Quadratische Funktionen – Formeln und Begriffe

Definition

• Eine quadratische Funktion hat die höchste Potenz von 2: ( f(x) = x^2 ).

Normalparabel

• Normalparabel ergibt sich aus der Funktion ( f(x) = x^2 ).

Verschobene Normalparabel

• Verschiebung nach oben/unten: ( f(x) = x^2 + c ).

Gestauchte/Gestreckte Normalparabel

• Stauchung/Streckung durch Multiplikation mit ( a ): ( f(x) = ax^2 ).
  • ( a > 1 ): gestreckt
  • ( 0 < a < 1 ): gestaucht
  • ( a = 1 ): Normalparabel
  • ( a < 0 ): gespiegelt

Allgemeinform

• Allgemeinform: ( f(x) = ax^2 + bx + c ).

Normalform

• Normalform: ( x^2 + px + q = 0 ).
• Verwendung der p-q-Formel zur Berechnung der Nullstellen.

Scheitelpunkt

• Scheitelpunkt ist der höchste/tiefste Punkt der Parabel.
• Bestimmung durch Vorzeichen von ( x ).

Scheitelpunktform

• Scheitelpunktform: ( f(x) = a(x - v)^2 + n ).
• Direkte Bestimmung des Scheitelpunkts ( S(v|n) ).

Quadratische Ergänzung

• Quadratische Ergänzung zur Umwandlung in Scheitelpunktform: ( f(x) = a(x - v)^2 + n ).

Nullstellenberechnung

Mit Scheitelpunktform

1. Funktionsgleichung null setzen.
2. Konstantes Glied isolieren.
3. Division durch Vorfaktor.
4. Wurzel ziehen.
5. Lösungen berechnen.

Mit p-q-Formel

1. Normalform bilden.
2. Anwendung der p-q-Formel.

Ohne lineares Glied

1. Funktionsgleichung null setzen.
2. Konstantes Glied isolieren.
3. Division durch Vorfaktor.
4. Wurzel ziehen.

Ohne konstantes Glied

1. Funktionsgleichung null setzen.
2. x ausklammern.
3. Nullproduktsatz verwenden.

Linearfaktorform

• Bildung mithilfe bekannter Nullstellen: ( f(x) = (x + 3)(x - 1) ).

Diskriminante

• Bestimmung der Anzahl der Lösungen:
  • ( D = 0 ): Eine Lösung
  • ( D > 0 ): Zwei Lösungen
  • ( D < 0 ): Keine Lösung

Satz von Vieta

• Verbindung zwischen Summen und Produkten der Lösungen bei Normalform:
  • ( x_1 + x_2 = -p )
  • ( x_1 \cdot x_2 = q )

Wichtige Formeln

• Normalparabel: ( f(x) = x^2 )
• Verschobene Normalparabel: ( f(x) = x^2 + c )
• Gestauchte/Gestreckte Normalparabel: ( f(x) = ax^2 )
• Allgemeinform: ( f(x) = ax^2 + bx + c )
• Normalform: ( f(x) = x^2 + bx + c )
• Scheitelpunktform: ( f(x) = a(x - v)^2 + n )
• Linearfaktorform: ( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) )
• p-q-Formel: ( x_{1,2} = -\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} )
• abc-Formel: ( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )
• Diskriminante: ( D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q ) oder ( D = b^2 - 4ac )
• Satz von Vieta: ( x_1 + x_2 = -p ), ( x_1 \cdot x_2 = q )