بسم الله الرحمن الرحيم الدرس السادس في الفصل السادس من رياضيات صف الأول المتوسط الحوادث والاحتمالات فكرة أو هدف الدرس أجد احتمال وقوع حادثة سنتعرف في هذا الدرس على النواتج الحادثة الاحتمال عشوائي الحادثة المتممة في تجربة القاء قطع نقدية لاحظ هذا الوجه مرسوم عليه شعار سيفين ونخلة شعار وهذا الوجه مكتوب عليه كتاب خمسون هللة أو نصف ريال عند إلقاء قطعة نق��ية فإنه سيظهر لدينا شعار أو قد يظهر لدينا كتاب إذن في هذه التجربة ظهر لدينا شعار أو كتابة تسمى النواتج إذن النواتج هي كل ما يمكن أن ينتج عن تجربة ما الحادثة هي ناتج واحد يعني مثلا شعار أو مجموعة نواتج أو شعار وكتابة مثلا وتسمى فرصة أو إمكانية وقوع الحادثة مثلا شعار أو كتابة تسمى احتمال الحادثة ونرمز لهذا الاحتياط احتمال بالرمز حا حادثة يعني احتمال حادثة دائما نرمز للاحتمال بحرف الحا والحادثة داخل القوسين احتمال حادثة يساوي عدد النواتج في الحادثة غالبا تكون جزئية على الكل على العدد الكلي للنواتج الجزء الاول من الدرس ايجاد الاحتمال فمثلا لو كان لدينا مكعب الارقام الذي يحتوي على الاعداد من 1 إلى 6 وطلب مني ما احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي المكعب احتمال عدد زوجي يساوي عدد الاعداد الزوجية الممكنة على العدد الكلي للنواتج الاعداد الموجودة في المكعب هي 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 ننظر ما هي الاعداد الزوجية من هذه الاعداد نجدها 2 و 4 و 6 إذن عددها 1 2 3 3 على كل النواتج التي هي 6 إذن 3 على 6 وبالتبسيط القسمة على 3 و 1 و القسمة على 3 و 2 إذن احتمال الحصول على عدد زوجي يساوي 1 على 2 أو يساوي 5 من 10 أو بالنسبة المئوية يساوي 50% تحقق من فهمك عند رمي المكعب السابق وجد الاحتمالات التالية واكتبها في أبسط صور ألف حا عدد فردي يعني احتمال عدد فردي ذكرنا أن أرقام المكعب هي الأرقام من 1 إلى 6 السؤال ألف حا عدد فردي يعني احتمال ظهور عدد فردي يساوي أولا دعونا نتذكر الأعداد الفردية هي 1 و 3 و 5 و 7 وهكذا الأعداد التي لا تقبل القسمة على 2 الآن ننظر للأعداد الفردية الموجودة في أرقام المكعب أولا 1 عدد فردي 3 عدد فردي 5 عدد فردي إذن يوجد لدينا واحد اثنين ثلاثة اعداد فردية ستكون في البص ثلاثة هذه نواتج الحادث اما المقام في هذا السؤال دائما سيكون ستة لماذا؟ لان كل النواتج الممكنة عددها ستة اذا دائما في هذا السؤال سيكون المقام النواتج الممكنة كل النواتج الممكنة وهو ستة الآن وجدنا الاحتمال 3 على 6 لكن في السؤال مطلوب التبسيط إلى أبسط صور التبسيط عبارة عن قسمة قسمة البسط والمقام على قاسم مشترك أكبر في هذا المثال البسط ثلاثة يقسم المقام من قواسم المقام فلذلك نقسم على البسط بسطا ومقاما نقسم على ثلاثة في البسط ونقسم على ثلاثة في المقام ثلاثة تقسيم ثلاثة يساوي واحد ستة تقسيم ثلاثة يساوي اثنين إذن احتمال عدد فردي يساوي واحد على اثنين يعني نصف ولو أردنا الكتابة بالكسورة العشرية سيكون خمسة من عشرة وبالنسبة المئوية خمسين بالمئة با احتمال ظهور العدد خمسة أو ستة الفقرة با المطلوب حا خمسة أو ستة احتمال ظهور العدد 5 أو 6 إذن الخمسة موجودة مرة واحدة والستة كذلك موجودة مرة واحدة إذن يساوي كسر في البسط عدد النواتج للحادثة يعني 1 2 إذن في البسط 2 لأن العدد الكل للنواتج 6 إذن المقام 6 وجدنا احتمال 5 أو 6 يساوي 2 على 6 المطلوب أيضا في السؤال التبسيطي لأبسط صورة نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر إذن نقسم على 2 ونقسم على 2 لأن 2 في البسط يقسم المقام فهو القاسم المشترك الأكبر لهما يساوي 2 تقسيم 2 يساوي 1 6 تقسيم 2 يساوي 3 الآن في أبسط صورة جيم ها عدد أولي يعني احتمال عدد أولي ها عدد أولي يعني احتمال ظهور عدد أولي دعونا نتذكر أولا ما هي العدد الأولية هي العداد التي لها قاسما فقط واحد ونفس العدد والأعداد الأولية الأكبر من صفر هي اثنين ثلاثة خمسة سبعة وهكذا لماذا؟ لأن 2 تساوي فقط 1 ضرب 2 1 في نفس العدد 3 فقط تساوي 1 ضرب 3 5 تساوي 1 ضرب 5 7 تساوي 1 ضرب 7 وهكذا ننظر الآن في أعداد المكعب 2 عدد أولي 3 عدد أولي 5 عدد أولي إذن احتمال عدد أولي يساوي كسر في البسط نواتج الحادثة وهي 1 2 3 والمقام كما ذكرنا 6 هي العدد الكل للنواتج أيضا مطلوب التبسيط إلى أبسط صورة لكن هذا الكسر موجود في الفقرة ألف 3 على 6 قسمنا على 3 وكان الناتج 1 على 2 نصف إذن هنا مباشرة يساوي نصف نقول إن النواتج تحدث عشوائيا إذا حدث كل ناتج منها مصادفة فمثلا عند رمي القطع النقدية نقول أن النواتج تحدث عشوائيا تحقق من فهمك يعمل في شركة 14 موظفاً كما هو مبين في الجدول إذا اختارت الشركة أحد الموظفين عشوائياً لأداء فريضة الحج لهذا العام على نفقة الشركة فأوجد احتمالات الحوادث التالية و اكتبها في أبسط صورة قبل البداية لاحظ هنا أن عدد النواتج الكل الذي هو عدد الموظفين يساوي 14 6 زائد 14 زائد 13 زائد 1 14 إذن المقام في هذا السؤال دائما سيكون 14 الفقرة دال حاء سائق يعني احتمال اختيار السائق نعود إلى الجدول نجد أن وظيفة السائق 3 إذن نواتج الحادثة في البس 3 والمقام المقام هو العدد الكل للنواتج الذي هو 14 مجموع الموظفين يساوي 14 موظفا إذا حاء سائق يساوي 3 على 14 وهنا 3 على 14 كسر مكتوب في أبسط صورة لا يحتاج إلى تبسيط الفقرة ها حاء موظف احتمال اختيار موظف لا يوجد هنا مسمى موظف ولكن الجميع موظف كلهم موظفين في هذه الشركة فلذلك هو المجموع الكلي يعني 14 على العدد الكلي للنواتج 14 إذن سيكون 14 على 14 إذن حاء موظف احتمال موظف يساوي 14 على 14 هنا مطلوب تبسيط 14 على 14 دائماً العدد تقسيم نفسه يساوي 1 لأن الاحتمال هنا مؤكد 100% فيساوي 1 الفقرة ز ح طبيب يعني احتمال اختيار طبيب نعود إلى الجدول لا يوجد طبيب بما أنه لا يوجد طبيب إذن نواتج الحادثة صفر على النواتج الكلية أو العدد الكلي للنواتج 14 إذن بما أنه لا يوجد طبيب يساوي هنا الاحتمال صفر على العدد الكلي للنواتج 14 ويساوي طبعا صفر دائما صفر تقسيم أي عدد الناتج يكون صفر وهنا في الاحتمال يسمى احتمال مستحيل لأنه لا يوجد طبيب فتكون النسبة 0% الفقرة ها احتمال فني أو سائق ننظر إلى الجدول الفني 6 والسائق 3 إذن نجمع 6 زائد 3 يساوي 9 في البص 9 عدد نواتج الحادثة على العدد الكلي للنواتج 14 إذن سيكون 9 على 14 إذن احتمال فني أو سائق يساوي 9 على 14 وهنا الكسر 9 على 14 مكتوب في أبسط صورة لا يحتاج إلى تبسيط لأنه لا يوجد قاسم مشترك بين العددين 9 و 14 الجزء الثاني من الدرس الحوادث المتممة قد يشارك سلمان في الرحلة المدرسية أو لا يشارك إذن هاتان الحادثتان مشاركته وعدم مشاركته هاتان الحادثتان هما حادثتان متتامتان إن مجموع احتمال الحادثة واحتمال متممتها يساوي 1 أو 100% باستعمال النسبة المئوية وبالرموز حالف يعني احتمال ألف حادثة ألف زائد حامت هذا رمز متممة ألف يعني احتمال متممة الحادثة ألف مجموعهما يساوي واحد أو يساوي مئة بالمئة لو كان لدينا احتمال حادثة أربعة على ستة فإن متممة هذه الحادثة أثنين على ستة لماذا؟ لأن احتمال الحادثة واحد احتمال متممتها مجموعهما يساوي 1 4 على 6 زائد 2 على 6 يساوي 6 على 6 ويساوي 1 لو كان لدينا احتمال حادثة 1 على 5 فإن احتمال متممتها 4 على 5 لأن مجموع 1 على 5 زائد 4 على 5 يساوي 5 على 5 ويساوي 1 لو كان لدينا احتمال حادثة 1 على 3 فإن متممة هذه الحادثة تساوي 2 على 3 لأن مجموع 1 على 3 زائد 2 على 3 يساوي 3 على 3 ويساوي 1 وهكذا تحقق من فهمك قام معلم بتوزيع طلبة الصف الأول المتوسط على ست مجموعات لتقوم كل مجموعة بنشاط ما إذا استعمل المعلم قرصا دوارا كما في الشكل لتحديد ترتيب المجموعات لعرض نشاطاتهم فمحتمال ألف ألا تكون المجموعة الرابعة هي من تعرض نشاطها أولا إذن هنا يريد متممة المجموعة الرابعة يعني نستبعد المجموعة الرابعة وننظر كم بقي مجموعة إذا استبعدنا المجموعة الرابعة بقي لدينا 1 2 3 4 5 مجموعات والكل 6 مجموعات نواتج الحادثة على العدد الكلي للنواتج نواتج الحادثة ألا تكون الرابعة إذن نستبعد الرابعة تبقى لدينا خمس مجموعات على الكل الكل ست مجموعات إذن خمسة على ست إذن خمسة على ست ولا يحتاج إلى تبسيط لأن الأعداد متتالية خمسة وست فهو مكتوب في أبسط صور با ألا تكون المجموعة الأولى ولا الثالثة هي من تعرض نشاطها أولى إذن نستبعد الأولى والثالثة نستبعد الأولى والثالثة فيتبقى لدينا 4 مجموعات 4 على الكل 6 4 على 6 وهنا الكسر يحتاج إلى تبسيط لاحظ أن البسط لا يقسم المقام فلذلك نبحث عن قاسم مشترك أكبر بين البسط والمقام نجده العدد 2 لأن العددان زوجيان إذن نقسم على 2 في البسط والمقام لو قسمنا 4 تقسيم 2 يساوي 2 و 6 تقسيم 2 يساوي 3 والآن أصبح مكتوب في أبسط صور تمارين تأكد استعمل القرص الدوار لإيجاد الاحتمالات التالية في أبسط صورة هذا هو القرص الدوار قسمه إلى ثمانية أجزاء ووضع عليه بعض الحروف واحد حا ميم يعني احتمال وقوف المؤشر على الحرف ميم إذا نستعمل القانون حا حادثة يساوي عدد النواتج في الحادثة على العدد الكلي للنواتج إذن ميم هنا مرة واحدة فقط إذن عدد النواتج في الحادثة واحد على العدد الكلي للنواتج ثمانية نواتج إذن واحد على ثمانية يساوي واحد على ثمانية وواحد على ثمانية مكتوب في أبسط صورة لأن البسط واحد إذا كان البسط واحد فإن الكسر مكتوب في أبسط صور هنا ملاحظة في جميع الأمثلة الثلاثة لأننا نتكلم عن نفس القرص هنا سيكون المقام دائما ثمانية لأن العدد الكلي للنواتج يساوي ثمانية نواتج الثنين حا قاف أو را يعني احتمال وقوف المؤشر على قاف أو را ننظر إلى قاف موجودة مرة واحدة ورا أيضا موجودة مرة واحدة إذن عدد النواتج في الحادثة ثنين على العدد الكلي ثمانية إذن هنا يساوي 2 على 8 يحتاج إلى تبسيط نقسم البسط والمقام على 2 لأن 2 من قواسم 8 فنقسم على 2 في البسط و 2 في المقام 2 تقسيم 2 يساوي 1 و 8 تقسيم 2 يساوي 4 3 ح حرف عل يعني احتمال وقوف المؤشر على حرف عل أولا ما هي حروف العلة؟ حروف العلة في اللغة العربية هي ألف و ياء إذا نبحث عن هذه الثلاثة الأحرف في القرص و موجود مرة واحدة أما الألف و الياء فغير موجودة إذا لدينا فقط النواتج في الحادثة واحد على كل النواتج ثمانية إذن سيكون الاحتمال يساوي واحد على ثمانية يساوي واحد على ثمانية وهو مكتوب في أبسط صور لأن البصد واحد وضع في كيس سبع كرات زرقاء وخمس كرات سوداء واثنى عشر كرى حمراء وست كرات برتقالية ثم سحبت كرة من الكيس بشكل عشوائي أوجد الاحتمالات التالية وأكتبها في أبسط صورة 4- حاء سوداء وضعنا السؤال هنا حتى يكون لدينا مساحة للحل أولا نوجد المجموع الكل للحوادث وهو مجموع الكرات 7 زائد 5 زائد 12 زائد 6 7 زائد 5 12 زائد 12 24 زائد 6 ثلاثي إذن هنا دائما المقام سيكون 30 وهو العدد الكلي للنواتج السؤال الرابع حاء سوداء يعني احتمال خروج كرة سوداء سوداء هنا خمسة خمس كرات سوداء إذن يساوي خمسة نواتج الحادثة على الكل على ثلاثين جميع النواتج خمسة على الآن وجدنا الاحتمال 5 على 30 لكن المطلوب في أبسط صورة إذن نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر هنا السؤال هل البسط من قواسم المقام؟ نعم 5 من قواسم 30 إذن نقسم على 5 في البسط والمقام تقسيم 5 وفي المقام أيضا تقسيم 5 يساوي 5 تقسيم 5 يساوي 1 و 30 تقسيم 5 يساوي 6 الآن أصبح في أبسط صور سؤال 5 حاء حمراء أو برتقالية يعني احتمال خروج كرة حمراء أو برتقالية إذن ننظر إلى الحمراء 12 والبرتقالية 6 المجموع 12 زائد 6 يساوي 18 إذن 18 على الكل 18 على 30 إذن يساوي 18 على 3 بما أن الأعداد كبيرة نوعا ما نستطيع التحليل ثم حذف المشترك يعني 18 تساوي 2 ضرب 9 2 أولي ضرب 9 يساوي 3 ضرب 3 انتهينا من تحليل 18 نحلل 30 30 يساوي 6 ضرب 5 الستة نحللها غير أولي نحللها إلى 2 ضرب 3 ضرب الخمسة أولي كما هو حللنا 18 و 30 نستطيع أن نحذف الآن المشترك الاثنين مشترك نحذفهم من العددين ثلاثة أيضا مشترك الأولى نحذفها تبقى لدينا ثلاثة و خمسة إذن يساوي ثلاثة على خمسة وهو في أبسط صورة لأن الإعداد أولي سؤال ستة حاء خضراء يعني احتمال خروج كرة خضراء ننظر في السؤال هل يوجد كرات خضراء؟ لا لا يوجد خضراء زرقاء سوداء حمراء برتقالية لا يوجد خضراء إذن خضراء صفر عدد النواتج في الحادثة يساوي صفر إذن هنا يساوي صفر على الكل ثلاثي ويساوي كما سبق وقلنا صفر تقسيم أي عدد يساوي صفر يعني مستحيل خروج كرة خضراء من هذا الكيس سؤال سبعة ح ليست زرقاء هنا متممة ليست زرقاء يعني احتمال متممة الزرقاء يعني أي كرة غير الزرقاء فنستبعد مباشرة الزرقاء نستبعد الزرقاء ونأخذ كل الألوان الأخرى 5 زائد 12 17 زائد 6 23 إذن هنا ح ليست زرقاء يساوي 23 على 30 على الكل 30 العدد 23 أولي ولا يقسم الثلاثين إذن الكسر مكتوب في أبسط صور السؤال ثمانية ح ليست حمراء ولا برتقالية يعني متممة الحمراء والبرتقالية نستطيع حذف الحمراء والبرتقالية إذن نحذف الحمراء ونحذف البرتقالية ونأخذ الألوان الأخرى التي هي زرقاء وسوداء سبعة زائد خمسة يساوي اثنى عشر اذا اثنى عشر على الكل ثلاثين اذا يساوي اثنى عشر على ثلاثين الكسر اثنى عشر على ثلاثين يحتاج الى تبسيط البسط اثنى عشر لا يقسم الثلاثين ليس من قواسم الثلاثين اذا نبحث عن القاس المشترك الاكبر للبسط والمقام ثم نقسم عليه أفضل طريقة هي التحليل وحدث المشترك يعني نحلل 12 إلى عوامله الأولية يساوي 4 ضرب 3 مثلا 4 يساوي 2 ضرب 2 و 3 أولي كما هو إذن حللنا 12 الآن نحلل 30 30 يساوي 5 ضرب 6 5 أولي كما هو الستة نحلله إلى 2 ضرب 3 الآن نحذف المشترك أثنين مشترك نحذفه مع اثنين أثنين ليس مشترك ثلاثة مشترك نحذفه مع ثلاثة يتبقى لدينا هنا اثنين وهنا خمسة إذن يساوي أثنين على خمسة وهو مكتوب في أبسط صورة لأن العداد أولية سؤال تسعة ح ليست صفراء يعني احتمال الكرات غير الصفراء إذن نأخذ كل الألوان غير الصفراء لا يوجد صفراء لا يوجد كرات صفراء إذن نأخذ جميع الألوان جميع الألوان يعني كل الكرات 30 كرة إذن نواتج الحادثة في البصد 30 كل الكرات على المقام العدد الكلي للنواتج 30 إذن يصبح 30 على 30 ويساوي 1 وهذا هو المؤكد الاحتمال المؤكد سؤال عشرة يبين الجدول عدد القصص التي قرأها طلاب الصف الأول المتوسط هذا الجدول إذا اخترنا أحد الطلاب عشوائيا فمحتمال ألا يكون قرأ ثلاث قصص أو أكثر إذن سنستبعد ثلاثة أو أكثر ونأخذ الباقي الباقي 6 زائد 15 يساوي 21 والكل 25 6 زائد 15 زائد 4 يساوي 25 21 على 25 لو نظرنا إلى البسط والمقام لا يوجد قاسم مشترك بينهما إلا الواحد فلذلك يكون مكتوب في أبسط صورة