हेलो एनवीएस व्हाट्स अप क्या हाल चाल है सबके एक बार फटाफट चैट में बता दो यस कौन-कौन आ चुका है एक बार चेक कर लेते हैं ठीक है फिर फटाफट से स्टार्ट करेंगे आज का जो वन शॉट हम करने वाले दैट इज एक ऐसा चैप्टर जो आई थिंक बहुत लोगों को बहुत रूल आता है ठीक है कॉम्प्लेक्शन यह चैप्टर कोई बहुत ज्यादा मुश्किल चैप्टर नहीं है हम आज बनाने वाले हैं ठीक है तो डेफिनेटली आपको मजा आएगा कॉम्प्लेक्शन को एकदम चिंदी बना देंगे आपसे सारे के सारे क्वेश्चन सॉल्व हो जाएंगे डेफिनेटली आप ये जो वन शॉट है उसको आप एंड तक देखना ठीक है एकदम बेसिक से एडवांस हम सब कुछ कवर करने वाले हैं ठीक है एकदम बेसिक से स्टार्ट करेंगे जो 11 स्टैंडर्ड वाले बच्चे हैं इनफैक्ट वो भी इसको फॉलो कर सकते हैं ठीक है तो डेफिनेटली मतलब एकदम चिंदी बनाएंगे कॉम्प्लेक्शन है वो आप डेफिनेटली देखना एंड तक अगर आप देखोगे तो आई कैन गारंटी यू कि आपसे सारे के सारे क्वेश्चंस भी सॉल्व होने स्टार्ट हो जाएंगे जेई मेन और एडवांस लेवल के ठीक है तो डेफिनेटली स्टार्ट करते हैं ठीक है कौन-कौन आ चुका है एक बार चैट में बता दो फटाफट से यार लाइक का बटन दबा दो एंड फिर स्टार्ट करते हैं कॉम्प्लेक्शन काफी इंटरेस्टिंग चैप्टर है है ना कॉम्प्लेक्शन हम इसको काफी अच्छे से यहां पे डिटेल में स्टडी करने वाले हैं है ना किस तरह के क्वेश्चंस इनफैक्ट जो रिसेंट ईयर क्वेश्चंस है ना उसको भी हम डिकोड करने वाले हैं कि भाई आजकल किस तरह के क्वेश्चन है जो ट्रेंड में है बहुत पुराने पुराने जमाने के क्वेश्चंस आप करोगे तो वो तो फिर अब एक्सपायरी डेट वाले हो गए ठीक है तो ओबवियसली आपको यहां पे जो रिसेंट ईयर क्वेश्चंस है जो 2021 में ऑलरेडी आए थे है ना उस तरह के क्वेश्चंस आपको यहां पे ज्यादा प्रैक्टिस करने की जरूरत है तो एगजैक्टली हम यही सारी चीजें डिस्कस करेंगे है ना बीच-बीच में अ दो-तीन शॉर्टकट भी है तो मैं आपको बता दूंगा जैसे आर्गुमेंट निकालने का शॉर्टकट होता है बहुत सारी चीजें है ठीक है तो एक-एक करके डिस्कस करेंगे यस कितने घंटे का होगा अच्छा तुम आते ही मतलब पहले कि कितने घंटे का होगा तो यार इसका कुछ एप्रोक्सीमेटली आप मान के चलो पाछ घंटे का टाइम तो लगेगा है ना अप्रॉक्सिमेट्स यू कैन अजूम है ना काफी लंबा सा चैप्टर है इसमें अगर आप सब कुछ डिटेल में कवर करना चाहते हो तो टाइम तो लगेगा ओबवियसली ठीक है तो पांच छ छ घंटे आप मान के चलो टोटल कंप्लीट टोटल चैप्टर कंप्लीट करने के लिए ठीक है यस और ठीक है क्या बात है आज तो एनवी सर ओपी चल रहा है चैट में # बाउंस बैक चल रहा है चलो बढ़िया है ठीक है तो स्टार्ट करते हैं फटाफट से इसको स्टार्ट करते हैं बिफोर वी स्टार्ट अगर किसी ने चैनल को सब्सक्राइब नहीं किया तो डेफिनेटली आप अनअकैडमी आइटम्स को सब्सक्राइब कर लेना एंड जल्दी से जल्दी इसको 1 लाख सब्सक्राइबर तक फटाफट से पहुंचा दो ठीक है एंड साथ ही साथ आप telegram.me आइटम्स तो अगर आपके 11थ के किसी भी चैप्टर का बैकलॉग है एंड बाय द वे दिस इज द लास्ट चैप्टर ऑफ़ 11थ है ना 11थ के सारे चैप्टर्स हमने कंप्लीट कर दिए सीक्वेंस सीरीज बायनोक्स लाइन सर्कल पैराबोला एलिप्स हाइपर बोला इतने सारे चैप्टर्स हमने ऑलरेडी कंप्लीट कर दिए हैं तो अगर आप ये ये क्लास फर्स्ट टाइम देख रहे हो तो डेफिनेटली आप इसको विजिट करो यहां पे आपको सारे के सारे वन शॉट स्ट्रक्चर्ड फॉर्मेट में मिल जाएंगे हर एक चैप्टर का वन शॉट है हर एक चैप्टर का वन शॉट बहुत ही डिटेल है एंड आप इसको फॉलो कर सकते हो शिद्दत के साथ फॉलो करोगे तो आई कैन गारंटी यू कि आप यहां पे जेई मेन में मचा दोगे लिटरली मतलब मचा दोगे ठीक है तो डेफिनेटली आप यहां पे वन शॉट्स को देखना स्टार्ट कर दो अगर आपने अभी तक नहीं किया तो साथ ही साथ अगर आप अनअकैडमी सब्सक्रिप्शन प्लेटफॉर्म पे आ सकते हो तो यहां पे मल्टीपल बैचेज आर देयर मल्टीपल टीचर्स है है ना मल्टीपल टीचर्स को आप यहां पे फॉलो कर सकते हो सब्सक्रिप्शन लेने के बाद अ यहां पे अपना जो रैपिड रिवीजन बैच है वो भी स्टार्ट हो चुका है तो उसको भी आप जॉइन कर सकते हो ये सारी चीजों का आपको एक्सेस मिल जाएगा प्लस और आइकॉनिक का जो सब्सक्रिप्शन है उसको आप प्लान कर सकते हो एक साल दो साल के जो सब्सक्रिप्शन है वो रिकमेंडेबल डिस्काउंट भी मिल जाए ठीक है तो एनवी सर का यह कोड आप ध्यान रखना बस एंड डेफिनेटली अगर आपके फ्रेंड्स लोग भी यहां पे जवाइन करना चाहते हो तो आप डेफिनेटली उनको भी रिकमेंड कर सकते हो चलो स्टार्ट करें फिर यस तो स्टार्ट करते हैं एकदम बेसिक से सबसे पहला जो टॉपिक है अपना दैट इज आयो है ना मतलब भाई हमारी लाइफ तो बहुत अच्छी चल रही थी सब कुछ रियल दुनिया थी है ना रियल दुनिया में रियल नंबर्स में हम स्टडी कर रहे थे सब कुछ तो जितने भी चैप्टर्स आपने अभी तक पढ़े हैं है ना वो रियल दुनिया थी अब आप एक नई दुनिया को एक्सप्लोर करने वाले हो जिसको हम बोलते हैं कॉम्प्लेक्शन है यहां पे सब कुछ कॉम्प्लेक्शन 1 ठीक है तो अगर आपको आईडिया नहीं है तो मैं बता देता हूं पहले डेफिनेशंस वगैरह आप लिख लो तो आयो इज नथिंग बट स्क्वायर रूट ऑफ माइनस और ये एक इमेजिनरी नंबर है ठीक है आयो अब आयो की पावर्स देखो अगर आप आयो की पावर्स निकालो ना जैसे फॉर एग्जांपल अगर मैं आपसे पूछूंगा आयो की पावर व चलो वो तो आयो ही है आयो का स्क्वायर बताओ ये कितना आ जाएगा इसका स्क्वायर कर दो ना आप आयो का स्क्वायर कर दो ठीक है आयो का स्क्वायर करेंगे तो कितना आ जाएगा माइव आ जाएगा आयो का क्यूब आयो का क्यूब कितना आ जाएगा इसको आप ऐसे लिख सकते हो ना आयो का क्यूब आप इसको लिख सकते हो आयो मल्टीप्ला बाय आयो का स् और आयो का स्क्वायर जो है उसका वैल्यू माइव है ठीक है तो आप सब्सीट्यूट कर दो ये आ जाएगा माइनस आयो सिमिलरली आयो की पावर फोर क्या आ जाएगा ये आ जाएगा आप इसको ऐसे लिख सकते हो आयो स्क्वायर का स्क्वायर और आयो स्क्वायर कितना है आयो स्क्वायर है -1 तो -1 का स्क्वायर तो ये वन आ जाएगा अब इसके बाद जो पावर्स है ना वो रिपीट करेगी अगर आप निकालो आयो की पावर फ तो उसका आंसर वापस कितना आ जाएगा आयो की पावर फ को आप ऐसे लिख सकते हो यस और नो आयो की पावर फ अगर है तो आप लिख सकते हो आयो इं आयो की पावर 4 और आयो की पावर 4 कितना होता है वो तो वन होता है अरे यार ये तो चिंदी है ना तो इसका वैल्यू वन पुट कर दोगे इसका वैल्यू वन पुट कर दोगे तो वापस आयो आ गया सिमिलरली आप आयो की पावर सि निकालो तो आयो की पावर सि कितना आ जाएगा इसको आप ऐसे लिख सकते हो आयो मल्टीप्ला बा आयो की पावर 5 और यहां पे वैल्यू सब्सीट्यूट कर दो आयो मल्टीप्ला बाय आयो आ जाएगा ना आयो की पावर फ क्या है आयो की पावर फ इज आयो तो ये बन गया आयो स्क्वायर और आयो स्क्वायर का वैल्यू कितना होता है -1 तो वापस -1 आ गया ना आप ध्यान से देखो आयो फिर -1 फिर माइनस आयो आएगा फिर वन आएगा तो पैटर्न आपको दिख गया कितने लोगों को पैटर्न दिख गया आयो की पावर सेन निकालो तो यही आएगा माइनस आयो आएगा आयो की पावर 8 निकालो तो वापस कितना आएगा वापस वन आएगा तो ये पैटर्न आपको दिख गया क्या है ना एकदम चिंदी सा पैटर्न है लेकिन ये जो पैटर्न है ना ये अपने आप में काफी इंटरेस्टिंग है ये यही पैटर्न आएगा आपका हमेशा है ना सिमिलरली अगर आप निकालो आयो की पावर नाइन तो वापस आएगा आयो है ना फिर -1 फिर माइनस आयो फिर वन और यही पैटर्न आपका चलता रहेगा तो ये जो पैटर्न है वो इतना इंटरेस्टिंग है कि अगर आपको आयो की कोई हायर पावर्स निकालनी है जैसे फॉर एग्जांपल मान लो मैं आपसे पूछ लूं है ना जैसे यहां पे आप आ जाओ आटा की पावर 255 तो अगर आपको आयो की बड़ी-बड़ी पावर्स निकालनी है तो उसका आप एक शॉर्टकट बना सकते हो है ना तो डायरेक्टली मैं आपको शॉर्टकट बता देता हूं ये आपको पैटर्न समझ में आ गया ना अगर आपको पैटर्न समझ में आ गया तो आप एक्चुअली यहां पे क्या कर सकते हो एक शॉर्टकट बना सकते हो देखो मैं डायरेक्टली आपको शॉर्टकट सिखा देता हूं यहां पे आपने देख लिया कि जो आयो की पावर्स है वो कितने के बाद रिपीट करती है आयो की जो पावर्स है वो चार के बाद रिपीट करती है ना आयो की पावर वन फिर आयो की पावर टू 3 4 उसके बाद 5 6 7 8 में सेम वैल्यूज आएगी फिर 9 10 11 12 में सेम वैल्यूज आएगी तो चार चार के बाद रिपीट कर रहा है ना ये अगर चार चार के बाद रिपीट कर रहा है तो एक्चुअली आप यहां पे शॉर्टकट क्या बना सकते हो कि जो भी आयो की पावर है ना अगर आपको लेट्स से फॉर एग्जांपल निकालना है आयो की पावर 255 तो ये निकालना कितने लोगों को आता है इसका डायरेक्टली शॉर्टकट ये होता है कि जो भी आपकी पावर है उसको आप डिवाइड कर दो फोर से और रिमाइंडर निकाल लो और रिमाइंडर आप आयो की पावर में चिपका दो जैसे फॉर एग्जांपल मान लो मुझे निकालना है आयो की पावर 255 तो आप सिंपल क्या करोगे 255 को डिवाइड करो फोर से है ना क्योंकि चार चार के बाद रिपीट कर रहा है ना तो सिंस ये चार चार के बाद रिपीट करर है तो फोर से डिवाइड कर दो तो जैसे ही हम फोर से डिवाइड करेंगे तो यहां पे क्या आएगा 24 आ फिर 15 आएगा फिर 12 आएगा और रिमाइंडर थ आ रहा है आपको रिमाइंडर से मतलब है आपको कोश से कोई मतलब नहीं है है ना तो रिमाइंडर कितना आ गया थ आ गया तो इसका जो वैल्यू होगा ना वो आयो की पावर थ के बराबर होगा जो भी रिमाइंडर आएगा बस आयो की पावर में चिपका दो सिंपल समझ में आ गया तो इसका वैल्यू कितना आएगा आयो क्यूब और आयो क्यूब एक्चुअली कितना होता है आयो क्यूब होता है माइनस आयो अरे समझ में आया ठीक है सिमिलरली इसका आंसर बताओ चलो आयो की पावर 150 अगर आपको आयो की पावर 150 निकालना है तो सिंपल आप क्या करोगे 150 को डिवाइड कर लो फोर से तो फोर से डिवाइड करेंगे तो क्या आएगा 12 आएगा फिर 30 आएगा फिर 28 आएगा फिर टू आएगा ना तो रिमाइंडर कितना आ रहा है तो रिमाइंडर आ रहा है टू अगर रिमाइंडर टू आ रहा है तो आयो स्क्वायर के बराबर आएगा और आयो स्क्वायर कितना होता है -1 तो बस इसका आंसर आ गया -1 इसका आंसर बताओ चलो ये समझ में आ गया यस स्टार्टिंग में ही आपको मेरे ख्याल से एक ये काफी इंटरेस्टिंग शॉर्टकट होता है है ना तो बस आप डिवाइड कर लिया करो बेस्ट तरीका मतलब इसमें आपका आंसर बहुत जल्दी आएगा अदर वाइज आप वो करते रह जाओगे कि हम इसमें आयो की पावर फोर बनाएंगे इसका प्रॉपर मेथड तो आपको पता ही होगा ना इसमें आयो की ब फोर बनाते हैं फिर बनाने के बाद वो देखेंगे कि हां भाई आयो की ब फोर तो वन होता है उतना दिमाग कौन लगाएगा सीधा डिवाइड करो और रिमाइंडर निकालो यार है ना तो आपको ज्यादा यहां पे डिफिकल्ट चीजें करनी नहीं है आयो की अगर बड़ी-बड़ी पावर्स निकालनी है तो निकाल लोगे इसमें रिमाइंडर क्या आएगा इसमें रिमाइंडर वन आएगा यस और नो इसमें रिमाइंडर वन आ जाएगा तो बस इसका वैल्यू आ जाएगा आयो आयो की पावर वन चमक गया होगा मेरे ख्याल से तो बस इसका आंसर आ जाएगा आयो तो जो भी रिमाइंडर आता है अगर आयो की बड़ी-बड़ी पावर्स अगर आपको निकालनी है तो बस आप रिमाइंडर देख लो फोर से डिवाइड कर दो क्योंकि ये चार चार के बाद रिपीट करता है तो सिंस ये चार चार के बाद रिपीट करता है फोर से डिवाइड करो रिमाइंडर निकालो जो भी रिमाइंडर आएगा चिपका दो आयो की बड़ी-बड़ी पावर्स को आप निकाल सकते हो ठीक है अब यस यहां पर एक प्रॉपर्टी भी होती है कि अगर आप कोई भी चार कंकूट पावर्स ले लोगे ना तो उनका सम जीरो आएगा जैसे फॉर एग्जांपल आप इन चारों को ऐड करो अगर आप इन चारों को ऐड करोगे ना अगर मैं आपसे पूछूंगा कि बताओ आयो प्लस आयो स्क्वायर प्लस आयो क्यूब और प्लस आयो की पावर 4 तो ये जीरो आएगा है ना अल्टीमेटली ये देखो ये आयो ये माइनस आयो कैंसिल हो जाएगा ना आयो माइनस आयो कैंसिल -1 प्व कैंसिल अगर आप इन चारों को भी ऐड करोगे अगर इन चारों को भी ऐड करेंगे तो अगेन -1 प्व कैंसिल और आयो माइनस आयो कैंसिल तो कोई भी चार कंकूट पावर्स आप ले लो आयो की कोई भी चार कंकूट पावर आप ले सकते हो जैसे फॉर एग्जांपल आयो की पावर 50 आयो की पावर 51 आयो की पावर 52 आयो की पावर 53 तो इसका आंसर कितना आएगा जीरो ही आएगा कोई भी चार कंकूट पावर्स आप ले लो ठीक है कोई भी चार कोई ऐसा कुछ हार्ड एंड फास्ट नहीं है कहीं से भी आप चालू करो आप तो 50 से चालू करो 20 से चालू करो 21 से चालू करो 22 से चालू करो बट कंकूट आपको लेना है ठीक है कोई भी चार कंकूट पावर्स ऑफ आयो उनका सम डेफिनेटली आपका कितना आता है वो हमेशा जीरो ही आता है ठीक है चलो एक आधा क्वेश्चन करते हैं यह वाला क्वेश्चन आप ट्राई करो इसका आंसर बताओ यह कैसे करेंगे आयो की बहुत सारी बड़ी-बड़ी पावर्स है तो आपको इसका वैल्यू निकालना है तो फटाफट से एक बार चैट में आंसर आ जाना चाहिए ठीक ठीक है यस तो फटाफट इसको यस हां ये बताओ आयो की पावर आयो वो भी करेंगे वो अभी सब कुछ आएगा धीरे-धीरे ठीक है एवरीथिंग विल बी देयर ये बताओ ये कैसे करेंगे इसमें तो आप क्या करो बेसिकली आप आयो की पावर 10 कॉमन ले लो न्यूमरेशन में से ओके आयो की पावर 10 अगर कॉमन ले लोगे तो ऊपर नीचे कैंसिल हो जाएगा ना यहां पे आ जाएगा 582 फिर आयो की पावर 580 है ना फिर आयो की पावर कितने लोगों को दिख गया 578 उसके बाद आयो की पावर 576 और नीचे भी तो वही है ध्यान से देखो तो कॉमन ले लो आप डिवाइड क्यों कर रहे हो है ना डिवाइड करने की जरूरत नहीं है रिमाइंडर निकालने की जरूरत ही नहीं है यहां पे तो पूरा कैंसिल ही हो जाएगा नीचे भी आपका वही का वही ब्रैकेट है अगर आप ध्यान से देखोगे तो आयो की पावर 582 प्लस आयो की पावर 580 प्लस आयो की पावर 578 आयो की पावर 576 और तो ये पूरा कैंसिल हो गया अरे दिखा कि नहीं दिस फुल ब्रैकेट विल गेट कैंसल एंड प्लसटू है बस तो व्हाट इज द फाइनल आंसर ये तो पूरा कैंसिल ही हो जाएगा आयो की पावर 10 कॉमन ले लो अरे यार ये तो चिंदी क्वेश्चन था आयो की पावर 10 और प्लसटू आ गया और आयो की पावर 10 कितना होता है वो आयो स्क्वायर हो जाएगा ना फोर से डिवाइड कर लो रिमाइंडर निकाल लो तो ये बेसिकली आ जाएगा -1 प् 2 तो अल्टीमेटली फाइनल आंसर क्या है वन आएगा ठीक है तो फाइनल आंसर वन आएगा चमक गया यस बहुत ही चिंदी क्वेश्चन सिंपल सा क्वेश्चन अब आगे पढ़ते हैं अब बात करते हैं व्हाट इज द डेफिनेशन ऑफ कॉम्प्लेक्शन क्या होता है एनी नंबर एनी नंबर दुनिया का कोई भी नंबर जिसको आप इस फॉर्मेट में रिप्रेजेंट कर सकते हो a प् आयो बी वेयर ए एंड बी आर रियल नंबर्स ये ए और बी क्या है ए एंड बी आर रियल नंबर्स ठीक है वो दोनों रियल है तो उस नंबर को हम बोलेंगे कॉम्प्लेक्शन में में रिप्रेजेंट कर सकते हो देन दैट इज कॉम्प्लेक्शन सिंपल एज दैट ठीक है आप कोई भी एक नंबर ले लो जैसे फॉर एग्जांपल अ आप ले सकते हो 3 + 2 आयो क्या ये कॉम्प्लेक्शन है क्या ये कॉम्प्लेक्शन है यस ये कॉम्प्लेक्शन है दुनिया का कोई भी नंबर जिसको आप इस फॉर्मेट में रिप्रेजेंट कर सकते हो लेकिन यहां पे a और b क्या होना चाहिए a और b रियल होना चाहिए है ना दिस इज़ द वैल्यू ऑफ़ a तो a का वैल्यू थ्री है और b का वैल्यू टू है अच्छा अगर मैं आपको एक नंबर दे दूंगा लेट्स से फॉर एग्जांपल टू तो क्या ये कॉम्प्लेक्शन है ये तो रियल नंबर है बट रियल नंबर्स भी क्या कॉम्प्लेक्शन में रिप्रेजेंट कर सकते हो तो वो कॉम्प्लेक्शन है क्योंकि इसको आप ऐसे से रिप्रेजेंट कर सकते हो ना 0 + 3 आयो तो ये भी एक कॉम्प्लेक्शन में रिप्रेजेंट कर सकते हो देन दैट इज कॉम्प्लेक्शन नंबर तो इनफैक्ट जितने भी रियल नंबर्स होते हैं ना ये तो एक्चुअली रियल नंबर था बट ऑल रियल नंबर्स आर आल्सो कॉम्प्लेक्शन ऑफ कॉम्प्लेक्शन से आपने ये पढ़ा होगा ना बचपन से आपने पढ़ा होगा कि भाई ऑल नेचुरल नंबर्स आर होल नंबर्स होल नंबर्स आर इंटी जर्स इंटी जर्स आर रैशनल रैशनल आर रियल एंड रियल आर कॉम्प्लेक्शन नंबर होल नंबर इंटी जर रैशनल रियल यह सब ये सब नंबर है जीरो क्या है वो भी रियल नंबर है तो ओवरऑल यह कॉम्प्लेक्टेड समझ गए ना इट इज अ सुपर सेट ऑफ एवरीथिंग सुपर सेट है एकदम तो ऑल नंबर्स आर कॉम्प्लेक्शन देखो ये डेफिनेशन काफी इंपॉर्टेंट है तो इसको ध्यान से सुनना ठीक है ये डेफिनेशन के ऊपर ही बहुत बार तो क्वेश्चन आ जाते हैं तो आपको डेफिनेशन एकदम क्रिस्टल क्लियर होना चाहिए तो अगर एक वो दोनों क्या है वो दोनों रियल है ठीक है a एंड b आर रियल नंबर्स मतलब बेसिकली उसका वैल्यू कुछ भी हो सकता है ठीक है a एंड b आर रियल नंबर्स फाइन अच्छा यहां पे ये जो कॉम्प्लेक्शन है इसको हम बोलेंगे प्योर रियल इफ b इज इक्वल टू 0 अगर b का वैल्यू इक्वल टू 0 हो गया ना तो इस नंबर को हम क्या बोलेंगे इस नंबर को हम बोलेंगे प्योर रियल अगर a का वैल्यू इक्वल टू ़ हो गया तो अगर a का वैल्यू इक्वल टू 0 हो गया तो उसको हम बोलेंगे प्योर इमेजिनरी आप इमेजिन करो ना इसका वैल्यू रो हो गया अगर इसका वैल्यू जीरो हो गया तो केवल आयो वाला टर्म बचेगा इसीलिए इसको बोलेंगे पोरली इमेजिनरी अगर बी का वैल्यू जीरो हो गया मान लो बी का वैल्यू जीरो हो गया तो केवल ए बचेगा ना एंड दिस इज पोरली रियल और इमेजिनरी नंबर किसको बोलते हैं इसका डेफिनेशन अगेन ध्यान में रखना इमेजिनरी नंबर इज दैट नंबर जिसमें बी का वैल्यू नॉट इक्वल टू जीरो होना चाहिए अगर बी का वैल्यू जीरो नहीं है तभी उसको बोलेंगे इमेजिनरी नंबर अब एग्जांपल ले लो जैसे फॉर एग्जांपल पोरली रियल का एग्जांपल पोरली रियल के तो बहुत सारे एग्जांपल्स आप ले सकते हो जैसे ू ले लो -2 ले लो 3 ले लो 5 ले लो 5.1 ले लो ये सब क्या है ये सब पोरली रियल है क्योंकि इसमें आयो वाला पार्ट जीरो है ना ठीक है प्लस आयो न 0 चमक गया तो बी का वैल्यू जीरो है ये जितने भी नंबर्स है सब में बी का वैल्यू कितना है जीरो चमक गया होगा यहां पे a का वैल्यू जीरो है तो बेसिकली आप इस तरह के नंबर्स ले सकते हो 3 आयो √3 आयो ठीक है पाई आयो ये सारे नंबर्स कैसे है ये सारे नंबर्स क्या है पोरली इमेजिनरी प्योर इमेजिनरी मतलब उसमें रियल पार्ट नहीं आना चाहिए उसमें a इक्वल टू 0 होना चाहिए चमक गया ना और यहां पर बी नॉट इक्वल टू 0 तो b का वैल्यू जीरो नहीं होना चाहिए जैसे फॉर एग्जांपल मान लो आपके पास है 3+ 2 आयो तो यहां पे b का वैल्यू कुछ ना कुछ होना चाहिए अगर आप ये भी ले लो लेट्स से फॉर एग्जांपल फ आयो है ना तो यहां पे भी b का वैल्यू क्या है ये बी का वैल्यू क्या है नॉन जीरो है अगर बी का वैल्यू नॉन जीरो है तो वो इमेजिनरी नंबर है तो यह इमेजिनरी नंबर भी है ये प्योर इमेजिनरी भी है ये दोनों है फ आयो समझ गया ना बेसिकली a का वैल्यू रो है तो प्योर इमेजिनरी हम बोलेंगे और b का वैल्यू नॉन जीरो है तो इमेजिनरी भी बोलेंगे ठीक है एक और नंबर होता है इसके बारे में आप बताओ जैसे फॉर एग्जांपल अगर मैं ले लू रो तो रो कैसा नंबर होगा रो को तो हम ऐसे लिख सकते हैं ना 0 इज नथिंग बट 0 प् आयो 0 तो यहां पे a का वैल्यू भी रो है और b का वैल्यू भी रो है तो रो जो होता है ना रो इज प्योर रियल एंड प्योर इमेजिनरी अगर आप डेफिनेशन को फॉलो करोगे तो इट इज प्योर रियल इट इज पोरली इमेजिनरी बट नॉट इमेजिनरी ओके बट नॉट इमेजिनरी ये इमेजिनरी नंबर नहीं है क्यों क्योंकि इमेजिनरी नंबर उसी को बोलते हैं ना जिसमें बी का वैल्यू नॉन जीरो हो यहां पे तो बी का वैल्यू जीरो है चमक गया ना बी नॉन जीरो होगा तभी तो उसको बोलेंगे इमेजिनरी लेकिन यहां पर तो बी का वैल्यू जीरो है यहां पर अगर आप डेफिनेशन को फॉलो करोगे तो a = 0 तो क्या a इ 0 है हां a = 0 है क्या b इक्व 0 है हां b भी इ 0 a = 0 है b = 0 है तो इसको प्योर रियल बोलेंगे प्योर इमेजिनरी भी बोलेंगे बट ये इमेजिनरी नहीं है तो जीरो अपने आप में एक ऐसा नंबर है जो प्योर रियल भी है प्योर इमेजिनरी भी है बट इमेजिनरी नहीं है समझ गए ये थोड़ा मतलब अलग टाइप का नंबर है ठीक है एक अलग टाइप का नंबर है इट इज प्योर रियल प्योर इमेजिनरी बट नॉट इमेजिनरी तो जीरो के बारे में आप ये याद रख सकते हो ठीक है अच्छा कोई भी एक कॉम्प्लेक्शन होता है ना जिस प्लेन के ऊपर आप रिप्रेजेंट करते हो उसको बोलते हैं आर्गन प्लेन इसको हम बोलते हैं आर्गन प्लेन अब जैसे आपने कार्टीजन कोऑर्डिनेट सिस्टम पढ़ा होगा ना जिसमें x एक्सस होती है y एक्सिस होती है सिमिलरली कॉम्प्लेक्शन प्लेन होता है ये जो आर्गन प्लेन होता है उसमें रियल एक्सिस होती है x एक्सिस को हम बोलते हैं रियल एक्सिस और जो वा एक्सिस होती है उसको हम बोलते हैं इमेजिनरी एक्सिस तो ये इमेजिनरी एक्सेस है और उसके ऊपर आप कोई ना कोई एक पॉइंट ले सकते हो है ना लेट्स से फॉर एग्जांपल ये पॉइंट है z और z होगा x + आवा तो उसको आप रिप्रेजेंट कर सकते हो x y से मतलब कोई भी एक कॉम्प्लेक्शन ही ले लो जैसे फॉर एग्जांपल वी हैव 3+ 4 आयो तो इसको रिप्रेजेंट करना है आर्गन प्लेन के ऊपर तो आप इसको कैसे रिप्रेजेंट करोगे अगर आपको इसको आर्गन प्लेन के ऊपर रिप्रेजेंट करना है तो बस 3 4 से रिप्रेजेंट करोगे तो 3 4 आ जाएगा ये कॉम्प्लेक्शन नंबर को आप आराम से आर्गन प्लेन के ऊपर रिप्रेजेंट कर सकते हो ठीक है ये समझ में आ गया वो जो प्लेन होता है उसको बोलते हैं आर्गन प्लेन जो एक्स एक्सिस है उसको बोलते हैं रियल एक्सेस और ये वाली जो वर्टिकल एक्सिस है उसको बोलते हैं इमेजिनरी एक्सेस यहां पे ओरिजिन है और किसी भी कॉम्प्लेक्शन प्लेन के ऊपर एक कोऑर्डिनेट के थ्रू रिप्रेजेंट कर सकते हो ठीक है कोई भी एक कॉम्लेक्स नंबर आ गया z1 तो z1 इज लेट्स से -1 प् आयो तो इसको कहां पे रिप्रेजेंट करेंगे तो इसमें a का वैल्यू कितना है -1 और b का वैल्यू कितना है वन तो -1 1 ये -1 1 कहां पे पाया जाएगा तो x का वैल्यू -1 है और y का वैल्यू वन है तो यहां पे पाया जाएगा तो -1 1 सो दिस इज योर कॉम्प्लेक्टेड तो बस आप हर एक कॉम्प्लेक्शन प्लेन के ऊपर आराम से प्लॉट कर सकते हो ठीक है एक और चीज मैं आपको बता देता हूं अगर कोई भी एक कॉम्प्लेक्शन है a ् आयो बी तो ये जो a होता है ना इसको हम बोलते हैं रियल पार्ट ऑफ z इसको हम इस तरह से रिप्रेजेंट भी कर सकते हैं रियल पार्ट ऑफ z और ये जो b होता है केवल बी है ना आयो को नहीं केवल बी को तो केवल बी को हम बोलते हैं इमेजिनरी पार्ट ऑफ z ठीक है तो अगर आपसे कोई पूछेगा रियल पार्ट ऑफ z दैट इज a अगर आपसे कोई पूछेगा इमेजिनरी पार्ट ऑफ z तो केवल बी इसमें कंफ्यूज मत होना आयो बी नहीं केवल बी बी इज द इमेजिनरी पार्ट ऑफ जड समझ गए ना रियल पार्ट ऑफ जड अगर आपसे कोई पूछेगा तो दैट इज ए इमेजिनरी पार्ट ऑफ जड अगर आपसे कोई पूछेगा तो दैट इज बी ठीक है जैसे फॉर एग्जांपल ये वाला कॉम्प्लेक्शन नंबर है तो इसका रियल पार्ट कितना है रियल पार्ट ऑफ z1 तो रियल पार्ट कितना है -1 और इमेजिनरी पार्ट कितना है इमेजिनरी पार्ट इज वन है ना यहां पे आ का को एफिशिएंट कितना है तो आ का को वन तो वन आ जाएगा चमक गया होगा मेरे ख्याल से ये भी एकदम बहुत ही चिंदी चिंदी है ना बचपन अच्छा एक और चीज यहां पर थोड़ी इंटरेस्टिंग मैं आपको बता देता हूं जब हम रियल दुनिया में पढ़ाई कर रहे थे है ना जब क्वाड्रेटिक आपने पढ़ा होगा सीक्वेंस सीरीज आपने पढ़ा होगा बानो मियल आपने पढ़ा होगा नहीं भी पढ़ा तो इतना तो आपको पता ही होगा कि अगर ए और बी दो रियल नंबर है ठीक है लेटस अजूम की ए एंड बी आर रियल अगर दो रियल नंबर है और मान लो आपको ये इक्वेशन गिवन है a स् प् b स् इ इ 0 तो हम क्या बोलते थे हम ऐसा बोलते थे ना कि इफ a स् + b स् = 0 तो a और b को रो होना ही पड़ेगा ये इक्वल टू 0 कब आएगा इक्वल टू 0 तभी आएगा जब इसका वैल्यू भी रो और इसका वैल्यू भी रो क्योंकि इन दोनों में से कोई भी नेगेटिव तो हो नहीं सकता दोनों होल स्क्वायर है तो इसका मिनिमम से मिनिमम वैल्यू कितना हो सकता है जीरो इसका भी मिनिमम से मिनिमम वैल्यू कितना हो सकता है जीरो तो इक्वल टू 0 कब आएगा तो रियल दुनिया में हम ऐसा बोलते थे ना हम रियल दुनिया में ऐसा बोलते थे कि ये तभी पॉसिबल है इफ a इज इक्व टू 0 एंड b इज आल्सो इक्वल टू 0 ये तभी पॉसिबल है अदर वाइज ये पॉसिबल ही नहीं है तो ये जो इक्वेशन है वो सेटिस्फाई तभी करेगी इफ a एंड बी बोथ आर जीरो लेकिन कॉम्प्लेक्शन गिवन है कॉम्प्लेक्शन नंबर में z1 स् + z2 स् = 0 तो क्या हम ऐसा बोल सकते हैं क्या हम ऐसा बोल सकते हैं कि यहां पे z1 z2 को जीरो होना ही पड़ेगा यहां पे z1 z2 को रो होना ही पड़ेगा नहीं ऐसा नहीं बोल सकते है ना दिस डज नॉट इंप्ला दैट z1 z2 विल बी जीरो क्यों क्योंकि एक एग्जांपल ले लो ना जैसे फॉर एग्जांपल मान लो z1 आपका जो है वो आयो है है ना लेट अस अजूम कि z1 जो कॉम्प्लेक्टेड करेंगे तो अल्टीमेटली रो ही तो आएगा क्योंकि आयो स्क्वायर -1 होता है तो -1 और + 1 चमक गया ना है ना तो ऐसा हम रियल दुनिया में करते थे अब भूल जाओ ठीक है अब आप नहीं कर सकते हो तो कॉम्प्लेक्शन आती है कि z1 स् + z2 स् = 0 तो z1 z2 0 नहीं होता है ये पहले होता था बचपन अब बचपन बीत गया कॉम्प्लेक्टेड पढ़ते हैं अलजेब्रा ऑफ कॉम्लेक्स नंबर्स अलजेब्रा ऑफ कॉम्प्लेक्शन नंबर्स मतलब अगर दो कॉम्प्लेक्टेड क्ट आंसर्स बता दो चलो है ना दो कॉम्प्लेक्टेड करना है तो जो रियल पार्ट उसको रियल पार्ट के साथ ऐड कर लो तो 3+ 2 कितना आ जाएगा 3+ 2 5 आ जाएगा और जो इमेजिनरी पार्ट है उसको इमेजिनरी पार्ट के साथ ऐड कर लो तो 4 आयो माइनस आयो वो बन जाएगा 3 आयो चमक गया ना तो इसका आंसर तो ये आ जाएगा 5 प् 3 आयो चमक गया होगा इसमें किसी को कोई दिक्कत अगला वाला निकालो चलो माइनस कैसे करते हैं दो कितना आ जाएगा 4 प् 1 5 तो 5 आयो बहुत ही चिंदी ठीक है ये अगर मतलब किसी को नहीं आता है तो अब इसमें क्या किया जाए 3+ 4 आयो मल्टीप्लाई कैसे करते हैं मल्टीप्लाई भी वैसे ही करते हैं जैसे करते ठीक है मल्टीप्लाई भी वैसे ही करते हैं जैसे अभी तक करते हैं इसमें क्या ही मतलब ये अगेन सिंपल है तो मल्टीप्लाई करने के लिए डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी लगा दो 3 * 2 तो 6 आ जाएगा ठीक है फिर अगला क्या आएगा 3 * माइनस आयो तो -3 आयो आ जाएगा फिर अगला इन दोनों को मल्टी करोगे तो 8 आयो आ जाएगा ठीक है फिर अगले वाले को मल्टीप्लाई करोगे तो वो कितना बन जाएगा 4 आयो इन आयो तो माइनस फ आयो स्क्वा माइनस फ आयो स्क्वा और आयो स्क्वायर को आप पुट कर सकते हो मानव ठीक है तो अगले स्टेप में आप सिंपल क्या करो स इन दोनों को तो कंबाइन कर लो तो यह बन जाएगा फ आयो और यहां पर आयो स्क्वायर को माइव पुट कर दो आयो स्क्वायर को माइव पुट कर देंगे तो अल्टीमेटली ये कितना आ गया 10 बन जाएगा ठीक है सो दिस इज़ द फाइनल आंसर तो दो कॉम्प्लेक्शन को मल्टीप्लाई कैसे करते हो वह क्लियर है क्या दो कॉम्प्लेक्शन को कैसे मल्टीप्लाई करते हैं दैट इज आल्सो क्लियर डिवाइड कैसे करेंगे है ना डिवाइड यहां पे कर देते हैं एक्चुअली अगले पेज पे z1 / z2 जब भी आप डिवाइड करोगे ना तो डिनॉमिनेटर को रैशन आइज करना पड़ेगा तो यह पहला कॉम्प्लेक्शन है और दूसरा कॉम्प्लेक्शन है 2 - आयो तो ये जो डिनॉमिनेटर है ना उसको आप रैशन इइ कर लो है ना रैशन आइज करने के लिए बस आप आयो को माइनस आयो से रिप्लेस कर दो कंजुन्नी पलाई डिवाइड कर लो बस तो यहां पे आपको मल्टीप्लाई करना पड़ेगा 2 प् आयो से और इधर भी मल्टीप्लाई करना पड़ेगा 2 प् आयो से कॉन्जुलेरे पलेस कर दो आयो की जगह माइनस आयो से रिप्लेस कर दो कॉन्जुलेरे इइ कर लो अब डिनो मिनेट को रैशन आइज करेंगे तो न्यूमरेशन में क्या आएगा पहले तो ये बताओ चलो तो 3 * 2 6 अगला टर्म आ जाएगा + 3 आयो फिर अगला टर्म आएगा प् 8 आयो और प्लस 4 आयो स्क्वायर ठीक है और नीचे क्या आएगा नीचे आ जाएगा a- बी ए प् बी है ना तो a- बी a प् बी विल बी a स् - बी स् ये आ जाएगा अब अल्टीमेटली आयो स्क्वायर का वैल्यू -1 पुट कर दो तो जैसे ही आप आयो स्क्वायर का वैल्यू -1 पुट कर दोगे तो यहां पर आ जाएगा 6 प् 11 आयो प् 4 * -1 और नीचे बन जाएगा 4 माइ -1 ठीक है तो अल्टीमेटली ये कितना बन जाएगा अल्टीमेटली यहां पे आ जाएगा 2 + 11 आयो और नीचे कितना आ जाएगा नीचे हमारे पास आ जाएगा फाइव इसको अलग-अलग भी कर दो तो 2/5 और ् 11 आयो / 5 अच्छा एक बात बताओ है ना ये आंसर तो आ गया एक बात बताओ अगर आपसे कोई पूछेगा कि व्हाट इज द रियल पार्ट ऑफ व्हाट इज द रियल पार्ट ऑफ z1 / बा z2 तो बता दोगे नाना z1 डिवाइड बा z2 इसको हमने निकाला तो रियल पार्ट कितना आया इसका जो रियल पार्ट है वो है 2/5 और अगर आपसे कोई पूछेगा इमेजिनरी पार्ट इसी का रियल पार्ट तो ये है और इमेजिनरी पार्ट को कैसे रिप्रेजेंट करते है आई एम इमेजिनरी पार्ट ऑफ z1 अप z2 इसमें ध्यान रखना केवल ये आता है आयो नहीं आता है ठीक है 11/5 सो आंसर इज 11/5 चमक गया ना अब रियल पार्ट और इमेजिनरी पार्ट भी बड़े आराम आराम से बता सकते हो तो बहुत ही चिंदी आगे बढ़े क्या सिंपल सिंपल यस और आगे बढ़ते हैं इक्वलिटी ऑफ कॉम्प्लेक्शन दो आपको सबसे अच्छी बात बताता हूं है ना इस चैप्टर की सबसे अच्छी बात इस चैप्टर की सबसे अच्छी बात यह है कि हम दो से कोई भी छोटा नहीं है कॉम्प्लेक्टेड है ही नहीं ठीक है यू कैन नॉट कंपेयर टू कॉम्प्लेक्टेड में पढ़ते हैं ना क्वाड्रेटिक इक्वेशन आता है क्वाड्रेटिक इनिक्वालिटी आती है तो यहां पर इनिक्वालिटी जैसा कुछ एजिस्ट ही नहीं करता है क्योंकि आप दो इन इक्वलिटी पढ़ना पड़ जाता ठीक है तो दो कॉम्प्लेक्शन को कभी भी हम कंपेयर नहीं कर सकते कि कौन बड़ा कौन छोटा हां ये चेक कर सकते हैं कि दोनों इक्वल है कि नहीं तो दो कॉम्प्लेक्शन नंबर जैसे मान लो पहला कॉम्प्लेक्शन है x1 प् आयो y1 और दूसरा कॉम्प्लेक्शन है x2 + आयो y2 तो दो कॉम्प्लेक्शन पार्ट विल बी इक्वल टू इमेजिनरी पार्ट है ना दोनों का अगर रियल पार्ट सेम है मतलब आप ऐसे भी लिख सकते हो रियल पार्ट ऑफ z1 मस्ट बी इक्वल टू रियल पार्ट ऑफ z2 एंड इमेजिनरी पार्ट ऑफ z1 मस्ट बी इक्वल टू इमेजिनरी पार्ट ऑफ z2 समझ गए ना अगर दोनों का रियल पार्ट सेम है और इमेजिनरी पार्ट सेम है देन ओनली यू कैन से दैट टू बट यह अपना अगेन एक एनवी स्टाइल है ठीक है तो इसको भी ध्यान में रखना इसको अभी देखो हम कैसे क्वेश्चन में यूज करेंगे आपको मजा आ जाएगा मतलब ठीक है अगर आपने हमेशा 2 आयो आता है ये आप डायरेक्टली याद भी रख सकते हो और ये कैसे आया सर तो कैसे आता है 1 प्स आयो का होल स्क्वायर होता है 1 प्स आयो इन 1 प् आयो तो बस मल्टीप्लाई कर दो दो कॉम्प्लेक्टेड करोगे तो क्या आ जाएगा यही आएगा 1 प् आयो स्क्वा प् 2 आयो ना a स् प् b स् ् 2ab तो आप यहां पे यूज कर सकते हो a स् प् b स् प् 2ab और आयो स्क्वायर होता है -1 तो सिंस आयो स्क्वा होता है -1 ये 2 आयो आ जाएगा सिमिलरली अगर आप इसका वैल्यू निकालो दूसरे वाले का तो ये दूसरे वाले का वैल्यू कितना आ जाएगा 1 माइनस आयो का स्क्वायर ठीक है ये आ जाएगा 1 प्स आयो स्क्वायर -2 आयो ना a स् प् b स् - 2ab तो ये कैंसिल हो जाएगा फिर से क्योंकि आयो स्क्वायर -1 है तो ये आ जाएगा -2 आयो लेकिन अब इसका यूज क्या है यह तो बहुत ही मतलब मैंने आपको चिंदी सी चीज बता दी कि भाई हां होल स्क्वायर करोगे तो ये आएगा लेकिन इसको आप क्वेश्चन में बहुत अच्छी तरह से यूज कर सकते हो उससे आपका आंसर बहुत जल्दी आएगा अगर आपने यह दोनों चीजें याद कर ली ना या मतलब इसको समझ ली रट्टा मारने की जरूरत नहीं है अगर आपने इसको समझ लीना तो बहुत सारे जेई के क्वेश्चंस हो जाएंगे जैसे ये क्वेश्चन आया था जेई मेन 2020 में अगर मुझे इस क्वेश्चन को करना है तो ये क्वांटिटी इक्वल टू ये क्वांटिटी इक्वल टू 1 है अपने को m और n का वैल्यू निकालना है इक्वल टू वन आना चाहिए है ना तो यहां पे आपको दिख रहा है 1 प् आयो 1 माइ आयो जैसे ही आप देखोगे ना 1 प् आयो और जैसे ही आप देखोगे 1 माइनस आयो तो आप उसका होल स्क्वायर कर दिया करो होल स्क्वायर करेंगे तो सिंपल हो जाएगा ना तो बेसिकली ये जो लिखा हुआ है उसको मैं ऐसे लिख सकता हूं यहां पर होल स्क्वायर कर दो इधर भी होल स्क्वायर कर दो और पूरे की पावर आप कर दो m बा 4 कर दो चमक गया ना यहां पर m बाटू है मैंने बस पावर में मल्टीप्लाई डिवाइड बाय टू कर दिया जो पावर है उसमें हमने मल्टीप्लाई डिवाइड बाय टू कर दिया यही हमारी चालाकी है यहां पर भी सिमिलरली आप कर दो 1 प्स आयो का स्क्वायर नीचे आ जाएगा आयो -1 का स्क्वायर और पूरे की पावर n डिवाइड बा 6 एंड दिस इज इक्वल 1 अब इसका वैल्यू कितना होता है ये जो 1 प्स आयो का होल स्क्वायर होता है वो होता है 2 आयो और नीचे वाला होता है -2 आयो अभी तो हमने सीखा ठीक है और यहां पे आ जाएगा m डिवाइड बा 4 सिमिलरली इसका वैल्यू कितना होता है इसका वैल्यू है 2 आयो -2 आयो और पूरे की पावर है n बा 6 = 1 तो देखो कैंसिल हो गया ना ट आयो कैंसिल टू से टू आयो से आयो टू से टू आयो से आयो मतलब बेसिकली ये क्या बन गया -1 की पावर बन गया ना दिस इज -1 की पावर m बा 4 और -1 की पावर n / 6 इक्वल टू 1 अब सोचो इक्वल टूव कब आएगा अपने को फाइंड आउट करना है m और n का लीस्ट वैल्यू है ना मिनिमम मिनिमम तो लीस्ट वैल्यू कितना कितना आएगा m और n का भाई आपको पता है कि -1 का स्क्वायर होगा तभी तो वन बनेगा माइव का स्क्वायर होगा तभी तो वन बनेगा सिमिलरली यहां पर भी माइव का स्क्वायर होगा तभी तो वन बनेगा तो m का m बा फ का वैल्यू टू होना चाहिए अरे चमक गया ना m बाय फो का वैल्यू ू होना चाहिए और n बा 6 का वैल्यू भी टू होना चाहिए तो ए का वैल्यू कितना आ गया मिनिमम 8 और n का वैल्यू कितना आ गया 12 और आपसे पूछा क्या है आपसे पूछा है ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर अच्छा ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर मतलब ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर मतलब जीसीडी और जीसीडी मतलब एचसीएफ निकालना आपको एचसीएफ होता है ये सिंपल ठीक है आपको अगर नहीं पता है तो नोट कर लो जीसीडी मतलब ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर ग्रेटेस्ट को हम हाईएस्ट बोल सकते हैं है ना यह ग्रेटेस्ट ये हाईएस्ट ये कॉमन ये कॉमन डिवाइजर को फैक्टर बोलते हैं एक ही बात है यार जीसीडी बोलो एचसीएफ बोलो सिंपल टर्म्स में बचपन में एचसीएफ पढ़ाया गया था बड़े हो गए तो थोड़ा जी सडी बन गया वो ठीक है तो कोई खास बात नहीं है जीसीडी मतलब एचसीएफ आपसे पूछा है तो व्हाट इज द फाइनल आंसर दोनों का एचसीएफ निकालना है बस आपको 8 और 12 का तो एचसीएफ कितना आएगा फोर आएगा ठीक है सो दिस इज द फाइनल आंसर सम गया ना तो इस तरह से करोगे तो आप मतलब डेफिनेटली जल्दी कर पाओगे और ऐसे काफी सारे क्वेश्चन है अगला क्वेश्चन भी देख लो तो अगले क्वेश्चन में भी आपको दिख रहा है व माइनस आयो तो जैसे ही आपको न माइनस आयो दिख जाए ना बस एनवी सर को याद कर लेना थोड़ा सा ठीक है यहां पर पावर n है और 1 माइनस आयो का स्क्वायर कर दो और पूरे की पावर आप कर दो n-2 डिवाइड बाटू मतलब मल्टीप्लाई डिवाइड बाटू कर दिया सिंपल अब इसको मैं क्या लिख सकता हूं अगले स्टेप में अब ये बन गया 2 आयो की पावर n और अगले स्टेप में 1 माइनस आयो का होल स्क्वायर होता है माइनस आयो ठीक है माइन आयो की पावर आ जाएगा n-2 बाट ठीक है n माइन 2/2 ठीक है बस माइव को बाहर निकाल लो ये ठीक है ये आ गया अब बेसिकली आप मानव को बाहर निकाल लो तो ये ऐसा बन जाएगा ना 2 आयो की पावर n है और -1 को बाहर निकाल लो तो -1 की पावर आ जाएगा n - 2/2 और 2 आयो की पावर कितना आ जाएगा तो 2 आयो की पावर भी आ जाएगा n - 2/2 अब इन दोनों को क्लब कर लो ना इन दोनों को क्लब कर लो तो इन दोनों को क्लब कर लेंगे तो पावर्स को सबै करेंगे ना तो बेसिकली पावर कितना बन जाएगा इन दोनों को माइनस कर दो पावर को माइनस कर दो समझ गए पावर को माइनस करेंगे तो ऐसा कुछ आएगा है ना ू आयो की पावर ये तो ये कितना बन गया ये आ जाएगा 2n - n + 2 अप 2 तो ये बन रहा है n+ 2/2 मतलब बेसिकली अगले स्टेप में आ जाएगा 2 आयो की पावर कितना n + 2 डिवाइडेड बाय 2 और नीचे है -1 की पावर n-2 डिवा बा 2 ये आ रहा है और हम चाहते हैं कि इसका वैल्यू क्या बन जाए हम चाहते हैं कि इसका वैल्यू बन जाए पॉजिटिव इंटी जर तो इसका वैल्यू पॉजिटिव इंटी जर कब बनेगा सोचो यू नीड टू फाइंड फ आउट द लीस्ट वैल्यू ऑफ़ n मिनिमम से मिनिमम वैल्यू n का अब तो पुट करके चेक कर सकते हो यार लेकिन आपको पता है कि आयो आ रहा है तो सिंस आयो आ रहा है तो आयो का आयो की पावर फोर करना पड़ेगा ना आयो की पावर 4 करोगे तभी वो वन बनेगा ठीक है आयो की पावर 4 करोगे तभी तो वो वन बनेगा तो ये n + 2/2 जो है उसका वैल्यू कितना बनना चाहिए n + 2/2 का वैल्यू बनना चाहिए फर और अगर इसका वैल्यू फोर बनेगा तो n का वैल्यू कितना बनेगा आप तो हिट एन ट्रायल से चेक भी कर सकते हो इसके बाद तो n की वैल्यूज आप पुट करते जाओ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 तो मिनिमम से मिनिमम कौन सा आएगा जहां पर ये पॉजिटिव इंटी जर बनना चाहिए ठीक है तो मिनिमम से मिनिमम वो आएगा जब ये n + 2/2 ये कितना बन जाएगा यह बन जाएगा इक्वल टू 4 यही आ रहा है क्या चेक करो एक बार यहां से n का वैल्यू सिक्स आ रहा है तो n का वैल्यू सि लेना पड़ेगा आपको n का वैल्यू सि ले सकते हो ठीक है n का वैल्यू सिक्स तो बस दैट इज द आंसर फाइनल आंसर इसका आ गया n = 6 मिनिमम से मिनिमम सिक्स पे आएगा पॉजिटिव इंटी जर आना चाहिए वो तो आप पुट कर कर के चेक भी कर सकते हो ठीक है तो ये भी काफी चिंदी सवाल और आगे बढ़ते हैं एक क्वेश्चन ये भी आया था जेई मेन 2021 में है ना यहां पे एक 3 प् 2 आयो कॉस थीटा और नीचे हमारे पास है 1 माइ 3 आयो कस थीटा तो आप क्या करोगे इसको रलाइज करोगे ना इसको रलाइज करने के लिए ऊपर नीचे मल्टीप्लाई डिवाइड करना पड़ेगा तो आयो को रिप्लेस कर दो माइनस आयो के साथ तो जहां पर आयो है वो माइनस आयो बन जाएगा तो यह उसका कंजुल डिवाइड कर लो बस कजुट से ऊपर भी आ जाएगा 1 प्स 3 आयो कॉस थीटा ठीक है आपको रियल पार्ट निकालना है य जस्ट नीड टू फाइंड आउट द रियल पार्ट ऑफ दिस कॉम्प्लेक्शन बन गया उसका रियल पार्ट निकालो और इक्वल टू 0 कर दो सिंपल एज दैट ठीक है तो रियल पार्ट कैसे निकालेंगे यहां प बस ऊपर तो मल्टीप्लाई कर दो ऊपर मल्टीप्लाई करोगे तो एक तो यहां पे आएगा थ्री ठीक है फिर अगला टर्म क्या आएगा अगला टर्म आ जाएगा 9 आयो क थीटा ये आयो वाले टर्म अगर आप नहीं भी लिखोगे तो भी चलेगा है ना मैं यहां पे लिख देता हूं ताकि किसी को कंफ्यूजन क्रिएट ना हो मैं तो पूरा ही मल्टीप्लाई कर देता ठीक है प्लस 6 आयो स्क्वा कोस स्क्वा थीटा ये आ जाएगा और नीचे क्या आ जाएगा नीचे बेसिकली है a- बी ए प् बी तो ए माइ बी ए प् बी वो होता है a स् माइन बी स्क a स् माइ बी स् तो बेसिकली आयो स्क्वा माइव हो जाएगा ना तो बीच में हमेशा प्लस आता है ठीक है a स्क माइन बी स्क होता है बट आयो स्क्वायर इ माइव तो माइनस माइनस प्लस हो जाएगा और नीचे आ जाएगा 9 कॉस स्क्वा थीटा इसका रियल पार्ट कितना आ रहा है अब रियल पार्ट को अलग करो ना यहां पर आयो स्क्वायर को भी -1 पुट कर दो ये जो आयो स्क्वायर आपको दिख रहा है इसको हम -1 पुट कर सकते हैं तो व्हाट इज द रियल पार्ट ऑफ दिस इसको जीरो कर दो बस इसको जीरो कर दोगे तो कस स्क्वायर थीटा कितना आ गया न्यूमरेशन को जीरो कर दो बस ओके तो न्यूमरेशन को जीरो कर दोगे तो कस स्क्वा थीटा इसका वैल्यू कितना आ गया क स्क्वा थीटा का वैल्यू आ गया 3/6 मतलब 1/2 आ गया ठीक है ये 1/2 आ गया अगर ये 1/2 आ गया मतलब थीटा का वैल्यू पाई बा 4 लो 45 डिग्री ठीक है 45 डिग्री आ गया तो 45 डिग्री आ गया तो इसमें सब्सीट्यूट कर दो तो फाइनली क्या आंसर बनेगा अपने को निकालना ये है चमक गया ना तो अपने को निकालना है है सा स्क्वा और 3 पा बा 4 आ जाएगा ये और प्लस क स्क्वा पा बा 4 अब सिंस यहां पे स्क्वायर है तो / √2 का होल स्क्वायर ही आएगा ठीक है प्लस हो या माइनस हो कोई मतलब नहीं है तो बेसिकली इसका वैल्यू निकाल दो बस आप तो तो अल्टीमेटली वन आ रहा है सबका व्हाट इज द फाइनल आंसर फाइनल आंसर इसका वन बनेगा 1/2 1/2 चमक गया होगा ठीक है तो ये भी काफी सिंपल सा क्वेश्चन रियल पार्ट निकाल के जीरो करना था फाइन रियल पार्ट ऑफ निकाल लोगे और आगे बढ़ते हैं अगला अपना जो पार्ट है दैट इज स्क्वायर रूट ऑफ कॉम्प्लेक्शन का भी एक शॉर्टकट होता है तो मैं डायरेक्टली आपको शॉर्टकट ही बता देता हूं ठीक है इसके ऊपर एक डिटेल वीडियो भी बनाया था मैंने बहुत सालों पहले ठीक है अब मुझे याद भी नहीं है एगजैक्टली कि कब बट हां यह शॉर्टकट एक होता है इसको आप डायरेक्टली यूज कर सकते हो इसका लेंथी मेथड बहुत लेंथी है उसका नाम ही लेंथी मेथड है ठीक है इसका लेंथी मेथड जो है वो बहुत ही लेंथी है इसीलिए डायरेक्टली शॉर्टकट शॉर्टकट को समझ लो है ना ताकि आपके सारे क्वेश्चन शॉर्टकट मेथड से हो जाएंगे स्क्वायर रूट ऑफ कॉम्प्लेक्शन हो जाएंगे कोई एक्सेप्शन नहीं है इसमें क्योंकि स्क्वायर रूट ही तो निकालना है तो अगर स्क्वायर रूट ऑफ एनी जैसे ये एक कॉम्प्लेक्शन निकल के आएगा वो आएगा x + आवा अब ये x और y को निकालने का डायरेक्ट एक शॉर्टकट फार्मूला वो शॉर्टकट फॉर्मूला ये है कि आप ये जो a और b है ना उसको स्क्वायर करके ऐड कर दो मतलब ये पाइथागोरस थ्योरम टाइप का आप अज्यू कर सकते हो तो अंडर रूट a स् + b स् यहां पे भी अंडर रूट ऑफ a स् + b स् अब एक बार आपको करना है + a और डिवाइडेड बायट और एक बार आपको करना है - a डिवा बा 2 मतलब ये ये रियल पार्ट जो रियल पार्ट है उसको ऐड करो डिवाइड बाय टू करो माइनस करो डिवाइड बाय टू करो एक एग्जांपल करते हैं तभी ये क्लियर होगा ठीक है देखो इसका एक एग्जांपल ये वाला ले लो जैसे फॉर एग्जांपल ये ठीक है ठीक है इसका जो आंसर है वो कुछ ना कुछ आएगा अच्छा एक चीज और मैं आपको बता देता हूं जब भी आप स्क्वायर रूट ऑफ कॉम्प्लेक्शन नंबर निकाल रहे हो दो आंसर आते है हमेशा ऑलवेज यू विल गेट टू आंसर्स तो पहले ही आप प्लस माइनस तो लिख लिया करो ठीक है हमेशा दो आंसर आएंगे एक प्लस एक माइनस ऑलवेज 100% ठीक है बीच में जो साइन है वो आप बीच में लगा दो ठीक है यहां पे आयो भी लगा दो तो बस ऐसा कुछ आपका आंसर आएगा यहां पे आएगा x और यहां पे आएगा y बस अब आपको x और y का वैल्यू निकालना है सिंपल तो ऐसा बेसिक स्ट्रक्चर आप डायग्राम बना लो बेसिकली जैसे बायोलॉजी में बनाते हैं ठीक है तोय डायग्राम बना दिया अब एक् और वा का वैल्यू निकालने का शॉर्टकट क्या था यहां पर लिखो x स्क यहां पर लिखो y स्क है ना आपको करना है अंडर रट 3 स् प् 4 स् मतलब बेसिकली पाइथागोरस थोरम तो अंडर रूट ऑफ ये कितना आएगा ये अलग से निकाल लिया करो आप 3 स् प् 4 स्क्वा तो ये कितना आ जाएगा बताना आप अगर करोगे अंडर रूट 3 स् प् 4 स् तो 5 आएगा ना तो यहां पर 5 लिख लो यहां पे भी फाइव लिख लो ठीक है आपको सिंपल कुछ नहीं करना है ये जो कॉम्प्लेक्शन समझते हो तो मॉड्यूस निकालना है है ना मॉड्यूल वैसे अभी हम पढ़ेंगे बट अगर आप नहीं समझते हो तो आप अंडर रूट ऑफ 3 स् + 4 स् कर लो मॉड्यूस ऑफ कॉम्प्लेक्टेड वाइड बाय टू करना है तो बस यहां से x स् कितना आ गया यहां से x स् का वैल्यू आ गया फोर और y स् का वैल्यू आ गया वन तो एक्स का वैल्यू आप लिख दोगे टू और वा का वैल्यू लिख दोगे न इसमें प्लस माइनस और यह सब यूज करने की आपको जरूरत नहीं वो हमने पहले ही लगा दिया है ओके वो सब प्लस माइनस कुछ नहीं आएगा यही शॉर्टकट है तो एक्स का वैल्यू टू और वा का वैल्यू न तो बस दिस इज द आंसर समझ गया तो यह अपना फाइनल आंसर आ गया यस ये क्लियर है क्या और एग्जांपल्स करें चलो थोड़े और एग्जांपल्स करते तो यह तो हमने कर दिया है ना दिस इ डन ये ट्राई करो इसमें क्या आंसर आएगा इसमें बेसिक जो आंसर आएगा ना उसमें आप पहले बेसिक डायग्राम बनाओगे बेसिक डायग्राम में बीच में जो साइन होता है वही साइन बीच में आता है तो बस ऐसा डायग्राम बनेगा बीच में साइन कौन सा है माइनस का तो आपका जो आंसर है उसमें भी बीच में साइन कौन सा आएगा माइनस का आएगा अब x स् और y स्क्र आपको निकालना पड़ेगा तो x स्क और y स्क्र निकालो तो 3 45 पाइथागोरियन ट्रिपलेट एक बार प् 3 डिवाइड बाटू करो और एक बार -3 डिवाइड बाटू करो तो यहां से x का वैल्यू कितना निकलेगा एक्स का वैल्यू वही निकलेगा ट और वा का वैल्यू निकलेगा न तो बस दिस इ द आंसर ठीक है आंसर आ गया यहां पर आंसर क्या आएगा इसका आंसर अगर आप निकालना चाहते हो तो अगेन आप यहां पर लिख लो प्लस माइनस बीच में कौन सा साइन है बीच में साइन है प्लस का तो आप भी प्लस ही लिखोगे हैना बीच में जो साइन है वो आप कॉपी पेस्ट ज्यादा दिमाग नहीं लगाना है ओके तो ये और उसके बाद एक् स् और वा स्क्र निकालने के लिए तो एक् स्क और वा स्क्र निकालने के लिए सबसे पहले तो आप इन दोनों को स्क्वायर करके ड कर होगा ना तो a स् + b स् और उसका रूट तो अंडर √ 3 स् + 4 वो तो फ ही आएगा ठीक है तो पाइथागोरियन ट्रिपलेट यहां पे तो फव ही आएगा और एक बार आपको ये ये रियल पार्ट है ठीक है दिस इज द रियल पार्ट ऑफ z तो उसको ऐड करना है तो अब यहां पे ध्यान रखना कि एक बार आपको रियल पार्ट को ऐड करना है और एक बार आपको सबै करना है और डिवाइड बाय टू करना है तो बस यहां पे x का वैल्यू आ जाएगा वन और y का वैल्यू आएगा टू उल्टा हो जाएगा इधर वन और इधर टू सो दिस इज द आंसर और इसमें माइनस आ जाएगा बस बीच में माइनस है ना तो इसका आंसर आ जाएगा प्लस माइनस x का वैल्यू वही आएगा और y का बीच में माइनस आएगा ठीक है बीच में माइनस और फिर y का वैल्यू टू आएगा ये चमका y का वैल्यू टू आ जाएगा सो दिस इज द आंसर अंडरस्टूड यस ये चमक गया होगा मेरे ख्याल से एक और क्वेश्चन करो चलो ये ये चारों का आंसर बताओ एक-एक करके है ना तो इन चारों का आंसर क्या-क्या आएगा इसका आंसर यहां पे लिखते हैं प्लस माइनस बीच में क्या है प्लस तो लगा दो और आयो लगा दो ठी x और y का वैल्यू निकालना है तो x स् y स् अब ये ये इसमें पाइथागोरियन ट्रिपलेट क्या होता है 7 24 25 होता है ना तो 25 आ जाएगा 25 में एक बार ् से करोगे और एक बार 25 में -7 कर दोगे तो ये कितना बन रहा है यहां से आ जाएगा x स् = 16 और y स् इक्व टू y स् = 9 आ जाएगा ठीक है तो एक्स का वैल्यू कितना 4 और वा का वैल्यू कितना थ बस दिस इज द आंसर ठीक है सिमिलरली यहां पर आंसर क्या आ जाएगा यहां पर भी अगर आप करोगे तो x स्क और वा स्क्वा का सेम ही आएगा यहां पर भी है तो 25 प् 7/2 और 25 - 7/2 तो इसका आंसर क्या बनेगा इसका जो फाइनल आंसर बनेगा वो बनेगा प्लस माइनस बीच में माइनस बीच में माइनस है ना तो माइनस आयो एक का वैल्यू एक का वैल्यू फोर है ना x का वैल्यू वही जो हमने पहले निकाला था तो फोर और यहां पे थ तो बस ये आंसर है मतलब 4 - 3 आयो और प्लस माइनस अंडरस्टूड और सिमिलरली यहां पे क्या आ जाएगा इसमें x और y का वैल्यू इंटरचेंज हो जाता है मतलब यहां पे अगर आप x स् और y स् निकालने जाओगे तो 25 तो आएगा ही ओके 25 तो आएगा ही लेकिन इसमें आपको प्लस करना पड़ेगा -7 और डिवाइडेड बाटू यहां पे आपको माइनस करना पड़ेगा -7 और डिवाइडेड बाटू समझ गए ना एक बार प्लस मा 7 एक बार माइनस माइन से तो ये बन जाएगा x स् इ 9 और y स्क इ 16 ठीक है तो इसका आंसर क्या बनेगा इसमें भी प्लस माइनस आएगा बीच में कौन सा साइन आएगा प्लस का ओके आयो भी आएगा और एक्स का वैल्यू 3 है वा का वैल्यू फोर है ठीक है मतलब 3 प् 4 आयो और प्लस माइनस 3 प् 4 आयो और प्लस माइनस ठीक है सिमिलरली यहां प इसका मैं डायरेक्टली लिख दू प्लस माइनस बीच में माइनस आएगा आयो आएगा और यहां पे थ्री और फोर ही आएगा बस ठीक है चमक गया होगा सो दिस इज द डायरेक्ट आंसर और इसके ऊपर जेई वाला क्वेश्चन भी कर लो ठीक है इसके ऊपर जेई मेन 2020 में क्वेश्चन आया था तो बेसिकली इन्होंने रूट ऑफ -54 लिख दिया तो रूट ऑफ -54 क्या होता है रट 54 मतलब ये होता है 9 * 6 ये तो 3 √6 हो गया ना बेसिकली ये जो लिखा हुआ है आप इसको अगर ध्यान से देखोगे तो रूट ऑफ माइ 54 जो होता है ना उसको हम लिख सकते हैं दिस इज रूट ऑफ -1 * 6 * 9 तो बेसिकली ये लिखा हुआ है 3 √6 आयो ये लिखा हुआ है ये दिख गया सबको तो बस रिप्लेस कर दो ताकि एटलीस्ट आयो के फॉर्मेट में आ जाए अपना ठीक है तो आयो के फॉर्मेट में ये 3 √6 आयो और इस पूरे की पावर है 1/2 मतलब स्क्वायर रूट है समझ गए ना दिस इज पावर 1/2 मतलब स्क्वायर रूट और माइनस और यहां पे बन जाएगा 3 - 2 और 3 √6 इन आयो ठीक है तो इसकी पावर है 1/2 तो बस इसमें आप स्क्वायर रूट निकालो दोनों का दोनों का स्क्वायर रूट अपने को निकालना पड़ेगा ठीक है तो कितना कितना आएगा इसको थोड़ा और मैं सिंपलीफाई करके लिख दूं क्या तो ये लिखा हुआ है अंडर रूट ऑफ ठीक ये लिखा हुआ है अंडर रूट 3 प् 6 र स आयो इसका स्क्वायर रूट आपको निकालना है अब शॉर्टकट लगा लो और यहां पर लिखा हुआ है क्या य दिख गया ना सबको लिखा क्या हुआ है वो आपको दिख जाना चाहिए कि यह लिखा हुआ है इसका स्क्वायर रूट आपको निकालना है इसके दो आंसर आएंगे इसके भी दो आंसर आएंगे ठीक है दोनों के दो दो आंसर आएंगे तो बेसिकली एक काम करते पहले डायग्राम बना लेते हैं ओके इसका डायग्राम कैसा बनेगा यहां पर डायग्राम में आएगा प्लस माइनस ठीक है और बीच में प्लस साइन है तो बीच में हम भी प्लस लगा देंगे ठीक है ऐसा कुछ डायग्राम आएगा इधर भी प्लस माइनस और बीच में माइनस है तो हम भी माइनस लगा देंगे ठीक है तो डायग्राम बन गया अब x स् और y स्क आपको निकालना पड़ेगा उसके लिए पहले आप निकाल लो अंडर रूट x स् प्वा स् जरूरी थोड़ी कि हर बार मतलब पाइथागोरियन ट्रिपलेट ही आएंगे ठीक है तो आप आपको 3 स्क्वा और 6 √6 का स्क्वायर और उसका अंडर रूट ये निकालना पड़ेगा ठीक है तो वो निकाल लो आप कहीं साइड में यहां पर निकाल लेते हैं अंडर रूट ऑफ 3 का स्क्वायर और 6 रट स का स्क्वायर ये कितना आएगा इसको करोगे तो य ना और यह कितना बन जाएगा यह बन जाएगा 216 अल्टीमेटली यह बन गया 225 तो 15 आ गया य तो दिख गया 15 15 आ गया अगर य 15 आ गया तो एक्स स् और वा स्क्र निकालो एक्स स् और वा स्क्र निकालने के लिए 15 तो आएगा ही दोनों में ठीक है दोनों में 15 15 आएगा एक बार इसको प्लस करेंगे एक बार इसको प्लस करके बाटू करेंगे एक बार माइनस करके बाटू करेंगे ठीक है तो बेसिकली यहां से कितना आ गया ये यह बन गया 9 एक स् का वैल्यू ना आ गया और y स्क्र का वैल्यू ये आ जाएगा 6 मतलब बेसिकली x का वैल्यू 3 और y का वैल्यू √6 ठीक है तो x का वैल्यू 3 एक का वैल्यू 3 और y का वैल्यू √6 यहां पर भी 3 और √6 अब क्वेश्चन में आपसे पूछा है कि इसका इसका जो इमेजिनरी पार्ट है ओके इमेजिनरी पार्ट ऑफ दिस कॉम्प्लेक्शन में लिखा हुआ है या तो डबल होगा या कैंसिल होगा यही आपको समझ में आ रहा है ना यहां पे आयो √6 उधर - आयो √6 अगर बीच में आप माइनस ले लोगे तो माइनस माइनस प्लस तो 2 आयो √6 हो जाएगा ना तो या तो डबल होगा या कैंसिल होगा समझिए ना तो बेसिकली वन ऑफ़ द पॉसिबिलिटी जो आपको दिख रहा है दैट इज़ ऑप्शन बी ऑप्शन बी पॉसिबल है बस और कुछ पॉसिबल नहीं है तो यह चमक गया यस अगर आपको यह शॉर्टकट नहीं पता है तो आपको लॉन्ग कट से दो बार स्क्वायर रूट ऑफ कॉम्प्लेक्टेड है ठीक है तो यह अपना काफी अच्छा मेथड है मतलब है ना आप आइडेंटिफिकेशन कट है ही यस ऑप्शन बी इज द आंसर फॉर दिस क्वेश्चन और आगे बढ़ते हैं अब बात करते हैं कॉन्जुलेरे मीनिंग और ये सारी चीजें हम डिटेल में समझते हैं ठीक है कॉन्जुलेरे लोग कंफ्यूज होते रहते हैं कंजुल कि आयो को रिप्लेस करना है माइनस आयो से चाहे कुछ भी हो है ना फ्यूचर में जब मतलब ऐसा भी कॉम्प्लेक्टेड का डेफिनेशन आप पकड़ो वो यह है कि आयो को रिप्लेस कर दो माइनस आयो के साथ किसी भी चीज का कजुट निकालना है बस आयो की जगह माइनस आयो कंफ्यूज होने की जरूरत ही नहीं है ऐसा थोड़ी कि केवल x प् आवा फॉर्म में लिखा है तो ही उसका x माइ आवा होगा है ना यह तो मतलब आपका थोड़ा सब सेट हो गया सुपर सेट सीखो आप सुपर सेट ये है कि आयो को माइनस आयो से रिप्लेस कर दो कोई भी कॉम्प्लेक्टेड को रिप्रेजेंट करते हैं बार से मतलब एक z के ऊपर एक ऐसे टोपी पहना दो ओके तो अपने को टोपी पहना नहीं है z बार समझ गए कॉन्जुलेरे प्रेजेंट करने का ये तरीका है कॉन्जुलेरे ये कॉम्प्लेक्शन ने बहुत ही खूबसूरत सा डाउट पूछा था ठीक है वो मुझे आज भी याद है तो उसने काफी इंटरेस्टिंग डाउट पूछा था कि सर ये जो सी ए है वो क्या है वो कार्टून नेटवर्क है क्या तो फिर उसको समझाना पड़ा कि देखो भाई कॉन्जुलेरे नंबर है ये ठीक है यस तो आपको टोपी पहना नहीं है और आयो की जगह माइनस आयो अच्छा इसका ज्योमेट्री मीनिंग क्या होगा मतलब मान लो कि अगर आपके पास एक कॉम्प्लेक्टेड कॉम्प्लेक्टेड ले लिया मतलब ज्योमेटिक आपने क्या किया ज्योमेट्री आपने रियल एक्सेस में उसका मिरर इमेज ले लिया ये वाला जो कॉम्प्लेक्शन है दिस इज 2 3 और ये वाला जो 3 ना तो 2 3 यहां पे लाई करेगा है ना दिस पॉइंट इज़ 2 3 और 2 -3 कहां पे आएगा इसका मिरर इमेज आएगा यस दिस पॉइंट इज 2 -3 तो बेसिकली कॉन्जुलेरे अप्रेजमेंट करता है कॉन्जुलेरे प्रेजेंट करता है मिरर इमेज ऑफ़ दैट पॉइंट इन रियल एक्सिस ये कौन सी ये कौन सी एक्सिस है ये रियल एक्सिस है ठीक है तो रियल एक्सिस में किसी भी कॉम्प्लेक्टेड आपको मिल जाएगा तो कंजुल इट विल रिप्रेजेंट द मिरर इमेज ऑफ दैट कॉम्प्लेक्शन ठीक है आपने सिंपली क्या किया अगर आपने आयो को माइनस आयो से रिप्लेस कर दिया मतलब अननोइंग आपको पता भी नहीं था और आपने यह कर दिया आपने रियल एक्सस में मेरे इमेज ले लिया आपको पता था क्या नहीं पता था ना बट आपने यह कर दिया ठीक है आपको नहीं पता था बट यह हो गया अब सिमिलरली अगला जो डेफिनेशन है दैट इज मॉड्यूस ऑफ गिवन है उसका मॉड्यूस कैसे निकालते हैं मॉड्यूस को रिप्रेजेंट ऐसे करते हैं मड z ओके और मॉड्यूस ऑफ कॉम्प्लेक्शन निकालने के लिए अंड √ x स् + y स् अभी हमने इसको यूज़ किया ना अपने शॉर्टकट में यूज़ किया अ फॉर फाइंडिंग स्क्वायर रूट ऑफ कॉम्प्लेक्शन ये मॉड्यूस ऑफ़ z मॉड्यूस ऑफ़ z निकालने का सिंपल फॉर्मूला है अंडर √ ऑफ x स् + y स् और ज्योमेट्री यह क्या रिप्रेजेंट करेगा ज्योमेट्री यह रिप्रेजेंट करेगा डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन जैसे मान लो अगर कोई भी एक कॉम्प्लेक्शन प्लेन के ऊपर लेकिन जब इसको आर्गन प्लेन के ऊपर रिप्रेजेंट करेंगे तो x y आएगा और x y का डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन कितना होगा ये डिस्टेंस कितना होगा ये डिस्टेंस ही तो होगा ना अंडर रूट x स् + y स् ये वाला जो डिस्टेंस है ये डिस्टेंस ही तो होगा अंडर रट x स् + y स् तो ये डिस्टेंस जो है उसी को हम बोलते हैं मॉड्यूस ऑफ z ठीक है तो मॉड्यूस ऑफ जड रिप्रेजेंट्स द डिस्टेंस ऑफ दैट कॉम्प्लेक्शन मॉड्यूस इ ऑलवेज डिस्टेंस आप ऐसे ध्यान में रखो है ना मॉड्यूस ऑफ जड मतलब उस पॉइंट का डि जैसे एक एग्जांपल भी ले लो फॉर एग्जांपल मान लो आपके पास एक कॉम्प्लेक्शन से इसका डिस्टेंस आएगा ओरिजिन से कितना यह वाली डिस्टेंस है थ्र और यह वाली डिस्टेंस है फोर तो यह वाली डिस्टेंस कितनी आ जाएगी ये डिस्टेंस वही आएगी ना अंडर रूट 3 स् प् 4 स् और यही तो है मॉड्यूस ऑफ जड तो मॉड्यूस ऑफ जड ऑलवेज रिप्रेजेंट्स डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन ये चमक गया होगा ठीक है अच्छा तो ज्योमेटिक मीनिंग तो अपने को क्लियर हो गया और आगे बढ़ते है डिस्टेंस फार्मूला अब देखो डिस्टेंस फार्मूला को भी अगर आपने जल्दी से जल्दी समझ लिया ना तो काफी सारे क्वेश्चन आपके सॉल्व हो जाएंगे तो इसको आप ध्यान से समझना अगर कोई भी दो कॉम्प्लेक्शन प्लेन पर रिप्रेजेंट कर दिया इसलिए कोऑर्डिनेट फॉर्म में है लेकिन एक्चुअली ये z1 ज2 क्या होंगे अगर मैं आपसे पूछूंगा कि z2 कौन सा एक्चुअली ये वाला दिखाता हूं आपको है ना एक बार निकालना z2 - z1 निकालो आप और फिर उसका मॉड्यूस कर लेंगे ठीक है तो z2 कितना है z2 है x2 प् आयो y2 ठीक है और z1 कितना है z1 है x1 प्स आयो y1 ठीक है दोनों का वैल्यू सब्सीट्यूट कर दिया वैल्यू सब्सीट्यूट करके जो रियल पार्ट है उनको क्लप कर लो तो यहां पर x2 और यहां पर x1 तो x2 - x1 ये आ गया और आयो के साथ क्या आ गया के साथ आ जाएगा y2 मानवाव ये आ गया अब ये एक फॉर्मूला ही तो आ गया अगर आप ध्यान से देखोगे तो ये डिस्टेंस फॉर्मूला ही तो आ गया मतलब इन शॉर्ट अगर आपको दो कॉम्प्लेक्शन के बीच में डिस्टेंस निकालना है तो आप केवल मॉड्यूस ऑफ z1 - z2 निकाल लो ये समझ में आया अगर आपको दो कॉम्प्लेक्शन के बीच में डिस्टेंस निकालना है तो आप सिंपल मॉड्यूस ऑफ z1 - z2 निकाल लो यू विल गेट द डिस्टेंस बिटवीन टू कॉम्प्लेक्शन यह जो होता है ना एक और इंटरेस्टिंग चीज मैं आपको बताता हूं जब हम लिखते हैं मॉड्यूस ऑफ z मॉड्यूस ऑफ जड एक्चुअली होता है मॉड्यूस ऑफ ज माइ 0 आपको दिखता नहीं है बट जीरो होता तो है ही ना वहां पर इसीलिए यह क्या रिप्रेजेंट करता है ये रिप्रेजेंट करता है डिस्टेंस ऑफ जड फ्रॉम ओरिजिन डिस्टेंस ऑफ जड फ्रॉम ओरिजिन तभी यह है डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन और यह क्या है यह है डिस्टेंस बिटवीन z1 ज2 मतलब बेसिकली दो कॉम्प्लेक्शन ले लिया तो मोड ज आ जाएगा ना ऑटोमेटिक मोड ऑफ z - 0 मतलब z और 0 के बीच में डिस्टेंस अगर मैं आपको बोलूंगा कि मोड ऑफ मान लो कहीं पर लिखा हुआ है कि मोड ऑफ z माइनस आयो तो ये क्या रिप्रेजेंट करेगा तो ये रिप्रेजेंट करेगा डिस्टेंस बिटवीन डिस्टेंस बिटवीन z एंड दूसरा डिस्टेंस बिटवीन z2 एंड z1 इज मॉड्यूस ऑफ z2 - z1 अगर यहां पे लिखा है z - आयो मतलब इट इज डिस्टेंस बिटवीन z एंड आयो चमक गया होगा मेरे ख्याल से ठीक है कभी-कभी ऐसा भी लिखा रहता है कि भाई मॉड्यूस ऑफ z + 1 इसको आप ऐसे लिख लेना z - -1 ठीक है तो ये क्या रिप्रेजेंट करता है दिस विल रिप्रेजेंट द डिस्टेंस बिटवीन दिस इज डिस्टेंस बिटवीन z एंड -1 एंड -1 ठीक है -1 भी एक है -1 और -1 मतलब -1 0 यहां पे आयो का मतलब 01 आयो का क्या मतलब है आयो मतलब 0 + 1 आयो तो 01 है ये पॉइंट और वो वाला जो पॉइंट है वो है -1 0 तो -1 0 एक पॉइंट होगा आर्गन प्लेन के ऊपर z एक वेरिएबल पॉइंट है दोनों के बीच में जो डिस्टेंस है वो है मॉड्यूस ऑफ z+ 1 चमक गया होगा मेरे ख्याल से ठीक है तो ये डिस्टेंस वाली चीज काफी इंपोर्टेंट है और अगला जो अपना डेफिनेशन है दैट इज आर्गुमेंट ऑफ कॉम्प्लेक्शन नंबर इसको भी आप ध्यान से समझ लो अगर कोई भी एक कॉम्प्लेक्शन प्लेन के ऊपर ठीक है ये कॉम्प्लेक्शन प्लेन के ऊपर तो वो जो एंगल बनाएगा विथ पॉजिटिव रियल एक्सेस ये कौन सी एक्सिस है यह है पॉजिटिव रियल एक्सिस तो पॉजिटिव रियल एक्सिस के साथ जो एंगल बनाएगा उस एंगल को हम बोलते हैं आर्गुमेंट इसको रिप्रेजेंट करने का तरीका ये होता है आर्गुमेंट ऑफ z ठीक है आर्गुमेंट ऑफ z विल बी इक्वल टू थीटा ये उसको रिप्रेजेंट करने का तरीका है तो व्हाट इज द डेफिनेशन डेफिनेशन यही है कि अगर कोई भी एक कॉम्प्लेक्शन उसी को हम बोलते हैं आर्गुमेंट अच्छा यहां पे एक और चीज अगर आप मेजर करोगे एंटीक्लॉक वाइज डायरेक्शन में इस एंगल को जैसे यहां पे हम एंटीक्लॉक वाइज कर रहे हैं अगर आप एंटीक्लॉक वाइज में करोगे तो हमेशा उसको पॉजिटिव लेते हैं और अगर क्लॉक वाइज में करोगे तो हमेशा उसको नेगेटिव लेते है ये स्टैंडर्ड अपना कन्वेंशन है ठीक है ये तो ट्रिग्नोमेट्री से चलता आ रहा है इनफैक्ट आपने ट्रिग्नोमेट्री में भी यही कन्वेंशन फॉलो किया था तो पूरे मैथमेटिक्स में यही कन्वेंशन हो होता है एंटीक्लॉक वाइज पॉजिटिव क्लॉक वाइज विल बी नेगेटिव ठीक है तो ये जो एंगल है इसी एंगल को आप ऐसे भी तो मेजर कर सकते हो ना आप यहां प बोल सकते हो कि अच्छा सर ये जो और उसने ऐसे मेजर कर दिया कि यहां से उसने स्टार्ट किया एक पूरा सर्कल कंप्लीट किया और फिर यहां तक आ गया तो ये भी तो आर्गुमेंट है तो मैं बोलूंगा हां ये भी एक आर्गुमेंट है है ना दिस इज आल्सो आर्गुमेंट तो 2 पा प् थीटा भी होता है आर्गुमेंट ठीक है सिमिलरली एक और बच्चा आ गया उसने बोला कि नहीं सर मैं तो दो सर्कल कंप्लीट करूंगा मेरे पास तो टाइम ही टाइम है ठीक है तो वो दो सर्कल कंप्लीट कर लेगा ऐसा एक सर्कल कंप्लीट किया उसने दूसरा सर्कल कंप्लीट किया और फिर यहां थीटा तक पहुंचा तो उसमें आपका आ जाएगा 4 पा प् थीटा ये भी एक एंगल है तो ये सब आर्गुमेंट है तो आर्गुमेंट के मल्टीपल आंसर्स हो सकते हैं ठीक है आर्गुमेंट के मल्टीपल आंसर्स हो सकते हैं बट ये जो सबसे छोटा आर्गुमेंट होता है ना उसको हम बोलते हैं प्रिंसिपल आर्गुमेंट ओके इसको हम बोलते हैं प्रिंसिपल आर्गुमेंट ओके इसको हम बोलते हैं प्रिंसिपल आर्गुमेंट जो सबसे छोटा वैल्यू है जो बेसिकली माइनस पाई और पाई के बीच में लाई करेगा ठीक है तो उसी से अपना अगला डेफिनेशन आता है व्हिच इज प्रिंसिपल आर्गुमेंट तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट इज दैट आर्गुमेंट व्हिच विल ऑलवेज बी बिटवीन - पाई एंड पाई - पाई और पाई के बीच में होगा मतलब यहां पे आप ऐसे सोचो कि अगर कोई पॉइंट है फर्स्ट क्वाड्रेंट में मान लो यहां पे कोई पॉइंट है तो उसमें आप आर्गुमेंट ऐसे मेजर कर लोगे ठीक है ये एंगल आ जाएगा थीटा अगर कोई पॉइंट है सेकंड क्वाड्रेंट में मान लो यहां पे कहीं पे कोई पॉइंट है तो एंगल कितना बनाएगा ये तो एंगल ये आएगा ना देन दिस इज द एंगल देन दिस इज द आर्गुमेंट अगर कोई पॉइंट है थर्ड क्वाड्रेंट में थर्ड क्वाड्रेंट में कोई पॉइंट है तो आप एंगल नीचे से मेजर कर लो मतलब उसमें नेगेटिव आएगा है ना यह क्लॉक वाइज हो गया अब तो क्लॉक वाइज तो उसमें नेगेटिव आएगा यस और अगर कोई पॉइंट है फोर्थ क्वाड्रेंट में तो उसमें भी आप नीचे से कर लो यहां पे कहीं पे फोर्थ क्वाड्रेंट में कोई पॉइंट है तो यहां पे भी आप अ जो आर्गुमेंट है उसको नीचे से मेजर कर सकते हो मतलब इन शॉर्ट आपका जो प्रिंसिपल आर्गुमेंट आएगा वो हमेशा - पा और पाई के बीच में ही आएगा देखो मैक्सिमम से मैक्सिमम कितना हो सकता है ये एंगल ये एंगल मैक्सिमम से मैक्सिमम पाई हो सकता है ना और मिनिमम से मिनिमम कितना हो सकता है माइ पाई ऊपर से देखोगे तो पाई नीचे से देखोगे तो - पाई ठीक है तो डेफिनेटली आपका जो प्रिंसिपल आर्गुमेंट आएगा दैट इज ऑलवेज बिटवीन - पाई एंड पाई अब इसका भी एक शॉर्टकट मेथड होता है है ना इसमें आपको बिल्कुल कंफ्यूज होने की जरूरत नहीं है कोई भी कॉम्प्लेक्शन आर्गुमेंट आप विदन सेकंड्स निकाल सकते हो है ना उसके लिए भी एक बेसिकली मस्त मेथड है ना तो वो मेथड मैं आपको बता देता हूं इसमें आई थिंक काफी सारे लोग कंफ्यूज रहते हैं अगेन बट इसको भी सिंपलीफाई कर दिया एकदम कॉम्प्लेक्शन कर दिया है ठीक है तो एक उसका भी मस्त मेथड वो मस्त मेथड क्या है देखो तीन स्टेप में आपका आंसर आएगा कोई भी कॉम्प्लेक्शन आर्गुमेंट आप निकालना चाहते हो ठीक है दुनिया का कोई भी कॉम्प्लेक्शन आर्गुमेंट आ जाएगा अगर आप ये तीन स्टेप फॉलो करोगे तो पहला स्टेप क्या है फाइंड अल्फा अल्फा निकाल लो बाय यूजिंग दिस फॉर्मूला तो फॉर्मूला याद रखना है ओके न इवर्स मड ऑफ b बा a और ये b और a क्या है तो b और a ये अपना कॉम्प्लेक्शन पार्ट ऑफ जड एंड ए इज द रियल पार्ट ऑफ जड ठीक है तो फार्मूला में सब्सीट्यूट करना और अल्फा निकालो अल्फा निकालने के बाद आप आइडेंटिफिकेशन देखना है कि अच्छा सेकंड क्वाड्रेंट है तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट आएगा पाई माइन अल्फा अगर थर्ड क्वाड्रेंट है तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट आएगा अल्फा माइनस पाई अगर फोर्थ है तो माइनस अल्फा तो ये टेबल आपको याद करना है यह टेबल जो है वो आपको याद रखना है जो भी क्वाड्रेंट आएगा उसके हिसाब से प्रिंसिपल आर्गुमेंट आप चिपका दो सिंपल एज दैट जैसे एक क्वेश्चन मैं आपको करके दिखाता हूं है ना इतना मतलब हवा हवा में नहीं समझ में आएगा एक एग्जांपल ले लो तो ये एक सुंदर सा एग्जांपल इसमें इसको आप पहले तो कंपेयर कर लो प् आयो बी के साथ मुझे बताओ कि ए का वैल्यू कितना है और बी का वैल्यू कितना है तो कंपेयर कर लो तो ए का वैल्यू है वन और बी का वैल्यू है माइनस √3 यस और नो ठीक है ए का वैल्यू वन है और बी का वैल्यू आपको लेना है विद साइन ठीक है विद साइन विदाउट साइन कोई वैसे ज्यादा फर्क पड़ेगा नहीं क्योंकि अल्टीमेटली मोड है तो आप अल्फा का वैल्यू निकालो स्टेप नंबर वन तो स्टेप नंबर वन है अल्फा का वैल्यू न इवर्स और ये न इवर्स अच्छा जो 11थ वाले बच्चे के लिए अगर इवर्स और यह सब आपको नहीं आता है तो आप सिंपल न अल्फ ले लो ये न इवर्स को इधर भेज दो ये बन जाएगा न अल्फ आप तो ऐसे लिख लो न अल्फ इ मोड ऑफ बी बा ए ठीक है ताकि जो 11थ वाले बच्चे वो भी ज्यादा कंफ्यूज नहीं होंगे न इवर्स से अपने को कोई मतलब भी नहीं है वैसे भी तो बस ये फार्मूला में सब्सीट्यूट कर दो फार्मूला में सब्सीट्यूट करोगे तो - √3 डिवा बा 1 तो ये अल्टीमेटली √3 आ रहा है तो अगर न अफ √3 आ रहा है तो अल्फा का वैल्यू कितना अगर ये √3 आ रहा है तो अल्फा का वैल्यू कितना 60 डिग्री ना मतलब पाई बा 3 ठीक है ये पाई बाथ आ गया यस 60 डिग्री अल्फा आ गया पाई बा 3 और ये क्वाड्रेंट कौन सा है अगर आप कॉम्प्लेक्टेड में लाई करेगा एक्स कोऑर्डिनेट है पॉजिटिव तो सेकंड स्टेप ये कौन से क्वाड्रेंट में लाई करेगा एक है पॉजिटिव y है नेगेटिव तो फोर्थ क्वाड्रेंट में आएगा अगर फोर्थ क्वाड्रेंट में आएगा तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या होगा तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट के लिए आपको यूज करना है माइनस अल्फा तो व्हाट इज द आंसर माइनस अल्फा मतलब - 5/3 इज द आंसर तो इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट आएगा माइन पा बा 3 और प्रिंसिपल आर्गुमेंट का मतलब वही है कि ये एंगल मतलब ये जो पॉइंट है वो आपका फोर्थ क्वाड्रेंट में है अगर ये फोर्थ क्वाड्रेंट में है तो ये जो एंगल आएगा ना वो एक्चुअली आपका आएगा पा बा 3 बट ये सिंस क्लॉक वाइज है है ना ये आप क्लॉक वाइज जा रहे हो ना क्लॉक वाइज जा रहे हो मतलब माइनस 5/3 इ द आंसर तो यह आपका आंसर आ जाएगा ठीक है चलो और सिमिलरली एक दो एग्जांपल और कर लेते जैसे इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट निकालो और इसका भी आप प्रिंसिपल आर्गुमेंट निकालो तो फटाफट एक बार चैट में है ना फटाफट से प्रिंसिपल आर्गुमेंट लिख दो चलो है ना दो कॉम्प्लेक्शन न तीन स्टेप में आपका आंसर आ जाएगा ठीक है इसमें ए और बी का वैल्यू ए और बी का वैल्यू तो अब आप समझ ही गए ना तो न अल्फा डायरेक्टली निकालो तो न अल्फा आ जाएगा मोड ऑफ बी बा ए ठीक है तो ये तो आ गया वन तो अल्फा का वैल्यू आ गया पाई बा 4 और ये क्वाड्रेंट कौन सा है ये पॉइंट है -1 -1 मतलब ये कौन से क्वाड्रेंट में आएगा ये आएगा थर्ड क्वाड्रेंट में ठीक है और थर्ड क्वाड्रेंट में क्या होता है आंसर प्रिंसिपल आर्गुमेंट इन द थर्ड क्वाड्रेंट होता है अल्फा माइन पा तो आपका आंसर आ जाएगा पा बा 4 - पा तो फाइनली आंसर इज -3 पा बा 4 तो दिस इज द आंसर ठीक है समझ गए माइनस 3 पा बा 4 अल्फा - पा थर्ड क्वाड्रेंट में ये होता है ठीक है सेकंड क्वाड्रेंट में ये होता है फर्स्ट क्वाड्रेंट में ये है और फोर्थ क्वाड्रेंट में ये है तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट के लिए ये टेबल आपको याद रखना पड़ेगा ठीक है यस एक और क्वेश्चन करते हैं इसमें बताओ स्टेप नंबर वन स्टेप नंबर वन न अल्फ निकालो तोन अल्फ विल बी मोड ऑफ बी बा ए ठीक है मोड ऑफ बी बाय मोड ऑफ बी बा ए तो ये आ गया रथ अगर ये रथ आ गया तो अल्फा का वैल्यू कितना आ गया पाई बा 3 तो सेकंड स्टेप इसमें पॉइंट कौन सा है पॉइंट है माइव माइन √3 तो यह भी थर्ड क्वाड्रेंट में है अगर यह थर्ड क्वाड्रेंट में है मतलब प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या होगा तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट होगा अल्फ माइनस पाई अल्फ मा पाई तो पाई बा 3 माइनस पाई तो फाइनल आंसर इज -2 पाई बा 3 तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट कैसे निकालते है समझ में आ गया -2 पाई बा 3 आएगा ये 2 पाई बा 3 वाले कौन है अरे थर्ड और फोर्थ में नेगेटिव ही तो आएंगे क्लॉक वाइज अगर आप थर्ड और फोर्थ क्वाड्रेंट में जाओगे तो आपको क्लॉक वाइज ही तो जाना पड़ेगा ना ये थर्ड क्वाड्रेंट में है तो नीचे से ही जाना पड़ेगा फोर्थ क्वाड्रेंट में भी नीचे से ही जाना पड़ेगा फर्स्ट और सेकंड में पॉजिटिव आता है तो प्लस का तो ठीक है भयंकर चमका तो ये चमक गया होगा मेरे ख्याल से और आगे बढ़ते हैं अच्छा अगर कोई पॉइंट है टू मतलब z = 2 तो इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या होगा z = 2 मतलब 2 प् आयो 0 ये कौन सा पॉइंट है ये पॉइंट है 2 0 और यह पॉइंट कहां पे लाई करेगा यह पॉइंट लाई करेगा पॉजिटिव रियल एक्सिस पे ना यह आपकी पॉजिटिव रियल एक्सिस है और ये पॉजिटिव इमेजिनरी एक्सस है और ये पॉइंट यहां पे लाई करेगा ना 0 तो अगर अगर कोई पॉइंट यहां पर लाई कर रहा है तो एंगल कितना बनेगा विथ पॉजिटिव रियल एक्सिस मतलब बेसिकली अगर आप इसको ओरिजिन के साथ जॉइन करोगे तो ये है और इसका एंगल कितना है विथ पॉजिटिव रियल एक्सेस जीरो है तो इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या आएगा फर्स्ट वाले का आंसर है प्रिंसिपल आर्गुमेंट विल बी इक्वल टू जीरो तो अगर कोई भी नंबर है जो कि पॉजिटिव रियल एक्सेस प प्रेजेंट है तो उसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या आता है हमेशा जीरो आता है ठीक है ये वाला पॉइंट ले लो आप ये वाला पॉइंट ले लो आप यह वाला पॉइंट ले लो य ये सारे पॉइंट्स इन सबका प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या है इन सबका प्रिंसिपल आर्गुमेंट जीरो अगर कोई पॉइंट यहां पर लाई करता है तो तो वो एंगल कितना बनाएगा तो वो एंगल बनाएगा पाई बाटू ना दिख गया सबको यह एंगल बनेगा तो यहां पर अगर आप कोई भी पॉइंट ले लोगे पॉजिटिव इमेजिनरी एक्सेस के ऊपर तो यह सारे पॉइंट्स का प्रिंसिपल आर्गुमेंट आएगा पाई बाटू यहां पर प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या आएगा ये सारे पॉइंट्स का तो ये सारे पॉइंट्स का प्रिंसिपल आर्गुमेंट आता है पाई देखो यहां पर आप हमेशा ध्यान रखना कि जो पाई है उस पर क्लोज है और माइनस पाई पर ओपन है मतलब अगर कोई पॉइंट आपका यहां पर है तो आप ऊपर से मेजर करोगे ना कि नीचे से नीचे से नहीं करेंगे ऊपर से करेंगे हमारे पास दोनों ऑप्शन है ना ऊपर से भी कर सकते नीचे से भी कर सकते हैं तभी इन्होने क्या किया कि डेफिनेशन को एडजस्ट कर दिया तो माइनस पाई जो है व प्रिंसिपल आर्गुमेंट के रेंज में नहीं होता है तो हम आंसर क्या बोलेंगे माइनस पाई बोलेंगे की पाई बोलेंगे अगर कोई भी पॉइंट है जो नेगेटिव इमेजिनरी एक्सेस के ऊपर है तो हम आंसर बोलेंगे पाई ठीक है तो यहां पर प्रिंसिपल आर्गुमेंट आता है ऊपर से करेंगे तो पाई आता है ठीक है प्रिंसिपल आर्गुमेंट पाई और अगर कोई पॉइंट यहां पे है तो अगर कोई पॉइंट यहां पे है तो ये सारे पॉइंट्स का प्रिंसिपल आर्गुमेंट कितना आएगा इसमें आ जाएगा - 5/2 यस - 5/2 अल्टीमेटली ये ध्यान रखना कि भाई माइ पाई और पाई के बीच में होना चाहिए - पाई और पाई के बीच में होना चाहिए समझ गए ना तो अब सब क्या आंसर बता दो ये वाला पॉइंट कहां पे लाई करता है ये है 0 -1 आयो मतलब ये पॉइंट है 0 -1 ना तो ये तो यहां पे लाई करता है 0 -1 तो इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट कितना आएगा इसका आंसर है - 5/2 यस इसका आंसर - 5/2 आ जाएगा ये वाला पॉइंट है 03 03 मतलब यहां पे कहीं पर लाई करेगा अगर यहां पे लाई करेगा तो इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट कितना आएगा इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट आएगा पा / 2 और यह वाला पॉइंट है पाई प् आयो 0 मतलब बेसिकली ये पॉइंट है पाई 0 और पा 0 यहां पे कहीं पे लाई करेगा ना 3.14 पा 0 तो इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट कितना आएगा इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट आएगा जीरो चमक गया यस तो अगर कोई पॉइंट है जो कोऑर्डिनेट एक्सेस प लाई कर रहे हैं तो उनके भी प्रिंसिपल आर्गुमेंट आप आराम से निकाल सकते हो ना एक तो अपना शॉर्टकट हो गया लेकिन शॉर्टकट आप वहां पे लगाओ जहां पे बेसिकली दोनों है कोई भी जीरो नहीं है ठीक है यहां पर कुछ कुछ जीरो है यस या तो आयो वाला जीरो है या फिर रियल पार्ट जीरो है तो वहां पर आप डायरेक्टली देख सकते हो डायग्राम से अच्छा एक होता है लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट एल पए यह भी एक होता है जैसे एक होता है प्रिंसिपल आर्गुमेंट वैसे ही एक होता है लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट अब इसका नाम है पॉजिटिव सिंस इसका नाम है पॉजिटिव तो बेसिकली अपने को एंटी क्लॉक वाइज में ही मेजर करना पड़ेगा अगर आप क्लॉक वाइज में करोगे तो तो नेगेटिव आंसर आ जाएगा तो ईस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट को मेजर करने का तरीका होता है एंटीक्लॉक वाइज इसमें आप हमेशा एंटीक्लॉक वाइज मेजर करोगे मतलब अगर कोई पॉइंट है फर्स्ट क्वाड्रेंट में तो आप लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट क्या बोलोगे ये वाला एंगल अगर कोई पॉइंट है सेकंड क्वाड्रेंट में तो आप लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट क्या बोलोगे तो आप लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट बोलोगे ये वाला एंगल अगर कोई पॉइंट है थर्ड क्वाड्रेंट में तो आप लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट क्या बोलोगे तो भी आप ऊपर से ही करोगे तो आप बोलोगे ये वाला एंगल ठीक है और अगर कोई पॉइंट फोर्थ क्वाड्रेंट में यहां पे कहीं प कोई पॉइंट है तो लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट अगेन ऊपर से ही आता है ठीक है तो ये वाला एंगल आपको निकालना पड़ेगा अंडरस्टूड अगर आपके पास प्रिंसिपल आर्गुमेंट आ गया है मतलब ये एंगल तो आपके पास आ गया होगा ना दिस एंगल ये आप निकाल सकते हो बाय यूजिंग प्रिंसिपल आर्गुमेंट और ये जो ऊपर वाला है वो है लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट तो अगर आपके पास प्रिंसिपल आर्गुमेंट आ गया तो लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट भी आ जाएगा ना आप 360 में से माइनस कर देना टोटल होता है 360 ये ग्रीन वाला सर्कल और प्लस ये प्रिंसिपल आर्गुमेंट तो टोटल कितना है 360 तो 360 में से माइनस कर देना तो आपका यहां पर लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट भी आ जाएगा लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट का रेंज क्या होगा बताओ अगर कोई पॉइंट है जैसे मान लो कोई पॉइंट है जो यहां पर है तो उसका लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट क्या आएगा बता सकते हो अगर अगर कोई पॉइंट है जो यहां पर है पॉजिटिव रियल एक्सेस प है तो उसका लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट जीरो नहीं आएगा क्योंकि जीरो पॉजिटिव नहीं होता है ना अरे नाम तो समझो इसका नाम है लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट तो लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट का जो रेंज होता है ना लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट का जो रेंज होता है वो होता है 0 से 2 पाई लेकिन जीरो पे ओपन होता है और 2 पाई पे क्लोज होता है क्योंकि जीरो इज नॉट पॉजिटिव जीरो इज नाइ दर पॉजिटिव नॉर नेगेटिव वो कुछ भी नहीं है ना तो पॉजिटिव है ना नेगेटिव है तो इसीलिए जीरो को एक्सक्लूड करना पड़ेगा 2 पाई को इंक्लूड करेंगे तो अगर कोई पॉइंट यहां पे प्रेजेंट है तो उसका लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट आएगा 2 पाई ना कि जीरो है ना 2 पाई लेना पड़ेगा अपने को अच्छा अगर कोई पॉइंट यहां पे है तो अगर कोई पॉइंट यहां पे है तो उसका लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट क्या आएगा 5/2 आएगा क्योंकि आप ऐसे मेजर करोगे अगर कोई पॉइंट यहां पे है तो आप ऐसे मेजर करोगे ठीक है तो यहां पे लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट क्या आएगा पाई अगर कोई पॉइंट यहां पे है तो लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट क्या आएगा तो आप ऐसे करोगे ना ये वाला एंगल एंटीक्लॉक वाइज ही करना है आपको एंटीक्लॉक वाइज ओनली तो यहां पे आ जाएगा 3 पा / ये चमक गया लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट आप कैसे निकाल सकते हो वो क्लियर है क्या यस तो 2 पा पा / 2 पा और यहां पे 3 पा / 2 ये लीस्ट पॉजिटिव आर्गुमेंट है और प्रिंसिपल आर्गुमेंट आप देख लो 0 पा / 2 पा और ये - 5/2 बट प्रिंसिपल आर्गुमेंट ही आपसे ज्यादातर पूछेंगे ये लीस्ट पॉजिटिव उतना ज्यादा फेमस नहीं है ठीक है अपना प्रिंसिपल पे ज्यादा फोकस करना इस पे थोड़ा कम करना फाइन तब भी चलेगा ओके और आगे बढ़ते हैं अब बात करते हैं प्रॉपर्टीज ऑफ मॉड्यूल अस कंजुल सही बात है अगर एक कॉम्प्लेक्शन डिफाइंड नहीं है ठीक है ओरिजिन मतलब बेसिकली आर्गुमेंट ऑफ जीरो इज नॉट डिफाइंड बिल्कुल सही बात है यस आगे बढ़ते हैं मॉड्यूस की प्रॉपर्टीज मॉड्यूस की प्रॉपर्टीज में पहली प्रॉपर्टी तो बहुत ही चिंदी है कि आप मॉड्यूस ऑफ z निकालो z ब निकालो माइनस ज निकालो या माइनस ज बार निकालो एवरीथिंग विल बी सेम सेम ही होगा ना वैसे भी आपको आईडिया लग रहा है जैसे फॉर एग्जांपल मान लो कोई x का स्क्वायर करो या माइनस एक्स का स्क्वायर करो कोई फर्क पड़ेगा क्या कोई फर्क नहीं पड़ेगा तो पहली प्रॉपर्टी आपको क्लियर है दूसरी और तीसरी जो प्रॉपर्टी है य और चौथी प्रॉपर्टी भी इसमें आप ये समझ लो कि जो मॉडल होता है मॉड्यूल इज ऑलवेज मॉड्यूल इज ऑलवेज डिस्ट्रीब्यूटर ओके मॉड्यूल इज ऑलवेज डिस्ट्रीब्यूटर ओवर मल्टीप्लिकेशन एंड डिवीजन है ना ओवर मल्टीप्लिकेशन एंड डिवीजन मतलब डिवीजन और मल्टीप्लिकेशन में आप इसको डिस्ट्रीब्यूटर सकते हो जैसे फॉर एग्जांपल अगर z1 * z2 है z1 * z2 का मॉड्यूस है तो आप इसको ब्रेक कर सकते हो मॉड्यूस ऑफ z1 मल्टीप्ला बाय मॉड्यूस ऑफ z2 ये प्लस और माइनस में नहीं होता है ये केवल मल्टीप्लिकेशन और डिवीजन में होता है ऐसा मत लिख देना ठीक है कभी अगर ऐसा आ गया कि z1 + z2 का मॉड्यूस तो क्या इसको हम ऐसे लिख सकते हैं मॉड्यूस ऑफ z1 प् मॉड्यूस ऑफ z2 नहीं ये नहीं होता है मतलब नॉट ऑलवेज ये कभी-कभी हो सकता है कभी-कभी हो सकता है आपने जैसे वेक्टर्स में पढ़ा होगा ना ठीक है ये कभी-कभी हो सकता है बट नॉट ऑलवेज अंडरस्टूड तो ये कोई प्रॉपर्टी नहीं है बट हां मल्टीप्लिकेशन में और डिवीजन में आप हमेशा उसको डिस्ट्रीब्यूटर सकते हो ठीक है मल्टीप्लिकेशन में आप अलग कर सकते हो डिवीजन में भी आप दोनों को अलग-अलग कर सकते हो मॉड्यूस ऑफ z1 डिवाइडेड बाय मॉड्यूस ऑफ z2 एंड अगर ये वाली प्रॉपर्टी आ गई जैसे फोर्थ वाली जो प्रॉपर्टी है दैट इज जस्ट द एक्सटेंशन ऑफ सेकंड प्रॉपर्टी ये जो सेकंड प्रॉपर्टी है उसी को आप एक्सटेंड कर दो सेकंड प्रॉपर्टी को एक्सटेंड करोगे तो ऐसा लिखा हुआ है ना z इन ज इन ज ऐसा कितनी बार लिखा हुआ है n नंबर ऑफ टाइम्स ये लिखा हुआ है तो बेसिकली आप यही वाली प्रॉपर्टी लगा दो सेकंड प्रॉपर्टी तो सेकंड प्रॉपर्टी लगा दोगे तो ऐसा आ जाएगा ना मोड जड इन मोड जड इन मोड जड ये आ जाएगा n नंबर ऑफ टाइम्स तो बेसिकली ये बन गया ना ये बन गया मोड ज की पावर ए और ये लिखा हुआ है मोड ऑफ ज की पावर ए चमक गया ना तो मतलब ये फोर्थ वाली जो प्रॉपर्टी है वो सेकंड प्रॉपर्टी से ही आती है उसी को बस एक्सटेंड कर दिया और कुछ नहीं है यस ये भी क्लियर है तो प्रॉपर्टीज ऑफ मॉड्यूस क्लियर है प्रॉपर्टीज ऑफ कॉन्जुलेरे छोटा पैकेट बड़ा धमाका ठीक है क्योंकि यह काफी धमाके करता है ठीक है काफी इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी है मतलब ज जड बार इ मोड z स्क तो इसको ध्यान रखना और उसके साथ-साथ सेकंड और थर्ड प्रॉपर्टी को आप देख लो इसमें है कि अगर z पोरली रियल है तो ये तो बहुत ही ओबवियस सी बात है ना अगर कोई नंबर है जैसे मान लो कोई एक नंबर है z और वो है टू इट इज पोरली रियल तो इसका कॉन्जुलेरे आयो को माइनस आयो से रिप्लेस करोगे तो कुछ फर्क ही नहीं पड़ेगा ना समझ रहे हो ये जो कॉम्प्लेक्शन है तो वहां पे z बार का वैल्यू आएगा माइनस ज के बराबर z बार विल बी इक्वल जैसे एग्जांपल ले लो आप फिर से लाइक फॉर एग्जांपल z आपके पास 3 आयो तो z बार क्या आ जाएगा ये आ जाएगा -3 आयो बस आयो की जगह माइनस आयो समझ गया ना तो z बार विल बी माइनस ऑफ z ठीक है अच्छा ये प्रॉपर्टी में बेसिकली क्वेश्चंस ऐसे आएंगे देखो आप आप ना ये सब याद मत करना आप ऐसे याद करो बेसिकली इसको याद करने का सही तरीका मैं आपको बता रहा हूं है ना प्रॉपर्टीज मतलब ये तो चिंदी है खैर चलो बट प्रॉपर्टी को याद करने का सही तरीका यह है डब्बा मेथड अगर डब्बा जो है वो प्योर रियल है तो आप लिखो इफ डब्बा इज पोरली रियल देन डब्बा विल बी इक्वल टू डब्बे का बार इस फॉर्मेट में आप प्रॉपर्टी को याद रखो डब्बे के अंदर कुछ भी आ सकता है है ना कल को एक ऐसा कॉम्प्लेक्शन आपने ऐसे पढ़े होंगे कि z प्व अप z-1 दिस इज पोरली रियल ऐसे क्वेश्चन आपने करे होंगे ना ऐसे क्वेश्चन आपने थोड़े बहुत अगर पढ़ा है तो इसमें कांसेप्ट क्या लगाना होता है जैसे ही आप पढ़ोगे कि हां ये डब्बा है और ये डब्बा जो है ना वो प्योर रियल है तो आप इसमें कांसेप्ट क्या अप्लाई करोगे डब्बा इक्वल टू डब्बे का बार अगर कोई भी कॉम्प्लेक्शन क्या बनाओगे z + 1 अप z - 1 ये डब्बा और डब्बे का बार इस पूरे का बार ले लो ठीक है इस पूरे का बार ले लो और इक्वेट कर दो और जो बार होता है ना वो डिस्ट्रीब्यूटर होता है आप अगली तीनों प्रॉपर्टीज देख लो ये ये और ये तो जो बार है मतलब जो टोपी है वह आप इंडिविजुअल इंसानों के ऊपर पहना सकते हो जैसे यह दोनों के ऊपर टोपी है तो दोनों टोपी पहन लेंगे है ना z1 बार और z2 बार अलग-अलग हो जाएगा इसमें भी अगर दोनों के ऊपर टोपी है z1 टोपी z2 टोपी समझ गए ना दोनों के ऊपर बारबार आ जाएगा यस ये बारबार वाली कहानी समझ में आ गई ठीक है मतलब बेसिकली आप ऐसे ही याद कर कर लो इन तीनों को अगर याद करना है तो आप ऐसे ही याद कर लो कि यहां पे z1 है यहां पे z2 है बीच में प्लस आए माइनस आए मल्टीप्लिकेशन आए डिवीजन आए कुछ भी आए पूरे का अगर बार है है ना प्लस माइनस मल्टीप्लाई डिवाइड कुछ भी देन यू कैन डिस्ट्रीब्यूटर कर सकते हो तो z1 बार प्लस माइनस मल्टीप्लाई डिवाइड कुछ भी हो ठीक है और z2 बार आप इंडिविजुअल टोपी पहना सकते हो इंडिविजुअल टोपी पहना दो तो बार को आप डिस्ट्रीब्यूटर सकते हो मतलब यहां पे जो बार है ना वो इंडिविजुअल z के ऊपर आ जाएगा बस अगले स्टेप में तो अगले स्टेप में ये ऐसा बन जाएगा अगले स्टेप में ये जो होल बार है वो हट जाएगा और इंडिविजुअल जो भी कॉम्प्लेक्टेड तो आप इंडिविजुअल टोपी पहना सकते हो फाइन दैट इज द प्रॉपर्टी इन कॉन्जुलेरे सेम एज द प्रॉपर्टीज ऑफ लॉग ठीक है लॉग की प्रॉपर्टीज आप याद रखो लॉग की जैसी प्रॉपर्टी होती है ना वैसी जैसे आपने पढ़ा होगा नाल mnnit.ac.in और सब में आपने यहां पर लगा दिया 2k पाई ये 2k पाई क्यों लगाया ये 2k पाई इसलिए लगाया क्योंकि आर्गुमेंट है ना आर्गुमेंट की तो इंफाइटिंग का वैल्यू कोई एक ही होगा जो कि - पा और + पा के बीच में होगा समझ गए तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट के लिए आपको यह एडजस्ट करना पड़ेगा और उसी को एडजस्ट करने के लिए यह 2k पा यहां पे जुड़ जाता है ये क्लियर है क्या आपको यस तो सिंस यहां पे जो आर्गुमेंट होता है वो उसकी इंफाइटिंग यहां पे k क्या है k इज इंटी जर k का वैल्यू 1 2 3 4 5 6 7 ये सारी वैल्यूज आप ले सकते हो तो पहले आएगा 2 पा फिर 4 पा फिर 6 पा 7 है ना इस तरह से मतलब ये आगे बढ़ता जाएगा यस 2 4 पाई 6 पाई 8 पाई 10 पाई है ना के का वैल्यू आप पुट करते जाओ टूथ 4 तो बेसिकली ऑल द प्रॉपर्टीज ऑफ आर्गुमेंट आर सेम एस प्रॉपर्टीज ऑफ लॉग ठीक है तो आप ऐसे याद कर लो तो ये सारी प्रॉपर्टीज क्लियर है क्या अब इसके ऊपर क्वेश्चंस करते हैं ठीक है तो ये क्वेश्चन आया था जेई मेन 2021 में और यह काफी चिंदी क्वेश्चन है ठीक है ये एक बार ट्राई करो देखो अगर आपको प्रॉपर्टीज का नॉलेज है तो यह चिंदी है अगर बिना प्रॉपर्टी के करोगे तो फिर यह बहुत कॉम्प्लिकेटेड है तो यहां पे लेट अ कॉम्प्लेक्शन गिवन है जो कि है w तो w एक कॉम्प्लेक्शन है व्हिच इज 1 -3 आयो ठीक है ये कॉम्प्लेक्शन वाली बात है नहीं ये भी अपने को गिवन है अपने को ये भी गिवन है कि मॉड्यूस ऑफ z * w दिस इज इक्वल टू 1 तो देखो यहां पे प्रॉपर्टी यूज कर सकते हैं यहां पे प्रॉपर्टी यूज कर सकते हैं ना कि भाई मॉड्यूस ऑफ z मल्टीप्ला बाय मॉड्यूस ऑफ w दिस विल बी इक्वल टू 1 तो यहां से आ जाएगा मॉड्यूस ऑफ z इव ू 1 अपन मॉड्यूस ऑफ w और मॉड्यूस ऑफ w कितना है ये w आपको गिवन है कॉम्प्लेक्शन नंबर ये कॉम्प्लेक्शन गिवन है तो इसका मॉड्यूस निकालो मॉड्यूस कैसे निकालते हैं अ √ x स् + y स् अ √ x स् अच्छा यहां पे √3 है रूट है ठीक है तो अंड √ x स् + y स् तो ये आ जाएगा इसका वैल्यू कितना आएगा इसका वैल्यू टू आ जाएगा ठीक है तो मॉड्यूस ऑफ़ w कितना है तो w का मॉड्यूस है टू तो इसका मॉड्यूस आ गया 1/2 ठीक है तो मॉड्यूस ऑफ जड आ गया अगर मॉड्यूस ऑफ जड आ गया तो आगे अपने को क्या गिवन है देखो आगे अपने को ये भी गिवन है आर्गुमेंट ऑफ जड यहां पर अगर आप ध्यान से देखोगे तो आर्गुमेंट ऑफ जड माइनस आर्गुमेंट ऑफ डब् माइनस आर्गुमेंट ऑफ डब् ये आपको गिवन है ठीक है ये कितना गिवन यह गिवन है पाई नहीं ये गिवन है पाई बाटू ठीक है तो ये पाई बाटू गिवन है तो एक काम करते है देखो इसका जो डायग्राम है उसको आप थोड़ा विजुलाइज कर की कोशिश करो एक काम करते हैं आर्गुमेंट ऑफ ड को थीटा मान लेते हैं लेट मी अजूम की ये जो एंगल बनाएगा वो थीटा है अगर मैंने इसको थीटा अजूम कर लिया तो इसका आर्गुमेंट कितना आ जाएगा आर्गुमेंट ऑफ z कितना आ जाएगा है ना आर्गुमेंट ऑफ ज आ जाएगा यहां से आप निकाल लो आर्गुमेंट ऑफ ज आ जाएगा पाई बाटू प् थीटा यस और नो ये सबको समझ में आया तो मैंने यहां पर अजूम कर लिया कि जो ड का आर्गुमेंट है वो थीटा है तो तो सबसे पहले आप डब को प्लॉट करो अगर इसका आप डायग्राम बनाने की कोशिश करोगे तो डब जो है वो कहां पर है वो ये वाला पॉइंट है ना वनमा माइ √3 तो 1 माइन √3 मतलब एक का वैल्यू पॉजिटिव है y का वैल्यू नेगेटिव है यहां प कहीं प आएगा फोर्थ क्वाड्रेंट में है ना दिस पॉइंट इज वमा माइन √3 ठीक है 1 माइन √3 ये आपका ड है ठीक है स दिस इड इसको आप जॉइन कर लो इसके साथ और इसका जो मॉड्यूस है इसका मॉड्यूस कितना है इसका मॉडल टू मतलब ये वाली जो डिस्टेंस है ना ये टू होगी डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन आपको ज्योमेटिक मीनिंग समझ में आ रहा है यस एक कॉम्प्लेक्शन टू है ये पॉइंट है डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन आपने निकाल लिया ठीक है और ये जो ये बेसिकली जो डबल है वो एंगल कितना बना रहा है ये एंगल बना रहा है ये एंगल बना रहा है थीटा अगर ये थीटा एंगल बना रहा है तो z जो एंगल बना रहा है दैट इज पा / 2 प् थीटा तो पा बा 2 प् थीटा कहां पे आ जाएगा इन दोनों के बीच में एंगल पाई बाट हो जाएगा ना मतलब बेसिकली आप ऐसे मान लो कि ये वाला जो एंगल है है ना एंटीक्लॉक वाइज ही कर लेते हैं अगर आप एंटीक्लॉक वाइज कर लोगे तो मान लो ये एंगल थीटा है इफ दिस एंगल इज थीटा तो थीटा प् पा / 2 कहां पे पहुंच जाएगा थीटा प् पा / 2 यहां पे पहुंच जाएगा ना मतलब बेसिकली जो z होगा वो यहां पे कहीं पे होगा दिस एंगल एंगल बिटवीन देम विल बी 90 डिग्री ये समझ में आया दिस यहां पर कहीं प जड होगा ठीक है यहां पर कहीं प जड होगा बेसिकली आप ऐसे इमेजिन कर लो ना कि ये जो एंगल बना रहा है विथ पॉजिटिव एक्स एक्सिस वो थीटा है तो ये पूरा एंगल थीटा है अगर यह पूरा एंगल थीटा है तो व जड में जो एंगल होगा वो थीटा से पाई बाटू ज्यादा होगा तो आपको थीटा तक तो चलना ही है पाई बाटू आपको एक्स्ट्रा चलना है तो यहां पर z आ जाएगा मतलब बेसिकली ये जो ट्रायंगल बनेगा वो कैसा बनेगा बेसिकली ये जो ट्रायंगल बनेगा वो राइट एंगल ट्रायंगल बनेगा और मॉड्यूस ऑफ जड आपने ऑलरेडी निकाल रखा है ठीक है मॉड्यूस ऑफ z इज 1/2 तो ये वाली जो डिस्टेंस है ये 1/2 है तो बस ट्रायंगल का एरिया कितना आ गया व्हाट इज द एरिया ऑफ द ट्रायंगल एरिया ऑफ द ट्रायंगल आ जाएगा 1/2 * बेस * हाइट राइट एंगल ट्रायंगल है अगर राइट एंगल ट्रायंगल है तो 1/2 * बेस * हाइट ये कैंसिल हो जाएगा अल्टीमेटली आंसर आ गया 1/2 और यही पूछा है ठीक है यही तो पूछा है कि फाइंड आउट द एरिया ऑफ द ट्रायंगल विथ वर्टिसेज ओरिजिन z एंड ड ठीक है तो ओरिजिन z और ड ओरिजिन ये नीचे ड है ऊपर z है वो एरिया आपको बताना है ठीक है अगर आप प्रॉपर डायग्राम नहीं भी बनाओगे ना तो भी चलेगा अगर किसी को प्रॉपर डायग्राम नहीं भी बनाना है तो भी आप ऐसे बना सकते हो रफ डायग्राम कि मान लो यहां पर कहीं प ड है है ना ये मान लो ये डिस्टेंस है टू और जड वाला जो है उसमें प्लस पाई बाटू कर दो बस आप इसका जो भी एंगल है ठीक है मान लो इसका जो भी एंगल है थीटा तो थ प्स पा बाट तो बस दोनों के बीच में 90 डिग्री एंगल होगा आपको चमक गया कि राइट एंगल ट्रायंगल है अगर राइट एंगल ट्रायंगल है तो ये ये वाली ये वाली साइड है 1 बाटू और ये वाली साइड है टू हाफ इनटू बेस इनटू हाइट वैसे ही आप मतलब दिमाग में कर सकते हो प्रॉपर डायग्राम बनाने की जरूरत भी नहीं है यस चमका कितने लोगों को चमक गया अरे चमका कि नहीं न बाटू इज द आंसर यस ऑप्शन बी इज द आंसर फॉर दिस क्वेश्चन तो ये जेई मेन 2021 का है ना सिंपल सा क्वेश्चन आपको क्लियर हो गया और आगे बढ़ते हैं अब बात करते हैं रिप्रेजेंटेशन ऑफ कॉम्लेक्स नंबर्स की तो रिप्रेजेंट कैसे कर सकते हैं हम ओके तो मेनली यहां पे चार बेसिक फॉर्मेट है पहला है कार्टीजन फॉर्म दूसरा है पोलर फॉर्म जिसको हम ट्रिगोनोमेट्रिक फॉर्म भी बोलते हैं तीसरा यूलर फॉर्म या एक्सपो शियल फॉर्म भी बोलते हैं इसको ओके एक्सपो शियल अ फॉर्म ओके एक्सपो शियल फॉर्म भी बोलते हैं या फिर वेक्टर फॉर्म तो ये चारों के चारों अपने को पढ़ने है कार्टीजन फॉर्म पोलर फॉर्म यूलर फॉर्म और वेक्टर फॉर्म ठीक है तो एक-एक करके पढ़ते हैं तो ये वाला जो फॉर्मेट आपने पढ़ा है x + आवा इसी को बोलते हैं कार्टीजन फॉर्म मतलब अगर कोई भी कॉम्प्लेक्शन आपको इस फॉर्मेट में गिवन है है ना लेट्स से 3+ 2 आयो अगर इस फॉर्मेट में आपको गिवन है तो इसी को हम बोलते हैं कार्टीजन फॉर्म ठीक है तो कार्टीजन फॉर्म तो आप ऑलरेडी आपने पढ़ ही रखा है है ना x + आवा दैट इज कार्टीजन फॉर्म अच्छा कार्टीजन फॉर्म से आगे बढ़ते हैं सेकंड अपना ट्रिग्नोमेट्री फॉर्म या पोलर फॉर्म तो अगर किसी भी वही कार्टीजन फॉर्म था नाम है बस ठीक है इसमें आप देखो अगर कोई भी एक कॉम्प्लेक्टेड ऑफ जड आ इज द मॉड्यूस ऑफ जड एंड थीटा इज द आर्गुमेंट ऑफ ज आर्गुमेंट मतलब बेसिकली आप यहां पर प्रिंसिपल आर्गुमेंट को ले सकते हो ठीक है यू कैन टेक प्रिंसिपल आर्गुमेंट तो बेसिकली r इन कस थीटा प्स आयो सा थीटा जैसे फॉर एग्जांपल एक एग्जांपल ले लेते हैं ताकि सबको क्लियर हो जाए लेट्स से फॉर एग्जांपल मैं आपको z दे दूंगा कार्टीजन फॉर्म में आप उसको कन्वर्ट कर दो पोलर फॉर्म में लाइक फॉर एग्जांपल लेटस से हमारे पास है 1 माइनस आयो ले लो आप ओके 1 माइनस आयो 1 माइनस आयो एक कॉम्प्लेक्शन फॉर्म में क्योंकि ये तो x प् आवा फम फॉर्म है इसको कन्वर्ट करना है पोलर फॉर्म में तो पोलर फॉर्म में कन्वर्ट करने के लिए आपको दो चीजें निकालनी पड़ेगी एक आपको निकालना पड़ेगा मॉड्यूस ऑफ ज और एक आपको निकालना पड़ेगा आर्गुमेंट ऑफ z ये दोनों चीजें निकालो है ना तो मॉड्यूस ऑफ z कैसे निकालते हैं तो अंडर रूट ऑफ 1 स् ् 1 स् आ जाएगा तो इसका वैल्यू तो √2 आ गया ये क्लियर है क्या मॉड्यूस ऑफ z मॉड्यूस ऑफ z क्या होता है अंडर रूट x स् प् y स् ना तो x का वैल्यू व है और y का वैल्यू -1 है तो 1 स् ् 1 स् ही लिख दो आप तो या 1 स् प् -1 स् लिख दो एक ही बात है ठीक है अल्टीमेटली तो एक ही बात है तो √2 आएगा आर्गुमेंट कैसे निकालते हैं आर्गुमेंट निकालने का वो तीन स्टेप का मेथड है ना अपना तो वो लगा दो बस प्रिंसिपल आर्गुमेंट आपको निकालना है तो पहला स्टेप क्या होता है तो आर्गुमेंट निकालने के लिए पहला स्टेप होता है आप न अल्फा निकालो तो t अल्फ कितना आएगा न अल्फ आएगा मोड ऑफ बी बा a ठीक है तो मोड ऑफ b बा ए तो बी का वैल्यू -1 है और a का वैल्यू वन अल्टीमेटली वन आ रहा है तो अल्फा का वैल्यू कितना दिख गया 5/4 दिख गया सबको सेकंड स्टेप में क्या करेंगे क्वाड्रेंट तो कौन सा क्वाड्रेंट है 1 -1 है तो x पॉजिटिव y नेगेटिव फोर्थ क्वाड्रेंट अगर फोर्थ क्वाड्रेंट है तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या आएगा तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट निकल के आएगा - अफ तो - 5/4 आ गया तो ये आपका प्रिंसिपल आर्गुमेंट आ गया तो अगर इसी कॉम्प्लेक्शन क्या आएगा ये वाला जो कॉम्प्लेक्शन है 1 - आयो इसी को रिप्रेजेंट करना है अगर पोलर फॉर्म में तो पोलर फॉर्म में इसका आंसर आ जाएगा √2 और यहां पर आप लिख सकते हो क थीटा और थीटा कितना है - 5/4 ओ कस थीटा प्स आयो सा थीटा और इसका वैल्यू मतलब मजे की बात ये है कि इसका वैल्यू अगर आप निकालो ना तो यही आ रहा होगा आप चेक करो है ना अगर आप ये सब सबका वैल्यू सब्सीट्यूट करोगे क - पा बा 4 और सा - 5/4 और पूरा सिंपलीफाई करोगे तो अल्टीमेटली वो 1 माइनस आयो ही बन रहा होगा है ना वो अल्टीमेटली 1 माइनस आयो ही तो 1 माइनस आयो को ही थोड़ा एक अलग स्टाइल से लिखा हुआ है लिखने का स्टाइल है बस समझ गए ये लिखने का स्टाइल है और हां एक और चीज मैं आपको बताता हूं ये जो क थीटा प्स आयो सा थीटा होता है ना उसको लिखने का भी एक शॉर्ट फॉर्म होता है जिसको हम बोलते है सी आ ये सी आई एक शर्ट शॉर्ट फॉर्म है बेसिकली इसको लिखने का इसका मतलब होता है क थीटा प् आयो सा थीटा तो आप अगर आप ये लेंथी मतलब आप मान लो थोड़े आलसी हो आपको यह पूरा नहीं लिखना है क थीटा प् आयो सा थीटा तो आप इसको सिंपल ऐसे लिख सकते हो स और ब्रैकेट में थीटा तो थीटा का वैल्यू आप ब्रैकेट में सप्लाई कर दो तो ये भी वही है मतलब अल्टीमेटली इसका भी मतलब वही है तो अगर आपको किसी बुक में या किसी क्वेश्चन में ऐसा दिखाई दे सी आईस इसका सिंपल मतलब होता है क थीटा प् आयो सा थीटा और ब्रैकेट में जो है वो थीटा है बेसिकली ठीक है सी आईस सेस और ट्रांस ठीक है चमक गया होगा मेरे ख्याल से तो सिंपल है ना ये आप पोलर फॉर्म में कन्वर्ट कर लोगे अगर कोई भी कॉम्प्लेक्शन फॉर्म में गिवन है तो पोलर फॉर्म में कन्वर्ट कर सकते हैं सिमिलरली अगला वाला अपना जो है दैट इज यूलर फॉर्म या एक्सपो एशियल फॉर्म तो एक्सपो शियल फॉर्म में या यूलर फॉर्म में कैसे कन्वर्ट करते हैं तो उसका बेसिक फॉर्मेट ये होता है ठीक है उसका बेसिक फॉर्मेट अगेन r क्या है r इज मॉड्यूस ऑफ z और थीटा इज द प्रिंसिपल आर्गुमेंट या आप बेसिकली आर्गुमेंट भी लिख सकते हो ठीक है तो आर्गुमेंट बट जनरली वी टेक प्रिंसिपल आर्गुमेंट ओनली एवरी वेयर ये स्टैंडर्ड हमने अपना कन्वेंशन बना दिया ठीक है है तो थीटा की जगह आप प्रिंसिपल आर्गुमेंट ले लो जैसे सिमिलरली ये वाला जो कॉम्प्लेक्शन था यही वाला एग्जांपल आप फिर से ले लो है ना यही वाला एग्जांपल अगर आप फिर से ले लोगे तो इसमें हमने क्या-क्या निकाला था इसमें मॉड्यूस ऑफ z हमने निकाला था √2 और आर्गुमेंट कितना निकाला था - 5/4 तो इसको आप रिप्रेजेंट करो ये वाले फॉर्मेट में तो ये वाले फॉर्मेट में रिप्रेजेंट करेंगे तो ये आएगा r * e की पावर आयो थीटा और थीटा का वैल्यू है - पा / 4 तो बस ये तो ये आपका एक्सपो शियल फॉर्म आ गया समझ गए एक्सपो शियल फॉर्म में कैसे रिप्रेजेंट करते है बस r निकाल लो थीटा निकाल लो सब्सीट्यूट कर दो r और थीटा आपको निकालना पड़ेगा तो r निकालने के लिए अंडर रूट x स् + y स् और थीटा निकालने के लिए वो तीन स्टेप का मेथड स्टेप 1 2 3 ठीक है अपना वही शॉर्टकट वाला मेथड आप यूज़ कर लो अच्छा यह जो होता है ना इसको हम बोलते हैं यूलर आइडेंटिटी ये e की पावर आयो थीटा जो है उसका वैल्यू हमेशा होता है क थीटा ् आयो सा थीटा के बराबर अगर आप इन दोनों को ध्यान से देखोगे ना तो यहां पे है क थीटा + आयो सा थीटा और इसी का वैल्यू पुट कर दिया e की पावर आयो थीटा तो ये यूलर फॉर्म बन गया ये यूलर भाई साहब जो थे इन्होंने ही ये निकाला था है ना स्टार्टिंग में तो हम ऐसे ही लिखते थे लेकिन यूलर भाई साहब ने बोला कि अरे ये जो क थीटा + आयो सा थीटा होता है ना उसका वैल्यू होता है e की पावर आयो थीटा तो उसकी जगह आप e की पावर आयो थीटा भी सब्सीट्यूट कर सकते हो ये किसने बोला था यूलर भाई साहब ने इसका डेरिवेशन भी है बट वह डेरिवेशन आपके काम का नहीं है अगर कोई डिराइवर करना चाहता है तो मैं आपको बता देता हूं आपको लिमिट्स चैप्टर आपने पढ़ा होगा लिमिट्स चैप्टर में आपने एक्सपेंशन पढ़े होंगे कस थीटा सा थीटा का एक्सपेंशन और e की पावर x का एक्सपेंशन तो e की पावर x का जो एक्सपेंशन होता है ना उसमें x की जगह आयो थीटा पुट कर देना क x और सा x का एक्सपेंशन में x की जगह थीटा पुट कर देना और फिर सब कुछ सब्सीट्यूट कर देना मतलब तीनों के तीनों के एक्सपेंशन सब्सीट्यूट करके इक्वेट करो तो एलएचएस इक्वल टू आरएचएस आपको दिख जाएगा खैर वो जो डेरिवेशन है उसमें हम पढ़ेंगे नहीं बट हां आप ये आइडेंटिटी ध्यान में रखो ठीक है डेरिवेशन आपके काम का नहीं है ओबवियसली एक भी सवाल नहीं है ना तो जेई मेन में ना जेई एडवांस में बट हां ये आइडेंटिटी अपने आप में आपको ध्यान में होना चाहिए ठीक है यस तो डेरिवेशन को मारो गोली और आगे बढ़ते हैं ठीक है तो ये आपको समझ में आ गया अच्छा एक और चीज मैं आपको बताता हूं अगर यहां पर आप आयो की जगह माइनस आयो से रिप्लेस कर दोगे आयो की जगह माइनस आयो आ गया तो e की पावर माइनस आयो थीटा ये बन जाएगा कस थीटा माइ आयो सा थीटा तो अगर आपको कहीं पर भी दिखाई दे कस थीटा माइनस आयो सा थीटा तो उसको आप लिख सकते हो e की पावर माइनस आयो थीटा तो इसमें भी कंफ्यूज मत होना है ना अगर कहीं प भी मान लो ऐसा लिखा हुआ है कि भाई क पा बा 4 माइन आयो सा पा बा 4 इसको आप कैसे लिखोगे यूलर फॉर्म में इसको यूलर फॉर्म में लिखना है तो e की पावर आयो और माइनस थीटा आ जाएगा बस माइनस पा बा फ आप ले लो ठीक है तो e की पावर आयो थीटा होता है इसमें अगर बीच में माइनस आ गया कॉस थीटा माइनस आयो साइन थीटा तो बस यहां पर भी माइनस आ जाएगा ठीक है एक और चीज इसमें एक चालाकी होती है देखो एक एक इसमें चालाकी वाले क्वेश्चन भी काफी आते हैं अभी मैं आपको क्वेश्चन भी कराऊंगा यह क्वेश्चन आया था जेई एडवांस में जेई एडवांस का एक क्वेश्चन है जिसमें आपको यह चालाकी यूज करनी है बट वो कौन सा क्वेश्चन है वो मैं अभी आपको नहीं बताऊंगा वो खुद ही आपको सोचना है बाद में ठीक है क्वेश्चन जब आएगा तो आप सोचना बट चालाकी मैं आपको बता देता हूं कभी-कभी क्या करता है ना इंस्टेड ऑफ कस थीटा प्स आयो सा थीटा वो आपको ये वाला फॉर्मेट दे देंगे उल्टा कर देंगे सान थीटा प्लस आयो कॉस थीटा ये वाला फॉर्मेट दे देंगे या सान थीटा माइनस आयो कॉस थीटा दे देंगे मतलब बीच में प्लस भी हो सकता है माइनस भी हो सकता है कुछ भी हो सकता है ठीक है तो इंस्टेड ऑफ क थीटा प्स आयो सा थीटा थ आपको उल्टा पकड़ा देंगे अब आप कंफ्यूज हो जाओगे कि सर हमने तो पढ़ा था क थीटा प्स आयो सा थीटा एग्जाम में आ गया सा थीटा प् आयो कस थीटा अब क्या करें कुछ समझ में ही नहीं आया इसको थोड़ी ना लिख सकते e की पावर आयो थीटा इसको हम लिख सकते हैं क्या e की पावर आयो थीटा नहीं लिख सकते ना क्योंकि ये तो सा थीटा प् आयो कस थीटा है तो इसमें क्या करें ये तो हम कंफ्यूज हो गए थे सर आपने तो पढ़ाया था क थीटा प् आयो सा थीटा वो होता है e की पावर आयो थीटा तो इसका क्या करें तो इस तरह के क्वेश्चन जब भी आएंगे ना तो इसको उसमें कन्वर्ट करने का एक ब्रह्मास्त्र है वो ब्रह्मास्त्र यह है कि यहां पर एक छोटा सा वन लिखा हुआ है आपको दिखाई दे रहा है क्या य सान थीटा का को एफिशिएंट क्या है साइन थीटा का को एफिशिएंट है वन और वो जो वन है ना वो जो वन है उसको आप लिख दो माइनस आयो स्क्वायर ठीक है वन की जगह माइनस आयो स्क्वा लिख सकते हैं क्या अरे कितने लोगों को चमका छोटा सा वन आपको दिखा दे गया वो जो वन है उस वन को आप लिख दो माइनस आयो स्क्वायर अब आपका काम बन गया अब आप आयो कॉमन ले लो तो जैसे ही आप आयो कॉमन ले लोगे देखो यहां से आयो कॉमन ले लिया आयो कॉमन ले लोगे तो बचेगा कस थीटा और यहां से आयो कॉमन ले लो यहां से आयो कॉमन ले लोगे तो बचेगा माइनस आ सा थीटा तो बस ये बन गया ना ये बन गया कस थीटा माइनस आयो सा थीटा ठीक है अब इसको आप लिख दो यूलर फॉर्म में इसको हम यूलर फॉर्म में लिख सकते और इसको भी लिख सकते हैं आयो को क्या लिख सकते हैं आयो को भी आप कन्वर्ट कर सकते हो ना यूलर फॉर्म में कैसे कन्वर्ट करेंगे आयो को आयो को ऐसे कन्वर्ट करेंगे आयो का क्या मतलब आयो का मतलब 0 + 1 आयो यही तो होता है तो इसका मॉड्यूस निकालो इसका आर्गुमेंट निकालो इसका मॉड्यूस कितना आएगा व्हाट विल बी द मॉड्यूस ऑफ z ये आयो का मॉड्यूस कितना आएगा अंडर रूट 0 स् + 1 स् तो ये तो वन आएगा और प्रिंसिपल आर्गुमेंट कितना आएगा इसका इसका प्रिंसिपल आर्गुमेंट यह पॉइंट है जीव और जीव कहां पर पाया जाएगा यहां पर ना अगर जीरो कव यहां पर है तो एंगल कितना बनेगा पाई बाटू यस तो इसका जो आर्गुमेंट आएगा व पाई बाटू आएगा तो बेसिकली आटा को मैं यूलर फॉर्म में कैसे लिख सकता हूं यह चमका अगर आपको आयो को लिखना है आयो को लिखना है यूलर फॉर्म में तो उसका आर का वैल्यू कितना है यहां पर जो आर होता है आर इ मडल ऑफ ज तो ज का वैल्यू वन है ठीक है तो r इन e की पावर आयो थीटा और थीटा का वैल्यू है पाई बाट तो ये आ गया दिस इज आयो है ना और इसको आप वैसे भी सोच सकते हो मतलब e की पावर आयो पा बाट लिखा हुआ है तो यह बन जाएगा क पाई बाट जो कि जीरो होता है है ना तो कस पाई बाट 0 और प्लस आयो सा पाई बाट सा पा बाट होता हैव चमक गया ना तो आयो को आप ऐसे लिख सकते हो दिस इज आयो और और ये क्या बन जाएगा तो आयो की जगह आप लिख लो e की पावर आयो पाई बाटू ठीक है ये बेसिकली आयो को हमने रिप्रेजेंट कर दिया यूलर फॉर्म में अगर आयो को यूलर फॉर्म में रिप्रेजेंट करोगे तो ये आएगा दिस इज आयो इन यूलर फॉर्म ठीक है एंड मल्टीप्ला बाय e की पावर ये बन जाएगा माइनस आयो थीटा अब दोनों को आप क्लब कर सकते हो है दोनों को क्लब कर लेंगे बेसिकली आयो और पा बाटू माइन थ चमक गया होगा मेरे ख्याल से ठीक है तो ये ब्र आपको समझ में आया ऐसे क्वेश्चन आएंगे जिसमें आपको क्या करेंगे साइन थीटा प्लस आयो कॉस थीटा या साइन थीटा माइनस भी हो सकता है है ना अगर यहां पर माइनस होगा तो यहां पर माइनस आएगा फिर यहां पर प्लस आ जाएगा तो वो आप एडजस्ट कर लेना बट बेसिकली प्लस या माइनस अगर उल्टा है साइन थीटा प्लस आयो कॉस थीटा है तो आप जो साइन थीटा का को एफिशिएंट है उसमें माइनस आयो स्क्वा लिख दो और फिर कॉमन ले लो ट इज द बेस्ट चालाकी ट यू कैन डू ठीक है समझ आ गया यस और लास्ट अपना जो फॉर्मेट है ट इज वेक्टर फॉर्म और यह जो वेक्टर फॉर्म है ना इसके एप्लीकेशन बहुत ज्यादा है वेक्टर फॉर्म अपने आप में बहुत ही जंदी है मतलब अगर कोई भी कॉम्प्लेक्टेड मेंशन वेक्टर थ्री डायमेंशन नहीं ओनली टू डायमेंशन वेक्टर अगर कोई भी एक मतलब बेसिकली किसी भी कॉम्प्लेक्शन को आप ट्रीट कर सकते हो एज अ वेक्टर तो जो भी आपने वेक्टर्स में पढ़ा है ना जैसे वेक्टर लॉ ऑफ एडिशन होता है वो सारी चीजें आप कॉम्प्लेक्शन में भी लगा सकते हो ठीक है तो कॉम्प्लेक्शन वेक्टर इसमें कोई k कैप वाला कंपोनेंट नहीं आता कभी भी बस i कैप आएगा j कैप आएगा कभी भी k कैप नहीं आता है ओके तो कॉम्प्लेक्टेड मेंशन वेक्टर्स समझ गए यस अच्छा ब्रेक ओके चलो ब्रेक भी लेंगे है ना अभी थोड़ी देर में ब्रेक लेते हैं एक बार देख लेते हैं इसके बाद अगला टॉपिक है अपना च इज लोकस ऑफ जड ठीक है तो लोकस ऑफ जड से अपने को स्टार्ट करना है है ना चलो एक एक यहीं पर ब्रेक ले लेते हैं आई थिंक ऑलरेडी चार तो बज गए तो लेट अस टेक अ ब्रेक एक छोटा सा ब्रेक ले लेते हैं लोकस ऑफ जड से हम बाद में स्टार्ट करेंगे ठीक है चलो ले लो ब्रेक ले लो फाइन यहीं पर एक ब्रेक लगा देते हैं अपना वही स्टैंडर्ड ब्रेक ठीक है कोई बारगेनिंग अलाउड नहीं है हा अपना वही 25 मिनट का स्टैंडर्ड ब्रेक रख लेते है ओके चलो तो मिलते हैं ठीक है यस फाइन अच्छा यह कोऑर्डिनेट जमेट्री लग रहा है हा ये कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री अभी तो आपको कम लग रहा है अभी तो और धीरे धीरे ज्यादा लगेगा अभी तो हम लोकस प आ रहे हैं देखो ठीक है अभी इसके इसमें मतलब ऑलमोस्ट कॉम्प्लेक्शन ज्योमेट्री ओनली तो यह चैप्टर अगर आपको याद हो तो मैंने पहले कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री से पहले शेड्यूल कर दिया था फिर बाद में चेंज करके बाद में कर दिया इसका रीजन यही था क्योंकि बिना कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री पढ़े आपको यहां पर मजा नहीं आएगा है ना समझ में तो फिर भी थोड़ा बहुत आ जाएगा बट मजा मजा नहीं आएगा ठीक है यस तो चलो अब है ना स्टैंडर्ड ब्रेक एक ले लेते हैं एंड फिर कंटिन्यू करते हैं ठीक है बट डेफिनेटली आप यह टाइमर खत्म होते ही यहां पर है ना प्रकट हो जाना मैं भी प्रकट हो जाऊंगा एंड फिर इस चैप्टर को खत्म करेंगे अभी तो काफी कुछ इसमें पढ़ना है ठीक है यस चलो फिर मिलते हैं ओके ब ब ब ब ब ब ब ब ब ब हेलो हेलो हेलो हेलो हेलो यस अ आ गए क्या सब लोग है ना स्टार्ट करें ठीक है चलो तो स्टार्ट करते हैं ठीक है लोकस ऑफ जड अपना अगला टॉपिक है यस आई होप कि सब लोग आ गए होंगे यस वेलकम बैक स्टार्ट करते हैं आफ्टर द ब्रेक अपना अगला टॉपिक च्च इज लोकस ऑफ जड ठीक है आ गए ना सब लोग एक बार थम्स अप बना दो फटाफट सो दैट वी कैन स्टार्ट जल्दी से एक बार वापस सब लोग जुड़ जाओ एंड स्टार्ट करते हैं ठीक है बैक टू स्टडी यस एगजैक्टली अगला टॉपिक लोकस ऑफ जड लोकस ऑफ जड मतलब जड बेसिकली क्या रिप्रेजेंट करेगा तो कभी जड सर्कल रिप्रेजेंट करता है कभी स्ट्रेट लाइन कभी रे ठीक है तो यह सारी चीजें हम यहां पर डिटेल में डिस्कस करने की कोशिश करेंगे तो सबसे पहला जो बेसिक फॉर्मेट है वो यह है ठीक है इसको अब ध्यान से समझना यह काफी इंटरेस्टिंग है ठीक है अगर आपके पास ऐसा कुछ भी लिखा हुआ है आर्गुमेंट ऑफ z इक्वल टू थीटा तो यहां पे जो z है वो क्या रिप्रेजेंट करेगा अगर थीटा का जैसे कोई भी वैल्यू आपको दे देंगे है ना थीटा कैन बी 45 डिग्री या 60 डिग्री आप रेडियन में ले सकते हो पा बा 4 पा बा 3 है ना तो थीटा का वैल्यू आपको क्वेश्चन में गिवन होगा जैसे फॉर एग्जांपल मान लो एग्जांपल आपको क्वेश्चन में गिवन है आर्गुमेंट z इ इक्वल टू पा बा 4 ये क्या रिप्रेजेंट करेगा यहां पर z का जो लोकस आएगा वो क्या आएगा तो इस तरह का अगर आपका बेसिक फॉर्मेट रहता है ना तो हमेशा आपका जो लोकस आएगा दैट विल बी अ रे लोकस विल बी अ रे एक रे आएगा ठीक है जैसे रे ऑफ लाइट होता है ना वैसे ही और ये जो रे होगा वो ओरिजिन से स्टार्ट होगा ओरिजिन से ओरिजनेट होगा बेसिकली ठीक है तो ये आर्गुमेंट ऑफ z इक्वल टू पा बा 4 आप सिंपल ये सोचो ना कि आर्गुमेंट ऑफ z अगर इक्वल ट पा बा फ है तो मैं जड को कहां कहा पर ले सकता हूं तो मैं जड को इस रे के ऊपर ले सकता हूं ना एक आप रे ड्र कर लो है ना आप जड को यहां पर ले सकते हो अब जड को यहां पर ये सारे पॉइंट्स य आपको समझ में आ रहा है अगर आप यह सारे पॉइंट्स लोगे तो इन सभी पॉइंट्स का आर्गुमेंट कितना है इन सभी पॉइंट्स का आर्गुमेंट है पाई बा फ दिख गया सबको आर्गुमेंट का मतलब क्या होता है आर्गुमेंट का मतलब होता है एंगल विथ पॉजिटिव रियल एक्सेस तो यह पॉजिटिव रियल तो बेसिकली यहां पर आपका लोकस क्या आएगा यहां पर आपका लोकस आएगा एक रे यह सारे पॉइंट्स है ना यह सारे पॉइंट्स का आर्गुमेंट कितना होगा पा बा फ होगा ठीक है ये सारे पॉइंट्स का आर्गुमेंट कितना होगा पाई बा फ तो इट विल बी अ रे इट विल नॉट बी लाइन लाइन नहीं है य इधर एक्सटेंड नहीं होगा क्योंकि अगर आप इसको इधर एक्सटेंड करोगे ना कुछ लोग लाइन लिख रहे अरे लाइन नहीं होगा अगर इधर आप पॉइंट ले लोगे तो फिर तो आर्गुमेंट ये आ जाएगा ना अपना आर्गुमेंट पाई बा फ है अपना आर्गुमेंट -3 पाई बा 4 नहीं है ठीक है तो यह वाला रे तभी आएगा जब -3 पाई बा 4 है ना ये वाला एंगल तो ये ध्यान रखना इट विल नॉट बी अ लाइन इट विल बी अ रे है ना बेसिकली ये ओके और आगे बढ़ते हैं यहां पर तो लिखा हुआ है आर्गुमेंट ऑफ जड और आर्गुमेंट ऑफ जड का मतलब आप यही समझते हो ना कि आर्गुमेंट ऑफ ज माइनस 0 है ना ये क्या लिखा हुआ है अगर आप इसको डिकोड करोगे तो ये एक्चुअली लिखा हुआ है आर्गुमेंट ऑफ ज माइन 0 इसका वैल्यू पा बा 4 गिवन है तो इसीलिए यह जो रे है ना वो ओरिजिन से ओरिजनेट हो रही है कहां से स्टार्ट हो रही है यह जो रे है ओरिजिन से स्टार्ट हो रही है लेकिन अगर मैं इसको कर दूं आर्गुमेंट ऑफ z - z0 यहां पे z न एक एक और कॉम्प्लेक्शन नंबर है उसको प्लॉट करो और z न से स्टार्ट होने वाली एक रे आ जाएगी बेसिकली इट विल बी समथिंग लाइक दिस ठीक है तो आपका जो लोकस आएगा वो ये आएगा अगेन ये जो एंगल होगा है ना दिस एंगल दिस एंगल विल बी थीटा ये एंगल आपका थीटा होगा थीटा का वैल्यू आपको जो भी होगा वो क्वेश्चन में मेंशन होगा दिस एंगल इज थीटा अंडरस्टूड ना तो अगर लिखा हुआ है आर्गुमेंट ऑफ z मतलब दैट इज आर्गुमेंट ऑफ z माइ 0 ये आपको खुद ही समझना पड़ेगा आर्गुमेंट ऑफ z का मतलब होता है आर्गुमेंट ऑफ z - 0 तभी वो जीरो से स्टार्ट होता है और यहां पर है आर्गुमेंट ऑफ जड माइनस जड न तो जड न से वो जो रे है वो स्टार्ट होगा और यह सारे पॉइंट्स आएंगे है ना ये सारे पॉइंट्स है जिनका आर्गुमेंट कितना है इन सबका आर्गुमेंट है थ तो बेसिकली ये रे आ जाएगी चमक गया ना व्ट इज द लोकस ऑफ जड तो इसमें रे इसमें भी रे अच्छा अब अगर मान लो आपने इसका मोड ले लिया है ना अगर अब इसमें तीन केसेस आप कंसीडर करोगे तो जो पहला केस है उसको आप कंसीडर करो मान लेते कि मैंने उसका मोड ले लिया अच्छा एक बात बताओ आपको बेसिक मोड वाली इक्वेशन सॉल्व करनी आती है जैसे फॉर एग्जांपल अगर मैं आपको बोलूंगा कि मोड x इ 1 तो आप मुझे बता सकते हो कि x का वैल्यू क्या आएगा एक बार जल्दी से चैट में लिख दो चलो है ना लेट अस सी कि आपको मोड वाले कांसेप्ट आते है कि नहीं है ना अगर मैं आपको सिंपल एक इक्वेशन मैंने आपको दे दी कि मड x इ इक्व 1 तो x का वैल्यू यहां पर क्याक हो सकता है व्हाट इज द पॉसिबिलिटी मोड x इक्व 1 है तो x का वैल्यू क्या होगा प्लस -1 यस मेरे ख्याल से सबने यही लिखा है चैट में x का वैल्यू आएगा प् -1 तो यहां पे क्या लिखा हुआ है यहां पे लिखा हुआ है मोड ऑफ आर्गुमेंट ऑफ z ये मोड है ठीक है दिस इज नथिंग बट दिस इज मोड जो नॉर्मल अपना मोड होता है वही वाला मड है तो मोड ऑफ तो इसको बेसिकली हम ऐसे समझ सकते हैं ना कि आर्गुमेंट ऑफ z - z न का वैल्यू क्या आएगा तो इसका वैल्यू आ जाएगा प्लस माइनस थीटा है ना जब आप मोड को हटाओ ग तो प्लस माइनस लगाओगे ना आपको पुराने चैप्टर्स भी याद आ रहे होंगे मोड को हटाओ और प्लस माइनस लगाओ हमने एक गाना बनाया था ऐसा जो कि बहुत ही बोरिंग सा गाना था बट हां फिर भी आपको याद तो इसी से हुआ था ना मोड को हटाओ और प्लस माइनस लगाओ मोड को हटाओ प्लस माइनस लगाओ तो यहां पर वही तो आपको करना है ये जो मोड है उसको हटा दिया और प्लस माइनस लगा दिया तो इसका डायग्राम क्या बनेगा अब सोचो इसका डायग्राम क्या बनेगा तो इसका जो डायग्राम बनेगा उसमें आपकी दो रेज आ जाएगी इट विल बी पेयर ऑफ रेज इसका जो डायग्राम बनेगा ना वो ऐसा बनेगा सबसे पहले तो आप z न से चालू करोगे तो मान लेते हैं कि ये वाला जो पॉइंट है वो z नॉ है z नो से एक सबसे पहले तो आप हॉरिजॉन्टल लाइन ड्र कर लो एक आपको एंगल लेना है थीटा तो एक बार आप ऊपर जाओगे थीटा एंगल और एक बार आप नीचे चले जाओगे माइनस थीटा एंगल ठीक है तो एक बार एंगल अपने को ये लेना है इसका भी कलर आप चेंज कर दो बेसिकली समझ गए ना एक बार ऊपर एक बार नीचे तो इसमें आपका जो डायग्राम आएगा वो आएगा पेयर ऑफ रेज ये ऊपर थीटा है और नीचे वाला जो एंगल है वो माइनस थ ठीक है एक एंटीक्लॉक वाइज है एक क्लॉक वाइज है तो इसमें आपका लोकस क्या आएगा इसमें आपका लोकस आएगा पेयर ऑफ रेज अगर मैं मोड लगा दूंगा तो प्लस माइनस आएगा ना और सिंस प्लस माइनस आएगा तो एक बार ऊपर प्लस थीटा एक बार माइनस थीटा थीटा का वैल्यू अगेन आपको स्पेसिफाई कर देंगे जैसे मान लो पाई बा फ है तो एक बार आपको लेना है प्लस पाई बा फ एक बार आपको लेना है माइनस पाई बा फ ठीक है सिमिलरली ये जो दूसरी वाली इक्वेशन है इसका डायग्राम क्या बनेगा इसमें लिखा हुआ है मोड ऑफ समथिंग समथिंग लेसन इक्वल ट थीटा तो अब मुझे आप यह बताओ कि अगर मैं इसी को ऐसे कर दू है ना अगेन बेसिक्स पर चले जाओ आप तो बेसिक्स क्या कहता है अगर मैं इसको ऐसे लिख दू तो एक का वैल्यू किसके किसके बीच में होगा इस इस इक्वलिटी को सॉल्व करना आता आपको मोड वाली इक्वलिटी को कैसे सॉल्व करते थे मान लो ये इनिक्वालिटी मैंने आपको दे दी तो x का वैल्यू क्या क्या हो सकता है इक्वल टू भी आप इसमें लगा दो मोड एक लेसन इक्वल इसमें भी लेसन इक्वल टू है तो हम भी लेसन इक्वल टू ले लेते हैं तो इसका सॉल्यूशन क्या आएगा इसका सॉल्यूशन ये आएगा ना कि x का वैल्यू -1 और व के बीच में होगा यही तो आएगा ठीक है इसका सॉल्यूशन क्या आएगा -1 और व के बीच में तो बेसिकली इसका सॉल्यूशन क्या आ जाएगा अगर आप मोड को हटागे तो आर्गुमेंट ऑफ ज माइ ज न ये किसके बीच में होना चाहिए यह होना चाहिए माइनस थीटा और थीटा के बीच में ये आपको क्लियर हो गया तो इसका लोकस क्या आएगा तो यहां पर आपका जो आर्गुमेंट है वो माइनस थीटा और थीटा के बीच में यह सारी वैल्यूज ले सकता है माइनस थीटा से आप चालू करोगे और थीटा तक जाओगे तो इसका जो बेसिकली रीजन आएगा वो बेसिकली ये पूरा लोकस आ जाएगा ये पूरा रीजन है ना तो एक एक बेसिकली इनफाइनों जाएगी ये लाल वाला जो डायग्राम है वो फर्स्ट पार्ट का डायग्राम है और थर्ड पार्ट का डायग्राम क्या आएगा यहां पर लिखा है ग्रेटर दन इक्वल टू थीटा तो ग्रेटर दन इक्वल टू थीटा मतलब इसके बाहर वाला रीजन आएगा ठीक है मतलब बेसिकली आपका जो रीजन आएगा दैट विल बी दिस ये आउटसाइड रीजन ये आउटसाइड वाला रीजन आपको दिख रहा है ये जो आउटसाइड वाला रीजन है दैट इज फॉर द थर्ड पार्ट समझ गए थर्ड पार्ट का आंसर ये आएगा चमक गया तो बेसिकली इसको आप ध्यान में रखना ठीक है अगर आर्गुमेंट के ऊपर मोड है तो सबसे पहले तो आप उसको ओपन करोगे तो प्लस माइनस आएगा प्लस माइनस आएगा तो दो रेज आएगी है ना डायवर्जिंग रेज आप बोल सकते हो एक ही पॉइंट से ओरिजनेट करेगी और दोनों दूर दूर जाएगी डायवर्जिंग रेज ठीक है इस तरह का एक डायग्राम आएगा और अगर लेस देन इक्वल टू थीटा बोला है तो बीच का पूरा रीजन आ जाएगा बीच का पूरा रीजन आ जाएगा और ग्रेटर दन इक्वल टू थीटा बोला है तो बाहर का रीजन आ जाएगा आउटसाइड रीजन यस ये एकदम समझ में आ गया पूरा का पूरा डायग्राम और आगे बढ़ते हैं अब अगला जो इक्वेशन है उस पे आ जाओ अगर आपको गिवन है मड z = r ये तो बहुत ही चिंदी है तो मड z = r क्या रिप्रेजेंट करेगा दिस विल रिप्रेजेंट अ सर्कल है ना इसका डायग्राम बनेगा इट विल रिप्रेजेंट अ सर्कल अ ऑफ रेडियस r ऑफ रेडियस r और उसका जो सेंटर होगा ना और उसका जो सेंटर होगा वो होगा 0 0 ठीक है ऐसा क्यों ऐसा इसीलिए क्योंकि मड z का वैल्यू क्या होता है आप आप तो वैल्यू पुट कर दो ना जैसे मान लो कि z को आप मान लो x प् आवा तो मोड जड कितना होता है मोड जड होता है अंडर रूट x स् प्वा स् एंड दिस इज इक्वल टू r तो यहां से आपके पास आ गया ना x स् प्वा स् = r स्क्वा तो ये किसकी इक्वेशन है दिस इज द इक्वेशन ऑफ सर्कल है ना इट इज नथिंग बट इट इज द इक्वेशन ऑफ सर्कल जिसका सेंटर है 0 0 और उसका रेडियस है r यस ये चमका अच्छा लैग आ गया क्या बीच में ओ हो एक सेकंड अभी तो सही चल रहा है आई गेस अच्छा छोटा सा लैग आ गया होगा बीच में कोई नहीं बड़े-बड़े देशों में छोटी मोटी बातें तो चलती रहती है फाइन छोटा मोटा लैग है चला गया यह समझ में आ गया इट विल रिप्रेजेंट अ इट विल रिप्रेजेंट अ सर्कल जिसका रेडियस r है और इसको भी अगर आप ध्यान से देखोगे ना तो यह भी लिखा हुआ है z माइ 0 है ना z - 0 = r है तभी इसका जो सेंटर है ना तभी इसका जो सेंटर है वो ओरिजिन है तभी इसका सेंटर है ओरिजिन और इसका रेडियस है आ चमक गया तो अगर मैं जीरो की जगह जड न अगर मैं कर दू है ना इंस्टेड ऑफ जीरो अगर मैं ऐसा कर दू लेट से फॉर एग्जांपल मॉड्यूस ऑफ ज माइन जन इक्व आ तो यह क्या रिप्रेजेंट करेगा यह भी रिप्रेजेंट करेगा एक सर्कल दिस इ आल्सो सर्कल है ना बट इसका सेंटर शिफ्ट हो गया इसका सेंटर आएगा ज न है व्ट विल बी द सेंटर टर विल बी ज न एंड रेडियस अभी भी कितना है रेडियस अभी भी है आ ठीक है सेंटर विल बी जड नॉ समझ गए ना मतलब अगर लिखा है मोड जड इ आ इसका मतलब आप समझोगे कि ये लिखा हुआ है z माइ 0 तो तभी उसका सेंटर आता है जीरो ओरिजिन मतलब जी0 ठीक है और अगर लिखा हुआ है z माइन ज न इ आ तो दैट विल रिप्रेजेंट अ सर्कल जिसका सेंटर है ज न और उसका रेडियस है आ ठीक है अब इसी में देखो थोड़ी और कलाकारी करते तो 1 2 और थ्र है ना ये क्या-क्या रिप्रेजेंट करेंगे तो ये वाला जो इक्वेशन है फर्स्ट वाली जो इक्वेशन है इट विल रिप्रेजेंट ऑन द सर्कल जो z होगा ना z का लोकस क्या आएगा इट विल बी ऑल द पॉइंट्स व्हिच आर प्रेजेंट ऑन द सर्कल यहां पे है लेस देन रेडियस तो ये आ जाएगा इनसाइड रीजन ऑफ द सर्कल और ये आ जाएगा आउटसाइड रीजन ऑफ द सर्कल मतलब बेसिकली समझ गया ना एक ऐसा सर्कल है जिसका सेंटर है z न और उसका रेडियस है r ठीक है अगर आप इसकी बात करोगे पहला वाला जो रीजन है दैट इज दिस फर्स्ट रीजन इ ऑन द सर्कल यह फर्स्ट वाला रीजन है ऑन द सर्कल वाला ठीक है समझ गए और जो सेकंड वाला रीजन है उसमें लिखा हुआ है लेस देन रेडियस तो जड कहां पर प्रेजेंट होगा हमने यह पढ़ा था कि ज माइन जन क्या होता है इट इज नथिंग बट डिस्टेंस बिटवीन ज एंड ज न मान लो जड यहां पर प्रेजेंट है तो यह वाली डिस्टेंस ना इस वाली डिस्टेंस को हम क्या बोलेंगे अगर कोई एक प्रेजेंट है तो ये क्या रिप्रेजेंट करेगा यह डिस्टेंस को हम कैसे देखेंगे इस डिस्टेंस को हम देखेंगे मॉड्यूस से मॉड्यूस ऑफ z - z0 क्या होता है इट इज नथिंग बट इट इज डिस्टेंस बिटवीन z एंड z0 तो डिस्टेंस बिटवीन z एंड z0 इज लेस दन रेडियस अगर ये डिस्टेंस रेडियस से कम है तो z कहां पे प्रेजेंट होगा ओबवियसली इनसाइड द सर्कल ना और अगर यही वाली डिस्टेंस मान लो z यहां पे पहुंच गया अगर यही वाली जो डिस्टेंस है डिस्टेंस बिटवीन z एंड z0 अगर ये ग्रेटर देन r हो जाए अगर ये रेडियस से बड़ी हो जाए तो z कहां पर प्रेजेंट होगा आउटसाइड द सर्कल समझ गए तो अगर लेस देन रेडियस बोला है तो ये इनसाइड वाला रीजन आएगा ये सेकंड वाला रीजन है और थर्ड वाला रीजन आएगा आउटसाइड द सर्कल ठीक है तो ये आउटसाइड वाला जो रीजन है दैट इज बेसिकली योर थर्ड रीजन चमक गया होगा मेरे ख्याल से ठीक है तो इस तरह के रीजन आप प्लॉट कर लोगे ये रीजन प्लॉट करने वाले भी काफी सारे क्वेश्चन जेई में आते हैं ठीक है तो अब जेई वाला क्वेश्चन ही कर लेते हैं जो कि रिसेंटली 2021 में आया था यह वाला क्वेश्चन आप एक बार ट्राई करो तो यहां पर आपको s1 s2 s3 तीन अलग-अलग रीजन गिवन है और फाइनली आपको इंटरसेक्शन लेना है एक काम करो तीनों को प्लॉट कर दो सबसे पहले आप फोकस करो s1 पे तो s1 क्या रिप्रेजेंट करता है देखो इसको ध्यान से जो s1 है उसमें आपको गिवन है मोड ऑफ z-1 लेन इक्व √2 देखो यहां पर लिख देते हैं मोड ऑफ z-1 इट इ लेसन इक्वल टू रट तो ये क्या रिप्रेजेंट करेगा इट विल रिप्रेजेंट अ सर्कल येय जड माइनस ज न लेसन इक्वल टू आ है है ना तो इसका लोकस आएगा इनसाइड द सर्कल इनसाइड द सर्कल एंड ऑन द सर्कल भी आएगा क्योंकि इक्वल टू भी है ठीक है तो ऑन द सर्कल एंड प्लस इनसाइड द सर्कल तो ये उसका लोकस आएगा और वो जो सर्कल है उसका सेंटर क्या होगा सेंटर ये होता है ना हमेशा z माइनस ज न तो जन का वैल्यू क्या है आप कंपेयर कर लो ना z - z0 तो z0 का वैल्यू वन है दिख गया सबको z0 का वैल्यू वन है वन मतलब 1 प् आयो 0 मतलब इसका सेंटर होगा 1 0 सम गया इसका जो सेंटर होगा वो होगा 1 0 और रेडियस कितना होगा रेडियस ये होगा r ठीक है सो रेडियस इज √2 तो इसका डायग्राम कैसा बनेगा इसका डायग्राम आप बना लो तो जो s1 है उसका डायग्राम यहां पे बना लेते हैं ठीक है तो बेसिकली ये इमेजिनरी एक्सेस यह रियल एक्सिस और अपना जो सेंटर है वह है 1 0 पे 1 0 पे सेंटर आएगा और रेडियस कितना है √2 √2 का रेडियस है तो सर्कल बेसिकली ऐसा कुछ बनेगा ठीक है इस तरह का डायग्राम आ जाएगा दिस पॉइंट इज 1 0 चमक गया होगा मेरे ख्याल से एक सर्कल आप ड्रॉ कर लो और यह जो सर्कल है उसका रेडियस है √2 तो सिंस रेडियस √2 है है ना तो यह बेसिकली इससे बाहर चला जाएगा ना यह डिस्टेंस √2 है और यहां तक यह तो ओरिजिन है यस तो चमक क्या होगा सर्कल थोड़ा सा ऐसे बाहर चला जाएगा तो व 0 इज द सेंटर रेडियस उसका है √2 और ये s1 क्या रिप्रेजेंट करता है s1 रिप्रेजेंट करता है ऑन द सर्कल या फिर इनसाइड द सर्कल क्योंकि लेस देन इक्वल टू है लेस देन भी है और इक्वल टू भी है तो ऑन द सर्कल इनसाइड द सर्कल ये दोनों ही आएंगे ठीक है अच्छा दूसरा वाला रीजन कौन सा है तो यहां पर आपको निकालना है रियल पार्ट ऑफ देखो यहां पे क्या लिखा हुआ है यहां प लिखा हुआ है रियल पार्ट ऑफ 1 माइनस आयो इनटू z तो z को आप ले लो x + आवा अगर कभी भी कोई भी कंफ्यूजन है ना तो आप z को ले लिया करो x + आवा ऑटोमेटिक सब कुछ आ जाएगा ठीक है तो z को मैंने ले लिया x + आवा अब इसका रियल पार्ट निकालो इसका रियल पार्ट निकालेंगे तो क्या आएगा इसको मल्टीप्लाई करोगे ना मल्टीप्लाई करोगे तो x ठीक है फिर यहां पे आ जाएगा आयो y अगला टर्म आएगा माइ आयो x और लास्ट वाला टर्म कितना आ जाएगा लास्ट वाला टर्म आ जाएगा + y ना आयो स्क्वा -1 है तो इसका रियल पार्ट कितना आ गया रियल पार्ट आ जाएगा x + y ना केवल ये आएगा सो रियल पार्ट विल बी x + y और क्वेश्चन में आपको बोला है कि रियल पार्ट इज ग्रेटर दन इक्वल टू 1 तो रियल पार्ट इज ग्रेटर दन इक्वल टू 1 तो ये आ गया तो ये बेसिकली स्ट्रेट लाइन है समझ गए तो आपका जो दूसरा रीजन है वो स्ट्रेट लाइन है और वो कौन सी स्ट्रेट लाइन है x + y = 1 तो पहले तो आप x + y = 1 को प्लॉट कर लो अगर x + y = 1 को प्लॉट करेंगे तो वो स्ट्रेट लाइन ऐसी बनेगी है ना वो इससे पास करेगी और इससे भी पास करेगी यह वाला पॉइंट बेसिकली आपका है 01 तो दोनों से पास करेगी ना स्ट्रेट लाइन विल बी समथिंग लाइक दिस ये स्ट्रेट लाइन बनेगी यस और नो ये वाली जो स्ट्रेट लाइन है ये है x प्वा इक्व 1 आपका रीजन कौन सा आएगा अपने को चाहिए x प्वा ग्रेटर द इक्व 1 तो ग्रेटर दन इक्वल टूव मतलब इस लाइन के ऊपर वाला रीजन की नीचे वाला रीजन वो आपको चेक करना पड़ेगा वो कैसे चेक करते हैं सबको आता है क्या अगर x + y ग्रेटर इक्व 1 बोला है आप उसमें ओरिजिन को पुट करो 0 0 को पुट कर दिया करो ठीक है तो 0 कमा 0 को पुट करेंगे तो सेटिस्फाई कर रहा है क्या ये तो 0 ग्रेटर इक्व 1 आ रहा है और ये क्या होता है ये तो फाल्स होता है ठीक है तो ये फॉल्स आ रहा है मतलब सेटिस्फाई नहीं कर रहा है अगर सेटिस्फाई नहीं कर रहा है तो ओरिजिन कंटेनिंग वाला रीजन नहीं आएगा ओरिजिन यहां पर प्रेजेंट है ना तो ये नीचे वाला रीजन नहीं आएगा क्योंकि ओरिजिन सेटिस्फाई नहीं कर रहा है सिंस यहां पे ओरिजिन सेटिस्फाई नहीं करर तो नीचे वाला रीजन नहीं आएगा तो कौन सा वाला रीजन आएगा ऊपर वाला रीजन आएगा ठीक है तो इस लाइन के ऊपर वाला रीजन ट इज s2 ठीक है तो मैं यहां पर शेड नहीं कर रहा हूं बट आपको क्लियर हैना इस लाइन के ऊपर वाला पूरा रीजन और एव क्या है s1 है इनसाइड द सर्कल ऑन द सर्कल और s3 क्या है देखो तो s3 में बोला है इमेजिनरी पार्ट ऑफ ज इ लेसन इक्व इमेजिनरी पार्ट ऑफ जड क्या होता है z है एक्स प् आवा तो इमेजिनरी पार्ट ऑफ ज विल बी y ना तो इमेजिनरी पार्ट ऑफ z इज y एंड दैट इज लेस दन इक्वल टू 1 तो y < = 1 इसको प्लॉट करो तो y < इक्व 1 वो ऐसा बनेगा है ना इट विल बी दिस लाइन अगेन एक स्ट्रेट लाइन है व्हिच इज y इ 1 और y = 1 के नीचे वाला रीजन ना इसके नीचे वाला रीजन है ना क्योंकि आपको क्वेश्चन में बोला है कि y लेसन इक्व ट 1 तो अल्टीमेटली इंटरसेक्शन क्या आ जाएगा आपका जो s1 है वो इनसाइड द सर्कल है है ना तो इनसाइड द सर्कल होना चाहिए इस लाइन के ऊपर होना चाहिए और इस लाइन के नीचे होना चाहिए तो बेसिकली आपका कॉमन रीजन क्या आ गया तो कॉमन रीजन ये आ गया ना दिस इज द कॉमन रीजन ये पूरा कॉमन रीजन आ जाएगा और अगर ये पूरा कॉमन रीजन है तो बेसिकली आपको यही बताना था कि भाई ये सिंगल टन सेट है या इसमें एगजैक्टली दो एलिमेंट है या इनफाइनों लाखों है ना बहुत सारे पॉइंट्स है तो बेसिकली इसका आंसर आएगा इनफा ठीक है तो आपका जो कॉमन रीजन है उसमें कितने पॉइंट्स आ रहे हैं बस यही पूछा था कॉमन रीजन बहुत बड़ा आ रहा है तो बेसिकली बहुत सारे पॉइंट ऑफ इंटरसेक्शन है चमक गया यस इस तरह के क्वेश्चन कर लोगे है ना कौन क्या रिप्रेजेंट करता है यही आपको प्लॉट ही तो करना है आप z को ले लिया करो x प् आवा और बाकी कुछ स्टैंडर्ड इक्वेशन है जैसे सर्कल की हो गई जैसे रे की हो गई आर्गुमेंट वाले हमने पढ़े थे ठीक है तो उस तरह की इक्वेशंस आपको यहां पर दे सकते हैं फाइन और आगे बढ़ते हैं चलो अब बात करते हैं अगले टॉपिक के बारे में व्हिच इज डी मोव रेज थरम जिसको हम शॉर्ट में बोलते हैं डीएमटी अब ये डीएमटी काफी कमाल का थ्योरम है ठीक है इसी को यूज करके हम अपना जो अगला टॉपिक जो कि है क्यूब रूट ऑफ यूनिटी उसको भी पढ़ेंगे ठीक है और बेसिकली डीएमटी का ही एप्लीकेशन होता है क्यूब रूट ऑफ यूनिटी जो कि सबसे ज्यादा इंपोर्टेंट टॉपिक है पूरे कॉम्प्लेक्शन नंबर्स में है ना आपने सुना ही होगा कि क्यूब रूट ऑफ यूनिटी अगर नहीं आता है कॉम्प्लेक्शन नंबर में तो क्या आता है फिर ठीक है तो इसीलिए डीएमटी को समझो डीएमटी मतलब बेसिकली ये जो भाई साहब थे इन्होंने दो स्टेटमेंट दी थी डीएमटी के दो थ्योरम होते हैं ठीक है तो डीएमटी का स्टेटमेंट नंबर वन ये जो स्टेटमेंट नंबर वन है ना ये कहता है कि क थीटा प् आयो सा थीटा अच्छा सबसे पहले तो ये समझ लो कि जो स्टेटमेंट नंबर वन है वो तभी एप्लीकेबल है जब आपका n मतलब जो पावर है वो इंटी जर होना चाहिए ओके यहां पे जो n है वो कोई ना कोई इंटी जर होना चाहिए अगर आपकी पावर है फ्रैक्शन जैसे पावर हो गई 1/2 या पावर हो गई 1/6 या 2/3 है ना तो फ्रैक्शन पावर के लिए आप स्टेटमेंट टू यूज करोगे ओके तो क थीटा प् आयो सा थीटा की पावर कोई इंटी जर है तो स्टेटमेंट वन लगाओगे और अगर कोई फ्रैक्शन पावर है तो आप दूसरा वाला स्टेटमेंट यहां पे यूज करोगे ठीक है अब डीएमटी के दो थ्योरम है दो स्टेटमेंट है तो dmt1 में मल्टीप्लाई कर दोगे मतलब ये बन जाएगा क n थीटा और प्लस आयो सा n थ n और थीटा को मल्टीप्लाई कर दो मतलब बेसिकली जो पावर है और जो एंगल है दोनों को मल्टीप्लाई कर दो ये कैसे आया देखो इसका डेरिवेशन भी बहुत सिंपल है इसका डेरिवेशन आता है यूर आइडेंटिटी से अभी हमने पढ़ा था ना यूलर आइडेंटिटी क्या होती है यूलर की आइडेंटिटी है क थीटा + आयो सा थीटा तो इसको हम क्या लिख सकते हैं इसको हम लिख सकते हैं e की पावर आयो थीटा ठीक है तो यहां पर जो एलएचएस है उसको ध्यान से देखो जो एलएचएस है उसमें आ जाएगा e की पावर आयो थीटा और पूरे की पावर है n ठीक है ये बन गया ये कस थीटा प्स आयो सान थीटा उसको आप लिख दो e की पावर आयो थीटा और पूरे की पावर है n अब पावर की पावर है तो मल्टीप्लाई हो जाएगा ना ये सिंस ये पावर की पावर है तो मल्टीप्लाई हो जाएगा तो बेसिकली आ जाएगा e की पावर आयो n थीटा और इसको वापस आप कन्वर्ट कर लो कस थीटा प्स आयो सान थीटा के फॉर्मेट तो हेंस प्रूड ठीक है तो य ये काफी सिंपल सा टॉपिक है चमक गया ना तो इसका जो प्रूफ है वो भी काफी सिंपल है यस ये क्लियर है क्या सबको आपको सिंपल कुछ नहीं करना है उसको यूलर फॉर्म में कन्वर्ट करो पावर n है पावर की पावर है तो मल्टीप्लाई करो और मल्टीप्लाई कर दिया तो e की पावर आयो और n थीटा आ गया ना नाउ दिस इज द एंगल तो ये एंगल बन गया बस n थीटा n थीटा अंडरस्टूड ओके अब ये जो दूसरा स्टेट स्ट है उसको आप ध्यान से समझना सेकंड स्टेटमेंट जो है उसमें आप डायरेक्टली p बा क है और थीटा है तो डायरेक्टली अगर आप मल्टीप्लाई करोगे जैसा हमने यहां पे किया हमने यहां पे क्या किया n है और एक हमारे पास एंगल है थीटा तो डायरेक्टली दोनों को मल्टीप्लाई कर दिया तो ये एंगल आ गया सिमिलर चीज आप यहां पर भी कर सकते हो है ना अगर आप पावर पावर क्या है p बा क तो पावर है p बा क और एंगल है थीटा दोनों को मल्टीप्लाई कर लो लेकिन जब आप मल्टीप्लाई करोगे ना तो न्यूमरेशन आपको करना पड़ेगा 2k पाई ये 2k पाई क्यों किया सर ये 2k पाई इसलिए करते हैं क्योंकि अल्टीमेटली यहां पर जो अंदर लिखा हुआ है वो आर्गुमेंट है और आर्गुमेंट के इनफाइकिल सर यहां पे क्यों नहीं किया फिर क्योंकि वहां पे करोगे तो अल्टीमेटली क्या आएगा क 2k पाई ् n थी n आपका इंटी जर है तो आपको पता ही है ना कि अगर क जैसे k का वैल्यू वन ले लो आप तो cos2 पा प् थीटा क थीटा ही तो होता है sin2 पा प् थीटा सा थीटा ही तो होता है तो वहां पे एक्चुअली आपको लिखने की जरूरत नहीं पड़ेगी बट यहां पे आपको एक्चुअली लिखने की जरूरत पड़ेगी यस तो यहां पर आपका 2k पाई आएगा वहां पे बेसिकली आएगा बट फिर भी वो चला जाएगा ठीक है वो आके चला जाएगा यस तो यहां पर आप ये ध्यान रखना कि आपका जो न्यूमरेशन है उसमें आप करना पड़ेगा 2k पाई और ये के क्या है तो के है इंटी जर है ना ओबवियसली के इज इंटी जर और के का वैल्यू क्या क्या हो सकता है तो यहां पर के का वैल्यू हमेशा स्टार्ट होगा जीरो से 0 1 2 3 ऐसे चलेगा और कहां तक जाएगा q -1 तक जाएगा हमेशा ठीक है तो के का वैल्यू हमेशा आपका स्टार्ट होगा जीरो से और कहां तक जाएगा वो q -1 तक जाएगा ऑलवेज ठीक है तो ये डीएमटी का स्टेटमेंट आप ध्यान रखो अगर कस थीटा प् आयो सा थीटा की पावर p बा क है तो ये एंगल आ जाएगा ओके एंगल कैसे निकाला वो क्लियर है क्या p बा क और थीटा मल्टीप्लाई कर दिया बट न्यूमरेशन में आपको करना पड़ेगा 2k पाई और k का वैल्यू वेरी करेगा फ्रॉम 0 टू q -1 ठीक है अब इसका एप्लीकेशन देखते धीरे-धीरे तो आपको सारी चीजें क्लियर हो जाएगी ठीक है तो डीएमटी के दो स्टेटमेंट है आप क्वेश्चन नंबर वन पे आ जाओ ये वाला जो क्वेश्चन है ये 2020 का है जेई मेन का तो इसको ट्राई करते हैं है ना यहां पे लिखा हुआ है 1 प्स सा थीटा और देखो पावर है ्र अच्छा एक चीज मैं आपको और बता देता हूं कॉम्प्लेक्टेड मेंट ध्यान रखना ठीक है यह स्टेटमेंट आपको मतलब कभी-कभी जैसे होता है ना कि एग्जाम में हम क्वेश्चंस कर रहे और एग्जाम में चमकता ही नहीं है जैसे यह क्वेश्चन देख के आपको चमक रहा है कि इसमें डीएमटी लगाना है है ना यह तो चलो मैंने डीएमटी के बाद आपको डीएमटी का क्वेश्चन करा रहा हूं तो शायद आपको थोड़ा बहुत आईडिया लग जाएगा बट हमेशा आप ध्यान रखना कि अगर आपको निकालनी है बड़ी पावर मतलब इट कैन बी पावर थ्री है ना तो आप तीन बार मल्टीप्लाई करने तो नहीं बैठोगे अगर मैं आपको जैसे मान लो एक छोटा सा कॉम्प्लेक्टेड कर देते हैं बट तीन बार मल्टीप्लाई क्यों करें ठीक है और यह तो फिर भी छोटी पावर है अगर मान लो कल को आ गया कि 2 माइनस आयो की पावर 5 या 2 माइनस आयो की पावर 100 या 2 माइनस आयो की पावर 200 तो जब भी बड़ी बड़ी पावर्स है तो वहां पर आपके दिमाग में तुरंत चमकना चाहिए कि डीएमटी का सवाल है है ना कॉम्प्लेक्शन ऑफ डीएमटी और कोई पूरे चैप्टर में कोई थरम ही नहीं है जो आप लगा सकते हो अगर कॉम्प्लेक्शन पावर या बड़ी बड़ी पावर तो ये आप लिख लो मतलब है ना ये काफी इंपॉर्टेंट है अगर कोई भी एक बड़ी बड़ी पावर्स आपको निकालनी है या फिर कॉम्प्लेक्शन पावर्स आपको निकालनी है ठीक है फ्रैक्शन पावर्स या बड़ी बड़ी पावर्स तो आप क्या यूज करोगे आप लगाओगे डीएमटी जो डीएमटी बाबा उसको याद कर लेना डीएमटी के दो थरम है स्टेटमेंट वन और स्टेटमेंट टू यह जो बड़ी बड़ी पावर है वो अगर इंटी जर है तो आप पहला वाला स्टेटमेंट यूज करोगे और फ्रैक्शन पावर में आप सेकंड वाला जो थ्योरम है उसको यूज कर लेंगे ठीक है यस तो बड़ी बड़ी पावर्स निकालनी है या पाव निकालनी है यूज डी एमटी ट इज द ओनली मेथड जिससे आपका क्वेश्चन सॉल्व होगा ठीक है अब यह वाला क्वेश्चन ट्राई करते हैं चलो तो इस वाले क्वेश्चन को ट्राई करने के लिए यहां पर लिखा है न प्स साइन थीटा और प्लस आयो कॉस थीटा नीचे भी है न प्लस साइन थीटा अब 1 प्स साइन थीटा का कोई एस सच फार्मूला होता नहीं है ट्रिग्नोमेट्री में मतलब अगर मैं चाहूं कि इसको सिंपलीफाई कर ले इसको सिंपलीफाई करना पॉसिबल है क्या इसको सिंपलीफाई करना पॉसिबल नहीं है बट अगर वो जो 1 प्लस साइन थीटा है अगर वो 1 प्स कॉस थीटा में कन्वर्ट हो जाए तो 1 प्स कॉस थीटा का फर्मूला अपने को पता है है ना 1 प्स कॉस थीटा का फर्मूला सबको पता है यह होता है 2 कॉस स्क्वा थीटा बाटू है ना यह फार्मूला तो सबको पता है ना तो इस फार्मूला को हम यहां पर यूज करना चाहते हैं बट यहां पर दिक्कत यही है कि 1 प् सा थीटा है तो सान थीटा को आप साइन को कस में कैसे कन्वर्ट करते हैं अगर ये ये जो एंगल आपको दिख रहा साइन ऑफ साइड में कर लेते है साइन ऑफ 2 पा बा 9 ये एंगल आपको दिख रहा है इसको कॉस में कन्वर्ट करना है तो कॉस में कन्वर्ट करना तो पाई बाटू माइनस थीटा कर दो बस य तो आप बचपन से पढ़ते आ रहे हो ना सा थीटा इ इक्वल टू कॉस ऑफ पाई बाटू माइन थीटा यही होता है ना यहां पर साइड में लिख भी लो सान थीटा यह होता है कॉस पाई बाटू माइन थ ये वाला यूज कर लो आप है ना तो ये कस में कन्वर्ट हो जाएगा और कस में कितना आ जाएगा ये ये कस में आ जाएगा ना माइनस तो 5 पाई बा 18 आ जाएगा ये आ गया ठीक है तो बेसिकली ये साइन को आप कस में कन्वर्ट कर लो और जो कस है उसको साइन में कन्वर्ट कर लो तो अब यह क्वेश्चन क्या बन जाएगा देखो अब यह क्वेश्चन बन गया अब ये क्वेश्चन बन गया 1 प्स कॉस और 2 पाई बा 9 की जगह क्या आ जाएगा 5 पाई बा 18 ये आ जाएगा ठीक है प्लस आयो और कस की जगह साइन आ जाएगा क्योंकि कस थीटा को आप क्या लिख दोगे कोस थ को आप लिख दोगे सा ऑफ 90 - थीटा तो साइन बन जाएगा ये यहां पे आ जाएगा 5 पा / 18 ठीक है तो ये आ गया और नीचे क्या है नीचे आपका आ जाएगा 1 प् क 5 पा बा 18 और यहां पे बस माइनस है माइनस आयो सा 5 पा / 18 अब ये 5 पा बा 18 को क्या करो थोड़ी देर के लिए थीटा अजूम कर लो और पूरे की पावर है थ्री ठीक है पूरे की पावर थ्री है हमारे पास तो अब एक काम करते हैं थोड़ी देर के लिए ये जो 5 पा / 18 है उसको थीटा बोल देते अगर इसको थीटा बोल देंगे तो यह लिखा हुआ है 1 प्स कॉस थीटा उसका क्या फार्मूला होता है ये सिंपलीफाई हो जाएगा ना बेसिकली तो 1 प्स कॉस थीटा 1 प्स कॉस थीटा तो ये होता है 2 कॉस स्क्वा थीटा बाटू और यहां पर आ जाएगा आयो और साइन थीटा है ना ये तो साइन थीटा को आप लिख सकते हो 2 साइन थीटा बाटू और कस थ बाटू ऐसे लिख सकते है ठीक है नीचे क्या आ जाएगा नीचे आ जाएगा क स्क्वा थीटा बा 2 सेम टू सेम है ना ये नीचे तो सेम टू सेम है बस बीच में माइनस आ जाएगा और यहां पर 2 सा थीटा बा 2 और क थीटा बा 2 अब बहुत सारी चीजें कैंसिल हो जाएगी ना ये पूरा है और इस पूरे की पावर है थ्र ठीक है पूरे की पावर है थ्री अब देखो क्याक कैंसिल हो जाएगा यहां पर आप कॉमन निकाल के कैंसिल कर लो हम कॉमन क्याक निकाल सकते हैं टू कॉमन निकाल सकते हैं तो टू कैंसिल हो जाएगा और कस थीटा बाटू कॉस थीटा बाटू यहां पर भी कस थीटा बाटू और कस थीटा बा 2 वो कैंसिल हो गया तो बचेगा क्या बचेगा केवल ये है ना क्या क्या बचेगा अपने पास यहां पर बचेगा कस थीटा बाटू ये बचेगा प्लस आयो सा थीटा बाट और नीचे आ गया कॉस थीटा बाटू माइनस आयो सा थीटा बाटू अरे चमका कि नहीं तो ये आ गया और इस पूरे की पावर है थ अब इसको आप कन्वर्ट कर लो है ना इसको आप कन्वर्ट कर लो यूलर फॉर्म में तो ये है क थीटा बाटू प् आ सा थीटा बाटू तो इसको मैं क्या लिख सकता हूं इसको हम लिख सकते हैं e की पावर आयो थीटा बाटू यस और नीचे वाले को हम क्या लिख सकते हैं नीचे है बीच में माइनस है अगर बीच में माइनस है तो e की पावर माइनस आयो थीटा बाटू आ जाएगा माइनस आयो और थ बाटू ठीक है ये पूरा और इसका होल क्यूब ये आ गया तो अल्टीमेटली ये बन जाएगा e की पावर आयो थ बाटू प् थ बाटू ना मतलब दोनों को क्लब कर लो ये नेगेटिव है डिनॉमिनेटर में तो जब न्यूमरेशन में जाएगा तो पॉजिटिव हो जाएगा ठीक है तो इन दोनों की पावर को कंबाइन कर दिया तो ये आ गया और इसका होल क्यूब तो अल्टीमेटली ये क्या बन गया ये अल्टीमेटली बन जाएगा e की पावर आयो और 3 थीटा बन जाएगा और थीटा का वैल्यू पुट कर दो अब आप तो थीटा का वैल्यू कितना है 3 इन थीटा हमने लिया था 5 पाई बा 18 सो 3 * 5 पाई बा 18 ठीक है अब इसको सॉल्व कर लो तो ये बेसिकली आ गया e की पावर आयो और फ पा बा 6 आ गया ठीक है तो ये आ गया तो इसका वैल्यू कितना आएगा ऑप्शन देख लो ठीक है अब आप ऑप्शन देख लो बेसिकली आपको निकालना है e की पावर आयो 5 पाई बा 6 तो ये तो ऐसे लिख देंगे ना इसको लिख देंगे कस 5 पाई बा 6 प्लस आयो साइन 5 पाई बा 6 और 5 पाई बा स को आप लिख सकते हो पाई माइन पाई बा 6 मतलब समझ गए बेसिकली है ना ये बस वैल्यूज निकालो अब फाइनली कौन सा आंसर आएगा पा माइन पा बा 6 मतलब सेकंड क्वाड्रेंट तो सेकंड क्वाड्रेंट में ये कितना आएगा ये है सा 30 य तो 1/2 आ जाएगा है ना तो आयो और इसका वैल्यू तो 1 बाटू आ जाएगा यहां पर आ जाएगा माइन √3 बाट अल्टीमेटली दिस इज द आंसर यह देखो कौन से ऑप्शन में है माइनस √3 प्स आयो और डिवाइडेड बायट ऑप्शन सी आएगा ठीक है यस ये चमका ये कितने लोग को चमक गया सिंपल तो जब भी आपको यूज करना है तो बस आप सिंपल इसको स्टैंडर्ड फॉर्म में कन्वर्ट कर लो यूलर फॉर्म में कन्वर्ट कर लो और फिर पावर की पावर है तो आप मल्टीप्लाई कर सकते हो ठीक है सिंस वी आर हैविंग पावर की पावर आप यहां पे आराम से मल्टीप्लाई कर सकते हो यस ऑप्शन सी इज द आंसर और आगे बढ़ते हैं अगला क्वेश्चन ट्राई करो अगेन आप इस क्वेश्चन को देखो बस और देख के बताओ कि इसमें क्या यूज करना चाहिए आपको फील आ रही है है ना जैसे ही आप देखोगे कॉम्प्लेन की बड़ी बड़ी पावर तो इसमें तो एक ही तरीका होता है सर वो होता है डीएमटी डीएमटी बाबा को याद कर लो एनवी सर को याद कर लो ठीक है तो बेसिकली आपका क्वेश्चन हो जाएगा मतलब एनवी सर ने जो बोला था उसको याद कर लो इसकी पावर आपको निकालना है 100 ठीक है और इसकी पावर जब 100 आप निकालो तो वह इस फॉर्मेट में कुछ ना कुछ आएगा तो फिर कंपेयर करके हम प और क निकालेंगे तो इसको आप सिंपलीफाई करो और इसको सिंपलीफाई कैसे करें इसको सिंपलीफाई करने के लिए आप सिंपल इसको यूलर फॉर्म में लिख दो ये जो √3 प्स आयो है बताओ अगर मुझे √3 प्लस आयो इसको रिप्रेजेंट करना है इस वाले फॉर्मेट में r इन e की पावर आयो थीटा तो r का वैल्यू कितना आएगा आप इसको सिंपल ये कार्टीजन फॉर्म में है कार्टीजन फॉर्म को आप कन्वर्ट कर लो यूलर फॉर्म में ठीक है यूलर फॉर्म में कन्वर्ट करेंगे तो इसमें मॉड्यूस ऑफ ज कितना आएगा तो मॉड्यूस आएगा √3 का स्क्वायर और व का स्क्वायर तो मॉड्यूस आएगा ये चमका ना √3 मतलब बेसिकली ऐसा आएगा अंडर रूट ऑफ √3 का स्क्वा x स् प्वा स् इसका वैल्यू टू आ जाएगा और e की पावर आयो थीटा कितना आएगा यहां पर आपको प्रिंसिपल आर्गुमेंट निकालना पड़ेगा तो वही अपना तीन स्टेप का मेथड है ना तो तीन स्टेप का मेथड लगा दो आप तो पहला स्टेप क्या होता है पहला स्टेप होता है हम अल्फा निकालेंगे तो न अल्फा निकालो तो कितना आएगा न अल्फ आएगा 1 बा √3 आएगा 1 बा √3 मतलब अल्फा का व आ गया 30 डिग्री पा बा 6 आ गया तो ये तो अल्फा आ गया सेकंड स्टेप क्या होता है सेकंड स्टेप होता है क्वाड्रेंट तो रव फर्स्ट क्वाड्रेंट है ये अगर फर्स्ट क्वाड्रेंट है तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट क्या आएगा यही आएगा 5/6 आएगा ओके तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट यहां पर आ गया पा बा 6 अब सब्सीट्यूट कर दो ठीक है तो बेसिकली यह जो कॉम्लेक्स नंबर है वो यूलर फॉर्म में कन्वर्ट हो गया और जैसे ही वो यूलर फॉर्म में कन्वर्ट हो गया यहां पर सब्सीट्यूट कर दो तो 2 न e की पावर आयो पा बा 6 और इस पूरे की पावर कितना पूरे की पावर है 100 तो बेसिकली ये क्या बन जाएगा तो ये बन जाएगा ू की पावर 100 और e की पावर आयो पा बा स मल्टीप्ला बा 100 है ना पावर की पावर मल्टीप्लाई कर दो यहां पर बन जाएगा रे 100 और e की पावर तो e की पावर आ जाएगा 50 पा बा 3 e की पावर आयो और 50 पाई बा 3 तो बस इसका वैल्यू अब निकाल लो इसको आप लिख दो क थीटा प् आयो सा थीटा और वैल्यू आपको निकालना पड़ेगा ठीक है तो बेसिकली ये बन गया 2 100 और ये आ जाएगा क थीटा ओके इसको वापस आप कन्वर्ट कर लो क थीटा प्लस आयो सा थीटा प्स आयो सा थीटा ठीक है तो 50 पा / 3 को हम कैसे लिख सकते हैं ये 50 पा / 3 को आप लिख दो 51 - पा 51 पा - पा मतलब 51 / 3 तो वो आ जाएगा 17 17 मतलब बेसिकली ये ऐसा आ जाएगा ना य जो 50 पाई बा 3 है उसको आप लिख देना 17 पाई माइनस पाई बा 3 ठीक है यह आ जाएगा तो यहां पर आप सब्सीट्यूट कर दो य कौन सा क्वाड्रेंट आएगा 17 पाई माइनस पाई बा 3 है ना इसका वैल्यू कितना आएगा कस 17 पाई माइनस पाई बा 3 तो ये कौन सा क्वाड्रेंट है यह क्वाड्रेंट है सेकंड सेकंड क्वाड्रेंट है तो ये नेगेटिव आएगा वो पॉजिटिव आएगा सेकंड क्वाड्रेंट को पता है ना c ए एटी यहां पे थोड़ा बहुत ट्रिग्नोमेट्री है सी ए एटी ये सेकंड क्वाड्रेंट है तो साइन तो पॉजिटिव होता है ये पॉजिटिव होता है बट ये नेगेटिव होता है ठीक है तो अब वैल्यूज आप पुट कर दो तो बेसिकली ये बन जाएगा 2 100 मल्टीप्ला बाय और ये बन जाएगा क नेगेटिव आएगा और क पा / 3 तो - क पा / 3 तो - क 60 मतलब - 1/2 आ जाएगा और इसका वैल्यू कितना आ जाएगा यहां पे ये बन जाएगा सा पा बा 3 तो सा पाई बा 3 मतलब सा 60 है सा 60 √3 बाट यहां पर √3 बाट आ जाएगा बस अब ये ू सेट से ट कैंसिल कर दो तो 2 99 आ गया और मल्टीप्लिकेशन में आ जाएगा -1 प्स आयो रथ बस इसको कंपेयर कर लो अब तो आपको क्वेश्चन में क्या गिवन है आपको क्वेश्चन में गिवन है 2 की पावर 99 और प प्स आयो क तो कंपेयर कर लो बस तो जैसे ही आप कपर करोगे तो प का वैल्यू दिख गया मानव और क का वैल्यू दिख गया रथ समझ प का वैल्यू आ गया माइव और का वैल्यू आ गया र बस दोनों का वैल्यू आ गया तो आपसे यह पूछा है क्वेश्चन में कि एक ऐसी क्वाड्रेटिक इक्वेशन बताओ जिसके रूट है प और क तो कैसे निकालते क्वाड्रेटिक इक्वेशन क्वाड्रेटिक इक्वेशन य होता है एक स् माइनस सम ऑफ रूट्स इन एक और प्लस प्रोडक्ट ऑफ रूट्स इ 0 बस ये यूज कर लो ठीक है तो x स् माइनस सम ऑफ रूट्स तो सम ऑफ रूट्स आ जाएगा √3 - 1 और प्रोडक्ट ऑफ रूट्स कितना आ जाएगा प्रोडक्ट ऑफ रूट्स आ जाएगा - √3 तो बस ये ऑप्शन में होना चाहिए ठीक है अब आप देख लो कि यह कौन सा ऑप्शन है अरे चमका तो ये कौन सा ऑप्शन है ये आई थिंक ऑप्शन ए आ गया ठीक है तो इसका फाइनल आंसर आएगा ऑप्शन ए चमक गया तो इस तरह के क्वेश्चन कर लोगे अगर इंटीग्रल पावर है अच्छा एक चीज और आप यहां पर हमेशा ध्यान रखना कि यहां पर तो हमने क्या किया था कि यूलर फॉर्म में कन्वर्ट कर लिया यूलर फॉर्म में कन्वर्ट करके पावर की पावर है तो पावर्स को मल्टीप्लाई कर दिया लेकिन यह वाली चीज आप तभी यूज करना जब आपकी जो पावर है वो इंटी जर है अगर फ्रैक्शन पावर है तो आपको डीएमटी का सेकंड स्टेटमेंट यूज करना पड़ेगा और डीएमटी का सेकंड स्टेटमेंट कैसे यूज करते हैं है ना वो भी अभी हम सीखते हैं है ना इन द नेक्स्ट पार्ट व्हिच इज द एप्लीकेशन ऑफ डीएमटी है ना दिस इज नथिंग बट दिस इज द एप्लीकेशन ऑफ डीएमटी जिसको हम बोलते हैं क्यूब रूट ऑफ यूनिटी तो क्यूब रूट ऑफ यूनिटी को आप समझो और इसमें हम डीएमटी कैसे अप्लाई कर सकते हैं वो भी आप सीखो ठीक है तो क्यूब रूट ऑफ यूनिटी का क्या मतलब है मतलब बेसिकली आपके पास ये इक्वेशन है z कब इक्व ठीक है z कब इक्व तो इसकी डिग्री कितनी है z क्यूब इक्व तो इसकी डिग्री है 3 तो इसके कितने रूट आने चाहिए इसके तीन रूट आने चाहिए तो तीनों के तीनों रूट हम निकालेंगे z क = 1 इसकी डिग्री है 3 तो कितने रूट आएंगे तीन रूट आएंगे तीनों के तीनों रूट अपने को निकालना है तो अब आप क्या करो यह जो थ्री है उसको इधर शिफ्ट कर दो तो थ्री को इधर शिफ्ट कर दोगे तो बन जाएगा 1 की पावर 1/3 ऐसा बन जाएगा ठीक है 1 की पावर 1/3 बन जाएगा ना ये यस यह सबको चमक गया 1 की पावर 1/3 बन जाएगा अरे यह क्या हो रहा है 1 की पावर 1/3 बन जाएगा ठीक है यस यह सबको चमक गया और अगर 1 की पावर 1/3 बन गया तो यह जो वन है ना वन भी तो एक [संगीत] पोलर फॉम में इसको कन्वर्ट करना चाहते है न को तो न को पोलर फॉर्म में कैसे कन्वर्ट करेंगे अगर वन को पोलर फॉर्म में कन्वर्ट करना तो एक तो आपको निकालना पड़ेगा मॉडल ऑफ जड आ क्या होता है आ होता है मडल ऑफ जड और मॉडल ऑफ जड आ जाएगा न का स्क्वायर और जीरो का स्क्वायर यह तो वन आ जाएगा और थीटा कितना आएगा थ देखो य पर जो पॉइंट है बेसिकली वो आपका पॉइंट है 0 और न जी अगर पॉइंट है तो ये कहा पर लाई करेगा व 0 तो यहां पे लाई करेगा ना पॉजिटिव रियल एक्सिस पे दिस दिस पॉइंट इज वन 0 ये वाला पॉइंट है वन 0 तो प्रिंसिपल आर्गुमेंट कितना होता है जीरो होता है ना प्रिंसिपल आर्गुमेंट कितना होता है प्रिंसिपल आर्गुमेंट जीरो होता है पॉजिटिव रियल एक्सेस पे आपको पता ही है तो बेसिकली r का वैल्यू आ गया थीटा का वैल्यू आ गया अगर दोनों का वैल्यू आ गया तो आप इसमें सब्सीट्यूट कर दो तो अगर आप सब्सीट्यूट कर दोगे तो वन को हम पोलर फॉर्म में कैसे लिखेंगे वन को हम पोलर फॉर्म में लिखेंगे r का वैल्यू वन और कस 0 प्स आयो सा 0 ऐसे लिखेंगे ये सबको चमका कि नहीं क 0 प् आयो सा 0 यस तो आपका r आ गया और बेसिकली इसका वैल्यू देखो ना कितना आएगा क 0 कितना होता है कस 0 होता है व और साइन 0 होता है रो तो ये वही बन रहा है ना यही वाला बन रहा है को 0 1 और सा 0 0 तो बेसिकली इसी को थोड़ा स्टाइल से लिख दिया ताकि हम यहां पर डीएमटी यूज कर पाए ठीक है तो वन की जगह आप क्या लिखोगे ये जो है उसकी जगह आप लिख दोगे कोस 0 प्लस आयो साइन 0 है ना कोस 0 प्स आयो साइन 0 और पावर में है 1/3 पावर में है 1/3 ठीक है अब आप यहां पर डीएमटी यूज करो तो डीएमटी कैसे यूज करेंगे डीएमटी यूज करने के लिए आप सिंपल ये सोचो कि प का वैल्यू कितना है ये जो पावर होती है ना वो होती प बा क तो प का वैल्यू वन है q का वैल्यू थ है और थीटा का वैल्यू है 0 डिग्री समझ ग ना मतलब बेसिकली जो डीएमटी आपने पढ़ा था वो डीएमटी का सेकंड स्टेटमेंट यहां पे थीटा क्या है एंगल और p / q क्या है पावर तो p का वैल्यू व q का वैल्यू 3 1/3 है ना और थीटा का वैल्यू 0 डिग्री है तो थीटा का वैल्यू 0 समझ गए यहां पे रो आ जाएगा थीटा और ये p और ये q अब जैसे ही आप इसमें dmt2 dmt2 में जो जो एंगल होता है वो ये होता है ना क यहां पर आता है p थीटा प् 2k पाई डिवाइडेड बाय q और प्लस आयो सा p थीटा प् 2k पाई डिवाइडेड बाय q यही तो आता है तो सबका वैल्यू पुट कर दो बस आप तो थीटा का वैल्यू 0 डिग्री है ठीक है ये थीटा 0 है और यहां प भी थीटा 0 है और q का वैल्यू थ्री है तो जैसे ही आप सब्सीट्यूट करोगे जैसे ही आप सब्सीट्यूट करोगे तो ये आपका आ जाएगा 2k पाई डिवाइड बा 3 और यहां पर आ जाएगा आयो सा 2k पाई डिवाइड बा 3 ये आपका एंगल आ जाएगा ना बेसिकली तो यह आ गया और इसमें के का वैल्यू कहां से कहां वेरी करता है इसमें जो के का वैल्यू होता है ना वो वेरी करेगा 0 1 और ट तक ना हमेशा q माइव तक जाता है q का वैल्यू कितना है थ तो q का वैल्यू यहां पर थ है तो के का वैल्यू q -1 तक जाता है हमेशा ऑलवेज है ना तो q मतलब आपका डिनो मिनेट जो भी आपका डिनॉमिनेटर है उसमें मानव तो के का वैल्यू क्या क्या आएगा आप जीरो पुट कर सकते हो वन पुट कर सकते हो टू पुट कर सकते हो अब आप के का वैल्यू 01 2 पुट करोगे तो आपके तीनों के तीनों रूट्स आ जाएंगे है ना तो कौन-कौन से रूट्स आएंगे चलो इसमें सब्सीट्यूट करते हैं तो हमारे पास जो जड आ गया वो आ गया कॉस 2 के पाई डिवाइडेड बा 3 प्लस आयो साट के पाई डिवाइड बा 3 ठीक है इसको आप वापस यूलर फॉर्म में भी कन्वर्ट कर सकते हो तो इसी को आप लिख सकते हो e की पावर आयो थीटा और थीटा है 2k पा डिवा बा 3 ठीक है ये इस फॉर्मेट में भी हम रिप्रेजेंट कर सकते हैं क थीटा प् आयो सा थीटा ही तो है e की पावर आयो थीटा समझ गए अब इसमें आप k का वैल्यू पुट करना स्टार्ट करो एक बार k का वैल्यू पुट करेंगे रो एक बार k का वैल्यू पुट करेंगे वन और एक बार k का वैल्यू पुट करेंगे टू ठीक है 0 1 2 तो रो पुट करेंगे तो क्या आएगा पहला रूट आएगा और पहला रूट कितना आएगा बताओ आप के का वैल्यू जीरो पुट करो तो के का वैल्यू जीरो पुट करेंगे तो कस 0 प्लस आयो सा 0 मतलब ये बन जाएगा e की पावर आयो 0 तो वो आ जाएगा वन आएगा ना मतलब बेसिकली तो पहला रूट आएगा वन क्यूब रूट ऑफ यूनिटी का जो पहला रूट आएगा वो तो वन होता है वैसे भी आपको समझ में आ ही रहा था कि भाई अगर यह इक्वेशन है तो उसका एक रूट वन तो आना ही आना है ना अगर z क इक्व टव है तो वन उसमें सेटिस्फाई कर रहा है तो एक रूट व आना भी चाहिए था और वो आ भी रहा है ठीक है ना तो एक रूट तो वन आएगा दूसरा रूट क्या आएगा अब के का वैल्यू वन पुट करो तो के का वैल्यू वन पुट करेंगे तो कॉस और के का वैल्यू वन तो कॉस 2 पाई बा 3 प्लस आयो साइनट पाई बा 3 ये आ जाएगा ठीक है तो इसको आप इस तरह से भी रिप्रेजेंट कर सकते हो e की पावर आयो 2 पाई बा 3 ऐसे भी रिप्रेजेंट कर सकते हो और इसका वैल्यू कितना आएगा इसका वैल्यू कितना होता है क 2 पाई बा 3 का तो कस 2 पाई बा 3 को आप क्या लिख सकते हो आप इसको लिख सकते हो पाई माइनस पाई बा 3 है ना तो ये भी पाई माइन पाई बा 3 ये भी पाई माइन पाई बा 3 मतलब सेकंड क्वाड्रेंट है सेकंड क्वाड्रेंट है तो ये नेगेटिव आएगा और साइन आएगा पॉजिटिव तो कितना कितना वैल्यू आएगा ये बन जाएगा माइनस कॉस 6 ओके मतलब पाई बा 3 है तो 60 माइनस कॉस पाई बा 3 ओके तो दैट विल बी हाउ मच ट विल बी -1 बाट और इसका वैल्यू कितना आएगा यह बन जाएगा sin3 तो sin3 का वैल्यू आ जाएगा √3 / 2 तो यह वैल्यू निकल के आएगा यह वैल्यू निकल के आएगा ना तो यह अपना आ गया दूसरा रूट और तीसरा रूट क्या आएगा तीसरा रूट आएगा z3 उसमें आप k का वैल्यू टू पुट कर दो तो k का वैल्यू अगर 2 पुट करेंगे तो क और 2 * 2 4 तो 4 पा / 3 आ जाएगा और प्लस आयो sin4 पा / 3 ठीक है यह आ जाएगा इसको आप ऐसे लिख सकते हो e की पावर आयो 4 पा / 3 ऐसे भी लिख सकते हो और इसका वैल्यू कितना आएगा इसका अगर आप वैल्यू निकालो ग तो 4 पा / 3 को हम क्या लिख सकते हैं 4 पा / 3 को हम लिख सकते हैं पा + पा / 3 और पा + पा / 3 मतलब थर्ड क्वाड्रेंट है तो दोनों नेगेटिव आएंगे ये भी नेगेटिव आएगा थर्ड क्वाड्रेंट में और ये भी नेगेटिव आएगा थर्ड क्वाड्रेंट में दोनों नेगेटिव नेगेटिव ठीक है अब ये जो रूट्स निकल के आता है ना ये काफी इंपॉर्टेंट टाइप के रूट्स है तो इसका एक नाम भी हम दे देते हैं यह वाला जो रूट है इसको हम बोल देते हैं ओमेगा अब किसी एक को ओमेगा बोल सकते हो तो दूसरा वाला जो है वो बेसिकली आपका आ जाएगा ओमेगा स्क्वायर आप यहीं से देख लो ना एक रूट ये है इसको हमने बोला ओमेगा तो यहां पे है 4 पा / 3 तो 4 पा बा 3 को तो हम ऐसे लिख सकते हैं ना इसको अगर आप इमेजिन करोगे तो ये लिखा हुआ है e की पावर आयो 2 पा बा 3 और उसका होल स्क्वायर तभी तो 4 पा बा 3 आएगा तो अगर मैंने बोल दिया कि ये ओमेगा है तो ये क्या आ गया ऑटोमेटिक ये ओमेगा स्क्वायर आएगा ना ये चमका तो इन्हीं को हम बोल देते हैं ओमेगा और ओमेगा स्क्वा तो ये ओमेगा और ओमेगा स्क्वायर की जो वैल्यूज है वो भी आप यहां पे याद करके रखना क्योंकि बहुत बार ऐसा भी हुआ है कि केवल ओमेगा और ओमेगा स्क्वा की वैल्यूज पे क्वेश्चन आ गए थे ठीक है अभी वो क्वेश्चंस भी हम करेंगे बट ये पूरा थ्योरी आपको समझ में आ गया हमने सिंपल कुछ नहीं किया है ये जो वन था देखो एक बार फिर से रिपीट करते हैं ये जो वन था उसको हमने फॉर्म में कन्वर्ट किया फिर डीएमटी लगाया डीएमटी का जो भी फार्मूला उसमें सब्सीट्यूट किया k का वैल्यू हमेशा जाता है q -1 तक तो q का वैल्यू 3 है तो 3 -1 2 तक जाएगा तो k का वैल्यू आपने जीरो पुट किया वन पुट किया टू पुट किया तीनों रूट्स आ गए और वो जो तीनों रूट्स आ गए उन्हीं का बस हमने नामकरण कर दिया एक को बोल दिया ओमेगा तो दूसरा ऑटोमेटिक क्या हो जाएगा ओमेगा का स्क्वायर क्योंकि यहीं से आपको दिख रहा है कि अगर ये ओमेगा है तो ये उसी का स्क्वायर है ठीक है तो बस ये आप यहां से डायरेक्टली ऑब्जर्व कर सकते हो अच्छा इसमें और भी बहुत सारे ऑब्जर्वेशंस है जो आप ले सकते हो बट सबसे पहले है ना सबसे पहले एक चीज मैं आपको और बताता हूं कि यह तो एक मेथड हो गया है ना क्यूब रूट ऑफ यूनिटी निकालने का एक शॉर्टकट मेथड भी है जो कि स्पेशली आप इसके लिए यूज कर सकते हो क्यूब रूट ऑफ यूनिटी के लिए तो एक शॉर्टकट मेथड जिसमें आप डायरेक्टली रूट्स निकाल सकते हो तो बेसिकली देखो अपनी जो इक्वेशन है वो ये है ना अपनी जो इक्वेशन है वो यह है इस इक्वेशन के तीन रूट अपने को निकालना है z1 z2 z3 यस और नो यही तो करना है हम ज्यादा दिमाग क्यों लगाए भाई ये क्यूबिक इक्वेशन है और क्यूबिक इक्वेशन के तीन रूट निकालने तो अगर आप ज्यादा a क माइ बी क लगा दिया और फिर यहां से बेसिकली z-1 का वैल्यू जीरो होगा या फिर इसका वैल्यू जीरो होगा है ना दोनों को आप इक्वल टू जीरो कर दोगे तो यहां से एक रूट आ गया वन और यहां से दूसरे दोनों रूट आ जाएंगे तो यहां पर आप लगा दो क्वाड्रेटिक का फार्मूला माइन बी प्लस माइनस रट डीडी होता है ब स् - 4ac 1 - 4 अप 2a तो यहां से अगर आप सिंपलीफाई करोगे तो मेरे ख्याल से आपको दिख गया होगा है ना वही के वही रूट्स आ गए -1 प्लस माइनस और ये बन जाएगा रूट ऑफ -3 रूट ऑफ -3 को आप लिख सकते हो √3 आयो ठीक है और डिवाइडेड बाटू तो ये वही तो आ गए तीनों के तीनों रूट्स आ गए तो यह और एक मतलब सिंपल तरीका है क्यूब रूट ऑफ यूनिटी के रूट्स निकालने का तो हमेशा आप ये जो इक्वेशन है ना इस इक्वेशन को भी ध्यान में रखना यह इक्वेशन अपने आप में वर्ल्ड फेमस है ठीक है ये जो इक्वेशन होती है आई थिंक मैंने आपको क्वाड्रेटिक में भी बताई थी इस इवे रूट होते हैं ओमेगा और ओमेगा स्क्वा इसी के तो रूट्स है ओमेगा और ओमेगा स्क्वा इस इक्वेशन के रूट्स होते हैं ओमेगा और ओमेगा स्क्वा और सिमिलरली आप एक और इक्वेशन बना सकते हो एक्स को रिप्लेस कर दो माइनस एक्स के साथ ठीक एक्स को अगर रिप्लेस कर दोगे माइनस एक्स के साथ तो यह जो क्वाड्रेटिक है इसके रूट्स होते हैं माइनस ओमेगा और माइनस ओमेगा स्क्वा अगेन आप डायरेक्टली इसको याद रख सकते हो इस तरह के क्वेश्चन आएंगे तो आराम से हो जाएंगे यस य गया होगा मेरे ख्याल से फाइन इसमें किसी को कोई दिक्कत तो आप रूट्स ऐसे भी निकाल सकते हो अल्टीमेटली इसका बॉटम लाइन क्याक है आपको क्याक याद रखना है ठीक है तो सबसे पहले तो आपको कुछ प्रॉपर्टीज है प्रॉपर्टीज तो याद करनी है बट सबसे पहले तो आप इसकी वैल्यूज याद करो तो क्यूब रूट ऑफ यूनिटी जो है z कब इक्व 1 इसके तीन रूट होते हैं कौन-कौन से तीन रूट होते हैं एक होता है वन एक होता है ओमेगा और एक होता है ओमेगा स्क्वायर तो वन का वैल्यू तो चलो वन ही है ओमेगा का वैल्यू होता है -1 बाट प्लस आयो √3 बाट ठीक है तो एक तो वैल्यूज आपको याद करनी है इसका वैल्यू होता है - 1/2 माइनस आयो र 3/2 अब देखो वैसे तो यहां प ये होता है कि आप किसी एक को ओमेगा बोल सकते हो और दूसरे को ओमेगा स्क्वायर बोल सकते हो लेकिन कंफ्यूजन क्यों रखना है तो मेरा प्रैक्टिकली यह मानना है कि आप ओमेगा और ओमेगा स्क्वा को फिक्स कर दो नहीं तो आप खुद भी कंफ्यूज रहोगे दूसरों को भी कंफ्यूज करोगे तो इसीलिए ओमेगा का वैल्यू यही है फिक्स है ये ठीक है अब बार-बार हम चेंज नहीं करेंगे हम बार-बार चेंज करेंगे तो अपनी थ्योरी भी चेंज होती रहेगी तो हम क्यों ऐसा करें हम तो एक फिक्स कर लेते हैं ना तो आप फिक्स कर लो और फिक्स कैसे करना है देखो इसको मतलब याद करने का तरीका भी मैं आपको बता देता हूं जनरली जो स्क्वायर्स होते हैं जैसे यहां पे लिखा हुआ है ओमेगा का स्क्वायर तो जनरली आप जब रियल दुनिया में पढ़ाई करते हो तो रियल दुनिया में हमने यही देखा था ना कि जो स्क्वेयर्स होते हैं वो कभी नेगेटिव नहीं हो सकते मतलब मैं अगर आपको बोलूं कि x का स्क्वायर नेगेटिव हो सकता है क्या कभी भी x का स्क्वायर कभी भी नेगेटिव नहीं हो सकता बट ये तो दुनिया ही कॉम्प्लेक्टेड क्ट ध्यान रखना एग्जाम में ऐसा नहीं होना चाहिए कि निकालने बैठ रहे हो आप तो डायरेक्टली आपको पता होना चाहिए अब इसमें बहुत सारे ऑब्जर्वेशन देख लो ठीक है तो ये क्यूब रूट ऑफ यूनिटी के तीन रूट्स होते हैं अगर आप ये तीनों रूट्स को मल्टीप्लाई करोगे ना मतलब बेसिकली ओमेगा इसका रूट है तो सिंस ओमेगा इसका रूट है तो इसमें सेटिस्फाई करेगा ओमेगा क्या है इसका रूट है तो सेटिस्फाई करेगा ना तो पहली प्रॉपर्टी आ गई ओमेगा क्यूब इ 1 ओमेगा इज द रूट तो सेटिस्फाई करा दो ठीक है ओमेगा सिंस इसका रूट है तो आप सेटिस्फाई करा दो अच्छा अगर आप तीनों को ऐड करोगे तो कितना आएगा 1+ ओमेगा ् ओमेगा स्क तो इसका वैल्यू जीरो आएगा ये सबको दिख रहा है क्या जैसे ही आप इन दोनों को ऐड करोगे तो यहां पर देखो ना - 1/2 - 1/2 तो - 1/2 - 1/2 होता है -1 और ऊपर है प्व तो कैंसिल हो जाएगा और ये दोनों आपस में कैंसिल हो जाएंगे दिख गया तो अगर आप तीनों के तीनों रूट्स को ऐड करोगे तो ये भी एक भयंकर प्रॉपर्टी है कि 1 प् ओमेगा + ओमेगा स्क्वा का वैल्यू रो होता है ठीक है तो ये दो प्रॉपर्टी आपको क्लियर है क्या सुपर इंपॉर्टेंट है ये मतलब दिस इज इसमें आप मतलब 10 15 स्टार लगा लो ठीक है स्टार स्टार स्टार स्टार स्टार स्टार बहुत सारे स्टार्स ये भी सुपर इंपॉर्टेंट है तो ये ध्यान रखना इसके ऊपर बहुत सारे क्वेश्चंस आते हैं ओमेगा क्यूब का वैल्यू होता है वन और सम ऑफ रूट्स 1 प् ओमेगा प् ओमेगा स्क्वा होता है 0 ठीक है ये आपको क्लियर हो गया अच्छा एक और प्रॉपर्टी है ये थर्ड वाली प्रॉपर्टी वो ये कहती है कि आप तीनों रूट्स को ले लो इसको इसको ध्यान से समझो चलो एक है वन एक है ओमेगा और एक है ओमेगा स्क्वा तीनों के तीनों रूट्स को आप ले लो तीनों की पावर आप कर दो r ठीक है इसकी पावर r इसकी पावर r इसकी पावर r और ऐड कर दो तो इसका वैल्यू क्या आएगा इसका वैल्यू क्या आएगा वो आप सोचो तो यहां पर देखो दो पॉसिबिलिटीज होती है हमेशा इसकी इसकी प्रॉपर्टी को आप समझो आपने क्या किया कि तीनों रूट्स ले लिए 1 ओमेगा ओमेगा स्क्वा और तीनों की पावर आपने एक फिक्स ये आ क्या है एक फिक्स नंबर है कांस्टेंट है आप आ की जगह के कर सकते हो है ना अगर आपको कांस्टेंट वाली फील चाहिए तो आ की जगह के भी कर सकते हो य आ इज अ कांस्टेंट एक कांस्टेंट पावर हमने कर दी तीनों की है ना जैसे आप तीनों की पावर 10 कर सकते हो या तीनों की पावर 11 कर सकते हो तीनों की पावर 12 कर सकते हो जनरली जो क्वेश्चन एग्जाम में आता है उसमें तीनों की पावर दे देते हैं जिस यर में आया है जैसे 2022 में आएगा तो आ का वैल्यू ले लेंगे 2022 ऐसा ठीक है तो जिस ईयर में आता है उसके हिसाब से ये बदलता रहता है बट r इज अ कांस्टेंट यहां पे जो r है वो एक कांस्टेंट है उसका कुछ ना कुछ वैल्यू होगा इट विल हैव सम वैल्यू अच्छा अब इसको समझो इसकी वैल्यू क्या पॉसिबल है इसकी वैल्यू या तो थ्री आएगी या जीरो आएगी ये थ्री तब आएगी व्हेन r इज अ मल्टीपल ऑफ थ्री इफ r इज मल्टीपल ऑफ थ्री तो हमेशा इसकी वैल्यू जैसे आप कोई भी एक वैल्यू ले लो ना लाइक लेट्स टेक r इ 3 ले लो आप थ ले लो मल्टीपल मतलब थ ले लो सबसे छोटा मल्टीपल है ना सबसे छोटा मल्टीपल कौन सा होता है तो अगर मैं r का वैल्यू थ ले लू तो ये बन जाएगा 1 की पावर 3 ये बन जाएगा ओमेगा की पावर 3 और ये बन जाएगा ओमेगा स्क्वायर की पावर 3 तो ये आ गया न ओमेगा क्यूब होता है वन और ओमेगा की पावर 6 वो भी होता है वन क्योंकि ओमेगा क्यूब वन है ना चमा गया सिंस ओमेगा क्यूब इज व तो 1 प् 1 प् 1 3 आएगा तो अगर आप r का वैल्यू ऐसा कुछ सिलेक्ट करोगे जो कि थ्री का मल्टीपल है तो हमेशा ये बन जाएगा वव और हमेशा अगर बन जाएगा 11 1 तो यहां पर आपका आंसर आएगा थ्र बट अगर आप r का वैल्यू सिलेक्ट करोगे व्हिच इज नॉट अ मल्टीपल ऑफ थ्री इफ इट इज नॉट अ मल्टीपल ऑफ थ्री जैसे फॉर एग्जांपल आप r का वैल्यू टू ले लो है ना लाइक फॉर एग्जांपल अगर मैंने r का वैल्यू टू ले लिया तो क्या बन जाएगा बताओ तो यहां पे क्या आएगा अगर r का वैल्यू टू है तो पावर टू पावर टू और पावर टू अब इसको निकालो इसको निकालो तो यह न यह ओमेगा स्क्वायर और ये ओमेगा की पावर 4 ओमेगा की पावर फो को आप क्या लिख सकते हो ओमेगा की पावर फो को आप लिख सकते हो ओमेगा इन ओमेगा क्यूब और ओमेगा क्यूब होता है वन ओमेगा क्यूब होता है न तो ये क्या बन गया ये बन गया 1 प्स ओमेगा स्क्वा प्स ओमेगा तो ये तो यही बन गया ना अल्टीमेटली आंसर कितना आएगा जीरो चमक गया तो अगर आ का वैल्यू आप ऐसा कुछ भी ले लोगे जो कि थ्र का मल्टीपल नहीं है तो हमेशा आपका जीरो आता है और अगर थ्री का मल्टीपल लोगे तो आपका आंसर थ्र आएगा त अब आप देख लो कि 2022 जो है वो थ्र का मल्टीपल है कि नहीं अगर थ्री का मल्टीपल है तो थ्री आंसर आएगा अगर थ्री का मल्टीपल नहीं है तो जीरो आंसर आएगा डिपेंड करता है कि आपका जो कांस्टेंट आप पावर कर रहे हो वो थ्री का मल्टीपल है या नहीं है अगर थ्री का मल्टीपल है तो ्र आएगा नहीं है तो जीरो आएगा दो ही आंसर पॉसिबल है ठीक है तो ये थर्ड वाली प्रॉपर्टी भी आपको क्लियर हो गई यस और आगे बढ़ते हैं एक और इंटरेस्टिंग प्रॉपर्टी ये इंटरेस्टिंग प्रॉपर्टी ये है कि अगर आप इसको प्लॉट करोगे ना अच्छा सबसे पहले तो आप ये देखो कि 1 ओमेगा और ओमेगा स्क्वा ये जो तीनों ओमेगा स्क्वायर का भी निकालो और वन का भी निकालो तो वन में तो आ जाएगा अंडर रट 1 स् + 0 स् उसमें आ जाएगा 1/2 का स्क्वायर और √ 3/2 का स्क्वायर और फिर अंडर रूट तो सबका जो मॉड्यूस आएगा वो वन आएगा सबका मॉड्यूस वन आएगा मतलब 1 ओमेगा और ओमेगा स्क्वा को अगर प्लॉट किया जाए तो उसका डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन कितना है वन है तीनों का डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन कितना है वन है तो बेसिकली एक यूनिट रेडियस के सर्किल पर लाई करेंगे तीनों के तीनों ये जो सर्कल है इसका रेडियस वन है तीनों का मॉड्यूस आ रहा है वन आप ऐसे समझ सकते हो कि भाई क्यूब रूट ऑफ यूनिटी के तीन रूट है एक रूट हैवन एक रूट है ओमेगा और एक रूट है ओमेगा स्क्वायर तीनों का मॉड्यूस है वन तो सिंस तीनों का मॉड्यूस है वन तो डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन इज वन तो जैसे ही आप प्लॉट करोगे तो कौन-कौन से रूट है एक रूट तो है 0 ठीक है तो पहला रूट यहां पर लाई करेगा व 0 ये पहला रूट है क्यूब रूट ऑफ यूनिटी का दूसरा रूट रूट ये है तो दूसरा रूट है वो है ओमेगा ओमेगा मतलब -1 by2 √3 by2 ये वाला पॉइंट आएगा ये कहां पे लाई करेगा ये - 1/2 और √3 by2 मतलब सेकंड क्वाड्रेंट में कहीं ना कहीं लाई करेगा ना यहां पे कहीं पे स दिस इज - 1/2 और √3 by2 यहां पे कहीं प लाई करेगा बट इसका भी डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन कितना होगा ये डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन वन होगा ये वाला जो डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन है ये भी वन है और तीसरा जो रूट है वो यहां पे लाई करेगा इसके ठीक नीचे इसके ठीक नीचे आपका ओमेगा स्क्वायर यहां पर लाई करेगा तो ये ओमेगा स्क्वायर है - 1/2 - √3 बा 2 ठीक है इसी का मिरर इमेज इन रियल एक्सेस अगर आप इन तीनों को जॉइन करोगे ना तो एक ट्रायंगल आपको मिलेगा और वो ट्रायंगल होगा इक्विलैटरल ट्रायंगल यही प्रॉपर्टी है ठीक है तो ये जो ट्रायंगल आपको दिख रहा है दिस ट्रायंगल विल बी इक्विलैटरल ट्रायंगल ये ट्रायंगल आपको दिख गया अगर आप क्यूब रूट ऑफ यूनिटी के जो रूट्स है उनको प्लॉट करके जॉइन करोगे तो सबसे पहली बात तो वो सर्कल पर लाई करेंगे पहली प्रॉपर्टी आपको क्लियर है इट विल लाई ऑन अ सर्कल ऑफ यूनिट रेडियस उसका रेडियस है वन और एक ट्रायंगल मिलेगा वो जो ट्रायंगल मिलेगा वो इक्विलैटरल मिलेगा इट विल बी इक्विलैटरल ट्रायंगल है ना इसमें भी आप क्या निकाल सकते हो इसकी साइड लेंथ निकाल सकते हो तो ये जो इक्विलैटरल ट्रायंगल है उसकी साइड लेंथ कितनी होगी ये साइड लेंथ है है ना दिस इज द साइड तो ये लेंथ कितनी आएगी अगर आप ये साइड निकालना चाहते हो द साइड ऑफ द इक्विलैटरल ट्रायंगल तो यह ऊपर है √3 / 2 और नीचे भी है √3 / 2 √3 / 2 ऊपर √3 / 2 नीचे तो टोटल कितना आ जाएगा √ √3 आ जाएगा √3 / 2 + √3 / 2 तो ओवरऑल यह आ जाएगा √3 तो दिस इज़ द साइड ऑफ़ द इक्विलैटरल ट्रायंगल ओके अगर साइड ऑफ़ द इक्विलैटरल ट्रायंगल आ गया तो आप एरिया भी निकाल सकते हो एरिया होता है √3 / 4 और साइड का स्क्वायर ठीक है तो आप एरिया भी निकाल सकते हो इस ट्रायंगल का एरिया आएगा 33/4 फाइन तो यू कैन फाइंड आउट एरिया आल्सो आप ये सारी चीजें निकाल सकते हो ठीक है तो बेसिक प्रॉपर्टी यही है कि अगर आप उनको प्लॉट करोगे तो एक इक्विलैटरल ट्रायंगल आएगा और वो जो इक्विलैटरल ट्रायंगल है उसका सेंट्रोइड्स ट्रायंगल में सेंट्रोइड्स बोलो या इन सेंटर बोलो या ऑर्थो सेंटर बोलो सब कुछ एक ही होता है इक्विलैटरल ट्रायंगल में यही सेंट्रोइड्स है ना सेंट्रोइड्स ऑर्थो सेंटर भी यही है सरकम सेंटर भी यही है और इन सेंटर भी यही है तो सारे के सारे ओरिजिन पे आएंगे ठीक है तो बेसिकली अगर आप क्यूब रूट ऑफ यूनिटी को प्लॉट करोगे आर्गन प्लेन पे और फिर एक ट्रायंगल बनेगा वो ट्रायंगल के जितने भी पॉइंट्स है सेंट्रोइड्स एटर वो सब ओरिजिन पे आएंगे एवरीथिंग विल बी ओरिजिन और ये ओरिजिन क्यों है तो उसके लिए तो आप कर सकते हो ना x1 + x2 ् x3 डिवाइड बा 3 और y1 + y2 + y3 डिवाइडेड बा बा 3 आपको पता ही सेंट्रोइड्स भी ट्रायंगल का सेंट्रोइड्स पे आते हैं ठीक है तो ये वाला क्वेश्चन आप ट्राई करो ये क्वेश्चन है जेई मेन 2020 का तो इसको कैसे करेंगे जेई मेन 2020 अच्छा सबसे पहले तो आपको इसमें दिख रहा है 1 माइनस आयो तो 1 माइ आटा के लिए मैंने आपको एक सिखाया था एनवी स्टाइल याद है 1 माइनस आयो का क्या करेंगे न माइनस आयो को क्या करते हैं न माइनस आयो का स्क्वायर कर दो वो होता है माइट आयो याद आ गया तो बेसिकली इसको आप ऐसे करो देखो इसको सिंपलीफाई करने का सबसे अच्छा तरीका है एक तो आप क्या करो यह जो न्यूमरेशन में डिवाइड बाय टू कर दो डिवाइड बाय टू कर दो और मल्टीप्लाई बायट भी कर दो तो 2 की पावर 30 आपको करना पड़ेगा और जो नोमने है डिनॉमिनेटर को आप ऐसे लिख दो डिनॉमिनेटर को आप लिख दो स्क्वायर और स्क्वायर की पावर 15 ऐसे लिख दो ठीक है यहां पे डिवाइड बाय टू क्यों किया क्योंकि अब ये ओमेगा बन गया ध्यान से देखो दिस इज नथिंग बट नाउ दिस इज ओमेगा अगर आप ध्यान से देखोगे तो ये ओमेगा बन गया ओमेगा का वैल्यू होता है तभी तो मैंने आपको बोला था कि ओमेगा का वैल्यू याद रखना ठीक है तो आपको इस तरह के क्वेश्चन देंगे जिसमें आपको बताएंगे भी नहीं ये ओमेगा है आपको खुद से समझना पड़ेगा कि दिस इज एक्चुअली ओमेगा ठीक है तो ये ओमेगा है ओमेगा की पावर 30 बन गया ये और मल्टीप्ला बाय 2 की पावर 30 आ गया और नीचे क्या आ गया नीचे आपको इसका वैल्यू पता ही है 1 माइनस आयो का स्क्वायर क्या होता है माइट आयो होता है ना माइट आयो की पावर 15 आ गया बस ओमेगा की पावर 30 होता है वन क्योंकि ओमेगा क्यूब होता है वन ठीक है ओमेगा क्यूब तो वन होता है ना तो ये तो वन आ गया मल्टीप्ला बा 2 रे 30 और यहां पर आ जाएगा माइनस बाहर निकल जाएगा ठीक है क्योंकि पावर ऑड है 2 की पावर 15 बन जाएगा और आयो की पावर भी 15 और आयो की पावर 15 कैसे निकालते हैं तो डिवाइड बाय फोर करके रिमाइंडर निकाल लो तो फोर से डिवाइड करोगे तो रिमाइंडर कितना आएगा आयो की पावर 15 इसको फोर से डिवाइड करोगे तो रिमाइंडर थ्री आएगा आयो क्यूब मतलब माइनस आयो आएगा इसका आंसर तो बेसिकली वहां पे आप सब्सीट्यूट कर दो माइनस आयो ये आयो की पावर 15 विल बी हाउ मच दिस विल बी माइनस आयो तो माइनस माइनस प्लस हो गया है ना माइनस माइनस कैंसिल हो गया ये माइनस माइनस प्लस कर दो बेसिकली आ जाएगा 2 15 डिवाइडेड बाय आयो और इसमें आप क्या कर सकते हो ऊपर नीचे आयो से मल्टीप्लाई कर लो ऊपर नीचे आयो से मल्टीप्लाई कर लोगे तो यह बन गया माइव बेसिकली आपका आंसर आ जाएगा माइनस 2 15 इन आयो ये चमक गया ठीक है आयो स्क्वायर होता है मानव तो सिंस आयो स्क्वा होता है -1 ऑप्शन सी आ गया ठीक है इस तरह के क्वेश्चन तो कर लोगे ना मतलब ओमेगा का वैल्यू आपको याद होना चाहिए बस ठीक है क्यूब रूट ऑफ यूनिटी में ऐसे ऐसे क्वेश्चन भी है चलो ये वाला ट्राई करो यह थोड़ा भयंकर है ये कैसे करेंगे तो इस क्वेश्चन को आप देख लो अगर आपको नहीं दिख रहा है तो मैं थोड़ा लिख देता हूं यहां पर एक आपको गिवन है के का वैल्यू बस आप तो के का वैल्यू निकाल दो बाकी मैं संभाल लूंगा ठीक है तो के का वैल्यू आपको क्वेश्चन में गिवन है माइनस प्स आयो रथ और नीचे इसकी पावर है 21 और नीचे है 1 माइनस आयो की पावर 24 ठीक है यहां पर है न प्लस आयो रथ और इसकी पावर 21 नीचे है न प्लस आयो की पावर 24 तो इसका वैल्यू निकालो आप ठीक जस्ट फाइंड आउट द वैल्यू ऑफ के पहले के का वैल्यू निकालो ठीक है आपको चिंदी चैप्टर लग रहा होगा है कि नहीं तो आपको के का वैल्यू निकालना है तो सबसे पहले क्या करेंगे ओमेगा दिख रहा है किसी को यहां पर डिवाइड बाय टू कर लो डिवाइड बाय टू कर लो और मल्टीप्लाई बाय टू कर लो ठीक है डिवाइड मल्टीप्लाई कर दिया और डिवाइड मल्टीप्लाई करने के बाद नीचे क्या करेंगे नीचे बेसिकली आपको दिख गया होगा कि दिस इज 1 माइनस आयो का स्क्वायर का स्क्वायर ठीक है स् स्क्वायर की पावर 12 ये आ जाएगा ना मतलब 2 * 12 कर लो बेसिकली इसको 24 को और इधर इधर भी आप डिवाइड बा 2 कर दो 1 + आयो √3 / बा 2 और पावर है 21 मल्टीप्ला बा 2 की पावर 21 और नीचे आ जाएगा 1 प् आयो का स्क्वायर ठीक है इसका स्क्वायर की पावर 12 ये आ जाएगा अब इसको सिंपलीफाई करो इसको सिंपलीफाई करेंगे तो ये लिखा हुआ है ओमेगा और यह क्या लिखा हुआ है यह एक्चुअली लिखा हुआ है - ओमेगा स् अरे चमका कि नहीं ओमेगा स्क्वायर का वैल्यू क्या होता है ओमेगा स्क्वायर ये स्क्वायर है और ओमेगा स्क वैल्यू सब्सीट्यूट कर दो है ना यहां यही पर कर दूं मैं यह जो लिखा हुआ है इसको अगर आप ध्यान से देखोगे तो यह ओमेगा है और अगर आप इसको ध्यान से देखोगे तो यह है माइनस ओमेगा स्क्वा ठीक है इसी में आप वैल्यूज सब्सीट्यूट कर दो माइनस ओमेगा स्क्वा और इसका वैल्यू कितना आ जाएगा इसको भी आप हटा दो 1 माइनस आयो का होल स्क्वायर और यहां पर है 1 प्स आयो का होल स्क्वायर तो यहां पर आ जाएगा माइट आयो आयो और ये प्लसटू आयो चमक गया ना अब सिंपलीफाई करो बस तो सिंपलीफाई करने के बाद कितना आ रहा है ये ओमेगा की पावर 21 तो वन होता है है ना क्योंकि ओमेगा क्यूब मतलब कोई भी थ्री का मल्टीपल है अगर ी का मल्टीपल है तो उसका वैल्यू तो वन है तो ये तो वन हो गया तो 2 की पावर 21 आएगा और नीचे बेसिकली माइनस का कोई मतलब नहीं है क्योंकि पावर इवन है तो सिस पावर इवन है तो ू की पावर 12 और आयो की पावर 12 ठीक है और यहां प यहां पर आपका माइनस निकल जाएगा तो -1 ठीक है -1 बन जाएगा क्योंकि ओमेगा की पावर 42 जो कि अगेन थ्री का मल्टीपल है तो वो फिर से वन बन जाएगा 2 की पावर 21 और नीचे कितना आ जाएगा 2 की पावर 12 और आयो की पावर भी 12 आयो की पावर 12 होता है वन तो ये भी वन है ये भी वन है इसको तो आप हटा सकते हो है ना क्योंकि आयो की पावर फोर होता है वन तो अल्टीमेटली आपको दिख गया ना जीरो आएगा ये प्लस में है ये माइनस में है अल्टीमेटली जीरो आएगा फाइनली के का वैल्यू जीरो आ गया अगर के का वैल्यू जीरो आ गया तो आगे आप क्वेश्चन को पढ़ लो आगे आपको बोला है कि ये जो n है वो बेसिकली है ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ मड के ये लिखा हुआ है तो ग्रेटेस्ट इंटी जर ऑफ मोड जीरो k का वैल्यू तो जीरो आया ना बस ये तो ये जीरो ही आएगा तो n का वैल्यू जीरो आ गया और अगर n का वैल्यू जीरो आ गया तो आपको ये निकालना है देखो ये जो लिखा हुआ है इसको मैं यहां पर लिख देता हूं तो ज इज गोइंग फ्रॉम 0 टू n प् 5 और यहां पर लिखा हुआ है ज प् 5 का होल स्क्वा एक आपको यह निकालना है और दूसरा आपको निकालना है ज इज गोइंग फ्रॉम 0 टू n प् 5 और ज प् 5 ठीक है तो इसका वैल्यू आपको निकालना है और n का वैल्यू कितना है तो n का वैल्यू जीरो है तो n का वैल्यू जीरो पुट कर दो बस आप तो यहां पर ए जो है वो जीरो है ये जो ए आपको दिख रहा है वो जीरो है तो जे का वैल्यू कहां से कहां तक जाएगा तो ज का वैल्यू जाएगा जीरो से फव तो जीरो से फव तक आपको वैरी करा है ना ज को तो जे का वैल्यू जीरो पुट करेंगे तो 5 का स्क्वायर आएगा फिर ज का वैल्यू वन पुट करेंगे तो 6 का स्क्वायर आएगा फिर सेन का स्क्वायर आएगा एट का स्क्वायर आएगा नान का स्क्वायर आएगा ज का वैल्यू फाइनली हम कहां तक लेके जाएंगे ज का वैल्यू फाइनली लास्ट में हम पुट करेंगे फाइव क्योंकि n का वैल्यू तो जीरो है तो 0 प् 5 5 तो 5 प् 5 10 का स्क्वायर आएगा लास्ट में तो यह निकालो और माइनस यहां पर क्या लिखा हुआ है यहां पर भी ज का वैल्यू जीरो पुट करोगे फि ज का वैल्यू न पुट करोगे फ ज का वैल्यू थ 4 5 लास्ट में फ तो बस यह आपको निकालना था और यह तो निकाल लोगे ना है ना इसको निकालना तो आई थंक सबको आता है तो बस यह कैलकुलेट कर लो यू विल गेट द आंसर तो चिंदी क्वेश्चन है यस फाइनली कॉप्लेक्स नंबर में बस ऐसे ही क्वेश्चन आता है हमने काफी सारे क्वेश्चन कर लिए यस और नो ये आप कैलकुलेट कर लेना कैलकुलेट करने के बाद आपका कुछ ना कुछ आंसर आ जाएगा फाइन आंसर अब आप निकाल लेना जो भी है है ना 330 पता नहीं आंसर जो भी है वह आपको निकालना पड़ेगा चलो एनीवेज हम अगले क्वेश्चन पर चलते हैं अगला वाला क्वेश्चन आप खुद से ट्राई करो चलो है ना देखते हैं कि तुम्हें समझ में आता है कि नहीं तो यहां पर ए एंड बी क्वेश्चन में समझा देता हूं ए एंड बी आर रियल नंबर्स ठीक है ए और बी क्या है रियल है और आपको क्वेश्चन में गिवन है 2 प्स अल्फा की दिस इ इक्वल टू ए प्स ब अल्फ ये क्वेश्चन में गिवन है और अल्फा का वैल्यू भी आपको क्वेश्चन में गिवन है य तो अल्फा का जो वैल्यू है ना उसको देख के मतलब आंखों में चमक आ रही है कि नहीं अल्फा का वैल्यू देख के क्या लग रहा है अल्फा का वैल्यू देख के लग रहा है कि अल्फा ही ओमेगा है लग रहा है कि नहीं है तो ये फालतू में मतलब य रिवील नहीं करना चाहते कि अल्फा ही ओमेगा है अगर अगर ये बता देंगे तो मतलब इनका क्वेश्चन खत्म हो जाएगा तो यहां पर आप देख लो बस ऑब्जर्वेशन है अल्फा ही ओमेगा है है ना जो अल्फा है वही तो ओमेगा है तो बेसिकली ये जो अल्फा है वो अल्फा नहीं है वो ओमेगा है तो ये आपका क्वेश्चन है बस a + बी ओमेगा तो बस आप इसका वैल्यू निकालो और a प् बी ओमेगा के फॉर्मेट में निकाल लो तो 2 प्लस देखो एलएचएस से स्टार्ट करते हैं एक काम करते हैं एलएचएस लेफ्ट हैंड साइड लेफ्ट हैंड साइड ग 2 प् ओमेगा की पावर 4 है तो स्क्वायर का स्क्वायर कर दो बस ओके स्क्वायर का स्क्वायर तो ये आ जाएगा 2 का स्क्वायर 4 फिर मिडल टर्म आएगा 4 ओमेगा और प्लस ओमेगा स्क्वायर ये आ जाएगा इसकी पावर टू ठीक है अब ये ओमेगा स्क्वा को हम क्या पुट कर सकते हैं अपने को ये पता है ना कि भाई 1 प् ओमेगा प् ओमेगा स्क्वा ये जीरो होता है तो यहां से ओमेगा स्क्वा क्या आ गया -1 - ओमेगा तो ये सब्सीट्यूट कर दो अल्टीमेट अपने को ओमेगा के टर्म्स में आंसर चाहिए अपने को य जो ओमेगा स्क्वा वो पसंद नहीं है बहुत ही बेकार ओमेगा स्क्वा ओमेगा स्क्वायर को हटाओ ओमेगा स्क्वायर को हटाने के लिए मानव माइनस ओमेगा इसका होल स्क्वायर आ गया बेसिकली यह बन जाएगा 3 प् 3 ओमेगा का होल स्क्वायर ठीक है इसको फदर सिंपलीफाई करो इसको फदर करेंगे तो 3 प् 3 ओमेगा का होल स्क्वायर ये आ जाएगा ना प् 18 ओमेगा और + 9 ओगा स् अब फिर से ओमेगा स् को पुट कर दो है ना तो फिर से ओमेगा स् को पुट कर दोगे तो -1 - ओमेगा अरे चमक गया ना तो यह बेसिकली कितना आ जाएगा 9 और 9 तो कैंसिल हो गया और 18 - 9 तो 9 ओमेगा आ गया बस तो इसको आप कंपेयर कर लो इसके साथ a + b ओमेगा के साथ ठीक है तो a + b ओमेगा और यहां पे है 0 + 9 ओमेगा चमक गया तो व्हाट इज द वैल्यू ऑफ़ a तो a का वैल्यू जीरो एंड व्हाट इज द वैल्यू ऑफ बी बी का वैल्यू ना आपसे आई थंक क्वेश्चन में पूछा है ए प् बी तो ना आ जाएगा फाइनल आंसर अरे चमका है ना फाइनली पूछा है ए प् बी ए प् बी का ऑप्शन है ए अंडरस्टूड ऑप्शन ए इज द आंसर फॉर दिस क्वेश्चन सिंपल सा क्वेश्चन क्यूब रूट ऑफ यूनिटी के मजे ही अलग है ठीक है आपको प्रॉपर्टीज याद होनी चाहिए अगर प्रॉपर्टीज याद है तो सारे क्वेश्चन हो जाएंगे प्रॉपर्टी बेस क्वेश्चन नहीं आते क्यूब रूट ऑफ यूनिटी में ठीक है अब आगे बढ़ते हैं बात करते हैं एथ रूट ऑफ यूनिटी के बारे में तो अगर क्यूब रूट ऑफ यूनिटी की जगह मान लो आपको यूज करना है फोर्थ रूट फिफ्थ रूट सिक्सथ रूट या एथ रूट तो इसको जनरलाइज करने की कोशिश करते हैं है ना और कोई भी मतलब आ जाए मान लो फिफ्थ रूट आ गया सेवंथ रूट आ गया थ रूट आ गया तो वो सारी चीज आप निकाल सकते हो ठीक है तो यहां पर बेसिकली जो इक्वेशन हम कंसीडर करेंगे वो कौन सी करेंगे अपने को निकालना है एथ रूट ऑफ यूनिटी तो एथ रूट ऑफ यूनिटी मतलब ये यूनिटी मतलब वन यूनिटी मतलब वन और वन की पावर / n उसी को तो हम बोलेंगे एथ रूट ऑफ यूनिटी तो ये इक्वेशन है अब इस इक्वेशन में आप फिर से वैसा ही करोगे ना ये जो वन है उसको आप लिखो पोलर फॉर्म में तो वन को हम लिख सकते हैं क 0 प्लस आयो सा 0 ये चमका यस क 0 होता है वन तो क 0 प् आयो सा 0 और इसकी पावर आ गया / n है ना वन को हम कैसे लिख सकते हैं अ पोलर फॉर्म में तो क 0 प् आयो सा 0 क 0 1 होता है सा 0 0 होता है तो इस तरह से हमने रिप्रेजेंट कर दिया जैसे पहले किया था वैसा ही है सेम टू सेम अब आप इसमें डीएमटी लगाओगे तो जैसे ही आप डीएमटी लगाओगे कौन सा वाला डीएमटी लगाओगे दूसरा वाला क्योंकि फ्रैक्शन पावर है तो सिंस यहां पे फ्रैक्शन पावर है तो p का वैल्यू कितना है वन q का वैल्यू कितना है n और थीटा का वैल्यू कितना है 0 डिग्री ठीक है तो ये तीनों वैल्यूज आप उसमें सब्सीट्यूट कर दो तो z का वैल्यू कितना आ जाएगा क सम एंगल यहां पे आता है और आयो सान और यहां पर भी कुछ ना कुछ एंगल आता है और वो जो एंगल आता है वो क्या आता है वो जो एंगल आता है वो आता है p थीटा यहां पर लिख देते हैं साइड में वो जो एंगल आता है वो आता है p थीटा प्लस 2k पाई डिवाइडेड बाय q यही आता है ना बस वैल्यूज आप सब्सीट्यूट कर दो तो p का वैल्यू वन है ओके मल्टीप्ला बाय थीटा का वैल्यू जीरो है प् 2k पाई और डिवाइडेड बाय n आ जाएगा का वैल्यू n है सिमिलरली यहां पे भी सेम आ जाएगा 1 * 0 प् 2k पा और डिवाइडेड बाय n ठीक है ये आ गया अब इसको आप सिंपलीफाई करोगे तो क ये तो जीरो ही है तो 2k पा बा n आ गया बस ठीक है और प्लस आयो सा और 2k पाई डिवाइड बा n तो ये आ गया और इसमें k का वैल्यू कहां से कहां तक वेरी करेगा तो जो k का वैल्यू है वो हमेशा q -1 तक जाता है और जीरो से चालू होता है तो जीरो से चालू करोगे व 3 4 डॉट डॉट डॉट कहां तक आप जाओगे क माइव तो क माइव मतलब ए माइव तक आप जाओगे अब आप के का वैल्यू पुट करना स्टार्ट करो ठीक है तो इसको आप लिखो और इसमें आप के का वैल्यू पुट करना चालू करो तो जैसे जैसे आप के की वैल्यू पुट करते जाओगे आपके पास रूट्स आते जाएंगे और इसके कितने रूट आने चाहिए मतलब बेसिकली य जो इक्वेशन है य यही वाली इक्वेशन है ना जरे ए इव यही वाली इक्वेशन तो है इसकी डिग्री कितनी है इसकी डिग्री है n तो नंबर ऑफ रूट्स कितने आने चाहिए नंबर ऑफ रूट्स भी आने चाहिए n इसमें से कुछ रियल आएंगे कुछ रूट आर देर तो य सारे के सारे रूट्स हम निकाल सकते ठीक है तो सारे के सारे रूट्स निकालते हैं जड का वैल्यू आपके पास है कोस 2 के पाई डिवाइड बाय ए प्लस आयो साइन 2 के पाई डिवाइड बाय ए ठीक है अब ये काफी लेंथी सा है एक काम करते हैं इसको यूलर फॉर्म में कन्वर्ट कर लेते तो आयो 2 के पाई डिवा बा ए अब इसी में पुट कर देते बस के का वैल्यू हम लेंथी सा क्यों करें है ना तो इसीलिए एक काम करते इसको मैंने ऐसे लिख दिया यूलर फॉर्म में कन्वर्ट कर लिया इसमें आप k का वैल्यू पुट करो तो k का वैल्यू वन पुट करेंगे फिर k का वैल्यू टू पुट करेंगे मतलब 0 1 2 3 4 5 लास्ट में पुट करेंगे k का वैल्यू n - 1 ठीक है तो सबसे पहले k का वैल्यू जीरो पुट करो पहला रूट क्या आएगा तो पहला रूट आएगा e की पावर आयो 0 वो तो आ जाएगा वन और एक √1 आना भी चाहिए अगर ये इक्वेशन है तो ओबवियसली वन इसमें सेटिस्फाई करता है ना तो एक रूट व आना भी तो चाहिए जैसे क्यूब रूट ऑफ यूनिटी में भी एक रूट आता है वन तो यहां पर भी जो पहला रूट आएगा वो आएगा वन और यही एक मात्र रियल रूट है बाकी सारे तीसरा रूट आएगा आयो और k का वैल्यू टू तो k का वैल्यू टू पुट करोगे तो 4p / n और सिमिलरली लास्ट में एथ रूट क्या आएगा तो जो एथ रूट आएगा वो आएगा e की पावर आयो और 2 और k का वैल्यू n - 1 और पा / n तो ये आ गया ठीक है अब देखो हम क्या कर सकते हैं जैसे वहां पे हमने बोला था है ना इसको ओमेगा बोल दिया था ना वहां पे सिमिलरली आप ये वाला जो रूट है इसको अल्फा बोल दो ये वाला जो रूट है उसको अल्फा बोल दो अगर मैं इस वाले रूट को अल्फा बोल दूं तो ये क्या लिखा हुआ है ये लिखा हुआ है अल्फा का स्क्वायर क्योंकि यहां पर है 2 पाई बा n और 2 पाई बा n का स्क्वायर करोगे तभी तो आएगा ना 4 पा / n तो अगर ये अल्फा बोल दिया मैंने तो ये ऑटोमेटिक क्या है अल्फा स्क्वायर उसके अगला क्या आएगा अल्फा का क्यूब फिर अल्फा की पावर 4 और ये जो लास्ट वाला है ये आ जाएगा अल्फा की पावर n - 1 यहां पर n - 1 है ना बेसिकली अल्फा की पावर मतलब आप ऐसे सोचो कि k का वैल्यू जब टू पुट किया तो अल्फा स्क्वा k का वैल्यू वन पुट किया तो अल्फा की पावर 1 k का वैल्यू n - 1 तो अल्फा की पावर n - 1 तो ये सारे रूट्स आ जाएंगे है ना तो ये सारे क्या है रूट्स है n रूट ऑफ यूनिटी के रूट्स है मतलब बेसिकली आप ऐसे समझ सकते हो कि ये जो इक्वेशन है z की पावर n इ 1 इस इक्वेशन के कितने रूट होते हैं इस इक्वेशन के n नंबर ऑफ रूट्स होते हैं जो पहला रूट है है वो है वन दूसरा रूट है अल्फा तीसरा रूट है अल्फा स्क्वा फिर अल्फा क्यूब और फिर डॉट डॉट डॉट लास्ट वाला जो रूट है वो है अल्फा n - 1 ठीक है तो ये सारे के सारे रूट्स आ गए और यहां पे आप अल्फा का वैल्यू याद रखना है ना जैसे वहां प हमने ओमेगा का वैल्यू याद रखा था तो यहां पे आपको अल्फा का वैल्यू याद रखना है वो है e की पावर आयो 2 पा बा n ठीक है अल्फा का वैल्यू है e यहां से देख लो ना आप ये तो ये अल्फा का वैल्यू है अल्फा का वैल्यू है e की पावर आयो 2 पा / n अब इसमें भी आप बहुत सारे ऑब्जर्वेशंस ले सकते हो जैसे पहला ऑब्जर्वेशन तो यह है कि जो टोटल नंबर ऑफ रूट्स है n है ओके टोटल नंबर ऑफ रूट्स तो n है बट इनमें से रियल कितना है तो रियल केवल वन है बाकी सब कॉम्प्लेक्शन तो एक रियल और n -1 टोटल n है अंडरस्टूड तो ये एक पहला ऑब्जर्वेशन दूसरा ऑब्जर्वेशन आप ये ले सकते हो कि जितने भी रूट्स है वो सब जीप में है ऑल द रूट्स आर इन जीप है ना क्योंकि 1 अल्फा अल्फा स्क्वा अल्फा क्यूब तो जितने भी रूट्स होते हैं वो हमेशा जीप में होते हैं जैसे हमने क्यूब रूट ऑफ यूनिटी में भी देखा था 1 ओमेगा ओमेगा स्क्वा है ना सिमिलरली फोर्थ रूट ऑफ यूनिटी में भी आएगा 1 अल्फा अल्फा स्क्वा अल्फा क्यूब n -1 तक जाएगा और gp1 और ऑब्जर्वेशन आप ये भी ले सकते हो कि आप सम ऑफ रूट निकालो जैसे हमने वहां पर सम ऑफ रूट्स कितना निकाला था वहां पर सम ऑफ रूट्स था 1 प्स ओमेगा प् ओमेगा स्क्वा और उसका वैल्यू जीरो था और प्रोडक्ट ऑफ रूट्स कितना था 1 * ओमेगा इन ओमेगा स्क्वा तो वो था ओमेगा क्यूब और ओमेगा क्यूब का वैल्यू वन था मतलब बेसिकली अगर आप पीछे जाके देखोगे तो यह सम ऑफ रूट्स है और ये प्रोडक्ट ऑफ रूट्स है है ना तीनों को मल्टीप्लाई करोगे तो ओमेगा क्य भी तो आएगा तो प्रोडक्ट ऑफ रूट्स का वैल्यू वन है और सम ऑफ रूट्स का वैल्यू जीरो है सिमिलरली अगर आप यहां पर भी निकालो ना तो यहां पर भी सम ऑफ रूट्स का वैल्यू जीरो आएगा लेकिन प्रोडक्ट ऑफ रूट्स थोड़ा अलग आएगा तो निकाल के देखते हैं ठीक है तो सबसे पहले आप निकालो सम ऑफ रूट्स पहली प्रॉपर्टी पहली प्रॉपर्टी क्या है कि अगर आप सम ऑफ रूट्स निकालो तो वो जीरो आएगा हमेशा इट विल ऑलवेज बी जीरो ऐसा क्यों ऐसा इसीलिए क्योंकि यह सारे रूट्स आप लिखो और फिर उनका सम निकालना है तो आप इसमें सम ऑफ जीप लगा दो बस जस्ट यूज सम ऑफ जीप तो सम ऑफ जीप क्या होता है फर्स्ट टर्म और फिर कॉमन रेशो की पावर नंबर ऑफ टर्म्स -1 अपॉन कॉमन रेशो -1 यही फार्मूला होता है ठीक है a * r की पावर n-1 अप r-1 और अल्फा का वैल्यू मैंने आपको बोला था कि याद कर लो तो अल्फा का वैल्यू सब्सीट्यूट कर दो व्हाट इज द वैल्यू ऑफ अल्फा ये रहा अल्फा का वैल्यू e की पावर आयो e की पावर आयो 2 पाई बा n ठीक है ये अल्फा का वैल्यू है और अल्फा की पावर है n तो अल्फा की पावर है n माइव अपॉन नीचे है अल्फा माइव ठीक है ये तो हमने ऊपर बेसिकली क्या किया कि अल्फा का वैल्यू पुट कर दिया अगर आप अल्फा का वैल्यू पुट करोगे तो n से n कैंसिल हो गया ठीक है n से n कैंसिल हो गया तो बेसिकली ये बन गया e की पावर आयो 2 पाई और e की पावर आयो 2 पाई कितना होता है ये होता है cos2 पाई प्लस आयो sin2 पा अब cos2 पा का वैल्यू होता है व और आयो sin2 पा का वैल्यू होता है 0 तो अल्टीमेटली वन आ गया ना और अगर यह वन आ गया तो यह पूरा जो डब्बा है वो वन है और माइनस में भी वन है तो 1 - 1 दिख गया सबको अल्टीमेटली ये ऐसा बन जाएगा 1 - 1 अप अल्फ - 1 तो रो आएगा ये कितने लोगों को चमक गया अरे चमका है ना काफी ये काफी सुंदर है ये जीरो आ गया यस तो सम ऑफ रूट्स जीरो ही आएगा चाहे आप कोई सा भी रूट निकालो यूनिट का है ना थर्ड रूट या मतलब क्यूब रूट फोर्थ रूट फिफ्थ रूट कुछ भी निकालो सम ऑफ रूट्स विल ऑलवेज बी जीरो अच्छा प्रोडक्ट ऑफ रूट्स तो प्रोडक्ट ऑफ रूट्स में ऐसा होता है है ना जैसे हमने क्यूब रूट ऑफ यूनिटी के लिए निकाला था तो क्यूब रूट ऑफ यूनिटी मतलब n का वैल्यू ऑड है n का वैल्यू थ्र है ना क्यूब रूट ऑफ यूनिटी का क्या मतलब है आप इसको याद ऐसे करो क्यूब रूट ऑफ यूनिटी मतलब n का वैल्यू थ्री हमने पावर किया था 1/3 अगर n का वैल्यू ऑड है तो वन आता है अगर n का वैल्यू इवन है तो माइव आता है अब आप बोलोगे सर यह कैसे तो बस आप सारे रूट्स को मल्टीप्लाई करो अगर सारे रूट्स को मल्टीप्लाई करेंगे तो यह जो प्रोडक्ट ऑफ रूट्स है उसमें हम अल्फा की जितनी भी पावर है अल्फा की पावर वन है अल्फा की पावर टू है इन ये पावर्स को ऐड कर सकते हैं ना यह सारी पावर्स ऐड हो जाएगी ठीक है तो ये आ जाएगा तो बेसिकली आप इसमें 1 प् 2+ 3 टिल n - 1 तो ये बन जाएगा n - 1 * n / 2 अगेन आपको अल्फा का वैल्यू याद है अगर आपको अल्फा का वैल्यू याद है तो सब्सीट्यूट कर दो अल्फा का वैल्यू होता है e की पावर आयो 2 पा बा n और होल टू द पावर ये आ जाएगा n -1 * n / 2 तो देखो कुछ कुछ कैंसिल हो गया है ना ये टू से टू कैंसिल हो जाएगा n से n कैंसिल हो जाएगा तो बचा क्या तो बचा अपने पास n-1 और पा बस यही बचेगा तो अल्टी य आ गया e की पावर आयो ए माइव इन पाई अब इसको अगर आप ओपन करोगे तो यह है कॉस ए माइव इन पाई और प्लस आयो साइन ए माइव इन पाई अरे य चमका ठीक है तो बेसिकली ऐसा आ जाएगा य n माइव इन पाई जो है व कोस के अंदर है पूरा और यहां पर साइन के अंदर है ठीक है अब इसमें दो केसेस बनेंगे ना अगर ए का वैल्यू आप ले लोगे कुछ भी ववन जैसे मान लो n का वैल्यू इवन ले लो कुछ भी ले लो लाइक फॉर एग्जांपल मैंने n का वैल्यू ले लिया ू अगर n का वैल्यू टू ले लिया तो ये बन जाएगा कस पाई और आयो सा पाई तो साइन वाला टर्म तो हमेशा जीरो ही आएगा ना क्योंकि सा के अंदर लिखा है इंटीग्रल मल्टीपल ऑफ पाई साइन और n का वैल्यू आप ऑड लो चाहे इवन लो कुछ भी लो n का वैल्यू ्र पुट करो चाहे फोर पुट करो है ना वो बनेगा साइन ऑफ समथिंग पाई और वो तो जीरो ही होता है तो बस कुछ इस पर डिपेंड करेगा इसमें अगर आप n का वैल्यू पुट करोगे ू तो यह बन जाएगा कस पाई है तो अगर आप n का वैल्यू इवन पुट कर रहे हो तो कॉस पाई कॉस पाई -1 होता है और अगर आप n का वैल्यू पुट करोगे ऑड जैसे मान लो n का वैल्यू 3 ले लिया अगर n का वैल्यू 3 ले लोगे तो यह बन जाएगा कस 2 पाई और कस 2 पाई का वैल्यू होता है व तो यह समझ में आया है ना अगर आप ऑड लोगे तो वन आएगा इवन लोगे तो माइव आएगा तो प्रोडक्ट ऑफ रूट्स का आंसर अलग-अलग हो सकता है डिपेंडिंग ऑन कि आप कौन सा रूट ऑफ यूनिटी निकाल रहे हो क्यूब रूट फोर्थ रूट फिफ्थ रूट अगर ऑड है मतलब आप याद ऐसे रखो कि ऑड मतलब क्यूब रूट क्यूब रूट में तो वन आता है ना आपको याद ही है कि प्रोडक्ट ऑफ रूट्स ओमेगा क्यूब होता है और ओमेगा क्यूब का वैल्यू वन आता है तो ऑड में वन आता है और इवन में ऑटोमेटिक -1 आएगा फिर ठीक है तो याद भी हो गया यस अच्छा अगली जो प्रॉपर्टी है वो अगेन सेम वैसी है जैसा हमने ये पढ़ा था ना ये सब कुछ सिमिलर है क्यूब रूट ऑ यूनिटी से तो क्यूब रूट ऑफ यूनिटी की ये वाली प्रॉपर्टी यहां पे जो तीनों के तीनों रूट है उसकी पावर हमने कर दिया एक कांस्टेंट यहां पे कितने रूट थे तीन तो तीनों के तीनों रूट्स आप लो सबकी पावर कर दो कांस्टेंट तो यहां पे या तो थ्री आएगा है ना अब ये है क्यूब रूट ऑफ यूनिटी तो थ्री आ रहा है अगर मैं इसको जनरलाइज कर दूं एथ रूट ऑफ यूनिटी तो आंसर क्या आएगा या तो n आएगा या जीरो आएगा और वहां पे बन जाएगा r इज अ मल्टीपल ऑफ n बस जहां जहां थ आपको दिख रहा है वहां पर n रिप्लेस कर दो बस तो ये जनरलाइज हो जाएगा तो इसी प्रॉपर्टी को आप जनरलाइज करो एथ रूट ऑफ यूनिटी के लिए तो बेसिकली उसमें ऐसा बनेगा ना कि जितने भी आपके रूट है आपके जो रूट्स है वो है न अल्फा अल्फा स्क्वा अल्फा क्यूब और अल्फा n माइव ये सारे रूट है सबकी पावर आप कर दो r ठीक है सबकी पावर आ कर दो अगर सब की पावर r कर दोगे और फिर ऐड करोगे है ना सब कुछ ऐड कर दो बीच में डॉट डॉट डॉट भी है इन सबको ऐड करो तो इसका वैल्यू कितना आएगा इसका वैल्यू या इसका वैल्यू जीरो आएगा अब इसका वैल्यू ए कब आएगा इसका वैल्यू ए तभी आएगा इ ए इज अ मल्टीपल ऑफ ए नहीं इ आ जो पावर आपने जो कांस्टेंट आपने रेज किया है वो कांस्टेंट इ आ इज मल्टीपल ऑफ ए इट इज अ मल्टीपल ऑफ ए एंड इ आ इ नॉट मल्टीपल ऑफ ए अगर का मल्टीपल नहीं है तो तो फिर जीरो आ जाएगा क्योंकि अपने को वैसे ही पता है कि सम ऑफ रूट जीरो है ठीक सम ऑफ रूट्स जो है वो तो जीरो है ना यस अरे लग आ गया क्या ओहो एक सेकंड एक सेकंड एक सेकंड आई थिंक थोड़ा सा लैग आ गया है वन मिनट और बीच में बीच में हल्का हल्का सा है ना हल्का हल्का सा लैग आ रहा है इंटरनेट भी मतलब डांस कर रहा है बीच-बीच में ठीक है थोड़ा सा डांसिंग टाइप का इंटरनेट चल र है ओके आई थिंक अभी सही हो जाएगा थोड़ी देर में अपने आप ठीक है तो थोड़ा वेट कर लेते हैं यह प्रॉपर्टी आपको समझ में आई क्या अभी ठीक है ना ओके इसको रिपीट कर देते हैं हां ठीक है यह वाली जो प्रॉपर्टी है ये वैसी है जैसे यह वाली प्रॉपर्टी आप इसको देख लो मतलब तो यहां पे जो हमने प्रॉपर्टी पढ़ी थी ना कि जितने भी रूट्स है 1 ओमेगा ओमेगा स्क्वा तो तीनों के तीनों रूट्स उसकी पावर हमने कर दिया कांस्टेंट ठीक है तीनों रूट्स लो पावर कर दो r आ आ तो यहां पर आंसर क्या आता है यहां पर आपका आंसर आता है या तो थ या जीरो है ना या तो थ आएगा या जीरो आएगा थ कब आएगा थ आएगा इफ आ इज अ मल्टीपल ऑफ य हमने निकाल निकाल के भी देखा था ना अगर मल्टीपल ऑफ थ है तो 1 प्व प्व आ जाता है और अगर मल्टीपल ऑफ थ नहीं है तो फिर 1 ओमेगा ओमेगा स्क्वा आ जाएगा जो कि जीरो बन जाएगा तो सेम आपको यही यही चीज जो है वो वहां पर एक्सटेंड करनी है बस ्र की जगह n आ जाएगा क्योंकि ये क्यूब रूट ऑफ यूनिटी है वो एथ रूट ऑफ यूनिटी है तो यहां पे थ्री है वहां प n आ जाएगा तो एगजैक्टली देखो सेम टू सेम लिखा हुआ है अगर आप ध्यान से देखोगे तो जहां जहां पर थ्री है बस वहां वहां प n आ गया उधर थ्री और जीरो था मल्टीपल ऑफ थ्री था तो मल्टीपल ऑफ n आ गया तो एगजैक्टली उसी प्रॉपर्टी को हमने यहां पर एक्सटेंड कर दिया है बस और कुछ नहीं किया समझ गए तो हमेशा ये प्रॉपर्टी भी आप ध्यान रखो कि भाई अगर मल्टीपल ऑफ n है तो n आएगा लेकिन अगर n का मल्टीपल नहीं है तो जीरो आ जाएगा सिंपल यस अच्छा एक और प्रॉपर्टी जो अगेन सिमिलर है है ना जैसे हमने वहां पे पढ़ा था कि अगर आप क्यूब रूट ऑफ यूनिटी को प्लॉट कर दोगे आर्गन प्लेन पे तो एक सर्कल प लाई करेंगे तो ये वाले भी सर्कल पे लाई करेंगे इन सबका भी मॉड्यूस कितना है आप देखो रूट्स कौन-कौन से हैं ये सारे रूट्स है ना 1 अल्फा अल्फा स्क्वा ये अल्फा क्यूब अल्फा की पावर n - 1 और ये जितने भी अल्फा है उसका फॉर्मेट है e की पावर आयो थीटा तो r का वैल्यू कितना है आगे जो आ लिखा होता है ना इसका बेसिक फॉर्मेट होता है r इन e की पावर आयो थीटा तो आ का वैल्यू वन है ना यहां पर भी r का वैल्यू वन है यहां पर भी आ का वैल्यू वन है तो बेसिकली सब का मॉड्यूस कितना है सबका मॉड्यूस है वन अगर सबका मॉड्यूस वन है मतलब सारे सर्कल पर लाई करेंगे डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन सबका मॉड्यूस वन है तो अगर मैं सारे रूट्स को प्लॉट करूंगा तो यहां जैसे क्यूब रूट ऑफ यूनिटी में क्या आता है इक्विलैटरल ट्रायंगल आता है यहां पर एथ रूट ऑफ यूनिटी में आपके पास एक रेगुलर पॉलीगों आ जाएगा आप सारे रूट्स को प्लॉट करोगे लेकिन इसमें जो पहला रूट आएगा वो आएगा वन तो पहला रूट यहां पर लाई करेगा देखो ये आपका पहला रूट होगा ना न 0 फिर दूसरा रूट यहां पर कहीं पे होगा फिर तीसरा रूट यहां पर कहीं पे होगा चौथा रूट यहां पर कहीं पे होगा फिर पांचवा रूट होगा तो ये आपका अल्फा है ये अल्फा स्क्वायर है ये अल्फा क्यूब है ये अल्फा की पावर फोर है इसी तरह से लास्ट वाला जो रूट होगा ना वो होगा अल्फा की पावर n - 1 इस तरह से ठीक है ये सारे डॉट डॉट डॉट डॉट डॉट ये सारे रूट्स आपके आ जाएंगे फाइन इन सबको अगर आप जॉइन करोगे इन सबको जॉइन करेंगे तो आपके पास जो डायग्राम बन रहा होगा दैट विल बी अ रेगुलर पॉलीगों एक रेगुलर पॉलिगर गुुप गन बन जाएगा यस और यह सारे के सारे एक यूनिट रेडियस के सर्कल पर लाई करेंगे यह जो सर्कल है उसका रेडियस है वन ठीक है और ये जो रेगुलर पॉलीगों है उसका सेंटर आएगा ओरिजिन यहीं पे जैसा हमने पिछले में भी बोला था ना कि इसका जो सेंट्रोइड्स जो सेंटर है बेसिकली वो आएगा ओरिजिन पे ये चमक गया ना मतलब बेसिकली इट विल मेक अ रेगुलर पॉलीगों ये सारी साइड्स इक्वल है ठीक है ये वाली साइड ये वाली साइड ये वाली साइड ये वाली साइड ये सारी साइड्स इक्वल आपकी तो ये डिस्टेंस आपके इक्वल इक्वल है ना वैसे भी आप समझ सकते हो यार ऐसे भी आप समझो जो अल्फा है अपना अल्फा है e की पावर आयो 2 पा बा n ठीक है e की पावर आयो 2 पा बा n तो ये जो एंगल है ना ये एंगल आप आर्गुमेंट से समझो आर्गुमेंट से समझोगे तो ये एंगल है अपने पास 2 पा बा n फिर अगली बार आपका जो एंगल हो जाएगा वो हो जाएगा 4 पाई बा n अल्फा स्क्वायर क्या है अल्फा स्क्वायर है 4 पा बा n तो 4 पा बा n तभी आएगा ना जब आप यहां से और 2 पा बा n आगे चले जाओगे समझ गए ये 2 पाई बा n और फर फिर से 2 पाई बा ए तो ये सारे एंगल भी आपके इक्वल होंगे ये समझ रहे हो स्टार्टिंग में 2 पाई बा ए फिर से 2 पाई बा ए फिर से 2 पाई बा ए फिर से 2 पाई बा ए ऐसे आप घूमते रहोगे तो टोटल आपका कंप्लीट हो जाएगा 2 पाई लेकिन कितने ए नंबर ऑफ रूट्स के बाद कंप्लीट होगा ना 2 पाई बा ए कितनी बार ए बार तभी तो आपका कंप्लीट सर्कल होगा कंप्लीट सर्कल में 2 पाई आ जाएगा चमक गया ना यस तो इस तरह से आप बेसिकली इसको समझ सकते हो फाइन चलो अब और आगे बढ़ते हैं एंड एक क्वेश्चन करते हैं यह क्वेश्चन आया था जेई एडवांस में ठीक है यह अपना बहुत ही प्यारा सा क्वेश्चन है जेई एडवांस का इसको ट्राई करो चलो जेई एडवांस का ही क्वेश्चन है इसको एक बार ट्राई करो अगर यह आपसे हो जाता है मतलब मजा आ जाएगा अच्छा सबसे पहले तो आप यहां पर देखो मैंने आपको कुछ सिखाया था है ना यहां पर सिग्मा के अंदर क्या लिखा हुआ है आपको क्या चमक रहा है पहले ये बताओ चलो चैट में लिखो एक बार फटाफट क्वेश्चन को देखते ही आपको दिख रहा है सा थीटा प् आयो सान थीटा माइनस आयो कॉस थीटा साइन थीटा माइनस आयो कॉस थीटा है येय कॉस थीटा माइनस आयो सा थीटा नहीं है इसको देखते ही कुछ आपको चमक रहा है क्या जो हमने पढ़ा था हमने क्या पढ़ा था यहां पर आपको खुद से आईडिया आ रहा है कि नहीं आपको खुद से आईडिया आ रहा है कि साइन थीटा माइनस आयो कॉस थीटा है य कोस थीटा माइनस आयो सा थीटा नहीं है सान माइनस आयो कस है तो क्या करना पड़ेगा अपना चालाकी यस अपनी चालाकी क्या है अपना ब्रह्मास्त्र वाली चालाकी तो यहां पर जो वन लिखा हुआ है उसको आप लिख दोगे माइनस आयो स्क्वायर ठीक है साइन का जो को एफिशिएंट है वो वन है तो उसको आप लिख दोगे माइनस आयो स्क्वायर जो कि वन ही होता है अब आप कॉमन ले लोगे माइनस आयो तो वो जो माइनस आयो है वो सिग्मा के भी बाहर निकल जाएगा ना क्योंकि वो तो कांस्टेंट है तो सिग्मा से भी बाहर निकाल लो के इव से लेकर 12 ओके के इक्व टव से लेकर 12 ठीक है और अंदर क्या बचेगा माइनस आयो आपने कॉमन ले लिया माइनस आयो कॉमन ले लिया तो यहां पर बचेगा कॉस थीटा ओके कॉस थीटा और यहां पर आपने माइनस आयो कॉमन ले लिया तो बचेगा प्लस आयो साइन थीटा ना प्लस आयो साइन थीटा यह चमका ठीक है तो यह आ गया अपने पास तो हमारे पास ये आ गया ठीक है हमारे पास ये आ गया अब ये क्या लिखा हुआ है अगर आप इसको ध्यान से देखोगे है ना तो दिस इज नथिंग बट इसमें 2 के पाई बा ए है ना तो n का वैल्यू 13 है तो दिस इज नथिंग बट दिस आर द रूट्स ऑफ 13 रूट ऑफ यूनिटी अगर आप इसको ध्यान से देखोगे तो हमारा जो अल्फा होता है है ना मतलब बेसिकली जो रूट्स का फॉर्मेट होता है वो क्या होता है बेसिक जो रूट का फॉर्मेट होता है या आप अल्फा ए लिख सकते हो बेसिकली है ना हमने जो ज निकाला था वो ऐसा ही होता ना कोस 2 के पाई बा ए प्लस आयो सा 2 के पाई बा ए तो ये सबको आई थंक दिख गया होगा कि यहां पर ए का जो वैल्यू है वो 13 है ठीक है 13 रूट ऑफ यूनिटी और 13 रूट ऑफ यूनिटी का सम ऑफ रूट्स लिखा हुआ है तो के का वैल्यू आप वन पुट करोगे फिर के का वैल्यू टू पुट करोगे के का वैल्यू थ पुट करोगे तो बेसिकली ये जो ये जो रूट्स है ना वो 13 रूट ऑफ यूनिटी के रूट्स है z की पावर 13 इव इसके कितने रूट आएंगे ये इक्वेशन है अगर ये इक्वेशन है और इसके रूट्स लिखे हुए ये ये इसके रूट्स लिखे हुए तो इसका एक रूट तो होगा वन अगला होगा अल्फा फिर अल्फा स्क्वा लास्ट वाला होगा अल्फा की पावर 12 तो अगर आप इसको ध्यान से देखोगे ना तो ये जो ब्रैकेट ये जो पूरा डब्बा लिखा हुआ है यह जो पूरा डब्बा है उसमें केवल अल्फा वाले रूट्स है उसमें वन नहीं है क्योंकि के का वैल्यू वन से चालू हो रहा है के का वैल्यू जीरो से चालू नहीं हो रहा है तो सिंस आप इसमें के का वैल्यू जीरो पुट करते तो आपका आता ना कस 0 प्स आयो सान 0 बट इन्होने के का वैल्यू स्टार्ट किया वन से तो वन से 12 मतलब ये सारे रूट्स आएंगे आपके ओके ये सारे रूट्स आएंगे तो बेसिकली ये क्या लिखा हुआ है यह जो डब्बा है वो आपको दिख गया ना ये डब्बा लिखा हुआ है अल्फा प्लस अल्फ स्क्वा प् अल्फा क्यूब डॉट डॉट डॉट अल्फा की पावर 12 और आपको पता है कि सम ऑफ रूट्स कितना होता है आपको पता है कि भाई जो एथ रूट ऑफ यूनिटी है उसमें सम ऑफ रूट्स कितना होता है सम ऑफ रूट्स होता है जीरो अगर सम ऑफ रूट जीरो होता है मतलब ये जीरो है ना न प्स अल्फा प्स अल्फा स्क्वायर डॉट डॉट डॉट अल्फा की पावर 12 इसका वैल्यू जीरो होता है ना सम ऑफ रूट जीरो तो इसका वैल्यू कितना आ जाएगा तो इसका वैल्यू आ जाएगा माइव अरे चमक गया ना तो इसका वैल्यू पुट कर दो तो माइनस आयो इन माइव अल्टीमेटली आयो आ गया आंसर फाइनल बस दिस इज द आंसर चमक गया यस फाइन आयो इज द फाइनल आंसर फॉर दिस क्वेश्चन इसमें के का वैल्यू वन से स्टार्ट किया था अगर के का वैल्यू आप जीरो से चालू करोगे तो आंसर क्या आएगा फिर आंसर आ जाएगा माइनस आयो इन 0 क्योंकि सम ऑफ रूट्स बन जाएगा और अगर सम ऑफ रूट्स बन जाएगा तो फिर जीरो आ जाएगा ठीक है तो वो आपको देखना पड़ेगा कि के का वैल्यू कहां से चालू किया है तो ये 13 रूट ऑफ यूनिटी का क्वेश्चन था एक और क्वेश्चन मैं आपको करा देता हूं जेई एडवांस का 2015 का है इसको भी आप खुद से ही कर सकते सकते हो अब तो ठीक है तो अगेन आप थोड़ा बहुत यहां पर क्वेश्चन को देख लो पहले तो क्वेश्चन को देखोगे तो यहां पर के पाई बा से है अच्छा अपने को के पाई पसंद नहीं है अपने को पसंद है 2 के पाई है ना क्योंकि पिछले क्वेश्चन में भी वही था देखो 2 के पाई अपने को क्या पसंद है अपने को यह के पाई पसंद नहीं है अपने को पसंद है 2 के पाई आप इसको कर दो कस 2 के पाई बा 14 14 आ जाएगा ना नीचे और प्लस आयो सान 2 के पाई बा 14 तो बेसिकली किसके रूट है ये रूट है जड की पावर 14 इक्व टूव के 14 रूट ऑफ यूनिटी है ठीक है इट इज नथिंग बट 14 रूट ऑफ यूनिटी और 14 रूट ऑफ यूनिटी के जो रूट्स होते हैं वो क्या क्या होते हैं 14 रूट ऑफ यूनिटी के रूट्स आएंगे व अल्फा अल्फा स्क्वा लास्ट वाला जो आएगा वो अल्फा की पावर 1 आएगा तो ये सारे रूट्स है अरे चमका ठीक है तो ये सारे रूट रूट्स है उसके वन से लेके अल्फा की पावर 13 यस ये सारे रूट्स है ओके अब अगर आप इसको ओपन करोगे है ना इस इसको ओपन करो सिग्मा को ओपन करो सिग्मा को ओपन करेंगे तो अपना जो ये रिक्वायर्ड इसका वैल्यू निकालना है रिक्वायर्ड क्वांटिटी ये है ठीक है तो सिग्मा को ओपन करेंगे तो अ k का वैल्यू वन पुट करो अगर आप k का वैल्यू k का वैल्यू पुट करेंगे ना 1 2 3 लास्ट में 12 पुट करेंगे तो बेसिकली इसको ओपन कर दो ये लिखा क्या हुआ है वो अपने को देखना है तो k का वैल्यू वन पुट करेंगे तो अल्फाट माइन अल्फा 1 ये लिखा हुआ है ठीक है फिर अगला टर्म क्या आएगा अगला टर्म k का वैल्यू टू पुट करो के का वैल्यू टू पुट करोगे तो अल्फा 3 माइन अल्फाट आ जाएगा और इसी तरह से कितने टर्म्स आएंगे इसी तरह से टोटल 12 टर्म्स है है ना इसी तरह के टोटल 12 टर्म्स आर देयर ओके टोटल 12 टर्म्स आर देयर और नीचे नीचे अगर आप देखोगे तो के का वैल्यू ट 3 तो केवल तीन टर्म्स है तो नीचे कौन-कौन से टर्म्स आ जाएंगे के का वैल्यू वन पुट करो अगर के का वैल्यू वन पुट करेंगे तो अल्फा 3 और इसमें भी के का वैल्यू वन पुट कर दो तो माइन अल्फाट फिर अगला टर्म क्या आएगा अगला टर्म जो आएगा के का वैल्यू टू पुट कर दो तो के का वैल्यू टू पुट कर दोगे तो अल्फा 7 और इसमें अल्फा स और यहां पर नेक्स्ट के का वैल्यू थ पुट कर दो तो के का वैल्यू थ पुट कर दोगे तो अल्फा 11 और माइन अल्फ 10 ये आ गया ना मतलब बेसिकली नीचे कितने टर्म्स आएंगे तीन और ऊपर कितने टर्म्स आएंगे 12 ओके अब अगर आप ध्यान से देखोगे तो हमने ये पढ़ा था कि ये जो सारे रूट्स होते हैं वो बेसिकली एक रेगुलर पॉलीगों बनाते हैं इनका डायग्राम बना लो डायग्राम से आपको चमक जाएगा बेसिकली देखो ये एक सर्कल बनाओगे आप तो मान लेते हैं कि हमारे पास एक यूनिट रेडियस का सर्कल है ठीक है सो दिस इज द सर्कल और ये सर्कल के ऊपर लाई करेंगे सारे रूट्स पहला रूट आएगा यहां पे वन दूसरा रूट यहां पे आएगा अ या अल्फावन आप उसको बोल दो दूसरा रूट यहां पर आएगा अल्फाट फिर यहां पर आएगा अल्फा 3 और इसी तरह से आपके सारे रूट्स आते जाएंगे ठीक है इसी तरह से अल्फा फ आएगा अल्फा फ आएगा अल्फा स आएगा ये सारे रूट्स है अल्फा 4 अल्फा 5 अल्फा स इसी तरह से टोटल कितने रूट्स है टोटल 14 रूट्स है मतलब है ना 14 रूट ऑफ यूनिटी है ना अब हमने ये पढ़ा था कि यह बेसिकली डायग्राम क्या बनेगा डायग्राम बनेगा रेगुलर पॉलीगों तो इनको अगर आप जॉइन करोगे तो इट इज नथिंग बट इट इज अ रेगुलर पॉलीगों ओके इट इज रेगुलर पॉलीगों अगर रेगुलर पॉलीगों है तो ये सारी डिस्टेंस इक्वल है और ये डिस्टेंस ही तो है ये दो z2 - z1 का मोड क्या रिप्रेजेंट करता है z2 - z1 का मड सो दिस इज नथिंग बट दिस रिप्रेजेंट्स द डिस्टेंस बिटवीन टू है तो डिस्टेंस बिटवीन देम तो डिस्टेंस इज नथिंग बट ये तो साइड ऑफ द पॉग आप ए मान लो ये जो साइड ऑफ द पॉलीगों है उसको मैंने ए मान लिया तो ये क्या लिखा हुआ है ये ए लिखा हुआ है ये भी क्या लिखा हुआ है ए अगला वाला भी क्या है ए तो ये ए कितनी बार है ये 12 बार है 12 * ए और नीचे क्या लिखा हुआ है नीचे अगर आप देखोगे तो यहां पर भी कंकूट है थ और टू से और स और 11 और 10 चमक गया ना तो ये भी कॉन्यूट है अल्फ 3 माइन अ क्या रिप्रेजेंट करेगा अल्फा 3 माइन अल्फाट ये वाली डिस्टेंस और ये वाली डिस्टेंस है ए तो ये सारी डिस्टेंस भी सेम है ना ये भी यहां पर आ जाएगा 3a तो ये ए से ए कैंसिल हो गया अल्टीमेटली आंसर आपका फोर आ गया तो अगर आप ज्योमेट्री से बस देख लोगे ठीक है बस इसमें देखना था बस आपको यह देखना था कि ऊपर 12 टर्म्स है नीचे तीन है तो 12/3 12/3 4 बस इतना ही करना था बाकी सब तो आप दिमाग में कर सकते हो इसको तो आप विजुलाइज कर सकते हो ना कि भा ये बेसिकली डिस्टेंस ही तो है और डि इक्वल होती है आपको प्रॉपर्टी पता है इफ द डिस्टेंस इ इक्वल तो अल्टीमेटली आपका आंसर आ गया ठीक है यस ये क्लियर है एकदम इसमें किसी को कोई दिक्कत कोई दिक्कत नहीं है यस नाउ ब्रेक प्लीज ओके तो अब फाइनली वैसे भी अपना जो अगला टॉपिक है वह अगला टॉपिक नहीं है वो अगला चैप्टर है ठीक है अगर आप मतलब बेसिकली अगर आपने ये यह भी काफी इसमें काफी कुछ है सीखने का है ना तो एक छोटा सा ब्रेक ले लेते हैं उसके बाद अपना अगला जो पोर्शन है वो चालू करेंगे वि इज ज्योमेट्री ऑफ कॉम्प्लेक्टेड में आप सब कुछ पढ़ोगे जो आपने कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पढ़ा है जैसे कि स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन कैसे लिखते हैं कॉम्प्लेक्शन दुनिया में स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन कैसे दिख दिख है कॉम्प्लेक्शन कैसे लिखते स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन कैसे लिखते हैं है ना किसी एक पॉइंट का रिफ्लेक्शन कैसे निकालते हैं स्ट्रेट लाइन में घ और लगेंगे आफ्टर द ब्रेक है ना अप्रॉक्स दो घंटे तो मान के चलो यस तो काफी बड़ा चैप्टर है बट आई थिंक सबको मजा आ रहा होगा काफी इंटरेस्टिंग भी है और ज्योमेट्री ऑफ कॉम्प्लेक्शन आता है मतलब जेई में ठीक है तो इसको मिस मत करना और एगजैक्टली आफ्टर 25 मिनट्स सब लोग आ जाना ठीक है तो ब्रेक को फटाफट से स्टार्ट कर देते हैं ज्योमेट्री ऑफ ब्रेक के बाद ठीक है चलो तो ठीक है ओके चलो तो फटाफट इसको शेयर भी कर देना ठीक है लेक्चर को शेयर कर देना चैनल को सब्सक्राइब कर लेना एंड डेफिनेटली आप यहां पर फटाफट जैसे ही यह टाइमर खत्म होता है तो आ जाना ठीक है ओके चलो और ब ब ब ब हेलो हेलो हेलो यस आ गए क्या सब लोग है ना स्टार्ट करें क्या एक बार फटाफट थम्स अप बना दो चैट में है ना कौन-कौन आ चुका है आफ्टर द ब्रेक तो स्टार्ट करते हैं ज्योमेट्री ऑफ कॉम्प्लेक्टेड तो इसमें हम वोह सब कुछ पढ़ेंगे जो हम कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पढ़ चुके हैं स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन सर्कल की इक्वेशन है ना सर्कुलर आर्क मेजर आर्क माइनर आर्क वो सारी डिस्कशन अपने को करनी है यस यस यस चलो तो स्टार्ट करें फाइन मेरे ख्याल से सब लोग आ चुके हैं है ना आई थिंक इतने सारे थम्स अप अपने को चैट में दिख रहे हैं चलो स्टार्ट करते हैं ज्योमेट्री ऑफ कॉम्प्लेक्टेड लो अगला जो हेडिंग है और सुपर इंपॉर्टेंट है आई थिंक अगर आप मैक्सिमम क्वेश्चंस देखोगे ना जेई मेन और एडवांस के तो मैक्सिमम क्वेश्चन यहीं से बनते है ज्योमेट्री ऑफ कॉम्प्लेक्शन देख के पहचानना आना चाहिए कि भाई हां ये इक्वेशन सर्कल की है यह इक्वेशन स्ट्रेट लाइन की है ठीक है यह इक्वेशन एलिप्स की है यह इक्वेशन हाइपरबोला की है तो वो आपको देख के पहचानना आना चाहिए है ना तो वही हम सीखने वाले ज्योमेट्री ऑफ कॉम्प्लेक्शन है एकदम बेसिक से स्टार्ट करते हैं एक बार फिर से रिवाइज कर लेते हैं डिस्टेंस फॉर्मूला तो डिस्टेंस फॉर्मूला वैसे तो हम पढ़ चुके हैं है ना डिस्टेंस फॉर्मूला हमने यही पढ़ा था कि अगर एक दोनों के बीच में अगर मुझे डिस्टेंस निकालना है तो ये डिस्टेंस हम कैसे निकाल सकते हैं हाउ कैन वी फाइंड आउट दिस डिस्टेंस हाउ टू फाइंड आउट द डिस्टेंस बिटवीन टू कॉम्प्लेक्शन नंबर्स होता है मॉड्यूस ऑफ z2 - z1 यही तो होता है ना अब बस मॉड्यूस निकाल लो तो ये जो मॉड्यूस ऑफ z2 - z1 है ये क्या रिप्रेजेंट करेगा ये ज्योमेट्री ये रिप्रेजेंट करेगा डिस्टेंस बिटवीन डिस्टेंस बिटवीन z1 एंड z2 ठीक है z2 z1 बोलो या z1 ज2 बोलो बट दोनों के बीच का जो डिस्टेंस है उसी को रिप्रेजेंट करेगा यस ये क्लियर है क्या डिस्टेंस फार्मूला सबको पता है [संगीत] दिस इज नथिंग बट दिस इ डिस्टेंस बिटवीन जड एंड माइव माइव एक यह यह क्या रिप्रेजेंट करेगा अगर आप इसको देखोगे तो यह है z - माइनस कॉमन ले लो तो माइनस कॉमन ले लोगे तो 2 - 3 आयो आ जाएगा ना ऐसा आ जाएगा और इसका मॉड्यूस है तो यह क्या रिप्रेजेंट करेगा यह रिप्रेजेंट करेगा डिस्टेंस बिटवीन दिस विल रिप्रेजेंट डिस्टेंस बिटवीन z एंड दूसरा जो रिप्रेजेंट कर रहे ये भी डिस्टेंस है ये भी डिस्टेंस है ये किसके बीच में डिस्टेंस है सो दिस इज डिस्टेंस बिटवीन z एंड दिस इज डिस्टेंस बिटवीन z एंड आयो ठीक है z और आयो के आयो मतलब 01 आयो को अगर आप आर्गन प्लेन पे प्लॉट करोगे तो कहां पे आएगा वो 01 आएगा ना दैट इज आयो तो 0 1 और एकवा दोनों के बीच का डिस्टेंस समझ गए सिमिलरली ये स दिस इज नथिंग बट दिस इज डिस्टेंस बिटवीन z एंड 2 ू भी तो एक कॉम्प्लेक्शन नंबर है ू मतलब 2 0 तो 2 0 एक पॉइंट है और z क्या है x y तो दोनों के बीच का डिस्टेंस समझ गए ना तो ये सब डिस्टेंस है ये सब के सब डिस्टेंस है अच्छा सेक्शन फॉर्मूला तो सेक्शन फॉर्मूला भी वैसा ही होता है जैसा आप कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पढ़ते हो जैसे मान लो कोई एक ये वाला जो पॉइंट है लेट्स से दिस इज z1 ये वाला जो पॉइंट है लेट्स से दिस इज z2 अब एक और और यह जो कॉम्प्लेक्शन m ए ठीक है तोय ज के कोऑर्डिनेट हम कैसे निकाल सकते तो जड के लिए वही आप क्रॉस मल्टीप्लाई कर दोगे ए इन ज2 और n इन जव ठीक है ये आ जाएगा अपन m प् ए तो बस यही अपना सेक्शन फार्मूला होता है अगर इंटरनल डिवीजन है तो यह अगर एक्सटर्नल डिवीजन है तो अगर एक्सटर्नल डिवीजन है तो सिंपली आप यहां पर बीच में माइनस कर दोगे m * z2 n * z1 अपॉन आ जाएगा m - n ठीक है तो सेक्शन फार्मूला आपको क्लियर है क्या आप यहां पर बिंदास अपना जो सेक्शन फार्मूला होता है वो भी लगा सकते हो इनफैक्ट आप मिड पॉइंट भी निकाल सकते हो अगर आपको दो पॉइंट्स गिवन है मान लो यह वाला पॉइंट है z1 और यह वाला पॉइंट है z2 आपको ये मिड पॉइंट निकालना है ये मिड पॉइंट क्या आ जाएगा ये मिड पॉइंट आ जाएगा z1 प् z2 डिवाइड बाटू मिड पॉइंट फार्मूला आप लगा सकते हो ठीक है तो इवन आप यहां पर मिड पॉइंट फार्मूला भी यूज कर सकते हो बिंदास कोई टेंशन नहीं है अगर आपको दोनों कॉम्प्लेक्शन फार्मूला आप आराम से लगा सकते हो अच्छा इस चीज को अगर आपने समझ लिया ना तो ज्योमेट्री ऑफ होता है जैसे कोई भी एक वेक्टर है मान लो है ना ये वाला पॉइंट है लेट्स से दिस पॉइंट इज ए एंड लेट अस अजूम कि दिस पॉइंट इज बी ओके और a और बी के पोजीशन वेक्टर्स होते हैं लेट्स से a का जो पोजीशन वेक्टर है वो a है और बी का जो पोजीशन वेक्टर है वो b है अगर आपने थोड़ा बहुत वेक्टर्स पढ़ा होगा तो आपको इतना आईडिया होगा कि वेक्टर ए हम लिख सकते हैं और वेक्टर ए को हम कैसे लिख सकते हैं तो वेक्टर ए आता है पोजीशन वेक्टर ऑफ बी माइनस पोजीशन वेक्टर ऑफ a b - ए आता है ना हमेशा बाद वाला माइनस पहला वाला यही होता है वेक्टर्स है ना तो जितने भी कॉम्प्लेक्टेड इमेंशन वेक्टर्स है ना थ्री डायमेंशन नहीं टू डायमेंशन वेक्टर्स और यहां पे क्या ये b - ए आ जाता है तो ये वेक्टर ए है सिमिलरली आप ये वाला जो पॉइंट है लेट्स से दिस इज z1 है ना ये पॉइंट है a और ए को रिप्रेजेंट कर रहा है z1 और ये पॉइंट है बी बी को रिप्रेजेंट कर रहा है z2 मतलब बेसिकली आपको आ जाएगा और वो वेक्टर कैसे निकालेंगे ये जो वेक्टर ए है उसको निकालने के लिए आप सिंपल वही करोगे फिर से है ना z2 - z1 तो z2 - z1 आ जाएगा हमेशा तो हमेशा यही होता है बाद वाला माइनस पहले वाला ओके तो बाद वाला कौन सा है बाद वाला है z2 और फिर पहला वाला कौन सा है z1 ठीक है तो हमेशा यही होता है b - a यहां पे भी आप देख लो b - a तो बाद वाला माइनस पहले वाला मतलब जो भी वेक्टर का हेड है ना हेड माइनस टेल आएगा तो ये हेड माइनस टेल हेड और टेल आपको पता है ना जहां पर एरो होता है तो जो एरो है वो हेड है और यहां पर ये टेल है जहां से वो स्टार्ट हो रहा है जहां से स्टार्ट हो रहा है वो टेल है या आप ऐसे समझ सकते हो कि फाइनल माइनस इनिशियल यहां से ओरिजनेट हो रहा है ना वेक्टर यहां से ऐसे निकला और फिर ऐसे गया कहां पर गया वहां पहुंचा ये फाइनल माइनस इनिशियल तो फाइनल माइनस इनिशियल हेड माइनस टेल या बाद माइनस पहला कैसे भी आप समझ लो बट अल्टीमेटली ऑल आर लाइक वेक्टर्स ठीक है ये आप जितना जल्दी समझ जाओगे ना उतनी चीजें आसान हो जाएगी अब देखो इसी को यूज करके हम यहां पर पढ़ने वाले अपना अगला कांसेप्ट च इज द कांसेप्ट ऑफ रोटेशन है ना इसमें आई थिंक काफी लोगों को दिक्कत आती होगी इसको एकदम सिंपलीफाई कर दिया इसको एकदम सिंपलीफाई कर देते हैं ठीक है देखो इसको समझो पहले तो आप ठीक है कांसेप्ट ऑफ रोटेशन को आप समझो इसमें आपको वेक्टर्स यूज करने पड़ेंगे मतलब बेसिकली इसमें कांसेप्ट इतना ही है कि एक वेक्टर है इस वेक्टर को हमने रोटेट कर दिया एक दूसरा वेक्टर आ गया और ये वेक्टर और ये वेक्टर जो है उसका लेंथ भी चेंज हो रहा है तो हम केवल रोटेट नहीं कर रहे हम रोटेट तो कर ही रहे हैं उसके साथ-साथ उसका जो मैग्निटिया हैं तो ब्लू वाला जो वेक्टर है वो छोटा है और रेड वाला जो वेक्टर है वो थोड़ा बड़ा है ठीक है तो बेसिकली हम यहां पर रोटेशन तो कर ही रहे हैं साथ-साथ उसका जो मैग्निटिया ठीक है अगर ये वेक्टर है तो आपने ये भी पढ़ा था ना कि हम इस वेक्टर का मैग्निटिया थ होगा फ यूनिट्स तो सिमिलरली यहां पर जो मैग्नी है यह कैसे निकालेंगे य लेंथ ऑफ द एरो कैसे निकालेंगे तो लेंथ ऑफ द एरो होता है ज2 माइन जव यही तो होगा इसका मैग्नी इसका मॉड्यूस ठीक है अपने को पता है कि दो कॉम्लेक्स नंबर के बीच में डिस्टेंस कैसे निकालते तो दो कॉम्लेक्स नंबर के बीच में डिस्टेंस कैसे निकालते है ज2 माइन जव का मॉडल मतलब बेसिकली आप यहां पर बोल सकते हो मैग्नी ऑफ वेक्टर या फिर मॉड्यूस ऑफ कॉम्लेक्स नंबर इन दोनों से अपना काम चल जाएगा ना है ना यहां पर अगर आप देखोगे वेक्टर्स में तो बेसिकली उसका मैग्निटिया ना अजूम कर लेते हैं कि यह वाला जो पॉइंट है यह z न है अजूम कर लेते कि यह वाला जो पॉइंट है ये z1 है और अजूम कर लेते हैं कि यह वाला जो पॉइंट है वो z2 है मतलब बेसिकली आपके पास एक वेक्टर था उसको आपने रोटेट किया और रोटेट करने के बाद उसकी जो लेंथ है वो भी थोड़ी सी आपने इंक्रीज कर दी तो ये तीनों पॉइंट्स आपको गिवन है ये z न z1 और z2 ये तीनों के तीनों पॉइंट्स आपको गिवन है ठीक है अब एक काम करते हैं यहां पे एक सबसे पहले तो आप हॉरिजॉन्टल लाइन कंस्ट्रक्ट कर लो z नट से z न से एक हॉरिजॉन्टल लाइन इसको ध्यान से समझना ये काफी इंटरेस्टिंग है और एक बार आपको कांसेप्ट समझ में आ गया ना तो मतलब एकदम 100% 100 तो 110 पर आप इसमें कॉन्फिडेंट हो सकते हो ठीक है तो इसको एक हॉरिजॉन्टल लाइन बना दिया अगर एक हॉरिजॉन्टल लाइन बना दिया अब आप अजूम करो कि यह वाला जो एंगल है ये है थव ठीक है और यह वाला जो एंगल है ये है थट ठीक है ये थट है और इन दोनों के बीच में जो एंगल है वो है है थीटा ठीक है तो तीनों के तीनों जो एंगल्स है उसको भी हमने मार्क कर दिया अब अगर आप देखोगे यह वाला जो वेक्टर है इसको हम बोलते हैं इनिशियल वेक्टर इसको हम क्या बोलते हैं ये जो स्टार्टिंग वाला वेक्टर है इसको हम बोलेंगे इनिशियल वेक्टर और यह है हमारा फाइनल वेक्टर ठीक है इनिशियल वेक्टर और फाइनल वेक्टर आपने बेसिकली इनिशियल वेक्टर को घुमा दिया और फाइनली आप वहां पर चले गए तो एक इनिशियल है एक फाइनल है है ना तो ये स्टार्टिंग वाला है ये बाद वाला है ये आप ध्यान रखो एक इनिशियल एक फाइनल अब इनिशियल वेक्टर जो है उसको आप कैसे रिप्रेजेंट करोगे इनिशियल वेक्टर ये है ना तो z1 - z0 अभी हमने पढ़ा था ना बाद वाला माइनस पहले वाला या बेसिकली हेड माइनस टेल है ना तो हेड क्या है z1 - z0 तो ये जो ब्लू वाला वेक्टर है उसको हम ऐसे लिख सकते हैं ना z1 - z0 और उसका मैग्नी ूडल तो अगर आपको कोई भी एक कॉम्प्लेक्शन लिखना है तो देखो वेक्टर में दो चीजें होती है एक मैग्निटिया और कॉम्प्लेक्शन आपको मतलब सेम सेम फील आ रही है एक मैग्नेट एक डायरेक्शन वेक्टर में होता है कॉम्प्लेक्टेड कितना आ जाएगा तो आप यहां पर तो लिख लो मॉडल ऑफ z1 माइन जन तो ये लेंथ आ गई लेंथ ऑफ द एरो आ गया ना लेंथ ऑफ द एरो वही तो होता है वेक्टर का मैग्निटिया तो ये लेंथ ऑफ द एरो दैट इज नथिंग बट मैग्निटिया तो दोनों चीजें क्लियर है क्या अब सिमिलरली जो फाइनल वाला वेक्टर है तो जो फाइनल वाला वेक्टर है वो आपका है z2 - z0 है ना फाइनल माइनस इनिशियल हेड माइनस टेल तो हेड माइनस टेल और उसका लेंथ कितना आएगा उसका मॉड्यूस कितना आएगा तो वहां पे आ जाएगा z2 - z न का मॉड्यूस और e की पावर उसका आर्गुमेंट कितना है कितना एंगल बना रहा है वो वो कितना एंगल बना रहा है थ 2 एंगल बना रहा है तो ये दूसरी इक्वेशन आ गई और दोनों इक्वेशन को डिवाइड कर दो मतलब बेसिकली इक्वेशन टू डिवाइडेड बाय इक्वेशन वन कर दो तो जैसे ही आप इक्वेशन टू और वन को डिवाइड करोगे है ना ये इक्वेशन टू और ये इक्वेशन वन यहां पर आ जाएगा इक्वेशन टू डिवाइडेड बाय इक्वेशन वन ठीक है इक्वेशन टू और वन को डिवाइड करना है तो इक्वेशन टू में है e की पावर आयो थीट और नीचे है e की पावर आयो थव तो बेसिकली इन दोनों को क्लब कर लो तो अगर इन दोनों को क्लब कर लेंगे तो क्या आ जाएगा इन दोनों को क्लब कर लोगे तो आपके पास आ जाएगा e की पावर आयो और थ 2 - थ 1 और थ 2 - थ 1 कितना है डायग्राम से देखो थ 2 - थ 1 तो वो तो थीटा है तो उसको आप सिंपली यहां पे सब्सीट्यूट कर सकते हो थीटा तो z2 - z0 / z1 - z0 ये आ जाएगा मैग्निटिया जिसको हम बोलते हैं कांसेप्ट ऑफ रोटेशन मतलब ये इ ये फाइनल वेक्टर ये इनिशियल वेक्टर इसको आप याद ऐसे रखो देखो याद करने का तरीका ये है याद करने का तरीका क्या है ये फाइनल वेक्टर है अब याद ऐसे रखोगे फाइनल डिवाइडेड बाय इनिशियल यह क्या है यह फाइनल और इनिशियल वेक्टर्स है ठीक है फाइनल डिवाइडेड बाय इनिशियल वेक्टर फिर यहां पे आएगा मैग्निटिया मैग्निटिया अब कभी-कभी ऐसा भी होता है कि फाइनल वेक्टर और इनिशियल वेक्टर का मैग्निटिया है मतलब ये वेक्टर था और इसको रोटेट कर दिया बस आपने मैग्निटिया तो उस केस में ये दोनों कैंसिल हो जाएंगे भाई अल्टीमेटली यह वेक्टर है उसको आपने केवल रोटेट किया अगर केवल रोटेट करोगे तो इसका लेंथ आपने चेंज नहीं किया ना अगर लेंथ च चेंज नहीं किया तो ये दोनों कैंसिल हो जाएंगे दोनों लेंथ सेम है लेंथ ऑफ द फाइनल वेक्टर लेंथ ऑफ द इनिशियल वेक्टर सेम है तो वो कैंसिल हो जाएगा और यहां पे आता है e की पावर आयो थीटा और यह जो थीटा है ना वो आपको हमेशा लेना होता है एंटीक्लॉक वाइज में अगर एंटीक्लॉक वाइज है तो ही वो पॉजिटिव आएगा अगर क्लॉक वाइज में अगर आप ले लोगे ना तो फिर आपको नेगेटिव लेना पड़ेगा तो यह कन्वेंशन भी आप ध्यान रखना ये जो थीटा है यहां पर अगर आप ध्यान से देखोगे तो हमने थीटा लिया है एंटी क्लॉक वाइज डायरेक्शन में ये कौन सा डायरेक्शन है एंटीक्लॉक वाइज डायरेक्शन है तो हमने सिंस यहां पर एंटी क्लॉक वाइज लिया है इसीलिए पॉजिटिव आ रहा है अगर आप क्लॉक वाइज ले लोगे तो नेगेटिव लेना पड़ेगा तो थीटा का वैल्यू आपको वो देख के सब्सीट्यूट करना है अगर एंटीक्लॉक वाइज है तो पॉजिटिव अगर क्लॉक वाइज है तो नेगेटिव है ना तो बेसिकली यह आपका कांसेप्ट बन जाएगा दिस इज द कांसेप्ट यही रोटेशन का यही कांसेप्ट है ठीक है तो ये आपको समझ में आ गया यस ये एकदम मतलब क्रिस्टल क्लियर है इसका एप्लीकेशन भी अभी हम देखेंगे है ना कि इसको अप्लाई कैसे करते हैं क्वेश्चंस में बट यहां तक तो आपको क्लियर है ठीक है और इसको थोड़ा डिटेल में समझते हैं अच्छा इसको डिटेल में समझने से पहले कुछ स्पेशल केसेस है और ये जो स्पेशल केसेस है ना इसी प ज्यादा क्वेश्चन जा है तो ये काफी इंपॉर्टेंट है इसको ध्यान से समझना ये जो स्पेशल केसेस है ना क्योंकि कांसेप्ट ऑफ रोटेशन बहुत ही कॉम्प्लेक्शन बहुत कम बनते हैं बट हां मैक्सिमम क्वेश्चंस आपके बनेंगे स्पेशल केसेस पे अब स्पेशल केसेस क्या है स्पेशल केसेस यह है कि अगर आपके पास मान लो कोई भी एक कर लो x प् आवा बट x प् आवा लेने का मन नहीं है हमारा मन है यूलर फॉर्म में लेने का तो हमने यूलर फॉर्म में एक कॉम्प्लेक्शन को अजूम कर लिया य जनरल कोई भी एक कॉम्प्लेक्टेड है वो r है और मैग्नी क्या रिप्रेजेंट करता है डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन तो वो जो कॉम्प्लेक्शन कितना है उसका डिस्टेंस ओरिजिन है आ और वो एंगल कितना बना रहा है वो एंगल बना रहा है थीटा इसका तो यही मतलब हुआ ना है ना इसका सिंपल यही मतलब हुआ कि यह एंगल थीटा है और डिस्टेंस कितना है आ फ्रॉम ओरिजिन तोय एक जनरल सा मैंने जड ले लिया च इ जनरल कॉम्लेक्स नंबर अब इस कॉम्प्लेक्टेड हो जाएगा बाय एन एंगल ऑफ 180 डिग्री इसमें रोटेट हो जाएगा बाय 90° इसमें रोटेट हो जाएगा बाय - 90° उसमें रोटेट होगा बाय 120° और उसमें रोटेट हो जाएगा बाय - 120° अब ऐसा क्यों होता है सबसे पहले तो आप ये समझो कि ये जितने भी कॉम्प्लेक्टेड कर रहे हैं उन सब का मैग्निटिया उसका मॉड्यूस आएगा वन फिर आयो आयो का मतलब जीरो प् 1 आयो तो उसका भी मॉड्यूस कितना आएगा वन तो सबका मॉड्यूस वन आएगा इवन ओमेगा ओमेगा का जो मॉड्यूस होता है वो कितना होता है वो तो पहले भी हमने देखा था कि भाई मॉड्यूस ऑफ ओमेगा विल बी वन मॉड्यूस ऑफ ओमेगा स्क्वायर वो भी वन होता है ये सब यूनिट रेडियस के सर्कल पर लाई करते हैं ठीक है तो बेसिकली मतलब इन सबका मैग्निटिया और इसका थीटा कितना आएगा तो -1 को अगर आप कन्वर्ट करोगे तो इसका मैग्निटिया क्योंकि तभी तो बनेगा ना क पा प्लस आयो सा पा तो क पा का वैल्यू -1 होता है और सा पा का वैल्यू जीरो होता है तो बेसिकली अगर आप इसको कन्वर्ट करोगे तो इसका मॉड्यूस है वन और ये पॉइंट है -1 0 -1 0 मतलब यहां पे लाई कर रहा होगा अरे चमका यहां पे लाई कर रहा होगा तो उसका आर्गुमेंट कितना आएगा पाई चमक गया ना आर्गुमेंट विल बी पाई ऊपर से मेजर करेंगे नीचे से नहीं करेंगे - पा नहीं आएगा पाई आएगा चमक गया तो वन को हम ऐसे लिख सकते हैं ये सॉरी -1 को हम ऐसे लिख सकते हैं आयो को हम कैसे लिख सकते हैं आयो को अगर यूलर फॉर्म में कन्वर्ट करोगे तो इसका भी मॉड्यूस तो वन ही आएगा बट आयो के साथ पा / 2 आ जाएगा सिमिलरली माइनस आयो को कन्वर्ट करोगे तो ये भी आएगा वन लेकिन e की पावर - 5/2 आ जाएगा सिमिलरली ओमेगा क्या होता है ओमेगा का वैल्यू हमने याद किया था अगर आपको याद हो तो तो वो होता है e की पावर आयो 2 पाई बा n होता है ना और n का वैल्यू थ है क्योंकि क्यूब रूट ऑफ यूनिटी है तो e की पावर आयो 2 पाई बा 3 याद आया और माइनस ओमेगा क्या हो जाएगा वो हो जाएगा e की पावर आयो -2 पाई बा 3 ठीक है तो ये सारे कॉम्प्लेक्शन करो कि आपके पास जो कॉम्प्लेक्शन कॉम्लेक्स नंबर को अगर आप माइव से मल्टीप्लाई करोगे अब दोनों को मल्टीप्लाई करो देखो मल्टीप्लाई करोगे तो लेट मी मल्टीप्लाई -1 एंड ज इन दोनों को मल्टीप्लाई कर दिया ठीक है इन दोनों को मल्टीप्लाई कर दिया इन दोनों को मल्टीप्लाई कर दिया तो यह पहला वाला [संगीत] पाई तो अब ये कॉम्प्लेक्शन कहां पर पाया जाएगा स्टार्टिंग में उसका एंगल था थीटा अब एंगल बन जाएगा थीटा प् पाई मतलब वो 180 से रोटेट हो जाएगा ना वेक्टर अब वो यहां पे पाया जाएगा तो ये वाला जो कॉम्प्लेक्टेड हो जाएगा क्योंकि नाउ दिस एंगल यहां से अगर आप मेजर करोगे तो ये जो एंगल है ये आपका बनना चाहिए पा प् थीटा अरे चमका होगा इनिशियली उसका एंगल था थीटा इनिशियली उसका एंगल थीटा था ना जैसे ही आपने मल्टीप्लाई किया तो पाई प्लस हो गया तो पाई प्लस हो गया और मैग्निटिया r तो मतलब बेसिकली इसका लेंथ चेंज नहीं हो रहा है केवल एंगल चेंज हो रहा है तो रोटेट हो जाएगा ठीक है तो आप तो डायरेक्टली याद रखो इससे मल्टीप्लाई करोगे तो 180 से रोटेट होता है एंटीक्लॉक वाइज इसमें 90 डिग्री इसमें -90 डिग्री इसमें 120 डिग्री और इसमें -10 डिग्री ये डायरेक्टली आप याद कर सकते हो इसमें आयो पा बा 2 आ रहा है ना तो अगर आप आयो से मल्टीप्लाई करोगे तो क्या होगा अगर मान लो आयो मल्टीप्ला बाय कोई भी एक यहां पर आएगा है ना वो पाई बाटू से रोटेट हो जाएगा यह आपका जो एंगल होगा ना ट एंगल विल बी 90 डिग्री सस एंगल विल बी 90 डिग्री 90 डिग्री से रोटेट हो जाएगा तो यहां पर आएगा आयो जड ठीक है यहां पर आएगा आयो जड माइनस आयो जड कहां प आएगा तो वो अपोजिट डायरेक्शन में क्लॉक वाइज माइन 990 है मतलब 90 डिग्री क्लॉक वाइज रोटेट हो जाएगा तो यहां पर आएगा यह वाला जो पॉइंट है यह है माइनस आयो ज है ना ये रोटेशन है 90 डिग्री का लेकिन क्लॉक वाइज में अगेन दिस एंगल इ 90 डिग्री बट इट इज क्लॉक वाइज क्योंकि नेगेटिव है ठीक है सिमिलरली ओमेगा कहां पर आएगा ओमेगा के लिए आप 120 डिग्री से रोटेट करोगे क्योंकि एंगल यहां पर है ये 120 डिग्री है 2 पाई बा 3 ओके तो ओमेगा के लिए ओमेगा यहां पर कहीं प आएगा मतलब ओमेगा इन ज ओके ओमेगा इन ज और ये एंगल कितना होगा तो ये एंगल आपका होगा 2 पाई बा 3 120 डिग्री सो दिस एंगल इज 120 डिग्री चमक गया ना मतलब बेसिकली इन सब से आप मल्टीप्लाई करोगे ना तो आपका जो वेक्टर है वो रोटेट होता रहेगा तो यह काफी इंपॉर्टेंट है स्पेशली इसमें इंपॉर्टेंट यह है आयो वाला यह क्योंकि यह ना बहुत बार पूछा गया है है ना आयो से अगर आप मल्टीप्लाई कर दोगे तो बेसिकली 90 डिग्री से रोटेट हो जाएगा ना और 90° से रोटेट हो जाएगा तो राइट एंगल ट्रायंगल बन जाता है तो इसके क्वेश्चन मैक्सिमम बनते हैं है ना जैसे एक आधा क्वेश्चन भी आई थिंक हम करते हैं यह 2021 का क्वेश्चन इसको आप ट्राई करो यहां पे आपको तीन पॉइंट्स गिवन है तो पहला पॉइंट है a और जो a वाला पॉइंट है वो है z तो ये है z और दूसरा पॉइंट है आयो जड अब आपने कांसेप्ट क्या पढ़ा कि अगर किसी भी कॉम्प्लेक्टेड हो जाएगा ठीक है तो 90 डिग्री एंटीक्लॉक वाइज रोटेट कर दो बस इसको तो ये जो ये जो वेक्टर है यह बेसिकली 90 डिग्री एंटीक्लॉक वाइज डायरेक्शन में रोटेट हो जाएगा यहां पे कहीं पे आएगा आयो ज तो ये राइट एंगल ट्रायंगल है और अगर राइट एंगल ट्रायंगल है तो कैसे निकालते एरिया आप से पूछा एरिया ऑफ द ट्रायंगल तो एरिया ऑफ द ट्रायंगल कितना आ जाएगा एरिया ऑफ द ट्रायंगल होता है हाफ इनटू बेस इनटू हाइट तो ये लेंथ कितनी होगी ये लेंथ होगी इसका मॉड्यूस भाई लेंथ कैसे निकालते लेंथ मतलब मॉड्यूस डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन ठीक है तो लेंथ होगी मॉड्यूस ऑफ ज और ये वाली लेंथ कितनी होगी तो ये वाली जो लेंथ होगी वो होगी मॉड्यूस ऑफ आयो जड तो बस ये आ जाएगा हाफ इनटू मॉड्यूस ऑफ z और यहां पे प्रॉपर्टी लगा दो मॉड्यूस ऑफ z1 इन मॉड्यूस ऑफ z अब आयो का मॉड्यूस वन होता है तो फाइनली आपका आंसर क्या आ गया ये आ गया ठीक है आयो का मॉड्यूस होता है वन क्योंकि आयो इज 0 प्व आयो चमक गया ना तो ये बस ऑप्शन बी इज द आंसर तो समझ जाओगे अगर बेसिकली ये क्लियर है ना अगर आप आयो से मल्टीप्लाई करोगे अगर जड है और आयो जड है तो 90 डिग्री एंटी क्लॉक वाइज आपका रोटेट हो जाएगा अगर z है और माइनस आयो ज है तो 90° क्लॉक वाइज रोटेट हो जाएगा बस आपको 90 डिग्र से रोटेट करना है आयो और माइनस आयो में ओमेगा और माइनस ओमेगा में 120 होता है और -1 में 180 होता है ठीक है चमक गया होगा मेरे ख्याल से यस और आगे बढ़ते हैं अच्छा एक और चीज मैं आपको यहां पे सिखाता हूं इक्विलैटरल ट्रायंगल में ये प्रॉपर्टी होती है लाइक इफ z1 z2 z3 आर द वर्टिसेज ऑफ इक्विलैटरल ट्रायंगल तो फिर यह प्रॉपर्टी होती है तो इसको आपको याद रखना है इसके ऊपर भी क्वेश्चंस ऑलरेडी आ चुके है अच्छा ये कैसे आया ये जो रिजल्ट है वो कैसे आया देखो इसको हम डिराइवर करने की कोशिश करते हैं इसका प्रूफ आप देख लो इसका प्रूफ बहुत ही चिंदी सा है और उसमें आपको थोड़ी फील भी आ जाएगी अ कांसेप्ट ऑफ रोटेशन की ठीक है तो थोड़ी फील लेते हैं हम यहां पर कांसेप्ट ऑफ रोटेशन की थोड़ी फील लेते हैं तो बेसिकली क्वेश्चन में आपको क्या बोला है कि z1 z2 z3 जो है वो वर्टिस है तो z1 z2 z3 वर्टिस है ये z1 है ये z2 है और ये z3 है ठीक है यहां तक किसी को कोई दिक्कत नहीं नामकरण भी कर देते है ये ट्रायंगल है एी स ये ट्रायंगल एी स के तीनों वर्टिसेज आपको पता है और ट्रायंगल इक्विलैटरल है ट्रायंगल इज इक्विलैटरल तो इक्विलैटरल ट्रायंगल के लिए अपने को ये लेके आना है z1 स् प् z2 स् प् z3 स् इज ऑलवेज इक्वल टू z1 z2 z2 z3 और z3 z1 तो हम क्या करेंगे हम यहां पर लगाएंगे कांसेप्ट ऑफ रोटेशन देखो ये एंगल कितना होगा अगर ये इक्विलैटरल ट्रायंगल है तो दिस एंगल विल बी 60 डिग्री यस और नो यहां तक किसी को कोई दिक्कत ये एंगल होगा 60° अगर ये एंगल 60° है तो आप इमेजिन करो कि ये एक वेक्टर है और इसको हमने रोटेट कर दिया ऐसे ये इनिशियल वेक्टर ये फाइनल वेक्टर दोनों का मेग्नीट्यूड सेम है क्या क्योंकि इक्विलैटरल ट्रायंगल है तो सिस इक्विलैटरल ट्रायंगल है तो ये वाला वेक्टर इसकी लेंथ और इसकी लेंथ तो सेम है तो हमने केवल रोटेट किया है हमने मेग्नीट्यूड चेंज नहीं किया है ठीक है तो आप इमेजिन करो डायग्राम को बेसिकली ये आपका फाइनल वेक्टर है ठीक है और यह आपका इनिशियल वेक्टर है इनिशियल वेक्टर से फाइनल वेक्टर तो बेसिकली कांसेप्ट ऑफ रोटेशन कैसे लगाते हैं कांसेप्ट ऑफ रोटेशन के लिए हमने यही सीखा था ना यहां पर देख लो आप ये फाइनल अपॉन इनिशियल मैग्निटिया है तो ये तो कैंसिल हो जाएगा बस e की पावर आयो थीटा आएगा तो फाइनल वेक्टर डिवाइडेड बाय इनिशियल वेक्टर तो फाइनल वेक्टर कौन सा है फाइनल वेक्टर हमारा ये वाला है आप ऐसे समझो फाइनल जो वेक्टर है ना हमारा वो ये है और इनिशियल वेक्टर यह है तो ये इनिशियल वेक्टर है यह फाइनल वेक्टर ऐसे रोटेट कर दिया एंटी क्लॉक वाइज डायरेक्शन में हमने रोटेट किया है 60 डिग्री से ठीक है तो फाइनल वेक्टर क्या आएगा फाइनल वेक्टर ये आएगा ना और उसमें भी हेड माइनस टेल करते तो z3 माइ z1 आएगा ठीक है हेड माइनस टेल और ये फाइनल वेक्टर इनिशियल वेक्टर ये है तो z2 माइन z1 यहां पर आ जाएगा z2 - z1 और लेंथ तो सेम है ठीक है ये वाला जो उसी को रोटेट किया है बस तो यह लेंथ और यह लेंथ सेम है क्योंकि इक्विलैटरल ट्रायंगल है तो जो लेंथ वाला पार्ट है वो तो कैंसिल हो जाएगा केवल e की पावर आयो और पाई बा 3 आ जाएगा बस है ना 60 डिग्री 60 डिग्री मतलब रेडियन में लिख लो आप पाई बा 3 तो एक इक्वेशन तो यह आ गई ठीक है तो ये इक्वेशन सबको क्लियर है यह हमने कांसेप्ट ऑफ रोटेशन इसमें लगा दिया कांसेप्ट ऑफ रोटेशन कैसे लगाते हो वो एकदम क्रिस्टल क्लियर है अब एक और इक्वेशन अपने को बनानी पड़ेगी तो उसको बनाने के लिए देखो अब थोड़ा डायग्राम मॉडिफाई करते हैं ये सब हटा देते हैं ठीक है ये एरो भी हटा देते हैं अब आप समझो अब आप ये वाला एंगल ले लो बेसिकली अ ये वाला जो एंगल है ये एंगल भी तो 60 डिग्री होगा ना और ये भी एंटीक्लॉक वाइज है ये भी एंटीक्लॉक वाइज है ना अल्टीमेटली आप अभी भी तो ऐसे ही जा रहे हो तो एंटीक्लॉक वाइज है ये अगर एंटीक्लॉक वाइज है तो आपका ये वाला जो वेक्टर है ये फाइनल वेक्टर है ठीक है और ये इनिशियल वेक्टर है दिस इज इनिशियल वेक्टर दिस इज फाइनल वेक्टर तो अब इसमें फिर से आप लगाओ इसमें फिर से आप लगा दो कांसेप्ट ऑफ रोटेशन तो कांसेप्ट ऑफ रोटेशन लगाएंगे तो फाइनल वेक्टर विल बी z2 - z3 यहां पर आएगा z2 माइ z3 और इनिशियल वेक्टर कौन सा है इनिशियल वेक्टर आएगा हेड माइनस टेल तो z1 माइ z3 अगेन मैग्निटिया एंगल लिया है वो एंटी क्लॉक वाइज लिया है तो इट विल बी प्लस तो पा बा 3 आ जाएगा बस ये दूसरी इक्वेशन आ गई अब दोनों इक्वेशन को इक्वेट कर दो इसका वैल्यू भी है e की पावर आयो पाई बा 3 और यह भी वही है दोनों को इक्वेट कर दो तो दोनों को इक्वेट करेंगे आपका जो रिक्वायर्ड रिजल्ट है वो आ जाएगा ठीक है z3 माइ z1 ज2 माइ जव एंड दिस विल बी इक्वल टू इक्वेट कर दो बस जैसे ही आप इक्वेट करोगे तो ये आ रहा है z1 माइन अब इसको क्रॉस मल्टीप्लाई कर देना तो क्रॉस मल्टीप्लाई करके पूरा सॉल्व करो है ना इसको क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो और पूरा सॉल्व करो तो यह वही बन जाएगा जो बेसिकली पिछले पेज पर लिखा है अरे चमका कि नहीं बस अब कैलकुलेशन है इसको ओपन करेंगे तो z3 z1 और z3 z1 दो बार आएगा और और कौन-कौन से टर्म्स आएंगे माइ z3 का स्क्वायर आएगा है ना इन दोनों को मल्टीप्लाई करो फिर इन दोनों को करो तो z1 का स्क्वायर और यहां पर आ जाएगा z2 का स्क्वायर है ना यह वाला टर्म फिर यह वाला टर्म आएगा माइनस ज2 z3 ठीक है चमक रहा है ये वाला टर्म आएगा माइनस जव ज2 और लास्ट वाला टर्म आएगा प्लस z13 ठीक है अब इसको रिअरेंज कर लो तो वही दिख गया आपको दिख गया होगा ना ज2 स्क ये जव स्क उधर जाएगा z3 स् उधर जाएगा और इन सबको इधर ले आओ तो बेसिकली यही आएगा z1 ज2 प्लस ज2 z3 प्स z3 जव दिस इ इक्वल ट जव स्क प् ज2 स्क्वा और प्लस z3 का स्क्वा ठीक है तो यह रिलेशन होता है फॉर इक्विलैटरल ट्रायंगल इक्विलैटरल ट्रायंगल के लिए यह होता है यह चमका अरे चमक गया होगा ना और कांसेप्ट ऑफ रोटेशन की भी फील आ गई होगी इसका जो डेरिवेशन है वह बेसिकली आप इसलिए सीखो ताकि आपको अप्लाई करना आ जाए कांसेप्ट ऑफ रोटेशन कि भाई फाइनल कैसे लेते हैं इनिशियल कैसे लेते हैं एंगल कैसे लेते हैं एंटीक्लॉक वाइज क्लॉक वाइज है ना फाइनल और इनिशियल वेक्टर कैसे बनाते हैं तो वो सारी फील आपको यहां पे बस ये दोनों लिखना आना चाहिए बाकी सब तो कैलकुलेशन तो ये भी आपको समझ में आ गया यस और दूसरी जो इक्वेशन है वो भी आपकी होल्ड करती है यहां पे z न है सरकम सेंटर तो दूसरी वाली आप आराम से निकाल सकते हो z न इज द सरकम सेंटर और इक्विलैटरल ट्रायंगल में तो सारे सेम ही होते हैं अब सरकम सेंटर बोलो या सेंट्रोइड्स है तो सिंस अपना ट्रायंगल इक्विलैटरल है तो z0 इज नथिंग बट इट विल बी द सेंट्रोइड्स अब इसी को अगर आप रिअरेंज करोगे ना तो ये वाली इक्वेशन आ जाएगी मतलब बेसिकली उसमें आप z1 + z2 + z3 का वैल्यू पुट कर देना थ टाइम्स z0 इसको क्रॉस मल्टीप्लाई कर दो तो z1 + z2 + z3 उसको आप यूज़ कर लो थ्री टाइम्स z0 तो अल्टीमेटली ये इक्वेशन आपको दिख रही है दिख गई होगी अरे आप इसी में कर लो ना ये जो z1 ये जो लिखा हुआ है इस इक्वेशन को आप उठाओ और यहां पर है z1 का स्क्वायर z2 का स्क्वायर z3 का स्क्वायर है ना और ये वाला जो है इसको आप क्या लिख दोगे इसको आप लिख सकते हो z1 स् प् z2 स् प् z3 स् या बेसिकली z1 प् z2 प् z3 का होल स्क्वायर कर दो ठीक है इसका होल स्क्वायर और माइनस माइनस अपने को क्या करना पड़ेगा इसमें से माइनस करना पड़ेगा अ ये वाला z1 स् z2 स् z3 स् यही करना पड़ेगा ना तो बस अब इसका वैल्यू पुट कर दो आप और इसका भी वैल्यू पुट कर दो तो अल्टीमेटली ये वाली इक्वेशन आपको दिख गई यस और नो ये दिख जाएगी ना यहां पे z1 + z2 मतलब बेसिकली इसमें ये है [संगीत] ए प् bc-c तो ए प् bc-c को हम क्या लिख सकते हैं इसको हम लिख सकते हैं इसका टू टाइम्स और प्लस अगर a स्क प् b स् प् c स् होता है तो यह होता है ना a प् बी प् c का होल स्क्वा ठीक है तो इसका वैल्यू निकालो आप एक्चुअली तो इसका वैल्यू आ जाएगा ये माइनस ये और डिवाइडेड बायट भी आएगा ना डिवाइडेड बायट भी कर लो आप अब आप वैल्यू पुट कर दो ठीक है अब आप इसमें वैल्यू पुट कर दो z1 प् z2 + z3 का और ये इधर चला जाएगा है ना चमक गया तो ये बेसिकली ये जो टू है वो इधर आ जाएगा तो टू टाइम्स फिर ये भी इधर आ जाएगा तो 2+ 1 थ्री टाइम्स दिख गया आपको ठीक है थ्री टाइम्स ये आ गया z3 का स्क्वा और यहां पे क्या बन जाएगा इसका स्क्वायर तो 3 z0 काल स्क्वायर तो दोनों तरफ थ कैंसिल हो जाएगा ना यहां पे नाइन है और यहां पे थ्री है तो थ्री थ कैंसिल हो जाएगा तो दिख गया होगा आपको मेरे ख्याल से ठीक है तो ये भी एक रिलेशन है जिसको आप डायरेक्टली याद रख सकते हो z न इज बेसिकली द सरकम सेंटर और सेंट्रोइड्स ट्रायंगल है ठीक है सिंस इट इज इक्विलैटरल ट्रायंगल अब देखो इस पे बेस क्वेश्चन करते हैं इस पे बेस क्वेश्चन भी आया था ठीक है इस पे बेस मतलब आपको रिजल्ट याद होना चाहिए अगर आपको रिजल्ट याद है तो ये क्वेश्चन बहुत जल्दी हो जाएगा देखो क्वेश्चन कैसे पूछा था क्वेश्चन पूछा था कि z1 z2 आर द रूट्स ऑफ दिस इक्वेशन तो एक इक्वेशन आपको गिवन है z स् ् ए और प् 12 = 0 और इसके रूट है z1 ज2 ठीक है इतना आपको गिवन है और z1 ज2 है ना z1 ज2 फॉर्म इक्विलैटरल ट्रायंगल विथ ओरिजिन अच्छा यह बोल रहा है कि z1 ज2 जो है वो ओरिजिन के साथ तो यह ओरिजिन है यह z1 है और यह z2 है ये ओरिजिन के साथ इक्विलैटरल ट्रायंगल बनाते है z1 ज2 ओरिजिन ये इक्विलैटरल ट्रायंगल है मतलब बेसिकली आपका जो z3 है वो ओरिजिन पुट कर दो आप तो आपके पास इक्विलैटरल ट्रायंगल का रिलेशन क्या होता है इक्विलैटरल ट्रायंगल का रिलेशन ये है ना z1 स् + z2 स् + z3 स् ये होता है z1 z2 + z2 z3 और + z3 z1 और z3 का वैल्यू रो पुट कर दो तो ये रो है ना z3 0 और z3 0 तो बेसिकली आपके पास क्या आ गया ये आ गया और इसको हम लिख सकते हैं z1 + z2 का स्क्वा है ना माइनस टू टाइम्स जव ज2 दिस इ इ जव ज2 बेसिकली अब य सम ऑफ रूट्स और प्रोडक्ट ऑफ रूट्स सब्सीट्यूट कर दो तो सम ऑफ रूट्स का वैल्यू है माइन ए और यहां पर ये उधर चला जाएगा ्र टाइम्स प्रोडक्ट ऑफ रूट्स का वैल्यू है 12 बस य से ए स्क आ गया 36 तो मोड ऑफ ए कितना आ जाएगा स आ जाएगा ठीक है ए का वैल्यू आएगा प्लस माइन स ना का आपसे पूछा है मोड ऑफ मोड ऑफ ए विल बी हाउ मच मोड ऑफ ए तो उसका आंसर आ जाएगा सि क्लियर यस तो ऐसे चिंदी चिंदी तो प्रॉपर्टी आपको याद रखनी है बस इक्विटर ट्रायंगल में कांसेप्ट ऑफ रोटेशन लगा के इतनी मेहनत करके जो आपने निकाला था ना वो बस डायरेक्टली याद कर लेना ठीक है तो आपसे यह क्वेश्चन हो जाएंगे चलो और आगे बढ़ते हैं अब बात करते हैं स्टैंडर्ड लोकस इंक्लूडिंग आर्गुमेंट तो ये जो आर्गुमेंट होता है ना आर्गुमेंट ऑ जड उसी में हम बेसिकली यहां पर खेल खेल के बहुत स स्टैंडर्ड लोकस डेवलप कर सकते है ठीक है इसमें बहुत सारे केसेस है तो बेसिकली तीन केसेस होते हैं आप इस इक्वेशन को देखो यह जो इक्वेशन है ना अगर आपको ऐसी इक्वेशन कहीं पर भी दिख जाए इसकी पहले तो शक्ल आप याद कर लो इसकी शक्ल क्या है इसकी शक्ल है आर्गुमेंट और z माइ जव मतलब बेसिकली एक वेक्टर होगा यह भी एक वेक्टर होगा ना तो आर्गुमेंट ऑफ वन वेक्टर डिवाइडेड बाय अनदर वेक्टर और आपको पता है कि जो आर्गुमेंट होता है वो लॉग की की प्रॉपर्टी फॉलो करता है अगर लॉग की प्रॉपर्टी फॉलो करता है तो आर्गुमेंट ऑफ ये वेक्टर माइनस आर्गुमेंट ऑफ दूसरा वेक्टर आ जाएगा तो बेसिकली हमेशा आप ये ध्यान रखना कि अगर इस तरह का कुछ भी लिखा हुआ है तो यह रिप्रेजेंट करता है एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स ये जो थीटा है ना दिस थीटा इज नथिंग बट इट इज द एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स और कौन कौन से दो वेक्टर है तो पहला वेक्टर है z - z1 और दूसरा वेक्टर है तो पहला वेक्टर ये है और दूसरा वेक्टर है z - ज2 बस ये दो वेक्टर के बीच में एंगल रिप्रेजेंट कर रहे है बस और कुछ नहीं ठीक है इट विल सिंपली रिप्रेजेंट एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स हमेशा अब देखो इसी में बहुत सारे स्पेशल केसेस है अगर ये एंगल जीरो या पाई हो गया तो लोकस क्या आएगा अगर एंगल पाई बाट या - पा बाट होगा तो तो क्या आएगा और अगर इनमें से कुछ भी नहीं है तो क्या आएगा तो इसको एकएक करके स्टडी करते हैं ठीक है अगर अगर ये जो थीटा है अगर ये एंगल जीरो या पाई हो गया अच्छा सबसे पहले तो आप ये समझो कि z1 ज2 दोनों फिक्स पॉइंट्स है ठीक है z1 और z2 क्या है z1 और z2 जो है वो एकदम फिक्स है वो लेंगे नहीं मतलब फिक्स का क्या मतलब होता है z1 ज2 आ एकदम फिक्स वो अगर आप 500 साल बाद भी आओगे तो वो यहीं पर पाए जाएंगे है ना एकदम फिक्स वो लेंगे नहीं और जड जो है वो वेरिएबल पॉइंट यहां पर जड क्या है जड का लोकस अपने को निकालना है तो जड इज द पॉइंट जिसका लोकस निकालना तो ये वेरिएबल पॉइंट है अरे चमका ना दिस इज वेरिएबल पॉइंट z इज द वेरिएबल पॉइंट जिसका लोकस अपने को निकालना है और z बेसिकली आप ऐसे समझो लोकस मतलब भटकती आत्मा है वेरिएबल पॉइंट है तो वो किस तरह से भटके वो स्ट्रेट लाइन में भटके सर्कल में भटके ना एलिप्स में पैराबोला में तो वही अपने को फाइंड आउट करना है तो अगर ये इक्वेशन गिवन है मतलब आर्गुमेंट ऑफ z - z1 आर्गुमेंट ऑफ z माइ z2 अगर जीरो है या फिर अगर पाई है तो उस केस में लोकस क्या आएगा तो डायरेक्टली मैं आपको बता देता हूं देखो अगर पाई है तो लोकस य आएगा अगर अगर आप थीटा का वैल्यू पाई ले लोगे ना तो लोकस आएगा लाइन सेगमेंट जॉइनिंग z1 ज2 ये लाइन सेगमेंट आएगी लाइक इफ थीटा इ इक्वल टू पाई इफ थीटा का वैल्यू इज इक्वल टू पाई देन दिस इज द लोकस लोकस मतलब बेसिकली z जो है वो इसके ऊपर भटके z यहां पे हो सकता है यहां पे हो सकता है यहां पे यहां पे यहां पे ये सारे पॉइंट्स ये जो सारे पॉइंट्स है ना बेसिकली इफ थीटा इ इक्व टू पाई लोकस आपका आएगा लाइन से जोइनिंग जव ज2 एंड इ थ इ इक्वल टू 0 तो फिर ये आएगा इफ थ इ इक्व टू 0 तो आप इसी को एक्सटेंड कर लो है ना तो बेसिकली या तो यह रे आएगी या नीचे की तरफ आएगी ठीक है मतलब अगर थ का वैल्यू पाई है तो ये ब्लू वाला जो है वो लोकस है और अगर थीटा का वैल्यू जीरो है तो जो ग्रीन वाला है वो लोकस है यह तब आएगा जब थ का वैल्यू जीरो डिग्री होगा अब ऐसा क्यों ऐसा क्यों है ना मतलब ये डाइजेस्ट नहीं हो रहा है अगर ये डाइजेस्ट नहीं हो रहा है तो आप ऐसे समझ सकते हो देखो इसको मैं थोड़ा समझाने की कोशिश करता हूं आप मान लो कि z आपका यहां पर है थोड़ी देर के लिए ठीक है ये मान लो आपका z है तो ये क्या लिखा हुआ है यहां पर बेसिकली मैंने आपको समझाया कि ये थीटा जो है वो एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स है और कौन-कौन से दो वेक्टर है एक वेक्टर है z - z1 तो z - z1 अब वेक्टर जो भी होता है वो हमेशा बी - ए होता है है ना तो ये आपका बी है और यह आपका ए है तो जो वेक्टर है वो कहां से कहां पॉइंट करेगा z1 से z पॉइंट करेगा तो z1 से z तो ये आपका वेक्टर बनेगा z1 से z की तरफ पॉइंट करेगा z1 से z की तरफ पॉइंट करेगा ना और दूसरा जो वेक्टर है वो पॉइंट करेगा z2 से z की तरफ तो दूसरा वेक्टर ये है दोनों के बीच में एंगल कितना है एक वेक्टर ऐसा जा रहा है दूसरा वेक्टर ऐसे आ रहा है तो दोनों के बीच में एंगल कितना है अरे 180° का एंगल दिख गया होगा और अगर आप z ले लोगे यहां पे अब देखो ये सब कचरा हटाओ है ना ये कचरा हटा दो और फिर कुछ ज्यादा ही कचरा हो गया चलो छोड़ो आप मान के चलो कि अगर मैं जड यहां पर ले लू अगर मैं जड यहां पर ले लू तो अब यह वेक्टर क्या बनेगा देखो तो अब ये वेक्टर z माइन जव मतलब z1 से जड की तरफ तो z1 से जड की तरफ तो एक वेक्टर ये आएगा z1 से चालू करो और जड की तरफ आपको जाना तो एक वेक्टर ये है और दूसरा वेक्टर आएगा z2 से जड की तरफ तो दूसरा वेक्टर भी यही आएगा तो दोनों के बीच में एंगल कितना है 0 डिग्री का एंगल है तो चमक गया ना अगर आप पॉइंट यहां पर लोगे या यहां पर लोगे तभी आपका एंगल 0 डिग्री आएगा अगर आप पॉइंट बीच में ले लोगे तो एक वेक्टर ऐसे आएगा एक वेक्टर ऐसे आएगा तो दोनों के बीच में एंगल कितना 180 बट खैर आपको इतना भी ज्यादा दिमाग नहीं लगाना है ये डायरेक्टली याद रखना है कि अगर ये एंगल होता है पाई तो बीच वाला आता है और अगर एंगल होता है जीरो तो आउटसाइड z1 ज2 आता है ये चमक गया होगा मेरे ख्याल से अब अगले वाले केस प बढ़ते है टाइप टू है ना सेकंड जिसमें थीटा का वैल्यू या तो पाई बाट है या फिर - पाई बाट है तो अगर थीटा का वैल्यू पाई बाट या - पा बाट है तो उस केस में आपका जो लोकस आएगा वो सेमी सर्कल आएगा मतलब मान लो ये z1 है और मान लो कि ये z2 है ठीक है इन दोनों को जॉइन करो और बेसिकली z इस तरह से लाई कर रहा है मान लो z यहां प कहीं प है वो भटकती आत्मा है अब अपने को यही फाइंड आउट करना है कि यह कैसे भटके तो यह सेमी सर्कल में भटके ऐसा क्यों सर ऐसा इसीलिए क्योंकि दोनों के बीच में एंगल 90 डिग्री तभी आएगा ना सेमी सर्कल में ही तो आएगा ये z - z1 है ये z - z2 है और दोनों के बीच में जो एंगल है वो 90 डिग्री है तो अगर एंगल 90 डिग्री है तो ऊपर वाला सेमी सर्कल आएगा और अगर एंगल अगर एंगल -90 डिग्री है तो नीचे वाला ये आ जाएगा सेमी सर्कल ठीक है तो ऊपर वाला सेमी सर्कल आएगा फॉर ् 5/2 ये ऊपर वाला सेमी सर्किल आ जाएगा इफ थ = पा बा 2 और नीचे वाला सेमी सर्कल आ जाएगा इफ थ इ = - 5/2 चमक गया ना क्योंकि सेमी सर्कल में ही तो होता है सेमी सर्कल में ही तो होता है एंगल पा / 2 ठीक है तो दूसरे केस में क्या आएगा सेमी सर्कल विल बी द लोकस है ना इट विल बी ये सेमी सर्कल्स है ठीक है ये दोनों सेमी सर्कल्स है और z1 z2 विल बी डायमीटर z1 z2 आर नथिंग बट दे आर द एंड पॉइंट्स ऑफ डायमीटर्स तो आप लिख भी सकते हो यहां पे जो z1 और z2 है z1 और z2 जो है इसमें दे आर द एंड पॉइंट्स ऑफ डायमीटर अरे चमका एंड पॉइंट्स ऑफ डायमीटर दे आर द एंड पॉइंट ऑफ डायमीटर और दो वेक्टर के बीच में एंगल 90 डिग्री है तो अगेन ये ये रिप्रेजेंट करता है एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स और अगर थीटा का वैल्यू 0 पाई प् पा बाटू माइनस पा बाटू इन सब में से नहीं है मतलब अगर ऊपर वाले केसेस नहीं है अगर यह भी नहीं है यह भी नहीं है तो क्या रिप्रेजेंट करेगा तो उसमें आपका जो लोकस आएगा वो आएगा आर्क या तो मेजर आर्क आएगा ये माइनर आर्क आएगा वो डिपेंड करेगा कि थीटा का वैल्यू जो है वो एक्यूट है कि ऑब्यूज है देखो मतलब बेसिकली आप ऐसे समझो यहां पर z1 है आपके पास यहां पर z2 है आपके पास और जो थीटा का वैल्यू है वो मान लो कि एक्यूट एंगल है ठीक है लेटस अजूम ये जो थर्ड वाला केस है उसको समझो ठीक है ये थर्ड वाला केस चल रहा है तो थर्ड वाले केस में अगर एंगल आपका एक्यूट है है ना तो जड हम कहां पर ले सकते तो जड हम ले सकते मेजर आर्क प मतलब एक इस तरह का मेजर आर्क आएगा समथिंग लाइक दिस ओके और अगर थीटा का वैल्यू ऑब्टनर आर्क ये नीचे वाला ठीक है तो अगर थीटा का वैल्यू जो है इफ दैट इज ऑब्टनर आर ठीक है ये वाला जो एंगल है ये बेसिकली z है और z इज द वेरिएबल पॉइंट ये दोनों फिक्स पॉइंट है z1 z2 एकदम फिक्स है अब z का वैल्यू आप इस पूरे आर्क पे कहीं पे भी ले सकते हो ना ना अगर आप यहां पे लोगे तो भी एंगल तो उतना ही आएगा अरे सर्कल की प्रॉपर्टी होती है ना आप यहां पर ले लो तो भी एंगल तो उतना ही आएगा ये एंगल भी थीटा है ये एंगल भी थीटा है ये एंगल भी थीटा है तो एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स फिक्स है ना थीटा और सिमिलरली नीचे बट नीचे जो एंगल बनेगा है ना अगर आप नीचे पॉइंट लोगे तो नीचे जो एंगल बनेगा वो बेसिकली ऑट एंगल बनेगा वो बेसिकली क्या होगा 90 से बड़ा होगा ना ये एंगल थोड़ा बड़ा बनेगा तो बेसिकली वहां पे ऑब्स एंगल आएगा ऊपर एक्यूट एंगल आएगा अंडरस्टूड चमक गया कितने लोगों को चमक गया तो बस आप ये ध्यान रखो कि ये जो ये जो चीज है ये अलग-अलग लोकस रिप्रेजेंट कर सकती है अगर थीटा का वैल्यू जीरो या पाई है तो स्ट्रेट लाइन आएगा अब जीरो है तो बेसिकली बाहर वाला स्ट्रेट लाइन आएगा पाई है तो अंदर वाला स्ट्रेट लाइन आएगा इसमें सेमी सर्कल आएगा और इसमें मेजर और माइनर आर्क आएगा चमक गया यस ये पूरा सब कुछ एकदम क्लियर है क्या ये कौन-कौन से में कौन-कौन सा लोकस आता है अब क्वेश्चंस करते हैं चलो तो जैसे ये वाला क्वेश्चन आया था एकदम जेई मेन में बहुत चिंदी मतलब जिसको कह सकते हैं कि भाई क्वेश्चन हटा दो ठीक है यहां पर गिवन है कि यह पूरा एक डब्बा है वो रियल है तो अगर कोई भी 3 होगा ये पॉइंट या तो 5 0 है या -3 0 है तो मतलब इसका आर्गुमेंट क्या है इसका आर्गुमेंट आएगा या तो 0 या पाई रो या पाई आ सकता है ना बिकॉज इट इज रियल रियल मतलब यहां पे भी लाई कर सकता है यहां पे भी लाई कर सकता है ना ये पूरी रियल एक्सिस पे लाई कर सकता है मतलब बेसिकली आपको क्वेश्चन में गिवन है कि इट इज रियल अगर रियल है तो रियल एक्सिस पे लाई करेगा तो उसका आर्गुमेंट क्या आएगा या तो जीरो या पाई और अगर आर्गुमेंट जीरो या पाई होता है तो लोकस क्या होता है स्ट्रेट लाइन डी इज द आंसर ये बाकी सब फालतू फर्जी ऑप्शन है सर्कल थोड़ी ना होता है वन एलिमेंट थोड़ी ना होता है टू एलिमेंट थोड़ी ना होता है बहुत सारे एलिमेंट्स होते है ना आपकी ये पूरी लाइन आएगी इस पूरी लाइन के ऊपर कितने पॉइंट्स है बहुत सारे इनफा पॉइंट्स है और ये बाहर वाली लाइन के ऊपर भी कितने पॉइंट है इनफा पॉइंट है इनफा इनफा पॉइंट है एक दो पॉइंट की तो बात ही नहीं है ठीक है ना तो डी आंसर आ जाएगा एक दो पॉइंट वाला ऑप्शन वैसे ही फर्जी है सर्कल वाला तो आउट ऑफ द बॉक्स है ठीक है तो बस स्ट्रेट लाइन ही बचा तो ये तो देख के आपको आंसर टिक करना था अगला क्वेश्चन इस पे आ जाओ ये काफी अच्छा क्वेश्चन है जेई का क्वेश्चन नहीं है बट हां इससे आपका कांसेप्ट एकदम मस्त डेवलप हो जाएगा ठीक है इसको ट्राई करो देखो यहां पे सबसे खास बात यह है देखो इस क्वेश्चन की खास बात क्या है z1 को देखो z2 को देखो और z3 को देखो इन सबका मॉड्यूस निकालो इन सबका मॉड्यूस सेम है अगर आप मॉड्यूस निका लोगे ना देखो अ मॉड्यूस ऑफ z1 मॉड्यूस ऑफ जव आएगा अंडर रूट ऑफ 2 का स्क्वायर और 3 का स्क्वायर यही आएगा तो ये बेसिकली आ गया रूट ऑफ 1 फाइन यस और दूसरे वाले का भी कितना आएगा दूसरे वाले का भी यही आएगा z2 का मॉड्यूस निकालो अंडर रूट ऑफ 3 का स्क्वायर और ू का स्क्वायर तो ये भी आ रहा है रूट 1 ठीक है तीसरे वाले का मॉड्यूस निकालो तो वो भी कितना आ रहा है वो भी आ रहा है अंडर रूट ऑफव का स्क्वायर और 2 √3 का स्क्वा तो अल्टीमेटली ये भी आ रहा है √ 13 तो क्या सबका मॉड्यूस सेम है अगर सबका मॉड्यूस सेम है तो ये तीनों के तीनों पॉइंट्स सर्कल पे लाई करेंगे क्योंकि डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन सेम है अगर डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन सेम है तो बेसिकली एक √13 रेडियस का सर्कल बनेगा ऐसा एक सर्कल बनेगा ठीक है इसका जो रेडियस है वो √13 है खैर रेडियस की आपको जरूरत नहीं है ये जो पहला वाला पॉइंट है वो है 23 मतलब फर्स्ट क्वाड्रेंट में कहीं ना कहीं होगा है ना ये फर्स्ट क्वाड्रेंट में है ये कौन से क्वाड्रेंट में है इसमें एक्स पॉजिटिव है वा नेगेटिव है अगर एक्स पॉजिटिव है और वा नेगेटिव है तो ये यहां पर कहीं प होगा z2 और z3 जो है वो थर्ड क्वाड्रेंट में है तो z3 यहां प कहीं प बट क्या तीनों के तीनों सर्कल पर लाई करेंगे यह आपको क्लियर हो रहा है सर्कल पर इसलिए लाई करेंगे क्योंकि डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन सेम है ना डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन और डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन सेम है रूट 13 √13 और √13 तो डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन ही तो होता है मॉड्यूस ऑफ जड मॉड्यूस ऑफ जड होता है डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन अब आप ऑप्शंस चेक करो तो ये क्या रिप्रेजेंट करता है इसको अगर आप ध्यान से देखोगे ना तो ये ये सेम है देखो आप पहले तो इसको ऑप्शंस को ध्यान से देख लो ये ये ये और ये सब सेम है z3 बा ज2 z3 बा ज2 हर जगह और z3 बा z2 का मतलब ये होता है मतलब बेसिकली ये लिखा हुआ है आर्गुमेंट ऑफ z3 और ज2 माइन 0 मतलब य पर कौन कन से दो वेक्टर है दिस विल लवेज रिप्रेजेंट एंगल बिटवीन टू वेक्टर अरे यह तो अपनी पहली बात हो गई ना यह क्या रिप्रेजेंट करेगा यह रिप्रेजेंट करेगा एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स तो एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स को तो रिप्रेजेंट कर रहे अगर आप ध्यान से देखोगे तो यह पहला वेक्टर है z3 माइन 0 z3 माइन 0 मतलब ओरिजिन के साथ जॉइन कर लो तो ये वेक्टर है पहला वेक्टर ठीक दिस इ द फर्स्ट वेक्टर z3 माइ 0 और दूसरा वेक्टर है z2 - 0 z2 - 0 मतलब ये तो बेसिकली ये वाला एंगल है ना ये क्या रिप्रेजेंट करता है ये रिप्रेजेंट करता है दिस एंगल एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स समझ गए ये रिप्रेजेंट करता है एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स तो अब आप देखो कि कौन सा ऑप्शन सही होना चाहिए अब इसको अगर आप जॉइन करोगे z1 के साथ अगर आप इसको जॉइन करोगे z1 के साथ तो वो एंगल कितना आना चाहिए तो ये जो एंगल आना चाहिए थ बा 2 आना चाहिए ना हाफ आना चाहिए यस और नो ये एंगल आना चाहिए थ / 2 और ये एंगल कौन सा है ये वाला ऑप्शन आएगा ना मतलब बेसिकली चलो पहले तो आप इसको एनालाइज करो ये जो है इसको आप एनालाइज करो क्योंकि ये भी हर जगह सेम है देखो हर जगह वही वाला लिखा हुआ है ठीक है तो आप इसको एनालाइज करो ये है z3 - z1 z3 - z1 मतलब ये वेक्टर दिस वेक्टर इज z3 - z1 है ना z3 और z1 को जॉइन कर दो बस और z2 - z1 मतलब इन दोनों को जॉइन कर दो तो ये जो एंगल है ये क्या रिप्रेजेंट करता है दिस रिप्रेजेंट्स एक काम करो नामकरण कर दो आप नामकरण कर देंगे तो ये पॉइंट है मान लो a ये पॉइंट है b और ये पॉइंट है c और ये पॉइंट है o ओरिजिन ठीक है तो ये रिप्रेजेंट करता है एंगल एब एंगल एब और ये रिप्रेजेंट करता है क्या ये रिप्रेजेंट करता है एंगल एओ अब आप देख लो कि रिलेशन क्या है दोनों में जो एंगल एओ है वो डबल होना चाहिए तो एंगल aoba's एओ और ए ब इक्वल नहीं होंगे यह तो गलत है अच्छा दूसरा ऑप्शन भी आप चेक कर लो ये है z3 और z2 के बीच में एंगल तो z3 और z2 के बीच में एंगल सो दैट इज एंगल एओ और ये क्या रिप्रेजेंट करता है ये रिप्रेजेंट करता है z2 और z1 के बीच में एंगल तो z2 ये है और z1 ऐसा आएगा इसको आप जॉइन करोगे तो ये वाला एंगल आएगा मतलब बेसिकली तो वो दोनों एंगल भी इक्वल नहीं है ना अगर आप देखोगे तो एंगल b और a दोनों इक्वल है क्या एंगल बी और एओ भी इक्वल नहीं है ओबवियस सी बात है है ना दे आर आल्सो नॉट इक्वल आपको एकदम सब कुछ समझ में आ रहा और एंगल हाफ भी नहीं है ये एंगल है एओ और ये एंगल है ए बी तो एओ इज हाफ ऑफ ए बी यह भी गलत है है ना तो यह गलत है यह गलत है यह गलत है इसका बस एक ही आंसर करेक्ट है च इ ऑप्शन सी अरे चमका यह काफी खतरनाक नहीं है अभी कितने लोगों को मतलब समझ में आ रहा है इससे पहले कॉप्लेक्स नंबर जिनको नहीं आता था अब उनको आ रहा है कि नहीं एक बार चैट में बताओ यस एकदम आपसे खुद से इस तरह के क्वेश्चन आपको चमक रहे हैं कि नहीं ये काफी एडवांस एग्जांपल है है ना ऐसा तो जेई में भी नहीं आया हुआ है ठीक है ये तो जेई में भी नहीं है यस काफी अच्छा है ये एग्जांपल यस मजा आ रहा है ओके चलो और आगे बढ़ते हैं अगर आपको मजा आ रहा है तो एक जिंदी सा जेई वाला क्वेश्चन करके दिखा दो यहां पे कुछ कुछ कुछ लिखा हुआ है यहां पर जो लिखा हुआ है वो मैं लिख देता हूं आर्गुमेंट ऑफ z -1 अपन ज प्व तो प्व को आप लिख दो माइनस ऑफ -1 तो ये अपना स्टैंडर्ड फॉर्म आ गया ना तो ये अपना स्टैंडर्ड फॉर्म दिख गया z - z1 और z - ज2 तो ये क्या रिप्रेजेंट करेगा एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स और एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स आपको गिवन है 5/4 अगर एंगल बिटवीन टू वेक्टर्स 5/4 है तो ये क्या रिप्रेजेंट करेगा मतलब जो एंगल है वो जी नहीं है पाई नहीं है पाई बाटू नहीं है माइनस पाई बाटू भी नहीं है तो ये क्या आएगा आर्क आएगा है ना एक सर्कल का ही आर्क आएगा तो वो जो सर्कल है उसका सेंटर और रेडियस बताना है आपको सिंपल सा क्वेश्चन तो कौन-कौन से कॉम्लेक्स नंबर है यहां पर z1 जो है वो वन है और z2 जो है वो माइव है ठीक है तो हमारा जो z1 ज2 है वो है वन और मानव तो z1 जो है वो एक्चुअली है व 0 अरे वन का क्या मतलब वन का मतलब 0 और दूसरा जो z2 वो एक्चुअली आपका है -1 0 -1 0 और z को आपको इस तरह से लेना है है ना z एक भटकती आत्मा है तो z को इस तरह से लेना है ताकि ये जो एंगल आ जाए वो एंगल कितना आ जाए वो एंगल पाई बा फ आ जाए अब एंगल पाई बा फ तभी आएगा जब आप इसको एक मेजर आर्क प लोगे ऐसा कुछ एक मेजर आर्क टाइप का बनेगा ठीक है एगजैक्टली तो नहीं बट हां आप ऐसा कुछ डायग्राम बना लो ये चमका कि नहीं ऐसा कुछ डायग्राम बनेगा है ना सर्कल अगर आपको पूरा ही कंप्लीट करना है तो आप ऐसे पूरा सर्कल कंप्लीट कर सकते हो यस अब ये -1 0 है ये 1 जीरो है सेंटर हम मान लेते हैं कि यहां पर कहीं प आएगा लेटस अजूम की सेंटर यहां पर कहीं प आएगा ये एंगल कितना गिवन है आपको ये एंगल आपको गिवन है पा बा 4 भाई अल्टीमेटली ये एक वेक्टर है ना यह वाला वेक्टर है z प्व और ये वेक्टर है z-1 और दोनों वेक्टर के बीच में एंगल पा बा फ है तो ये एंगल आपको पाई बा फ गिवन है और सेंटर मान लेते यहां पर कहीं पर है तो सेंटर अपने को निकालना है मतलब जो भी सेंटर होगा ट वी वांट टू फाइंड आउट अच्छा तो पहली बात तो आपको यह दिख रही है कि सेंटर थोड़ा ऊपर ही आएगा अगर सेंटर थोड़ा ऊपर ही आएगा तो मतलब बेसिकली कौन सा पॉइंट है जो ऊपर है अब देख लो एक ही ऑप्शन है ठीक है तो वैसे ही मतलब आपका आंसर आ जाएगा बट अगर वैसा नहीं करना चाहते हो तो फिर भी एक आप इसका प्रॉपर मेथड भी देख लो इसका प्रॉपर मेथड यह है कि अगर मैं इसको जॉइन कर दूंगा तो ये एंगल कितना आएगा यह एंगल पा बा 4 है ना 45 है तो यह पूरा एंगल कितना होगा यहां से लेके यहां तक यह पूरा एंगल होगा पाई बाट डबल होता है ना अगर वो 45 है तो सेंटर पर कितना होता है तो 45 का डबल 90 होता है और अगर यह 90 है तो 90 का आधा कर दो तो यह एंगल कितना होगा तो यह एंगल 45 डिग्री होगा फिर से और अगर यह 45 डिग्री है यह लेंथ है वन ठीक है ये राइट एंगल ट्रायंगल आपको दिख रहा है छोटा सा ये छोटा सा एक राइट एंगल ट्रायंगल आपको दिख रहा होगा ये लेंथ है वन तो ये जो ट्रायंगल है उसमें ये वाली लेंथ भी वन ही आएगी और अगर ये लेंथ वन आएगी तो ये पॉइंट कितना आ गया तो ये पॉइंट आ गया 01 बस सेंटर आ गया और सेंटर आ गया तो रेडियस भी आ गया ना रेडियस आपका यहां से आएगा दिस इज रेडियस अगर ये वन है ये 45 डिग्री है ना तो 45 डिग्री है तो 1 1 दोनों सेम होंगे और 1 1 तो ये आ जाएगा √2 तो रेडियस आपका होगा √2 तो 0 1 इज द सेंटर एंड रेडियस इज तो ऑप्शन बडी आएगा इसका फाइनल आंसर अरे चमक गया यस तो बस आपको यह इक्वेशन पढ़नी आनी चाहिए अगर आपको यह पढ़नी आती है ना कि भाई इसका मतलब क्या है अगर आपको यह पढ़ना आता है तो बेसिकली आपका क्वेश्चन हो जाएगा सिंपल एज दैट ठीक है तो ज्योमेट्री ऑफ कॉम्प्लेक्शन ऑफ स्ट्रेट लाइन की स्ट्रेट लाइन में किस तरह के क्वेश्चन बन सकते हैं तो स्ट्रेट लाइन की इक्वेशंस के लिए तो मैं आपको डायरेक्टली एक शॉर्टकट बता देता हूं वो शॉर्टकट को आप ध्यान में रखना जो जो z होता है ना वो होता है सेम टू सेम एज y मतलब जो आप कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में पढ़ते हो y का इक्विवेलेंट होता है z है ना और x का इक्विवेलेंट होता है z बार आप ऐसे याद रख लो मतलब ये एक याद करने के लिए एक अच्छा सा शॉर्टकट है ये शॉर्टकट को हम यूज कैसे करेंगे तो देखो ऐसे यूज करेंगे z होता है y और z बार होता है x ठीक है z इज y z बार इज x अब जो जनरल इक्वेशन ऑफ स्ट्रेट लाइन हमने पढ़ी थी कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में वो ऐसे ही होते है ना a एक प् बीवा प् c = 0 ये तो कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री की जनरल इक्वेशन है तो अब इसका एक कॉम्प्लेक्टेड लाइन की इक्वेशन गिवन है और मुझे स्लोप निकालना है इसका स्लोप क्या होता था बताओ इसका स्लोप होता था माइनस को एफिशिएंट ऑफ एक्स है ना तो को एफिशिएंट ऑफ एकस डिवाइडेड बाय को एफिशिएंट ऑफ वा और हमने अभी अभी पढ़ा कि यहां पर याद करने का तरीका क्या है याद करने का तरीका ये कि जड बार जो है वो एक के बराबर होता है तो ये जो ज ब है दैट इज इक्विवेलेंट टू एक्स एंड दिस इज इक्विवेलेंट टू वा तो कॉम्प्लेक्शन ऑफ एक्स तो माइनस और को एफिशिएंट ऑफ एक्स तो ये आ जाएगा ना समझ ग ना माइनस को एफिशिएंट ऑफ एक्स अपॉन को एफिशिएंट ऑफ वा अरे चमका कि नहीं को एफिशिएंट ऑफ y तो को एफिशिएंट ऑफ एक् कितना है a और अपॉन वा का को कितना ए बार तो ये कॉम्प्लेक्टेड लाइन तो स्ट्रेट लाइन का जो जनरल फॉर्मेट होता है वो ये होता है यह आप ध्यान में रखना जनरल फॉर्मेट जनरल इक्वेशन ऑफ स्ट्रेट लाइन इ ए बार जड प्स एड बार और प्लस बी इ 0 यहां पर बी आपका रियल होना चाहिए यह खतरनाक सबसे ज्यादा इंपॉर्टेंट यही है अगर बी रियल नहीं है तो उसको रियल बनाओ अभी हम क्वेश्चन भी करेंगे कि बी को रियल हम कैसे बना सकते हैं ठीक है बट बी होना चाहिए अगर बी रियल नहीं है तो बी को रियल बनाओ फाइन कैसे बनाएंगे अभी देखेंगे अच्छा उससे पहले आप देख लो कि अगर दो स्ट्रेट लाइन है जो पैरेलल है तो यह तो हम कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में भी पढ़ते हैं ना कि अगर दो स्ट्रेट लाइन पैरेलल है तो उनका स्लोप सेम होता है और अगर दो स्ट्रेट लाइन परपेंडिकुलर है तो m1 m2 -1 होता है लेकिन यहां पर m1 m2 -1 नहीं होता है और यहां पर जो ये ओमेगा वो वाला ओमेगा नहीं है ये क्यूब रूट ऑफ यूनिटी वाला ओमेगा नहीं है यह अलग ओमेगा है ठीक है ये अलग ओमेगा है इसका वैल्यू वो नहीं है जो तुम समझ रहे हो ये ओमेगा बस एक रिप्रेजेंटेशन है आप इसको डब् बोल दो ये यहां पे भी वैलिड है बट अगर दो लाइन परपेंडिकुलर है तो सम ऑफ द स्लोप जीरो होता है यहां पर m1 m2 -1 नहीं होता है कॉम्प्लेक्शन स्लोप विल बी सेम एंड इफ टू लाइंस आर परपेंडिकुलर देन सम ऑफ द स्लोप विल बी इक्वल टू जीरो तो ये एक तो आप याद रखो ठीक है अच्छा एक और चीज इसमें हम पढ़ते हैं जैसे अगर कोई भी एक पॉइंट आपको गिवन और एक लाइन इस तरह के क्वेश्चन हमने कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री में भी करे थे एक पॉइंट गिवन है और एक लाइन गिवन है तो इसके इसकी इमेज आप निकालो तो यह जो इमेज है इसका जो रिफ्लेक्शन है रिफ्लेक्शन मतलब इमेज तो अपने को इमेज निकालना है अब ये जो इमेज वाले क्वेश्चन है ना उसका एक तो लेंथी मेथड होता है तो हम यहां पर लेंथी मेथड डिस्कस ही नहीं करेंगे मैं डायरेक्टली आपको शॉर्टकट ही बता रहा हूं ठीक है ये z1 आपको गिवन होगा ये स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन आपको दे देंगे स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन गिवन है मतलब ये सब आपको पता है b का वैल्यू पता है ये a का वैल्यू पता है a बार का वैल्यू पता है z तो वेरिएबल है खैर ठीक है तो ये स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन आपको गिवन होगी ये आपको गिवन होगा आपको इमेज निकालना है तो मान लेते हैं कि इस पॉइंट का जो इमेज है वो है z2 और z2 का वैल्यू मुझे निकालना है तो इसका शॉर्टकट मेथड क्या होता है इसका शॉर्टकट मेथड यह होता है कि जो भी आपको स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन गिवन है ना उसको आप लिख दो जो भी आपको स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन गिवन है उसको आप एज इट इज लिख दो यहां पर जो भी गिवन है हमने कॉपी पेस्ट कर दिया और जो z है ना ये जो z है उसके नीचे आप लगा दो टू और z बार के नीचे लगा दो वन तो बस यही आपका शॉर्टकट फार्मूला बन गया इसको यूज करके आप बस z2 निका लो क्योंकि यही अननोन है बाकी सब कुछ आपको गिवन है ये क्वेश्चन में गिवन है ये क्वेश्चन में गिवन है ये z1 आपको क्वेश्चन में गिवन है और ये भी आपको क्वेश्चन में गिवन है ये सब कुछ गिवन है ओके तो गिवन गिवन गिवन गिवन और z2 निकाल लो बस तो ये इस तरह से आप याद रखो है ना स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन लिखो z के नीचे टू लगा दो और z बार जो है उसके नीचे वन लगा दो एक आधा क्वेश्चन मैं आपको करके दिखाता हूं जैसे फॉर एग्जांपल ये क्वेश्चन है ठीक है यहां पे आपको एक पॉइंट गिवन है और ये जो पॉइंट गिवन है वो है 1 माइ आयो ठीक है तो ये z1 है और आपको यहां पे इमेज निकालना है क्यों ये स्ट्रेट लाइन है तो स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन भी आपको गिवन है यहां पे ऑलरेडी अच्छा लेकिन एक चीज हो गई यहां पे एक चीज ये हो गई कि जो स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन गिवन है उसमें टू आयो है मतलब यहां पर जो स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन गिवन है उसमें बी का वैल्यू रियल नहीं है तो पहले आपको रियल बनाना पड़ेगा अब रियल कैसे बनाए तो आप पूरी इक्वेशन को आयो से मल्टीप्लाई कर दो वो रियल तभी बनेगा ना जब आप आयो से मल्टीप्लाई कर दोगे तो पूरी इक्वेशन को आयो से मल्टीप्लाई कर दो इस पूरी इक्वेशन को तो पहले तो स्टैंडर्ड फॉर्म में कन्वर्ट करना पड़ेगा जो स्ट्रेट लाइन है उसको आयो से मल्टीप्लाई कर दो तो आयो प्स आयो स्क्वा इन ज माइनस यहां पे आ जाएगा आयो - आयो स् * z ब और यहां पे आ जाएगा 2 आयो स् पूरी इक्वेशन को आयो से मल्टीप्लाई कर दिया अब यह आ गया आयो - 1 * z यहां पे आ जाएगा आयो + 1 * z ब और -2 आ गया ना दिस इज इक्वल ट 0 अब यह स्टैंडर्ड फॉर्म में आ गई अब यह जो स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन है अब वह स्टैंडर्ड फॉर्म में है मतलब अब b का वैल्यू रियल है अगर b का वैल्यू रियल है तो चलेगा कोई दिक्कत नहीं है अब आपको ये निकालना है आपको रिफ्लेक्शन निकालना है ठीक है आपको रिफ्लेक्शन निकालना है तो ये बेसिकली स्ट्रेट लाइन की इक्वेशन आपको गिवन है और p का इमेज निकालना ये z2 मान लेते हैं तो ये कैसे निकालेंगे इसको निकालने के लिए मैंने आपको समझाया इधर टू लगा दो इधर वन लगा दो और वैल्यू पुट कर दो बस तो z1 ये है बेसिकली है ना दिस इ z1 अपने को z1 जो है वो क्वेश्चन में गिवन है 1 माइनस आयो तो ये सब्सीट्यूट कर दो बस आप इसमें तो अब कैलकुलेशन आपको करना है आयो माइव इन ज माइनस यहां पर आ जाएगा आयो प्व और z1 बार तो z1 का बार z1 का बार आ जाएगा 1 प्स आयो ठीक है इसका बार और -2 इक्व 0 बस अब यहां से इसको सिंपलीफाई कर लो और z2 निकालो बस तो z2 निकालेंगे तो कितना आएगा इक्वल टू कर दो और इसको उधर भेज दो तो यहां पर आयो प्व का स्क्वा प् 2 अल्टीमेटली यहां से आपको निकालना है z2 और ये बन जाएगा आयो स्क्वा प् आयो प्व प्लसटू और नीचे आ जाएगा ये आयो माइव ठीक है अब इसको आप सिंपलीफाई कर लो तो यह कैंसिल हो रहा है अल्टीमेटली आपके पास आ गया 2 इन आयो प्व अपॉन आयो माइव इसको और थोड़ा सिंपलीफाई कर लो मतलब स्टैंडर्ड फॉर्म में लेके आ जाओ तो स्टैंडर्ड फॉर्म में लाने के लिए आप कंजुल पलाई डिवाइड कर दोगे ना तो यहां पर आ जाएगा आयो प्व और यहां पर स्क्वायर हो जाएगा ठीक है इसको सिंपलीफाई करो इसको सिंपलीफाई करें तो आयो स्क्वा माइव तो बेसिकली वो आ जाएगा कितना माइनस आयो आ रहा है क्या पूरा सॉल्व करके पूरा सॉल्व करने के बाद दिख गया ना माइट आयो आएगा तो अल्टीमेटली माइट आयो इज द इमेज मतलब यहां पर जो इमेज है इस पॉइंट का और यह पॉइंट है बाय द वेव माइव तोव माइव का इमेज आ जाएगा माइट आयो मतलब 0 माइन ये इमेज आ गया समझ गए इमेज कैसे निकालते तो डायरेक्टली शॉर्टकट है और वन तो टू और वन लगा दो बस ये डायरेक्टली आपका इमेज आएगा तो यह मेथड आप यूज किया करो ठीक है दिस इज द बेस्ट मेथड टू फाइंड आउट इमेज इसके अलावा लेंथी मेथड भी है बट वो हम अभी इतना टाइम नहीं है ठीक है इतना टाइम नहीं है कि हम सारी चीजें डिस्कस करें चलो आगे बढ़ते हैं परपेंडिकुलर डिस्टेंस भी आप निकाल सकते हो सिमिलरली अगर आपको एक पॉइंट गिवन है और एक स्ट्रेट लाइन गिवन है तो यू कैन फाइंड आउट दिस परपेंडिकुलर डिस्टेंस जैसे स्ट्रेट लाइन में करते थे ना तो स्ट्रेट लाइन में कैसे करते थे ये जो पॉइंट है उसको लाइन की इक्वेशन में पुट करते थे तो यहां पे भी आपको ऐसा ही करना है बस जहां जहां पे z है उसकी जगह z1 आ जाएगा तो पॉइंट को पुट कर दिया और नीचे आ जाएगा टू टाइम्स मॉड्यूस ऑफ a ए इज दिस कॉम्प्लेक्टेड ले लो किसी भी एक का मॉड्यूस ले लो एक ही बात है है ना आप यहां पर लिखो मैग्निटिया मैग्निटिया उसके बाद ही यह सारे फार्मूला लगेंगे है ना जो हमने यह डिस्कशन किया था इसमें भी देखो सबसे पहले -2 बनाया -2 बनाने के बाद हमने शॉर्टकट लगाया यहां पर भी अगर आप डायरेक्टली फॉर्मूला यूज करोगे तो बी आपका रियल होना चाहिए अगर बी रियल नहीं है तो पहले बनाओ फिर आप पॉइंट को पुट करके नीचे जो भी करना है फॉर्मूला लगाना है वो लगाओ बट स्टैंडर्ड फॉर्म में होना चाहिए इसको नोट कर लो इक्वेशन ऑफ स्ट्रेट लाइन शुड बी इन द स्टैंडर्ड फॉर्म ओके चलो अब जेई वाला क्वेश्चन कर लेते हैं एक आधा ये वाला क्वेश्चन ट्राई करो इसमें आपको बोला है z = x+ आवा इज अ नॉन जीरो कॉम्प्लेक्शन तो ये क्वेश्चन तो बहुत ही चिंदी है देखो इसमें आप क्या कर सकते हो पहले तो प्रॉपर्टी यूज कर लो z का स्क्वायर मतलब z * z और आयो और ये इसको हम लिख सकते हैं z * z बार ठीक है तो ये z ज तो कैंसिल हो जाएगा तो बेसिकली ये वाला जो z है ये x प् आवा और यहां पर आपके पास है z बार z बार होता है x - आवा तो बस यहां से आपके पास क्या आ गया x प् आवा और यहां से आपके पास क्या आ जाएगा इसका जो रियल पार्ट होगा वो कितना बनेगा ये आ जाएगा माइनस आयो स्क्वायर y ना और माइनस आयो स्क्वायर होता है वन तो y आएगा केवल और यह वाला टर्म आ जाएगा प्लस आयो x बस अब कंपेयर कर लो रियल पार्ट इक्वल टू रियल पार्ट और इमेजिनरी पार्ट इक्वल टू इमेजिनरी पार्ट तो क्या दिख रहा है लोकस लोकस आएगा x = y ठीक है तो x = ू y सो दिस इज द आंसर ऑप्शन सी इज द आंसर y = x अरे चमक गया सिंपल यस ये कितने लोगों को समझ में आया इसमें लोकस आपका आ जाएगा x = y सिंपल एज दैट है ना तो बस आप x z को x+ आवा पुट करके भी लोकस निकाल सकते हो सारे क्वेश्चंस में मतलब जो चिंदी वाले होते हैं उसमें तो खास करके निकाल ही सकते हो ठीक है यस और आगे बढ़ते हैं अब हम बात करते हैं डिफरेंट फॉर्म्स ऑफ इक्वेशन ऑफ सर्कल तो सर्कल की इक्वेशन भी हम अलग-अलग फॉर्मेट में लिख सकते हैं जैसे आपने मतलब पहले हमने पढ़ा स्ट्रेट लाइंस ठीक है अब ये आ रहा है सर्कल्स फिर आएगा बाकी के कोनिक्स समझ रहे हो तो मतलब सब कुछ हम देख रहे हैं कॉम्प्लेक्शन अच्छा ये सर्कल की इक्वेशन होती है ये तो सबको पता ही है मड z = r तो दिस विल रिप्रेजेंट अ सर्कल जिसका सेंटर है 0 0 और और रेडियस कितना है इसका रेडियस है r ये क्या रिप्रेजेंट करेगा ये भी रिप्रेजेंट करेगा एक सर्कल जिसका सेंटर है z नॉ ठीक है जिसका सेंटर ये है दिस इज द सेंटर एंड दिस इज द रेडियस और रेडियस कितना है इसका रेडियस है r और ये भी सर्कल की इक्वेशन है और ये वाली जो सर्कल की इक्वेशन है ये वैसी ही है जैसे जैसे z ज बार क्या होगा z ज बार होगा मोड z का स्क्वायर और मोड z का स्क्वायर मतलब ये आएगा x स् + y स् तो x स् प्वा स् प् 2g एक प् 2f प् सी याद आ रहा आपको जनरल इक्वेशन ऑफ सर्कल x स् प्वा स् प् 2g एक प् 2f प् स इ 0 ये जनरल इक्वेशन होती है ना इसका सेंटर क्या होता है इसका सेंटर होता है माइज माइन ए इसका रेडियस क्या होता है इसका रेडियस होता है अंडर रूट g स्क प् f स् माइन सी सिमिलर इक्वेशन यहां पर कॉम्प्लेक्शन य यह सिमिलर इक्वेशन है कॉम्लेक्स नंबर में तो इसका सेंटर क्या आएगा यह जो सर्कल है इसका सेंटर आपका आएगा माइनस ए और ए इज जैसे यहां पर होता है - जी - f ना बस उसी को आप ऐसे लिख दोगे ना - g प्स आयो इन माइ f तो उसमें दोनों पार्ट होंगे ना वो जो माइ ए और ए एक कॉम्प्लेन है तो उसमें रियल पार्ट भी होगा इमेजिनरी पार्ट भी होगा दोनों कोऑर्डिनेट्स होंगे तो एक ही में दोनों कोऑर्डिनेट्स आ गए यह सेंटर है पूरा और रेडियस इसका अगर आप रेडियस निकालना चाहते हो तो वो होता है अंडर रूट ऑफ जैसे यहां पर होता है g स् प् f स् तो यहां पर क्या आ जाएगा मैग्नी ऑफ a का स्क्वायर आ जाएगा और माइनस ब है ना यहां पे c होता है जो कांस्टेंट टर्म है यहां पर हमारा कांस्टेंट टर्म बी है तो बस माइनस बी आ जाएगा तो ये फार्मूला बन गया रेडियस का मतलब सिमिलर है आप देखो दोनों सिमिलर है यह सेंटर और यह रेडियस एक एग्जैक्ट वैसा ही जैसा हम सर्कल्स में पढ़ते हैं तो यह दोनों भी आप यहां पर डायरेक्टली याद रखो कि अगर ऐसा कोई सर्कल गिवन है तो उसका सेंटर आएगा - ए और रेडियस आएगा ये जो भी है ठीक है दैट फार्मूला जैसे फॉर एग्जांपल मान लो यहां पे ऐसा कुछ कुछ लिखा हुआ है ये किसकी इक्वेशन लिखी हुई है सबसे पहले तो आप आइडेंटिफिकेशन है तो सबसे पहले तो आप इसको स्टैंडर्ड फॉर्म में रिप्रेजेंट करो तो स्टैंडर्ड फॉर्म आएगा z जड बार ये माइनस को अंदर ले जाओ माइनस को अंदर ले जाएंगे तो -3 प् 4 आयो इन z और इस माइनस को भी अंदर ले जाओ माइनस को अंदर लेके जाओगे गए तो ये आ जाएगा ना माइनस आएगा -3 -4 ठीक है -3 -4 आयो * z बार और + 9 = 0 अब इसको अब अब ये स्टैंडर्ड फॉर्म में है स्टैंडर्ड फॉर्म में करने के लिए इधर प्लस आना चाहिए इधर भी प्लस इधर भी प्लस दोनों में प्लस प्लस अब आप कंपेयर कर लो है ना अब आप कंपेयर कर लोगे इसके साथ z ज बार और प्लस यहां पे होता है a बार * z यहां पे होता है a * z बार और प्लस ब इ 0 यही तो है ना स्टैंडर्ड फॉम आपको दिख गया होगा मेरे खल से वैल्यू ए का वैल्यू कितना है ए का वैल्यू ये है ए बार का वैल्यू यह है और बी का वैल्यू यह है दिख गया सबको तो बेसिकली ए का वैल्यू क्या है ए का वैल्यू है -3 माइ 4 आयो और सेंटर क्या होता है सेंटर ऑफ द सर्कल होता है माइनस ए तो माइनस ए कितना आ जाएगा माइनस ए आ जाएगा 3 प् 4 मतलब बेसिकली जो सर्कल का सेंटर है वो है 3 4 अरे चमका 3 4 आ जाएगा - ए और रेडियस अगर आप रेडियस निकालो तो रेडियस होता है अंडर रूट ऑफ मैग्निटिया ये ये कितना आ जाएगा ये फोर आ जाएगा ठीक है 25 माइन 9 16 16 का रूट तो 16 का रूट कितना हो जाएगा फोर हो जाएगा अरे चमका कि नहीं तो अगर कोई सर्कल गिवन है तो सेंटर और रेडियस निकाल लोगे ठीक है अगर इतना भयंकर सा सर्कल गिवन है अगर भयंकर सा सर्कल गिवन है तो बस थोड़ा आराम आराम से निकाल लेना और इसी पर बेस्ड एक क्वेश्चन आया था जेई मेन 2021 में बस आपको सेंटर और रेडियस निकालना था सेंटर भी नहीं खाली रेडियस ठीक है तो ये बली क्वेश्चन में आपको इस तरह की इक्वेशन गिवन है और यह रिप्रेजेंट करता है सर्कल को और बाकी सब य एडी सब रियल कांस्टेंट है देन च ऑफ द फॉलोइंग कंडीशन इ करेक्ट ठीक है तो बेसिकली एक सर्कल की इक्वेशन आपको क्वेश्चन में गिवन है और वो जो सर्कल की इक्वेशन गिवन है उसम कोट है ए यहां पर अल्फा है मतलब बेसिकली अच्छा यहां पर थोड़ा गड़बड़ है इसको आप कर लो अल्फा बार आएगा य पर और य पर ज बार मतलब बेसिकली ये गिवन है आपको क्वेश्चन में ए मोड ज का स्क्वा प् अल्फा बार ज प् अल्फ ज बार और प्स d ठीक है प् d = 0 तो सबसे पहले तो आप क्या करोगे इसको स्टैंडर्ड फॉर्म में कन्वर्ट करना पड़ेगा ना और स्टैंडर्ड फॉर्म में कन्वर्ट करने के लिए a से डिवाइड कर दो तो a से डिवाइड कर दो पहले तो तो a से डिवाइड करोगे तभी तो ये आएगा डिवाइडेड बाय a आ जाएगा यहां पे आ जाएगा अल्फा / a * z बार और यहां पे आ जाएगा d / a = 0 तो ये सर्कल की इक्वेशन आ गई और ये बेसिकली मोड जड का स्क्वायर होता है ज जड बार तो ये आपको स्टैंडर्ड फॉर्म दिख गया होगा ना स्टैंडर्ड फॉर्म कितने लोगों को दिख गया दिस इज नथिंग बट ज जड बार चमक गया होगा ठीक है तो अब बेसिकली इसका रेडियस निकालो अपने को क्वेश्चन में बोल रहा है कि ये सर्कल को रिप्रेजेंट करता है अगर सर्कल को रिप्रेजेंट करता है तो कुछ ना कुछ रियल रेडियस आना चाहिए तभी तो रियल सर्कल बनेगा तो रेडियस जो आना चाहिए रेडियस कितना होगा रेडियस रेडियस होगा अंडर रूट ऑफ अंडर रूट ऑफ यहां पर आ जाएगा अल्फा बाय ए का होल स्क्वायर ठीक है इसका मैग्निटिया ना मतलब बेसिकली यही वाला फार्मूला हमने यूज किया है ओके ये यहां से यहां पर जो भी आएगा उसका मैग्नी का स्क्वेयर और माइनस आपका कांस्टेंट टर्म तो यहां पर भी तो वही है तो अगर आप इसको सिंपलीफाई करोगे तो क्या आ गया अगर इसको सिंपलीफाई करेंगे तो यही आ रहा है ना मतलब बेसिकली यू विल गेट अल्फा का स्क्वायर - ए और नीचे आ जाएगा a स्क्वा अब ये जो क्वांटिटी है वो ग्रेटर दन जीरो होना चाहिए मतलब रूट के अंदर है ना अगर रूट के अंदर है तो वो ग्रेटर दन 0 होना चाहिए देन ओनली यू विल गेट अ रियल सर्कल और क्वेश्चन में वही बोला है कि दिस रिप्रेजेंट्स अ सर्कल सर्कल मतलब रियल सर्कल इट रिप्रेजेंट्स अ सर्कल अगर आपसे कोई बोलता है कि एक इक्वेशन है वो सर्कल रिप्रेजेंट करता है मतलब सर्कल होगा एक्चुअली इमेजिनरी सर्कल नहीं ठीक है तो ये रेडियस जो है उसकी कुछ ना कुछ वैल्यू आनी चाहिए ना मतलब रूट के अंदर जो क्वांटिटी है उसकी वैल्यू पॉजिटिव होनी चाहिए तो बस यही आपकी कंडीशन आ जाएगी ठीक है तो कौन सा ऑप्शन बनेगा य ग्रेटर देन जीरो तो इसमें भी है इसमें भी है बट यहां प a का वैल्यू जीरो नहीं हो सकता क्योंकि अगर a जीरो हो गया ना देखो अगर ए का वैल्यू जीरो हो गया तो प्रॉब्लम हो जाएगा ना फिर तो ये सर्कल रहेगा ही नहीं फिर तो ये स्ट्रेट लाइन बन जाएगा अरे चमका फिर फिर तो ये इक्वेशन आ जाएगी अगर ये इक्वेशन आ गई फिर तो वो स्ट्रेट लाइन है फिर तो वो सर्कल है ही नहीं तो a का वैल्यू जीरो नहीं हो सकता ठीक है तो सर्कल तभी होगा जब ऑप्शन बी ऑप्शन बी यहां पर ए का वैल्यू जीरो नहीं हो सकता अगर ए का वैल्यू जीरो हो गया तो बेसिकली आप ऐसे समझो ना कि जो x स्क और y स्क्वा है उसका को एफिशिएंट ही जीरो हो गया तो तो फिर केवल 2g एक प् 2f प् c आएगा ठीक है वो तो स्ट्रेट लाइन है चमक गया होगा ठीक है एक और क्वेश्चन करते हैं चलो ये वाला ट्राई करो यह कैसे करेंगे इसको एक बार बताओ यस इसके बाद लास्ट टॉपिक है क्या हां बस इसके बाद लास्ट टॉपिक य है ठीक है आफ्टर दिस लास्ट टॉपिक तो नहीं लास्ट सेकंड टॉपिक है ठीक है बट लास्ट वाला टॉपिक बहुत ही सिंपल है चच इज लॉग ऑफ कॉम्प्लेक्शन जिसके बहुत ज्यादा क्वेश्चन भी नहीं आते है तो लास्ट वाला टॉपिक तो सिंपल है बट आप यह ट्राई करो एक बार चलो ठीक है ठीक है यह वाला क्वेश्चन काफी अच्छा है मतलब यह आप समझ सकते हो कि यह जेई मेन का नहीं एडवांस का है काफी अच्छा क्वेश्चन है ठीक है इसमें देखो सबसे पहले तो क्या बोला है य य इक्वेशन अपने को गिवन है य क्या रिप्रेजेंट करेगा अगर आप ध्यान से देखो तो ये इक्वेशन है मोड ऑफ जड माइनस ज न और लेसन इ तो ये हमने पढ़ा था ना दिस इज इनसाइड द सर्कल इनसाइड या ऑन द सर्कल क्योंकि इक्वल टू भी है तो या तो इक्वल होगा या लेस होगा मतलब बेसिकली यह जो इक्वेशन आपको गिवन है वो रिप्रेजेंट करता है एक सर्कल जिसका सेंटर है टू और उसका रेडियस है वन ठीक है रेडियस वन है और इनसाइड द सर्कल मतलब बेसिकली आप डायग्राम बनाओगे तो एक सर्कल आएगा जिसका सेंटर है टू और उसका रेडियस है वन उसका जो रेडियस है है वो वन है ठीक है ये आ गया बेसिकली एक सर्कल है आपने डायग्राम बना लिया और आपका जो जड है वो इनसाइड द सर्कल है या ऑन द सर्कल है मतलब आप इसको शेड भी कर सकते हो ये पूरा ये इनसाइड द सर्कल या ऑन द सर्कल आपका जड लाई करेगा व्हाट इज द लोकस ऑफ जड लोकस ऑफ जड विल बी ऑन द सर्कल या फिर इनसाइड द सर्कल ठीक है ऑन द सर्कल और कर लो एंड तो नहीं आएगा है ना या तो ऑन होगा या इनसाइड होगा दोनों में से एक ही तो होगा दोनों थोड़ी ना होंगे ठीक है तो और या तो ऑन द सर्कल या फिर इनसाइड द सर्कल कहीं प भी हो सकता है अब आपको ये क्या कर यह वाली जो क्वांटिटी है इसको मैक्सिमाइज करना है अच्छा इसको आप ध्यान से देखो यह जो क्वांटिटी है 3 आयो जड और प् स इसको आप ध्यान से समझना ठीक है ये काफी अच्छा क्वेश्चन है इसमें से आप क्या करो थ्री आयो कॉमन ले लो थ्र आयो कॉमन ले लो ताकि वहां पर z बचे केवल तो 3 आयो कॉमन ले लेंगे तो बेसिकली यहां पर आ जाएगा z प् 6 अप 3 आयो ऐसा कुछ बन जाएगा और इसका मॉड्यूल है ठीक है यह ऐसा आ गया अब बेसिकली इसको अगर आप देखोगे तो यह एक बाय मडल ऑफ जड और इसको आप सिंपलीफाई कर लो सिंपलीफाई कर लेंगे तो 2 अपन आयो आ रहा है और 2 अपन आयो को हम क्या लिख सकते हैं इधर ऊपर नीचे आयो से मल्टीप्लाई कर लेना तो बेसिकली इसको हम लिख सकते हैं माइन आयो यह सही है ऐसा लिख सकते हैं यस यह चमका बेसिकली 6 अपन 3 तो होता ना 2 अपन आयो तो उसमें भी हमने थोड़ा रलाइज कर लिया तो यह आ गया अब इसका मॉड्यूस कितना होता है यह जो कॉम्लेक्स नंबर है ये है 0 प् 3 आयो ठीक है और आयो का मॉड्यूस तो वन ही होता है तो इस इस माइ z2 का मैग्निटिया पर z कहां पे लोगे z या तो इनसाइड द सर्कल हो सकता है या ऑन द सर्कल हो सकता है तो आप जड कहां पे लोगे यहां पे लोगे यहां प कहां पे लोगे ताकि ये मैक्सिमम आ जाए ये डिस्टेंस मैक्सिमम आ जाए तो उसके लिए आपको देखना पड़ेगा कि ये पॉइंट कौन सा है ये पॉइंट है 02 और 02 कहां पे लाई करेगा 0 2 देखो यहां से आ यहां पे आओगे इसका रेडियस वन है तो सिंस इसका रेडियस वन है तो ये वाला पॉइंट आ रहा होगा ट ना और ये वाला पॉइंट आ रहा होगा 3 2 ये चमका ये टू है तो 2 2 और रेडियस है वन तो ये 3 2 ये ये 1 2 और 0 2 कहां पे आएगा 2 आयो 2 आयो इ 02 तो 02 तो यहां प कहीं प आएगा ना और इधर आगे दिस इज 0 टू अब आप यह सोचो कि हम जो z है या तो वो ऑन द सर्कल ले सकते हैं या इनसाइड द सर्कल ले सकते हैं बट इस पॉइंट से उसका डिस्टेंस मैक्सिमम कब आएगा इस पॉइंट से z का डिस्टेंस मैक्सिमम से मैक्सिमम तभी आएगा जब z आप यहां पे लोगे तभी तो मैक्सिमम डिस्टेंस आएगा अरे चमका कि नहीं है ना तो बेसिकली डिस्टेंस मैक्सिमम कब आएगा ये चमका एक पॉइंट हमारा ये ये टू आयो है बेसिकली दिस पॉइंट इज नथिंग बट दिस इज 2 आयो और z आपको यहां पे लेना पड़ेगा z आपको लेना पड़ेगा 32 पे तभी दोनों के बीच में डिस्टेंस मैक्सिमम आएगा ठीक है तो बेसिकली आपसे वही पूछ रहा था कि भाई ये जो मैक्सिमम वैल्यू है इट कैन बी अटेंड एट a+ i ब तो a + i ब आपका ये हो गया ना मतलब z को क्या ले ले ताकि ये मैक्सिमम आ जाए तो z को आप ले लो 3+ 2 आयो है ना तो ये a और b का वैल्यू आ गया z को लेना पड़ेगा z को लेना पड़ेगा 3 प् 2 आयो मतलब आप कंपेयर कर लो ए प् बी आयो से तो बस ए प् बी का वैल्यू 5 आएगा फाइनली चमक गया यस लॉजिकली आपको समझ में आ रहा है कॉम्प्लेक्टेड एक वेरिएबल पॉइंट है जो कि कहीं पर भी हो सकता है इनसाइड या ऑन तो आपको सोचना पड़ेगा कि z हम कहां पर ले ले ताकि यह मैक्सिमम या मिनिमम भी पूछ सकता है कल को मान लो मिनिमम पूछ दे तो पॉइंट आपको यहां पर लेना पड़ेगा नटू प ठीक है तो नटू प लोगे तो मिनिमम आएगा अदर वाइज मैक्सिमम आएगा डिस्टेंस आपको देखना था और इस तरह के क्वेश्चन में बस यह आप समझना कि जड को अकेला करो यहां पर जो ्र आयो होता है ना उसको बाहर ले लो उसको बाहर ले लोगे तो आपको चमकेगा कि भाई हां यह डिस्टेंस है समझ रहे हो यस फाइन आगे बढ़े ओके और आगे बढ़ते हैं अब बात करते हैं स्टैंडर्ड लोकस अगेन मतलब अपने को पढ़ना है लेकिन अब मॉड्यूल वाला लोकस मॉडल को यूज करके भी बहुत सारे स्टैंडर्ड लोकस हम यहां पर जनरेट कर सकते तो उसमें हमारा टाइप वन यह है इसमें टोटल तीन टाइप है तो पहला टाइप यह है इसकी आप शक्ल याद करो पहले तो अगर ऐसा कुछ भी आता है जैसे हमने आर्गुमेंट की शक्ल याद कर ली ना कि आर्गुमेंट ऑफ z1 माइन ज2 अपन z3 माइ ज2 समथिंग मतलब ऊपर एक वेक्टर नीचे एक वेक्टर और फिर आर्गुमेंट अगर थीटा है तो वो अलग-अलग चीजें रिप्रेजेंट करेगा सिमिलरली हां पे भी आप इसकी शक्ल याद करो अगर समथिंग समथिंग डिवाइडेड बाय समथिंग समथिंग इक्वल टू के है अगेन यहां पे z1 ज2 है वो फिक्स पॉइंट है z1 एंड z2 आर फिक्स पॉइंट्स और z हमारी भटकती आत्मा है जिसका लोकस अपने को फाइंड आउट करना है वो वेरिएबल पॉइंट है ठीक है तो वेरिएबल पॉइंट का ही तो लोकस निकालते है लोकस का तो मतलब ही होता है पाथ कि वो किस पाथ में चलेगा ये जो भटकती आत्मा है वो उसका पाथ क्या होगा तो बेसिकली अगर अगर के का वैल्यू इसमें दो केस बनेंगे अगर के का वैल्यू वन है अगर के का वैल्यू वन है तो तो ऐसा हो जाएगा ना देखो इसमें आप प्रॉपर्टी लगा सकते हो तो प्रॉपर्टी लगाएंगे तो मोड ऑफ z1 अपन मोड ज2 ये मोड को अलग अलग कर सकते हैं एंड दिस इ इक्वल 1 अगर के का वैल्यू वन है तो तो ये क्रॉस मल्टीप्लाई हो जाएगा और क्रॉस मल्टीप्लाई हो जाएगा तो ऐसा आ जाएगा तो इस केस में लोकस क्या बनेगा तो इस केस में आपका जो z का लोकस बनेगा वो आएगा परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऑफ लाइन सेगमेंट जॉइनिंग z1 ज2 मतलब आप ऐसे समझो यहां पर मान लो आपका z1 है और यहां पर मान लो आपका z2 है और ये z1 ज2 एकदम फिक्स है वो लेंगे नहीं ठीक है z1 ज2 क्या है z1 ज2 एकदम फिक्स है वो कहीं नहीं जाएंगे एकदम फिक्स वो हिलेगा नहीं ठीक है तो जड का लोकस क्या आएगा जड का लोकस आएगा परपेंडिकुलर बाईसेक्टर है ना परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऑफ दिस लाइन सेगमेंट ये जो लाइन सेगमेंट आपको दिख रहा है ना z1 z2 को जॉइन करने वाला जो लाइन सेगमेंट है उसका परपेंडिकुलर बाईसेक्टर इट विल बी परपेंडिकुलर एंड इट विल बी बाईसेक्टर बेसिकली आप ऐसे सोचो ना कि अगर आप z इसके ऊपर कहीं प भी ले सकते हो जो z है ना वो भटकती आत्मा है और वह परपेंडिकुलर बाईसेक्टर के ऊपर कहीं प भी भटक सकता है तो उसका जो लोकस आएगा इट विल बी अ स्ट्रेट लाइन जो z है वो इस लाइन के ऊपर कहीं प भी भटक सकता है और ऐसा क्यों और थोड़ा सा डिटेल में समझो अगर मैं z इस लाइन के ऊपर लूंगा तभी तो ये डिस्टेंस बराबर बराबर आएगी ना और ये डिस्टेंस ही तो है ये z - z1 का मॉड्यूस क्या होता है z - z1 का मॉड्यूस इज नथिंग बट डिस्टेंस बिटवीन z एंड z1 तो ये है डिस्टेंस बिटवीन z एंड z1 और ये है डिस्टेंस बिटवीन z एंड z2 और ये दोनों डिस्टेंस बराबर कब होगी ये दोनों डिस्टेंस बराबर तभी होगी जब आप z को कहां पे लोगे परपेंडिकुलर बाईसेक्टर पे लोगे क्योंकि तभी तो दोनों ट्रायंगल एकदम कांग्रुअस बनेंगे ना जम मेट्रिक डायग्राम बनेगा ना अरे चमका यस तो बेसिकली आपका जो लोकस आ जाएगा वो आएगा परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऑफ लाइन सेगमेंट जॉइनिंग z1 ज2 और अगर के का वैल्यू वन नहीं है तो अगर के का वैल्यू वन नहीं है यहां प के है तो यहां पर भी के आ जाएगा तो उस केस में आपका जो लोकस बनेगा वो बनेगा एक सर्कल उस केस में आपका जो जड होगा वो सर्कल पर भटके ठीक है ये इसके क्वेश्चन अभी हम करेंगे सर्कल वाले बट बेसिकली आप ये याद रखो कि अगर के का वैल्यू वन है तो बाटर अगर केव नहीं है तो सर्कल फाइन ये दो केसेस ही होते अब देखो इसके क्वेश्चन आप ट्राई करो थोड़े अगेन यह क्वेश्चन काफी अच्छा क्वेश्चन है हैना जेई मेन का है बट काफी अच्छा क्वेश्चन है इसको ट्राई करो इसमें देखो आपको सबसे पहले तो इस इक्वेशन को देखो सबसे पहले यह वाली जो इक्वेशन है इस इक्वेशन को देख के आपको कुछ चमक र ज प्स आयो और यहां पर न है तो क्रॉस मल्टीप्लाई कर सकते हो आप ज माइन 3 आयो अगर आप इसको ध्यान से देखोगे तो यह है जड माइनस माइनस आयो ठीक है और यहां पर आपके पास है ज -3 आयो तो बेसिकली ये क्या रिप्रेजेंट करेगा दिस इ नथिंग बट परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ज माइन जव इ ज माइन ज2 ठीक तो यही वाला फॉर्मेट आ गया ज माइन जव इ ज माइ ज2 तो इट विल रिप्रेजेंट परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऑफ व्ट परपेंडिकुलर बाईसेक्टर परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऑफ लाइन सेगमेंट परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऑफ लाइन सेगमेंट जॉइनिंग परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऑफ लाइन सेगमेंट जॉइनिंग माइनस आयो एंड माइनस आयो को जॉइन करेगा एंड किसको जॉइन करेगा एंड थ आयो समझ गया ना मतलब बेसिकली ये आपका z1 है और 3 आयो जो है वो z2 माइनस आयो मतलब क्या माइनस आयो मतलब जो पॉइंट आएगा कार्टीशन प्लेन पे वो आएगा 0 -1 और यह वाला जो पॉइंट है ये है 03 तो ये दोनों पॉइंट्स को आप प्लॉट करो कहां-कहां पे ये लाई करेंगे अगर आप डायग्राम बनाओगे तो एक पॉइंट है 0 -1 और दूसरा पॉइंट है 03 तो परपेंडिकुलर बाईसेक्टर कैसा बनेगा तो आपकी जो लाइन सेगमेंट है वो तो ये है है ना दिस इज द लाइन सेगमेंट और ये जो लाइन सेगमेंट है इस लाइन सेगमेंट का परपेंडिकुलर बाईसेक्टर इस लाइन सेगमेंट का परपेंडिकुलर बाईसेक्टर ऐसा बनेगा ठीक है और उसकी इक्वेशन क्या आएगी उसकी इक्वेशन आएगी y इव ना उसकी इक्वेशन आएगी वा इक्व मतलब बेसिकली आपका ये जो जड है वो इस स्ट्रेट लाइन पर भटक रहा है उसका लोकस यही है ठीक है यहां पर कहीं पर होगा इस स्ट्रेट लाइन प होगा यह आपको चमक गया अगर आप यहां पर लोकस ऑफ जड के बारे में सोचोगे तो जड इज परपेंडिकुलर बाईसेक्टर तो व लाइन सेगमेंट आपने ड्र कर ली ग्रीन वाली और उसका परपेंडिकुलर बाईसेक्टर तोवा इव आएगा तो बेसिकली आपका जो जड है व इस लाइन पर ना कहीं भटक रहा है तो हम जड को कैसे अजूम कर सकते क्या मैं जड को ऐसे अजूम कर सकता हूं एक् प् आयो नव क्योंकि अगर जड इस लाइन पर है तो उसका जो इमेजिनरी पार्ट आएगा वो तो डेफिनेटली वन ही आएगा ना यह पॉइंट होगा एक्सव ब उसका जो इमेजिनरी पार्ट आएगा वह 100 परव ही आएगा क्योंकि व उस लाइन पर ला कर रहा इव एक्स का वैल्यू कुछ भी आ सकता है बटवा का वैल्यू तो वन ही आएगा ना क्योंकि जड उस लाइन पर है तो हमने जड को अजूम कर लिया एक् प्लस आयो क्योंकि वो उस लाइन पर है अगर जड आ गया आपका तो आप इसम सब्सीट्यूट कर दो ड आ जाएगा तो ड निकालो आप डब् क्या है अपने को यहां पर एक काम करते हैं अगले वाले प लिख लेते ड डब् इ जड जड बार और माइट जड और प्लसटू ठीक है तो बस आप वैल्यू सब्सीट्यूट कर दो तो जड क्या है जड हमारे पास है एक्स प्स आयो और ज ब आ जाएगा x माइनस आयो और यहां पर अगेन x प्स आयो और प्लसटू अब आप इसको सिंपलीफाई करो एक् स्क माइनस आयो स्क्वा -2 एक् माइन 2 आयो प् 2 ठीक है अब आप इसको थोड़ा रिअरेंज करो आयो स्क्वा होता है माइव तो ये बेसिकली प्लव बन जाएगा प्व और प्लट तो प् 3 आ जाएगा x स् -2x प् 3 यह उसका रियल पार्ट है और इमेजिनरी पार्ट आएगा -2 इनटू आयो ये आ गया w है ना दिस इज w ये क्लियर है सबको ये आपने सिंपलीफाई कर लिया तो w आ गया अब देखो आगे क्वेश्चन में क्या बोल रहा है आगे क्वेश्चन में बोल रहा है कि रियल पार्ट ऑफ w हैज मिनिमम वैल्यू तो रियल पार्ट ऑफ w ये है व्हाट इज रियल पार्ट ऑफ w आप मुझे बताओ रियल पार्ट ऑफ ड इज दिस और क्वेश्चन में कह रहा है कि ये मिनिमम है तो ये मिनिमम कब होगा ये मिनिमम तभी होगा जब 2x - 2 = 0 ना डिफरेंशिएबल स्क्वायर बना के भी आप सोच सकते हो ठीक है तो इसको बेसिकली मिनिमाइज करना है इसका मिनिमम वैल्यू कब आएगा मिनिमम वैल्यू तभी आएगा जब आप x को ले लोगे वन और अगर x को वन ले लिया तो w क्या आ जाएगा इसमें आप सब्सीट्यूट कर दो तो बेसिकली w का वैल्यू कितना बन जाएगा x का वैल्यू वन है तो ये 1 - 2 -1 हो गया -1 और प् 3 तो 2 आ जाएगा और यहां पर है -2 आयो तो ये ड आ गया ठीक है आपको क्वेश्चन में यही बोला है कि भाई रियल पार्ट ऑफ ड जो है इट हैज मिनिमम वैल्यू तो मतलब वो तभी हो पाएगा जब x इ 1 ठीक है अब यह कह रहा है देन फाइंड आउट द मिनिमम वैल्यू ऑफ n जो कि एक नेचुरल नंबर है फॉर च ड की पावर n इज रियल तो अब आपको बेसिकली ये जो ड की पावर ए है वो निकालना है ड की ए मतलब ये और इसका मिनिमम से मिनिमम वैल्यू बताओ n का मिनिमम से मिनिमम वैल्यू बताओ सो दैट दिस नंबर इज रियल है ना सो दैट दिस नंबर ड की पावर ए इज रियल ये ना अगर n का वैल्यू मिनिमम और n का वैल्यू नेचुरल नंबर है तो नेचुरल नंबर है तो वन से चालू करो वन लेंगे तो बात नहीं बनेगी ू लेंगे तो भी बात नहीं बनेगी ना बेसिकली अब टू को तो कॉमन ही ले लो आप तो टू को कॉमन ही ले लो 2 रे ए और 1 माइ आयो की पावर n अब आपको पता ही है कि 1 माइनस आयो का स्क्वायर वो तो -2 आयो होता है ना उसमें भी आयो आता है तो n का वैल्यू ्र लेंगे तो भी बात नहीं बनेगी n का वैल्यू फोर लेना पड़ेगा आपको मिनिमम है ना तो n का वैल्यू फोर आ गया बस n का वैल्यू फोर ले लोगे तो ये रियल आ जाएगा करके देखो n का वैल्यू फोर ले लोगे ये रियल आ जाएगा ना बेसिकली 1 माइनस आयो का स्क्वायर का स्क्वायर तो 1 माइनस आयो का स्क्वायर होता है -2 आयो और उसका भी स्क्वायर तो उसमें आयो स्क्वायर आ जाएगा आयो स्क्वायर -1 होता है अरे चमका करके देखो ना चमक जाएगा n = 4 तभी आपका ये रियल आएगा समझ गया ना तो ये काफी भयंकर क्वेश्चन था सबसे पहली बात तो लोकस तो ये परपेंडिकुलर बाईसेक्टर है परपेंडिकुलर बाईसेक्टर समझ में आ गया तो फिर डल निकाल के मिनिमाइज करना था मिनिमाइज करने के बाद भी मिनिमम वैल्यू ऑफ n पूछा है सो दैट दिस बिकम रियल और वो रियल तभी बनेगा जब आप n का वैल्यू लोगे फोर अच्छा क्वेश्चन था ना ये भी ठीक है अब और आगे बढ़ते है तो टाइप वन अपना है परपेंडिकुलर बाईसेक्टर वाला वो आपको क्लियर हो गया टाइप टू पे आ जाओ तो टाइप टू है इस तरह की इक्वेशन अब इस तरह की जो इक्वेशन है ना उसमें भी अगेन अलग-अलग लोकस आ सकता है यह अलग-अलग केसेस है तो केस टूथ अलग-अलग चीजें रिप्रेजेंट करेगा अगर के का वैल्यू आप अलग-अलग सिलेक्ट करोगे तो अब अगर आप इस चीज को ध्यान से देखोगे ना तो यह है डिस्टेंस बिटवीन z1 ज2 आपको मतलब एलिप्स वाली फील आ रही है लिप्स में ये होता है ना ps1 प्स ps2 इ 2a ये किसी को याद है अगर आपने लिप्स अच्छे से पढ़ा होगा तो लिप्स में यह होता है लाइक दिस इज द अल्टरनेट डेफिनेशन ऑफ लिप्स है ना ये एक डेफिनेशन ही है तो यहां पर बेसिकली जो z1 ज2 है ना उसको आप मान लो कि वो फोका है मतलब लिप्स के फोका होते है ना एक मान लो यहां पर z1 है और यहां पर ज2 है ये z1 ज2 आर द फोका ऑफ लिप्स और बेसिकली य ये जो के है वो 2a के बराबर है फन तो एक ऐसा इसका जो लोकस आएगा वो लिप्स आएगा लेकिन इसका लोकस लिप्स कब आएगा इसका लोकस लिप्स तभी आएगा जब के का वैल्यू हो ग्रेटर दन z1 - ज2 मतलब बेसिकली आप इसको पहले देख लो अगर के होगा लेसन z1 - ज2 तो कोई लोकस ही नहीं आएगा वो वैसा पॉसिबल ही नहीं है मतलब ठीक है तो के अगर लेस देन है इट इज नॉट पॉसिबल अगर इक्वल टू है तो लाइन सेगमेंट जॉइनिंग z1 z2 आएगा मतलब अगर के का वैल्यू इसके बराबर हो गया z1 माइ z2 के मॉड्यूस के बराबर हो गया तो उस केस में लोकस आपका यह आएगा z1 ज2 को जॉइन करने वाली लाइन सेगमेंट ये लोकस आएगा ठीक है दिस इज द लोकस ये z है ये z2 है और दोनों फिक्स पॉइंट है z1 ज2 दोनों फिक्स पॉइंट है तो बेसिकली आपका जो जड होगा ना वो यहां पर कहीं पर लाई करेगा ये जड यहां पर लाई करेगा इट विल लाई ऑन द लाइन सेगमेंट जॉइनिंग जव ज2 ठीक है तो ये लोकस आएगा अगर के का वैल्यू इक्वल है इसके और अगर ग्रेटर है तो एलिप्स आएगा अब ऐसा क्यों है ना आपके दिमाग में य आ रहा होगा कि सर ऐसा क्यों तो ऐसा इसलिए पहले तो आप इसको समझो मान लो ज यहां पर है ठीक है तो ये क्या है दिस डिस्टेंस यह वाली डिस्टेंस है डिस्टेंस बिटवीन टू कॉम्प्लेक्टेड ऑफ z1 माइ ज2 तो अगर आप ध्यान से देखोगे तो ये वही तो आ गया मोड ऑफ ज माइ z1 तो ये डिस्टेंस मोड ऑफ z माइ ज2 और k जो है वो इसके बराबर है तो यहां के की जगह क्या आएगा k की जगह ये आ जाएगा टोटल डिस्टेंस मतलब बेसिकली ये लिखा हुआ है ए ् bc-1 और प्लस z - ज2 एंड दिस इज इक्वल टू k और k का वैल्यू ये है ओके तो k का वैल्यू है z1 - z2 तो लोकस क्या आएगा तो यही तो लोकस आएगा z विल लाई ऑन दैट लाइन सेगमेंट तो दिस डिस्टेंस प्लस दिस डिस्टेंस इ इक्वल टू टोटल डिस्टेंस तो उस केस में लाइन सेगमेंट आएगा अगर के का वैल्यू अच्छा अब के का वैल्यू क्या होता है 2a होता है लिप्स की लिप्स की बात करते हैं तो ये जो के है वो किसके बराबर है 2a के तो के का वैल्यू है 2a के बराबर और ये जो होता है ना z1 माइन ज2 दैट इज द डिस्टेंस बिटवीन फोका आई और डिस्टेंस बिटवीन फोका होता है 2ae है ना मतलब दो तरीके हो सकते है देखो है ना आपको फ्रैंकली बता रहा हूं दो तरीके एक तो आप ये याद ही करो कि भाई अगर यह है तो यह लोकस यह है तो यह लोकस ये है तो ये लोकस और दूसरा तरीका इसको समझ लो तो समझ लोगे तो याद करना आसान हो जाएगा समझना कैसा है तो के हमारा है 2a मतलब ये लिखा हुआ है ps1 प् ps2 इक्व 2a तो कंपेयर कर लो ना ये ps1 ये ps2 ये 2a तो 2a का वैल्यू k और ये z1 - z2 क्या होता है ये है डिस्टेंस बिटवीन फोका यहां z जट फका और डिस्टेंस बिटवीन फोका कितना होता है डिस्टेंस बिटवीन फोका होता है 2ae और लिप्स के केस में एसेंसिटी होता है लेसन वन आप मुझे बताओ कि यह बड़ा की ये बड़ा दोनों में से कौन बड़ा दोनों में से ग्रेटर कौन है यह बड़ा या यह बड़ा मतलब आप कंपेयर करो सिंपल 2a को और 2ae को तो दोनों में से कौन बड़ा सेंट्रिसिटी तो लेस देन वन है ना अगर एसेंसिटी लेस देन वन है तो 2a विल बी ग्रेटर ना अगर 2a ग्रेटर मतलब 2a का वैल्यू k है और ये 2ae बेसिकली ये है तो यही तो कंडीशन आ गई है ना तो सिंस आपकी जो सेंट्रिसिटी है वो अपने को इंश्योर करना पड़ेगा कि लेस देन वन आए तभी तो एलिप्स बनेगा तो सेंट्रिसिटी सस लेस दन वन होती है तो यही तो कंडीशन बनेगी k ग्रेटर दन 2ae देन ओनली यू विल गेट एलिप्स अदर वाइज एलिप्स नहीं आएगा अरे चमका यस 100% समझ में आया यस चमक गया होगा अच्छा इसमें हाइपरबोला है इसकी भी आप देख लो टाइप थ्री तो टाइप थ्री में बीच में माइनस है तो यह भी इक्वेशन आपने पढ़ी थी ना इस इक्वेशन में ps1 - ps2 और इसका जो मॉड्यूस है दिस इज इक्वल टू 2a तो अगेन अगर आप कंपेयर करोगे है ना सबसे पहले ये हाइपरबोला वाला केस ही समझ लो अगर लेस देन है तो हाइपरबोला आएगा इक्वल टू है तो लाइन सेगमेंट आउटसाइड z1 ज2 आएगा इसको भी डिस्कस करेंगे और यहां पर कोई लोकस नहीं आएगा अब यह सब कैसे हुआ तो तो देखो ये ऐसा हुआ यहां पे भी k का वैल्यू कितना है 2a ठीक है तो k का वैल्यू है 2a और z1 - z2 का वैल्यू कितना है तो वो है डिस्टेंस बिटवीन फोका अगेन यहां पे z1 ज2 फोका है अगर z1 ज2 फोका है तो ये आ जाएगा 2ae अब एसेंसिटी यहां पे ग्रेटर देन वन होती है क्योंकि हाइपरबोला है तो अब इन दोनों में से कौन बड़ा इन दोनों में से बड़ा कौन है सेंट्रिसिटी ग्रेटर देन वन है अगर सेंट्रिसिटी ग्रेटर दन वन है तो ये बड़ा ना मतलब बेसिकली ये है k और यह है z1 माइ ज2 डिस्टेंस बिटवीन फई तो यह कंडीशन होगी तभी हाइपरबोला आएगा यह कंडीशन होगी तभी आपका जो लोकस आएगा वह हाइपरबोला आएगा अगर इक्वल हो गया तो अगर इक्वल हो गया तो बेसिकली यह लोकस आएगा आपका मान लो ये जव है और यह ज2 है ठीक ये जव ये ज2 अगर के का वैल्यू इसके बराबर हो गया ना तो बेसिकली आपकी इक्वेशन देखो ये बन जाएगी तो आपकी इक्वेशन बन जाएगी z माइन z1 ठीक है माइनस z - z2 और इसका मोड ये आ जाएगा और इक्वल टू के और k का वैल्यू आप सब्सीट्यूट कर दो तो z1 - z2 ठीक है तो ये इक्वेशन बन जाएगी अगर k का वैल्यू इक्वल टू मोड ऑफ z1 - z2 हो गया तो अगर इस चीज को आप ध्यान से देखोगे तो ये लिखा हुआ है ps1 - ps2 इसका मैग्निटिया अच्छे से आप यहां पर डायग्राम बना लो ठीक है तो डायग्राम में जो s1 s2 है वो फोका है यह वाला जो पॉइंट है यह ए1 है और वो z1 से रिप्रेजेंट करेंगे ये z2 से रिप्रेजेंट करेंगे अब लोकस क्या आएगा देखो यहां पर लोकस आएगा लाइन सेगमेंट आउटसाइड z1 ज2 मतलब ये लोकस आएगा ग्रीन वाला ये ग्रीन वाला जो है ना ये आपका लोकस आएगा आपकी जो भटकती आत्मा है वो इसके ऊपर प्रेजेंट होनी चाहिए इसके ऊपर क्यों प्रेजेंट होनी चाहिए क्योंकि मान लो ये पॉइंट है आपका z ठीक है मान लो कि ये ये लोकस आएगा ग्रीन वाला लोकस आएगा इन द सेकंड केस ऐसा क्यों ऐसा इसलिए क्योंकि ये डिस्टेंस ps1 ज - z1 तो z माइ z1 इज दिस डिस्टेंस है ना दिस डिस्टेंस इ ps1 और यह वाली जो डिस्टेंस है ये कितनी है ये डिस्टेंस है ps2 और ps1 माइनस ps2 करोगे तो कौन सी डिस्टेंस आ रही है यही वाली डिस्टेंस आ रही है तो बेसिकली आप ये तीनों स्ट्रेट लाइन में लाई करेंगे ना लीनियर होंगे ये डिस्टेंस है s1 s2 चमक गया तो ps1 - ps2 = s1 s2 दिख गया आपको ये ये लिखा हुआ दिख गया ps1 - ps2 करोगे तो s1 s2 ही तो आएगा यस तो अगर बेसिकली ऐसा होता है तो तीनों पॉइंट्स कोलिनियर होते हैं ना तो z1 z2 z तीनों कोलिनियर होंगे तो इस केस में आपका जो लोकस आएगा वो हाइपरबोला नहीं आएगा वो आएगा लाइन सेगमेंट आउटसाइड z1 z2 ये बीच वाला नहीं है ना बाहर वाला आउटसाइड वाला ये रे और ये रे तो बेसिकली डायवर्जिंग रेज है ऐसा लोकस आएगा डायवर्जिंग रेज है ना उसमें था लाइन सेगमेंट इसमें था बीच वाला पार्ट लाइन सेगमेंट जॉइनिंग z1 z2 लेकिन यहां पे है लाइन सेगमेंट आउटसाइड z1 z2 तो दोनों में फर्क है समझ गए दोनों में डिफरेंस है चलो एक आधा क्वेश्चन करते हैं है ना तभी फील आएगी तो इसको फील करो यहां पे आपको एक इक्वेशन गिवन है z अ प्लस आयो और z माइनस आयो दिस इ इक्वल टू 8 ठीक है तो यह बेसिकली लिखा हुआ है ज माइनस माइनस आयो ना समझ जाना मतलब और इधर है ज माइनस आयो ठीक है दिस इ इक्वल टू 8 और अगर आप इसको कंपेयर करोगे तो किसकी फील आ रही एलिप्स की की हाइपरबोला की सबसे पहले तो आप य देखो इसको देखेंगे तो यह प एव प्लस प ए2 है ना इक्वल 2a 2a या बी होगा बेसिकली इसमें इसमें बी होगा क्यों क्योंकि य जो एलिप्स है ना वो वर्टिकल आएगा ये 2 बी होगा ये वर्टिकल एलिप्स है क्यों क्योंकि इसके फोका ई देखो ना ये z1 ज2 है ये z1 है और ये z2 है तो z1 z2 का वैल्यू क्या क्या है z1 का वैल्यू है माइनस आयो और z2 का वैल्यू है आयो मतलब ये वाला पॉइंट है 0 -1 और ये वाला पॉइंट है 01 तो ये दोनों फोका आई है अगर ये दोनों फोका है तो आपका एलिप्स कैसा बनेगा वर्टिकल बनेगा ना एक फोकस यहां पर है एक फोकस यहां पर है एक जीव पर है एक 0 माइव पर है तो जो लिप्स बनेगा ऐसा कुछ बनेगा इट विल बी वर्टिकल लिप्स और यहां पर ज आपका लोकस आएगा वो एलिप्स ही आएगा क्यों क्योंकि यहां पर ए है ओके तो ए जो है ये के का वैल्यू है 8 ठीक है और दोनों के बीच में डिस्टेंस कितना है दोनों के बीच में जो डिस्टेंस है जव माइन ज2 का मॉडल तो वो हैट यहां पर 8 इ ग्रेटर दन ू ना मतलब के का जो वैल्यू है वो बेसिकली डिस्टेंस बिटवीन द फोका से ज्यादा है ओबवियसली यहां पर जो लोकस आएगा वो एलिप्स आएगा ठीक है अगर इक्वल हो जाता है मान लो यहां पर भी ए और इधर भी 8 तो एलिप्स नहीं आएगा अगर इधर भी एट है मतलब मान लो मैं इसको एट हटा के टू कर दो या तो आप अगर मैंने ए हटा के टू कर दिया तो ये डिस्टेंस भी टू है के का वैल्यू भी टू है तो उस केस में आपका लोकस ये आता है लाइन सेगमेंट जॉइनिंग z12 बट यहां पर सिंस एट है है ना तो वो टू से ग्रेटर है अगर टू से ग्रेटर कोई भी वैल्यू ले लोगे तो आपका एलिप्स आएगा समझ गए ना मतलब ये एलिप्स आ गया और z बेसिकली इस एलिप्स के ऊपर लाई करेगा तो z बेसिकली एक भटकती आत्मा है जो इसके ऊपर लाई करेगा कहीं पे भी आ सकता है अब आपको बताना है कि व्हाट इज द मैक्सिमम वैल्यू ऑफ मड z ठीक है तो मैक्सिमम वैल्यू ऑफ मोड ज कितना होगा मोड ज मतलब डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन और डिस्टेंस फ्रॉम ओरिजिन मैक्सिमम तभी होगा जब z आप यहां पे लोगे ठीक है तो z अपने को सबसे ऊपर लेना पड़ेगा टॉप पे या सबसे बॉटम प लेना पड़ेगा ठीक है तो मैक्सिमम वैल्यू तभी आएगा ये वाली आएगी डिस्टेंस तो ये डिस्टेंस कितनी है तो ये डिस्टेंस होगी b के बराबर ना और यहां से आप कंपेयर कर लो 2b इ 8 है तो 2b = 8 है तो b का वैल्यू फोर आएगा तो व्हाट इज द मैक्सिमम डिस्टेंस ये जो मैक्सिमम डिस्टेंस है वो फोर है अंडरस्टूड सो बी इज द आंसर ये कितने लोगों को चमका फाइन यस चमक गया सिंपल है ये और आगे बढ़ते हैं अब फाइनली अपना लास्ट टॉपिक व्हिच इज लॉग ऑफ कॉप्लेक्स नंबर का लॉग कैसे लेते हैं यह भी आप सीख लो कॉम्प्लेक्टेड फॉर्म में लिखो और फिर लग ले लो स्टेप नंबर टू स्टेप नंबर टू क्या है अपने को लेना है लग ज लॉग मतलब बेसिकली l ए हम यहां प l ए की बात कर रहे हैं बेस e है फाइन तो l ए z तो ये आ जाएगा l ए ऑफ r * e की पावर आयो थीटा तो बेसिकली आप इसको सेपरेट कर दो l ए आ और प् l ए e की पावर आयो थीटा ये जो आयो थीटा है उसको हम आगे लेके आ सकते हैं ना इसको हम आगे लेके आ सकते हैं तो बेसिकली क्या बन जाएगा तो अगले स्टेप में आ जाएगा l ए आ और प्लस आयो थीटा आ जाएगा केवल ठीक है ये आ जाएगा बट यहां पे सिंस आपका थीटा जो है वो आर्गुमेंट है तो आर्गुमेंट को आप जनरलाइज कर दो जनरलाइज करने के लिए हम क्या कर सकते हैं + 2k पा भी ऐड कर सकते हैं ठीक है तो अल्टीमेटली आपका l ए z का जो फार्मूला बनेगा वो ये बनेगा दिस इज द लॉग ऑफ कॉम्प्लेक्शन का लॉग लोगे आप तो वो भी कॉम्प्लेक्शन पार्ट है ये 2k पाई आपको समझ में आया क्योंकि थीटा इ आर्गुमेंट ना आपने स्टार्टिंग में प्रिंसिपल आर्गुमेंट ही यूज किया केवल बट इसकी तो बहुत सारी वैल्यू हो सकती है आर्गुमेंट कैन बी थीटा 2 पाई प्स थीटा 4 पाई प्स थीटा बस 2 के पाई कर दो ताकि वो रिपीट होता जाए ठीक है तो यह जनरलाइज कर दिया बेसिकली हमने जैसे एक एग्जांपल करो चलो इसका इसका आपको लग लेना है यू नीड टू फाइंड आउट एल ए ऑफव प्स आयो तो कैसे करेंगे तो सबसे पहले तो यह जो आयो इसको आप कन्वर्ट करो यूलर फॉर्म में यूलर फॉर्म में कन्वर्ट करेंगे तो इसका मॉड्यूस आएगा √2 और इसका आर्गुमेंट आएगा पा बा 4 ना ये फर्स्ट क्वाड्रेंट में है तो पा बा 4 आएगा यस ये चमका √2 और पा बा 4 आ जाएगा क्योंकि वनव है पॉइंट पॉइंट अगर वव है तो पा बा 4 अब इसको अलग-अलग कर दो इसको अलग-अलग करेंगे तो l ए √2 ठीक है और प्लस e की पावर आयो पाई बाय फ अब ये e की पावर आयो पाई बा फ को आप आगे ले सकते हो तो ये बन जाएगा हाफ एलटू और यहां पर आ जाएगा आयो पाई बा फ और प्लसटू के पाई कर दो बस ठीक है सो दिस इ द आंसर समक गया यस तो लग ऑफ कॉम्प्लेक्शन भी वैसे नहीं आता है छोटा सा ही टॉपिक है और बस अगर आपको किसी भी इसका भी लॉग निकाल सकते हो है ना अभी तक आप पढ़ते थे ना अगर जैसे मान लो सेकंड क्वेश्चन मैं आपसे पूछता हूं कि ln5 तो लॉग ऑफ -5 डिफाइंड होता है क्या मतलब अगर मैंने आपसे पूछ लिया कि ln5 तो लॉग ऑफ नेगेटिव नंबर डिफाइन होता है क्या लॉग ऑफ नेगेटिव नंबर डिफाइन नहीं होता है लेकिन वो रियल दुनिया में कॉम्प्लेक्शन डिफाइंड है बस हम जब भी बोलते हैं ना डिफाइंड नहीं है इसका मतलब क्या होता है इसका मतलब यह होता है कि इसका कोई रियल वैल्यू एजिस्ट नहीं करेगा बट इमेजिनरी वैल्यू तो एजिस्ट करेगा ना तो निकालो इमेजिनरी वैल्यू समझ रहे हो जब भी हम बोलते हैं कि भाई दिस इज नॉट डिफाइंड तो नॉट डिफाइंड का क्या मतलब नॉट डिफाइंड का यही मतलब होता है कि इसका कोई रियल वैल्यू एजिस्ट नहीं करेगा बट आएगा इट इज नॉट रियल ओबवियसली है ना रियल दुनिया में ये एजिस्ट नहीं करता कॉम्प्लेक्टेड तो आएगा फ और आर्गुमेंट कितना आएगा यह पॉइंट है -5 0 और -5 0 मतलब यहां पर लाई करेगा तो उसका एंगल आएगा पाई तो e की पावर आयो पाई आएगा नाना अरे चमका तो माइनस फ को आप ऐसे लिख सकते हो -5 को ऐसे लिख सकते हैं बिल्कुल यस अब आप इसमें कर लो बस ln5 और प्लस कितना आ जाएगा आयो पाई प् 2 के पा तो बस ये आंसर आ गया ठीक है सो दिस इज द आंसर मतलब बेसिकली इसका जो आंसर आएगा वो भी एक इमेजिनरी आंसर आएगा तो इसका कोई रियल वैल्यू एजिस्ट नहीं करेगा रियल दुनिया में एजिस्ट नहीं करेगा बट अरे चमका कितने लोगों चमक गया ठीक है तो यस फाइनली है ना हमने सारे टॉपिक्स कवर कर लिए एंड अपना जो कॉम्प्लेक्टेड सात घंटे हो गए क्या काफी लंबा वन शॉट हुआ है मेरे ख्याल से रिकॉर्ड हमने सारे तोड़ दिए आज कॉम्प्लेक्शन में ठीक है तो आई होप कि सब लोगों को मजा आया होगा एंड डेफिनेटली यार आप एक चीज और करना अ मैं आपको बताता हूं ठीक है एक चीज और करना अभी अपना कल आज कौन सा डे है आज थर्सडे है ना कल फ्राइडे को अनअकैडमी एटम्स की जो टेस्ट सीरीज है उसका टेस्ट है तो वो आप डेफिनेटली दे देना कल है फ्राइडे को और उसका टाइम है 8 बजे ठीक है अब आपने वन शॉट देख लिया इसका सिलेबस है कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री एक्चुअली व पहले सैटरडे को था बट अभी फ्राइडे को शिफ्ट कर दिया है ठीक है तो एक दिन जल्दी आपका यह जो टेस्ट सीरीज है वो स्टार्ट हो रहा है फ्राइडे को 8 बजे मतलब कल 8:00 बजे आपका टेस्ट है ठीक है तो डेफिनेटली आप इसको अटेम्प्ट कर लेना इट इज कंपलीटली फ्री आपको कुछ पे करने की जरूरत नहीं है ठीक है बाकी अगर आपके पुराने चैप्टर्स मिस हो गए तो आप लाइ da.me एटम्स को विजिट कर लो यहां पे आपको हर एक चैप्टर का वन शॉट मिल जाएगा बहुत ही डिटेल में ठीक है उसके अलावा आप यहां पे मल्टीपल एजुकेटर से पढ़ सकते हो मल्टीपल एजुकेटर्स आर देयर है ना वाइब्रेंट क्लासेस बंसल क्लासेस न्यूक्लियस इवन चाइना बैच आपका स्टार्ट हो चुका है जिसमें चैतन्य नारायणा के एजुकेटर्स है तो डेफिनेटली आप यहां पे मल्टीपल एजुकेटर्स पढ़ सकते हो कोई रिस्ट्रिक्शन नहीं है नोट्स डाउनलोड कर सकते हो टेस्ट सीरीज में अटेंप्ट कर सकते हो है ना डाउट क्लास का फीचर भी है हर हर एक टीचर की यहां पे डाउट क्लासेस होती है इवन वॉइस चैट के थ्रू आप इंटरेक्शन भी कर सकते हो है ना आपको पीडीएफ नोट्स मिल जाते हैं टेस्ट सीरीज में आप अपने जो स्कोर है उसको एनालाइज कर सकते हो बाकी लोगों के साथ कंपीट कर सकते हो तो ये सारे फीचर्स आपको मिल जाएंगे ए सबसे अच्छी बात है कि जितने भी इंडिया के टॉप एजुकेटर्स है वो सारे के सारे एक सिंगल प्लेटफार्म पे प्रेजेंट है मल्टीपल आपके बैचेज होते हैं है ना यहां पे फुल ईयर बैचेज भी चल रहे हैं 11थ का 12थ का ड्रॉपर्स का फुल बैचेज रिवीजन बैचेज भी अभी बहुत सारे चल रहे हैं है ना जैसे एक अपना रैपिड रिवीजन बैच चल रहा है तो उसमें आप अगर जल्दी-जल्दी रिवाइज करना चाहते हो सारे क्वेश्चंस प्रैक्टिस ज्यादा क्वेश्चंस प्रैक्टिस करना चाहते हो अलोंग विद डीबीपी है ना डीपीपी में आपको पता होगा अभी लिमिट्स की डीपीपी में 71 क्वेश्चंस हमने करे तो डेफिनेटली यार हर एक डीपीपी में काफी सारा आपको मटेरियल मिल जाएगा जिसको आप सॉल्व कर सकते हो एंड ये जो रैपिड रिवीजन बैच है उसको आप मिस मत करना यहां पे स्पेशली मतलब आपको मैथ्स फिजिक्स केमिस्ट्री पूरा प्रॉपर बैच है एंड केमिस्ट्री में तीन-तीन एजुकेटर्स है सारे आपके फेवरेट एजुकेटर्स एंड डेफिनेटली मतलब आप यहां पर अच्छे से केमिस्ट्री में अगर मचा दोगे ना लास्ट क्लास्ट के टाइम पे तो आपका जो स्कोर है वो बूस्ट हो जाएगा स्पेशली मतलब इन ऑर्गेनिक ऑर्गेनिक फिजिकल तो मेरे ख्याल से ऑलमोस्ट सबका अच्छा ही होता है ठीक है या तो अच्छा होता है या बुरा होता है दोनों मतलब डाइस ही नहीं होता है कभी भी या तो अच्छा होता है या बुरा होता है फाइन और जब भी आप अनअकैडमी सब स्क्रिप्शन पे आते हो तो दो ऑप्शंस है एक प्लस और दूसरा है आइकॉनिक तो प्लस और आइकॉनिक में डिफरेंस क्या होता है देखो प्लस और आइकॉनिक में बेसिक डिफरेंस ये है कि प्लस में आपको ये सारे फीचर्स मिल जाएंगे आपकी सारी लाइव क्लासेस होती है अगर आपने लाइव क्लास को मिस कर दिया आप यहां पर रिकॉर्डिंग भी देख सकते हो कोई कोई रिस्ट्रिक्शन नहीं है है ना आप रिकॉर्डिंग्स देख सकते हो इवन बहुत सारे स्टूडेंट्स यहां पर रिकॉर्डिंग देख देख देख के जल्दी-जल्दी अपना सिलेबस भी कंप्लीट कर रहे हैं है ना जो 11थ वाले स्टूडेंट्स होते हैं वो 12थ का भी सिलेबस 11थ में ही कर लेते हैं तो यह फैसिलिटी भी है और जो ड्रॉपर्स है वोह 11 12थ सारे बैचेज को देख सकते हैं तो कोई रिस्ट्रिक्शन नहीं है सारे बैचेज को आप देख सकते हो रिकॉर्डिंग देख सकते हो लाइव क्लास कर सकते हो डाउट क्लास कर सकते हो टेस्ट सीरीज दे सकते हो अनलिमिटेड एक्सेस मिल जाएगा ऑफ ऑल द एजुकेटर्स तो सारे एजुकेटर्स की क्लासेस कर सकते हो और सारे के सारे कोर्सेस आप अटेंड कर सकते हो आइकॉनिक में डिफरेंस ये मिलता है आपको कि प्लस वाले सारे फीचर्स मिलेंगे प्लस आपको वन ऑन वन गाइडेंस मिल जाता है तो अगर आप पर्सनल गाइडेंस के साथ पढ़ना चाहते हो प्रॉपर टाइम टेबल के साथ पढ़ना चाहते हो है ना एंड जितने भी यहां पर आपके पर्सनल कोचेस है उनके साथ डिस्कशन करना चाहते हो देन डेफिनेटली आप यहां पर आइकॉनिक का सब्सक्रिप्शन ले सकते हो जिसमें टेस्ट का एनालिसिस है वर्कशॉप्स है स्टडी मटेरियल आपको हार्ड कॉपी में मिल जाता है प्लस आपका स्टडी प्लानर भी है ठीक है तो यह सारी चीज आपको एक्स्ट्रा मिल जाती है आइकॉनिक में बट जो भी आप सब्सक्रिप्शन लेते हो उसमें आपको मैक्सिमम पॉसिबल डिस्काउंट मिल जाएगा बाय यूजिंग द कोड एनवी लाइफ तो एनवी लाइव यूज कर लेना आपको मैक्सिमम पॉसिबल डिस्काउंट यहां पे मिल जाएगा चाहे आप प्लस का लेते हो या आइकॉनिक का लेते हो दोनों में ही आपको मैक्सिमम मैक्सिमम डिस्काउंट मिल जाता है यहां पे आप टाइम इंटरवल अपने हिसाब से सिलेक्ट कर सकते हो जितना भी टाइम आपका बचा है ठीक है तो उसके हिसाब से आप कैलकुलेशन कर लो थोड़ा बहुत मैथमेटिक्स लगा लो ठीक है और उसके हिसाब से आप ले सकते हो फाइन बाकी ये मल्टीपल बैचेज है जो रिवीजन के लिए आपके स्टार्ट होने वाले तो स्पेशली अगर आप अभी रिवीजन कर रहे हो तो ये सारे रिवीजन बैचेज ही है है ना 2022 के लिए भी काफी ज्यारा बैच है और 21 के लिए भी काफी सारे 22 और 23 के लिए काफी सारे बैचेज यहां पर स्टार्ट हुए ठीक है अनअकैडमी आइटम्स की टेस्ट सीरीज अपना टेस्ट है कल 26 नवंबर को है 8 बजे है और इसमें डेफिनेटली आप एनरोल कर लेना इसका लिंक आपको डिस्क्रिप्शन में मिल जाएगा अभी के अभी एनरोल कर लो यह टेस्ट आपको डेफिनेटली देना है इसका सिलेबस है जेई सिलेबस और कोऑर्डिनेट ज्योमेट्री आ रहा है मैथ्स में केमिस्ट्री और फिजिक्स के टीचर से आप पूछ सकते हो कि उन्होंने क्या-क्या सिलेबस डिसाइड किया है ठीक है तो बाकी आपका लेकिन इसमें फिजिक्स केमिस्ट्री मैथ्स सब कुछ आएगा ठीक है और यह जो टेस्ट है उसको आपको देना है कल 8 बजे 26 नवंबर को यह काफी इंपॉर्टेंट है इसको आप देख के अपना जो परफॉर्मेंस है उसको जज कर लेना इट इज कंपलीटली फ्री इसके लिए आपको कुछ पे करने की जरूरत नहीं है अनअकैडमी आइटम्स की टेस्ट सीरीज है ठीक है बाकी उसके अलावा आप यूसीएल में पार्टिसिपेट कर सकते हो व्हिच इज अनअकैडमी चैंपियंस लीग और इसका जो अगला एग्जाम है 28 नवंबर को है इसमें आप काफी सारे अच्छे-अच्छे प्राइजेस वगैरह जीत सकते हो ठीक है तो डेफिनेटली आप इसको भी अटेंप्ट कर सकते हो बहुत सारे प्राइस इसमें आपको मिल जाते हैं ठीक है प्लस आप अपना जो परफॉर्मेंस है उसको भी चेक कर सकते हो एक और अभी रिसेंटली स्टार्ट हुआ है विच इज डेली प्रैक्टिस पेपर मंडे टू थर्सडे 6:30 को आपके ये पेपर्स होते हैं इसमें आप पार्टिसिपेट कर सकते हो 15th नवंबर से ये ऑलरेडी स्टार्ट हो चुका है ठीक है अगले संडे को यानी कि 28 नवंबर को 11 बजे सुबह आपका मेगा कॉम्बैट कंडक्ट होने वाला है यह भी कंपलीटली फ्री है इसमें भी आप यह भी फ्री टेस्ट सीरीज है है ना यह जो टेस्ट स् है उसमें भी आप पार्टिसिपेट कर सकते हो अलग-अलग क्लास के लिए जैसे 11थ वालों के लिए अलग है 12थ वालों के लिए अलग है और ड्रॉपर्स के लिए भी अलग है 13th वालों के लिए इसमें भी आप काफी जरा अच्छे-अच्छे प्राइस जीत सकते हो ठीक है तो अनअकैडमी कॉम्बैट हर संडे को सुबह 11 बजे आप इसमें एनरोल कर सकते हो अगेन इसका लिंक आपको डिस्क्रिप्शन में मिल जाएगा और सबसे अच्छी बात है कि यहां पर आपको स्कॉलरशिप भी मिल सकती है तो स्पेशली मतलब अगर आप अफोर्ड नहीं कर सकते हो तो मेरे ख्याल से यह टेस्ट आपको डेफिनेटली देना चाहिए और टेस्ट में अगर आपकी रैंक अच्छी आती है तो बेस्ड ऑन योर रैंक आपको यहां पर अप टू 100% की स्कॉलरशिप भी मिल सकती है ठीक है तो डेफिनेटली आप इस टेस्ट को दे देना एंड बाकी मचाना टेस्ट में ठीक है ताकि आपको मैक्सिमम स्कॉलरशिप यहां पर मिल जाए फाइन चलो अब आई थिंक इसी के साथ हमारे 11थ के वन शॉट्स खत्म अगली क्लास में मिलेंगे और 12थ के वन शॉट चालू करेंगे रिलेशंस एंड फंक्शन से ठीक है तो अलविदा लेते हैं बाय बाय टेक केयर गुड नाइट सी यू ऑल इन द नेक्स्ट क्लास