अस्सलाम वालेकुम आरक्षण नंबर 23 के साथ में हाजिर हूं फिर एक बार फिर कैलकुलस की जो हमारी कोर्स चल रहा है इसके लिए अभी तक अब हम काफी आगे पहुंच चुके हैं कैलकुलस में और पिछले लेक्चरर्स में हमने काफी दीप बातें की काफी कैलकुलस को बहुत सौदा तरीके से डेवलप भी है हॉपफुली सब ठीक-ठाक जा रहा होगा आ इसमें वही बात है की कैलकुलस अभी हम कर रहे हैं इसके बाद आगे चल के जब आप और कोशिश करेंगे तो आप और किम की मैथमेटिक्स देखेंगे लेकिन कैलकुलस की एक अपनी एक बड़ी जबरदस्त इंपोर्टेंट है जो दिन नहीं की जा शक्ति बेसिकली डी बिगनिंग ऑफ गुड्स टू का लीजिए इन मैथमेटिक्स बेसिकली तो इसको हॉपफुली आप गौर से पढ़ रहे होंगे और अंडरस्टैंड कर रहे होंगे और पॉइंट वही है की कॉन्सेप्ट जो है वो बिल्कुल क्लियर होने चाहिए तो अगेन फिर वही बात की प्रैक्टिस कीजिए और होमवर्क वगैरा आप लोग कर रहे हैं और जो नहीं कर रहे वो करते रहे शुरू कर दें ताकि इसमें आपको आ फायदा रहेगा आगे छलके कॉन्सेप्ट्स पर डी डेवलप होंगे अभी जो कैलकुलस है इसकी एन कुछ मजेदार चीज हम पहले भी देख चुके हैं आज भी हम देखेंगे कुछ बड़े मजे के थ्योरम से हैं आ उनमें देखेंगे की जी कुछ ऐसी बातें हैं जो एन गौर किया जाए तो उसमें हम देखेंगे की बड़ी एप्लाइड है यानी रियल लाइफ में बड़ी अप्लाई होती है हमेशा आ उसके बड़े में गौर करें तो हम देखते हैं की वकील ये तो एक ऐसी चीज है कैलकुलस जो आ हर एवरी दे लाइफ जिसे कहते हैं रोजमर्रा की जिंदगी में अप्लाई होती है तो इट्स नोट डेट एब्स्ट्रेक्ट अन्य मोर तो हॉपफुली जो पहले हमने चीज अच्छी हैं कुछ उनको आप देख रहे होंगे और नोट कर रहे होंगे तैयार इंदीद एप्लीकेबल तू रियल लाइफ और अब भी हम देखेंगे तो बहुत सी चीज है जो एप्लीकेबल होगी आगे चलकर हम कुछ करेंगे ऐसे एग्जांपल्स विच बिल बी फ्रॉम रियल लाइफ और अप्लाई मठ का लीजिए तो आई स्टार्ट करते हैं फिर लेक्चर अच्छा जी तो इसमें आज के लेक्चर में हम क्या बातचीत करेंगे इसको थोड़ा सा सनराइज कर लेते हैं देख लेते हैं की आज क्या-क्या बातें होगी तो आई देखते हैं आज का टॉपिक है बेसिकली मैक्सिमम और मिनिमम वालुज ऑफ फंक्शंस इसमें एब्सलूट एक्सट्रीम में हम देखेंगे आ फाइंडिंग एन सलूट एक्सट्रीम मी पर एन कंटीन्यूअस फंक्शन समरी ऑफ एक्सट्रीम बिहेवियर ऑफ फंक्शंस ओवर दी होल रियल नंबर लाइन यानी इंटरवल माइंस इंफिनिटी तू प्लस इंफिनिटी एन इसके अलावा हम कुछ एप्लाइड मैक्सिमम और और मिनिमम प्रॉब्लम्स देखेंगे इनको कैसे अप्लाई किया जाता है रियल लाइफ में इसके अलावा फिर हम देखेंगे प्रॉब्लम्स इंवाल्विंग फाइनाइट क्लोज इंटरवल थोड़ा सा एब्स्ट्रेक्ट है ये टॉपिक लेकिन जैसे हम देखेंगे इसको तो वे बिल सी व्हाट आई एम टॉकिंग अबाउट और और दें वे बिल टॉक अबाउट प्रॉब्लम्स इन मालविंग और टॉवल्स डेट आर नॉन एन दें वॉक ऑनफाइनाइट और क्लोज बेसिकली तुझे ये बेसिकली है आज के टॉपिक और इसमें एन आपने नोट किया होगा की पहले जो शुरू का टॉपिक है और जो बल्कि कोर्स का टाइटल यानी जो है लेक्चर का आ टाइटल है सॉरी एन वो एक्सट्रीम के बड़े में है एब्सलूट एक्सट्रीम है ये हम पहले भी कर चुके हैं हमने पहले पिछले एक लेक्चर में हमने रिलेटिव एक्सटीमा की बात की थी रिलेटिव मैक्सिमम वैल्यू आईटी इस मिनिमम वैल्यू ऑफ एन जिवन फंक्शन एन पार्टिकुलर कंटीन्यूअस फंक्शंस की बात की थी हमने आ जो ज्यादा इंटरेस्टिंग थे और जो हमने देखें थे जरा डिटेल में और यहां पे भी हम वही देखेंगे तो यहां पे अब एब्सलूट का क्या मतलब है एब्सलूट से मांगा दिया क्योंकि हम पहले जैसे अगर आपको याद होगा लेक्चर में मैंने कहा था की आईएफ वे टॉक अबाउट हिल्स की एग्जांपल शायद मैंने दी थी की अब आपके पास एक है कोई बाहर का जो एक आउटलाइन होती है एक कंटीन्यूअस फंक्शन और सेंस तो आप देखेंगे भाई हमारे पास हमारा अगला हिल्स हैं और यू वांट तू फाइंड आउट विच इस दी मैक्सिमम सबसे ऊंची छोटी कौन सी है तो उसमें वो प्लीज सामने देखा था की हम कोई एक स्पेसिफाई कर रहे थे की एक नेबरहुड है और नेबरहुड में आप बताएं की जी कौन सी छोटी जो है सबसे ऊंची है मिसल के तोर पे मैं का सकता था की जी आपका जो f6 सेक्टर है इस्लामाबाद का उसमें जो मरगल हिल्स का हिस्सा बंता है वो एक इंटरवल बन जाता है उसमें सबसे ऊंची छोटी कौन सी है सबसे विच इस डी हाईएस्ट हेड इन डी चेन ऑफ मगल हिल्स इन डी सेक्टर f6 तो f6 का जो सेक्टर एक तरह का इंटरवल बन गया था फिर उसमें जो हमने बात की थी की चूंकि आप एक पर्टिकुलर सब क्षेत्र देख रहे हैं उसका शंकर देख रहे हैं तो वे टॉक अबाउट एन डोज मैक्सिमम आ हाइट्स ऑफ डी हिल्स इन एन पर्टिकुलर नेबरहुड नेबरहुड की बात की थी तो वो फिर एक क्लेरिटी मैक्सिमम बन जाता है इसी तरह से हमने मिनिमम मिनिमम भी डिफाइन किया था की जी उससे मतलब पर्टिकुलर नेबरहुड में अगर आप बात करें तो उसमें एक वैल्यू होगी जो सबसे नीचे होगी डेट बिल बी एन मिनिमम आज के लेक्चर में हम बेसिकली बात करेंगे एब्सलूट मैक्सिमम की जो शुरू में हम बात करते हैं तो आई स्टार्ट करते हैं की व्हाट डीज थिंग्स आर एब्सलूट मैक्सिमम की बेसिकली आ इंटुएटिव डेफिनेशन यही है की जी आ मलकला हिल्स की बात हो रही है ये पुरी जो इनकी चैन है ये जो पुरी माला हिल है शुरू से लेकर आखिरी तक अब ये भी एक इंटरेस्टिंग सवाल है ये कहां शुरू होती है कहां खत्म होती है मैं साड़ी जिंदगी इस्लामाबाद में मैंने गुर्जर रही है आज तक अगर आउट नहीं कर सका के जिल का खत्म होती है कहां शुरू होती है बस है तो खैर अगर आपने फिगर आउट कर लिया है तो ये एक सवाल हो सकता है की जी ये पुरी जो चैन है आपको पता है की कहां से शुरू होकर कहां खत्म हो रही है और इसको हम का सकते हैं एक तरह का ये जो एक इनकी आउटलाइन बंटी है ऐसे ऐसे पहाड़ियों की ये कंटीन्यूअस फंक्शन के तोर पे हम इसको ले सकते हैं तो हम पूछेंगे जीके इस पुरी आ इस फंक्शन को अगर देखा जाए एक तरह से यानी एक चैन अच्छी जाए इसकी तो इसमें सबसे ऊंची छोटी कौन सी है विच इस डी हाईएस्ट हिल इन डी चैन ऑफ मरगले हिल्स तो डेट वुड बेसिकली आईएफ यू फाइंड डेट हाइस पॉइंट डेट बिल डिफाइन दी एब्सलूट मैक्सिमम वैल्यू ऑफ दी ऑफ एन फंक्शन आईएफ वे टॉक अबाउट डीज एन यह जो हमने हेल्थ की भी बात की है अगर उसकी आउटलाइन को एक कंटीन्यूअस फंक्शन ले लेने क्योंकि जहीर ब्रिक्स तो नहीं है इसमें रफले स्पीकिंग तो हम का सकते हैं की जी वो जो हाईएस्ट छोटी होगी डेट वुड बी डी मैक्सिमम हाइट ऑफ फंक्शन डिफाइंड बाय डी आउटलाइन ऑफ डी हेल्प्स तो ये बेसिकली कॉन्सेप्ट है इसका अब हम थोड़ा फॉर्मूला इस भी कर लेते हैं कुछ डेफिनेशन है जो देखने चाहिए हमें तो आई डेफिनेशन देखते हैं डेफिनेशन जब है के डेफिनेशन सबसे पहले जो है वो है आईएफ एसएफएक्स नोट इस ग्रेटर डेन और इक्वल तू एफसी पर जो एक्स इन डी डोमेन ऑफ एफ दें एफ ऑफ एक्स नोट इस कॉल्ड डी एब्सलूट मैक्सिमम वैल्यू और सिंपली दी मैक्सिमम वैल्यू ऑफ एफ जब यह एक पहले डेफिनेशन हो गई एब्सलूट मैक्सिमम की ये फॉर्मल डेफिनेशन है की अगर आप एक ऐसा पॉइंट एक्जिस्ट करता है फंक्शंस की बात हो रही है तो ऑब्वियसली एक एक्स एक्सिस है एक ए एक्सिस है उनका ग्राफ आप बनाते हैं फंक्शंस का या फंक्शन की इक्वेशन भी हो सकता है डियो तो अगर कोई ऐसा पॉइंट है एक्स नोट एन जिसको अगर आप वेलवेट करें जिसके ऊपर या अपने फंक्शन को तो अगर उसे पॉइंट पे फंक्शन की जो वैल्यू आई है वो बाकी सारे एक्सेस के लिए जब आप वैलिड करेंगे इस फंक्शन को और बहुत साड़ी बाय वालुज आएंगे या फॉक्स वालुज आएंगे कस मॉर्निंग तो एक्स नोट की जो कॉरस्पॉडिंग ए वैल्यू है यानी एफसी नोट अगर वो सबसे बड़ी है या बराबर है बाकी सब के तो वे कल वे डिफाइन आईटी तू बी दी एब्सलूट मैक्सिमम आ पर डेट फंक्शन यहां पे बात हमने डेफिनेशन में की थी क एन जब डेफिनेशन अच्छी तो हमने कहा था की एक्स नोट जो है वो पुरी डोमेन में है यानी अब पिछली दफा जो हमने रिलेटिव मैक्सिमम की बात की थी तो उसमें हमने कहा था की जी एक नेबरहुड होगा एक इंटरवल होगा जिसमें एक पॉइंट एक्स नोट होगा फिट डिफेंडिंग ऑन वारेन ट्रबल डेट वे आर टॉकिंग अबाउट फिर हमने कहा था की इसके अंदर जी एक मैक्सिमम वैल्यू होगी और वो हमने रिलेटिव मैक्सिमम कहा था बिकॉज़ हो सकता है किसी और इंटरवल में एक और भी इससे ज्यादा ऊंची वैल्यू लेकिन बाथरूम के इंटरवल की हो रही थी तो हम उसको रिलेटिव मैक्सिमम का देते थे डिफेंडिंग ऑन डी इंटरवल यहां पे फर्क ये एब्सलूट में की अब हम बात कर रहे हैं पुरी डोमेन की यानी फंक्शन की जो पुरी डोमेन है उसमें हम का रहे हैं की कोई एक ऐसा पॉइंट ढूंढ लिए एक्स नोट एन जिसके कॉरस्पॉडिंग जो वे वैल्यू है वो सबसे ज्यादा है सबसे बड़ी है या अगर ग्राफिकल सोचें एक तरह से वो मा गया हिल वाली एग्जांपल लेक तो यू लुकिंग आते डी हाईएस्ट पॉइंट ऑन डी ग्राफ ऑफ डी फंक्शन तो ये आपका जब एब्सलूट एन मैक्सिमम हो गया इसी तरह से आप सिर्फ मिनिमम भी डिफाइन कर सकते हैं इसकी क्या डेफिनेशन होती है मिलती जलती है देख लेते हैं इसकी जब डेफिनेशन है एफसी नोट इस ली दें इक्वल तू एफसी पर जो एक्स और डोमेन ऑफ एफ दें एफ ऑफ एक्स नोट इस कॉल्ड दी एब्सलूट मिनिमम वैल्यू और सिंपली दी मिनिमम वैल्यू ऑफ एफ तो यह जब आपका एब्सलूट मिनिमम हो गया वैल्यू का लीजिए कोई बात है सेमिनल्ली यानी एक तरह की सिमिट्रिक सी है जी तरह मैक्सिमम थी आ जो आप का सकते हैं हाईएस्ट वैल्यू थी फंक्शन की ग्राफ पे अभी जो एब्सलूट मिनिमम होगा ये पुरी डोमेन में एक ऐसा पॉइंट होगा जिसकी कॉरस्पॉडिंग ए वैल्यू जो है वो सबसे कम होगी तो इतना की दीपेस्ट वाली की बात हो रही है की सबसे गहरा गहरी जो वादी है एक पहाड़ों की चेन में वो कौन सी तो थॉट्स डी पॉइंट पहले जो हमने देखा था मिनिमम स्पेशल लेक्चर में वो एक इंटरवल पे था जी तरह से आप रिलेटिव मैक्सिमम की बात की थी फर्क ये यहां पे के एब्सलूट मिनिमम जो है वो पुरी डोमेन पे डिफाइंड होता है और ये डेफिनेशन सिंपल स्ट्रेट फॉरवर्ड सीन तो आएगा आगे चलते हैं फिर अच्छा इसकी एन एक तरह से समझना के लिए ये का सकते हैं की अगर हम जैसे अर्थ का जो सरफेस है उसको हम क्या है की जी एक फंक्शन है हमारे पास ठीक है जी आ यानी पूरा एक आपके पास है आ रामदेव होती है तो अगर हम उसकी बात कर रहे हैं हम कहते हैं की सम हो वे डिफाइन फंक्शन ऑफ रिजॉर्ट इन अगर आप अर्थ के ऊपर पेंसिल से लाइन ड्रॉ करना शुरू करें तो एक तरह से कंटीन्यूअस आप कर सकते हैं हम इग्नोर कर देंगे की जी आप अगर समंदर ए गया तो क्या करेंगे कोई बात नहीं हम समंदर के थ्रू लेक लाइन बना देंगे कोई मसाला नहीं तो जब ये ऐसे आप करेंगे टीवी ज्यादा कंटीन्यूअस फंक्शन तो यहां पे आ कंट्रीज फंक्शन की अभी तो हमने बात नहीं किया अभी हम करेंगे और पर एग्जांपल मैं ऐसे ही अभी से डेवलप कर रहा हूं आइडिया के बेसिक फॉक्स हमारा होगा कंटीन्यूअस फंक्शंस पे तो यहां पे भी एक ये जो हम आउटलाइन बनाएंगे सरफेस की वो कंटीन्यूअस फंक्शन होगा और इसमें मैक्सिमम क्या होगी इसकी वैल्यू मैक्सिमम वैल्यू होगी व्हाट इसे डी हाईएस्ट पॉइंट ऑन डी सरफेस ऑफ डी अर्थ हम सबको पता है हमारे नेबरहुड नहीं है माउंट एवरेस्ट तो माउंट एवरेस्ट जो होगा वो इस फंक्शन का मैक्सिमम होगा या एब्सलूट मैक्सिमम होगा क्योंकि माउंट एवरेज जो है फ्रॉम डी सरफेस ऑफ दिया था हम सरफेस पे बना रहे हैं सरफेस तो माउंट एवरेस्ट इस डी हाईएस्ट पॉइंट और सिमिलरली अगर हम मिनिमम एब्सलूट मिनिमम की बात करते हैं की जी इस फंक्शन के थ्रू मिनिमम क्या है तो ये अच्छा सवाल है पता नहीं कितने लोगों कोई मालूम है की स्पेसिफिक क्वेश्चन में एक जगह है हवाई क्या आयरलैंड के पास वहां पे एक सबसे गहरा जो पॉइंट है दुनिया में समंदर में आई थिंक इसको सेंट मारयाना ट्रेंच कहते हैं या मारयाना ट्रेंस समथिंग लाइक डेट आप लोग मालूम कर लीजिए क्या है वो है जब 36 दीप यानी इतना ही दीप है जितना आप जहाज में ऊंचा उड़ते हैं तो थॉट्स योर मिनिमम ऑफ डेट फंक्शन डेट यू हैव ट्रेकिंग जो आपने ट्रेस किया उसके सरफेस पे तो एग्जांपल है बेसिकली क इस तरह से आप मैक्सिमम मिनिमम वैल्यू एब्सलूट मैक्सिमम वालुज मालूम कर सकते हैं अच्छा जी अब एक मैथमेटिकल एग्जांपल कर लेते हैं ये तो हमने थोड़ी इंटूटिव सी बातें की एन इसमें ये करते हैं की एक फंक्शन देखते हैं और उसके बड़े में देखते हैं की उसकी जो मैक्सिमम वालुज हैं और मिनिमम वैल्यू वगैरा मालूम करते हैं अब ये वही बात है की अब यहां पे मैंने को के डिफाइन तो किया थे एब्सलूट मैक्सिमम और एब्सलूट मिनिमम डोमेन पे यानी पूरे फंक्शन की डोमेन पर जो मैक्सिमम होता है वो एक्सीडेंट मैक्सिमम कहलाने हैं जो पुरी डोमेन पे फंक्शन की मिनिमम होती है सबसे ज्यादा वो एब्सलूट मिनिमम कहलानी है लेकिन यही डेफिनेशन थोड़ी सी मॉडिफाई करके हम इंटरवल पे भी लगा सकते हैं और वे गेट बैक डी से आइडिया ऑफ रिलेटिव मैक्सिमम और डॉलर आईटी इस मिनिमम तो वो भी थोड़ी सी एग्जांपल कर लेते हैं तो आई एग्जांपल देखते हैं की एक फंक्शन है हमारे पास एफसी = एक्स + 1 और इसमें ये है इसकी पिक्चर दी हुई है यहां पे ग्राफ है वे हैव एन ग्राफ ऑफ दिस फंक्शन और डी ग्राफ इसे डिफाइन ऑन डी इंटरवल जीरो कोमा थ्री तो यानी बेसिकली आपका जो ग्राफ है ये इसमें जीरो थ्री के इंटरवल पे डिफाइंड है तो एक तरह की डोमेन इसकी हमने रस्टिक की हुई है इंटरवल पे बट ये ट्रीटिंग डेट इंटरवल एस दी एंटर्ड डोमेन ऑफ दिस फंक्शन ये हम कर सकते हैं वे डोंट हैव तू लुक आते डी नेचुरल डोमेन जो डी टाइम वे कैन डी स्टिक डी फंक्शन ऑफ पर्टिकुलर इंटरवल और कल आईटी दी एन डोमेन ऑफ डेट फंक्शन तो यहां पे ये जीरो इंक्लूड है लेकिन थ्री जो है इट्स नोट पार्ट ऑफ डी रेमन तो अब सवाल देखते हैं की सवाल क्या है सवाल जवाब ये है की मिनिमम और मैक्सिमम वालुज क्या है इसकी तो सिंपल सी बात है ग्राफ अगर आप देखें तो इसमें नोट कीजिए की जो मिनिमम वैल्यू है इस ग्राफ में इस ग्राफ को देखते हुए इस फंक्शन की वर्कर करती है आ टैक्स इकोसिरो और इसकी वैल्यू वन है ठीक है जी सिंपली में लुकिंग और डी ग्राफ यू कैन से डेट ऐसी बात है प्रिडिक्ट फॉरवर्ड इंटरेस्टिंग सवाल ये है की मैक्सिमम वैल्यू क्या है इस फंक्शन की ऑन दिस पर्टिकुलर जिवन इंटरवल यानी व्हाट इस डेम मैक्सिमम वैल्यू यह भी एक सवाल है की क्या मैक्सवेल एक्सेस करती है की नहीं करती थॉट्स और इंटरेस्टिंग क्वेश्चन तो ग्राफ को गौर से देखिए फिर से जरा इसमें देखिए ग्राफ में जो यहां पे एक ओपन सर्किल है आते डी पॉइंट वेयर एक्स = 3 ऐसा क्यों है ऐसा इसलिए है की फंक्शन का जो इंटरवल डिप पे डिफाइंड था जिसको हमने डोमेन कहा था इस फंक्शन की उसमें थ्री इंक्लूड नहीं है ठीक है जी डायरेक्टली इंक्लूड नहीं है तो फंक्शन के अंदर इनपुट के तोर पे नहीं जा सकता राइट तो लेकिन मतलब वही बात है की आपको ऐसा नंबर थ्री के बहुत करीब से ले सकते हैं लेकिन एक्जेक्टली थ्री आप नहीं ले सकते हैं आगे इनपुट पर दिस फंक्शन ज्यादा जब इनपुट नहीं होगी तो उसकी आउटपुट भी नहीं होगी इसीलिए ग्राफ में एक ओपन होल बना हुआ है रिप्रेजेंटिंग डी आइडिया कैसे एक्स = 3 के कोस्टपोन्डिंग कोई वैल्यू नहीं है ए की एफ ऑफ एक्स की क्योंकि आ वो पार्ट ऑफ डी डोमेन ही नहीं है एक्स = 3 तो अब वही सवाल है की क्या इसमें कोई मैक्सिमम वैल्यू है की नहीं है तो इंटरेस्टिंग क्वेश्चन जवाब ये है की जब इस फंक्शन की मैक्सिमम वैल्यू कोई नहीं है इस इंटरवल पे आ ग्राफ से भी जाहिर हो गया और उसकी थोड़ी सोने की बात है की क्यों नहीं है इसलिए नहीं है की अगर आपको ये एक पॉइंट लेते हैं थ्री से थोड़ा पहले और आप कहते हैं की जी मैं कहूंगा की ये जो मैंने एक्स की वैल्यू ली है आ इस पे इसके ऊपर मैक्सिमम कर करेगा ठीक है जी ए = एम में भी डी मैक्सिमम ऑफ दिस एन फंक्शन आते डी पॉइंट एक्स = समथिंग < 3 लेकिन मजे की बात ये है की यहां पे थोड़ा सा लिमिट्स का आइडिया ए रहा है की अगर आपने मुझे एक एक्स दिए थे तीन से थोड़े पहले और बिकॉज़ मॉर्निंग तू डेट यू हैव ए वैल्यू एम विच योर क्लेम आईटी बिल बी डी मैक्सिमम ऑफ डी फंक्शन मैं आपको कहूंगा नहीं जी ये लीजिए एक्स के बाद जो आपने मुझे वैल्यू दी थी तीन से पहले वाली उससे थोड़ी सी आगे मैं आपको एक एक्स की वैल्यू देता हूं और इसको इस वैल्यू से कॉस्पाउंड करती है एक ए वैल्यू जो ऑब्वीजली बड़ी होगी एम से जो आपने दी थी मुझे क्योंकि डिपेंड्स ऑन डी क्वालिटी लेडीज ऑफ डी फंक्शन फंक्शन ऐसा है की आप स्ट्रेट लाइन है बेसिकली तो जो भी जैसे भी आप थोड़ा सा राइट को मूव करेंगे अब ए की जो डायरेक्शन में थोड़ा सा ऊपर की तरफ मूव करेंगे तो पॉइंट ये है की लिमिटिंग प्रोसेस है आप तीन के जैसे-जैसे करीब होते जाएंगे आपके पास रिपीटेडली बिगर और बिगर वालुज आई रहेगी लेकिन नान ऑफ दम बिल क्वालीफायर्स डी मैक्सिमम बिकॉज़ है हसनैन क्लेम था वन ऑफ डेम इस डी मैक्स आई कैन गिव यू एन बिगर वन विच इस एन लिटिल बीट मोर क्लोज तू थ्री बट इट्स नोट इक्वल तू थ्री तो ये बड़े मजे की बात है की ओपन इंटरवल पे क्या होता है और ये इस एग्जांपल से थोड़ा सा जहीर हुआ कैसे खास तोर पे फंक्शन में के डिजाइन हैव एन मैक्सिमम वैल्यू ठीक है जी आगे चलते हैं अच्छा अब कुछ इंटरेस्टिंग क्वेश्चंस है हमारे पास कुछ भी मैक्सिमम वैल्यू उसकी जत्मा की जो बात हो रही है एक्सट्रीम अगेन वही बात है की एक्सट्रीम वालुज प्लूरल के तोर पे हम इसको एक्सट्रीम कहते हैं कुछ इंटरेस्टिंग सवाल है जो यहां पे कर-करते हैं फंक्शंस के हवाले से तो आई इनको देख लेते हैं ये सवाल आते हैं जी के एन जिवन है फंक्शन एफ ऑफ एक्स देश एफसी हैव ए मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू ऐसा सेक्स हेज ए मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू व्हाट इसे आईटी व्हाट इस एन बेसिकली व्हाट डेट वालुज आ तीसरा सवाल है केजीएफ एफसी हज एन मैक्सिमम ऑर्डर मिनिमम वेयर दस आईटी ए कर तो यह कुछ तीन सवाल है बेसिकली जो इंटरेस्ट के हैं अप्लाई प्रॉब्लम्स हैं और पुरी थियोरेटिकल मैथमेटिक्स में भी इंटरेस्ट के होते हैं तो इनको हमें देखना है तो इनका जवाब के लिए एक बहुत ही कृष्ण और एक बहुत ही जबरदस्त थ्योरम है जो हम अभी देख लेते हैं इट्स कल दी एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम और ये बेसिकली एक खास किम के फंक्शन यानी हाथ से मुराद ये के हम वो मैंने शुरू से भी कंटीन्यूअस फंक्शंस की बात की थी कंटीन्यूअस फंक्शंस के बड़े में आपको बहुत एक बहुत सारे इनफॉरमेशन देता है ये थ्योरम जो है और ये जो तीन सवाल हमें हमने अभी देखें थे पोज किया थे इनके जवाब मिल जाते हैं तो आई इसको देखते हैं फिर इसके बड़े में बात करेंगे थ्योरम हैक किया थ्योरम है एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम फिर हम जब है की आईएफ यू हैव एन फंक्शन एफ विच इस कंटीन्यूअस ऑन एन क्लोज्ड इंटरवल अब क्लोज इंटरवल यानी ए और बी जो है सेंट्रल का हिस्सा है दें एफ हज बोथ ए मैक्सिमम वैल्यू और ये मिनिमम वैल्यू ऑन दी इंटरवल अब तो यह जब लगता तो बड़ा स्ट्रेट फॉरवर्ड हम मासूम सतिराम है लेकिन इट्स एन वेरी पावरफुल थ्योरम अभी हम इसको देखेंगे सर लेक्चर की कैसे अप्लाई होता है यानी इसको समझना के लिए इस तरह से सोच लीजिए की कंटीन्यूअस फंक्शन जो है ये सबसे बड़ी रिटायरमेंट है और इंटरवल जो है वो क्लोज्ड होना चाहिए तो अगर ऐसे सिचुएशंस हैं आपके पास के इंटरवल भी आपके पास एक क्लोज्ड है और एक फंक्शन है कंटीन्यूअस ऑन दादा और ट्रैवल क्लोज इंटरवल तो आपको गारंटी दे के इस फंक्शन को की एक मैक्सिमम वैल्यू भी होगी एक मिनिमम वैल्यू होगी तो यानी मिसल के तोर पे मैं ये एग्जांपल देता हूं की इस्लामाबाद से मैं लाहौर के लाहौर से इस्लामाबाद आया आ ये उलट कर लीजिए जैसे भी तो इसमें ये है की एक फंक्शनल वॉवेद है पोजीशन फंक्शन या डिस्टेंस फंक्शन का लीजिए बल्कि जहां से जब मैं साबा से चला हूं तो एक डिस्टेंस ट्रैवल करके यहां पे पहुंचता हूं और फिर उल्टा जब वापस जाता हूं तो चलिए एक ही तरफ देख लेते हैं की यहां से अभी लाहौर से मैं इस्लामाबाद अगर गया तो एक क्लोज इंटरवल से मैं के ऊपर मैं एक ट्रैवल करूंगा वो क्या होगा वो होगा टाइम का इन टाइम वुड बी दी इंडिपेंडेंस वेरिएबल और टाइम के हवाले से फिर हम मेजर करेंगे कितना डिस्टेंस ट्रैवल किया है मैंने ठीक है जी ये जाहिर सिंपल सी बात है की 1 घंटे बाद मैंने कितना डिस्टेंस ट्रैवल कर लिया फ्रॉम ऑन डी मोटर वे मोटर वीक ही बात हो रही है तो मोटर में जो आपका एक तरह का इंटरवल है इस पे टाइम गुर्जर रहा है और कॉरस्पॉडिंग तू इ टाइम एन पीरियड डेट पैसेज बाय यू हैव रिकॉर्ड्स बॉन्डिंग एन डिस्टेंस वैल्यू डेट कॉम आउट और टाइम शुगर कंटीन्यूअस होता है यहां पे हम इसको का रहे हैं एक तरह का कंटीन्यूअस फंक्शन है यानी आप टाइम कुछ इतना छोटा ब्रेक करना चाहे आप कर सकते हैं इंट्रोड्यूस की बात है तो इसमें ये फंक्शन जो हमने देखा थ्योरम जो देखा एक्सट्रीमली थ्योरम वो गारंटी करता है की अगर मैं आ समझे मैं दिवू से जा रहा हूं इस्लामाबाद रावलपिंडी ड्राई हूं तो जहां अड्डा है वो का वो मेरा स्टार्टिंग पॉइंट होगा और संबाद पिंडी वाला जो है वो और पॉइंट होगा तो ये दोनों प्वाइंट्स जो है ये इंटरवल के एन प्वाइंट्स है डीज और इंक्लूड क्योंकि इन इंटरवल पे जब मैं और वाले ड्राइवर के स्टेशन पे आऊंगा डिस्टेंस ट्रैवल वुड बी जीरो ठीक है टाइम वॉच अपनी लेकिन जैसे ही बस चलेगी तो हर इंटरवल के गुजरते से टाइम के बाद कॉस्पॉन्डिंग तू डेट बिल बी अष्ट्सर्टेन डिस्टेंस आई हैव ट्रेवल्स फ्रॉम डी देवू बस स्टेशन लाहौर तो आ और उसके बाद ये चला रहेगा कंटिन्यूसली और उसके बाद जब मैं पिंडी पहुंच जाऊंगा डायग्नोस्टिकेशन में तो बस फिर स्टॉप देवर और ऑफ कोर्स आ मेरी जो टाइम वॉच है वो मैं रॉक दूंगा और फंक्शन मेरा और हो जाएगा डेट बिल बी डी अपर और पॉइंट सवाल यह है की तो ये कंटीन्यूअस एक फंक्शन हुआ तो ये गारंटी कर रहा है ये थ्योरम बेसिकली के इस दौरान ये जो पूरा फंक्शन मैंने डिफाइन किया है फ्रॉम लाहौर तू रावलपिंडी जब मैं गियर ड्राइव से तो देवर वास मी फंक्शन मी डिस्टेंस फंक्शन हद ए मैक्सिमम वैल्यू और मिनिमम वैल्यू यह बड़ा थोड़ा सा लगता है की जी हां बड़ी अच्छी सी बात है ऑफ कोर्स इट्स एन वेरी गुड थिंक लेकिन माजिद सोचें तो जाहिर सी बात है मैक्सिमम मिनिमम वैल्यू तो है मिनिमम वैल्यू क्या है दिवेर के अड्डे पे जब मैं बैठा हूं लाहौर में थॉट्स मी मिनिमम वैल्यू इट्स जीरो आई हैव ट्रैवल नो आ बेसिकली डिस्टेंस आते जो और जब मैं वहां पहुंच जाता हूं लाहौर आ आई एम सॉरी पिंडी डाबो के दे पे थॉट्स मी एंड ऑफ मी स्ट मी डेस्टिनेशन और ऑफ मी जर्नी डेट बिल बी डी मैक्सिमम वैल्यू ऑफ फोर्स सबसे ज्यादा डिस्टेंस ट्रैवल कर लिए तो ये कुछ मजे की चीज है अभी इसको और भी हम डेवलप करेंगे एक और एग्जांपल देखेंगे थोड़ी सी प्लस ऑफर के लिए ज्यादा चैलेंजिंग होगी बट इट्स इंटरेस्टिंग ये जो अभी हमने एग्जांपल अच्छी आईएसपी भी गौर कीजिएगा आई आगे चलते हैं अच्छा जी तो अभी जो एग्जांपल है देखते हैं फिर एक और जो हम पहले एक्चुअली देख चुके हैं अभी थोड़ी डर पहले हमने एग्जांपल अच्छी थी एन मैक्सिमम वालुज की बात की थी हमने एन और मिनिमम की इसके फंक्शन की एफसी = एक्स + 1 उसका हमने ग्राफ देखा था और फिर हमने उसके बड़े में बातें की थी इसके बाद फिर से देखते हैं इसका ग्राफ देखिए की वही बात है की इसमें जब ग्राफ आया था इस फंक्शन का एफ ऑफ एक्स = 2x + 1 का इसमें हमने कहा था की जी इसकी एक मिनिमम तो है डोमेन हमने इसकी डिफाइन की थी एस दी इंटरवल जीरो इंक्लूड जो डी वे तू थ्री बट थ्री नॉर्म्स इंक्लूड दे वास नोट पार्ट ऑफ डी में तो इसमें ये था की जी इसमें ये पूछना था हमने देखा था की आ मिनिमम तो है लेकिन मैक्सिमम नहीं है इस फंक्शन का तो ये थ्योरम वो तो हमने थोड़ा सा बात की थी की क्यों नहीं है और सेंस बंता था अब इस थ्योरम को जो हमने देखा उसके बाद ऐसे जहीर सी बात है की नहीं होगा क्योंकि ये फंक्शन जो था हमारे पास ये कंटीन्यूअस तो था ये सेंटर टेबल पे जीरो इंक्लूड और जो डी वे तू थ्री विथ थ्री ऑर्डर लेकिन एक प्रॉब्लम ये थी के आ जो इंटरवल था वो क्लोज नहीं था यानी 3 जो था वो न हिस्सा उसके इंटरवल का हिस्सा ना होने की वजह से इंटरवल हमारा क्लोज नहीं था हमें एक ऐसा इंटरवल चाहिए होता है एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम के लिए जो दोनों सीडियो से क्लोज दो इन दोनों और प्वाइंट्स इंक्लूड हो थ्री चुंबकीय इंक्लूड नहीं था तो जहीर सी बात है की हां हमारी इसकी कोई मैक्सिमम वैल्यू नहीं हो शक्ति थी यह एक और तरीका है जहां पर हमने थ्योरम को अप्लाई किया तो तब आप देखिएगा दिस इस एन वेरी ब्यूटीफुल थ्योरम इन एन सेंस सो अगर आप ट्रॉली अप्रिशिएट करें इसका थ्योरम का मजेदार बात ये है की इसका जो प्रूफ है वो बहुत डिफिकल्ट है यानी अगर आप थ्योरम देखें तो बड़ा सिंपल सा है और फिर क्लिक थोड़ा सा आप और करें तो हमने अभी ये एग्जांपल देखिए की हां जी इसकी कुछ इंप्लीकेशंस है लेकिन इसका जो प्रूफ है वो काफी इंवॉल्वड है और वेरी डिफिकल्ट एक्चुअली ये माने वाली बात है खैर उसको हम नहीं देखेंगे इसीलिए नहीं देख रहे हैं क्योंकि उसके लिए हमें कुछ ऐसी चीज चाहिए होगी जो स्कोर्स के स्कोप से बाहर है तो वो भी वांट टॉक अबाउट डेट बट वे बिल टॉक अबाउट डायनामाइट सेल्फ तो आए एक एग्जांपल और देखते हैं इसी की यह जब एक फिगर आपके सामने है यहां पर इसमें देखिए की इंटरवल जो इंवॉल्वड है वो है इस फंक्शन एक इंटरवल वालकेडनेस वन से लेकर नाइन तक और दोनों और प्वाइंट्स इंक्लूड हैं तो ये क्लोज इंटरवल है थॉट्स गुड लेकिन इसमें देखेंगे की को के इंटरवल जो है वो क्लोज्ड है लेकिन जो फंक्शन की तस्वीर बनी हुई है जहीर होता है इस फंक्शन की तस्वीर से ग्राफ से के एन फंक्शन जो है वो है सेंट्रल पे कंटीन्यूअस नहीं है ठीक है जी जस्ट फ्रॉम डी पिक्चर यू कैन सी डी फंक्शन इस नोट कंटीन्यूअस ऑन डी सेंट्रल और देवर पर वन ऑफ डी रिक्रूटमेंट इस वॉयलेटेड पर डी एक्सट्रीमली थ्योरम और वे कैन से प्रिटी मैच डेट दिस फंक्शन हज नो एक्सट्रीम वालुज यानी ना इसका कोई मैक्सिमम है ना कोई मिनिमम है एब्सलूट मैक्स मिनिमम ऑन डेट इंटरवल वन से लेक नो तक को के इंटरवल वन से लेक नो तक क्लोज्ड है वन भी इंक्लूड इंक्लूड है इसमें और नब इंक्लूड है बट डी फंक्शन इस आईटी सेल्फ नोट कंटेनर्स वेयरहाउस आईटी कैन नोट हैव मैक्सिमम और मिनिमम वालुज अच्छा अब बात करते हैं की जी हो डू वे फाइंड मैक्सिमम और मिनिमम वालुज एब्सलूट मैक्स और में वालुज ऑफ एन जिवन फंक्शन तो इसको देख लेते हैं कुछ थ्योरम हैं इनको देखते हैं एक पहले सिरम जो आपके सामने है ये आपको बताया बेसिकली की हो तू फाइंड एन मैक्सिमम और मिनिमम वालुज एन सिरम सिस आईएफ एन फंक्शन एफ हज एन एक्सट्रीम वैल्यू इदर मैक्सिमम और मिनिमम और एन ओपन इंटरवल ए बी दें एक्सट्रीम वैल्यू अकर्स एट एन क्रिटिकल पॉइंट ऑफ एफ अच्छा यह तेरा पहले भी देख चुके हैं एक थोड़े से डिफरेंट फॉर्म में कुछ तीन लेक्चर के कर लेक्चर पहले जब हम रिलेटिव मैक्सिमम मिनिमम की बात कर रहे थे तो ये वही बात है 80 की एक तरह की फॉर्म है की जी अगर कोई क्रिटिकल एक फंक्शन है ओपन इंटरवल पे अगर उसकी कोई अब यहां पे ओपन इंटरवल की बात हो रही है ठीक है जी तो बात ये है की एक ओपन इंटरवल पे कोई फंक्शन है कंटीन्यूअस उसकी अगर कोई मैक्सिमम या मिनिमम वैल्यू है तो आईटी हज तू वर्कर एट एन क्रिटिकल पॉइंट अब यहां पे भी बात है की क्रिटिकल पॉइंट आपको याद है क्या था क्या डेफिनेशन थी क्रिटिकल पॉइंट की व्हाट इसे डी क्रिटिकल पॉइंट ऑफ एन फंक्शन कल कर लेते हैं मैं भी बता देता हूं की क्रिटिकल पॉइंट ऑफ एन फंक्शन इस डी पॉइंट इन डी डोमेन एड वेयर डी डेरिवेटिव एन ऑफ डी फंक्शन = 0 और डेरिवेटिव देश नोट एक्जिस्ट वो वाले क्रिटिकल प्वाइंट्स जहां पे डेरिवेटिव जीरो होता है वो कहलाने हैं स्टेशनरी प्वाइंट्स लेकिन इन जनरल क्रिटिकल प्वाइंट्स ऐसे ही प्वाइंट्स होते हैं डोमेन में फंक्शन के जहां पे डेरिवेटिव या तो जीरो होगा यानी जो टांगेंट लाइन इस पॉइंट पे बनेगी उसका स्लोप जीरो होगा होरिजेंटल होगी या फिर वहां पर ड्रिमित एक्जिस्ट ही नहीं करता यानी आप टेंशन लाइन बना नहीं सकते ठीक है जी तो यह आपका थ्योरम है दिस बिल हेल्प स और हो आईटी हो आईटी इस हेल्प उस लेट आ पट डॉ समथिंग्स विच एक्चुअली वे बिल हेल्प स यूजिंग तो ये जब कोई बात हो रही है की कुछ स्टेप्स हैं इंवॉल्वड आ विच वे नीड इन टर्म्स ऑफ फाइंडिंग एब्सलूट मैक्सिमम और मिनिमम वालुज तो ये स्टेप नंबर वन है जी के फाइंड डी क्रिटिकल प्वाइंट्स ऑफ डी फंक्शन एफ इन दी ओपन इंटरवल अब दें स्टेप नंबर 2 इस डेट वैल्यू आईटी एफ आते जो डी क्रिटिकल प्वाइंट्स और दी और प्वाइंट्स ए और बी स्टेप नंबर थ्री इस डी लार्जेस्ट ऑफ डी वालुज और स्टेप तू इस डी मैक्सिमम वैल्यू ऑफ डी फंक्शन एफ ऑन डी क्लोज्ड इंटरवल अब और डी स्मालेस्ट इस दी मिनिमम ठीक है जी ये कुछ स्टेप्स हैं ये एक्चुअली टेक्स्ट में भी दी है आपको आप हमें भी देख सकते हैं बट अभी हमने भी देखें स्क्रीन पे इन स्टेप्स को हम फॉलो करेंगे तो वे कैन ऑलवेज फाइन एब्सलूट मैक्सिमम और मिनिमम वैल्यू ऑफ एन फंक्शन तो आई देखते हैं की एग्जांपल करते हैं और लेट सी हो वे उसे ही स्टेप्स तू फाइंड एब्सलूट मैक्स और एब्सलूट में एन ये शॉर्ट फॉर्म मैक्सिमम की और एब्सलूट मिनिमम की लेट लुक इन एग्जांपल एक चीज फंक्शन है आपके सामने ऐसा एफसी = 2x³ - 15x² + 36x डी क्वेश्चन इसे जो डी थिंक वे हैव तू डू विद दिस इस तू फाइंड डी मैक्सिमम और डी मिनिमम वालुज ऑफ दिस फंक्शन ऑन दी इंटरवल वन कोमा फाइव अच्छा अब यहां पे देखिए की क्या रिक्वायरमेंट फूल फाइल हो रही हैं जो थ्योरम हमने देखा बिल्कुल हो रही हैं थ्योरम में था जो अभी हमने थोड़ी डर पहले देखा इमीडियाटली थोड़ी डर पहले स्टेप्स से पहले वो उसमें एक रिटायरमेंट थी की फंक्शन कंटीन्यूअस होना चाहिए ओके ऑन व्हाट इंटरवल ऑन दी ओपन इंटरवल अब यहां पे क्लोज इंटरवल दिया है वन कोमा 5 ठीक है कोई बात नहीं हम इसको ओपन इंटरवल बना लेते हैं बाय एक्सक्लूडिंग वन और फाइव फ्रॉम बोथ दी और वे गेट दी ओपन इंटरवल वन कोमा 5 अब इस पे देखिए की जो फंक्शन दिया था ये कंटीन्यूअस है की नहीं है बिल्कुल है क्योंकि फंक्शन एक पॉलिनोमीयल फंक्शन है और पोलोनोमियल फंक्शंस की मजेदार बात ये होती है खूबसूरती उनकी की वो कंटीन्यूअस होते हैं ऑन दिल यू नो जिवन डोमेन तो यह कंटीन्यूअस है सेंटर ओपन इंटरवल पे तो अब हम चेक करते हैं की इसके एन मैक्सिमम वालुज कहां कर होती हैं मिनिमम वालुज ऑन को ढूंढते हैं तो देखिए की इसका तरीका यही है की सबसे पहले आप डेरिवेटिव मालूम कीजिए क्योंकि क्रिटिकल प्वाइंट्स पे कर करेंगे अगर मैक्सिमम और मिनिमम वालुज होगी तो एफ प्राइम ऑफ एक्स = 6x² - 3x + 30 + 36 = 0 ये आपका डेरिवेटिव वायरस फंक्शन का इसको आपने सेट किया एक 0 फैक्टर कीजिए तो आपके पास रिजल्ट आता है एक्स - 3 टाइम्स एक्स - 2 = 0 लिहाजा फ्रेम जो है वह जीरो होगा अगर एक्स बराबर है 2k या एक्स बराबर है 3k और मैक्सिमम या मिनिमम वालुज जो होगी वो इन दोनों प्वाइंट्स पे या एन प्वाइंट्स पे आकर करेंगे तो यह आप चेक कर लीजिएगा कहां पे हमने क्रिटिकल प्वाइंट्स निकालनी है की एक्स = एक्स = 3 और एन प्वाइंट्स को भी हम चेक कर लेते हैं की फंक्शन की वैल्यू कहां अगर करेगी मैक्सिमम होगी मिनिमम होगी तो आप चेक करके करना है की एन पॉइंट वन फाइव क्रिटिकल प्वाइंट्स तू और थ्री इनको आप इनपुट वैल्यू के तोर पे इस्तेमाल करें इन डी जिवन फंक्शन जो आपके पास बोलो नॉमिनल था और देख लीजिए की कौन सी सबसे बड़ी वैल्यू है कौन सी सबसे छोटी वैल्यू है और डेट फूल डेट थ्योरम गारंटीज डेट डीज आर डी ओनली प्लेस वेयर डी मैक्सिमम और एब्सलूट मैक्सिमम और एब्सलूट मिनिमम और कोई प्वाइंट्स देखने की जरूर नहीं है डेट वास वही वे नीड डेट यू नो आई आगे चलते हैं अच्छा अब ये कुछ समरी सी आप देख लीजिए एक एक्सट्रीम बिहेवियर जो होते हैं फंक्शंस के वो ऑन दी इंटरवल माइंस और फिर इंफिनिटी तू प्लस इंफिनिटी इसको थोड़ा सा हम समारीज कर लेते हैं लेट लुक आईटी दिस यहां पे ये देख लीजिए की ये ग्राफ एक टेबल सा है और इससे जाहिर हो रहा है की कुछ बिहेवियर है इनका या जिसको हम स्टडी कर सकते हैं आई बिल लेट यू लुक आते दिस पर एन तेल अच्छा जी तो यह आपका हो गया टेबल ऑफ समरी ऑफ एक्सट्रीम बिहेवियर यह टेक्सबुक में भी आपके उसमें भी देख सकते हैं आई थिंक दिस व सेल्फ एविडेंस के हो क्या ए रहे हैं यहां पे पॉइंट ये था की जब आपके फंक्शंस दिए होते हैं तो एक इंटरवल रियल नंबर लाइन पर उनका बिहेवियर कैसा होता है एक्सट्रीम बिहेवियर यानी मैक्स मिनिमम कैसे आ कर करते हैं कैसे हम डिसाइड कर सकते हैं ये क्लोज ये सेंट्रल पे था माइंस इंफिनिटी प्लस इंफिनिटी अभिनेता ओपन इंटरवल दिया हो यानी ए कॉम अभी तो उसे पे क्या होता है कैसा बिहेवियर होता है और फंक्शंस का उसका भी एक टेबल है वो भी देख लेते हैं ये आपके सामने टेबल है इसमें बेसिकली आपको बिहेवियर दिखाए जा रहा है ऑफ एक्सट्रीम बिहेवियर ऑफ फंक्शंस ओवर दे इंटरवल एक ओपन इंटरवल एक कोमा बी आई एग्जांपल करते हैं फिर तो लेट के रन एग्जांपल एक फंक्शन है लेफ्ट विकेट दिस फंक्शन डी फंक्शन = एक्स ^ 4 + 2x³ - 1 और इसको हमने आ इसकी मैक्सिमम मिनिमम बैलेंस मालूम करनी है ऑन डी इंटरवल माइंस इंफिनिटी तू प्लस इंफिनिटी दिस इस एन कंटीन्यूअस फंक्शन ऑन डी जिवन इंटरवल पॉलिनॉमियल आगे अगर आप अकॉर्डिंग तू डी टेबल्स वे से अगर आप इसका लिमिट लेख लेने आगे एक्स गोस तू प्लस इंफिनिटी तो रिजल्ट प्लस इंफिनिटी आता है और अगर आप इसका लिमिट ले या आज गोस तू माइंस इंफिनिटी डी रिजल्ट कॉम आउट तू बी प्लस इंफिनिटी सो डी फंक्शन एफ हज एन मिनिमम बट नो मैक्सिमम ऑन डी इंटरवल माइंस इंफिनिटी प्लस इंफिनिटी और ये बेसिकली एक आपके सामने एग्जांपल की हमने आ और इसमें यहां पे ये बात है की मिनिमम मास्टरकार्ड आते क्रिटिकल पॉइंट वो भी मालूम कर लेते हैं ये देखिए प्राइम इसका जो होगा वो होगा 4x³ + 6x² = 0 एक्स = 0 और एक्स = -3 1/2 करेंगे तो मिनिमम वैल्यू आएगी -43 ओवर 16 आते एक्स = -3 ठीक है जी ये आपका हो गया मैक्सिमम मिनिमम फंक्शंस की मिनिमम और मैक्सिमम वालुज ऑफ एन फंक्शन के बड़े में हमने बातचीत की अब इसको और देखते हैं अप्लाई करते हैं इस चीज को अप्लाई करके कीजिए अप्लाई करेंगे रियल लाइफ में प्रॉब्लम्स में तो कैसे इस्तेमाल की जाति है तो लेट गेट यहां पे जब अपलेइड मैक्सिमम मिनिमम वैल्यू उसकी बात होती है या इस तरह से हम कहते हैं तो हमारा मकसद था की व्हाट वे आर टॉकिंग अबाउट बेसिकली इट्स ऑप्शन यानी कुछ इंडस्ट्री में अगर आप हैं यूरिन अप्लाई मैथमेटिशियन या आप इंजीनियर हैं तो कभी-कभी आपको चीज ऑप्टिमाइज करनी होती है यानी लेबर की एफिशिएंसी आपको ऑप्टिमाइज करनी होती है ये आपको कॉस्ट अपना जो आप इनकार कर रहे हैं उसको मैक्सिमम मिनिमाइज करना होता है एन तो वो भी एक ऑप्टिमाइजेशन हो गई की कम से कम कॉस्ट में ज्यादा से ज्यादा प्रॉफिट ए जाए थॉट्स पार्ट ऑफ डी ऑप्शन प्रॉब्लम और कोई बात है की ये आइडिया शुड बी क्लियर डेट डीज रिक्वायर्ड फाइंडिंग मैक्सिमम और मिनिमम वालुज ऑफ पर्टिकुलर फंक्शंस तो कुछ एग्जांपल्स इसकी एनर्जी हो वे कैन अप्लाई डेम और रियल लाइफ अच्छा सबसे पहले हम ऐसी प्रॉब्लम्स करेंगे एप्लाइड मैक्सिमम मिनिमम वालुज की ये ऑप्शन की जिसमें एक फाइनाइट क्लोज्ड इंटरवल इंवॉल्वड होगा और उसके बाद बाकी चीज देखेंगे फाइनलाइज क्लोज इंटरवल एक बहुत ही प्रैक्टिकल सी चीज है रियल लाइफ में ऐसे ही फंक्शंस हमें मिलेंगे यानी फाइनल क्लोज इंटरवल से मिला दिए की जो आप फंक्शन मैक्सीममाइज करना चाहेंगे जिसकी मैक्सिमम वैल्यू मिनिमम वैल्यू मालूम करना चाहेंगे वो एक क्लोज इंटरवल पे क्लोज फाइनल इंटरवल पे डिफाइन होगा तो आई एग्जांपल करते हैं ये देखिए की इसमें एक यहां पे हमें जो प्रॉब्लम है वो है तू फाइंड डी डाइमेंशंस ऑफ ए रेक्टेंगल विथ पैरामीटर या मी 100 फिट हज एरिया इस आज बड़े एस पॉसिबल अभी सवाल बड़ा अजीब सा है की आपको पैरामीटर दिया हुआ है 100 फिट का और एक रेक्टेंगल बनाया आपने अब सवाल ये है की फाइंड एन इट्स डाइमेंशंस सच डेट आपकी जो है एरिया इसे एस लार्जेस्ट पॉसिबल तो थोड़ी डर के लिए तो एक तरह का ब्रेन में वो कहते हैं फ्यूज होता है ना फ्यूज उड़ जाता है की ये क्या सवाल है व्हाट इस गोइंग ऑन यह कहां सवाल पूछे इसमें तो मुझे पुरी इनफॉरमेशन ही नहीं मालूम हां मैं सपोज तू सॉल्व आईटी लेकिन क्यों ये इसलिए होता है क्योंकि अभी तक हमने ऐसी प्रॉब्लम्स अच्छी नहीं है लेकिन ये माने वाली बात है की डीज आर वेरी इंटरेस्टिंग प्रॉब्लम्स ये एक बड़ा अच्छा सवाल है की आप एक तरह से आपसे आउट ऑफ एन ओवर पूछ रहे हैं की जी लार्जेस्ट पॉसिबल एरिया है क्या तो अब हमारे पास ये टूल्स हैं वो टर्मिनोलॉजी है एन वो सारे वेपंस हैं जिसके जारी हम इंसान सवाल का हम जवाब दे सकते हैं तो इसको जरा अटेंप्ट करते हैं देखते हैं की हो वे अप्लाई व्हाट वे हैव सीन रियली सो फॉर तू दिस प्रॉब्लम क्वेश्चन है तू फाइंड डी डाइमेंशंस सो लेट से वे आर इन फाइव समथिंग वे से लेट एक्स इक्वल्स डी लेंथ ऑफ डी रेक्टेंगल इन फिट क्योंकि प्रीमीटर भी फिट में दिया हुआ है साथ ही में एन ए को हम कहते हैं आज डी विथ ऑफ डी रेक्टेंगल और फिट और लेट कल ए कैपिटल ए डी एरिया ऑफ डी रेक्टेंगल तो ये आपके कुछ हो गए आईडेंटिफिकेशंस कर लेने आपने के कौन-कौन सी चीज और फोड हैं जाहिर डाइमेंशंस की बात हो रही है डाइमेंशंस से मुराद है के रेक्टेंगल है रेक्टेंगल ऐसा होता है तो इसको इसकी एक लेंथ होती है एक विथ होती है तो ज्यादा थैंक्स और वाक्ड एरिया की बात हो रही है रेक्टेंगल का एरिया क्या होता है उसका फॉर्मूला क्या होता है सबसे पहले तो उसका फॉर्मूला होता है विद टाइम्स एन लेंथ तो यहां पे उसके हिसाब से हमारे पास फॉर्मूला आएगा एरिया = एक्स टाइम्स ए जहीर है वही चीज है हमने एक्स और ए को हमने आईडेंटिफाई किया था इस लेंथ और विथ रिस्पेक्ट तू आई थिंक वो हमने देखा था तो ये हमारे पास फॉर्मूला ए गया अब इसके साथ हमें कुछ करना है एरिया को मैक्स आईएमआईएस करना है ना सेंस है एरिया ऐसा मालूम करना है ऐसे ही डाइमेंशंस मालूम करनी है की एरिया एस बड़े एसपी पॉसिबल हो जाए यानी मैक्सिमाइज हो जाए तो लेट डू दिस आ ये देखें की इसमें पिरामिड की जो इक्वेशन आपको वैल्यू दी थी वो थी 100 फिट तो एक इक्वेशन यहां पे और बंटी है की 2x + 2y शुड इक्वल तू 100 फिट यहां पे एक फिगर भी है वो भी देख लीजिए इसके हिसाब से आप देख सकते हैं की एन पैरामीटर जो है वो 100 फिट जो है वो बराबर होना चाहिए 2x + 2y एक सिंपल सी इक्वेशन है इसको सिंपलीफाई करेंगे तो रिजल्ट आता है ए = 50 - एक्स तो ऑलरेडी आपके पास दो इक्वेशंस ए गई हैं एक तो ये ए गई है और एक पहले हमने एरिया की इक्वेशन अच्छी थी तो अब फॉक्स हमारा एरिया है और उसमें आप नोट करें एरिया में प्रॉब्लम ये इक्वेशन ए में की दो वैरियेबल्स हैं इट्स नोट एक्जेक्टली एन फंक्शन राइट नो उसमें डिपेंड्स ऑन तू वैरियेबल्स और वही अगर हम किसी तरह से एक वेरिएबल खत्म कर दें और बल्कि खत्म क्या करें मतलब उसको एक और दूसरा जो वेरिएबल है उसकी टर्म्स में ले आए तो हमारी जिंदगी काफी आसन हो जाएगी वही हम यहां पे करते हैं ए जो है एरिया के फार्मूले में उसकी जगह हम जो अभी हमने ए की वैल्यू मालूम की है पर मी की इक्वेशन से वो सब्सीट्यूट कर देते हैं तो लास्ट तू डेट आ ए की वैल्यू थी 50 - एक्स इसको एरिया वाले वायर में डालेंगे आप तो रिजल्ट आता है एरिया = एक्स * 50 - एक्स = 50x - x² अब ये जो रिजल्ट आया ये एक फंक्शन है ऑफ एक्स नो बेसिकली व्हाट यू गेट इस एन फंक्शन डेट थिंक इसे एन फंक्शन ऑफ एक्स यू हैव डिफाइंड डी एरिया ऑफ डी रेक्टेंगल आगे ए फंक्शन ऑफ एक्स विच इस वन ऑफ डी डाइमेंशंस ऑफ डी रेक्टेंगल गुड हम उल्टा भी कर सकते थे हम ए ए को ए के लिए सॉल्व करने की बजे पैरामीटर की इक्वेशन को एक्स के लिए कर सकते थे और वही प्रोसेस कर सकते थे जन मटर वो भी कर सकते हैं आप क्योंकि एक्स को हम आमतौर पर इस्तेमाल करते हैं तथा'एस वही आई एम डूइंग दिस अलसो लेट कंटिन्यू विद दिस प्रॉब्लम एन यहां देखें की एक्स जो है वो रिप्रेजेंट करता है एक लेंथ डायरेक्ट डी लेंथ ऑफ एन रेक्टेंगल सो जाहिर सी बात है आईटी कैन नोट बी नेगेटिव यानी लेंथ है तो हज तू बी पॉजिटिव ये हमने बात की थी जब डिस्टेंस वगैरा शुरू में बात की थी हेस तू बी एन पॉजिटिव वैल्यू तो एक्स के ऊपर ऑटोमेटिक क्लिक विच डिस्ट्रक्शन ए जाति है तो उनको देखते हैं वो क्या रिस्ट्रिक्शंस हैं आ देख लीजिए की सिंपल सी बात है की एक्स जो है वो जीरो या 50 के दरमियां होना चाहिए बेसिकली एक्स शुड बी लेफ्ट और ग्रेटर दें इक्वल तू जीरो और लेस डेन इक्वल तू 50 ये रिस्ट्रिक्शंस कहां से आई बिल लेट यू क ऑन दिस याद रखें एक्स इसे डी डाइमेंशन ऑफ डी रेक्टेंगल और वे नो डी प्रायर तो ऐसी डाइमेंशन हनी चाहिए एक्स जो रिमिटर को ना करें तो वहां से मैंने ड्राइव किया था इट्स एन गुड प्रॉब्लम पर यू तू वेलकम हम कंटिन्यू करते हैं इसको आप क्वेश्चन यह है की ऑफ फाइंडिंग डी मैक्सिमम ऑफ एन जिवन फंक्शन यानी एरिया जो था उसको हमने आगे एन फंक्शन ऑफ एक्स लिखा था ए = 50x - x² इसको मैक्सिमाइज करना है इसका हमें लार्जेस्ट पॉसिबल करना है इसको ऑन दी इंटरवल जीरो कोमा 50 0 कोमा 50 यहां से आया है क हमने जो रिजेक्शन देखिए अभी एक्स के ऊपर अब हम ये देखते हैं की सोफे व्हाट वे हैव सीन डी मैक्सिमम मस्त अकर आते डी और प्वाइंट्स ऑफ दी इंटरवल या इसको वहां पर जो क्रिटिकल प्वाइंट्स होते हैं फंक्शन के वहां पर करना चाहिए तो डेरिवेटिव यहां पे मालूम करना है एन पॉइंट से पता है जीरो और 50 ग्रेविटेशन मालूम करते हैं एरिया का क्रिटिकल प्वाइंट्स ए जाएंगे सो लेट डू डेट क्रिटिकल प्वाइंट्स है जी डेरिवेटिव है इसका 50 - 2x = 0 सेट करें इसको जीरो के बराबर तो इससे रिजल्ट आता है एक्स को 25 अब यहां पे अगर आप सब्सीट्यूट करें एक्स = 0 एन एक्स = 25 और एक्स = 50 * डी फंक्शन ए ऑफ एक्स जो अभी थोड़ी डर पहले हमारे पास था तो आप देख लेंगे उसमें से तीनों ऑब्जरवेशन में से नोट कीजिएगा की मैक्सिमम जो एरिया आता है वो आता है 625 आते डी पॉइंट एक्स = 25 लिहाजा मैक्सिमम लार्जेस्ट पॉसिबल एरिया जो है वो है 625 स्क्वायर फिट स्क्वायर फिट तो नहीं यानी फिट जो भी एक होते हैं इनकी डाइमेंशंस इट्स डी लार्जेस्ट वैल्यू 625 कर्स आते डी पॉइंट एक्स = 25 यानी जो लेंथ है वो 25 हनी चाहिए तो तब आपका एरिया मैक्सिमाइज होता है लार्जेस्ट पॉसिबल एरिया ये हमने कोई थ्योरम लगाएं एन जो हमने फंक्शंस को मैक्सिमाइज करने के लिए किया थे अब यहां पे हम अगर इसी एक्स वैल्यू का इस्तेमाल करें 25 और कॉरस्पॉडिंग ए की वैल्यू मालूम करें वो भी 25 आई है जो हमने इक्वेशन मालूम की थी ए = कुछ थी थोड़ी डर पहले हमने अच्छी थी तो उसके हिसाब से हमारे पास ए की वैल्यू भी 25 ए जाएगी आप देख लीजिए और इसे जाहिर होता है की जो मैक्सिमम लार्जेस्ट एरिया पॉसिबल होगा वो एक स्क्वायर का होगा विथ डाइमेंशंस 25/25 फिट तो ये एक बड़ी अच्छी प्रॉब्लम थी एप्लाइड प्रॉब्लम दिस इस हो वे उसे डीज थिंग्स और दें इंडस्ट्री अलसो जहां पे हमें ये फार्मिंग करनी है वो किसी जगह तो डीज किड ऑफ प्रॉब्लम्स तू एन करण और डी हेल्प ऑफ आउट अच्छा तो यह एग्जांपल हो गई अब एक एग्जांपल और कर लेते हैं ये जो प्रॉब्लम्स होती हैं एडमिरेशन की आप लाइव मैक्सिमाइज मैक्सिमम और मिनिमम वालुज की बहुत इंटरेस्टिंग होती है और इसको एक एग्जांपल और कर लेते हैं थ्रू थोड़ी सी ज्यादा प्रैक्टिकल है तो आई इसको देखते हैं एग्जांपल है जब और ओपन बॉक्स तू बी मेड फ्रॉम ए 16 इंच बाय 30 इंच पीस ऑफ कार्डबोर्ड बाय कटिंग आउट स्क्वेयर्स ऑफ इक्वल साइज फ्रॉम डी फोर कॉर्नर्स और बेंडिंग अप डी सीड्स व्हाट साइज सोल्ड डी स्क्वेयर्स बी तू ऑब्टेन ए बॉक्स विद लार्जेस्ट पॉसिबल वॉल्यूम अच्छा थोड़ी डर के लिए तो आप परेशान हो गए होंगे की हुआ क्या व्हाट वास डी क्वेश्चन समझना के लिए अभी थोड़ी डर में फिगर भी देख लेते हैं लेकिन इसका बेसिक कॉन्सेप्ट यह है की जो जूते अगर आप कभी खरीदे हैं मार्केट से जाके तो जो शो बॉक्स होते हैं जूते के जो डब्बे होते हैं वो बेसिकली यहां पे हमने बनाना है एक कार्डबोर्ड पीस से और जाहिर है अगर कार्डबोर्ड पीस है मिसल के तोर पे मेरे पास ये पेपर है यह कार्डबोर्ड पीस है अगर मैं साल के तोर पे इस पे कुछ मैच की हुई है नोट्स लेकिन लेट टेक नोट डेट हमें ये करना है की हमें इससे डब्बा बनाना है तो डब्बा बनाने के लिए हमें ये कॉर्नर्स काटने पढ़ेंगे यहां से दो और यहां से ऐसे करके कर स्क्वायर [संगीत] तो यह कैसे करेंगे इसको अब बात यह है की इसका जब हम करेंगे इस तरह से तो वे शुड गेट ए बॉक्स विद डी लार्जेस्ट पॉसिबल वॉल्यूम वॉल्यूम होता है जो आप डब्बा जब बनाएंगे उसके अंदर जो गहराई है तो वो कितनी सबसे ज्यादा गहराई हनी चाहिए ताकि वो मैक्सिमम चीज हॉल कर सके तो ये हमें करना है तो आई इसको देखते हैं कैसे करते हैं कुछ आईडेंटिफिकेशंस करते हैं चीजों की आ इसमें ऐसा करते हैं की एक सबसे पहले एक फिगर बनाते हैं होना क्या करना क्या है ये आपके सामने फिगर है इसमें आप देख लीजिए की आपको कॉर्नर्स काटना है जैसे मैंने अभी आपको बताया था और इसको फोल्ड करके डिब्बा बनाना है और यहां पे कहते हैं जी के लेट से डेट एक्स = लेंथ ऑफ डी स्लाइड सीड्स ऑफ डी स्क्वायर्स तू बी कट आउट यानी वो वाली साइड वो वाले स्क्वायर जिनको आप काटेंगे उनकी साइड है उसको कहते हैं एक्स वे जो है उसको वॉल्यूम कर लेते हैं ऑफ डी रिजल्टिंग बॉक्स था यू गेट और डी पॉइंट इसे तू मैक्सिमम दी वॉल्यूम ऑफ दिस बॉक्स तो ये जब सिचुएशन है और इसको अब हमें इसमें से आप कहानी से फंक्शन एक तो हमें सबसे पहले लाना है तो वो कैसा आएगा उसको हम देखते हैं अभी कैसे करेंगे एन एक फंक्शन बनाना है और जहीर है हमें वॉल्यूम मैक्सिमम करना है तो वॉल्यूम का एक फंक्शन बनाना है किसी तरह से ताकि उसको फिर हम डिफरेंशिएट करें उसका ड्राइवेटिव मालूम करके क्रिटिकल प्वाइंट्स मालूम करें और प्वाइंट्स क्या हैं वगैरा वगैरा जैसे पहले किया था वो करना है तो आई इसको करते हैं यहां देखें की आईएफ वे कट आउट डी स्क्वायर्स फ्रॉम डी फोर कॉर्नर्स ऑफ डी कार्डबोर्ड एक्सक्यूज मी आ डी रिजल्टिंग बॉक्स बिल हैव डाइमेंशंस 16 - 2x / 30 - 2x यह कैसे हुआ यह सिंपल सी बात है की शुरू में 16/13 इंचेज का आपके पास बॉक्स था आपने लंबाई अगर इसकी 16 थी आ लंबाई इतनी इसकी चौड़ाई जो होगी 16 होगी तो आपने एक एक्स वालुज के यहां से काटा एक्स और ऐसे काटा तो टोटल एक यहां से एक्स की यहां से माइक डर खत्म हुई है यानी अगर ये पेपर है मेरे पास ये कार्डबोर्ड है ये लेंस जो है ये 16 है इतना मैंने स्क्वायर बना के कैट दिया तो ये जो लंबाई है ये यहां से खत्म हो गई है 16 ये टोटल थी ये मैंने माइंस कर दी तो आई गेट 16 - एक्स राइट लेकिन एक और यहां से भी काटा है नीचे से तो आई गेट 2x 2 एक्सिस हैं जो मैंने निकाल दिए थॉट्स वही आई गेट 16 - 2x सिमिलरली अगर यहां पे 30 इंच इसकी चौड़ाई थी या चलेंगे चौड़ाई थी लंबाई यहां से भी इतना ही एक्स यहां से निकलेगा स्क्वायर काटें तो ये इधर लंबाई ये भी 32x होगी यहां से भी एक्स होगी यू गेट 30 - 2x तो थॉट्स हो वे गेट डी रिक्वेस्ट और अब इसमें से हमें देखते हैं वॉल्यूम का फंक्शन कैसे मालूम करते हैं यहां पे एक फिगर भी है आपके सामने देख लीजिए की हो क्या रहा है जो मैंने अभी थोड़ी डर पहले एक्सप्लेन किया है साथ ही में देखें की डी वॉल्यूम ऑफ डी बॉक्स इस डी प्रोडक्ट आ डाइमेंशंस ऑफ डी बॉक्स डेट यू गेट आते दी और सो वे गेट सो बेसिकली डेट थिंक इसे इक्वल तू वॉल्यूम इक्वल्स लेंथ टाइम्स विथ टाइम्स हाइट आ इसकी जो लेंथ होगी वो होगी 16 - 2x या विथ का लीजिए और जो वेट लेंथ होगी वो होगी 30 - एक्स और जो हाइट होगी बॉक्स की वो एक्स होगी खाली क्योंकि एक्स जो है वो जवाब काटते हैं x² एक्स डाइमेंशन का एक्स लेंथ और वेट का आ ओरिजिनल कार्डबोर्ड से इस को आप फोल्ड करके ऊपर उठाएंगे तो आपके पास हाइट ए जाएगी एक्स इसको मल्टीप्लाई करें तो फंक्शन आता है 480x - 92x² + 4x³ और यहां पे एक्स पे एक रिस्ट्रिक्शन है जिसको आप फिगर आउट कर लीजिए कैसे आई मैं आपको बता देता हूं एक्स शुड बी बिटवीन जीरो और आईटी ये आपकी आपका फंक्शन ए गया वॉल्यूम का अब इसको मैक्सिमाइज करना है तो लेट फाइंड डेरिवेटिव और प्वाइंट्स तो पता है जीरो और आते और द्रविड़ से मालूम करें क्रिटिकल प्वाइंट्स भी मालूम कर लेते हैं तो इसके जब ग्रेविट है 480 - 184x + 12x² = 0 और डेट गिव्स यू डी क्रिटिकल प्वाइंट्स एक्स = 10 ^ 3 और एक्स = 12 बिकॉज़ एक्स = 12 इस नोट इन डी इंटरवल जीरो आते रिमेंबर डेट एक्स के हमने डिस्ट्रक्शन राखी थी की जीरो रेट के इंटरवल में होना चाहिए क्लोज इंटरवल में तो हम इसको इग्नोर कर देते हैं जहीर है 12 से बाहर है सो वे इग्नोर आईटी और नो वे चेक दी वॉल्यूम फंक्शन आते दी एन प्वाइंट्स और डी अदर रिमेनिंग क्रिटिकल पॉइंट विच इस 10 / 3 ये आप कर लीजिए तो आप देखेंगे की मैक्सिमम वैल्यू इस फंक्शन की आई है वी = 196 आ 19600 / 27 विच इस डी मैक्सिमम वैल्यू और डेट एक्रॉस आते एक्स = 10 / 3 ठीक है जी तो ये आपका एन हो गया इसका रिजल्ट इसमें आपके पास मैक्सिमम वैल्यू ए गई मैक्सिमम ए गया वॉल्यूम का इस डिब्बे का तो ऐसा आ जो आपने बॉक्स बनाया उसका मैक्सिमम वॉल्यूम यह था और उसकी क्रिटिकल प्वाइंट्स पे एक क्रिटिकल पॉइंट पे ये वैल्यू अगर की थी तो ये जब आपका आज का लेक्चर यहां पे हम खत्म करते हैं अच्छा इसमें ये है की हमने कहा था शुरू में की जी आ अप्लाई मैक्सिमम मिनिमम प्रॉब्लम्स करेंगे तो हम क्लोज फिनिटी इंटरवल पे करेंगे और उसके बाद ओपन इंटरवल भी करेंगे ओपन इंटरवल को ऐसा करते हैं की हम एक्सरसाइज के तोर पे छोड़ देते हैं वो थोड़ा सा आसन नहीं होते हैं बल्कि क्योंकि उसमें डाइमेंशंस पे कोई रिस्ट्रिक्शन की जरूर नहीं होती तो वो मेरे हाथ से आप लोग कर लीजिएगा जहीर है अभी होमवर्क प्रॉब्लम्स हैं इसमें आ लेक्चर की असाइनमेंट तो आप वो कीजिएगा तो यू बिल सी डेट डोज आर नोट तू डिफिकल्ट जो उसमें बस रिस्ट्रिक्शंस नहीं होती है फंक्शन पे बाकी सब वही बात होती है तो ये जब आजकल लेक्चर यहां पे खत्म हुआ आ आज हमने मेरे हाथ से काफी मजेदार बात है की बड़ी एप्लाइड किम की आई होप थोड़ी सी अप्रिशिएसन और बाढ़ गई होगी आपके जहां में कैलकुलस के लिए की ये कितनी अप्लाई साइंस है एप्लाइड मैथमेटिक्स है तो इसको जरा और से पढ़िएगा आ सर यू डू डेट एक्चुअली एवं लेकिन आ वही बात है की होमवर्क करते रहिए और कोई प्रॉब्लम हो तो यू कैन ऑलवेज आस्क थैंक यू आई बिल सी यू नेक्स्ट टाइम अल्लाह ऑफिस