Heute geht's um Vektorräume. Was ein Rotz. Um das Video hier zu checken, solltet ihr auf jeden Fall schon wissen, wie das mit Gruppen, Funktionen und Körpern so funktioniert.
Weil da drauf baut der ganze kranke Shit auf. Nochmal ne kurze, kurze Wiederholung zu Gruppen. Weil da mit Vektorräume später auch definiert werden.
Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung. Die Verknüpfung bildet zwei Mengenelemente wieder auf ein Mengenelement ab. Das nennt man auch Abgeschlossenheit. Außerdem ist die Verknüpfung assoziativ.
Ein neutrales Element der Verknüpfung gibt es auch. Und zuletzt hat zu jedem Mengelelement auch ein Inverses. Wenn ihr die Reihenfolge vertauschen könnt, ist die Verknüpfung kommutativ. Und dann ist die Gruppe abelsch.
Klar, wusstet ihr alle noch, ne? Wenn es komplett fremd ist, einfach unser Video zu Gruppen reinziehen. Wisst ihr auch noch alle, was eine Funktion nochmal ist?
Eine Funktion bildet von der Definitionsmenge x auf die Zielmenge y ab. Jedes x aus der Definitionsmenge wird auf den Funktionswert f von x abgebildet. Und der ist ja Element aus der Zielmenge. Warum das wichtig ist, seht ihr jetzt.
Aber weil das so richtig mega staubtrocken wäre ohne Beispiel, machen wir eins parallel. Man nimmt eine Menge v und dann noch zwei Verknüpfungen. So ein Plus mit Kringeltrum. und einmal mit Kringel drum.
Zusätzlich zum Vektorraum braucht man immer noch einen Körper. Jeder Vektorraum ist, Vorsicht, Mathe-Deutsch, über einem Körper aufgebaut. Die Menge V enthält die ganzen Vektoren. Und damit man den Körper weiß, nennt man den Vektorraum, Achtung, K-Vektorraum über den Körper K. Klingt beknackt, ist es auch.
Deshalb gleich das Standardbeispiel, das ihr alle kennt. Der dreidimensionale Raum. Als Menge V nimmt man den R3.
Als Körper dazu einfach die reellen Zahlen. Jeder Vektor hat da drin drei Komponenten, die irgendwelche reellen Zahlen sein können. Das sind dann die ganz normalen Dinge, die ihr aus der Schule kennt.
Was hat es jetzt mit den Kringelteilen auf sich? Das Plus mit Kreis nimmt man und definiert eine erste Abbildung damit. Dazu bildet man erstmal das kathesische Produkt aus der Menge V. V mit sich selber.
Falls ihr keine Ahnung habt was das ist, einfach unsere Videos zum kathesischen Produkt anschauen. Jetzt hat man ja ne Menge V Kreuz V. Jedes Zeil in der Menge ist so ne Klammer mit zwei Vektoren drin. Dann bildet man mit dem Plus die zwei Vektoren auf die Summe von beiden ab. Weil die Vs Vektoren sind, nennt man das Plus mit Kringel drum Vektoraddition.
So gucken wir das in unserem bekannten Vektorraum aus der Schule an. Ihr schnappt euch zwei Vektoren, also zum Beispiel 1,2,3 und 4,5,6. und schreibt zwischen die das Plus. In unserem Beispiel definieren wir unser Plus mit Kringel, wie ihr es aus der Schule kennt. Die Komponenten mit dem normalen Plus zusammenrechnen.
Könnte sein, dass euch gerade eine Sache wundert. Warum schreiben wir für die stinknormale Vektoraddition überhaupt einen Kringel außenrum? In der Schule machen die das doch auch nicht. Weil die faul sind. Wir machen es weiterhin, damit man den Unterschied zwischen dem Vektorplus und dem Zahlenplus sieht.
So, machen wir weiter mit dem Mal und dem Kringel drum. Damit wir so eine ähnliche zweite Abbildung definiert. Da wird jetzt euer Körper wichtig zum Vektorraum. Man bildet nämlich diesmal das kathesische Produkt aus dem Körper und der Vektormenge.
Da hat man jetzt lauter Klammern mit nem Körperelement und nem Vektor drin. So ein Körperelement nennen die auch Skalar, wenn sie von Vektorräumen reden. Und die werden jetzt mit dem Mal auf das Produkt aus beiden abgebildet. K ist ja im Mathe-Deutsch ein Skalar, V ein Vektor. Und V nehmt ihr mit K mal.
Deshalb heißt das Mal skalare Multiplikation. Machen wir es wieder mit unserem Beispiel mit den Vektoren aus der Schule. Diesmal schnappt ihr euch ein Skalar aus dem Körper, also irgendeine reelle Zahl.
So. Zum Beispiel 5. Und dann schnappt ihr euch noch einen Vektor. Zum Beispiel 1, 2, 3. Und dazwischen kommt das Mal mit Kringel. Das Mal wird standardmäßig auch so definiert, wie ihr es schon kennt. Jede Komponente mal die Zahl.
Natürlich wieder Kringel drum, um die Mals zu unterscheiden. Wie immer, damit der ganze Shit ein K-Vektorraum ist, braucht es wieder mal paar Bedingungen. Die erste Bedingung sind gleich mal 4 Bedingungen auf einmal.
Kurz. Die Menge V muss mit dem Plus eine Abelsche Gruppe bilden. Also auf jeden Fall.
Fall mal abgeschlossen sein. Dazu kommen aber noch die vier anderen Bedingungen für eine Abelsche Gruppe. Erstens, das Plus muss assoziativ sein. Ihr könnt also beim Vektor zusammenzählen Klammern setzen, wie ihr wollt.
Mit unserer Definition vom Vektor Plus ist das völlig logisch wie in der Schule. Wo ihr eure Klammern setzt, ist wurscht. Es kommt auf beiden Seiten dasselbe raus. Dann, es soll ein neutrales Element geben bei der Addition.
Also ein Vektor Plus E gibt wieder den Vektor und andersrum. Warum das wieder E heißt? Logo.
In unserem Beispiel ist das der Nullvektor. Den können wir auf jeden Vektor drauf addieren und es kommt wieder der Vektor raus. Drittens, jeder Vektor hat auch ein Inversus mit dem Plus. Zusammengezählt soll das das neutrale Teil geben. Auch wieder wie ihr es in der Schule schon gemacht habt.
Gerade das Negative zum Vektor dazuzählen gibt 0, 0, 0. Und das haben wir ja gesagt, ist unser neutrales Element E. Und damit es eine Abelsche Gruppe ist, Kommutativität. Die Reihenfolge muss also wurscht sein. V1 plus V2 ist gleich V2 plus V1. Logo, Reihenfolge ist bei den Vektoren aus der Schule ja auch egal. Damit haben wir die Bedingungen für die Abelsche Gruppe abgehakt.
Es geht aber weiter. Nr. 5, das Mal mit dem Kringel und das Plus mit dem Kringel soll man ausmultiplizieren können. Also, ein Skalar aus dem Körper mal die Summe aus zwei Vektoren soll das gleiche sein wie der Skalar mal der erste Vektor plus der Skalar mal der zweite Vektor. Schauen wir mal, ob es bei unserem Beispiel gilt. Eine Zahl mal eine Summe aus zwei Vektoren können wir erstmal wie wir es kennen aufschreiben.
Das können wir dann quasi im Vektor ausmultiplizieren. Und das können wir jetzt wieder auseinanderziehen. Top, passt auch.
Genauso soll man auch das Zahlplus mit dem Vektorraum ausmultiplizieren können. Also zwei Zahlen addiert und das mit einem Vektor mal genommen. soll man auch ausmultiplizieren können. Klar, wieder am Beispiel.
5 plus 6 und das mal den Vektor 1, 2, 3. Erstmal setzen wir wieder ein. Da wieder ausmultiplizieren. Und das wieder auseinanderziehen. Also passt das auch.
Endspurt, die letzten beiden. Das gleiche wie mit dem Zahlplus soll jetzt auch mit dem Zahlenmal gelten. Entweder man nimmt zuerst beide Zahlen mal und das haut man vor den Vektor. Oder man klatscht erst die eine Zahl vor den Vektor und dann die andere. Haut das bei unserem Beispiel hin.
hin? Zuerst mal einsetzen wieder. In welche Reihenfolge ich Zahlen mal nehme, ist ja egal. Und wenn wir das wieder umschreiben, sehen wir, ja, gilt hier auch. Endlich dann letzte Teil.
Die Neutralität vom neutralen Element im Körper. Wenn ihr euren Vektor mit dem neutralen Element vom Körper mal nehmt, soll einfach wieder der Vektor rauskommen. Und dass das beim Beispiel gilt, wisst ihr ja alle. Einmal ein Vektor ist gleich der Vektor. Boah, shit, Alter, ganz schön viel.
Wenn es so schnell mit den Beispielen geht. gegen einfach Pause drücken. Die sind ziemlich einfach, die versteht ihr, wenn ihr sie nur kurz anguckt.
Damit ihr das aber testen könnt, ob ihr es verstanden habt, kommt ihr zum Video, in dem wir testen, ob irgendwas ein Vektorraum ist. Und weil dat ganze so ne kackblöd lange Definition von den Mathefuzzis war, halten wir uns heute kurz. Ciao.