Hallo, hallo! Heute möchte ich zusammen mit euch Nullstellen berechnen, und zwar Nullstellen von Kurvenscharen. Wir haben hier also unsere Funktion, in der nicht nur x drin steckt, sondern auch ein Parameter a.
Und da wird es ab und zu ein bisschen schwierig bzw. ein bisschen unübersichtlich, wie man bei solchen Funktionen dann die Nullstellen findet. Wir starten hier vorne mit dem Beispiel, haben aber noch einige, die kommen. Also ich hoffe, du hast ein bisschen Zeit mitgebracht. damit wir das jetzt zusammen durchgehen können.
Um Nullstellen zu finden, gehen wir aber ganz genauso vor wie immer auch. Wir nehmen uns diese Funktion her und setzen die gleich Null. Und jetzt lösen wir diese Gleichung eben nach unserer Unbekannten auf, nach unserer Variablen, also nach x. Da muss man auch immer genau hingucken, wonach man jetzt überhaupt aufzulösen hat. Immer das, was hier in der Klammer steht, ist unsere Variable.
Und hier kann man jetzt eigentlich ganz gut vorgehen, denn man hat hier so eine Summe, so ein Plus und in jedem Teil dieser Summe steckt ein x drin. Dann würde ich euch vorschlagen, klammert ein x aus. Dann kann man nämlich viel einfacher rechnen gleich.
Also wenn wir ein x rausziehen, haben wir hier nicht mehr x², sondern nur noch x. Und wenn wir hier ein x rausziehen, dann steht das a nur noch da, gleich 0. Und jetzt ist es schön angenehm. Jetzt haben wir hier irgendwas mal irgendwas gleich 0. Das können wir jetzt so aufteilen, denn einer von diesen Teilen muss auf jeden Fall 0 sein.
Das heißt, entweder hier vorne der erste Teil ist gleich 0, also entweder das x ist gleich 0, oder weitere Lösungen finden wir, indem wir das andere gleich 0 setzen. Und jetzt können wir jede Gleichung hier für sich nach x auflösen. Das Praktische ist, das ist schon nach x aufgelöst, also eine Nullstelle. Haben wir schon. x gleich 0 ist nämlich eine.
Und das hier lösen wir jetzt noch nach x auf, indem wir minus a rechnen. Dann finden wir eben x gleich minus a als zweite Nullstelle. Und das war es schon. Also ihr rechnet ganz normal mit den Regeln, die ihr kennt, aber passt so ein bisschen auf die Parameter dann eben auf. Vor allem, wenn man durch irgendwas teilt.
Da muss man dann aufpassen, dass man eben nicht durch 0 teilt, so was zum Beispiel. Oder wenn Wurzeln ins Spiel kommen. Okay, nächstes Beispiel.
Ja, das sieht schon ein bisschen anders aus. Hier oben steht die Funktion. Ich habe sie jetzt gerade schon mal dann gleich 0 hier hingeschrieben.
Das ist ja immer der erste Schritt. Unser a ist positiv. Das steht hier schon mal.
Okay, müssen wir mal schauen, wo wir das benutzen können. Auch hier haben wir jetzt so einen riesen Teil. x hoch 3 ist nicht so einfach zu lösen, aber auch da ist in jedem Teil ein x. Also ziehen wir das mal raus. Ausklammern heißt.
Hier ist nur noch x² da, hier nur noch minus 2ax, ein x geht ja weg, und hier hinten geht das x weg, da ist nur noch das a² da. Und auch jetzt können wir jeden Teil einzeln lösen. Entweder das x ist gleich 0 oder das Ding in der Klammer ist gleich 0. So, einmal hingeschrieben, x gleich 0 hier vorne.
Eine Nullstelle haben wir schon mal, das ist gut. Jetzt müssen wir das hier nach x auflösen. Und das hier löst man jetzt mit der pq-Formel oder abc-Formel, je nachdem, welche ihr benutzt.
Wir haben ja hier x² und hier x, also jetzt kommt der Fall, dass es so unübersichtlich wird, weil man einfach so viele Buchstaben hier drin hat. Aber von der Struktur ist es was mit x², was mit x und etwas ohne x. Und das ist eben prädestiniert.
um die p-q-Formel anzuwenden. Und zwar ist der Teil vor dem x unser p und der Teil, der gar kein x hat, unser q. Ich habe das mal auf die andere Seite geschrieben und damit gehen wir jetzt an die p-q-Formel ran.
Also nochmal hier, das ist das p, das ist das q. Wie war die pq-Formel nochmal? Die sagt ja, wir finden Lösungen, indem wir minus p halbe plus minus Wurzel aus p halbe zum Quadrat minus q rechnen. Dann setzen wir jetzt mal unsere Sachen ein.
Das Minus bleibt stehen. p ist minus 2a durch 2. Plus, Minus, Wurzel aus. p ist unser Minus 2a, wird geteilt durch 2 und noch zum Quadrat genommen. Und hinten kommt Minus, unser q, und das war a².
Okay, keine Angst, wir vereinfachen jetzt erstmal die Sachen. Minus und Minus wird zu Plus, die 2 kürzt sich mit der raus und da vorne steht nur noch das a. Okay, das ist schon mal gut.
Was kriegen wir? Unter der Wurzel, hier können wir die 2 kürzen, also steht da nur noch minus a. Wenn wir das quadrieren, fällt aber auch das Minus weg und da steht nur noch a².
Hier steht minus a². Puh, das sieht gut aus, denn a² minus a² ist 0. Also hier haben wir im Grunde nur a plus minus Wurzel aus 0 und das ist wieder 0. Also kriegen wir nur a als Lösung. Das ist jetzt ein ganz angenehmes Beispiel, weil das unter der Wurzel eben 0 wird. Wenn das nicht der Fall sein sollte, wenn da also zum Beispiel Wurzel A noch übrig bleibt oder irgendein anderer Ausdruck, dann müsst ihr eine Fallunterscheidung machen. Einmal der Fall, dass das, was unter der Wurzel stand, eben positiv oder größer gleich 0 ist, denn nur dann darf man ja eine Wurzel ziehen, nur dann erhaltet ihr diese Lösung dann auch.
Und einmal den Fall... falls es dann eben negativ ist, das müsst ihr dann eben rausnehmen, dass für diese a's eben, dass es keine Lösung gibt. Also da müsstet ihr dann noch eine Fallunterscheidung machen, falls es zu dem Fall kommt, dass ihr unter der Wurzel etwas stehen habt mit eurem Parameter.
Gut, was kann noch passieren? Ein Bruch, natürlich. Und wenn wir uns die Funktion jetzt mal anschauen, dann heißt unsere Variable jetzt t.
Also immer darauf achten, was eure Variable ist, wonach wir dann auch auflösen müssen und was euer Parameter ist, dieses a. Gehen wir in die Aufgabe. Wir setzen die Funktion also gleich 0 hier unten und lösen das jetzt nach t auf, weil t ist unsere Variable.
Immer darauf achten. Wenn wir das machen möchten, dann würden wir erstmal mit dem Nenner durchmultiplizieren, denn der muss da unten auf jeden Fall raus. verschwindet der hier und da steht nur noch a mal t und hier steht 0 mal das Ding, also 0. Das heißt, immer wenn ihr so einen Bruch habt, dann ist der Nenner total egal für eure Nullstellen.
Nur der Zähler ist interessant. Das sehen wir jetzt hier auch. Und das lösen wir jetzt nach t auf, indem wir durch a rechnen.
Und die große Frage ist, dürfen wir durch a rechnen? Notiert hier noch da. a ungleich 0 ist, dürfen wir durch a rechnen, weil a ist aus r plus.
Also da ist die 0 gar nicht mit dabei. Deswegen dürfen wir durch a teilen. Wenn wir das machen, steht das t alleine 0 durch a ist 0 und das ist unsere Nullstelle. Okay, was kann noch passieren? Ja, schauen wir uns das mal an.
Die sieht irgendwie ein bisschen eklig aus. Wir gucken erst mal, was ist denn überhaupt unsere Variable? Markieren wir die uns mal.
Das ist das, was hier in der Klammer steht. Das ist das x. Danach wollen wir auflösen. Ganz wichtig. Schauen wir uns mal an, wo hier ein x steht.
Nur an der Stelle. Also danach müssen wir auflösen, markieren wir uns auch wieder hier unten, wenn wir jetzt in die Gleichung reingehen. Das heißt, alles was nicht x heißt, interessiert uns gar nicht, das kommt schon mal sofort auf die andere Seite. Also wir können minus diesem ganzen Zeug, minus t² und minus 1 rechnen, damit dieses minus 2tx erstmal alleine steht und auf der anderen Seite steht minus t² minus 1. Und jetzt müssen wir nur noch durch das Zeug rechnen.
vor dem x teilen, also durch minus 2t, damit das x alleine steht. Also hätte man gar nicht so erwartet, wenn man das da sieht, da denkt man erst mal, um Gottes Willen, was muss ich da für Umformungen machen? Aber letztendlich sind es nur zwei Schritte und jetzt teilen wir noch durch minus 2t und schon haben wir unsere Nullstelle gefunden.
Auch wieder t muss ungleich 0 sein, ist es ja aber, weil es aus R plus ist. Also markiert euch ruhig mit Farben auch, wo ihr überhaupt hin wollt oder wonach ihr auflösen wollt. Und alles andere ist für euch irrelevant, egal wie schlimm das aussieht.
Und dann, das ist so eine ganz klassische Kurvenschar, die man gerne mal bekommt. Also hier oben ist sie. Das ist jetzt keine Angabe für A.
Ich sage jetzt einfach mal A ist aus R+. Kann ja sein, was da auch immer steht. Und wir sollen jetzt die Nullstellen finden.
Setzen die also gleich 0 und haben hier jetzt wieder sowas wie... Eben, dass wir hier irgendwas mal irgendwas mal irgendwas anderes haben und das ist super gut, denn dann können wir jeden Teil einzeln betrachten. Also 1 durch a gleich 0, x plus a gleich 0 und diese e-Funktion hier gleich 0. Vielleicht starten wir direkt mal mit der e-Funktion, die ist nämlich sehr angenehm.
Das gilt nämlich nicht, ihr bekommt dort keine weiteren Lösungen. da e hoch irgendwas niemals 0 wird. Also bei einer e-Funktion seid ihr sofort fertig, da gibt es keine weitere Lösung in dem Schritt.
In den anderen beiden vielleicht schon. Wir müssen nach x auflösen, immer im Hinterkopf haben, also 1 durch a gleich 0. Auch das kann nicht gehen, weil das ist einfach irgendeine Zahl. Wenn wir jetzt nach x auflösen wollen, da ist gar kein x mehr drin, da können wir gar nichts machen. Also ist nur noch das in der Mitte, worum es geht.
Wenn wir das nach x aufl ösen, also minus a, a rechnen, dann haben wir die einzige Nullstelle gefunden, nämlich x gleich minus a. Also auch etwas, das so kompliziert aussieht wie das Teil da oben, lässt sich mit diesen Aufsplitten von den einzelnen Teilen, und das geht immer nur bei mal, ganz wichtig, nur wenn da mal dazwischen steht, kann man das recht einfach lösen. Und so kann man mit Kurvenscharen umgehen. Ich hoffe, ich habe euch einen guten Einblick in das Ganze gegeben.
Falls ihr aber trotzdem noch Fragen habt, dann meldet euch einfach in den Kommentaren.