर इसके एक single unique value आ रही है, तो कोई मुझे line के मैं Cartesian coordinate में draw करूँ तो उस दोरान उन दोनों lines का क्या होना चाहिए बोलो बोलते जाओ यार सबी लोग भाई इसमें कुछ भी नहीं है ये जो मैं बता रहूं न ये बिलकुल बच्चो वाली चीज है मैं इसलिए बता रहूं क्योंकि हम चाहते हैं एक philosophy develop हो जाए एक बार philosophy develop हो गई न समझ गए चाहता है तो मैं सिदर determinant के property से start कर देता है बट comprehensive course के यही फायदे होते हैं कि thought process हमारा next level पे build up होता है खेर तेलिये कहने का मतलब है कि अगर मैं इन दोनों lines को draw करता हूँ suppose अगर मैं इन दोनों lines को draw करता हूँ, तो मैं exact plotting नहीं कर रहा हूँ इनकी, ठीक है, exact plotting नहीं कर रहा हूँ, ऐसी आपको randomly show करने की कोशिश कर रहा हूँ, देखिए, जब भी हम इसकी plotting करते हैं, अच्छा, ये चीज तो आप लोगों को यहाँ पर दिख रहा है, तो जो first वाली line आपको दिख रही है, y is equal to minus x plus 2, उसको मैं लिख सकता था, y equal to 2x plus 4, तो मैं ऐसा बोल सकता था क्या, y is equal to mx plus c के हिसाब से, पहली वाली line का slope negative है, y equal to mx plus c के हिसाब से, दूसरी वाली line का slope positive है, y equal to mx plus c में, m क्या represent करता है, slope represent करता है, यानि कि, एक positive slope की line बना देते हैं, यह graph वगरा की exact plotting के हमें need ही नहीं है, ठीक है, तो यह देखो, एक positive slope की line, suppose, और एक negative slope की line मैं आपको show कर देता हूँ, ये लीजे, एक suppose negative slope की line हो गई, है न, ये देखो ये positive slope की line, positive x-axis से, acute angle बना रही है, positive x-axis से, obtuse angle बना रही है, acute का मतलब 90 से कम, obtuse का मतलब 90 से ज़ादा, तो इनके बीच में, अगर आप notice करें, तो एक ही point यहाँ पर intersection वाला आ रहा है तो ऐसी भी possibility कभी-कभी बन सकती है कि उनका सिर्फ एक single unique solution exist करे बोलो हाई या ना है ना तो ये situation होती है शादी के कुछ एक आदे साल बाद ठीक है ये husband ये wife फिर से वही office से आता है वही husband है वही wife है आके वापस बोलता है अजी सुनती हो एक glass पानी देना तो वो एक glass पानी का लाके उसको दे देती है और वो पानी भी अगर ठंड का मौसम है तो ठंडा ही रहता है और अगर गर्मी का मौसम है तो गरम ही रहता है ठीक है पानी वस मिल जाता है कि भाई ये लो डन है ये एक साल बाद की सिचुएशन है अब आप लोग शादी शुदा हुई बहुत सारे लोग तो रिलेट करी पा चीजों को conclude करते हैं, फिर कुछ question पूछूंगा, उसका answer करना, चलो, इसमें जो first वाली line है, इसमें बताओ, क्या मैं इसको ऐसा लिख सकता था, 2x plus y equal to 1, इसको आप लिख लो, x by 1 by 2 plus y by 1 equal to 1, ठीक है, दूसरी वाली line को देखो, दूसरी वाली line मैं क्या करता हूँ, 3 को मैं x by 3 by 2 plus y by 3 equal to 1, कोई मुझे बता सकता है, यह दोनों lines आपस में कैसी lines को represent कर रही है, any one, यहाँ पर देखो, यह बोल रहा है, 2x plus y वन के बराबर होना चाहिए, यह बोल रहा है, 2x plus y थ्री के बराबर होना चाहिए, यह आपका y हो गया, यह आपका x हो गया, तो 1 by 2 और 1 है, यह intercept अगर आप notice करें, तो यह 1 by 2 और 1 है, यहाँ पर है 1 by 2 और यहाँ पर है 1, clear है, पक्का? perfect, दूसरी वाल लाइन में देखो, यहाँ पर intercept 3 by 2 है, और यहाँ पर 3 है, ठीक है, तो अगर मैं आप से पूछना चाहता, ध्यान से सुनियेगा मेरी बात को, अगर मैं पूछना चाहता, कि मैं इस line को लिख रहा हूँ, y is equal to minus 2x plus 1, और इस line को मै तो जब भी दो lines के slow बराबर होते हैं भाई साब, तो क्या वो lines आपस में parallel होती हैं या नहीं, बोलो, आप बोलो के हाँ sir, ये तो बड़ी पते की बात बोली है आपने, कि ये दो lines parallel हो जानी चाहिए थी, ये 3 by 2 कर लो, और ये 3 कर लो, ठीक है, अब एक simple सा question मेरा सुनिये और बताईए, ये दो जो lines थी, ये जो दो linear equations थी, आप मुझे बता सकते हैं, क्या ये दोनो linear equation का कोई, फाइनाइट सोल्यूशन एक्सिस्ट कर सकता है, मतलब x और y की किसी फाइनाइट वैल्यू के लिए क्या ये दोनों लाइन कभी इंटरसेट कर रही हैं, जड़ा सोच समझ के बताना सके लोग, स्लोप मैं लिख देता हूँ, दोनों का minus 2, minus 2 है, बोलो, बोलो कि नहीं सर, कोई इन दोनों system of linear equation का कोई solution exist नहीं कर रहा है, जब भी हम बोलते कोई solution exist नहीं कर रहा है, obviously उसमें हमेशा finite solution की बात होती है, बोलिए, तो क्या इन दोनों lines का कोई भी solution exist कर रहा है, कोई solution exist नहीं कर रहा है, भाई अगर ये इस पे overlap हो रहा होता, तो infinite solution, अ अब नहीं ब्रेकअप वाली नहीं अब यह सिचुएशन आती है शादी के चार पांच साल बाद किसी-किसी में थोड़ा जल्दी आ जाती है डिपेंडिंग अपने कि कैसा जोड़ा बना हुआ है वहीं हस्बेंड वहीं वाइफ वापस से आता हुआ फिस से बोलता है एक ग्लास पानी दे दो और उधर से आवाज आती है तुम खुद क्यों नहीं ले लेते हो तो यह सिचुएशन आ जाती है जब दो लाइन के बीच में कोई सॉल्यूशन एक्सिस्ट नहीं करता है ठीक है समझ गए मेरी बात को तो समराइज करें तो उधर से आवाज आती है कि तुम खुद क्यों नहीं लेते हो सके तो मुझे भी दे दो और मेरे लिए भी चाय बना दो और हाँ नाश्ती में भी कुछ देख लेना तो भाई साहब समय की बात है ठीक है वक्त की बा जिंदा रहना दो दोनों को ठीक है दो लोग साथ में प्यार ना करते हुए भी रह सकते हैं ओके कुछ लोग पूछने से अभी तक आप कौन से स्टेज पर पहुंचो मैं अभी इसी पर हूं ठीक है कि मेरी वाइफ लेक्शन देख रही होगी तो अगर इस बात है मुझे आपके सामने बोलना पड़ेगा कि मैं इसी वाले पर हूं एंड्रेट परसेंट फ्रेक्वेंसी मेस्ट ओके चलो तो ओके, चलो, तो मैं आपको बताता हूँ करना क्या है, आप सुनिये मेरी बात को, फिर मैं आपसे सवाल पूछूंगा, ओके, तो आप उस question का answer मुझे बताईगा, सपोस अगर हमारे पास दो lines हैं, और हम उनको solve कर रहे हैं, शायद इस lecture से पहले अगर मैं आपसे पूछता, तो ऐसा हो सकता है कि उस line का जो solution है वो infinite possible solution है मतलब दोनों lines आपस में overlap कर जाएं ऐसा भी हो सकता है कि वो दोनों lines सिर्फ एक single point में intersect करें यानि कि वहाँ पर एक unique solution की ही possibility create होगे और कभी कबार ऐसा भी हो सकता है कि वो दोनों lines आपस में parallel हो जाएं दोनों का slope same हो जाएं तो उन cases म System of equations, दो equation है न, तो उनको system बोल दिया, system of equations, system of equations को जो आप solve करते हैं, तो या तो उसका solution exist करेगा, या तो नहीं करेगा, और जब exist करेगा, तो हो सकता है कि unique exist करे, हो सकता है infinite exist करे, तो क्या ये flow chart automatically आपके दिवाओं में बन रहा है, system of equations, एक से ज़ादा equations है, system of equations, उसका solution exist करे� वो सकता है infinite solutions कर जाएं वो depend करेगा कि भाई वो एक जगह पर intersect कर रहे हैं या आपस में एक दूसरे के ऊपर overlap हो गए ह ठीक है, तो ज़राएं एक बार ये flow chart देखना, क्या मैंने यहाँ पर same चीज बताने की कोशिश किया आप लोगों, देखो, if n equations is being solved, है न, अगर हम लोग n equations को आपस में solve कर रहे हैं, तो क्या होगा, unique solution exist कर सकता है, infinite number of solutions exist कर सकते हैं, no finite solution exist कर सकते हैं, कर सकते हैं जब भी solutions exist करते हैं, तो बोल देते हैं कि जो system of equations है, वो consistent है, ठीक है, ये सारे नाम धीरे दिर हमको याद हो जाएंगे, आज की class में याद करने के जरूरत नहीं है, सुनलो भूल जाना, कोई दिक्कत वाली बात नहीं है, ठीक है, जब भी दो lines के solution exist करते हैं, तो वो हमेशा आ बाकि इसके बहुत सारे नाम होते हैं, आगे चलके वो नाम वगेरा आपको याद दिलाओंगा, ठीक है, बट मोटा हमारे दिवांग में होना चाहिए, कि भाई system of equation solve करने पे solution आ भी सकता है, नहीं भी आ सकता है, और अगर आया solution तो finite भी हो सकता है, infinite भी हो सकता है, ठीक ठीक है, तो जादा ध्यान समझने पे रखो, running notes लेते रो, मैंने आपको समझाया था, class के साथ running notes एक लेते रहे, ये proper, अच्छी तरीके से, मेरी writing में लिखा हुआ, आपको notes मिल जाएगा, tension मत लो, ठीक, perfect, चलिए, अब देखिए linear equation के definition हमको clear है, कोई दिक्कत वाली बात देखे, A1X plus B1Y plus C1Z equal to D1, D1 के बगल में W की पावर में 0 भी लिख सकता था, तो एक linear equation ये, दूसरी ये, तीसरी ये, अगर मैं आप से पूछूं कि आप ये तीन linear equations को solve करिए, अब यहां से थोड़ा सा focus बढ़ाना मैं क्या बोलने की कोशिश कर रहा हूँ, थोड़ा सा focus ब� इन तीन equations को अगर मैं solve करता हूँ, तो ऐसा हो सकता है कि इसका solution exist करे और ना exist करे. अगर इसका solution exist करता है, तो दो possibility हो सकती है, कि infinite solution exist करे और एक unique solution exist करे. Unique solution exist करने का मतलब, x की, y की, z की एक single value होगी, जो इन तीनो equations में डालने पे LHS equal to RHS करवा देगी.
Unique solution बोलने का मतलब यह है, कि x, y और z की एक ऐसे single value होगी, जो इन तीनो equations में रखने पे, LHS और RHS को बराबर सिद्ध करेगी, यानि कि line wise अगर हम imagine करने की कोशिश करें, तो शायद तीनो जो lines होंगी, वो एक single common point पे आके intersect कर रही होंगे, absolutely, तो line wise भी हमको दिमाग में visualize हो रहा है, ये line, तीनो same ही line को represent कर रही हो, यानि कि जब हम इसको plot करने की कोशिश करें, तो तीनों आपस में overlapped होंगी, और अगर तीनों आपस में overlapped होंगी, तो भाई साब उस case में x, y, z की हर एक possible value जो होगी, वो इसका solution बन जाएगी, तो उस case में मैं ऐसा बोल सकता था, कि ये जो system of equations हैं, इनके infinite solutions exist करेंगे, आप सोच रहे हों खाली बैठे बैठे, कि भाई system of equations के कितने तरीके के solution possible हो सकते हैं, ऐसा भी हो सकता भाई साहब कि ये line, ये line तीनो parallel हो जाएं, और अगर तीनो by the way lines parallel हो गए प्लॉटिंग करने के बाद, तो उस case में तो एक भी solution exist नहीं करेगा, है न, यानि कि system of linear equations के हमेशा तीन possibilities create होते हैं, जब भी आप उसका solution निकालने की कोशिश करोगे, या तो solution unique और हर तरीके से ये साबित करने की कुछ इश्चि, इसका क्या solution आ सकता है, जैसे ही मैंने number of variables बढ़ाए, x, y के साथ एक z डाल दिया, तो यहाँ पर एक तो plot करने से पहले भी आपका जी घबर आ रहा है, डर लग रहा है कि यार इसकी plotting कैसे करेंगे, मैं कहता हूँ चलो, variable बढ़ने से thought process तो same है, कि तीनी type के solution आएंगे, but plot करके solve करना, at the same time, suppose अगर हम variable elimination से भी solve करते हैं, दोनों ही चीज़ें difficult हैं, उतनी आसान नहीं है, difficult हैं दोनों चीज़ें, उतनी simple नहीं है, डान है यह बात है ना सोचो जरा इस जल्दी सोचते हो इसको टाइम क्विकली सभी लोग बहुत ही लॉजिकल चीज में आपको बता रहा हूं बहुत ही लॉजिकल सी चीज में बता रहा हूं यानी कि अगर हम लोग सब्सक्राइब यहां पर रहें भी तो मेरी ख्याल से ऐसा कुछ होना चाहिए अगर हम सॉल्यूशन के चर्चा करें तो कि इसकी चर्चा करें भाई साब सॉल्यूशन के तो अगर आप सॉल्यूशन के चर्चा करें तो मैं बना देता हूँ flow chart, ठीक है, अब मैं लिख रहा हूँ, तो जाहिर से बात आपको भी लिखना चाहिए, solution exist करेगा, solution does not exist, दो ही चीज़े हो सकती है, ठीक है, अब exist की possibility को graphically मैं show करने की कोशिश करता हूँ, तीन lines हैं, तो तीनों को अलग-अलग color से show करने की कोशिश मैं आ कि यह तीन लाइन ठीक है अब इन लाइन को थोड़ा ऐसे दिखा तो थोड़ा समय ऊपर शुट करके बना दूंगा एक्शुल में वह ओवरलाप ही रहेगा ताकि आपको दिख जाए ठीक है तो थोड़ा समय इसको पर शुट किया समझाने के लिए आपको यह लो यह ओवरलाप ही यहां पर मैं लिख देता हूं ओवरलाप कि कलर चेंज कर लेते हैं यह लोग अब यहां से एक मैजिक क्रिएट होगा और वह मैजिक आपके दिवांग में हमेशा के लिए रह जाएगा पर इक्ट तो बताना सॉल्यूशन वाले में क्या होगा आप बोलोगे सर इधर यूनिक सॉल्यूशन इधर तो सर यूनिक सॉल्यूशन आ जाएगा एंड इधर के केस में सर इन फाइनेट सॉल्यूशन आ समझे मेरी बात को, यानि कि जब भी हम तीन lines को solve करेंगे न, तो ये वो possible answers है जो हमें मिल सकते थे, unique solution, तीनों ने एक single point पे intersect किया, तीनों आपस में overlap हो, infinite solution, तीनों parallel हो गया है, तो इस case में एक भी solution exist नहीं करेगा, बोल ये, है न, क्या ये बात सभी को अच्छी तरीके से clear है आगे बताओंगा consistent and inconsistent क्यों बोलते हैं, सब कुछ बताओंगा, अभी तो एक basic सा discussion कर रहे हैं, पहली class है, थोड़ा सा समझ लेते हैं, चीजों को सुन लेते हैं, मैंने बोला ना याद मत करो, कुछ भूल जाओ, सब कोई दिक्कत नहीं, सब मैं याद करवा दूँगा, ठीक है तीसरी equation ठीक है, तो जब लोगों को धिरे समझ में आने लगा, कि यार जैसे ऐसे number of variables बढ़ते जा रहे हैं, हमारे लिए lines को solve करना, उनके solutions को calculate करना, at that same time उनके solutions के nature को बताना, है न, थोड़ा मुश्किल होता जा रहा है, तो लोगों ने क्या किया, लोगों यह A1, B1, C1 को मैंने row में लिख दिया, A2, B2, C2 को भी मैं row में लिख देता हूँ, A2, B2, C2 को, A3, B3, C3 को भी मैं row में लिख देता हूँ, और यहाँ पर एक column में मैं डाल देता हूँ, variables को, x, y, z को, और बराबर कर देता हूँ इसको equal to, एक और column, D1, D2, D3, देखिए, अ of linear equation है तो क्या ये भी तो एक system of linear equation है, क्या ये भी तो एक system of linear equation है, बोलिए हाँ या नहीं, कैसे बता चला, देखो इतना थोड़ा बहुत idea तो सबको होगा, matrix multiplication का, तरह देखे, यहाँ पर आप इस row को इससे multiply करिए, और इसके बराबर कर दीजे, a1x, b1y, c1z, बराबर d1, Similarly, आप क्या करिए, इस वाली row को इस वाले column से multiply कर दीजे, A2x प्लस B2y प्लस C2z बराबर D2, Similarly, आप क्या करिए, इस वाली row को इस वाले column से multiply कर दीजे, A3x, B3y, C3z बराबर D3, क्या हम सभी लोग इस common conclusion पे खड़े हुए हैं, कि ये जो system of linear equation थी, this is as good as जो यहाँ पर लिख वहां से सारी की सारी जो systematicness है वो generate होगी ठीक है येस एबसुलूटली इसमें तो कोई डाउट ही नहीं है अब जड़ा मेरी बात को समझने की कोशिश करिए कि अगर हम सिस्टम आफ लीनेरिक वेश्चन को यहां पर लिख देते हैं तो लोगों ने क्या किया जो साइंटिस्ट लोग थे ये मेरा काम नहीं है लोगों ने रिस कर सकते हैं कि यह जो सिस्टम ऑफ लीनियर एक्वेशन से इसका सॉल्यूशन एक्जिस्ट करेगा कि नहीं करेगा और करेगा तो यह सॉल्व मत करो छोड़ो उठाओ मैट्रिक्स में डालो और एक रैंक नाम की कोई चीज होती है वह लेंग ने इसके आप तैयारी इनफाइनेट होगा या एक्सिस्टी नहीं करेगा जरा सोच कर देखो एक बार जिसने बनाया होगा तो उसको यार बिक सेल्यूट होना ही चाहिए उस रिलेट कर दिया कितना आसान कर दिया उसने कुछ मत करो मैं एक तरीका बता रहा हूं उसको करने कि हम actual में क्या करना चाहते हैं, हम actual में system of linear equations को solve करना चाहते हैं, और अगर solve ना भी कर पाएं, at least उसके solution का nature बताना चाहते हैं, कि इसका unique solution exist करेगा, finite करेगा, infinite करेगा, या फिर solution exist नहीं करेगा, है ना, तो दो तरीके हमारे पास आज की date में हैं rank की calculation करने का, कि आप अपने system of linear equations को उठाके डालिये matrix में, matrix की rank निकालिये, वो rank आपको खुद बखुद सब निकाल के बता देगा, तो rank कैसे सीखोगे, rank सीखने के लिए भाई साब, आपको matrix की knowledge होनी चाहिए, matrix अगर आप सीख भी गए, तो matrix को कैसे अच्छे समझ पाओगे बताइए क्या यहां तक कुछ बात पड़े पड़ी आप लोगों को ठीक है तो अभी यह सब देखकर घबराना नहीं है रैंक यह वह ठीक है यह भी सीखेंगे यही तो पढ़ना है पूरे के पूरे चैप्टर में ठीक है तो पहली लाइन पढ़ो और अपनी सहमती जदाओ प अब तो तीनी variable की बात की है ना, सब्सक्राइब मैं 100 equation, 100 variable दे दो, तब क्या करोगे? हालत खराब हो जाएगी, 100 equation, 100 variable को manually solve करने में, बहुत मुश्किल है, मैं कह रहा हूँ, 4 equation, 4 variable ले लो, हालत खराब हो जाएगी हम लोगों की, तो बोल रहा है, as number of variables and number of equations increases, manual and graphical calculation becomes very difficult, I hope we all agree with this point, done है, perfect, ऐसे case में क्या किया जाता है, in such cases system of equations are mapped into matrix form, ठीक है, into matrix form, and rank is calculated to determine the nature of the solution, ठीक है, तो पूरा का पूरा chapter आपको अपनी आखों के सामने दिखना चाहिए, अच्छा सर, यह चीज, इसलिए हम लोग सीख रहे हैं, ना सबका purpose बहुत crystal clear हो गया हमें, done है, ठीक है, second वाले part से भ अग्री करते हैं इस बात से आई थिंग येस चलिए बहुत बढ़िया चलो तो आप यही देखो यह सारा का सारा फ्लोस ने लिख दिया जल्दी से एक लाइन इसको पढ़ लेता है फिर आते हैं अपनी कैलकुलेशन वगैरह पर देखो फिलोसफी डेवलप हो गई ना to study linear system of equations, linear algebra is used, बिल्कुल सही बात है, फिर बोल रहा है, to determine the nature of the solution of the linear system of equations, concept of rank is used, बिल्कुल सही बात है, फिर बोल रहा है, to understand the concept of rank, mapping of linear system of equations should be performed into a matrix, बिल्कुल सही बात है, फिर बोल रहा है, to study the matrix, basics of determinants should be understood, Clear? जल्दी से बोलो सभी लोग clear, दिलो दिमाग में, हर एक जगह पे ये point up clear होना चाहिए, ठीक है, आपको इस level पे clarity होनी चाहिए, कि आप किसी को जाके समझा सकते हो, उसको बता सकते हो, कि भाई हम कर क्यों रहे हैं, ठीक है, और सीखने का सबसे अच्छा तरीका होता है, कि किस matrices में कुछ ना कुछ इसके concept को कहीं ना कहीं भी apply करना पड़ेगा, ठीक है, चलिए, सबसे पहली चीज यह बुला जा रहा है, सबसे पहली चीज यह बुल रहा है, कि determinant जो होता है न, यह हमेशा square in nature होता है, इसका मतलब क्यों हो गया, square in nature, जरा ध्यान से मेरी बात को सुनने की कोई भी matrix जो define होती है, वो होती है अपने order के form में, suppose मैंने यहाँ पर एक matrix लिखी, और मैंने लिख दिया m cross n, है न, यह जो matrix में m होता है, यह हमेशा इसके में क्या represent करता है, यह हमेशा represent करता है number of rows कितने, ठीक है, और यह जो n होता है, यह हमेशा क्या represent करता है, किसमें number of columns कि RC से बहुत सारी चीज़ें आप लोग relate करके आद कर सकते हो, जैसे कि Royal Challenges, Bangalore, या जो भी आप लोग ठीक समझो, ठीक है, अभी बहुत सारे creative shortcuts comment section में आ जाएंगे, तो हमेशा जब भी किसी matrix का order define करते हो, m cross n, यानि कि rows cross columns के form में उनको define किया जाता है, example के तौर पे, अगर suppose, मैं आपके सामने एक matrix लिखता हूँ, ठीक है, 1, 2, 3, 2, 1, 0, और अगर मैं जानना चाहूँ, कि यार इस matrix का order कितना है, कोई मुझे बदा सकता है इसका order कितना है, तो इसका जो order है, वो कैसे define होगा, ज़रा देखें इसमें कितने number of rows आप लोगों को दिख रहे हैं, देखें, तो आप बोलोगे सर एक row ये दिख रही है, तो आप बोलोगे सर, यहाँ पर तो 3 columns दिख रहे हैं, यह पहला, यह दूसरा, यह तीसरा, तो इसका order generally क्या हो जाएगा, we can write it as 2 x 3, चलेगा?
बोलो, है न, तो किसी भी जो matrix को order होता है न, वो हमेशा r cross c के form में लिखा जाता है, चलिए एक matrix मैं आपको और देता हूँ, ज़राँ आप लोग एक बार quickly उसका भी order निकाल के बताईए, कि इसका order क्या होना चाहिए, 1, 2, 3, 1, 0, 1, ठीक है, इसका order एक बार सबी लो� ऐसे ही होता है, तो किसी matrix को define करने के लिए, हमेशा उसकी जो notations use किया जाते हैं, वो use किया जाते हैं, 3 cross, sorry, r cross c के form में, ठीक है, perfect, ठीक है, चलो, तो अब यहाँ पे क्या बुला जा रहा है, कि suppose, अगर हमारे पास कोई matrix defined है, m cross n type का, ठीक है, m cross n type का, suppose, अगर हमारे पास कोई तो ऐसे matrices को हमेशा क्या बोला जाता है rectangular matrix क्या बोलते हो इसको आप लोग rectangular matrix ठीक है और ऐसी matrices जहां पर ये m और n आपस में बराबर होते हैं number of rows number of columns आपस में बराबर होते हैं इनको बोला जाता है square matrix हमेशा इस बात का याद रखियेगा इस बात को ध्यान रखियेगा हमेशा कि जब भी आप determinant की बात करेंगे तो determinant is always calculated for square matrix, ठीक है, determinant is always calculated for square matrix, क्या ये बात आपको आज के बाद हमेशा याद रहेगी, बोलो, याद रखोगे इस बात को हमेशा, बिल्कुल, तो अगर number of rows and columns different है, rectangular matrix, same है, तो square matrix, और जब भी determinant के बात हो गई, वो specifically square matrices के लिए होती है, है न, यानि कि हमेशा number of rows, और number of columns fix होने चाहिए, बराबर होने चाहिए, ठीक है, ठीक है, यह simple से चीज़ है, I think याद है कि matrix में वापस एक बार इसको review करेंगे, ठीक है, तो देखे, determinant में जो पहला word लिखा गया है, every determinant has to be square in nature, अगर आप एक square matrix का determinant calculate कर रहे हो, तो जाहिर सी बात है, determinant का nature हमेशा square होना चाहिए, determinants में हमेशा number of rows और number of columns equal ही होने चाहिए, unequal नहीं हो सकते हो किसी भी कीमत पे, जैसे कि अगर मैं आप से पूछूं, कि यहाँ पर हमको एक matrix दे रखी है, ठीक है? देखिए, एक matrix दे रखी है, 2, 3, 1, ऐसा दिया हुआ है, ठीक है, और मैं आपसे बोलता हूँ कि यार, इस matrix का न, दरा determinant calculate करके बताओ, इसका determinant कैसा होगा, तो मैं symbol आपको बता रहो, determinant के लिए एक mod ऐसा symbol यूज़ कर लेतो, है न, इसके लिए देखो, यहाँ पे brackets लगे, य और यह उसके determinant का notation है, यहाँ पर A को mod A से replace कर लिया, और यहाँ पर भी आप देखें, हमने ऐसे लिख दे, अगर कोई order की बात करता है, तो हम बता सकते हैं, कि यार यह 2 x 2 का था, तो जाहिर सी बात है, यह भी 2 x 2 का हो जाएगा, अगर मैं आप लोगों से एक alternate question पूछूं, ठ जी रो वन माइनस ठीक है अगर मैं आपसे बोलूं कि यार इसके जरा डेटर्मिनेंट का नोटेशन लिखो फटाफट इसके डेटर्मिनेंट का नोटेशन लिखो जितने भी लोगों का हो जाएगा डन करना ठीक है बस नोटेशन वाइस जल्दी लिखकर बताइए एवरीवन इसको तो अपने लिख दे डेटर्मिनेंट का नोटेशन वाटेवर इस नोटेशन ठीक है तो मैं इसके डिटरमिनेट का नोटेशन लिख रहा हूँ आप मुझे बताना मैं सही कर रहा हूँ या गलत कर रहा हूँ इसमें करना ही क्या है देखो कोई दिक्कत वाली बात ही नहीं है यह जो ब्रैकेट था इसको मॉड से रिप्लेस कर लिया और इसको लिख दिया 2 यहाँ पर ऐसे लगाएंगे cross, यहाँ पर लिखेंगे blender, और उसके बाद हमेशा यह देखिए, कि इस matrix का जो order था, इसमें कितनी rows है, 1, 2, 3, कितने columns है, 1, 2, 3 cross 2 matrix, यहाँ पर number of rows और number of columns different थे, तो यहाँ पर आप बोलोगे, कि determinant is invalid, हमेशा याद रखे, determinant किसका calculate किया जाता है, तो determinant का concept fail हो जाता, determinant invalid होता, नहीं calculate कर सकते हो, आप simple सी वात हो, बोल रहा है कि भाई मैं तब ही calculate होंगा, जब आपके matrix square होगी, जबरदस्ती कैसे calculate कर लोगे यार, ठीक है, बहुत सा लोगों ने done लिख भी दिया, अगर matrix square नहीं है, तो determinant का concept invalid नहीं होगा, वहाँ पे by default सारी की सारी matrices square हैं, उनके ही determinants के हम लोग चर्चा करने जा रहे हैं, चलेगा? बोलिए एब्रीवन ठीक है ना मेरी ख्याल से तो ठीक है कोई प्रॉब्लम होनी नहीं चाहिए परफेक्ट चलो अब क्या करते हैं अब मैं आपको ना बहुत सारे मेथड से सिखाता हूं डिटरमेंट को कैलकुलेट करने के सिर्फ एक मेथड के बहुत सारे मेथड से लुट देखते हैं डिटरमेंट की कैलक भाई साब एक घंटा हो गया न, हर एक घंटे पे हमें क्या करनी है, दो चीज़े करनी है, तब से पहली चीज़ तो, डीब रीथ, ठीक है, और अगर डेली एंसी आर में हो गये तो मत करना, निपड जाओगे, मैं निपड चुका हूँ एक बार, और पानी पी लेना, ठीक है, चले?
ओके, ओके भाई साथ, चलो, ठीक है, अब मैं क्या करता हूँ न, आपको Determinate Calculate करना सिखाता हूँ, अब ज़रा ध्यान से देखेगा मेरी बात को, बहुत सारी चीज़ें यहाँ पे हम लोग सिखेंगे, जो अक्शुल में Questions में Convert ह हेडिंग में क्या बोल रहा है कि हम सिखाना चाहते हैं calculation of determinant, determinant को कैसे calculate किया जाता है उसमें सबसे पहला 2 x 2 के determinant को कैसे solve करते हैं determinant को कभी कबार delta से भी denote किया जाता है समझे डेटरनमेंट को कभी कबार किस से डेनोट किया जाता है, डेल्टा से डेनोट किया जाता है, अब सपोस अगर मान लो कोई मुझसे पूछता है इसका डेटरनमेंट कैलक्टरेट करना है, तो देखो क्या करना होता है, इसमें सबसे पहले आप देखे, सबसे पहला एलिमेंट इन दोनों का आपस में गुड़ा कर लो, आपस में multiplication कर लो, तो 4 into 1 बताओ कितना हो जाएगा, 4 into 1, ठीक है, फिर क्या करना है, बीच में minus का sign लगाना है, दूसरे जो elements बचे हो, न, पहला element पकड़के, principal diagonal पे गए, उसके बाद जो elements बचे हो, उनको आपस में multiply कर लो, तो हमने 3 तो इस तरीके से आपको यह multiplication execute करना है यहाँ से अगर आप देखें तो answer आपको मिल रहा होगा 4-6-2 साथ के साथ एक चीज़ मैं और जानना चाहूँगा कि जब हमने 2 x 2 के determinant का expansion किया इसको बोलता है expansion of the determinant तो यहाँ पे number of terms आपको कितने दिख रहे हैं तो आप बोलोगे सर यहाँ पर number of terms एक term यह दिख रहा है और एक term यह दिख रहा है इस टर्म एज वह और इस टर्म तो आप बोलो कि सब दो टर्म यहां पर मुझे दिख रहे हैं यह दो ही टर्म तो दिख रहे हैं यह एक टर्म जब भी आपको 3 x 3 का determinant calculate करना है, तो किसी row या किसी column के corresponding आपको expansion करना होता है, किसी row या किसी column के corresponding आपको expansion करना होता है, suppose मैं यहाँ पर row के corresponding expansion करना चाहता हूँ, यह देखिए, मैंने first वाली row को choose किया, first वाली row को मैंने choose किया, इसको खत्म हो जाने तो, मैंने सोचा कि मैं first वाली row के elements को लूँगा, फिर इस 1 को लूँगा, फिर इस 4 को लूँगा, इस तरीके से मैं लूँगा, तो मैं क्या करूँगा, कि जब मैंने इस 1 को लिया, तो इसके corresponding जो row है, और इसके corresponding जो column है, उसको मैं निप्ता दूँगा, इस 1 को लिया, इसके corresponding row, और इसके corresponding वाले column को मैंने हटा दिया, बाकी minus 2 into 1, minus 2 into, ठीक है, किसी को कोई problem तो नहीं इसमें, बताईए सबी लोग फटा फट, ठीक हो, ठीक है, देखो, तो इस 1 को लिया था, इसके corresponding rows और columns को मैंने हटा दिया यहां से, यह लीज़े, ठीक है, this into this, अब क्या करना है, on the second place, पहले इसको खतम हो रहे तो फिर बताता हू� और अब इस वाले वन को चूज करिए जो आपने इस वन को चूज किया तो इसके करेस्पॉंडिंग रोज एंड कॉलम्स को आप अटा दीजिए इसके करेस्पॉंडिंग रोज एंड कॉलम्स को अगर आप अटा रहे हो तो देखो multiplication इस बार किसका होगा 2 into 3 minus 2 into minus 1 ठीक है तो म माइनस का बीच में साइन 1 into minus 1, ठीक है, मुझे यहाँ पे answer से मतलब नहीं है, मैं एक actual एक चीज आपको बताना चाहता हूँ, ठीक है न, यह बात सबको यहाँ तक समझ में आ गई, एक बार जल्दी से बता दो सबी लो, बहुत सर लोगों को आता भी होगा पहले से, जिनको आ अब यहाँ पर देखो बाहर 4 भी लिखना पड़ेगा, तो मैंने 4 यहाँ पर लिखा, अंदर आप सभी लोगों को दिख रहा होगा, 2 into 1 minus 1 into minus 1, ठीक है, चलो, यह पहले बता दो, फिर मैं एक चोटी सी चीज यहाँ पर बताना चाहता हूँ, जिसमें जल्द बाजी में हमसे ठीक है चलो अब देखो जल्दबाजी में इसमें क्या मिस्टेक होती है जरा ध्यान से सम� रो के करिस्पॉर्णिंग एक्सपांड करते हो या कॉलम के करिस्पॉर्णिंग एक्सपांड करते हो ना, तो एक क्या जल्दी बाजी में बहुत बार मिस्टेक होती है, वही मैं बताने के कुछिश कर रहा हूँ, देखें, आपने 1 इंटू, 1 इंटू 3, 2 इंटू 1 किया, फि इस 1 के corresponding जो आपने expand किया था, तो आपने यहाँ पे plus 1 लिया था, दूसरे वाले 1 के corresponding करोगे, minus 1 आजाएगा, 4 के corresponding करोगे, तो plus 4 आजाएगा, ठीक है, बाकी चीज़ें आपको आती हैं, सब कुछ पता रहता है, बस यह एक छोटी सी बात आप जल्दबाजी में गलत मत करिये ऐसा लिख देता हूँ, 3 minus 2, इसको मैं minus ही रहन देता हूँ, 6 plus 2 लिख देता हूँ इसको मैं, ठोड़ा सा मैंने इसको resolve कर दिया, 4 से multiply कर देता हूँ, 8 plus 4, एक बास जरा यहाँ पर number of terms आप count करके बताओगे, कितने number of terms आपको यहाँ पर दिख रहे हैं, count करके फटा बत 2, 3, 4, 5, 6, दिख रहे हैं आपको, expansion करने के बाद, ऐसे देखो न, एक term यहाँ पर present था, एक term आपका यहाँ पर present था, एक term यहाँ पर present है, एक term आपका यहाँ पर present है, और एक term यहाँ पर present है, तो total number of terms कितने present है आपके, 6 total number of terms आपको यहाँ पर दिखने तो हमने अभी तक क्या सीखा हमने सीखा कि एक 2 x 2 के determinant का solution कैसे calculate किया जाता है वो हमें समझ में आ गया है 3 x 3 का भी expansion model हम लोगों ने सीख लिया हमने पाया जो हम 2 x 2 को expand कर रहे थे तो जो उसमें number of terms आ रहे थे वो 2 आ रहे थे पर जो हमने 3 x 3 को expand किया तो उसमें number of terms आपको 6 देखने को मिले कि क्या इस 6 को मैं 3 factorial बोलो फटाफट सभी लोग क्या 6 को 3 factorial लिखा जा सकता है या नहीं लिखा जा सकता है, तो आप बोलो के सर बिल्कुल लिख सकते हैं, similarly, अगर मैं आप से पूछूं, कि हमारे पास एक n cross n का matrix है, और अगर मैं उसका determinant calculate करना चाहता हूँ, तो determinant क्या आएगा, वो तो नहीं पता, बट उसमें कितने number of terms आ सकते हैं, तो यह हमारे आज की class का पहला question है, जो exam में पूछा गया है, एक n cross n की matrix है, जिसका हम determinant निकालना चाहते हैं, तो उस determinant को solve करने के दौरान, expand करने के दौरान, उसमें कितने number of terms आप expect कर सकते हो, factorial n, अब एक छोटी सी चीज आपसे पूछो, पूछोंगा ध्यान से बताना, ठीक है, ध्यान से सोच समझ के ब तो यहाँ पर इसको तो हम count करते हैं, 0 को थोड़ी ना count करेंगे, 0 कोई term थोड़ी है, 4 में से 0 घटाओ नहीं घटाओ, same आएगा, तो मुझे यहाँ पर number of terms बोलना चाहिए, या maximum number of terms बोलना चाहिए, बताओ, मुझे इसको number of terms बोलना चाहिए, या maximum number of terms बोलना चाहिए, maximum number of terms अपने question को मैं वापस से reframe करता हूँ, मैं ऐसा बोल रहा हूँ कि suppose अगर हमारे पास n cross n का एक square matrix है, तो उसको expand करने के बाद maximum number of terms कितने हम expect कर सकते हैं, देखो क्या यही लिखा हुआ है यहाँ पर, check करो, check करो फटा फट, बताओ और उसके बाद एक question का answer दो पहला question आप से पूछ रहा हूँ, गलत मत करना, बहुनी, अच्छी होनी चाहिए, तभी शाम तक अच्छा काता profit होगा, done है, agreed everyone, for and cross and determinant, the maximum number of terms after expansion is n factorial, maximum पे थोड़ा focus करना, मान लो exam में कोई question आता है, वो maximum word नहीं भी use करता है, तो भी हम n factorial बताएं� और वो maximum word use नहीं करता तो भी n factorial बता देना है, समझ गए, कभी-कभी इतनी clarity नहीं होती, चलो equation करो, इसका answer निकाल के बताओ, एक अपने पास matrix है, 5 cross 5 का, ठीक है, बोल रहा है कि हमने इसका determinant calculate किया और determinant का नाम लग दिया delta question में आपसे पूछ रहा है maximum number of terms in delta maximum number of terms in delta अरे बोलो यार अब ऐसा question एक number में आ गया बताओ क्या होगा इसका answer perfect, कितने number of terms इसमें आ जाएंगे, तो आप बोलोगे सर, यहाँ पर आ जाएंगे, 5 factorial, मतलब की 120, clear, चला लोगे काम इतने से, चल जाएगा, चलिए, अब हम लोगों ने क्या सीख लिया, अगर आप notice कर रहो, तो हम लोगों ने 2 cross 2 का determinant calculate करना सीख लिया, 3 cross 3 का determinant calculate करना सीख समझ में आ गया, चलो, अब अगला यह बोल रहा है, कि suppose आपको बहुत बार ऐसी matrices दिखेंगे न, जो diagonal matrices होंगी, बहुत बार ऐसी matrices दिखेंगी, जो diagonal matrices होंगी, उनका जो आप determinant calculate करोगे, तो आप कैसे calculate करोगे, वो मैं आपको समझाने के गोशिश करता हूँ, तो देखो मैंने diagonal matrix का determinant समझ गया न diagonal determinant का मतलब है diagonal matrix का determinant I hope this is making sense for everyone ठीक है बोलो ठीक है चलो तो देखो जरा यहाँ पे जरा यहाँ पे एक बार समझने की कोशिश करो बोल रहा है diagonal determinant तो diagonal determinant में suppose हम एक matrix लेके चल रहे हैं इस matrix में सिर्फ diagonal elements आपको देखेंगे ये अब इसके definition मैं बताता हूँ, आपको वो हमेशा definition आज के बाद याद रहेगी, ठीक है न, तो वो definition हमेशा आपको याद रहेगी, बट पहले मेरी बात सुन लो, मैं क्या बताने की कुशिश कर रहा हूँ यहाँ पर, ठीक है, उसके बाद यह definition हमेशा याद रखना, यह हो गया principal diagonal elements should not be all zero क्या बुला मैंने यह बूल रहा है principal diagonal elements should not be all zero यह सारे इकट्ठा zero नहीं होने चाहिए इसके अलाबा all the other elements should be zero देखो यही चीज़ ने लिखी हुआ यहाँ पे जल्दी से इस चीज़ को verify करिए आप सभी लोग principal diagonal should not be all zero वर्ड पे थोड़ा focus करिए it should not be all zero and अधर एलिमेंट्स शुड बी ऑल इसके अलावा जितने बच्चे वह सारे जीरो हो जाए तो यह सब लाइन से सब स्टेटमेंट को थोड़ा सा आपको दिवाग में बिठाना पड़ेगा धीरे-धीरे करके यह बात हमारे दिवाग में बैठ जाएगी ठीक है क्योंकि पर दिखता है और हमसे पूछा था इसकी वैल्यू बताइए तो इसकी वैल्यू होती है मल्टीप्लीकेशन ऑफ प्रिंसिपल उनको आप अपस में multiply कर दीचे, ABC को multiply कर दो, यह मिल जाएगा आप लोगों को delta या फिर इसका deter minute, चलेगा, हाँ एक element 0 भी हो सकता है, जैसे A भी 0 हो सकता है, B भी 0 हो सकता है, इसको non-zero रखो, समझे, या फिर A को 0 कर दो, इन दोनों को non-zero रखो, तो principal diagonal बुल रहा है, सारे कठ बोलो भाई, जल्दी बोलो यार, इसको तो कोई बड़ी बात ही नहीं, ये तो बहुत असान है, परफेक्ट, ठीक है, तो आपके दिवाँ में चल रहा है न, आप क्या सीख रहो, आप different models के determinants calculate करना सीख रहो, सबसे पहला 2 cross 2 का एक model आपने सीख लिया, 3 cross 3 का एक model स ऐसा कोई ना, ऐसा कोई word नहीं होता है, ठीक है, चलो बताओ तब तक, ये क्या लिखा हुआ, इसका क्या मतलब है, इसका मत अगर suppose मैं लिखता हूँ upper triangular determinant तो ऐसा कोई word exist नहीं करता है upper triangular determinant ठीक है? बहुत ही शानदार चलिए, तो upper triangular determinant असल में क्या होता है? कि कोई upper triangular matrix होगी उसका कोई determinant हम लोग calculate कर रहे होंगे upper triangular matrix होगी उसका determinant हम निकालना चाहते हैं अब देखो इसमें क्या होता है, धियान से सुनिये, मैं आपको यहीं पर समझा देता हूँ, देखो, सबसे पहले तो principal diagonal element fix कर लो, ठीक है, principal diagonal elements हमने पकड़ लिया, ABC, अब यह बोल रहा है, कि जो भी principal diagonal elements है, उसके उपर वाले सारे zero होने चाहिए, पक्की बात, sorry, upper triangular के आप बा बाकि जितने भी elements है they should not be all zero इस statement को I think अब इस वाले case में आप अच्छे से relate कर पा रहे होगे अब आपको should not be all zero का मतलब अच्छे से समझ में आ रहा होगा तो ये बोल रहा है upper triangular matrix का मतलब क्या हो गया तो diagonal वाले को पकड़ के रखो नीचे वाला आपका strictly zero होना चाहिए उसके बाद जितने भी बचे including principal diagonal also they should not be all zero यानि principal diagonal ABC, GEF, ये जितने भी दिखना है, सारे कठे zero नहीं होने चाहिए, बस, इतनी सी requirement है, बताओ, कितने लोगों को ये definition साँज में आगे, एक बार अपने दिमाग में खुद से बोलने की कोशिश करो, अगर, suppose, कोई आप से पूछता है कि upper triangular determinant है क्या, तो अपने दिमाग में इसक should be 0, उसके बाद बोल रहा है, elements, यहाँ से देखो क्या बोल रहा है, elements above principal diagonal including diagonal, should not be all 0, ठीक है, तो should not be all 0 से, मुझे लगता है अब तक आपकी दोस्ती हो जानी चाहिए, yes, no, done, ठीक है, तो similar way में बताईए, अगर कभी भी आपको upper triangular, दिखता है ना determinant या कुछ भी ऐसा और इसका कोई determinant पूछता है तो इसका determinant भी हमेशा क्या होता है principal diagonal elements के product के बराबर ABC को multiply कर दो यही इसका determinant हो जाएगा अब अगर यहां तक आप समझ गयो तो lower triangular में मुझे नहीं लगता आपको कोई दिक्कत आने वाली है फिर से भी simple से philosophy रखते हैं lower triangular determinant यानि कि lower triangular matrix का determinant हम निकालना चाहते हैं principal diagonal के elements को देखो हमने पकड़ लिया लोवर की बात कर रहा है तो उपर वालों को जीरो करना ही पड़ेगा और नीचे वालों की मैं बात कर लेता हूँ, ये लीजिये, इसको मैंने लिख दिया G, E, F, ये मारो गया principal diagonal, ये बोल रहा है कि principal diagonal के उपर के सारे elements, 100% 0 होने चाहिए, बाकी जित्ते elements बचे, they should not be all 0, तो इस बात को अपने दिमाग में एक बार quickly revolve करो, दिमाग में एक बार इ principal diagonal elements के product के बराबर आएगा, यानि कि अगर आपके पास कोई diagonal determinant है, कोई upper triangular determinant है, या कोई lower triangular determinant है, इन सारे ही cases में, आप सभी लोगों को जो determinant मिलेगा, it should be equal to ABC, ठीक है, हाँ ABC भी zero हो सकता है, ठीक है, बस यह है कि इसके उपर वाले सारे इकटे zero नहीं होने चाहिए, that's it, sorry, इसके नीचे वाले सारे इकटे zero नहीं होने चाहिए, that's it, ABC भी 0 हो सकता, कोई problem नहीं है, हाँ, अगर principal diagonal element का एक element 0 हुआ, तो answer determinant का 0 हो जाएगा, ठीक है, आगे चलके, eigen values वगरा में भी ये सारी चीज़ें आप लोग relate करोगे, clear है, okay, everyone, diagonal में, मैंने बोला था, should not be all 0 है न, diagonal determinant के case में तीरों एकट्ठे 0 नहीं होना चाहिए, बस ही है, तो एक बार मैं फिर से definition आपको बताया जाता हूँ, diagonal determinant में diagonal को पकड़ लो, वो सारे इकट्ठे 0 नहीं होने चाहिए, upper triangular के case में diagonal को पकड़ लो, नीचे वाले सारे 0 कर दो, बाकी जित्ते बच्चे वो इकट्ठे 0 नहीं होने चाहिए, lower triangular के case में principal diagonal को आप पकड़ लो, principal diagonal के उ कि अगर हमें कभी किसी 3 x 3 matrix को calculate करने का कोई shortcut है, तो क्या वो shortcut हमें सीखना चाहिए?
मैं बोलूंगा बिल्कुल सीखना चाहिए, क्योंकि आगे चलके बहुत सारे ऐसे questions दिखेंगे, जहाँ पे rank की calculation के दोरान, system of linear equations को solve करने के दोरान, eigen values की calculation के दोरान, आपको 3 x 3 matrices के determinant के ज़रूरत पड़ेगी, तो हम देखो systematically सीखते गए, 2 x 2 सीखा, तो उसका जो कंवेशनल मेथड है तीरी क्रॉस थी सीखा जो कंवेशनल मेथड है वहां से शॉर्टकट हमारे पास आ गया था एंड वहां से एक फिलोसपी आ गई थी एन फैक्टोरियल वाली मैक्सम रॉड टर्म्स वाली तीसरा ने सीखा डाइग्रियल आइए इसका शॉर्टकट आइए हम लोग डिस्कस करना शुरू करते हैं ध्यान से देखिएगा एक क्वेश्चन में बस आप इसको देखिए अगली क्वेश्चन में आप खुद बखुद इसको सॉल कर सकते हैं इसमें कुछ भी नहीं है मतलब बहुत सिंपल सी चीज है ठीक है तो सबसे पहले मैं यह वाली मैट्रिक्स यहां पर उठाता हूं जो अपनी फर्स्ट वाली मैट्रिक्स है ठीक है इसके एलिमेंट्स को मैं उसके लावा 1, 2, 3 and यह दिख रहा हूँ आपको 3, 1, ठीक है, यह 3 x 3 का एक matrix है, बोल रहा है, इसका determinant calculate करके बताईए, इसका determinant कितना आ जाएगा, ठीक है, यह हमसे पूछने की कोशिश कर रहा है, determinant इसका कितना आएगा, तो देखिए, जब भी आप 3 x 3 matrix का, 3 x 3 matrix का determinant निकाल इस row के along इसको expand कर लें, जो अभी हमने पहले देखा था, दूसरा एक तरीका मैं आपको बताने जा रहा हूँ, जो सिर्फ 3 x 3 matrices के लिए लगता है, ये method कभी भी आप 4 x 4 के लिए मत लगाना, 5 x 5 के लिए मत लगाना है, specifically ये जो shortcut valid है, ये सिर्फ 3 x 3 matrices के लिए ही लगता है, तो और जो दूसरा column है उसको उठा के copy paste कर दो तो देखो first column आपको यहाँ पर क्या दिख रहा है 0, 1, 3 second column आपको क्या दिख रहा है 1, 2, 1 चलेगा बोलो बोलो हाँ या ना फटा फट बोलते जो correct तो मैंने क्या किया इसके element को as it is चापा यहाँ पर पहला जो column था उसको यहाँ चिपका दिया अब आप मुझे बताओ कि calculate आप क्या करना चाहते हो, determinant है न, determinant का जो सबसे पहला word होता है, पहला letter होता है, वो क्या होता है, d, d for, मैं आप लोगों को बोलूंगा, याद रखो, down, ठीक है, यानि इस पूरे के पूरे, जो यहाँ पर एक elements का combination लिखा हुआ है, इसमें सबसे पह multiplied by 2, multiplied by 1, तो आप बुलोगे सर, ये तो 0 आ गया, चलेगा, आ गया 0, absolutely, चलो, अब इसके आगे बढ़ो, इस वाले पे, D4, down, ये देखो, नीचे की तरफ आप गया, ठीक, पहला element पकड़ना है, नीचे की तरफ जाना है, product बताईए कितना हो जाएगा, 3 x 3, कितना मिला यहाँ से आपको, 9, वन x 3 x 3, चलो, अगला element पकड़ो, प्रोडक्ट बताओ क्या मिला, 2 x 1 x 1, प्लस 2, ठीक है, तो सबसे पहला एलिमेंट पकड़के, आप नीचे की तरफ 3 बार चले गए, इन तीनों को आपने आपस में समखर दिये, पहले यहां तक बताएंगे, कि सर, यह बात बिल्कुल क्लियर है, इसमें कोई डाउट ही नहीं चलो कोई problem वाली बात नहीं, अब क्या करते हैं, अब इसी के जो सबसे नीचे element यहाँ पे 3 दिख रहा है, इसी 3 के साथ यह सारा का सारा काम, mirror image में करना start कर देते हैं, बिलकुल उल्टी तरीके से काम करते हैं, यह देखो, हमने 3 को pick कर लिया, ठीक है, यह देखें, बिलकुल और यहाँ पर मैंने लिख दिया 12, correct, चलो अब अगला 1 पकड़ो, multiply करो, बताओ यहाँ पर आपको क्या दिखेगा, 1 into 3 into 0, आप बुलोगे सर, 0, perfect, अब बताओ, last वाले में, यह आपको क्या दिखेगा, 1 into 1, plus, बताओ, इसमें किसी को कोई दिक्कत, जो काम आपने उपर में सबसे पहला element पकड़ के किया, वही काम आपको सबसे नीचे वाले element को पकड़ के करना है, तमच गए, इसको पकड़ के नीचे चले गया, down, यही काम mirror image में कर दो, 3 के साथ, 3 into 2 into 2, 1 into 3 into 0, 1 into 1 into, clear, जरा बताओ, क्या आया answer, 11 minus 13, answer minus 2, सर क्या determinant की value negative हो सकती है, determinant तो ऐसा कुछ होता है दिखने में, ऐसा type का, तो क्या इसके लिए नेगेटिव हो सकती क्या बिल्कुल हो सकती है डिटरमेंट के वैल्यू नेगेटिव पॉजिटिव कुछ भी हो सकती है तो यह मॉड लिखा हुआ वह सबसे पूछते सर यह तो मॉड लगा हुआ तो यह मॉड लगा हुआ है तो इसकी वैल्यू पॉजिटिव आनी चाहिए नेगेटिव तीन दिनों तक मुझे नीद नहीं आई, मतलब बार आज भी जब उसके question को मैं सोचता हूँ, तो question मेरे दिवांग में न घूमने लगता है उसका question, यार ये क्या ही question उसने पूछा था, बहुत ही खतरना question, खेर, ये आपको समझ आया, अच्छी तरीके से, ठीक ह तो ये method आप कब लगाते हो? This shortcut is valid only shortcut is valid only for 3 x 3 और कहीं मत लगा देना भाई ठीक है? 3 x 3 जानना चाहते हो उसने क्या पूछा मुझसे उस बच्चे ने? क्वेश्चन उसका जानना चाहते हो, एक शर्ट पर बताओंगा, अगर आपने इसका आंसर सही से निकाल दिया तो, ठीक है, तो पहले मैं क्वेश्चन देता हूँ, टाइमर देता हूँ, अगर एक भी किसी ने इसका आंसर गलत दिया, तो भाई 212, 221, निकालो, गलत मत करना, गलत नहीं करेंगे, और सही से आंसे निकालेंगे, टाइमर भी चाहिए, चलो ये लो, 60 सेकंड्स का टाइमर आपके सामने ये रहा, 60 सेकंड्स का टाइमर है, पक्का 5, 60 सेकंड का टाइम है भाई, अभी भी अगर किसी को लग रहा है आंसर गलत है तो वो सुधार सकता है, ठीक है, किसी को अगर अभी भी लग रहा है कि सर एक मौका और दीजे, गलती से गलत आंसर बता दिया, तो भाई सुधार की गुणजाईश अभी है, आप सु बहुत ही बढ़िया, चार भी कुछ लोगों का आया, 5,555,55,000 किसी का आया, 0,0,0,0, course की fees बता दी किसी ने, चलो खैर, 60 seconds हो गए, अब मैं calculate करके, answer तो मुझे भी नहीं पता, मैं तो आप ही लोगों से पूछ रहा था, solve करो, 1, 2, 1, ठीक है? पहला, दूसरा कॉलम copy paste, 1, 2, योग्या 2, 1, 2, ठीक है, चलो, सबसे पहला element हमने पकड़ा, और कहाँ जाना है, नीचे, नीचे की तरफ गए, multiplication बताईए, 1, into 1, delta यहाँ से हमको मिला सबसे पहला वाला, ठीक है, फिर अगले element से नीचे की तरफ हम लोग गए, 2, दुनी, यहां पर भी दो दूनी चार दूनी आठ यहां पर भी हमने लिख दिया आठ ठीक है पहले तो बताओ यह कैलकुलेशन कर लो इनसे नहीं हुआ था बाइट वे समझ हो पर एनी रीजन्स वह बताओ क्या यह कैलकुलेशन बिल्कुल ठीक है या जिन लोगों से हो भी तो भी लोग बताओ हां से यह कैलकुलेशन हम लोगों ने करके रखी अब देखो यहां पर अब आप क्या करोगे इसको पकड़ो नीचे वाले को ठीक है बिल्कुल वही काम मिरर इमेज में करना स्टार्ट कर दो कलर इसका चेंज कर लेते हैं देखो दो दुना चार दो दुनी चार इसका बताओ तो इन टू फॉर इसका बताओ तो कितनी बार फॉर आ गया यहां पर 444 ठीक है 17-12 अ डेल्टा यहां पर आ गया 5 ठीक है अब क्योंकि आप लोगों ने सही आंसर दिया तो आप लोगों को हक है जानने का कि उस बच्चे ने क्या पूछा था ठीक है आपको क्या लगता है कि पिछले 20-25 दिनों में मेरे पास सबसे ज़्यादा क्वेरी क्या आई होगी सबसे ज़् सबसे ज्यादा क्वेरी किसी किया होगी जाहिर सी बात है मैथ कप पढ़ा होगा ना जाहिर सी बात है क्वेश्चन यह आ रहा था कि सर मैथ कप पढ़ा होगे कहां पढ़ा होगे कैसे पढ़ा होगे ऑब्बेस्टली मैथ से रिलेटेड सबसे ज्यादा क्वेरी थी ठीक है तब तो बात की बात है कि रेसर तब तो वे तो सर ठीक है पहले यह बताओ मैथ कप पढ़ा पहले बताओ तो पढ़ाना क्या है उसके बाद, बाद की बात करेंगे, ठीक है, तो क्या हुआ, तो क्या हुआ कि Maths का, तो एक बच्चे का मेरे पास मैसेज आया, ठीक है, एक बच्चे का मेरे पास मैसेज आया, Telegram पे, Sir, मुझे Vishal Soni Sir से Maths पढ़ना है, और, नहीं, उसका य मैं पढ़ा दूंगा ठीक है मैं पढ़ा दूंगा टेंशन मत लो फिर क्या हुआ चार-पास दिन बाद फिर उसको होश आया होगा उस बच्चे को फिर एक विशाल सोनी सर मैच कब से पढ़ाएंगे इस बार इसकी संख्या बढ़कर चार हो चुकी थी ठीक है यह जो गुस्से वाले मूजी चार हो गए थे यह बिल्कुल खतरनाक और भी ज्यादा लाल ठीक है फिर मैंने मैसेज किया उसको कि बेटा मैं पढ़ा दूंगा थोड़ा सा मुझे टाइम दे तो जस्ट अलाउमी समटाइम अ ठीक है फिर उसको साथ आठ दिन बाद होश आया कि अच्छा कुछ चल रहा था मैच व्यक्ति रिलेट के देखा होगा उसने कुछ चल रहा है फिर उसने पूछा सर विशाल सोनी सर मैच का पढ़ाएंगे बाइनरी में चल रहा था ठीक है इसको उसने आट कर दिया तीन चेंचे और एक आट कर दिया फिर मैंने उसको मैसेज किया मैंने कहा बेटा थोड़ा सा मुझे टाइम दे दो और आप बार क्यों reply कर रहे हो कि मैं पढ़ा दूँगा तो मैं भी थोड़ा सा हैरान हुआ मैंने कहा ये क्या बोल रहा है तो मैंने से पूछा कि Who do you think am I?
तो उसने बोलता है कि सर आप तो नेगी सर हो न मैंने कहा कि have you seen my profile और विशाल सर उधर FM पढ़ा रहे हैं अन अकाडमी MEPIXI वाले चैनल पे मैंने कहा यार ये कैसा आदमी है यार ये कि क्या करवाना चाहता है ठीक है मैंने उसे बूचा कि भाई कोई सस्ते नशे कुछ गानेवाने ज्यादा सुन लिया हूं पता नहीं जी कौन सा नशा करता है करें नहीं सर वह सब तो बच्चपन में करते थे तो बड़े हो गए तो मुझे प्रेसेज करके बोल रहा है कि विशाल सुनी सर कप पढ़ाएंगे और बोल रहा है कि आप तो नेगी सर और करने और विशाल क्या समझा जा सकता उसको और सब ठीक है किसी को कोई बहुत सारे बच्चों ने पूछा सर कब से स्टार्ट होगा मैंने बोल दिया कि हां बेटा थोड़ा टाइम दे तो प्लान करते हैं कर लेंगे चीज है उसके बाद बच्चे समझ जाते थे हां सर यह प्लान देंगे वाला विश्व था बिल्कुल था भाई ठीक है आइए एक विश्व और करोगे इसका आंसर निकालोगे लास्ट वाले का पता नहीं यार जो भी उसने किया था मतलब वह मुझे थोड़ा नॉर्मल इंसान तो नहीं लगा यार ठीक है चलो लास्ट वाले का विश्व को सॉल करो फटाफट इसका भी आंसर निकाल कर दो भाई ला चार, बड़ी जल्दी आंसर कि सब लोग निकाल पारो ना ऐसा तो नहीं पुराने कोर्स किसी ने कर रखे हो वहां के अंसर बताएं सबका ना चाहिए भाई अंसर जो पहली बार पढ़ रहा है वह उसके लिए भी आंसर देना उत्तर इंपोर्टेंट वेट कर लूंगा मुझे प्रॉब्लम ठीक चलो वाले प्रेशन पर आते हैं तो अब कर लोगे ना आगे से कभी कोई थ्री क्रॉस थ्री मैट्रिक्स दिखेगी तो उसका डिटरमेंट बहुत क्विक्ली मैं आपसे एक्सपेक्ट करूंगा ठीक है समझ गए 125 थ्री वन फॉर वन टू ठीक है तो मैं काफी बहुत सारे लोग पूछे फॉर क्रॉस निकालेंगे बताता हूं ठीक है थोड़ा टाइम दो वन बाई वन चलते हैं, ठीक है, 4 x 4 का भी बताओंगा, कैसे करना है, क्या-क्या लॉजिक्स लगा सकते हो, और्थोगनालिटी का क्या कंसेप्ट यूज़ कर सकते हो, सब बताओंगा उसमें, ठीक है, टेंशन बत लो, तो अब क्या करते हैं, ये लो, गोला नीचे, बताओ कि 5 x 3 x 1, which means plus का 15, ठीक है, minus का sign लगाते हैं, इसके अंदर देखो आपको क्या देखने को मिलेगा, इसके अंदर अगर आप notice करो यार, तो अब ये नीचे से यही चीज mirror image के form में हम लोग कर देते हैं, 5, ये देख रहे हो ना आप लोग, 4 और ये, तो 5 plus 4 plus 3 x 2 x 2, मतलब की 12, तो तो डेल्टा यहाँ से आपको मिल जाएगा, 15, 8, 23, 2, 25, माइनस, 5, 4, 3, 2, 6, 2, 12, ठीक तो है न, 17, 2, 19, 23, 2, 25, 6R है क्या, 4R है, element तो ठीक लिखा न, मैंने 1, 2, 5, 3, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ठीक तो है सब कुछ, 2, 8, 15. 152 की जगह पर चार कर लो ठीक है यह बीच में दो बैठ गया था तो यह 19 की जगह पर 21 हो जाएगा और आपका आंसर हो जाएगा चार पक्का हां दो कर लो इसको यहां पर चार कर लो मैंने दो लिख दिया था खैर आंसर लोगों अब आज की class का एक छोटा सा आखरी topic बचा हुआ है, जल्दी से उसको quickly मैं करवा देता हूँ, so that आप, कि जो next classes हैं, वो आप आसानी से उसको attend कर पाएं, है न, बिल्कुल चम्पू question था, ठीक है, नेगी सर के भुँँद फैंस हैं यहा कर लें भाई, देखो क्या कर लिया, 2 x 2 सीख लिया, 3 x 3 का conventional method सीख लिया, diagonal determinant, upper triangular, lower triangular, 3 x 3 का shortcut, ठीक है, इतना हम लोगों ने कर लिया, ठीक है, एक last और करवा देता हूँ, बहुत चोटा सा है, जादा इसमें कुछ है नहीं, चलो ठीक है, कल ही करते हैं इसको, ठीक है, इसक एट पीएम पे आप लोग आ जाना, जो लोग लाइव आ सकते हैं, लाइव आ जाना, डिस्क्रिप्शन में लिंक दे रखा है, special class का, otherwise बाकी लोग बाद में DPP's देख लेना, ठीक है, तो DPP's के question और उनके solution आज मैं करवाने वाला हूँ, कल करवा देते हैं, कल actually हम लोग 5 बज कि मैं आप लोगों को बता दूं कि आप लोगों के लिए कल एक सर्प्राइज भी आने वाला ठीक है कल एक सर्प्राइज भी आने वाला है कल बताऊंगा मगर वह ठीक है तो धार्शी बात है कल आएगा तो कल बताऊंगा आज सर्प्राइज बताने से फायदा है काफी साइड टॉपिक से कल इसको कवर अप करते इसके आगे बढ़ते ठीक है और मेरी तरफ से आप लोगों के लिए डोंट टेल यो डोंट टेल पीपल योर प्लान्स फोटोडे में रिजल्ट कभी भी अगर आप कुछ प्लान कर रहे हो ना भाई तो कुछ मत बताओ किसी को ठीक है कुछ किसी को किसी प्लान करो, एक्सिक्यूट करो, रिजल्ट आ जाए बता दो, नहीं रिजल्ट आ जाए तो कोई बात ही नहीं, पता लगा पूरे गाउं में हल्ला कर दिया, ये करने वाले, वो करने वाले कर कुछ नहीं पाए, तो उस चक्कर में क्या होता है, कि आपके उपर जो expectation होती है, व आप हमेशा रिलाइक्स के काम कर पाओगे एक्सेक्वेशन होने से पहले अगर आप बताएंगे तो अब जैसे मालों में अनॉन्स कर दो मैस का कोर्स में लेकर आ रहा हूं मेरे पास कोई प्लान ही नहीं है कोई एक्सेक्यूशन तो ऑब्यॉसली उन्हें पर प्रेशर ठीक है स्कॉलरशिप टेस्ट में 9th of April में सिर्फ Engineering Mathematics और Aptitude आपसे पूछा जाएगा ठीक है 25 क्वेश्चन 50 मिनट में आपको करने रहेंगे भाई साथ ठीक है 25 क्वेश्चन 50 मिनट में आप करोगे और अच्छी खासी स्कॉलरशिप है मेरे कहल से फर्स्ट ट्रैंक को 100% मिल जाएगी बाकि अगर सेकंड से 10 लाते हो तो 75 11 से 25 लाते हो तो 50 और अगर 26 से 100 के बीच में आते हो तो 25% और 100 से 200 के बीच में आते हो तो वह आकर अपने फेवरेट टीचर से यहां पर पढ़ सकते हैं ठीक है ना बाकि जो लोग ऑफलाइन के लिए इंक्वायरी कर रहे थे ऑफलाइन अगर आप करना चाहते हो तो आप कर सकते हो बैच स्टार्ट हो गए सेवनटीन से स्टार्ट हो जाएगा यह और फिर डिटेल में आपको इंफॉर्मेशन दे दी जाएगी ओके बाकि आर आप सभी लोगों के लिए बैचेस जो तो बेस्ट टीम यहां पर प्रजेंट है मैं तो हुई ठीक है आदित तिकम से रहें अंकित गोहिल से एलेक्ट्रिकल लेजेंड थांडे सर यहां पर और बीबी रेडी से और भी अगर टीचर से तो आप अन एकाडमी प्लस पर भी आकर पड़ सकते हैं अभी टॉम्यूनिकेशन यह मिफ्टी सिगनल डिजिटल कंट्रोल हो गया और इन फैक्ट यहां पर आकर आप इंजीनरिंग सर्विस के प्रिपरेशन आगे कंटिन्यू कर सकते हैं ठीक है अ पीडीएफ इसका जो मिलेगा वह टेलीग्राम पर अभी ऐसा नौकर शेयर करूंगा बट वैसे मेरी अभी टीम से बात हुई है तो वह कोई एक दूसरा लिंक वाला तरीका भी बता रहे तो मोश प्रॉब्लम शायद वह लिंक इसी चैनल के डिस्क्रिप्शन में पिंड तो यह फॉर मंस्क फ्री वाला अभी चल रहा और इसमें थर्टी फर्स मार्च को कुछ बैचेस टार्ट हुए हैं जो कि आप अवेल कर सकते हो बहुत सारे बच्चे ऑलरेडी आ चुके हैं ना मुझे मैसेज भी किया तो समझ हो अ अगर आप भी आना चाहते हो तो और एक चीज इंपोर्टेंट यह भी कि इस यह जो आफ वैलिड है ना इस ओनली वैलिड अप इसके बीचे पूरी टीम काम करती हूं आई होप आप वह आप लोगों ने उन टीम को भी देखा होगा इसी चैनल पर शॉट पड़ा हुआ आना चाहते हैं तो स्कॉलरशिप के थ्रू भी आप आ सकते हो ठीक है ना कोई प्रॉब्लम नहीं है परफेक्ट ठीक है तो यह मैंने आपको बताएं ना अब तो 4 मन्स का अभी आपका फ्री वाला चल रहा है 9th of April तक यह आपका चलेगा बाकी जो लोग नॉर्मल सब्सक्रि� लाना चाहते हो ठीक है तो थैंक यू सो मच एवरीवन अब नोट कहां पर मिलेगा मैं टेलिग्राम का आपको वह भी बता देता हूं ठीक है कुछ बच्चे पूछने टेलिग्राम का वह बता दीजे तो टेलिग्राम का मैं आपको लिंक दे देता हूं टी डॉट एमी स्लैश डिस्क्रिप्शन में भी डलवा देता हूँ t.me slash दिख रहे हैं सबी को चेक करो यह देखो दिख रहा सबको प्लस वालों के लिए न्यू सब्जेक्ट आने वाला यार मोस्ट पॉब्ली शायद सिग्नल सिस्टम आएगा अभी आधि अधूरी बात हुए तो 99% मान के चलिए इसमें सब्सक्राइबर्स सेवन पॉइंट टी डॉट एमी विशाल सोनी आईएस यही पर ठीक है पहले तो बताओ ये link मिल गया ना सभी को, मिल गया, join कर लिया ना, ठीक है, तो ये telegram link है, इस पे आप join कर लो, as of now मैं इसी पे share कर रहा हूँ, साथ के साथ एक library भी बना देंगे, उसका link description में डलवा देंगे, and जो लोग पूछ रहे हैं, DPP कहां मिलेगी, DPP आपके लिए आपको नीचे जो description में special class का link होगा, उस पे आप click करिए, आप उस special class में आईए, वहाँ पे आपको दो options दिख रहे होंगे, download with annotation, without annotation, तो विद विदाउट अनोटेशन के हिसाब से डाउनलोड कर दो विदाउट अनोटेशन में आपको सिर्फ पीडीएफ मिल जाएगी विद वाले में आपको सोल्यूशन भी मिल जाएगा ठीक है परफेक्ट ओके यार देखो सबसे पहली चीज तो मैं यह क्लियर दूं कि जो चैनल ना इस चैनल इस ओन्ड बाय अन अकाडमी यह मेरा पर्सनल चैनल नहीं है फर्स्ट ऑफ आल ठीक है तो परिस्टिव ऑलरेडी मैंने कर दी है आगे कि अ फॉरवर्ड कर दी कैरी फॉरवर्ड कर दिये अब यार वह आगे वाली टीम का डिसीजन होता है कि उस पर क्या करना सब्सक्राइब यह मेरा चैनल होता तो मैं कुछ भी कर सकता था बट इस चैनल की ओनरशिप मेरे पास नहीं या फिर आपको की क्वेरीज विद स्क्रीनशॉट मैंने आगे फॉरवर्ड कर दिया ठीक है आप बजे हम लोगों ने जितना पड़ा पर के बेसिस पर क्वेश्चंस डिस्कस करेंगे स्पेशल क्लास में ठीक है तो special class का link description में click करके आ जाना वहाँ पे detail में हम लोग question discuss करेंगे 8pm पे जो लोग 8pm नहीं attend कर पाते हैं classes वगरा की वज़े से वो बाद में आकर उस link पे click करके solutions वगरा properly देख सकते हो ठीक है चले आगे बढ़े चलो तो आज के session में इतना ही और I hope आप लोगों को अच्छा लगा होगा और नीचे जो comment box है वहाँ पे भी लिखना आपके क्या problems है आप क्या इशूज फेस कर रहे हो वह लिखना पूरा और साथ के साथ जो सीक्वेंस है जो अटेंडेंस है जो आपकी कंसिस्टेंसी उसको मिशा बनाकर रखेगा ठीक है जितना कंसिस्टेंटली चीजों को आप एक्सीक्यूट करोगे उतना बेहतर चांसेस आपके कि