Appunti sulla lezione di variabili aleatorie

Introduzione alle variabili aleatorie

• Richiamo dei concetti principali sulle variabili aleatorie (VA).
• Se non chiari, consultare i testi utilizzati nel corso di probabilità.
• Le variabili aleatorie sono funzioni che mappano uno spazio di probabilità in numeri reali.

Definizione di variabile aleatoria (VA)

• Sintetizzata come VA.
• Introduzione all'idea di VA come esperimento probabilistico.

Esempio di variabili aleatorie

• Acquisto di due componenti elettronici:
  • Ciascuno può essere accettabile (A) o difettoso (D).
  • Probabilità: P(A) = 0.7, P(D) = 0.3.
  • Possibili esiti:
    • AA (0.49)
    • AD (0.21)
    • DA (0.21)
    • DD (0.09)
• VA associata al numero di componenti funzionanti:
  • Possibili valori: 0, 1, 2.
  • Probabilità:
    • P(0) = 0.09
    • P(1) = 0.42
    • P(2) = 0.49

Aspettare l'autobus

• Esempio: autobus passa ogni 12 minuti.
• Variabile aleatoria X: tempo di attesa.
  • Risultati possibili: [0, 12] minuti.

Distribuzione della variabile aleatoria

• Importanza della distribuzione di una VA.
• Funzione di ripartizione F(x):
  • Associa a ogni numero reale un valore nell'intervallo [0, 1].
  • Definizione: F(x) = P(X ≤ x).
• Proprietà:
  • F(x) tende a 0 per x → -∞.
  • F(x) tende a 1 per x → +∞.
  • F(x) è non decrescente.

Calcolo delle probabilità con la funzione di ripartizione

• Probabilità in un intervallo [a, b]:
  • P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a).
• Differentiabilità e continuità della funzione di ripartizione.

Tipi di variabili aleatorie

1. Variabili aleatorie discrete:

   • Assumono un insieme numerabile di valori.
   • Esempio: numero di componenti accettabili.
   • Definizione della distribuzione: P(X = xi).

2. Variabili aleatorie continue:

   • Assumono valori in un intervallo.
   • Funzione di densità f(x):
     • P(a < X ≤ b) = ∫[a,b] f(x) dx.

Relazione tra densità e funzione di ripartizione

• La funzione di ripartizione è la primitiva della densità.
• Integrazione per ottenere la densità dalla ripartizione.

Variabili aleatorie doppie

• Introduzione a variabili aleatorie doppie (X, Y).
• Distribuzione congiunta e funzione di ripartizione congiunta F(x, y).
  • Calcolo delle probabilità per rettangoli nel piano.
• Marginali delle variabili aleatorie indipendenti.

Esempio di variabili aleatorie doppie

• Densità uniforme in un quadrato 0-1.
  • Verifica della densità e calcolo delle marginali.

Conclusioni

• Importanza della comprensione delle variabili aleatorie sia discrete che continue per applicazioni pratiche.
• Preparazione per la prossima lezione martedì.