दोस्तो प्रदीब गिरी अकाइग्वी चैनल में आपका बहुत-बहुत स्वागत है अब आपके सपोर्ट की जरूरत है आपने मांग किया आखिर कार मैं लेक्चर लेकर आ गया आपने बहुत ही मांग किया कि सर डीम के लेक्चर लाओ लेकर डीम के लेक्चर लाओ डीम मतल� तो दोस्तो जरूर इस lecture को देखने के बाद last में आप बहुत ही अच्छा comment करने वाले हो कि इस तरह से मैंने पूरा का पूरा lecture ही design किया है दोस्तो जो हमारा discrete mathematics का जो syllabus है उसके अंदर आपको बाकी mathematics के syllabus से एक चीज़ समझ लेना है कि इसके अंदर theory question भी पूछे जाते है तो इस तरह से मेरा पूरा का पूरा lecture होगा तो दोस्तो आज हम first lesson start करने जा रहे हैं set theory जो आपने already 9th class या 11th class या चोटी class में कहीं न कहीं पढ़ा होगा आपके exam में इस तरह से definition आ सकते हैं इसलिए मैंने यहाँ पर दिया है तो दोस्तों वहाँ पर आप collection of well defined object collection of well defined object मतलब क्या, जैसे ये अगर सबोज मैं आपको बोल रहा हूँ natural number less than 5 अब natural number less than 5 मतलब क्या होगा, set of natural number less than 5 तो मतलब दोस्तो आप natural number का starting कहां से होता है, 1 से होता है तो आप direct बता सकते हो, less than 5 मतलब 1, 2, 3, 4 कि month in a year अब year में month जो है, name the month सबका बता दूंगा, jam, feb, march, ऐसे पूरा का पूरा मैं बता सकता हूँ, तो ऐसी चीजे, जिसको मैं क्या कर सकता हूँ, दिफाइन कर सकता हूँ, ऐसे objects को, तो वहाँ पे, यहाँ पे हमें वही लिखा है, collection of well-defined object, अब दोस्तों, यहाँ पे हम जो state है, उसे हम कौन से letter से denote करते हैं, यह भी आपको पता होना चाहिए, उसे हम हमेशा दोस्तों, capital letter से denote करते हैं, जैसे यहाँ suppose मैंने बोला, a national number less than 5, अगर मुझे इससे लिखना है, तो मैं क्या करूँगा, state को सबसे पहले, capital letter से denote करूँगा अगर समझो मैंने A लिया और हमेशा इसे मैं curly bracket के अंदर लिखूँगा ये सब basic चीजे आपको पता होना चाहिए अगर in case theory question इसके पर पूछता है तो ये सब आप example दे और हर एक question जो भी आपसे question पूछते हैं उसमें आपको example देना है ये चीज हमेशा याद और यहाँ पर गाएगा 4, अब दोस्तो less than 5 मतलब हमें क्या करना है, 5 नहीं लिखना है, अगर उन्होंने equal to लिख दिया होता तो दोस्तो 5 भी आता, तो यह इस तरह से हमने इसके अंदर लिख दिया, एक और चीज मैं आपको बता दू, जो भी हम यहाँ पर curly bracket के अंदर जो भ है तो हमेशा स्मॉल लेटर में लिखना है याद रखना इसके अंदर के जो भी वैल्यूस होते हैं उसको स्मॉल लेटर में लिखते हैं अभी देखो मैंने वैल्यूस बोला पर दोस्तों इसे हम एलिमेंट्स बोलते हैं एलिमेंट्स और उसे कौन से लेटर में लिखते हैं स्मॉल लेटर में और हम सेट को दिनोट किससे करते दोस्तों रिप्रेजेंटेशन ऑफ सेट के थ्री टाइप्स हैं जिसमें मोशली हम दो टाइप्स को बहुत ही ज्यादा इंपोर्टेंट मानते हैं इसलिए यहां पर रेड कलर से मैंने लिखा है यहां पर जैसा आपको दिखाई दिया रहा है रोश्टर मेथड और आपके exam में roster method के बारे बे कुछ बताने के लिए आता है तो हम इसका use कब करते हैं दोस्तो जब elements कैसे रहेंगे limited रहेंगे, limited मतलब कम तो ही हम roster form पे जा सकते हैं अगर हमारे elements बहुत जादा हो देखो जैसे कि यहाँ पे जगो हमने week के naming लिए week के अंदर जो days हैं उसका naming लिए Sunday, Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday, Friday, Saturday तो यह limited है मैं इसको लिख सकता हूँ तो इस तरह से roster form में इस तरह से चीज़ों को लिखा जाता है roster form में Set builder form में दोस्तो, set builder form में हम mostly तब लिखते हैं जब हमारा element जो है बहुत ही huge रखता है, मतलब वहाँ पे बहुत ही ज़्यादा रहेगा, तो वहाँ पे हम क्या करेंगे, जब elements बहुत ही large quantity में रहेगा, तो हमें क्या करना होगा, set builder form यूज़ करना होगा, example देखके समझो, देख कॉमा देकर बोला और जो नेशनल नंबर है वो क्या है एक्स लेस्ट देन फिप्टी है लेस्ट देन फिप्टी मतलब वन से स्टार्ट होगा दोस्तों वन टू थ्री फॉर फाइड सिक्स सेवन एड अब टू 49 तक लिखना है तो इतने बड़े नंबर को अगर समझो मुझे ऐसा लिखना है कि numbers समझो मुझे 1 से लेके 70 तक numbers लिखना है, 1 से लेके 70 तक numbers लिखना है, तो मैं ऐसे लिख सकता हूँ, same देखो यहाँ पे, मैं इसको b naming दे रहा हूँ मेरे सेट को, और यहाँ पे for all x search that x is a या तो x, ऐसे भी देखो short form में भी लिख सकता हूँ, x belongs to national number, and x is less than, देखो 70 तक numbers आना चीज़, तो मैं 71 लूँगा है या तो सेवेंटी लिखकर इक्वल टू ले लूंगा तो इस तरह से यह जो है मेरा क्या होगा सेट विल्डर फॉर्म और वहीं अगर मैं नंबर वाइस यहां पर चीजें लिखने जाओ तो वह क्या हो जाएगा रोस्टर फॉर्म और स्टेटमेंट मैथड भी एक पर यहां पर यह एक इंपोर्टेंट तो नहीं बोलूंगा अ है पर उससे भी ज्यादा इंपोर्टेंट है अगर इनका बेसिक नहीं क्लियर है और यहां पर जरूर मैं आपको बहुत सारी चीजें बहुत अच्छे से क्लियर करके दे दूंगा दोस्तों नेशनल नंबर इवेन बहुत सारे आपको नेशनल नंबर के बारे में पता 1, 2, 3, up to infinity, मलिब 1 से start होता है, बस आपको ये पता होना चाहिए, और national number को हम capital N से denote करते हैं, दोस्तो integers को, हम capital Z से denote करते हैं, और integers बैसे ये, 0 है इसके right hand side वे 1, 2, 3 up to infinity और left hand side वे minus 1, minus 2, minus 3 up to infinity इस तरह से जो values आता है उसको हम integers बोलते हैं यहाँ पे क्या हो गया दोस्तो rational numbers rational numbers को हम coincident से denote करते हैं दोस्तो Q से और rational numbers क्या आता है दोस्तो हमेशा rational numbers को हम actually P by Q के form में denote करते हैं देखो P बाइक्यू के फॉर्म में डिनोट करते हैं और दोस्तों जो पी बाइक्यू का जो वैल्यू है वह हमेशा किसको इक्वल होगा इंटीजर्स को इक्वल होता है मतलब पी और बी अपी अपाइक्यू की जगह पर इंटीजर्स के वैल्यू हो सकते हैं इसमें से कोई भी वैल्यू हो सकता है बट यहां देखना क्यों जो है दोस्तों वह जीरो को इक्वल मतलब क्यों इज नॉट इक्वल जीरो तो भी कोई दिक्कत नहीं है आगे आपको सब चीजे समझ में आएगा तो इरैशनल नमबर्स को हम लेटर आया से डिनोट करते हैं इरैशनल नमबर्स मतलब ऐसे नमबर्स जैसे कि आप समझो जिसके root के answers बाहर नहीं आते हैं जैसे root 3 मैं बोलूंगा तो root 3 का answer आप Kelsey से निकाल सकते हो पर ऐसे directly नहीं निकाल सकते हैं जैसे अगर समझो मैंने root 25 बोला इसका answer आप directly से 5 निक तो ऐसे numbers जिसके हम root में answers बाहर नहीं निकाल पाते तो उसे आप irrational numbers समझ सकते हो और real numbers में दोस्तों सब कुछ आ जाता है, then इसके बाद complex numbers है, complex number आपको पता है I के form में जो रहता है, पढ़ने वाले हैं दोस्तों types of sets, अब दोस्तों types of sets के अंदर हम पढ़ने वाले हैं दोस्तो कि अगर समझो इसके अंदर एलिमेंट्स यह है इसके अंदर यह एलिमेंट्स और इसके अंदर यह एलिमेंट्स है और यह तीनों के तीनों एलिमेंट्स जिसके अंदर होंगे दोस्तों हम एक्सप्लेन कर सकते हैं उसे हम हमेशा कैपिटल यूज से डिनोट करते हैं यह भी आपको पता होगा और दोस्तों उसकी बाद नेक्स्ट है आपका सिंगलटन सेट देखो यह जितने भी सेट्स है इसको अच्छे से समझ लेना है सिंगलटन तो आपको ये अच्छे से समझ लेना है, देखो finite state जो है, अगर मैं आपको बोल रहा हूँ, अगर समझो मैंने बोला कि आपको कोई भी ऐसे बोला कि number, national number less than 5, अब national number मैंने बोला less than 5, तो national number less than 5 मतलब, दोस्तों अब देखो मैं यहाँ पे लिख रहा हूँ, less than 5 मतलब 1 से start हो लेस देन 8 तो आपको पता है कि whole number जो है अगर समझो मैंने इसको b ले लिया 0 से start होता है 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, less than 8 मतलब 7 तक आएगा तो दोस्तो ये जो अंदर यह जो elements है, इसे मैं क्या कर सकता हूँ, दोस्तों, count कर सकता हूँ, तो इसे हम क्या लेंगे, दोस्तों, finite, मतलब यह finite है, infinite मतलब जिसके बारे में हम proper counting नहीं कर सकते, for example, अगर मैं देखो, मैं बोलूंगा national, नैचर लंबर अपने टॉप नैचर लंबर अगर सब्सक्राइब दो डोट ड इसके बाद चलते हैं दोस्तों आगे, next है हमारा, null set, देखो अगर set की अंदर जो elements है, है ही नहीं, तो हम क्या बोलेंगा, अगर उसके अंदर elements ही नहीं है, तो हम क्या बोलेंगे, जैसे अगर समझो कोई set दिया है, for example यह है, ऐसा है, तो समझ जाने कि वो null set है, उसके अंदर क अगर समझो एका वैल्यू है वन और टू और बी है दोस्तों बी का जो सेट है उसका है वन टू और फोर अब दोस्तों अगर आप ध्यान से देखोगे तो इसमें जो छोटा है छोटा वाला कौन सा पहले देखो यहाँ पर वन टू है और यह वन टू पूरा का पूरा इसके अ M को मैं लिख रहा हूँ 2,3 और दोस्तों मैं N लिख रहा हूँ, N को मैं लिख रहा हूँ 2,3,4,9 तो दोस्तों आप बता सकते हो कि ये जो M है जो M है दोस्तो, M के पूरे elements N के अंदर है, तो आप ऐसा बोल सकते हैं, M is the subset of N, तो इस तरह से यह subset का matter है, बहुत ही simple, super set क्या होता है दोस्तो, अब देखो यह दोनों में बड़ा कौन सा आपको दिख रहा है, यह वाला, तो दोस्तो इसे ही हम बोलेंगे, B जो है, कि अ पावर सेट अगर मुझे बताना तो मैं देखो उसको पीए सिंबॉल से बता रहा हूं तो आप उसे सबसे पहले देखो मैं यहां पर क्या लिख रहा हूं नल सेट लिख रहा हूं पहले मैंने नल सेट लिखा देने इसके बाद दूसरा सेट मैं बहुत सा लिखूंगा पता है इसके अंदर से मैं एक लूंगा ए फिर इसके अब मैं लूंगा बी देन दोस्तों इसके बाद एबी होने के बाद फिर एवं को साथ में लूंगा फिर यहां पर मैं लूंगा ए कमां भी तो इस तरह से यह पूरा का पूरा अगर आप 3 4 कितने वे एलिमेंट से फॉर और वह कैसे भी आप निकाल सकते अगर आपको निकालना है तो रेस्ट यहां पर नंबर ऑफ एलिमेंट का फॉर लाइक इसके अंदर आप देखोगे कितने वैल्यूज है तो यहां पर टू रेस्ट लिखोगे फॉर तो हूं और एग्जांपल अगर समझे यहां पर लिख रहा हूं एक वर्ल्ड तो अगर यहां पर वन है टू है थ्री है तो देखो आपको पता चल जाएगे कि पावर सेट में कितने वैल्यूज आने वाले हैं, आपको बस फॉर्बला पता है 2 रेज्टू एन, अब 2 रेज्टू यहाँ पे टोटल 3 एलिमेंट्स है, 2 रेज्टू 3 मतलब 8 एलिमेंट्स, आपको पता है कि 8 एलिमेंट्स आएगे अगर आपको निकालना है तो सबसे पहला null set, फिर इसके आद क्या आएगा, 1, फिर क्या आएगा दोस्तो 2, फिर क्या आएगा दोस्तो 3, कॉमा लेते जाना, फिर क्या आएगा दोस्तो, अब देखो 1, 2, 3 हो गया, अब 1 को 2 के साथ, अब क्या लिखो के साथ, 1 को 3 को साथ, फिर दोस्तों, 2 को 3 के साथ, 2 को 3 के साथ, अब दोस्तों, 2 के साथ, यह तो 1 के साथ दोनों elements को ले लिया, 2 के साथ सभी को ले लिया, अब सब कुछ हो गया, पूरे को एक साथ लिख दो, तो 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, टोटल नंबर of elements कितने आए, 8, तो इस तरह से आप power set, तो आप power set के values को, आगे, next question की, अगर आप यहाँ, यहां पर देखोगे डिस्जॉइंट सेट दिखाई दे रहा है डिस्जॉइंट सेट मतलब दोस्तों दो सेट है और उसके एलिमेंट से एक दूसरे को इक्वल ही नहीं है फॉर एक्जांपल यहां पर एसेट उसके एलिमेंट 12 है और बी सेट है उसके बालेंगे दोस्तों डिस्ट्राइन सेट इक्वल सेट और इक्विवेलेंट सेट आपको बहुत अच्छे समझ लेना इक्वल सेट मतलब अंदर के जो elements है दोस्तों वो भी same होंगे, for example अगर आप देखोगे इसके अंदर elements कुछ है, a, b, c, क्या इसके अंदर order कुछ भी हो, sequence कुछ भी हो, इसका कोई दिक्कत नहीं है, sequence का कोई दिक्कत नहीं है, पर elements same होना चाहिए, अगर suppose इसके अंदर one a है, तो इसके अंदर एक इसके अंदर जितने elements है उसके number same होने चाहिए, इसके अंदर total elements कितने 1, 2, 3, 4, क्या इसके अंदर भी 1, 2, 3, 4 है, 1, 2, 3, 4, हाँ, इसके अंदर भी 4 elements है, तो दोस्तो इसलिए हम क्या बोलेंगे, इसको equivalent set बोलेंगे, तो ये दोनों के बीच में difference समझ के रखना और मुझे ऐसा लग रहा है कि आपको समझ में आ रहा है तो इसके बाद आता है overlapping set overlapping मतलब अगर कभी भी कोई भी एक element जो है दोस्तो अगर वो repeat हो रहा है बस एक element दोनों में same हो जा रहा है जिससे अगर समझो यहाँ पे कोई disjoint set है पर उसमें कोई एक element same हो जा रहा है तो से हम क्या लेंगे दोस्तो ओवरलैप अब दोस्तों यह होने के बाद, next है हमारा, यह आपको आगे use होगा, जिसके पर आपको question आने वाला, university में आपको question क्या पुछेंगे, वो भी मैं आपको बताते जाओंगा, उसका दिक्कत मत लेना, cardinality of set, अब देखों यहाँ पर cardinality of set मतलब यहाँ पर क्या होगा, देखों वान टू थ्री फॉर तो इसका कार्डिनिलिटी ऑफ सेट क्या आएगा दोस्तों फॉर जिसे हम इस तरह से भी लिख सकते हैं मॉड के फॉर्म में जिसे आप मॉड बोलते जैसे यह डिटर्मिनेंट की तरह दिख रहा है यात्र आफ एन ऑफ ए वाल्ड विफ्फ लिख सकते हो अब देखो अगर समझो य 9,8,2,4,8 तो आप मुझे बताओ चलो मैं यहाँ पे element इतना ही रख रहा हूँ आप मुझे बताओ कि इसका cardinality of set का answer क्या आएगा मुझे please comment करके बताना अब दोस्तो इसके बाद के lectures में हम start कर देंगे Venn diagram Venn diagram बहुत important part है और Venn diagram से ही हम दोस्तो जो हमारे बड़े word problem 6-6 marks के पूछने वाले वहाँ ही से start होगा पर आज का lecture बहुत ही ज़्यादा important था जो basic चीज़े थी आज मैंने सब कुछ कुछ आपको बता दी अब मुझे ऐसा लग रहा है कि आपको बहुत ही अच्छा लगा होगा और बहुत कुछ आपको पता चला और इसके बाद वाला लेक्शर दोस्तों मिस आउट मत करना उसके अंदर भी बहुत सारी चीजें सीखने वाले