Lösen von linearen Gleichungssystemen mit dem Gauss-Algorithmus

Einführung

• Ziel: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbekannten
• Der Gauss-Algorithmus kann auch auf größere Systeme angewandt werden
• Drei Beispiele werden behandelt:
  1. Eine Lösung
  2. Keine Lösung
  3. Unendlich viele Lösungen
• Fokus auf Schritt-für-Schritt-Vorgehen

Der Gauss-Algorithmus - Schritt für Schritt

Schritt 1: Sortieren

• Variablen sollten in jeder Gleichung in derselben Reihenfolge stehen (z.B. x, y, z)
• Auf den rechten Seiten der Gleichungen sollten nur noch Zahlen stehen
• Falls nötig, Gleichungen entsprechend umformen

Schritt 2: Einträge eliminieren

• Ziel: Einträge in der zweiten und dritten Zeile unter dem ersten Element (x) zu nullen
• Verwenden der ersten Zeile zur Eliminierung der markierten Einträge
• Beispiel:
  • Eintrag 5x in der ersten Zeile und 2x in der zweiten Zeile: Vielfaches suchen (10), beide Gleichungen darauf multiplizieren und subtrahieren
  • Gleiches Verfahren für die dritte Zeile

Schritt 3: Weitere Einträge eliminieren

• Ziel: Eintrag in der dritten Zeile unter dem zweiten Element (y) zu nullen
• Verwenden der zweiten Zeile zur Verrechnung
• Beispiel:
  • 15y und 5y in der dritten und zweiten Zeile: Vielfaches suchen (15), Verrechnung durchführen

Schritt 4: Rücksubstitution

• Gleichungssystem ist in Zeilen-Stufen-Form
• Lösungen aus dem umgeformten System ablesen
• Von unten nach oben: z bestimmen, dann y, dann x
• Beispiel:
  • Dritte Zeile: z isolieren, lösen
  • Zweite Zeile: y isolieren, unter Einsetzen von z lösen
  • Erste Zeile: x isolieren, unter Einsetzen von y und z lösen

Besondere Fälle

Keine Lösung

• Widerspruch im System (z.B. 0 = 2)
• Keine Lösung: Lösungsmenge ist die leere Menge

Unendlich viele Lösungen

• Wahre Aussage ohne Variablen (z.B. 0 = 0)
• Eine oder mehrere Variablen sind frei wählbar
• Beispiel:
  • Eine Gleichung nach einer Variablen umstellen
  • Frei wählbare Variable (z.B. z) sorgt für unendlich viele Lösungen
  • Lösungsmenge: Parameterdarstellung verwenden, z durch einen Parameter (z.B. t) ersetzen

Zusammenfassung

• Der Gauss-Algorithmus ist ein systematisches Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen
• Unterscheidung der Fälle: Eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen
• Wichtig: Sorgfältige Umformung und Prüfung auf Widersprüche oder unabhängige Aussagen

Abschluss

• Anleitung bietet eine Basis für die Anwendung auf andere lineare Gleichungssysteme
• Fragen und Diskussionen sind willkommen
• Ausblick auf weitere Lernvideos