Regels voor Differentiëren

Inleiding

• Differentiëren betreft het bepalen van het voorschrift van de afgeleide functie ( f'(x) ) op basis van het functievoorschrift voor ( f ).
• Differentiëren is een lineaire operatie: de som of het verschil van functies en vermenigvuldiging met een constante factor worden direct doorvertaald naar de afgeleide.

Belangrijke Regels

Productregel

• Voor functies in de vorm ( f(x) = g(x)h(x) ): [ f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) ]

Quotientregel

• Voor functies in de vorm ( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} ): [ f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2} ]

Kettingregel

• Voor samengestelde functies in de vorm ( f(x) = g(h(x)) ): [ f'(x) = g'(h(x))h'(x) ]

Voorbeeldberekeningen

Afgeleide van ( f(x) = x^2 + \sin x )

• Afgeleide van ( x^2 ) is ( 2x ).
• Afgeleide van ( \sin x ) is ( \cos x ).
• Resultaat: ( f'(x) = 2x + \cos x ).

Gebruik van de Productregel

• Voor ( f(x) = x^2 \sin x ):
  • ( g(x) = x^2 ), ( g'(x) = 2x ), ( h(x) = \sin x ), ( h'(x) = \cos x ).
  • Resultaat: ( f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x ).

Gebruik van de Quotientregel

• Voor ( f(x) = \frac{x^2}{\sin x} ):
  • Resultaat: ( f'(x) = \frac{2x \sin x - x^2 \cos x}{\sin^2 x} ).

Gebruik van de Kettingregel

• Voor ( f(x) = (\sin x)^2 ):

  • Ketting: ( f(x) = g(h(x)) ) met ( h(x) = \sin x ) en ( g(u) = u^2 ).
  • Resultaat: ( f'(x) = 2 \sin x \cos x ).

• Voor ( f(x) = \sin(x^2) ):

  • Omgekeerde ketting: ( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x ).

Complexere Voorbeelden

• Voor ( f(x) = (x^3 + 5x + 1)^2 ):
  • Hoewel de haakjes kunnen worden weggewerkt, is het eenvoudiger de kettingregel toe te passen:
  • Resultaat: ( f'(x) = 2(x^3 + 5x + 1)(3x^2 + 5) ).

Conclusie

• Differentieerregels zoals de productregel, quotientregel en kettingregel zijn essentieel voor het bepalen van afgeleiden van complexe functies.
• Het toepassen van de juiste regel maakt het oplossen van differentieerproblemen overzichtelijker en efficiënter.