Ich möchte ein paar Gedanken zum Thema lineare Algebra reinwerfen, Matrizen, Vektoren, in Linearkombination denken. Vielleicht, falls ihr jetzt irgendwo zwischen Klasse 5 und 10, 11, 12 zuschaut, vielleicht ist es eher was für angehende Abiturienten, dann auch im LK-Bereich oder Studenten oder für die, die Bock haben auf Mathematik. Es geht um die Geschichte, ich sortiere das auch so ein oder verlinke. dass ihr, wenn ihr grundsätzliches braucht, zum Beispiel zur Matrizenmultiplikation oder Rechnen mit Vektoren, dass ihr da nochmal nachgucken könnt und dann so ein bisschen das Big Picture vielleicht dann hinbekommt.
Mal sehen, was ihr hier darauf dann kommentiert. Ich nehme mal folgendes, so eine klassische Matrix. 2, 1, 2, 1, 1, 3 und 3, 2. und 5 und jetzt in der Multiplikation mal x1, x2, x3, da könnte auch x, y, z stehen.
Ihr habt also hier eine 3 x 3 Matrix, eine Anhäufung von Zahlen erstmal. Hier habt ihr ein Vektor, ihr könnt in dem Sinne schreiben 3 x 1, drei Zeilen, eine Spalte. Und es gibt ja jetzt verschiedene Betrachtungsweisen, wie man jetzt diese Multiplikation sieht.
Und es gibt eine sehr typische und es gibt eine eigentlich bessere, wenn man von der mathematischen Seite her geht. Das typische, was ihr wahrscheinlich sagen werdet, ist Zeile mal Spalte. Das hat man entweder in der Schreibweise gelernt oder so ein bisschen versetzt. Und da würde man dann jetzt hinschreiben 2 mal x1. plus einmal x2 plus dreimal x3 dann die zweite Zeile mal diese Spalte wäre einmal x1 plus einmal x2 plus zweimal x3 und die dritte Zeile mal die Spalte hier wäre zweimal x1 plus dreimal x2 plus fünfmal x3 ich schreibe das extra hier einmal so hin, damit man wirklich immer so Zusammenhänge hat.
Viel interessanter und besser wäre es eigentlich, es so zu verstehen und zu sehen, dass ich das Ganze hier umschreiben könnte zu x1 mal 2, 1, 2 plus x2 mal 1, 1, 3 plus x3 mal 3, 2, 5. Und schon haben wir eine Kombination aus jeweils ein Vektor mal x1, x2 oder x3, entsprechend dann einer Zahl. Also haben wir hier eine Linearkombination. Und jetzt sollte einem eigentlich etwas so ein bisschen ersichtlicher werden. Zum Beispiel, das ist hinterher wichtig, wenn man dann rund um das Thema Lineareigebra, wenn man tiefer reingeht in das Rechnen mit Matrizen, Determinanten etc., dass man das irgendwie so...
sich vor Augen hält. Jetzt könnte man vielleicht auch sehen, das habt ihr vielleicht am Anfang hier schon gesehen, wenn ich also dieses Verständnis habe von, da ist nicht nur eine Anhäufung von Zahlen in der Matrix, sondern da sehe ich Vektoren, die ich jetzt spaltenweise betrachte. Da kann man übrigens dann auch zahlenweise drauf gehen, wenn man die ganze Matrix nach einem gewissen Schema umschreibt. Hier könnte man jetzt sehen, 2, 1, 2 der Vektor, wie auch immer der jetzt, also x1, x2, x3, 2, 1, 2 ist irgendein Vektor, dann 1, 1, 3, das ist ja offensichtlich kein Vielfaches von diesem Vektor, geht also auch in irgendeine Richtung und vielleicht sieht man jetzt schon etwas, 2, 1, 2. plus 1, 1, 3, 2 plus 1 ist 3, 1 plus 1 ist 2, 2 plus 3 ist 5. Das heißt, dieser Vektor hier, den kann ich aus einer Kombination dieser beiden, nämlich mit 1 mal 2, 1, 2 plus 1 mal 1, 1, 3 gleich 3, 2, 5 schreiben. Und jetzt sollte einem schon klar sein, wenn ich diese drei Vektoren betrachte, dann...
Was machen dann diese drei Vektoren? Mit diesen drei Vektoren kann ich nur sämtliche Punkte in einer Ebene beschreiben, nämlich die Ebene, die, wenn ich sie mit diesen beiden Vektoren hier aufspanne, dann sieht man das vielleicht schon hier, also das wäre jetzt so wie, hier wäre x1, x2, x3, das wäre x1, x2, x3, da hat man ja oftmals diese Basisvektoren 1, 0, 0, 0, 1, 0. 0, 0, 1. Und diese drei Vektoren, die spannen ja komplett R3 auf, sodass ich jeden Punkt im Raum bestimmen kann. Da könnte es ja naheliegend sein für manche. Wenn ich dann wieder drei Vektoren habe, kann ich auch jeden Punkt im Raum beschreiben, aber vielleicht sieht man jetzt schon, also ich teste ja heute mal in dem Video, dass diese beiden ersten Vektoren, der eine in die Richtung, der andere in die, eine Ebene aufspannen, da die beiden kein Vielfaches voneinander sind. Jetzt aber der dritte durch ein Vielfaches von den beiden in der Kombination ausgedrückt wird, das heißt, der liegt ja dann irgendwo innerhalb dieser Ähnlichkeit.
Also nur... Punkte innerhalb dieser Ebene bestimmen. Und schon kommt man hinterher in das Verständnis, wenn es dann in Basis und Dimension geht und kriegt dafür auf einmal einen Blick.
Wenn man diese, ich sag mal, simple Geschichte nimmt von Anfang an, ich betrachte die Matrix nicht nur einfach als Anhäufung von Zahlen, sondern gerade hier jetzt in dieser Multiplikationsschreibweise, In der Art als Linearkombination von Vektoren. Und ich garantiere euch, wenn man darüber, vielleicht mache ich da mal eine kleine Serie zu, ich weiß es nicht, an Videos, wenn man da einen Blick für bekommt, dann fällt einem sehr, sehr vieles viel, viel, viel, viel einfacher.