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Notas de la primera sesión en vivo: Resolución de Ejercicios de Matemáticas

a ver a ver Ahí estamos gente Alguien me confirma si se escucha bien si díganme Me parece que hay personas acá 15 personas me saltan yo no entiendo mucho de esto d se va escuchando bien Estoy leyendo ahí algunos buena llegamos media hora antes veo para matemáticas 51 se va a dar algún repaso eh eso es una buena pregunta eh A ver bien se escucha bien Ah buenísimo Rafael cualquier cualquier cosa digo si ven algo raro hgan notar porque este es mi primer vivo yo no sé que puede salir de esto vamos a vamos a esperar un segundo a ver si Supongo que vamos a ver si se une más gente Eh Déjenme pasar nuevamente los en los grupos que estamos en vivo a ver si tienen alguna pregunta pueden preguntar acerca de qué vamos a ver cualquier cualquier pregunta pueden preguntar que yo yo les voy leyendo y y respondiendo a ver Ah Mejor vamos a agarrar y reenviar esto no o sea de acá yo podría compartir eso tiene una opción de compartir Acá está que loco Uy abría otra ventana vamos a ver a ver Déjenme 502 Ah bueno vi queo de los ra lo pusiste vos Así que gracias por eso eh A ver este estamos en vivo está eh Y me falt análisis voy para el repaso es el día 30 al 18 va a quedar programado Perfecto Bueno gracias gente la verdad están siendo más útiles que yo s digo yo no controlo lo de matemática pero s va a ha el repaso Supongo con los datos que dio Tomás yo no lo busqué pero seguro que s bien e a ver si esto está lo mejor posible que puede estar ahí compartí en los grupos de análisis buenísimo Déjenme esto un poquito más Uy ahí bueno eh Ah quería preguntarles algo a los que a los que están eh qué Qué temas Qué temas le gustaría ver me gustaría mientras que me vayan diciendo qué Cuál es un tema que ustedes dicen Che Me encantaría Me encantaría ver esto no lo entiendo muy bien o eso digamos qué tema es el que más les interesaría ver sucesiones y series Ah miraa ya te reconocí bien eh sucesiones y series sí puede ser que empecemos con eso áreas interesante áreas Ah bueno tenemos muchas series series en la guía de repaso hay un par de integrales que me recostaron Ah bueno derivadas eh derivadas derivadas viene a ser para el el primer parcial de tayor haciendo diferencial bueno tenemos muchas opiniones eh yo creo que lo que lo que más dijeron fue ecuaciones diferenciales también bueno eh lo que más dijeron fue series no me parece que voy a empezar con series voy a empezar con series series porfis vamos a empezar con series eh lo que yo quería preguntarles mientras que voy voy entrando al campo si voy haciendo algunas alguna a ver a ver si encuentro algunos ejercicios interesantes para hacer eh es saben lo que es una serie esa es una primera pregunta no porque capaz que series es un tema tan incomprendido que es difícil primero Che Qué es una serie Bueno ahora que entendemos que es una serie vamos a intentar hacer tales cosas pero alguien me pone Qué le parece que es una serie Quiero saber eso sí para hacer un poco de tiempo mientras que estoy entrando al campus y todo eso ahora los Leo eh mientras Quiero buscar esto de eh ejercicios de integrales Ah acá acá tenemos bien a ver buenas tardes buenas tardes Miranda sumatoria de sucesión No preguntes qué es una sucesión bien entonces va Vamos vamos a hacer eso no eh Dónde está mi acá vamos vamos a empezar con eso vamos a empezar con bien que es una serie porque me interesa mucho que todos entendamos Qué es una una una serie no primero hay que entender bien que es una sucesión Sí y una sucesión hay dos hay dos grandes maneras de entender una sucesión Sí una es como una tira de números si uno podría definirlas como tiras de números tranquilamente una sucesión por ejemplo un ejemplo de sucesión o sea un ejemplo podría ser no sé voy a empezar a poner números uno pongo los impares no no me interesa la fórmula pero yo pongo los impares y uno podría decir bueno y entender esto como una sucesión s Rafa la sucesión sería un conjunto de números que siguen un determinado orden e eh podría ser podría ser porque en realidad no es exactamente al menos como la la definición que vamos a dar nosotros no es exactamente el conjunto si es lo mismo que ponele vos dirías que una función es eso que vos estás diciendo porque a ver una función por ejemplo 2 por x es un conjunto o sea da respuestas que son puntos Sí en algún sentido si los graficamos y sigue en determinado orden y también no dos por algo dos por algo dos por algo entonces como que esa definición que estás dando es medio para funciones también es como eh Ahora vemos Que qué hacemos con eso pero si no no está tan alejado Digamos si yo pongo una tira acá de números uno lo puede entender esto como una una sucesión Y por qué bueno eh En realidad Porque una definición podría ser esa pero lo que vamos a tomar nosotros es que en N = 1 Sí o sea se cambia la variable x de nombre se le empiezan a poner nes Sí y uno empieza a decir Ah okay una sucesión es una función sí es un Perdón es un tipo especial de función Sí en qué sentido función en el sentido de que a ver no sé si se acuerden de la definición de función tiene dos restricciones Digamos si uno se pone matemáticamente estricto una función la podemos entender como una máquina sí una una máquina que va recibiendo entradas sí de cierta índole de cierta uno lo aclara eso que que va que va a estar recibiendo números de qué tipo o o bueno a veces funciones no reciben números reciben otras cosas las funciones es un concepto muy general yo me voy a pasar a funciones que reciben números y dan números sí eh Y tien ciertas restricciones como que si reciben un número no pueden dar dos números distintos eh que esté definida para todo el con punto de salida Digamos como que Déjenme que acá si no se va a estar escuchando eso Supongo las sucesiones Son elementos y tiene dominio los números naturales si no la estoy pifiado eh A ver nosotros no vamos a estar diciendo que las sues Son elementos sí no lo vamos a estar diciendo vamos a estar diciendo que las sucesiones es son una función Sí o sea es un tipo especial de función y yo las funciones no diría que son son eh elementos Sí en algún sentido capaz la imagen de la función Sí Son elementos la imagen de la sucesión que son estos de acá sí son elementos Sí yo lo diría así la imagen son esa respuesta Pero la la la sucesión es más que eso es una correspondencia entre los números naturales y ciertos números que uno proponga con cierto patrón que es el que decía eh Rafa no eh Entonces no estaban tan errados sí eh pero se puede definir desde ciertas de otras formas pero lo vamos a entender como una función nosotros una función que a los números naturales sí es un tipo especial de función y ahora sí voy a decir lo que lo que dijo Miranda cond dominio natural cond dominio natural sí Esto es lo nuevo sí Esto es lo más importante que uno tiene que tratar en la práctica de sucesiones Ya deja de haber un un dominio eh real no una variable continua un eh Por ejemplo algo loco es cuando uno pasa sucesiones ya los límites puntuales dejan de existir porque por ejemplo uno empieza a pensar y Che nosotros en funciones hacíamos por ejemplo límite hacíamos cosas así no límite cuando x tiende a 3 de una F dex no y esto lo entendíamos se entendía no Ah bueno mientras que te vas aproximando tres cada vez más va pasando tal cosa con la acá no tiene sentido eso Cómo me voy a aproximar al tres lo más cerca que puedo estar es el dos y bueno y el n = 4 pero no yo no me puedo acercar al TR tanto como uno quiera y esa es la gran diferencia entre una eh entre una variable discreta y una variable continua sí las variables continuas sí como es la los números reales que son continuos se pueden acercar a un número eh al número TR por ejemplo a cualquier número sí se pueden acercar tanto como ellos quieran sí Y es una propiedad super interesante de los números reales por ejemplo una una seguidilla de números reales que se acerca al número tres una sola eh eh es 2,9 2,99 2,999 y yo podría seguir dándoles nueves un montón de tiempo sí entonces eh un montón de tiempo vamos a ser más más específicos infinito Sí o sea yo podría seguir hasta al infinito terminar el 5 horas de vivo diciéndole numeritos y llenando el pizarrón de números cada vez más cercanos a tres eso yo no lo voy a poder en una sucesión sí no voy a poder hacer eso yo porque les voy a dar el dos y me quedé me quedé ahí el dos yo no puede estar más cerca que el dos del número tres en los números naturales y eso bueno se ve restringida un montón de cosas por ejemplo límites puntuales no tienen sentido sí los límites puntuales jamás no no no no esto en sucesiones no tiene sentido O sea si yo acá les pongo la notación típica de una sucesión a sub n sí esto de acá Bueno con n porque acá se cambia se cambia el nombre digo hay convenciones acá esto de acá no tiene sentido sí no tiene sentido No no es algo que se pueda hacer y esto simplifica un montón las cosas no porque es como bueno no hay límites puntuales al no haber límites puntuales uno no puede por ejemplo e realizar rectas tangentes Sí o sea un ejemplo si se acuerdan allá por la por unidad la unidad tres en derivadas digamos lo primero que uno tiene que hacer es construir el concepto de recta tangente no construye el concepto de recta tangente como límite de las secantes y después dice Bueno vamos a entender como la palabra derivada de una función va a ser la pendiente de la recta tangente en ese lugar donde la haya calculado no eh Espero que que lo que estoy diciendo no sea deidar eh acá no vamos a poder hacer eso no porque te vas a crear una secante entre el dos y entre el 2. com3 y el 3. com5 muy linda la secante y después si querés otra secante del otro lado entre el 4.7 y el 3.5 y hasta ahí hasta ahí llegas no no está esa idea de Ah me hago una una secante y me voy acercando a medida eh me voy acercando voy tendiendo a cierta recta no chao se fue todo si Exacto Exacto es que por eso van a ver yo a veces voy a utilizar el hecho de hay un teorem que te te hace un puente por ejemplo entre sucesiones y funciones de variable continua yo yo digo eso a veces voy a decir bueno pasemos de esta sucesión a una función de variable continua Pues yo no tendría sentido que diga pasemos esta sucesión a una función o sea habría que aclarar algo más No porque las sucesiones son funciones digo no le faltemos el respeto pobre lo que pasa es que son de variable natural y que no es continua sí Y quizás nosotros querramos eh que querríamos hacer algo en variable continua Sí por ejemplo yo lo que les dije límite puntual no existe recta tangente no existe derivada no existe derivada no existe no O sea no Espero que no hayan no me hayan derivado sucesiones si las sucesiones no se derivan porque no tiene sentido si se va se se cae toda la construcción sí de la derivada eh Y al no haber derivada por ejemplo una consecuencia es que si ustedes tienen un límite que en qué s yo una indeterminación c sobre cer infinito sobre infinito no van a poder aplicar la hital Sí así de primeras pum le quiero aplicar lital vieron lital el mágico lital que que resuelve límites bueno en sucesiones no no se puede no e no no tiene sentido derivar sí no tiene sentido derivar hay un teorema que te puede ayudar en ese caso es pasar a variable continua pasa algo con el límite digamos O sea no es que no se pueda salvar pero pero en principio no se puede derivar Así que espero que nada que quería que que todos estemos en sintonía con lo que es una sucesión me dicen si está todo bien con sucesiones se entiende todo lo que dije alguna pregunta eh algo que me quieran consultar eso me interesa Ah mientras Juan Erico andamos ready buenísimo Juan Eh bueno se reenter entonces sucesión yo creo que no es difícil de entender sí porque ustedes conocen las funciones si y ya se pelearon con el concepto de función antes ya saben graficar funciones ya saben muchas cosas y ya tuvieron muchos cambios de digamos tuvieron que enfrentarse al concepto de función de Ah okay recibe tal cosa da tal otra recibe tal cosa daal ya tienen una idea Por eso es que resulta más simple el concepto de sucesión sí Bueno pero vamos a vamos al al lío digamos dada una sucesión dada una sucesión que le vamos a ponerle nombre Eh Lo vamos a llamarla Ah no comenté la anotación no capaz tien alguna consulta sobre la anotación se deja de poner F si F de función la letra más general pero ya saben que las funciones las puedo llamar a si quiero si es una función área es un nombre lo pueden elegir como ustedes quieran no no sería raro si una sucesión se escribe así digo no no pasaría nada nadie se va a enojar si es un nombre y además se prefiere o es común pero no necesario que la notación eh pase de ser o sea se dan cuenta de esta diferencia no FX pasó a ser no es que solo pasó a ser e se cambió el nombre y la x pasó acá perdón y la n pasó a estar acá Así sí sino que se hace un pequeño cambio de notación Y en lugar de poner cosas así lo ponemos como subíndice al n eso quizás en un principio con fundía un poco no eh era Como qué Qué significa esto no nosotros estamos acostumbrados a estos a paréntesis x Qué significa esto Bueno es lo mismo Sí Esto es lo mismo que a subn Sí o sea es la variable de entrada nada más que no se le pone no se le pone el paréntesis sí Y además se la pone un poquito más abajo pero se van a encontrar gente en la vida que lo escribe Así sí O sea no no crean que esta anotación se deja de usar en sucesiones digamos no No es simplemente un cambio pequeño de notación bueno Entonces ahora sí vamos a meternos con series no dado una sucesión a subn puedo vamos a poner así puedo armar una serie Sí vamos a de una vez por todas entender que corno es una serie bien una serie no eh Ah Denis sí lo dijeron más arriba va a haber algún repaso sí los datos los pasó to Tomás más arriba voy a se responsabilizará Tomás de los datos para matemáticas 51 Ah pero qué preguntaste ah 21 eh interesante y creo que sí sí creería que sí eh creería que Déjenme chequear un segundito eh yo no lo controlo eso es lo que pasa lo ese no sé si es de Tommy si es de Marina eh Déjenme mirar algo matemática 21 creo que lo da Marina No yo no tengo mucha idea la verdad eh Déjenme chequear algo perdón eh Espero que no sigan en sintonía digamos queremos entender que queremos entender que es una serie no pero Déjenme mirar esto lo da Marina eh No sabría decirte pero seguro que sí O sea Supongo que sí si podes comunicarte con con Marina perfecto eh Marina te va Te vaas a saber decir mejor que yo e Estamos de acuerdo eh yo me parece que no estoy seguro de tener las fechas no si no sé si tengo acceso yo a las fechas de Marina me parece eh hablalo con ella hablalo con ella No sé Denis si te sirve lo que te acabo de decir No sé si tenés el contacto de Marina eh fíate o sea yo yo realmente no No sabría decirte exactamente pero Probablemente sí haya haya un repaso el días antes del parcial igual que este que es para análisis bueno queremos armar la serie de esta sucesión a sub No eso es algo bueno ya ya empezamos No no es que series es un tema separado okay No es no es un tema separado de un tema separado de sucesiones sí es un tema totalmente relacionado Sí de hecho una serie se construye a partir de una sucesión de los términos de una sucesión s los términos son justamente la Im la a sub sub sub todos los términos no sea uno podría acá ponerse una lista de los términos a sub 1 a sub2 a sub 3 a sub cu y así seguir seguir y seguir no bueno infinitamente no Ah Cabe destacar no que lo vamos a estar usando yo dije límites puntuales no existen lmites punes existen el único límite que que sí existe es el límite cuando la variable de entrada tiende a más infinito no o sea los digo la única propiedad que no se pierde al pasar de variable continua de de X real a n natural es el hecho de que los naturales también pueden tender a infinito no digamos eh los números naturales pueden crecer tanto como uno quiera al igual que los números reales Sí o sea esa propiedad se mantiene y por lo tanto hablar de límites al infinito al más infinito claramente no al menos infinito se mantiene y es el único límite que tiene sentido sucesiones Sí el único límite que tiene sentido de sucesiones es el límite cuando la n tiende a más infinito Sí entonces Generalmente quizás en algunos contextos vean que yo ni siquiera claro a dónde tiende n porque es el único lugar donde puede tender Sí en sucesiones no hay otra chance sí tiene que tender a tal cosa sí a a infinito eh antes en funciones es como bueno tiende un número tienda menos infinito tienda más infinito era más complicado Sí bueno tenemos los los términos del de la sucesión si de la sucesión a Okay qué vamos a qué vamos a hacer vamos a empezar a sumarlos Sí o sea la motivación de las series es Che si yo voy sumando estos términos Sí si yo lo voy sumando llego a algo es decir eh Porque capaz uno piensa si vos sumas cada vez más vas a atender a infinito eso no siempre es cierto eh eso No no es cierto que yo sumando cosas siempre llego a a ser más grande que cualquier cosa que yo plantee si O sea no es cierto que sumar infinitas cosas siempre te de infinito digamos Por así decirlo entiéndase por dar infinito es ser tan grande como uno quiera proporcionando la entrada gigante sí eh Espero que que se entienda eso pero o sea vamos a hacer lo siguiente no primer término primer término más segundo término Estos son dos casos que uno puede puede hacer si tuviera la sucesión a no primer término más segundo término más tercer término estas son espero que sean cosas que uno entienda que esto la podría calcular son sumas Son tranqui son cosas que uno puede calcular no y acá nosotros podríamos seguir hasta sumar los primeros digamos n términos no n términos no podría seguir esto guarda que esto es muy distinto a esto si aunque la diferencia sea mínima si aunque la diferencia sea mínima acá yo estoy sumando desde un hasta n n termina te lo estoy diciendo termina acá en N acá nunca paré si o sea acá realmente uno se pregunta Che si yo sumo todos estos estos infinitos términos cuánto me da Y eso es una pregunta extremadamente interesante Porque si ustedes se ponen a pensar lo único que saben es sumar dos cosas s ustedes lo único que saben de hecho para sumar estas tres cosas Cómo van a hacer van a sumar estas dos y después con esta o digamos estas dos y después con esta o estas dos y después con esta pero nosotros lo único que hacemos Es sumar binariamente es decir sumar de a dos muchas veces si nosotros no sabemos Ah tenemos es fórmula para sumar 10 cosas es muy fácil mira no eso nunca pasa eh es como para sumar nosotros sumamos de a dos Sí y bueno podrá ser criticable realmente la la la matemática de de eso porque para sumar 100 cosas van a tener que efectuar 99 sumas no O sea si tienen 100 números hay que efectuar 99 sumas no y y bueno Y es difícil no si tienen 1000 números hay que efectuar 999 suma siempre una menos no si tenemos tres efectuamos dos sumas si tenemos dos una suma y así eh Entonces es un proceso arduo pero es un proceso que terminaría sí que terminaría en qué sentido que alguna vez yo terminaría realmente de sumarlos sí puede ser que se me acabe la vida antes si el número es suficientemente grande pero yo sé que en algún momento va a terminar ahora acá hay una principal diferencia que es los términos de una sucesión no terminan si no terminan entonces no es tan simple como Ah sí tranqui Yo entiendo que es sumar infinitas cosas no no lo entiendo No lo entiendo no se entiende que es sumar infinitas cosas porque yo sé sumar finitas cosas mediante sumas binarias llegando hasta el final en algún momento no y uno podría discutir Bueno cuánto tiempo me va a llevar me va a alcanzar la vida es una discusión válida también pero uno sabe que va a terminar porque por algo es finito ser finito significa que tiene un final si infinito significa que no tiene un final no termina entonces sumando binariamente estos estos dos después con este después con este Sí de a dos eh siempre el resultado del anterior con el próximo resultado anterior con el próximo no vamos a llegar nunca a la suma de todos sí no va a terminar sí eh Entonces esto es un tema es un tema difícil porque yo no puedo decirles Ah no entiendan que es sumar infinitas cosas entiéndanlo sí no no tienen por qué entenderlo es normal digo si uno se plantea entiendo yo que es sumar infinitas cosas y si se pone a pensar y no tiene una definición matemática matemática que respalde eso no se entiende Si no se entiende que es sumar infinitas cosas no realmente no se entiende Bueno si estamos de acuerdo en que no se entiende agarra la matemática Y qué hace te lo hace entender Si o te Define Alo algo te Define y te dice Che sumar infinitas cosas vamos a hacer tal cosa si hagamos tal procedimiento que sí podemos hacer por ejemplo muy parecido a lo de la recta tangente no la recta tangente Qué es esa recta que Roa el punto y cómo la crea Y cómo la construimos una idea Sí bueno terminas haciendo el límite de secantes que sí conocés entonces acaba a pasar algo muy similar nosotros no sabemos sumar infinitas cosas sí pero sí sabemos sumar finitas cosas no una cosa dos cosas tres cosas n cosas no Esto es algo que nosotros podemos hacer si y acá viene una idea bastante loca Si hasta acá está todo bien acá acá se empieza la matemática a a definir un poquito no este de acá va a ser mi término uno de mi nueva sucesión que yo voy a llamar s si yo voy a llamar s Ahora les cuento por qué esta acá se llama s sub2 esta de acá es sub TR yo lo estoy llamando fino una sucesión e s que le pase esto Déjenme leer un segundo no se puede hacer la suma de infinitos términos pero Hay ciertos criterios o ciertos tipos de series que nos permiten determinar la convergencia Exacto Sí ahora ahora vamos a ver eso digamos pueden bajarle un poco la calidad para que sea fluido o subir la calidad para mejorar la definición bueno eh fíjense eso yo no tengo idea cómo se estará viendo sí fijen de de variar un poquito eso Juan hizo una pregunta antes harías el desarrollo de Taylor cuando las funciones están centradas en cero para n tendendo infinito eh en algún momento después capaz capaz hago eso se ve perfecto Ah buenísimo buenísimo Tomás genial Bueno entonces estas son cosas que sabemos hacer no uno puede digo a ver yo yo estoy en total libertad de decir me voy a imaginar una nueva sucesión cuyo los términos sean la suma de los primeros n términos de la a sí es decir el primer término de mi de mi nueva sucesión va a ser sumar solo el a sub 1 el mi segundo término va a ser sumar los dos primeros términos de a a sub1 y a sub2 ese sub TR qué va a ser a sub 1 más a sub2 má a sub3 Sí y estas son todas cosas que uno puede entender porque estamos sumando finitas cosas o sea que realmente si yo les doy una una una a sub B ustedes estas cosas las pueden calcular Sí bueno y sumar hasta el enésimo término bueno va a ser sumar desde la a sub1 hasta el a sub n no y estas son cosas que uno uno puede entender no esta de acá eh esta de acá es subn sí es la sucesión de sumas parciales sí sucesión Espero que se entienda el nombre no sucesión de sumas parciales Sí Por algo se llama así le puse s de suma sí sucesión de sumas parciales asociada a la sucesión asociada a a subn sí claramente depende a sub n no porque como está sumando sus términos obviamente va a depender de la sucesión que estamos tomando como base Pero entonces nos creamos esta nueva sucesión que tiene todos los requisitos de ser una sucesión sí tiene tiene variable natural por supuesto que sí no fíjense 1 2 3 bueno iría el cuatro acá me estoy salteando alguno por alg puse puntos suspensivos 4 5 6 hasta el enésimo uno entiende que podría calcular los términos de esta sucesión ahora una charla distinta una charla distinta es conocer la fórmula porque digamos Sí a ver uno entiende que Ah okay Acá hay algunos términos Ah okay Yo me podría calcular los primeros eh términos de la sucesión s bueno puedo entender que que Esto va a ser una sucesión pero otra cosa es conocemos la fórmula de de sumar los primeros n términos o sea conocemos la fórmula de esto esa es otra discusión Eh no tienen por qué conocer una fórmula para sumar los primeros n términos Sí para nada tienen que tienen que conocerla sí Déjenme hacerle Déjenme hacerles un ejemplo supónganse que a subn es constantemente uno si voy a hacer un ejemplo muy en donde se conoce la fórmula de abajo y después ha un ejemplo en donde no se conoce no quizás ustedes ya la conozcan Igualmente si la sucesión es constantemente un si el sub un fíjense Qué sería sería el primer término pero es un 1 no el s sub2 vendría a ser 1 + 1 o sea 2 El s sub3 vendría a ser 1 + 1 + 1 o sea tres y uno seguiría y es como Ah okay sumar los primeros n1 Sí o sea sumo sumo sumo unos sigo sumando unos hasta acá voy a aclarar n veces esto si uno se da cuenta en realidad se puede sacar una fórmula de esto no porque Claro que suma a ver si yo sumo los primeros n1 cuánto me da cuánto me da sumar los primeros n1 alguien me dice n claro Exacto N O sea en realidad ustedes conocen la fórmula de esta de acá sí n * 1 n * 1 n perfecto Sí entonces esta fórmula la conocen claro ustedes entienden que si sumo cuatro veces un me va a dar cuatro si sumo cinco veces un me va a dar cinco si sumo 18 veces unos me va a dar 18 si sumo n veces un me va a dar n sí Entonces en este caso la fórmula de la sucesión de sumas parciales asociada a la sucesión constantemente uno es muy simple de calcular Sí es muy simple la estamos viendo Sí bueno pero hay casos donde no es fácil Sí hay casos donde no es fácil o sea realmente si yo les cambio esto y les pongo que a sub n sea eh No sé 2 a la n sí acá ya se se pudrió un poquito no es que sea imposible Eh pero en este caso se pudrió un poquito 2 a la 1 es 2 esto vendría a ser 2 a la 1 + 2 a la 2 voy a hacer las cuentas un poquito rápido esto da seis eh Espero no confundirme dos ese sub 3 vendría a ser 2 a la 1 + 2 a la 2 + 2 a la 3 esto da 14 sí siguiendo siguiendo siguiendo ya no es tan fácil No es sumar n veces 1 y ya no voy a tener que aclarar que lo hago n veces porque se va a notar 2 a la 1 + 2 a la 2 más bla bla bla bla bla 2 a la n no y uno dice Ah okay muy ya dejó de ser tan fácil No qué s yo Cuál es la fórmula de sumar dos 2 a la 1 desde dos a la hasta 2 a la n se se pudrió todo no O sea qué qué fórmula tiene esto qué fórmula cerrada digamos porque a ver si un gracioso Me podría decir Acá está la fórmula sí es cierto pero vas a tener que conocer siempre el término anterior Por así decirlo no tienes una fórmula cerrada una fórmula cerrada me quiero quiero decir le metes un n y tenés cierto término No acá estos puntitos suspensivos joden mucho Sí o sea esto de acá no es tener una fórmula cerrada Digamos si querés calcularte el s sub 100 vas a tener que sumarte los primeros dos desde dos a la 1 hasta do a la 100 no o sea es un kilombo [Música] eh sabes que no entiendo qué era ese mensaje Veo dos a la logaritmo natural lo estoy entendiendo yo es rep parcio al concepto de variable y función en programación a como estás explicándolo Eh es reparecion de variable y función n por n - 1 do al factorial de n Ah tenemos tenemos muchas muchas propuestas Me parece que no no do al factorial de n Me parece que no no eh Ah coincide este ve por ejemplo el segundo ya falla si ustedes meten el número dos acá el factorial de 2s es 2 2 a la 2 da 4 o sea que ese sub2 daría 4 pero ese sub2 vale se se entiende que ahí pincha quear la la fórmula eh Juan propone n por n - 1 no parece que tampoco no n * n - 1 así no esto esto en uno ya da da cero no o o dos a la Esto sí no sé tampoco igual dos a la esto tampoco tiene sentido O sea no ya no es fácil no todo era lindo cuando sumamos n veces unos pero acá ya se pudrió se pudrió en serio No no es fácil Esto no es fácil deducir una fórmula pero se puede si se puede en este caso se puede realmente deducir una fórmula sumatoria de dos Bueno pero ahí está la gracia queera yo que te diga sumatoria de Ah n * n + 1 Ah no me rindo claro no no sirve n * n + 1 tampoco Esto va a dar dos acá pero en en dos Ah en dos va se es verdad pero en tres ya no no en tres Esto me da 12 no es 14 Sí o sea esta de acá no cumple con esto pero está bueno bueno le pegaste a los dos primeros términos eh Y Aha sumatoria de 2 a la n es lo mismo que decir esto sí O sea el hecho de la sumatoria esa que todavía no presenté la anotación Sigma eso es una anotación es una forma de anotar las cosas pero no es una solución al problema Sí una solución a esto yo quiero una fórmula cerrada quiero algo que vos me digas meteme el n en esta fórmula y ya está este va a ser sumar los primeros 1000 términos se entiende que acá si nosotros queremos saber el s sub 1000 hay que hacer la sumatoria desde 2 a la 1 hasta 2 a la 1000 vamos a estar media hora se entiende que vamos a estar media hora o sea si nosotros no tenemos una fórmula yo no quiero yo no quiero trabajar esto sin una fórmula se entiende No no realmente yo para saber el término 1000 de la sucesión es subn tengo que sumar eh tengo que sumar 1 1000 números yo no quiero hacer eso de hecho o sea es un tema es un tema de discusión esto interesante No no es difícil no sacar una fórmula se puede deducir yo ahora no la voy a deducir sí Pero quizás lo vieron es es generalmente distribuida la forma que hay para deducir la la fórmula de es subn Sí y la forma es esta eh la fórmula que nos da No la verdad que no lo estoy recordando en este momento eh Me parece que en este caso a ver si si no estoy haciendo cualquier cosa eh buen en este caso en particular queda así así se puede ver que esta funciona Me parece que no estoy diciendo cosas raras no a ver primer término yo tendría que reemplazar en uno me de 2 2 a la 1 + 1 2 a la 2 4 - 2 bien da este si reemplazo en dos me da eh 2 a la 2 + 1 o sea 2 a la 3 8 8 - 2 6 bien y en 3 me debería dar 14 2 a la 3 + 1 que es 4 2 a la 4 da 16 - 2 14 se ve que los tres primeros de estos se cumplen Sí bueno yo les aseguro que también se cumplen todos los demás uno si si desconfían de esta fórmula planté el próximo si y fíjense si dos a la 1 má 2 a la 2 má 2 a la 3 má 2 a la cu es lo mismo que 2 a la 5 men 2 y van a ver que sí sí magia claro magia vamos a dejarlo como magia si pero pero se puede deducir Sí de hecho es algo es algo un poquito un poquito loco No pero uno puede ver que estos son como las potencias de dos pero siempre restadas dos no esto es 4 - 2 esto es 8 - 2 esto es 16 men 2 el próximo va a ser 32 - 2 el próximo va a ser 64 - 2 el próximo 128 - 2 Sí o sea uno puede puede ir viendo esas cosas sí Pero entonces hay una deducción por la cual uno se calcula es subn muy lindo entonces eh uno por ejemplo Ahora sí volvamos a qué pasaba si yo quería calcular el término 1000 sí Ah bueno muy fácil metes el 1000 acá 1000 + 1 2 a la 1000 + 1 que Andá a ver cuánto da -2 se entiende que ya está o sea esto es una o sea lo que lo que quiero que vean Es que la diferencia entre esto y esto acá Esto no es una fórmula cerrada en el sentido de que o sea tenés que tenés que meter una sumatoria tenés que calcular todos los términos anteriores esto esto ya no sí acá vos le metes el n y ya está hac la cuenta y tenés el término que vos quis que vos querías sí es una fórmula cerrada Sí entonces calcular la fórmula cerrada de una sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión dada sí no es trabajo fácil para nada fácil es un tema de discusión digamos bueno yo todavía no dije que es una serie No yo dije puedo armar una serie jamás Noé una serie Todavía ahora vamos con eso pero quiero que vean esta asocación de sumas parciales y entiendan que para el caso general yo por ejemplo les qué les puedo hacer acá les puedo poner por ejemplo n cuadrado y sale una discusión distinta eh uno se pregunta Che y si sumo los n al cuadrado si o sea sum los números al cuadrado 1 cuadrado + 2 al cuad má 3 al cuad + 4 cuadrado bla bla bla bla tendrá una fórmula Bueno se puede ver que también la tiene sí también la tiene es fácil deducir es obvia es obvia como lo sumar n1 No no es difícil Sí o sea calcular la fórmula es subn Es difícil sí no voy a decir nada más de eso sí O sea cada vez que usted vean miren sepan que nosotros podemos conocer algunos términos fácilmente de la s pero no la fórmula Así tan simple Sí en Casos particulares como este que es una este el dos a la n sí se puede hacer cierta deducción que no lo estoy haciendo acá porque no quiero pero pero en algunos casos se va a poder deducir pero en el caso general no en el caso general ese subn no se conoce sí no se conoce ni idea que Qué es sumar los n primeros términos de una sucesión cualquiera no eso dependerá de la sucesión será imposible Será muy fácil dependerá Bueno qué tiene que ver todo esto que estuve diciendo y todo el tiempo que me estoy tomando con serie no Bueno lo voy a escribir acá esta es la definición que hace la matemática sí o sea sumar infinitas cosas no va a ser otra cosa que calcularte la acá es medio vamos a decirlo así después me me rectifico calcularte la fórmula s sub n y calcular su límite a más infinito sí Y esto tiene sentido No porque si la s subn es sumar hasta el enésimo término y yo le estoy calculando el límite cuando n tiende a infinito se entiende que como que estoy sumando infinitas cosas o esa ese sueño que uno tiene de sumar infinitas cosas s o no tiene sentido esta definición Ah Déjenme ponerle dos puntitos no porque esto cuando uno Define algo capaz lo van a ver uno uno pone dos puntitos y el igual al lado acá yo estoy diciendo defino defino sumar infinitas cosas como esto que sí lo entiendo si es una sucesión que es algo que entiendo es un límite que es algo que entiendo si O sea que lo del lado derecho yo entiendo lo del lado izquierdo no tengo la menor idea Sí entonces eh espero que tenga sentido esta definición Sí esta definición es lo que nosotros vamos a entender como sumar infinitas cosas Sí nosotros vamos a entender sumar infinitas cosas Ah muy fácil calculate la sucesión de sumas parciales asociadas a tal sucesión a la que te dieron y hac el límite y si podes calcular su límite Bueno ese límite va a ser la respuesta eh la suma de los sus infinitos términos de la a no listo Esa es la definición que tiene la matemática para sumar infinitas cosas ahora yo dije que me iba a rectificar No si justamente estoy diciendo que ese subn es difícil de calcular que yo tengo una definición que dependa de calcular ese subn de poco me va a servir sí de poco me va a servir porque es como que yo te diga sí hacete el límite sí O sea si vos queres sumarte todo esto hacete el límite cuando n tiende infinito de la sucesión que no te vas a poder calcular no tiene mucho sentido sí no tiene mucho sentido bueno porque no es correcto lo que yo dije sí puede ser que ustedes conozcan el límite de la sucesión sin conocer la sucesión sí puede ser que eh uno pueda conocer el límite de esta sucesión sin realmente conocer la fórmula de la sucesión hay criterios por los cuales uno podría por ejemplo en la guía o Espero que hayan leído algo de sucesiones por recurrencia que es una forma alternativa que uno tiene de dar una sucesión Sí en la que no está la fórmula cerrada pero aún sin la fórmula cerrada uno puede calcular el límite de eso yo no me voy a poner a hablar de eso ahora sí pero no crean que la única forma de calcular un límite de una sucesión es tener su fórmula sí no es cierto eso sí así que cuidado con tener que calcular el subn puede ser que haya atajos puede ser que por algún criterio por algo yo puedo saber el límite y entonces yo voy a saber la suma infinita pero jamás voy a conocer la fórmula de s subn Sí entonces eh Y todavía no dije que es una serie No todavía no dije que es una serie bien eh Hasta ahora yo estoy definiendo que es sumar infinitas cosas Sí ahora voy Déjenme Hablar ahora que ya entendemos que es sumar infinitas cosas y las complicaciones que tiene Déjenme hablar un segundo de serie Sí primero eh la notación esta no O sea yo no sé si todos todos están familiarizados con la notación Sigma la notación de sumatoria no sé si alguien tiene alguna especial confusión con esto como que mira el símbolo este y le da miedo yo yo lo voy a copiar un segundo ya empezamos mal quiero sumar desde I = 1 los a subí hasta n s esto de acá est esta cosa de acá esta cosa rara que es una letra griega un montón de cosas esto yo lo defino de nuevo voy a utilizar esto de los dos puntitos y el igual lo defino como reempl acá la i igual el primer I después reemplazas el segundo después reemplazas el tercero bla bla bla bla bla Perdonen voy a seguir acá hasta a subn Sí y suma todos sí esto te dice suma todos los a subi desde igual 1 hasta n sí es como en la integral definida yo no lo entiendo mucho Eh Eh Eh Eh Eh lo conozco y me da miedo igual Okay Eh me quedó media fea la definición porque el el como que me gustaría que esto esté acá pero bueno entonces esto yo creo que sí se entiende no sumar desde a sub un hasta a suene Yo creo que es algo que se entiende Sí ahora esto de acá capaz da un poco de miedo Sí pero yo lo defino como esto sí así que no le tengan miedo esto acá te dice sumame Esta es la letra letra griega Sigma sí se utiliza la letra griega Sigma sumame desde I = 1 hasta n los a subi sí Qué significan bueno metele I = 1 I = 2 I = 3 I = 4 y te vas calculando todos los a sub I y después lo sumas si hasta dónde hasta n si tiene sentido le digo dónde empieza le digo dónde termina y le digo que sumar Sí y le digo que sume que no multiplique porque hay otra cosa hay otra la notación digo hay una notación con pi que significa productoria no multiplicar las cosas no a sub un por a sub do por bla bla bla Entonces espero que se entienda que la letra Me dice sumame acá me dice desde dónde empezar a sumar acá me dice hasta dónde sumar y acá me dice qué cosa sumar sí o si no yo no entiendo nada eh Por ejemplo les doy un ejempl para para ver si pisamos un poquito la Tierra desde I = 3 hasta 7 sumar los dos a la i y bueno yo miro esto y yo yo entiendo A ver entiendo que esto de acá me dice súmame los dos a la i desde I = 3 hasta si bueno reemplazo con tres reemplazo con cuatro reemplazo con cco reemplazo con seis reemplazo con siete sumo todos estos Ah okay Nada más me estaba diciendo esto de una forma difícil Sí o sea esto de acá significa esto no voy a calcular esta cuenta no tengo ni idea cuánto da sí da bastante grande eh pero es una forma simplemente de escribir compact sumatorias sí sumas largas sumas No sí se entendió perfecto Gracias perfecto eh si yo varo de dónde empiezo Bueno si empiezo desde un AC voy a tener que agregar el dos a la 1 y el do a la dos si yo en lugar de ir hasta si voy hasta 10 voy a tener que agregar el dos a la 8 El dos a la 9 y el dos a la 10 Sí entonces la notación Sigma Espero que que que no no genere ningú ningún problema la anotación Sigma en sí no tiene nada raro s ahora con la anotación Sigma con la anotación Sigma yo voy a escribir algo polémico acá arriba voy a escribir lo siguiente voy a escribir que esto de acá lo puedo escribir esto no en realidad esto no eh Ah perdón qué horrible lo que acabo de hacer no eh lo definí como el perdón esto eh pensé ah sumas no suma suma suma suma las comas No yo no las quería las comas yo no quería la del conjunto claro no no sumar los infinitos términos te da igual que el límite de la sucesión de sumas parciales asociadas si Perdón por eso o sea sumar los infinitos términos estoy definiendo que es sumar los infinitos términos sumar los infinitos términos bueno Esto de acá se puede escribir de una forma muy compacta como Sigma desde I = 1 de los subí y a ver les tengo una pregunta qué pongo acá arriba para que sea igual a esto digamos porque va bien no Ah empezas desde uno a sub un a sub do Ah bueno Vamos bien pero hasta dónde infinito claro infinito hasta No qué hará porque acá estoy sumando todos la gran diferencia entre esto y esto esto de acá sí se puede escribir como como vos dijiste este de acá sí se puede entender como hasta n desde I = 1 de los a sub i Sí ahora este de acá le ponemos infinito arriba sí infinito arriba que Qué significa sí eh es Es como una extensión un poquito de la anotación No porque nosotros entendemos a sumar hasta un número bueno si le pones infinito es sumar hasta nunca termina sí simplemente nunca nunca termina bien eh Bueno entonces entendemos esto de acá entendemos la la entendemos o sea lo que quiero decir es esto es una anotación cómoda simplemente pero no agrega nada no agrega nada teóricamente bueno no resuelve nada No no es algo profundamente teórico Es simplemente una forma linda de anotar estas cosas que son un poco engorrosas de escribir si simplemente eso S eh bien bueno entonces Ah Ahí está yo nunca dije que era una serie No jamás dije que era una serie bueno Esto se llama serie serie de a sub n No desde a subn desde uno hasta infinito Entonces espero que sea un poquito más claro qu es una serie no una serie simplemente es es medio raro esto igual eh Porque hay gente que se entre suma de la serie y serie Pero va a ser un poquito Nicolás aene sí la serie de a es la serie de a subn O sea no es la de s subn es la de la serie de a subn hay que hacer es sumar desde uno hasta bueno el infinito los a subn si Ah qué preguntas de los asi capaz Esa es la consulta da igual que el nombre que yo le ponga ahí da lo mismo por qué n y no Por qué n y no a sub n No entendí No entendí Por qué n y no a sub n Yo acá escribí a sub n no hay algo que a ver Nicolás si que o si alguien me ayuda a entender lo de Nicolás porque capaz que yo para entender Eh hay algo raro que que escribí o o está todo bien digo esto es una forma de decirlo no esto de acá lo vamos a llamar serie sí serie pero se le agrega él Ah bueno es de está asociada a esta sucesión es de esta sucesión y se agrega Bueno desde dónde hasta dónde no porque pues yo la podría haber empezado desde tres desde cco desde s sí creo que está tapaz dice arriba de la arriba de la Sigma Ah acá capaz Nicolás decí acá en acá en lugar de este ser una subn no Claro pero yo acá tengo que sumar hasta n no es fíjense el I es el contador que va como subíndice Acá está el ig 1 I = 2 I = 3 y = n si no I = a sub B sí eh Bueno qué onda esta persona que está spameando acá yo no tengo idea [Música] cómo si alguien tiene idea Qué puedo hacer eh después podemos repasar Sí perdón Brisa Guada la idea es que sí la idea es que sí Déjenme un segundo crear un poquito de de contexto de serie y hacer eh yo debería poder kikar o algo de este estilo no eh activar o Desactivar qué es esto mm no no no tengo mucha idea de esto la verdad eh eh bloquéala eh saludara por ahí se call d Ah gracias u Qué mal que estoy ahí me parece que que lo pude bloquear gracias gracias gente Perdón no veía los tres puntitos al lado bien eh Está bien me equivoqué yo buenísimo Nicolás buenísimo bien qué bueno escuchar que que que se entendió porque yo no entendía bueno bueno eh Okay entonces Ah lo que quería decir la diferencia entre suma de la serie suma de la serie y serie serie va a ser la representación que nosotros tenemos de sumar infinitas cosas la serie para nosotros es la representación es como Okay sumo infinitas cosas Cómo se le llama a esto de sumar infinitas cosas serie si serie serie serie si esto estamos haciendo una serie si la serie asociada a a sub n porque los términos vienen de la sucesión a subn bien Ahora hay gente que SEP entre serie suma de la serie porque una cosa es bueno puede ser que vos sumes todos los términos o sea hagas este límite el límite de la sucesión de sumas parciales y te dé cuatro puede ser y si nos da cuatro lo que quiere decir es que sumar las los infinitos términos de a sub n nos dio cuatro en algún sentido Sí y lo que va a significar esto es que a medida que vos sumes los términos sí Jamás te vas a pasar del número cuatro por ejemplo o te vas a estar acercando cada vez más al número cuatro y eso es loquísimo eh yo les doy un ejemplo muy interesante ustedes agarren y sumen los 1 medio 1 Med a la 1 1 medio a la 2 1 medio a la 3 bla bla bla bla bla sumen Estos sí y vayan sumando digo háganse s sub1 s sub2 s sub3 hagan es sub4 s sub 5 es sub 10 si sumen los primeros 10 términos y van a ver que esto siempre da eh menor que uno si no importa cuántas veces ustedes sumen esto les va a dar menor que uno y esto es algo capaz que cuesta entender no porque es como cómo puede ser cómo puede ser que yo esté sumando siempre cosas positivas y no pueda pasar al número uno bueno pero algo que uno tiene que notar es que las cosas que estamos sumando son cada vez menores s son infinitas O sea no paro nunca de sumar pero aún así se van achicando tanto que no pueden pasar al número uno sí podemos hacer ejercicio de sucesión por supuesto quiera ahora vamos Sí pero quería que todos entendamos series primero Sí bueno entonces esto lo pueden hacer es un ejercicio super interesante sumen esto van a ver que siempre les da menor que uno sí siempre les da menor que uno Sí entonces hay algo interesante que es si ustedes se calculan la s subn para la sucesión 1/2 a la n y le calculan el límite lo que pasa es que les da uno Sí entonces realmente nosotros vamos a entender como sumar los infinitos términos de 1 medio a la n lo vamos a entender como que nos va a dar uno Sí desde uno es muy importante desde dónde uno empieza la serie No porque si yo empiezo desde cco empiezo empiezo desde dos ya me va a dar un medio porque pobre este no lo sumé Sí entonces cuidado con series y depende mucho de dónde empiezan de dónde empiezan lo que da la serie Sí bueno eh Qué les parece se entiende series o sea se entiende Lo que es una serie la dificultades que tienen o sea los ejercicios después ahora ahora vamos justamente a hacer algún ejercicio pero se entiende O sea la idea de series sí o no es un concepto difícil sí buenísimo buenísimo listo ahora que todos sabemos que es una serie nos podemos meter en el problema de ese subn no la podemos encontrar qué hacemos con ese subn y y es un tema sí es un tema realmente difícil bueno Déjenme por ejemplo series de la sesión de repaso por favor vamos a series de la sesión de repaso a ver yo Déjenme ver yo veo muchas cosas acá en el campus ejercicios de integrales ejercicios de T ejercicio de sucesión ejercicio de series para el repaso Supongo que yo acá puedo compartir no no no puedo compartir mi pantalla no sé Claro es este o sea por ejemplo acá sí salimos de series salimos de series un segundo ahora volvemos pero ahora que ya entendemos que es una serie por ejemplo hay un ejercicio que estoy viendo acá voy a estar haciendo ejercicios series de repaso eh yo porque alguien puede estar preguntándose qué estoy haciendo ejercicios Uy ejercios de series para repaso si así se llama el el PDF este que les mandaron serí es para repaso bueno eh Espero que que todos puedan encontrar el Espero que tod puedan encontrar el el PDF este no pero bueno el primero nos dice o De hecho no no está bien Mejor no nos dice calcular la suma de la serie y nos dice u un kilombo una serie bastante grande empieza en N = 0 4 a la 2n + 1 + 12 a la n - 1 y todo esto dividido por 64 a la n bu eh bien da un poco de miedo el ejercicio da un poco de miedo pero yo antes de encarar el ejercicio necesito Necesito que ustedes sepan series geométricas sí no lo voy a presentar al tema pero recuerden las series geométricas rápidamente lo voy a recordar series geométricas son las que tienen esta pinta e las series geométricas son las que tien la pinta sumar un numerito a la n sí Ah yo hago mucho esto eh si yo no pongo des dónde empiezo significa no es la práctica siete no es la práctica siete es el último tema series es el último tema sí Ah no es la práctica si no es un ejercicio de la práctica si no es un ejercicio de la práctica si sí es el repaso de de la de la sesión sí está acá yo lo encontré en el campus eh ejercicios adicionales en la sesión 13 sí sesión 13 del Campus ejercicios adicionales ejercicios de series para repaso sí buenísimo eh bien entonces series geométricas son de esta pinta si son de la pinta por ejemplo dos a la N O sea con r un número real r un número real s si yo no pongo de dónde empiezo significa que a mí no me interesa de dónde empiezo si estoy viendo que yo me encanta irme para arriba si lo veo ahí me parece loquísimo a mí no me interesa de dónde empieza eh Perdón pero es análisis de ingeniería Sí sí Lupi es análisis de ingeniería bu a mí no me interesa dónde empiezo si Estas son las series geométricas son un número a la n la variable la la n lo que digo está acá arriba esto es un número no le tengan miedo del número es un r puede ser dos por ejemplo si estamos sumando los dos a la un dos A la dos dos a la TR bla bla bla Estas son las series geométricas Sí bueno yo voy a necesitar que ustedes conozcan la fórmula de una serie geométrica s la fórmula digo está desarrollada en la teoría eh Por ejemplo les habrán dicho esto si les habrán dicho eh esto eh Hasta infinito desde n = 0 eh de la r a la n esto da lo mismo díganme si alguien entiende o estoy hablando chino cuando yo escribo esto o sea es una fórmula que la tienen la la ven La la entienden eh saben que la tenían o es algo como que yo les dije acá y no entienden qué estoy haciendo sí se entiende Sí sí Ah se entiende Bueno yo voy a suponer conocido esto porque si no literalmente voy a estar dando una clase teórica Sí esto de acá puede ser que ya se las dieron en en el campus yo creo que les dieron así desde n = a 0 Sí y les dieron esta el uno el numerador se da porque n ig a 0 Ah muy interesante muy interesante lo que dice Lupi hay un caso más general de esta fórmula que se lo voy a dar yo ahora por si les interesa es es bastante interesante el hecho de que si ustedes empiezan de cualquier n = a yo yo elijo Llamar a a esto eh esto de acá es r a la a sobre 1 - r Ah pequeña aclaración no todo esto estos dos casos es cuando el módulo de r sea menor que uno porque si no estoy [Música] mintiendo si el módulo de r no es menor que uno verdura si no no no es convergente la serie sio el límite de la s subn asociada te da infinito no había otra fórmula si n no es cer0 Eh sí es válida si el valor de r está entre cer y muy bien Miranda muy bien es muy importante Esto sí muy importante O sea si r por ejemplo dos no vale esta fórmula eh si r es 2 de hecho la fórmula la serie diverge si da infinito digamos uno va sumando los términos se va haciendo cada vez más grande Sí pero quería eso no no había otra fórmula dice Mati sí puede ser que les dieron la de uno sí rempen acá con uno si empiezan desde 1 arriba es r sobre 1 - r sí r a la 1 no puede ser que les dieron la de uno también no sé puede ser que le dieron la de Cero y la de uno la fórmula no puede ser también también eh Esa me parece un poco al pedo la verdad porque o sea me parece un poco al pedo porque les agregan un número multiplicando acá que lo llaman a pero los números multiplicando por propiedad de linealidad de las series ustedes lo pueden sacar de la serie sí no es necesario sí O sea pero pero lo pongo lo pongo por las dudas lo voy a llamar B yo al número no no no déjen llamarlo a a por r a la n es igual a capaz que les dieron esta desde n = 0 a sobre 1 men r son todas totalmente equivalentes eh o sea todas estas cualquiera se pueden utilizar yo que les aconsejo utilicen esta Este es el caso general bueno Esta tiene un caso más general que es un número explicando pero la pueden la pueden sacar Sí qué tema es eh series geométricas facu series series geométricas sí queremos resolver este ejercicio acá sí sí esa última Ah okay les dieron Esta bueno bueno eh cualquiera sirve eh cualquiera literalmente todas estas eh uno puede vivir con cualquiera de ellas Esta es muy útil Esta es muy útil Bueno entonces Sabiendo esto cómo hacemos nosotros el ejercicio de allá Sí bueno en realidad hay que saber otras dos cosas sí Acá hay que saber propiedades de linealidad de las series Sí ustedes saben por ejemplo esto no empezando de cualquier lado eh No me interesa siempre y cuando acá empiecen del mismo lugar esta propiedad uno de linealidad se lleva bien con la suma y con la resta y la propiedad dos de linealidad dice que si ustedes le agregan un número x acá multiplicando eh lo pueden sacar o sea si ustedes se fijan estas propiedades vienen acarreas desde derivadas derivadas cumplen esto integrales cumplen esto las series también cumplen Esto sí O sea esta son las típicas propiedades de linealidad de llevar bien con la suma y con la resta y con la multiplicación por acá no aclaré x es un número real entonces este ejercicio de acá para primero para tener las bases hay que conocer alguna de estas fórmulas y la estas dos propiedades si si uno sabe estas cosas ese allá sale si no digo que sea fácil No digo que sea fácil porque hay un poco de experticia algebraica que que aplicar pero pero se puede hacer sí se puede hacer entonces Eh bueno Rafa dice que sí así que Supongo esto conocido se lleva bien con la suma y con la resta puede sacar puede sacar numeritos multiplicando afuera de la serie Si espero que sean cosas conocidas voy a borrar y eh las formulas creo que las puedo dejar ahí Creo que me puedo dar el lujo de dejarlas ahí pero las las propiedades linealidad si las quiero sacar bu Entonces yo miro mi fórmula No yo la miro y resulta que yo sé calcular digo una serie si tiene un número por un número a la n pero allá yo no veo un número por un número a la n para nada yo veo un número a la 2n + 1 más un número a la n - 1 todo sobre un número a la N O sea hay una división una suma hay un quilombo de cosas allá arriba Sí entonces lo que uno la motivación antes de empezar a hacer ejercicio siempre me parece interesante motivar Por qué qué queremos hacer nosotros queremos llevar a lo de allá arriba a cosas de esta forma sí o a cosas de esta forma o a cosas de esta forma sí como como r a la nes Sí porque si uno no tiene r a la nes no puede aplicar la fórmula sí No no es cierto yo le pongo un 2n acá la misma fórmula No sí entonces eh un número yo lo puedo distribuir no O sea yo puedo escribir esto como 4 a la 2n + 1 sobre 64 a la n más 12 a la n - 1 sobre 64 a la n la lo Ah cierto me hiciste acordar se hace por separado a las sumas y que si ambas convergen Uh para me perdí a ver Ah cierto ya me hiciste acordar se hace por separado las sumas y que si ambas convergen es que si sí converge esa serie Pero qué pasaría si una converge y la otra diverge muy interesante Juan muy interesante Juan eh si una converge y otra diverge pensemos a ver diverger Yo no lo dije no pero converger y diverger son palabras que dicen si una serie converge significa que da un número sí o sea que el límite de la sucesión de sumas parciales da tiene límite finito tiene un número sí o sea que da por por ejemplo cuatro una serie sí o un medio o cualquier número no eh Y si una serie diverge justamente lo contrario que el límite no existe sí O sea no se puede decir que esa serie tienda a algo no podría ser que no exista por tender infinito por ejemplo que se haga muy grande pero no es el único caso por ejemplo la serie de -1 a la n sí no es que no existe porque se hace muy grande no existe porque va de c a uno de c a uno de o a uno y no se entiende nada o sea es una serie que no no tiende a nada no uno va sumando los términos y va mirando la tendencia y no tiende a nada Sí o sea la s subn no tendería nada eh entonces en esos casos eh diverge No y ahora vos me preguntaste si yo tengo una suma de cosas que una diverge y la otra converge Qué pasa HM si esta diverge Sí si diverge y yo le sumo una serie convergente sumarle una serie convergente es lo mismo que sumarle un número a a vos qué te parece un límite que no existe si yo le sumo algo que es un número va a existir Esa es la pregunta No claro no O sea no digo ustedes ya conocen esto si tien un límite que no existe si si usted le suman un número va a seguir sin existir sí existe aclama Michel No si ustedes tien un límite que no existe Sí por ejemplo déjeme ponerles un límite que no existe -1 a la n este límite no existe no tiende a nada men1 a la n va dando oscila finitamente uno podría decir sí si ustedes a -1 a la n agarran y hace Che y Qué pasa si yo me considero -1 a la n + 2 el límite este el límite de todo esto Existirá tampoco sí no Porque al fin de cuentas qué va a hacer sumar un número no va a cambiar el hecho de que esta oscile se entiende sería sumar algo infinito seguiría siendo infinito claro bueno Daniel ese en el caso de que sea infinito Sí yo yo podría hacerlo en el caso de que sea infinito porque es más entendible es como Claro si vos tenés acá algo que tiende infinito O sea que algo que pasa cualquier número dado un n suficientemente grande y vos le sumas a un número o le restas un número no importa si lo va a seguir haciendo si lo va a seguir haciendo ponele que infinito más un es igual infinito Exacto sí eh si uno entiende Lo que es tender infinito sí eh si usted tiene una sucesión que tiende infinito y después se consideran la sucesión más un claramente va a seguir tendiendo infinito Sí o sea va a seguir pasando cualquier número sí Y aunque le resten 1000 no a ver pensemos No si yo tengo una sucesión que yo le doy un n lo suficientemente grande y puede pasar a literalmente cualquier número sí Si yo le resto 300 a su sucesión qué voy a tener que hacer Bueno metele el n que le metiste anes pero más 300 digamos vas a poder sí O sea que que yo te reste no va a privarte de esa cualidad de poder pasar a cualquier número sí porque bajarte no no no pasa nada sí no realmente no no hay ningún problema Sí en algún momento vas a volver a pasar a cualquier número sí Entonces para la suma obligatoriamente los sumandos deben converger eh estos dos a ver si nosotros queremos que nos dé un número sí o sea sí si nos dice calcular la suma uno se espera de que esto converja sí probablemente estas dos sean convergentes Sí y nos dé un número esta un número esta y no terminando un número que lo sumamos Sí claro como dice Julio No si oscilaba entre 0 y un ahora va oscilar entre dos y tres exacto no cambia bien sigamos Entonces eso respondía a lo que preguntaba Juan de una o sea una Divergente más una convergente es Divergente una convergente más una convergente es con gente una Divergente más una Divergente eh ahí Habría que ver me parece Eh no estoy no estoy muy seguro si si suman dos dos divergentes da Divergente O podría converger no sé eso tendría que Tendría que chequearlo eh No se me hace tan tan obvio no no no estoy muy seguro de eso pero bueno en este caso hagamos el ejercicio porque si no yo sigo hablando y no termino nunca el ejercicio Okay a ver yo puedo separar la serie no puedo agarrar por la primera propiedad de linealidad agarrar y hacer esto no separar las series en dos series que se están sumando Por qué hago esto yo y porque yo quiero llegar a formas de la pinta r a la n Entonces desesperadamente yo no quiero una suma ahí adentro no la quiero esto sobre 64 a la n desde n = a 0 no bua tenemos estas dos cosas no Divergente más Divergente diverge puede ser No no es que me parece que es falso eso eh Me parece que es falso Yo te puedo armar un oscilante con otro oscilante que se terminen cancelando término a término y que siempre sea cero sí no importa no no no me interesa eso no no me interesa Eh bueno me quedaron estas dos no por la primera propiedad de de linealidad si quieren acá pongo uno o sea linealidad Lin uno Sí utilicé eso Bueno pero se dan cuenta el problema no yo acá Sigo sin Ver número a la n sigo sigo viendo número a la cosa rara número a la cosa rara y abajo Sí veo número a la n Sí y ahora algo cierto es que la serie no se lleva bien con la división yo no puedo hacer Ah bueno la serie de la división es la serie de arriba dividido la serie de abajo esto es totalmente falso totalmente falso Sí entonces cuidado las propiedades de linealidad son básicamente las únicas que tienen que utilizar acá cuidado con separar la serie en la división Sí entonces acá eh Nada experti algebraica si hay que hacer cositas algebraicamente Por ejemplo a ver por ejemplo 12 a la n - 1 12 a la n - 1 sí es multiplicar n - 1 veces el 12 sí Entonces cuál es la relación entre 12 a la n y 12 a la n - 1 bueno que yo el 12 a la n - 1 lo puedo escribir como 12 a la n * 12 a la -1 díganme si lo que acabo de hacer tiene sentido sí tiene sentido como separé ahí el 12 a la n - 1 sí no O sea si quieren no sé podemos podemos decir que aplicamos la propiedad de los exponentes Por así decirlo eh la de si los exponentes están sumando digamos lo puedo separar sí acá lo consideré como n má -1 s Pero por qué yo hago eso y porque yo sé que los números multiplicando a mi serie los puedo sacar Sí este número acá lo lo puedo sacar acá fuera si acá yo puedo hacer Ah okay ese 12 a la a la men1 si lo puedo sacar acá fuera de la serie para que no moleste porque a mí me molesta ese número ahí sí y nos quedamos con eso estamos de acuerdo y 12 a la men1 no sé medio me parece medio perturbador escribirlo así Déjenme escribir 1 sobre 12 por alguna razón me gusta más así ahí sí Y pues hacer lo mismo la otra muy bien o sea esta de acá 4 a la 2n se puede escribir o sea Perdón 4 a la 2n + 1 se puede escribir como 4 a la 2n * 4 y con la misma lógica que antes el cuatro yo lo puedo sacar acá cho el cuatro sí espero que se entienda lo que estoy haciendo Sí bueno me gusta me gusta pero yo sigo sin ver acá número a la n yo no Acá no veo número a la n no sé si ustedes lo ven qué habría que hacer ahora digamos porque me falta un poquito para llegar a esto o a esto por ejemplo como empiece cero yo voy a mirar esta acá yo voy a utilizar esta acá como que me gustaría utilizar alguna propiedad de si tengo una división de cosas a la n Que aparezca una n sola no porque yo no quiero algo a la n dividido algo a la n me molesta la división no O sea yo esto están de acuerdo en que lo podía escribir como a ver 2 a la n sobre 64 a la n es lo mismo que 12 sobre 64 a la n podes poner la fracción a la n Es lógico esto que acabo de hacer o sea depende de como ustedes se lleven tanto bien con las propiedades de los números si hay muchas propiedades de los números acá sí resta de exponentes puedes poner la fracción a la n Sí sí bien Bueno entonces ahora ya ganamos porque esto está en la forma esta si el número es 12 sobre 64 si que de hecho 12 sobre 64 se puede simplificar no un poquito por 2 por 4 por cu No si yo lo simplifico por 4 si arriba divido por 4 me queda 3 y si abajo divido por 4 me queda cuánto 64 4 eh 16 16 me parece 3 16 bien entonces borro acá y pongo el 1 sobre 16 entonces fíjense que simplemente yo estoy aplicando propiedades los numeritos eh cosas que conocen desde la secundaria s Entonces ya está tengo número n listo esta de acá yo ya le puedo aplicar la fórmula o sea yo podría decir que esta esta de acá es 1 sobre 12 por y aplico acá veo que es una serie que empieza de uno de perdón empieza de cero va hasta infinito igual que acá de r a la n No mi r sería 3 sobre 16 sí esto es mi r en este caso Entonces veo la fórmula y Ah okay esto Ah perdón eh pero el módulo menor que 1 siempre me perdí antes de que hagas la propiedad de la potencia decía 12 elevado n sí tenía o sea Saqué el numerito Saqué el 12 a la men1 tenía 2 elevado a la n sobre 64 a la n y yo lo que hice fue como tenemos dos cosas a la n dividiéndose toda la fracción la elevé a la n sí Ah Ya está ya me encontré lo había leído Entonces yo acá voy a aplicar la primera la primera acá que ya como empieza en cero listo un sobre 1 menos el r que en mi caso es 3 sobre 16 Bueno después hacemos la cuenta eh A mí no me interesa mucho la cuenta bien esta de acá yo me dicen Qué hago con el el do a la n de exponente porque yo no quiero un dos a la n Yo quiero un n de exponente Qué puedo [Música] hacer lo elev bas a la dos exponente exponente claro exponente por exponente Sí o sea acá estamos utilizando propiedades de los números eh o sea puede ser que alguien no se la sea muy bien y es un problema esto 2 a la 4 a la 2 por n es lo mismo que 4 a la 2 todo a la n Sí también es lo mismo que 4 a la n todo a la 2 Pero por qué me gusta así porque yo quiero número a la n arriba para aplicar lo mismo que acá y juntarlos todos en una fracción a la n sí perdón si entendí mal pero sería como hacer factor común yo jamás vi un factor común acá Dónde dónde pensás que yo hice factor común en cuando tenía algo a la n divido algo a la n dónde es exactamente el supuesto factor común decime Daniel yo mientras sigo 4 a la dos es lo mismo que 16 No como ya puso como ya puso aquí ara 4 2 es 16 tengo algo a la n dividido algo a la n Esto es lo mismo que escribir 16 sobre 64 toda la n no 16 sobre 64 todo a la n s bien y acá lo mismo se pueden simplificar no en este caso es un poco más lindo no esto de acá da un cuar si yo en esa parte Cuando elevo toda la n Ah Okay Daniel claro es esta propiedad acá si vos tenés algo a la n dividido algo a la n Esto es lo mismo que la fracción a la n esto es una propiedad de la distributiva de la potencia respecto a la división si si lo miramos de derecha a izquierda sí eh que qué iba a decir tiene sentido esta propiedad No porque multiplicar una fracción a sobre B n veces es como a sobre B por a sobre B por a sobre B O sea que tenemos na arribas y nb abajos a a la n B a la n sea es una propiedad que tiene sentido sí bu listo esto 16 so 64 Me parece que 16 es justamente el cuarto de 64 No si yo multiplico 16 por 4 me da 64 O sea que esto de acá si ustedes simplifican 16 arriba 16 abajo me da un cu4 Es simplemente una simplificación de fracciones Estamos de acuerdo Bueno sigo 4 por ya está número a la n serie de de de cer hasta infinito de número a la n veo la Fórmula 1 sobre 1 menos Ah no le dije nunca eh r se le llama razón Sí r se le llama razón o sea da 1 sobre 1 menos la razón que es 1/4 sí estamos de acuerdo Bueno nos queda la la la la cuenta no no sé si tengo ganas de hacer la cuenta o sea sí hagámosla para ver si no s tiene las respuestas pero a ver H rápidamente a ver 1 men 1/4 es 3 cu4 no y dividir por 3 cu4 es lo lo mismo que multiplicar por 4/3 digo darlo vuelta sí y 4 * 4/3 es 16/3 O sea que todo esto de acá me da 16 tercios díganme si estoy haciendo cosas raras con las cuentas 16 ter y acá algo muy similar 1 - 3 sobre 16 es 13/1 esto acá dividir por 131 es lo mismo que multiplicar por 16 13 s entonces me queda como bueno 16 sobre 12 por 13 no sé cuánto esto acá me queda 16 sobre 12 * 13 que se pueden simplificar algunas cosas no si el 16 lo simplifico por 2 me queda un 8 acá un 8 este si lo simplifico por dos me queda un 6 vuelvo a simplificar por dos Esto me quedó un 4 y este me quedó un 3 y ahí me gusta un poquito más 3 * 13 me da 39 s O sea que me queda este número bastante feo más este número bastante feo sí o no No sé si me están siguiendo 4 sobre 39 Me parece que sí No fíjate 1 - 3/16 es como es 16 sobre 16 - 3 sobre 16 que es 13 sobre 16 que DS vuelta es 16 sobre 133 entonces me quedaba 16 sobre 12 * 13 y yo simplifié un poquito el 16 y el 12 sí los dividí por cuatro digamos abajo me quedó un 3 por 13 que es 39 y arriba me quedó 16 di 4 4 sí un poquito de simplificaciones Y si ustedes quieren Eh bueno no sé cuánto da esto da da una cuenta bastante fea 4 so 39 + 163 o sea esto de acá da 16 16 ter más 4 sobre 39 y esto de acá no sé dará 39 sobre arriba Eh no sé 16 * 13 + 4 no sé da un número bastante horrible no un número bastante grande sí 212 puede ser 160 e sí 212 sobre 39 muy bien 2122 sobre 39 no sé si había respuesta si lo hicimos bien pero la idea del ejercicio es esta si así lo que acabamos de hacer todo ejercicio de suma de series geométricas sí o series medias raras que en realidad terminan siendo geométricas se resuelve est de esta forma sí estamos de acuerdo me dio eso bueno bien Espero que se haya entendido el ejercicio no sé si quiero hacer otro ejercicio de eso es un poco engorroso hacerlo de series geométricas pero quería al menos hacer uno no creo que me dé el lujo de hacer otro de series geométricas lo que acabamos de hacer es exactamente lo que se hace en cualquier ejercicio I de series geométricas aplicar propiedades de exponentes sacar numeritos afuera de la de la serie aplicar que la serie de la suma es la suma de las series la suma la serie de la resta resta de las series aplicar conocimiento de series geométricas si la formulita esta cuidado por si no empieza de cero eh si no empieza de cero usen esta por ejemplo sí que me parece que no se las presentaron pero se las presento Yo sí usen Esta puede ser uno de sus sesiones hacer serie de potencia y de potencias A ver vamos a hacer uno de potencias vamos a hacer uno de potencias sí peroo Yo quiero hacer sucesiones eh pero déjame un segundo que me parece que al principio series fue lo más requerido s series fue lo más requerido así que déjame por ejemplo el 4 y el 5 el cuat y el C de este mismo Déjenme ves Voy a hacer el cuatro por ejemplo acá Déjenme copiar uno de serie de potencias no qui el c que estoy viendo es muy largo muy largo de copiar no tengo gas de copiarlo seguimos en el mismo PDF en el mismo PDF este y ahora vamos a hacer el ejercicio cuatro nos dice hallar todos los X pertenecientes a Los Reales donde la serie la serie esta acá que empieza desde desde uno desde 1 Dn + 1 por x a la n sobre 5 la sea convergente bu voy a volver a ver los comentarios eh el cinco que parece complicado Bueno vamos a hacer el cuatro después si quieren comento un poquito el el cinco eh Sí el cico capaz es un poquito difícil de entender lo que está pidiendo Sí pero este este es bien típico a ver si todos estamos de acuerdo con que serie de potencias no es tan sí o capaz que todos estamos de acuerdo en que serie de potencia es nos dice hallar todos los X pertenecientes a Los Reales donde la serie esta de acá sea convergente sí Y acá pasa algo interesante no porque tenemos una x dando vueltas sí que tengamos una x dando vueltas significa digamos o tiene una consecuencia bastante interesante que es para algunos valores de X esta serie de acá puede converger para otros valores de X para otros valores de X esta sería de acá puede diverger sí como hay una incógnita ahí dando vueltas yo meto x = 5 por ejemplo se me Cancela acá y me queda solo esto que podría converger como podría diverger no lo sabemos sí pero si meto x = 10 bueno capaz que pasa algo distinto no entonces realmente uno ve que depende de x o sea podría tranquilamente depender de X La convergencia o divergencia de esta serie de acá que yo Yo lo pienso como que es una serie como que son muchas series juntas si para cada valor de X van a tener una serie numérica si Acá hay que usar el radio del intervalo de convergencia o eso es otro tipo de ejercicio no es ese tipo de ejercicio Mati pero no nos piden el radio si nos piden digo fíate donde es convergente fíate gente nos Podrían haber agregado y dar el radio de convergencia Sí pero el ejercicio es muy es muy similar a este sí lo que vos estás planteando es el ejercicio de serie de potencias es un ejercicio de serie de potencias Alo que te pueden pedir en serie de potencias acá no lo pidieron acá simplemente dijeron Che Dame los X para los cuales converge sí Entonces yo le quiero preguntar algo qué hacemos con esto Cómo sabemos cuándo esta serie de acá es convergente sí que qué sea Cómo se actúa acá igual hallando el intervalo de convergencia encontras el radio siempre hago eso yo eh Está bien Miranda el radio es un poquito más fácil Realmente si quieren después les cuento en este caso Les puedo decir cómo Hallar el radio más fácil No es necesario tener el intervalo para ver el radio me parece que eso se los comentan igual en las teóricas como que está ahí como que hay un numerito bastante interesante Ese es el radio y ni siquiera todavía tenemos el intervalo s ki dice marco ni idea dice me gustó koi sabes que me gustó koi Me encantó koi Me encantó si me gustó mucho cosi vamos a hacer ki porque yo no quiero hacer dalbert acá no a m no me gusta hacerle dalbert a Esto va a quedar una cuenta muy larga no digo que no se pueda hacer se puede Bueno ahí mira miren Miranda nos cuenta que se puede hacer el el criterio de al y sale sí seguro la mayoría de veces que funciona damber también funciona cosi eh Nada más que cosi tiene la raíz encima de los factoriales no es muy linda hay que ver o sea co es un poquito más restringido si uno no sabe tantas cosas sí pero dalbert es más directo sí porque uno se mete con la raíz encima Tiene una maquinaria un poquito más potente si pero no es cierto por ejemplo que los límites siempre dan igual si hay algunos límites que salen por cochi que no salen por dalber pero en la generalidad de los casos eh sale por ambos muy malo el material teórico de serie de potencias s es que serie de potencia es muy simple en el sentido de tengo una sucesión tengo Perdón una serie que en realidad son muchas series porque para cada x tenemos una serie que se llama numérica No si yo la X La reemplazo con TR esto es una serie numérica sí es una serie de las que ya teníamos tiene una sucesión acá horrible una serie que va desde algún lugar hasta sumar los infinitos de esta sucesión de acá sí o sea que esto de acá sería una serie de las que veníamos viendo nada más que mucho más fea Sí realmente mucho más fea Bueno si le pongo una x lo que pasa es que son muchas a la vez sí son muchas a la vez es como que depende el caso no depende de la x que que qué serie numérica tenemos bueno y se le llama serie de potencias porque aparece x a la n no bueno eh hagamos cosi Pero primero quiero recordar a ver criterio de cosí para ver si todos estamos en en la misma página el criterio de cosi nos dice lo siguiente nos dice dada una serie de la pinta nada una serie a sub así una serie una serie de siempre si no estoy poniendo donde empiezo porque no me interesa dada una serie de de términos a subes No si uno calcula el límite cuando n tiende a infinito de qué cosa de la raíz enésima de acá por favor el módulo de a sub n un error muy común comerse el módulo si uno se calcula la raíz enésima del módulo a le calcula el límite a eso y este res Resulta ser puntito suspensivo capaz no es la mejor forma de escribirlo lo estoy haciendo ahora super improvisado resulta ser menor que un entonces la original la serie esta voy a poner acá converge le pongo comb de converge si mayor que uno si Resulta ser mayor que uno entonces la serie original diverge y bueno desafortunadamente no solo hay números mayores y menores que uno también puede dar uno si Resulta ser igual a 1 lloramos igual a 1 entonces la serie de los a subn eh No perdón no decide el criterio el criterio no decide o sea el criterio si te da uno te manda saludos no no te dice nada si realmente no no te va a ayudar sí eh Por qué a los matemáticos le gusta la barba es una buena pregunta yo no sé si es que me gusta de hecho creo que no me gusta Simplemente soy medio vago eh pero es cierto que lac Ya ves a chicos jóvenes con para pod pensar como Ares te da poder de pensamiento no Bueno entonces el criterio de lo tenemos acá se entiende se entiende el criterio no sé si lo conocían si está todo bien Si alguien me quiere consultar algo Yo no tengo problema con que me digan Pero en serio tiene que ir el módulo no puede ser que lo hayan enunciado de otra forma algo así quieren preguntar algo sobre yo el criterio se entiende bueno Eh entonces cuándo conviene usar cosí bueno esa es una buena pregunta conviene usar cosi cuando uno el límite este quede lindo Sí cuando el número Este quede lindo el número la sucesión esta que linda cuándo va a quedar linda cuando hay muchas cosas a la n Sí para si la raíz enima las va cancelando sí Mati cuando hay muchas cosas a la n la raíz enésima va a quedar muy buena porque se va va a cancelar un montón de de estos Sí o sea Cuándo conviene usar cosi cuando ven muchas exponenciales sí exponenciales tipo nes en el exponente Sí por qué el módulo Michel Por qué el módulo bien porque hay que ponerle el módulo o sea ustedes agarran una serie cualquiera y kosi lo plantea así le tiene que tomar el módulo Sí a la a la raíz enésima Sí una una justificación bastante pava eh de Por qué la raíz enésima va a estar bien definida siempre y cuando lo de adentro sea positivo Sí puede ser que si la a subn es negativa si yo no pongo el módulo supónganse que la a subn puede dar negativo porque ya acá yo no estoy dando ninguna hipótesis sobre qué tiene que ser a subn porque como habrán visto ha algunos criterios por ejemplo comparación directa comparación via límite que les dicen este criterio funciona para series de términos positivos eso significa que esto tiene que ser positivo acá yo nunca dije eso porque sirve para cualquiera eh para cualquiera que ustedes quieran o sea cualquiera pero van a tener que pagar el precio de poner el módulo acá sí van a tener que pagar ese precio el módulo ahí tiene que ir porque si no podría esto no estar definido y además o sea es porque sin el módulo no no no funcionaría sí si la serie fuera de término positivos como casi es el caso acá no lo sabemos realmente no no es necesariamente cierto si la serie fuera de términos positivos el módulo me queda igual que ella y no es necesario s o sea va a haber un montón de casos en donde es es prácticamente positiva Entonces el módulo como que uno no le presta mucha atención pero es importante que est el módulo en serie de potencias es fundamental este módulo acá van a ver que si yo no pongo este módulo nos da cualquier cosa Sí ahí escrito lo Endo de 10 cuando lo aplico es otra cosa okay vamos a aplicarlo Sí a ver yo miro el criterio No yo lo leo qué límite se calcula el criterio te dice yo si vos tenés una serie de de una sucesión a subn calculaste este límite Y fíjate si te da menor o mayor que uno está buenísimo si te da igual que uno mala suerte Bueno entonces qué voy a hacer yo yo voy a calcular este límite Sí con a sub n Qué cosa y bueno como a sub n voy a tomar todo esto Esto va a ser mi a sub n o Por así decirlo el a lo que llama a sub la forma en la que enunci el criterio de cosi en es caso sería todo esto de acá Entonces qué voy a hacer yo voy a hacer eso lo voy a escribir va a quedar extremadamente gigantesco esto pero va a ser el límite cuando n tiende infinito de la raíz enésima de todo esto de acá dentro y después el módulo s el módulo de todo esto que voy a copiar a ver X a la n sobre 5 a la n sí cierro no se entiende que este en este caso Este es el límite que nos interesa tomar por coi Mati se puede tomar raíz de algunos términos y otros no o hay que aplicar cosí todos juntos eh O sea la rí tenés que calcular a todo Si si vos queres concluir cosas de la serie esta vas a tener que tomarle el límite a todo si sea no podés simplemente le hago raí encima eso y lo que me de eso ya está sea hay que hacérselo a todos si Pero bueno espero que se entienda que este límite es el que nos presenta y es el que habría que ver si es mayor o menor que uno digamos bueno tengan en cuenta que tenemos una x dando vuelta no Entonces si el límite llega a quedar con alguna x puede ser que quede con alguna x Sí por qué Y por qué x es un número incógnita qué le importa el límite Cuánto es x Sí o sea cuidado que yo pueda resolver el límite y el límite no tiene por qué darme tres sí o no tiene por qué darme 5 o dos sí puede ser que me quede 2 * x por ejemplo se entiende Como que puede end de X dado que hay una incógnita acá sería raro que no dependa justamente pero pero también podrías pasar Estamos de acuerdo en la motivación que estoy dando este límite probablemente nos quede con una x están de acuerdo estoy apuntando un montón para allá ah se entiende entonces y acá viene algo No yo les había dicho Está bueno por qué Porque se cancelan raí encima con la n Sí muy lindo pero acá no se cancelan de una no hay que hacer algo y lo que hay que hacer es que el módulo me está molestando un poquito sí pero en realidad el módulo no molesta tanto si ustedes recuerdan algunas propiedades del módulo Sí el módulo tiene algunas propiedades que son el módulo a la multiplicación es la multiplicación de los módulos el módulo de algo a la n es el módulo del algo a la n sí hay como propiedades así sí el módulo de a por B es igual que el módulo de a por el módulo de b y bueno la generalización de esto es módulo de a a la n es lo mismo que el módulo de a a la n y no s si alguna más si creo que en este momento no me interesa ninguna más que esas dos sea recuerdo esas pequeñas propiedades del módulo entonces acá yo tengo muchas divisiones y muchas multiplicaciones Entonces por yo seguro que puedo hacer Ah el módulo de esta multiplicación va a ser el módulo de esto por el módulo de esto Sí eso de primeras sí Acabo de utilizar una vez esta propiedad sí la propiedad uno si le queremos poner hombrecito Ahora yo lo quiero usar de nuevo Ah Ya sé Me faltó una la de división sí me faltó la de división con la división también se lleva bien Es la misma que esta pero dividiendo no O sea el módulo de una división es el módulo del de arriba sobre el módulo del de abajo Sí y lo mismo acá módulo del de arriba sobre el módulo del de abajo por qué estoy haciendo esto porque yo no yo no quería el módulo afuera de todo porque yo quiero que la raíz enésima después se distribuye y se cancele sí Yo quiero dejar los nes bien expuestos para la raíz enésima Sí bueno y ahora pensemos a ver si ustedes recuerdan lo que es el módulo el módulo un número es una operación que se le hace un número que si es positivo no hace nada y si es negativo lo cambia de signo sí simple Ahora yo les pregunto acá no les parece que tenemos algunas expresiones que son siempre positivas por ejemplo 5 a la n con n natural es 5 a la 1 es multiplicar n veces 5 no multiplicar números positivos O sea que esto de acá esto 5 a la n es positivo no entonces el módulo qué va a hacer lo va a dejar igual sí O sea que el módulo de 5 a la n no lo pong digo para para visualizarlo más más claro no pongamos el módulo de 5 a la n pongamos directamente 5 a la n sí se entiende eso díganme si se entiende porque es la clave digamos voy a estar haciendo eso un montón de veces sí con la misma lógica eh yo acá el módulo de 2 a la n Multiplicar dos un montón de veces va a seguir siendo positivo o sea que tengo algo positivo se lo puedo sacar del módulo acá lo mismo tengo algo a la quinta que no tiene por qué ser positivo pero como n es natural si vos V a un número natural le sumas uno eh claramente nos va a quedar un número mayor o igual que dos o sea que es positivo Entonces el módulo lo puedo sacar sí Entonces esto es lo que yo les decía en las sucesiones muchas veces va al módulo solo afectar a la x que realmente es así que no sabemos Qué signo tiene no se puede cancelar el n si tiene módulo y claro en principio no en principio no O sea para que se cancele digamos tiene que ser la raíz enésima de algo a la n Sí entonces por eso se lo intento sacar sí Exacto Lupi muy bien entonces la última cosa que yo quiero hacer es esto de acá es este módulo de acá lo quiero meter adentro por la segunda propiedad Sí el módulo de X a la n va a ser el módulo x a la n sí módulo x a la n Entonces está muy bueno la aclaración Que me hace Lupi porque claro yo lo que estoy haciendo es distribuir el módulo uno podría decir Che Qué estás haciendo resolver el límite resolv el límite y yo lo hice porque ahora yo voy a distribuir la raíz enésima y quiero que se me cancelen estos nes si o sea hay un hecho fundamental que es la raíz de la multiplicación es la raíz del primero por la raíz del segundo Por ejemplo yo podría serc la raíz ena del primer por la raíz Enma del segundo Ay qu horrible déjenmelo copiar de nuevo módulo de X a la n sobre 5 a la n la raíz enésima de esto ahora sí estamos bien no copié nada mal porque yo a veces copio cualquier cosa bien entonces yo la distribuí a la raíz encima por propiedad de la raíces la raíz con la multiplicación se lleva muy bien con la suma se lleva muy mal entonces ahora yo digo Bueno digo que la raíz enésima de eh la raíz enésima de lo de arriba sí dividido la raíz encima de abajo pues la raíz enésima también se lleva bien con la división también podría ser Sí sí Michel Por supuesto que sí Yo podría claro podría en lugar de distribuir la raíces nea podría serc lo que decís vos de escribir esto por la propiedad de algo a la n dividido algo a la n de hecho hagámoslo hagámoslo algo a la n dividido algo a la n es lo mismo que la división de los algos todo a la n no así Esto es lo que propone Michel y está perfecto si así está perfecto y de hecho me gusta porque ahora ya los raíz enésima y la n se cancelan s yo acá lo cancelo no pero Generalmente las cancelaciones en matemáticas son raras se cancelan por algo en realidad no es que se cancela porque se cancelan a ver la raíz encima de algo pensemos no la raíz cuadrada de 4 porque es do porque 2 al cuadrado da 4 la raíz cúbica de 27 porque es 3 porque 3 al cubo da 27 la raíz cuarta de 64 Por qué da 4 porque 4 a la cuarta da 64 Sí entonces la raíz la raíz de índice n lo que busca es un número que a la n te dé a lo que sea que le estés tomando la raíz no Y si vos tenés algo que ya está a la n lo que tenés que Elevar a la n para llegar algo lo que está la n es lo que está dentro perdón si fue un trabalengua pero se entiende lo que digo o sea por qué se cancelan la raíz enima algo a la n queda como trivialmente que es el algo sí sí o no sí bu bien bien hay un poco me estoy dando cuenta este esto tiene delay porque siento que me respondan retarde son acciones inversas perfecto Michel buenísimo entonces listo con esto ahora y esto Qué onda Bueno voy a hacer algo parecido voy a distribuir la raíz O sea la raíz de la división es la división de las raíces sí O sea que me queda la raíz enésima y la raíz enésima sí nos queda así sí Bueno la raíz encima de abajo buenísimo porque lo mismo que antes no se me Cancela con esto O sea que el límite a fin de cuenta vieron que daba un poco de miedo al principio del límite no era como super monstruoso pero a fin de cuentas el límite nos quedó bastante tonto nos quedó el límite cuando n tiende a infinito de la raíz enésima de n + 1 a la quinta dividido 2 por módulo de X sobre 5 si bien si ustedes quieren este dos y este este c los puedo juntar no O sea le puedo poner un 10 acá abajo si yo quiero eh No sé por qué pero bueno lo junto pongo el D acá ahí y ahora para el límite no les parece que esto es un número esto de acá porque el límite es en la variable n digamos es como el límite cuando n tiende infinito esto es un número sí o sea que esto de acá lo puedo sacar del límite no lo puedo poner acá acá adelante y escribir no lo voy a hacer en otro paso Mejor vamos a escribir módulo de X sobre 10 por el límite cuando n tiende a infinito de lo estoy dejando para el final a este porque quiero a ver qué me dicen sobre este límite ahí está Bueno hasta acá Supongo que todo bien pero entonces nos queda este límite de acá y ya está concluiríamos yo les pregunto cómo afrontan este límite de acá qué qué piensan Qué hacen Qué pasó con el elevado a la 5 eh A ver para Michel qué pasó con el paréntesis a la quinta pero acá está el paréntesis a la quinta no me comí algo no no paréntesis a la quinta paréntesis la quinta paréntesis a la quinta paréntesis a la quinta Eh fíate mi Mel Qué onda me hago unito y lloro pasas la raíz como exponente elevada a la 1 sobre n Bueno okay hago eso hago lo que me dicen no Elevar eh digo la raíz enésima es lo mismo que Elevar a la 1 sobre n no O sea que como esto elevado a la 1 sobre n perfecto me encanta me gusta me gusta me gusta y ahora claro 5 sobre n queda como exponente no y multiplicas los exponentes muy bien muy bien o sea digo muy bien porque está bien lo que están haciendo No digo que vaya en un sentido que resuelva el límite o sea está bien lo que están haciendo son propiedades válidas o sea es n + 1 todo elevado a la 5 sobre n y ahora Tobías o Rafa o digamos qué hacemos ahora Ah nunca cerr el paréntesis ahí está ahí y ahí claro era tipo todavía no podíamos llorar entonces hicimos algunos pasos y acá s nos podemos poner tranquilos a llorar límite de la potencia potencia del Límite Ah claro sí pero lo que pasa acá es que tengo dos expresiones no me parece que lo que estás proponiendo Juan es hac el límite de la base elevado al límite del exponente no va a funcionar acá estamos en una indeterminación eh infinito a la cero no tenemos una indeterminación infinito a la cero eso no quedaría uno entonces por qué quedaría uno José onda 5 sobre infinito si c sobre infinito tiende cero pero lo de abajo tiene infinito yo ya estoy llorando Jan Carlo Disculpame pero no te falta el dos a la 5 que simplificas con la n tiene razón tiene razón no me parece que es lo que lo mismo que Ah okay tien razón este c también afectaba esto no eh de cuandoo me lo empecé a comer no Ah como que de un paso a otro yo empecé a ponerle la quinta el n má un perdón eh acá No si distribuyen el exponente nos queda n + 1 a la qua sobre 2 a la 5n perdón dos a las 5n no espero no confundir a nadie con esto pero ahí había un c pobre s y ahora s la raíz encima de esto medio tarde pero no fácil por dalbert no era más fácil porber No necesariamente Rafa en realidad Porque este límite de acá es conocido pero no no sé si por ustedes pero por eso yo quiero hacer quiero hacer énfasis en queene de estas Sí pero bueno eh Déjenme Déjenme ver que uh se me fueron están comentando una banda acá es lo mismo que Elevar a la 1 sobre n Entonces se me cancelan las nes y me queda 2 a la 5 un 32 no O sea que me queda esto de acá es como un 32 una vez que cancelo la n con la n y me queda dos a la 5 32 díganme si todos están de acuerdo con esto y no estoy matando a nadie 32 que eso lo que haría sería poner un 32 acá yo voy a yo había juntado el dos con el cinco me había quedado así no Así me había quedado junté el dos con el cinco me dio 10 Ahora el dos no era un dos era un 32 que si lo junto me da 160 O sea que esto en lugar de ser un 10 es un 160 Perdón por ese error díganme si no confundí a nadie por favor sí mientras yo voy leyendo los comentarios que estoy viendo un montón de go eso tiende a uno dice Franco es cierto Franco tiende a uno Pero por qué cómo se salva con logaritmos Supongo eh se podría hacer algo con logaritmos es cierto profe falta un 1 sobre 2 a la 5 Tobías se me ocurre no se puede pasar el exponente como denominador y aplicar hital aplicarlo hital todavías estamos en sucesiones eh habría que hacer algo Mati infinito de acero no da uno no no Mati infinito cero es una indeterminación Sí o sea yo te podría dar ejemplos en donde no O sea te puedo dar ejemplos donde infinito a la cero da infinito infinito a la cero da uno infinito a la cero da pi te puedo dar ejemplos de todo infinito al cero termina tendiendo a cero eh Cuando tenías bla bla bla medio tarde probé viste viste por Michel Perdón Michel Tenías razón eso intentaba decirte te queda x se lleva el número e muy interesante lo que lo que comentó patu no no se va a llevar al número e porque el número e funciona en indeterminaciones uno a la infinito cuidado con eso eh acá no va no va a funcionar el procedimiento d pero pero es una duda que uno se puede se puede plantear porque es muy parecido no Cómo llegaste al 32 pregunta Mati es porque me conviene las 5 Mati 2 a la n a la 5 se multiplican los exponentes queda 2 a la 5n que después le meto la raíz enésima porque es la raíz nima hay que distribuirla y la raíz enésima de 2 a la 5n se puede pensar como 2 a la 5n a la 1 sobre n que se me cancelan los n y me queda 2 a la 5 un 32 sí decme Mati si se entiende eso eh pero pero cualquier número por más grande que sea si lo elevas a la cero no da uno sí Franco sí franco o sea es cierto cualquier número lo más grande cualquier eh número no importa lo grande que sea si lo elevo a la cero da uno Estoy totalmente de acuerdo con vos pero yo no estoy de acuerdo en que este límite da da uno Sí porque una cosa es hacer un límite otra cosa es Elevar un número muy grande a la cero sí ni esto es cer0 sí 5 sobre n no da cer nunca sí si 5 sobre n fuera cer si ya yo acá arriba tuviera cer0 yo Estoy totalmente de acuerdo con vos eh Juan que esto daría uno trivialmente Sí pero no es cero lo de arriba tiende a cero sí Y esto de acá tiende infinito no tengo un número cada vez más grande elevado a algo que tiende a cero algo cada vez más chiquito eso no no no tiene por qué dar uno si en este caso da uno Sí eso ya se los digo pero no no es por lo que están diciendo hay que comparar con una conocida no no no este límite es medio es medio feo Sí bueno de terminé de leer los comentarios Ahora sí tuvimos un montón de tiempo les dejé para que miren este este límite de acá o sea se puede probar que la raíz enésima de cualquier polinomio tiende a uno sí Se los voy a poner acá raíz enésima de cualquier polinomio sí tiende a uno cuando n tiende infinito claramente Ah polinomio en N no polinomio en N sí p siendo un polinomio eh muy importante p siendo un polinomio eso anótenlo no lo voy a anotar pero p siendo un polinomio por algo le puse p se puede probar eso sí una forma de probarlo es eh lo que lo que decía Tobías sí lo que decía Tobías es muy interesante Sí lo que decía Tobías ahí eh miren lo que puedo hacer el criterio de de cosí lo voy a borrar si no les molesta lo voy a borrar acuérdense después yo lo voy a lo voy a recalcar lo necesitamos usar un poquito todavía pero fíjense les voy a hacer una prueba rápida Sí les voy a hacer una prueba rápida de que esto tiende tiende efectivamente a uno mira necesitamos límite de n + 1 a la 5 sobre n s pero voy a tener que utilizar algo que no sé si es conocido sí eh miren Voy a aplicar logaritmo sí voy a aplicar logaritmo o sea voy a suponer que esto me da l no voy a aplicar logaritmo a ambos lados logaritmo del límite cuando n tiende a infinito de n + 1 a la 5 sobre n es igual al logaritmo natural de l sí Bueno hay un hecho fundamental que el logaritmo como es una función continua el logaritmo del límite es el límite del logaritmo entonces me queda límite del logaritmo natural de n + 1 sobre 5 sobre n eh estoy haciendo todo bien Ah acá límite cuando n tiende infinito todo igual al logaritmo natural de l no y yo quiero probar que l es un no era con logaritmo yo sabía eh ahora por propiedad del logaritmo yo puedo bajar ese 5 sobre n no y me va a quedar el límite el límite de 5 sobre n por el logaritmo natural de n + 1 n + 1 y esto todo va a ser igual al logaritmo natural del mi límite de interés sí eh A ver si hay alguna pregunta no está todo bien Cualquier cosa dejen Déjenme el chat alguna pregunta es un procedimiento que no me interesa mucho que conozcan pero se los quiero hacer se los quiero hacer alguna vez e bien Ahora este límite también es difícil no es algo que tiende a cero por algo que tiende infinito no me sirve mucho No sé resolverlo pero lo que yo voy a utilizar va a ser algo medio turbio acá voy a hacer algo medio turbio sí voy a pasar a variable continua paso a variable continua sí esto yo no estoy seguro que se los hayan comentado pero es algo que que es cierto ustedes Si tienen una sucesión y quieren conocer su límite pueden pasar a la función asociada sucesión Y si necesitan hacer la hospital hacerlo hospital Sí y hay un teorema que te dice que si la función asociada a la sucesión tiende a Pirulo tiende a L A tres por ejemplo la sucesión original tiende a tres también Sí o sea cuidado con que no estoy utilizando maquinaria simple estoy utilizando maquinaria poderosa Sí bueno paso a abr de continuo Me quedaría el límite a perdón eh el cinco no los molesto un segundo el cinco lo puedo sacar del límite No ese cinco ahí todo molesto lo saco del límite porque total es un número me queda 1 sobre n por esto y 1 sobre n por el logaritmo yo lo puedo escribir como dividido n no Espero que no confunda los procedimientos que estoy haciendo dividido n acá a todo el logaritmo eh o sea que nos queda un límite que es un infinito sobre infinito al cual le podríamos aplicar la hital si estuviéramos en funciones entonces por eso pasa variable continua si sí este límite es una indeterminación infinito sobre infinito que ahora podemos derivar y calcular el valor no o sea esto hago el hital no veo que estoy en el tipo de indeterminación Que puedo aplicar lital si infinito sobre infinito aplico el hital la derivada de lo de arriba Me da 1 sobre x + 1 y la derivada de lo de abajo es un simple uno sí la derivada de X es 1 Bueno el último límite me da cer0 no el último límite cuando x tiende a más infinito me da cer0 Sí entonces y acá Acá está lo no fácil no porque ustedes pueden venir a hacer el de la variable continua y decir Ah bueno Y qué me importa Este si yo quería el de la el de la sucesión sí Bueno hay un teorema que te dice que si vos tenés la función lo vuelvo a repetir si vos tenés la función si lo de reemplazar las nes con x y te transformas a la función si haces este límite la la sucesión no le queda otra que tender a lo mismo si no es obvio no es obvio lo que estoy diciendo pero es cierto si entonces este límite de acá el este que está marcado acá tiende a cero O sea tiende no es cero este límite el límite da cero esto de acá tiende a cero se entiende Lo que ahora sigo pero quiero escuchar un poco de confirma se entiende lo que estoy haciendo O estoy haciendo cualquier verdura sí o no sí buenísimo Bueno voy a borrar el de la variable continua y voy a poner directamente que este límite ahora yo ya sé que da cero Sí y tendría que explicar por teorema Eh sí por teorema de paso continua digamos sí habría que que hacer algo no en este examen que es virtual y ni siquiera hay que explicar nada pero en el caso general si uno quiere dar si un estuviera no sé o sea Generalmente si está bueno explicar por qué haces las cosas Si yo no no estoy poniendo el teorema porque no me interesa sí no no me interesa Y tampoco tengo mucho pizarrón para hacerlo sí o le mando directamente no no van a utilizar no no digo me parece No no es que no s si se lo dijeron No sé si le dijeron esto Me parece que en algún momento no sé si H 21 les dijo esto que la raíz en encima de cualquier polinomio tiende a uno Cómo probar esto con lo que yo estoy haciendo O sea lo que yo estoy haciendo es se se puede hacer más o menos con cualquier polinomio uno uno puede hacer algún procedimiento de este que estoy haciendo acá s creo que no bueno no pasa nada este límite da cer Entonces nos queda 5 por0 igual al logaritmo natural de l si 5 por el límite que acabo de ver que da 0 igual al logaritmo natural de mi límite original el que a mí me interesa no bueno si el logaritmo natural 5 * 0 da 0 si el logaritmo natural me da cer elevo a la e ambos lados si quieren si o o por definición l va a tener que ser e a la cer que da un si el límite da efectivamente un sí se entendió porque esto tiende a uno digamos es un kilombo pero se termina tendiendo a uno y como esto tiende a uno termina dando módulo de X sobre 160 si quería hacérselos una vez por si tienen alguna pregunta porque si no es como que se quedan Che para qué corno quiero cosi si cada vez que llega H límite no voy a saber resolverlo si o sea se puede resolver Sí pero como dijo Rafa en un momento eh No es más fácil hacer dber y no tener que pasar por todo esto sí sí Probablemente sí muy buena pregunta giancarlos muy buena pregunta se puede probar que la raíz encima del factorial la raíz encima de n factorial tiende infinito sí se puede probar eh Pero qué te aconsejo como no son cosas que les hayan dado a aplicar la lambert sí mucho más lindo encima aplicarla lambert Pero si uno conoce que la raíz enésima del n factorial tiende infinito no es medio feo O sea cí no se lleva muy bien con la raí ena con el factorial no se lleva muy bien porque aunque sepas que tienda infinito no tenés una buena forma de Cancelar sí porque a veces sabes que tiene infinito pero tienes otra cosa tiene infinito y no sabes qué infinito es más grande o sea No no es muy lindo la verdad cosí con con factoriales pero dalbert se lleva buenísimo con los factoriales porque se cancelan un montón el factorial próximo con el factorial anterior sí Michel y de manera intuitiva no sale de manera intuitiva esto este límite de acá es que no para mí no Por qué saldría de manera intuitiva esto no sé si a ese te referís No de nada jeancarlos No no no me parece para nada intuitivo que esto tienda uno eh No sé si a ustedes capaz les parece intuitivo digo en el caso general de cualquier polinomio no sé no no me parece no me parece para nada intuitivo capaz se puede hacer algo de un cambio de variable o sea se puede hacer cosas raras Sí pero Pero al menos Esta es la forma que que se me ocurrió para hacerlo sí cuestión el límite de cosí nos dio módulo de X sobre 160 sí Y para qué quería yo saber el límite de koji y yo lo que quería era ver si esto era mayor menor que uno no O sea a mí me pide Dame todos los X para lo cual sea convergente Bueno cosi me dice si esto llega a ser menor que un o sea este es el L de cosi no el L de cosi Entonces cosí me dice si módulo de X sobre 160 es menor que un si si pasa esto entonces me dejan ponerle un nombre o sea la serie vamos a poner la serie la serie no tengo copiar toda esa serie de nuevo la serie converge s si da mayor que un diverge Y si da uno lloramos si módulo de X sobre 160 es igual a 1 carita triste no sabemos qué pasa Sí entonces si yo necesito sacar todos los X para los cuá es la serie es convergente acá vamos a tener un montón de X resolviendo esta esta inecuación de acá va a haber un montón de X para los cuales uno agarra y dice Okay estos de acá para estos de acá la serie converge y listo y uno lo puede resolver No no es para nada difícil o sea esto de acá es relativamente sencillo sacar para que x converge paso el 160 para allá y me queda módulo x menor que 160 y Esto justamente se cumple si x por propiedad del módulo no el módulo de algo es menor que 160 si estás entre -160 y y 160 sí O sea que ya sí estos son los X si entre x entre -160 y 160 son los X para los cuales la serie converge eso seguro si el Abierto muy bien el Abierto de -160 hasta 160 Sí o sea seguro que estos de acá son de -160 hasta 160 Sí y seguro que sabemos que si da mayor que un diverge no tengo problema ahora por qué la condición x menor que 1 Ah por por cosi Mati cosí te dice yo lo había copiado lo tuve que borrar pero cosi te dice calculaste este límite horrible de la raíz encima del módulo de tu de tus términos no de tu sucesión de términos Fíjate lo que te da si lo que te da es menor que uno la serie converge si te dice eso si es igual a un no decide el criterio no se sabe no se sabe qué pasa s acá y si es mayor que uno la serie diverge si Ah de cosi bien entonces voy a borrar esto ya está tenemos desde -160 hasta 160 son x para los cuales la serie converge ahora acá hay una palabra clave que es todos Sí a mí me pidieron todos a mí me piden todos los X entonces puede ser que exista un x que cumpla esta igualdad para el cual la serie también converja entonces esto que qué termina pasando bueno Hay que chequear estos de acá también desafortunadamente hay que chequearlos porque puede ser que en 160 o en -160 que van a ser los lugares donde se cumple la igualdad Sí de hecho Eso siempre pasa digamos por por la forma que tienen las series de potencia donde convergen los bordes es donde se da la igualdad que no le gusta a kosi o a lambert Sí entonces si yo paso 160 me queda el módulo de x = 160 Y estos de acá nos quedan 2 x posibles s hay dos x con los cuales es mirar x = 160 y x = -160 esto en la jerga de estos ejercicios que se dice chequea los bordes de tu intervalo sí chequea los bordes o sea se me cierra el intervalo Ah Se podría cer se podría cerrar claro se podría cerrar podría ser que en 160 y en -160 o sea para esto estos valores de X esta serie sea convergente también Sí podría ser no lo sabemos Eh no lo sabemos eh No lo sabemos Bueno qué hacemos no Alguien sabe qué hacer o sea cómo sabemos si para x = 160 y para x = -160 la serie converge o no que que qué hago porque parece que no me da una mano cosi parece que no no nos dice nada reemplazar reemplazamos la x por 160 y por -160 y nos fijamos yo voy a empezar con el positivo con 160 sí no sé Empiezo con 160 si x es igual a 160 fíjense lo que pasa sí eh Bueno nos queda una serie gigantesca pero van a ver que se cancelan un montón de cosas 160 a la n sobre 5 a la n bien tenemos esta serie de acá sí Bueno esta serie de acá en realidad Aunque parezca horrible es bastante linda se cancelan un montón de cosas Si de hecho de hecho fíjense lo siguiente yo a la quinta lo puedo distribuir no y que me quede n má 1 a la quinta y acá abajo 2 N a la quinta sí Bueno pero yo puedo intercambiar no por Potencia de potencia yo puedo poner 2 a la quinta elevado a la n Entonces yo acá en lugar de 2 a la n a la quinta Voy a escribir 2 a la qua elevado a la n sí Bueno pero dos a la quinta es 32 no esto de acá 32 32 a la n muy bien Juan Ah Pero entonces me queda abajo me queda 32 a la n por 5 a la N O sea estos dos yo los puedo juntar para que sea 32 por 5 toda la n no sea esto de acá es como un 32 * 5 Perdón 32 por 5 todo a la n bueno Adivinen cuánto da 32 * 5 160 O sea que se dan cuenta que se me cancelan este este y este y me queda solo el n + 1 a la quinta sí o no esto de acá es 160 a la n Entonces se me Cancela este se me Cancela esto se me Cancela esto sí Ah hermoso digamos Sí de hecho va a pasar esto siempre porque los casos en donde cosí falla son casos borde donde se cancelan muchas cosas y nos queda Generalmente van a ver que siempre que reemplacen y no hicieron nada mal se cancelan un montón de cosas s y les queda una serie que por medio de algún otro procedimiento Pueden saber si converge o diverge sí Bueno espero que se haya entendido la cancelación que hice voy a borrar todo esto y nos queda la hermosa serie n + 1 o sea la serie desde un hasta infinito de n + 1 a la quinta yo les pregunto esta converge o diverge diverge verdad Ah sí diverge Pero por qué alguien tiene alguna razón algo por lo que se podría justificar que esto diverge guarda Juan eh o sea una serie no es lo mismo que un límite porque el exponente es más grande que uno eh podría ser porque tiende infinito no sumas cada vez números más grandes Sí o sea sumo números cada vez más grandes Entonces calculando el límite digamos claro No sí está bien Yo entiendo si nosotros calculamos o sea una cosa es la serie otra cosa la sucesión de la serie la sucesión de la serie vemos Que tiende infinito Bueno hay un la prueba la divergencia te dice que si vos le calculá el límite a a tu sucesión de términos y ya no tiende a cero la serie diverge sí te da distinto de cero perfecto eso que dijo jeancarlos sí O sea hay una condición necesaria para la convergencia de una serie una serie que es que la sucesión tiende a cero necesaria más no suficiente no O sea y cosas que tienden a cero cuya serie diverge Sí pero es necesario que acero para que converja como no tiene acero yo puedo decir que esta diverge sí por la prueba de la convergencia O por la prueba de la divergencia perdón O por la condición necesaria Por así decirlo Sí esa es una forma de de verlo Sí bueno entonces en este en este extremo tenemos que seguir poniendo el Abierto no no el cerrado porque sabemos que ahí va a converger Uf tremendo todo lo que dijiste si haces el límite infinito A ver vamos a ver con si x es acá pasa algo que no sé si lo notaron en muchos ejercicios Pero va a pasar siempre lo mismo si ustedes reemplazan la versión negativa o la positiva o reemplazan en el otro pasa algo extremadamente similar si extremadamente similar miren lo que va a pasar desde n ig 1 hasta infinito d empiezo a copiar todo de nuevo sí Déjenme hacer copiar un poquito más rápido No n + 5 a la qua y acá ya pongo el o puedo directamente bueno no vamos a poner 32 a la n 32 a la n acá por 5 a la n acá abajo y acá arriba -160 a la n sí O sea que la serie es extremadamente parecida extremadamente parecida nada más que tiene un menos te queda la misma de arriba con el menos adelante no no exactamente con un menos un a la n adelante Sí con un menos un en adelante Sí porque claro uno querría una uno La mira y dice Che Esta es extremadamente parecida a la de recién nada más que tiene un menos allá sí a mí se me ocurren dos formas de ver esto sí eh Sí lo voy de esta forma mejor a ver si están de acuerdo con esto Che esta parte de acá del límite Déjenme sacar un poquito Qué les parece Mira -160 la n como que lo puedo Separar en -1 por 160 toda la n no y acá yo puedo distribuir y me queda -1 a la n por 160 la n s y acá Está la clave no la nueva es -1 a la n por la que estaba antes sí puede ser Miranda puede ser que tengamos que hacer algo de la serie alternante puede ser y también puede ser que no ahora vemos entonces esto de acá yo lo puedo reemplazar con un -1 la n por 160 a la n sí Bueno pero se acuerdan del 160 la n que se cancelaba con esto bueno se va a seguir cancelando digo es un mismo 160 a la N O sea que se dan cuenta que es la misma que antes pero con un men1 n ahí arriba sí o no Sí sí criterio sabes que no va a funcionar el criterio Miranda porque el criterio de la serie alternante o se el criterio deis también llamado criterio deis no te dice que si esta de acá la que no es men1 n tiende a cero y un par de cosas más pasa tal cosa pero esta te parece que tiende a cero no entonces cuidado con el criterio porque que no se cumplan sus hipótesis no significa que su tesis sea falsa Sí o sea como no se cumple las hipótesis de leis no tiene sentido aplicar el criterio en este caso si uno puede ver que Che lástima no se cumplen las hipótesis algo capado por algo que diverge diverge claro es más fácil No es por la misma razón que antes uno la misma la misma razón que había dicho no es como esto debería tender a cero no debería tender a cero para que la serie pueda digo si la serie convergieron si esto me da distinto de cero el límite el límite de esto me refiero el límite de esto de la sucesión si me da distinto de cero ya está puedo concluir que diverge pero claramente el límite diverge no O sea algo que tiende infinito por algo acotado entre os1 y 1 lo que va a pasar Es que tiende a infinito a secas Sí o sea si ustedes Tenían un conjunto de puntos que era así iba subiendo iba subiendo iba subiendo ahora van a tener en lugar de este lo van a tener para abajo Sí este para arriba este para abajo este para arriba est estaba bien y ahora para abajo es como que se forma una B así sí se va así O sea diverge igual Sí diverge igual o sea que esto de acá tiende infinito a nuestros efectos no tiende a cero por lo tanto esta de acá también diverge entonces Bueno una lástima pero en este caso no tuvimos que agregar nada a este intervalo sí estos son los únicos x donde la serie converge Sí porque los únicos x que teníamos la duda los probamos y en los dos divergen Sí ya analizamos los bordes acá termina el ejercicio todos los X para los cuales la serie converge son los del intervalo de -160 a 160 Sí y si se quiere explicarlo en un examen Tobías Eh no simple por condición necesaria de la convergencia de una serie la sucesión de términos tiene que tender a cero Sí o sea uno puede escribir para que Sigma a sub n sea convergente a sub n tiene que tender a cero pero el límite de esto no va no da cero sí Ah Ya entendí eh Tobías vos te referís exactamente a por qué esto diverge a infinito decime si te referís a eso cómo cómo explicar que que esto diverge a infinito así como que que no sí sí ya entiendo es una buena pregunta es una buena pregunta esto de acá se puede tratar con subs esiones que no es un tema de la materia Sí el análisis del cbc sí se da pero con sub sucesiones se puede sí sub sucesiones es un tema eh que te dice o sea lo voy a explicar brevemente se entiende que esta sucesión como que la podemos Separar en dos cuando n es par y cuando n es impar Bueno cuando n es par nos va a quedar n + 5 a la quta que diverge a más infinito eso está claro si ahí no hay que explicar nada y cuando n es impar nos queda un menos la que diverge a infinito O sea que va tender A menos infinito O sea que nos queda separada una sucesión en dos subsuelo Sí y claramente Bueno si una diverge ya no va a converger la sucesión original porque si la sucesión original convergieron sí agarrando los pares los impares qué sé yo va a tener que tender a cinco también sí creo que es lógica la idea creo que es intuitiva por eso la estoy nombrando Sí además el nombre es bastante intuitivo pero no me voy a poner a hacer ejercicio no me voy a poner a hacerlo Sí pero porque uno mira y dice Che menos un n es muy es como es básicamente esta y menos Esta sí uno la va viendo sí y y bueno nada eh si uno digo es un hecho fundamental que en su sucesión está muy bueno Porque si uno se encuentra dos sub suu de una sucesión que tienden a cosas distintas la sucesión original no puede converger Sí y eso es una prueba de la divergencia de algo sí pero pero básicamente es medio raro porque u 21 en sus apuntes también dice como que agarra Esto es algo Divergente por algo que oscila diverge si lo ponen así pero bueno esta sería una prueba un poquito mejor si realmente es una prueba un poquito mejor habrá otra forma también de de verlo eh Por supuesto que que también se podrá hacer Sí bueno como siempre yo tardando un milenio un milenio en cada ejercicio a ver díganme qué quieren hacer ahora sí porque aquía yo me acuerdo que quería hacer sucesiones pero yo me acuerdo de un polinomio de Taylor me acuerdo de un derivada me acuerdo de un me acuerdo de muchas cosas eh qué quieren hacer díganme Hace cuánto comenzó el el vivo 2 horas 43 minutos veo yo ahora eh una duda tengo un ejercicio de una prueba de cuatrimestre pasado no la sé hacer te la puedo pasar eh Nicolás Sí cómo me lo vas a pasar lo vas a pasar en un link acá en el chat sí podes pasarlo espero que sea de los temas que son del Segundo parcial no Ah u la cámara mi cámara se pone extremadamente Rebelde cuando me muevo diferenciales no pudo hacer ninguno el ejercicio 5 de serie de potencias es muy largo eh A ver no es difícil de hacer el valor de a tampoco es tan difícil o sea eh es medio confuso El quinto de las series no quiero hacer más porque ya hice bastante de series no lo voy a hacer quizás en otro moment No sé no lo voy a hacer al quinto es confuso Mati El quinto de series porque no es fácil de entender Este era fácil de entender en el sentido de te doy una serie Dame donde es convergente fácil de entender difícil capaz de hacer el cinco es difícil porque es como te doy un una serie con una serie de potencias O sea que ya tiene una incógnita x pero también te doy otra incógnita a que es un número real y te pido ese número a para que pase tal cosa sí Bueno o sea se puede hacer el ejercicio pero es un ejercicio un poquito más rebuscado sí eh veo si no como pasarte un link la foto sí fíjate Nico si puedes pasarle un link mejor porque ahí no entiendo e infinito n = 1 se supone que converge cómo hago para calcular eso Ah Nicolás eh Ah pero Nico es muy parecido al que hicimos sí ya creo estoy entendiendo Ah Ya entendí Es una serie no es épsilon es eh Sigma la anotación Sigma yo lo que me qui decir es esto no eh desde n = 1 hasta infinito de 2 a la eso es un 2xn no sé yo veo 2 XN acá aclame Qué es eso eh todo sobre 5 a la n Qué onda esa x ahí 2 por n Ah ah qué tonto era una x del por está bien está bien este de acá Uh No quiero hacerlo Nico es muy parecido al que ya hicimos es es extremadamente parecido vos estabas al principio del vivo Nico literalmente un calco al principio no eh hicimos uno uno exactamente o sea vimos digo es exactamente lo te piden probar que da tal cosa o sea nosotros calculamos la suma de una de una que tiene esta pinta literal eh es muy parecida muy parecida a la que hicimos lo vas a poder hacer si lo ves sí En qué minuto más o menos así vuelvo eh No no tengo idea no fue el primer ejercicio que hicimos eh es el primer ejercicio que hicimos o sea no sé a los 20 minutos estaremos haciendo eso a los a la media hora también lo estaremos haciendo empezará a los 15 20 minutos del del vivo es es de serie geométrica Eso sí Mati es exactamente muy parecido al que hicimos no no lo quiero va hacer cálculo de áreas Estaría bueno también si le dan mucha bola al cálculo de áreas creo que al 5 lo preguntamos por fuero del campo Habría que ver si se entiende de ahí Okay a ver qué A ver algo de diferencial o sea quieren hacer ecuaciones diferenciales tlo de integrales sucesiones miren voy a hacer vamos a hacer alguno de diferenciales Sí vamos a hacer alguno de ecuaciones diferenciales Sí vamos a hacer alguno de ecuaciones diferenciales eh Dónde está vamos a las mismas eh No sé si si tienen algún ejercicio que quieran hacer eh A ver qué estoy haciendo si tien algún ejercicio en particular de ecuaciones diferenciales que quieren que haga páselo mientras al chat yo Mientras voy entrando ahora que se me se me cerró todo porque estuve un montón de tiempo sin hacer nada eh ir eh diferenciales No acá 1 36 32 bien El ejercicio 2s del PDF de repaso de diferenciales o sea yo por ejemplo agarro y quiero resolver esta hagamos porque diferenciales no es difícil o sea realmente no no deberían perder puntos en diferenciales porque es muy fácil ecuaciones diferenciales ejercicio diferenciales para repaso mismo PDF o muy parecido al PDF de series está este de acá sí un poquito arriba bien misma sesión 13 del Campus Sí por si alguien le interesa vamos a hacer este el segundo resolver la siguiente ecuación diferencial y la ecuación diferencial es I cubo por I prima igual 5x a la cuarta por el logaritmo natural de X Ah yo ya sé por qué este está generando problemas es por algún problema de integrales no por problema de una ecuación diferencia en donde y es una función de X acá nos aclaran y es una función de X Sí si alguien tiene alguna duda y es una función de X y además nos dice que Eh y además nos da el dato de que la f en 1 vale 4 bu vamos a hacerlo a ver diganme porque a mí me interesan las primeras impresiones que tienen con respecto al ejercicio qué qué harían O sea tenemos una ecuación diferencial una ecuación diferencial es una ecuación o sea una igualdad con incógnitas la incógnita en este caso es I es la función I tal que I al cubo por su derivada te da esta cosa de acá sí miedo miedo no no debería causar tanto miedo o sea eh A ver nosotros tenemos que tratar de despejar I no De acá y el problema es que hay una I prima dando vueltas como que cómo se despeja la ide acá no es una ecuación muy fácil de eh te puse I no te puse una I para despejar la despejas y listo no no es tan fácil como eso sí porque haí hay hay una derivada de I dando vueltas ahí yo pondría I prima como d sobre dx Bueno ahí Acá hay Acá hay formas distintas de resolverlo no y juego ahí Okay buah y prima de y sobre dx pasa x para otro término es integral hagamos eso yo no sé qué tan claro tienen esto no Pero si no lo tiene tan claro viene de que la parte de diferenciales de la unidad 3 quedó media colgada si pero el hecho de que derivada de una función es el diferencial de la función sobre el diferencial de X si es Claro si uno ve que es el diferencial de una función s después te digo Juan no es lo mismo Juan pero no no reemplazo con diferenciales no no hago eso eh I prima es diferencial de I sobre diferencial de X no no no tengo gas de poner explicar diferenciales s pero el diferencial de una función justamente sea lo voy a poner acá lo que se puede deducir del diferencial de una función el diferencial de una función F es igual a la derivada por el diferencial de X sí estoy suponiendo que la f está en función de X Eh sí O sea de de digo el diferencial de una función está definido como como la derivada de la función por el diferencial de X sí En qué sesión queda [Música] diferenciales claro Miranda exactamente de el diferencial de I es I prima por el diferencial de X Sí o sea es exactamente lo que escribí acá nada más que en lugar de llamarla I la llamé F ahí volví ya pude resolver el ejercicio bien Nico vamos bien eh Bueno a ver eh Bueno me habían dicho esto me dijeron que lo reemplace con esto que o sea estas cosas son las mismas Porque si yo agarro la definición de allá de diferencial de I es I prima por diferencial de X Entonces divido por el diferencial de X me queda I prima Sí o sea es muy claro que estas dos cosas son iguales si uno entiende la definición de allá lo difícil es entender la definición de allá Sí por qué porque eso es cierto qué onda entonces Miranda me dijo hacete esto pasate el diferencial allá y que nos quede todas las cosas que tengan que ver con i acá y todas las cosas que tengan que ver con x allá me parece bien y ahora y ahí me queda en variables separadas sí es cierto tenemos variables separadas sí tenemos la y por acá x por acá y ahora integro claro o sea un pequeño comentario para quien está super perdido con diferenciales con ecuaciones diferenciales las ecuaciones diferenciales son ecuaciones al igual que x + 1 = 2 en lo que uno despeja el uno para allá está todo bien es una ecuación donde la incógnita ya dejó de ser una x es una F de X que se la suele Llamar se la suele poner I si O sea que es Yo quiero una ecuación Quiero una función que al sumarle Uno siempre me de dos por ejemplo o siempre me de 2x si o siempre me de 2x cubo si Entonces es una ecuación funcional si el sentido de que las incógnitas ya son funciones entonces lo que uno Busca al igual que uno busca en una ecuación normal es resolver la ecuación es encontrar la incógnita encontrar la funci en este caso y por qué integramos y porque cómo vas a despejarme y y de acá si me la i prima me está jodiendo acá no la voy a poder yo la quiero sacar a la i prima vamos a tener que integrar en algún momento Sí así que vamos a integrar ambos lados eh integro No bueno muy bien y bueno del lado de izquierdo me queda algo lindo no del lado izquierdo me queda y a la cuarta sobre cuat puede ser sí o no el el otro tiene pinta de partes tiene pinta de partes no tiene pinta de partes acá yo tendría que poner una constante arbitraria pero no la voy a poner porque la voy a juntar con el de acá pero el problema va a ser bueno Cómo resolvemos este integral de acá vamos vamos a tener que hacer partes vamos a tener que hacer partes no va a quedar otra eh Si a usted no les molesta yo lo que voy a hacer es el c lo voy a sacar de la integral que me quede 5 por la integral esta Y sí vamos a hacer el método de partes no la pregunta es qué van a tomar yo no sé qué notación usan fg no sé qué eh Hay como muchas alternativas a la hora de hacer partes a la hora de notar partes digamos utilizan la u y la b sí tipo u y b cuál tomo como u cuál tomo como b y estas cosas o o o u de o u de B Qué utilizan tipo podría ser que sea yo utilizo a veces eh f f y G prima a veces utilizo u y b prima y a veces utilizo u diferencial de B la vaca sin Uy deb s sí F y G u tenemos Perfecto Bueno voy a hacer lo siguiente yo u b u deb db x a la cuarta Ok es que si en realidad si utilizan el diferencial de B lo que pasa es que me tienen que incluir el diferencial de X como que que incluir porque si no es medio raro pero si me me me incluyen el diferencial de B al aparecer un diferencial me tiene que incluir el diferencial de X sí O sea que estas dos cosas Sí ustedes a estas dos la están llamando db por ejemplo sí Y a esta la estás llamando u bien Entonces esto quedaría como la integral de u por db que ahí empieza eh Cómo di esto eh Un día bi no ahí empieza Exacto lo incluimos claro Perfecto entonces Bueno entonces uno agarra y dice por partes esto es igual a u por B menos la integral de B por D1 a ver si estamos bien un día bi una vaca vestida de uniforme estamos bien Yo nunca utilizo esto per Supongo que esto sirve eh A ver entonces esto de acá voy a tener que voy a poner igual a u * b u es el logaritmo natural de X lo estoy viendo acá B es la integral de x a la cuarta que bueno es x a la qua sobre 5 No sí la integral de x a la cuarta diferencial de X no x a la quinta sobre 5 menos o la integral de B Quién es B Ah bueno B es X La qu sobre 5 por el el diferencial de u Quién es Ah la el diferencial de esta función que va a ser su derivada por el diferencial de X díganme si no estoy haciendo nada raro les parece que apliqué parte de la forma común no hice nada extraño ninguna duda no hice el cuadrito capaz necesitaban el cuadrito díganme si está todo bien hasta acá seguimos buenísimo bien eh les quería aclarar algo No yo no dije que no pongo la constante acá porque la voy a poner allá todavía no la voy a poner porque acá todavía una integral indefinida que va me va a agregar una constante Así que tranqui con la constante Ya la voy a poner s esperemos Entonces cómo hago yo porque me queda me queda todo muy lindo salvo esta integral cómo hago yo para resolver esta integral de acá s que cómo se cómo se integra esto multiplico Exacto x a la qu por 1 x a la qu 5 * x el 5 lo puedo sacar con un un5 no el 5 y acá me queda x a la qu sobre x no Y esto es buenísimo porque la integral de x a la qu sobre x yo puedo cancelar una de las x y poner acá una x a la cuarta no 5x multiplicándose sobre una van a quedar 4x multiplicándose y acá me queda un integral de tabla no entonces Déjenme final concluir que la función que estamos buscando a la cuarta sobre 4 es igual al logaritmo natural de X * X a la qu sobre 5 men 1/5 por x a la qu sobre 5 si ahora sí más la constante arbitraria s acá si quieren podemos juntar los C presten atención a esto porque después se pierden un quin el c puedo poner un 1 sobre 25 acá no sé por qué lo hago la verdad por algún Toc la vida ahí y llegamos a esto no lo recuadro pero no es la respuesta realmente lo que quiero que noten es por qué integramos hasta acá fue todo el paso de integración por qué integramos Porque miren esto es una ecuación con respecto a i o sea la incógnita sigue siendo i pero Chau el diferencial sí cho los diferenciales Chau la derivada Sí esta es una ecuación mala para despejar I porque aparece I prima Esta es una ecuación buena para despejar I Porque no aparece nada más que I como incógnita sí te olvidas del 5 antes del logaritmo muy muy bien Esto estos a mí me encanta comérmelos eh pero me pero me los de de Boro eh o sea que me quedaría cinco corchete todo esto a ver veo bien No sí entonces este cinco con este cinco se me cancelan este y este se me cancelan y este con este se cancelan pero me queda un cinco acá díganme si está todo bien con esta última expresión a la que s Estamos de acuerdo díganme mientras yo quiero chequear algo Ah qué horrible Ahora sí perfecto buenísimo buenísimo Bueno qué resta hacer Bueno lo que resta hacer es eh un poquito de cuentas no voy a multiplicar por 4ro hacer la raíz cuarta si ustedes quieren eh No va a quedar muy lindo no eh A ver no sé si me va a entrar y va a tener que ser más menos la raíz cuarta de cuatro veces el logaritmo natural de X por x a la quinta paso el cuat para allá no cu veces Esto me queda - 4/5 de esto Cuánto es x a la qua más la constante c que está dentro de la raíz cuarta no porque después pasa una raíz cuarta Nico sacá factor común eh s podríamos Podríamos sacar factor común s se podría s queda más lindo no queda más lindo para escribir no saquemos un factor común queda me gusta me gusta me gusta la vista linda vamos a poner 4x a la qua el 4 acá el X a la qu que saco logaritmo natural men 1/5 y la c dónde me la estoy perdiendo la c eh No importa pongámoslo así más la c acá lo que estoy haciendo en realidad es ese último c estoy rellamar c a una nueva c sí no no no parece como que me dice Misteriosa como que la resuelve de otra forma no es lo mismo eh es lo mismo pero sin pasar los diferenciales ahora ahora Les comento pero es es esencialmente lo mismo Sí el cco no va en la ecuación de abajo también eh sí iría pero lo cancelé fíjate 5 con este c se me cancelan y me queda logaritmo por x a la qua logaritmo por x a la qua 5 con este 1 quin se cancelan y me queda solo el menos Sí este un quinto Por qué salió de la integral sí x a la qua sobre 5 o sea ya ya lo tuve en cuenta así queda más cómodo que otra manera Okay Eh qué les quiero decir eh que todavía no terminamos no esta esta no es la O sea tenemos como dos dos versiones de de de I la positiva y la negativa de esta raíz cuarta Sí pero pero a mí me dicen que mi función en Uno Vale 4 y si ustedes la raíz cuarta siempre es positiva O sea que la versión positiva de esto siempre da positivo y la la versión negativa de esto siempre da negativo entonces por eso la negativa la voy a descartar Sí pero por contexto por contexto Sí si yo solo tuviera que resolver la ecuación diferencial no podría descartar el más y el menos sí podrían ser cualquiera de las dos Las dos son solución pero por contexto por por la condición que veo ahí que en uno tiene que ser positiva seguro que va a tener que ser la versión con más díganme si esto Esto se entiende sí voy a descartar el menos Sí descarto el menus entonces y me queda que la i tiene que ser la raíz cuarta de 4x a la quinta logaritmo natural de X - 1/5 si alguien tiene un problema con la c Esta es cierto eh yo acá tendría quizás puede poner 4c no hay ningún problema 4c porque el cu que distribuí afecta la c pero yo si quieren la llamo d ahora es una nueva si quieren a esta en lugar de llamarla c la llamo d esto pasa un montón que las constantes arbitrarias multiplicadas por números siguen siendo constantes arbitrarias constantes arbitrarias sumadas siguen siendo constantes arbitrarias esto a fin de cuentas uno pone una sola y listo si ponele k pongámosle k entonces Esta es nuestra solución sí salvo que no no porque nosotros yo dije en uno que sea positiva pero no pedí que en uno sea 4 no Entonces pidámosle que I en un valga 4at no tenemos que pedir esto O sea acá tenemos una familia infinita de I para cada valor de K pero yo nunca pedí que en uno valga 4 reemplacemos con uno y pedos lo que valga 4at qué me sale reemplazar con uno a ver a ver si me acompañan en la cuenta la raíz cuarta de reemplazo acá el uno y me queda un cu reemplazo acá 1 me queda logaritmo natural de 1 - 1/5 + K está todo bien igual a 4 bueno Eh si les parece Uh va a quedar un número gordote no eh El el puedo pasar a la cuarta al otro lado y el logaritmo un Yo sé que es cer0 Sí así que me queda cuatro por -15 - 4/5 más la k igual a 4 a la cuarta eh 4 a la 4 4 a la cuarta es 64 entonces me queda 64 más 4/5 que tiene que ser igual a el valor de K sí Y esto qué sé yo si quieren sumarlo medio Feo la verdad si quieren sumarlo sumemos K me da eh No sé cuánto 324 sobre 5 Nico Uh algo me comí ponerle acá el resultado es Ah 4 a la cuarta no es 4 la cuarta no es 64 4 a la cuarta es 2 graci 256 yo tuve una leve sensación de que algo algo estaba más lindo de lo que de lo que lo que debía ser 1250 1284 está perfecto cada eso Entonces ahora podemos concluir que El ejercicio es esta cosa horrible de acá 1284 sobre 5 sí alguien antes de pasar a mi forma de hacer la ecuación diferencial sí alguien tiene alguna pregunta alguien le da tanto miedo a las ecuaciones diferenciales Porque si ustedes se ponen a pensar lo difícil En todo caso es saber integrar sí o sea se complicó un poquito más la ecuación diferencial porque esta la tuvimos que hacer por partes pero la ecuación diferencial no es difícil o sea la generalidad de los casos de las ecuaciones diferenciales son difíciles pero las que ven en el curso son básicas sí son lo más básico que hay es eh básicamente te pueden testear una una integral difícil te la pueden poner Sí pero difícil la ecuación diferenciales no son Sí o sea otra vez la motivación es tengo una una una incógnita una función la quiero despejar tengo su derivada no la quiero integro para que desaparezca la derivada desapareció la derivada despejo la función si tengo alguna condición inicial eh la la meto digo hago que pase Y tenemos la función o sea es bastante es bastante fácil es gracioso porque en realidad las ecuaciones diferenciales son muy difíciles Sí pero las que ven acá son fáciles sí es un tema del terror Bueno entonces les quiero Mostrar cómo cómo lo haría yo al menos hasta cierto punto yo no no transformaría en el diferencial de y diferencial de X no no no me parece necesario sí va qué sé yo tampoco es tan distinto No tampoco es tan distinto ya ya les digo O sea no es tan distinto pero yo como que en todo caso agarro y hago esto de acá directamente ya integro integro con respecto a x integro con respecto a x de este lado también o sea claramente antes agregué unos diferenciales si si no los diferenciales ahí que están haciendo integro si o sea integro haciendo una sustitución acá u igual a i cubo si esto me va a quedar igual al eh No u igual que u igual a i cubo u igual a i si esto me queda el diferencial de I entonces la integral de este lado me queda u cubo diferencial de u y esta integral si es u a la cuarta sobre 4 no y de este lado la misma integral voy a seguir de este lado sí puntos suspensivos puntos suspensivos Sí Más C Sí o sea lo que hago es básicamente lo mismo pero yo no quiero que se restrinjan a eso de tienen que saber que la i prima se es no O sea nada Yo la puedo dejar la i prima y y tratarla como la derivada de la de la función I tipo no es necesario luego volvés a Ah sí sí por supuesto Por supuesto que sí acá cuando se terminé integrar la u la transforma la ahí Ahí está pero nada una una boludez algo algo mínimo mínimo cambio Bueno entonces listo las ecuaciones diferenciales yo creo que no quiero hacer ninguno más de estos porque en todo caso lo difícil de las ecuaciones diferenciales es integrar sí integrar puede ser que sea difícil Sí pero no no la ecuación diferencial en sí qu qué quieren que un poquito de sucesiones ahora sucesiones please vamos a sucesiones los ejercicios de repaso quiara que me dijiste que ninguno salió me parece eh Dónde está ejercicios de sucesiones para repaso qué qué onda estos ejercicios del mal el dos Dale me gusta me gusta tiene enunciado corto me está quedando negro el pizarrón eh ejercicios de sucesiones para repaso misma idea sesión 13 ahí están para repaso bueno el segundo vamos con el segundo nos dice sea la sucesión se a sub n la raíz cuadrada de n a la sexta + 7n cu Ah bueno y directamente nos dice calcular Uy calcular límite de 1 + a sub n a la 2n cuando n tiende infinito estamos bien está todo bien sí no bien 3 cu y 5 también Sí sí sí podemos hacer algunos me gustan o sea los ejercios límites Me parece que están buenos recordar siempre los ejercios de límites S como que límites van a tener que resolver límites puede ser que sea el tema o sea límites en realidad están derivadas están integrales integrales no se los cuentan pero están integrales también eh límit está en serie vieron que yo tomé un límite o sea límites está todos lados si desde que vieron límites están con límites sí bu eh pasa es que acá hay algo raro no se me hace que perdón eh pero no entiendo no hay no hay o sea el ejercicio ya está prácticamente resuelto O sea no para faltarle respeto aara pero a sub cuánto tiende parece a mí o estoy viendo mal para mí hay algo escrito acá límite de a sub n cuando n tiende infinito claramente es infinito no O sea más infinito no capaz que me estoy confundiendo eh pero este tiende infinito s de una no no hay indeterminación s Entonces esto de acá cuando ti infinito tiende infinito porque le sumo uno y esto tiene infinito Entonces el límite da infinito para m acá ha al algo algo no me gusta como está escrito para mí esto era un uno sobre esto me gusta me gusta más un uno sobre esto si para mí ahí no le pifiar Sí porque si no qué gracia tiene no Ya está ya está el límite aburrido Sí sí sí para m intenten hacer el ejercicio con uno sobre esto porque si no no no tiene mucha gracia dice la respuesta en la guía infinito infinito es infinito por supuesto Sí vos imagínate un número que crece tanto como vos quieras no elevado a un número que crece tanto como vos quieras se llevan bien Es como si la base es grande o sea a ver pensemos no a a la B con a y b números si la base es grande qué hace que a la B sea grande o que sea chico hace que esto sea grande no O sea que el resultado sea grande y si este es grande hace que el resultado también sea grande entonces no no hay indeterminación cuando los dos que van para el mismo lado Entonces el resultado va a ser grande sí super mega infinito no no no Sí me parece que está mal planteado el ejercicio eh eh Este es un uno sobre porque si no no tiene sentido e la la de uno sobre eso es un poquito más interesante un poquito pero no vamos a hacer otros sí porque ya veo que capaz que no está mal planteado y quieren quieren que se den cuenta que porque capaz a qui le pasó no como que se está haciendo kilombo porque no está viendo o sea yo siempre les dije el repaso por el primer parcial si tienen que hacer un límite fíjense A cuánto tienden las cosas sí nunca se pongan a intentar hacer procedimiento de e sin saber a cuánto tienden las cosas sí fíjense a Cuánto tiende fíjense a cuánto tiende Si tienen una indeterminación ahí empiecen a pensar Uh qué puedo hacer pero piensen en resolver el límite no piensen en hacer cuentas sí eh Agustina si ya hicimos un ejercicio de área en donde haya tres funciones involucradas No todavía no Pero me interesa si querés preparate uno si te querés preparar un ejercicio algún link que quieras pasar cuando yo pregunte me lo mandá porque quiero hacer cálculo de área ya lo están lo lo consultaron así que me interesa un cálculo de áreas Sí pero traes uno bien complicado Traete ese ese bien complicado que estás imaginando ese traetelo ese lo hacemos sí Bueno listo Este Entonces el el tercero vamos al tercero de estos me o sea son simples de escribir el tercero nos dice Ah yo no sé si están las respuestas de ese capaz y la respuesta ya no es infinito y probablemente en algo le pifiaron límite cuando n tiende a infinito de n cuad - n por O sea quea si vos recordás límites de funciones que pasó hace bastante igual Estos son exactamente iguales eh De hecho a vos te parece que lo recién fue dependiente de que sea una sucesión no era lo mismo si fuera una función bueno tenemos este límite acá el TR y el cuat está mal la respuesta en la guía bueno bueno eh yo les cuento cómo yo veo el ejercicio sí O sea a mí se me hace por ejemplo que este límite da cero no sé si est en lo correcto pero porque o sea algo que yo me acuerdo que mis profes me enseñaron en su momento es Miren el grado de las cosas Sí qué grado tiene este polinomio grado uno no esto grado dos capaz me equivoco grado dos la cuadrática de acá dentro grado dos si si ustedes le toman raíz cuadrada algo que es de grado dos prácticamente va a ser de grado uno sí espero que no me tomen de ingeniero pero prácticamente va a ser de grado uno sí o lo lo más eh lo más relevante va a ser de grado uno sí no da cero el límite me equivoqué entonces capaz eh Pero a mí se me hace que lo de arriba o sea yo estoy pensando Ah No qué tonto qué qué tontuelo no está bien está bien no da cero no da cero me estoy saltando Esto sí ya no está bien Me estoy comiendo eso o sea como que la raíz cuadrada Tiene grado uno si le multiplican por una de grado uno es de grado dos Entonces como muchos se van a cancelar los grados dos restando Sí o sea puede ser que se cancel como puede ser que no se cancelen los de grado dos Sí o sea se entiende que este es uno de grado uno lo que estoy haciendo es para no para el ejercicio este particular sino para la vida para que vean y tengan intuición al respecto un límite sí eh o sea que básicamente lo de arriba tengo una resta de grados dos y abajo uno de grado uno si los si los términos cuadráticos de arriba se me terminan cancelando tengo grado un sobre grado un que podría atender a un número sí que ahí es donde yo le pfi puede ser que esto de un número tranquilamente Sí porque yo no estaba teniendo en cuenta esto si fuera un n cuadrado más un número ahí ya me inclinaría más a que a que da da cero si Pero esto de Acá empieza a ser relevante si bien Eh entonces y si no se llega a cancelar por ejemplo los n al cuadrado por ejemplo es como que esta va como n al cuadrado y esta va como 3n al cuadrado la de arriba va a seguir siendo una cuadrática y el límite va a dar infinito sí porque tenemos que una cuadrática sobre una lineal Sí y si nos llega a dar un número porque se cancelan cuadrática lineal nos quedaría algo de tiend un número sobre algo de tiend infinito sí capaz que dije un montón de cosas rarísimas eh si el grado más grande está arriba no es infinito el resultado claro eh Lupi pero te das cuenta de todo lo que estuve diciendo o sea es muy difícil saber el grado de arriba no porque la raíz cuadrada No sab si se van a cancelar es como intuición Sí después uno capaz se equivoca sí eh pero me dio menos un séptimo puede ser Sabes lo que pasa o sea a mí se me hace entonces que lo que va a pasar es que los cuadráticos se cancelan y nos quedan los lineales Sí como que esto de acá termina influyendo Sí pero no no pretendo que se entienda eso igual pero yo me acuerdo mi profesores me lo decían Aunque yo capaz no entendía cuando me lo decían me lo decían porque es como agarrar intuición si ver a grandes rasgos Qué forma tienen las cosas bu bueno todo muy lindo con todo lo que dice lo llené de grados Déjenme copiarlo de nuevo acá abajo límite cuando n tiende infinito de n cuadrado men n por la raíz cuadrada de n cu + 2n 7n + 1 bueno otra cosa es Cómo resolver el otra cosa es Cómo resolver el el límite no cómo resol el límite Ah sacar el límite del denominador y el denominador por separado eh eso va a funcionar Rafa el O sea no creo que funcione con por separado no porque nos va dar infinito arriba y infinito abajo o no O sea me parece que vamos a tener que hacer algo en conjunto como que se me hace que lo de arriba va a tender a si vos si vos Realmente si da menos un séptimo el límite lo de arriba debe ser como una lineal Sí claro yo hice el conjugado de la raíz está perfecto está perfecto hagamos el conjugado el conjugado de la raíz o sea yo lo que haría es esto multiplico por n cuad más n por la raíz n cuad + 2n todo sobre n al cuadrado má n estoy haciendo todo bien o estoy haciendo No está bien n cuad + 2n Ah bueno claro se cancela todo menos do en arriba entonces después hay que hay que volver como a tener en cuenta el límite de todo está bien okay Bueno entonces multiplico y divido por el conjugado no me gusta multiplicar y dividir por el conjugado porque lo que va a pasar es que se van a cancelar una banda de cosas en lo de arriba esto esto ahí la multiplicación se van a cancelar enorme cantidad de cosas y nos va cómo me doy cuenta que tengo que hacer eso la vida eh que es una buena pregunta eh es una buena pregunta por separado es más fácil pero Pero Rafa pero por Ah pero cómo calcularías el límite de arriba Sí sí es que esto o sea es práctica o sea no sé cuántos límites tenés en tu vida Nicolás pero a ver o sea O sea la respuesta es más jugosa que lo que estamos diciendo igual eh Porque lo que pasa es una cosa de grados s si por ejemplo si a mí me cambias Esto me lo pones al cubo yo dejo de hacer esto eh yo me ponés un cubo acá yo dejo de hacerte esto sí te saco factores comunes y sale el ejercicio sí porque es cosa o sea al menos te lo puedo decir de mi perspectiva yo veo grados y veo que arriba están restando dos cuadráticas Sí ahora si esta fuera una cúbica si vos tenes una cúbica menos una cuadrática no hay chance de que se cancele el término al cubo o sea que lo de arriba es como cúbica Sí y una cúbica sobre una de grado uno va a tender a a infinito Sí y se puede salir por factor común sí Agustina yo lo tomo siempre como una opción cuando una raíz está muy bien sí siempre que no no digo siempre pero que Que aparezca una raíz puede decir bueno intenten con jugado Sí intenten con jugado no no estaría mal sí no estaría mal Bueno vamos a ha con jugador a ver la a ver qué tan bien se llevan con el conjugado se acuerdan o sea como tengo a men B por a + b o sea siendo si quieren esto a y esto B por diferencia de cuadrados esto es a por a - b por B O sea este al cuadrado límite cuando n tiende infinito de n cu cu men n por la raíz cuadrada n cuadrado + 2n Está bien lo que acabo de decir diferencia cuadrados de una onda yo sacaría el límite de arriba con el conjugado está bien Rafa lo que pasa es que te va a dar 2n a ver a ver Rafa te digo algo Si a vos el límite del de arriba te da 2n significa que tiende infinito en realidad o sea el límite no es que te da 2 N el límite da infinito y el debajo da infinito sí O sea que en algún momento vos en tu procedimiento vas a tener que volver a sacar el límite y cancelar n con n sacando algún factor factor común o sea que en realidad no lo estás tomando por separado sí e en algún sentido Yo también lo estoy tomando por separado porque a mí el conjugado no le importa nada esto de acá de hecho esto de acá va a estar ahí flotando y no lo voy a no lo voy a tener en cuenta nunca Sí pero por eso o sea si yo lo tompo por separado arriba va a tener infinito y abajo infinito y no es cierto que infinito son infinito nada no puedo concluir Che el valor del límite es infinito por infinito chao no O sea se entiende No sé Rafa si si me explico como que en algún momento vas a tener que volver a sacar el límite y jugar con las expresiones voye seguir pero pero seguí me respondo el chat ch yo no tengo problema eh divido y abajo acá por favor por favor no se pongan a hacer las distributiva No hagan la distributiva por el amor de Jesús por favor no la distributiva después haremos algo s sacando factor común o algo pero no se pongan a hacer el distributivo O sea no hagan distributivos por hacer después fíjense si si les resulta piola porque dicen Ah okay tiene sentido hacerla me tal cosa háganla pero no de una no de no por default digamos tarde Claro porque la gente por eso yo quiero que entiendan que resolver un límite es resolver un límite no hacer cuentas si a mí quién me dijo que yo quiero hacer la distributiva no eh No es necesario no es necesario o sea lo que nosotros queremos resolver el límite y el límite nadie me dice que Ah con la distributiva va a salir seguro no a veces con la distributiva es peor todavía entonces no no no activen chip por default de hacer distributivas No no okay No Rafa no hay problema No hay problema No hay problema vamos a llegar a lo mismo pero vos en un paso me estás diciendo algo falso o sea vos cuando me separas el límite me estás haciendo algo falso porque te queda límite de arriba que te da infinito sobre infinito igual a un número al final sí O sea está si nos ponemos a charlar yo no quiero ponerme estricto Pero estaría mal separar el límite Sí pero bueno eh la distributiva no me sirve exacto no me sirve no me sirve por favor si aplico la distribu ti me ve una negación sal me estreso ese nivel claro No ya está no no lo hagamos bu pará sigamos con el límite eh A ver n cuadrado al cuadrado es n a la cuarta no n cuadr cuadrado n a la cuar y esto de acá abajo es distribuyendo el cuadrado pues se lleva muy bien s acá se me Cancela la raíz no con el con el cuadrado pero guarda con distribúyelo acá por favor sí pero a mí me resultó hacer la distributiva eh No digo que no sirva Agustina yo lo que digo es que probablemente yo agarro tu procedimiento y te lo hago un poco más simple sin la distributiva sí O sea no digo que no digo que es un un camino de no vuelta atrás de Ay no el ejercicio no te va a salir pero te la complicas al pedo Bueno voy a seguir hago la distributiva No ahora sí hago la distributiva Por qué hago la distributiva porque yo sé que se van a cancelar acá con este s o sea como que estoy viendo un poquito el futuro en algún sentido Sí entonces me queda n a la cuarta a ver n a la cuarta n a la cuarta más 2n cu No eso de ahí así entonces sí hay un montón Hay un montón de veces que de hecho yo veo gente que hace distributiva y al final después termina factorizando y es como parae la distributiva pero no se cuenta porque tiene ese chip de la distributiva la distributiva no no yo les digo límites cómo se aprende haciendo límites sí haciendo límites muy bien Rafa ese comentario me gustó ese comentario me gustó muy buen comentario primero sacar factor n factor Ah factor común n y después hacer el conjugado está muy buena esa la pensé Sí esa Está buena se puede se puede porque está bastante servido un factor común al menos arriba abajo no tanto pero se puede sí totalmente cancelo los c a la cuarta y me queda esto acá o sea que arriba me quedó una cúbica y abajo me quedó efectivamente una cúbica también porque este por este va a ser una cúbica sí Y esto por esto va a ser una cúbica también sí esto es como una lineal Eh bueno Entonces qué hacemos acá y lo que yo haría es sacar un n al cuadrado factor común acá dentro Sí porque yo quiero sacar n al cubo arriba y n al cubo abajo n al cubo arriba ya está sacado pero abajo no sí O sea que yo quiero sacar nes de factor común quiero sacar muchas nes de factor común sí eh esto se puede hacer de muchas formas sí de muchas formas se puede hacer este este este paso que estoy por hacer sí e a ver miren lo que voy a hacer voy a borrar arriba Espero que no no matar a nadie por Borrar esto y voy a continuar pero yendo para arriba si voy a continuar para arriba límite cuando n tiende a infinito d si saco un factor común acá me queda n por 7 + 1 sobre n si por qué me gusta hacer esto porque este este yo sé que se va a cancelar con este en algún momento después lo cancelo y esto tiende a s no es problema bien y acá a m me gustaría sacar un n al cuadrado sí me gustaría sacar un n al cuadrado Sí yo no sé a ver no sé cómo lo suelen hacer a ustedes les gusta más sacar un n al cuadrado y que quede la raíz dividido n o sacar primero n al cuadrado dentro de la raíz y después sacar todo un n al cuadrado Cómo qué les gusta más quiero ver a ver cómo cómo hacerlo para que se entienda lo mejor posible el segundo primero la raíz va porque a veces la la primera que dijiste vamos vamos con sacar quiero sacar dentro de la raíz el factor común Primero me va a quedar n cuadr má n por la raíz cuad saco factor común adentro n cuadr y me queda 1 más 2 sobre n si adentro me queda este factor común solo esce factor común dentro de la raíz ahí y arriba seguimos teniendo el men2 en cubo vamos con las dos bien Entonces ahora sí distribuyo la raíz acá lo puedo distribuir y me queda la raíz cuadrada en al cuadrado y la raíz cuadrada de esto no bueno la raíz cuadrada n al cuadrado Esto sí que es diferente en funciones en sucesiones como siempre son números positivos la raíz cuadrada de un número natural al cuadrado siempre es el el mismo número natural Sí entonces como que se las puedo Cancelar no Y además esta n con esta n las puedo juntar en un n cuadr no si entonces Bueno ahí está el n al cuadrado que vamos a terminar sacando a factor común en un paso que voy a hacer ahora voy a borrar acá abajo yo eso no que me estén siguiendo como para que no moleste esto esto que estoy haciendo as para arriba para abajo para arriba para abajo falta un pizarrón más grande límite de mi Mala mala organización con el pizarrón n acá ahora lo cancelo si alguien está dando ansiedad este n ahora lo cancelo 7 + 1 sobre n saco un n cuadrado de factor común acá me queda n cuadr por 1 más la raíz yo lo que pienso siempre es si estoy haciendo las cosas bien me tienen que quedar cosas que tiendan a cosas lindas no esto tiende a s esto tiende a a dos no a dos y acá me queda el n cub deseado No si yo junto este con este es como n al cubo que lo voy a poder terminar cancelando con este de acá sí entonces me queda -2 sobre 7 * 2 el límite si se me Cancela los dos me quedan - 1/7 como había dicho Rafa Sí eso es solo porque sabemos que n es natural perfecto de hecho este límite eh se podría plantear también en una en una función de X con x tendiendo A menos infinito y me parece que da distinto me parece no estoy seguro podría ser que de distinto porque tendríamos que tomar un menos acá eh Ah bueno no sé no eh Sí sí daría distinto de hecho daría infinito me parece sí sí sí cambia Realmente si el número es negativo haciendo vaquita paraí literal en el caso de un dominio con los reales n podría ser negativo qué se podría hacer con esa raíz eh No o sea es un hecho fundamental que la raíz cuadrada de algo al cuadrado siendo x un número real Siempre es igual igual al módulo sí Esto es algo que se puede probar sí no me voy a poner super técnico con las definiciones de la raíz cuadrada y el módulo para probar que esos son pero son lo mismo Sí o sea el módulo que te lo defin como el que no hace nada si x es positivo y que lo cambia de signo si x es negativo y la raíz cuadrada que te busca ese número que al cuadrado te de lo que a lo que le estás tomando la raíz cuadrada que en principio uno lo mira y dice qué corno tien que ver estas dos cosas termina haciendo lo mismo sí es decir la raíz cuadrada de algo al cuadrado si el algo es positivo te da el algo pero si el algo es negativo te da el menos algo sí buen se te va el internet sí da infinito bien entonces bueno el límite me dio menos un simo Eh Así que nada se se entendió no el límite está todo bien alguien me quiere preguntar algo como dijo primero Se podría sacar un factor común o sea se puede se puede y podría ser más simple De hecho yo creo que lo habría hecho así hacemos el cuatro toca integrales Déjenme Déjenme hacer el cuatro si Déjenme hacer el cuatro porque quora tiene ansiedad con respecto a no vamos a hacer el cu vamos a hacerlo r los ejercicios O sea no me van a decir que es mucho más rápido de lo que tardo en hacer otro ejercicio pero vamos a hacerlo rápido realmente porque no quiero hacer tampoco tanto todos sucesiones A subn ig 3n menos la raíz cuadrada de 9n cuadr men B por n hallar todos los B para los cuales o sea hallar para los cuales eh para los cuales qué me pedía el límite sea mayor o igual que un este igual no me acuerdo en qué grupo Qué grupo de análisis están en WhatsApp no sé pero hay un chico que lo pasó resuelto Pero buen vamos a hacerlo básicamente es lo mismo con funciones Sí sí Juan literalmente los límites que estamos haciendo en funciones son muy lo mismo sí son muy lo mismo la eh multiplicar por el conjugado factor común digo todo todo todo es lo mismo salvo por ejemplo eh existen criterios de convergencia de sucesiones sí que son los de dalan vert y kosi para series pero para sucesiones que también te dicen lo mismo básicamente sí que si vos haces el límite de la a sub n + 1 sobre a sub n y te da menor que uno entonces converge están esos que en funciones no están en funciones está hopital por ejemplo o sea pero en la generalidad en la generalidad de los casos en los procedimientos más básicos de resolución de límites coinciden sí Agustina sí Agustina después próximo que hacemos el primero de integrales definidas y cálculo de área dale el vivo Se guarda Michel Sí el vivo Se guarda va a estar subido cuando termine sí que no sé cuando lo terminaremos en unas horas vamos a ver ese también está mal la respuesta a la guía puede ser Eh bueno este capaz que suele confundir a veces no pero yo siempre le dije lo mismo Yo veo que es una sucesión que depende de un una incógnita B sí claramente el límite probablemente dependa de B Sí entonces tiene sentido que esto de acá dependa de B dependa de B sí porque si no es como que para cualquier valor de B el límite da lo mismo entonces B como que está importando poco o sea al límite le está importando poco no la B pero no Generalmente depende de B O sea que te queda un límite que tiene no sé tres veces B - 2 y de ahí va a quedar una inecuación mayor o igual que cero de la cual de la cual se puede despejar Sí sí sí Juan hicimos hicimos serie de potencia s hicimos uno de serie de potencia no sé cuándo en el vivo estará Sí igualmente eh yo cuando termine el vivo Espero no sé si se puede Supongo que sí que yo le le puedo poner est Ah estampas de tiempito Sí eso se lo puede hacer Nico A quién sucede no no porque el hital implica derivar y las sucesiones no se pueden derivar por lo que había comentado antes no tiene sentido no hay recta tangente por lo tanto no hay pendiente de esa recta tangente por lo tanto no hay derivada por lo tanto no O sea no no no de una No sí se puede hacer lo que hicimos antes se acuerdan uno pasa variable continua aplica al hital y concluye el límite de la original sí eso sí se puede bueno Eh cómo harían este ejercicio tipo qué se pueden hacer ustedes cómo lo hacen tipo lo hacen como una desarrollan a partir de esto hacen el límite de esto y después lo ponen mayor o igual a uno cómo cómo lo entienden digo cómo lo lo hacen se alejan del ejercicio y lloran Ay estoy tratando de limpiar y ensucia más de lo que limpia est el límite primero yo plantearía el límite Primero me gusta por conjugado yo desarrollaría a partir del mayor eso también bueno y después un yo yo prefiero hacer el límite sí que me dé algo dependiendo de ve después voy a la inecuación que me plantea ahí sí pero es procedimientos totalmente equivalentes sí Y como dijo dijo Rafa qué vamos a hacer conjugado Sí por qué vamos a hacer conjugado qué s yo porque aparece una raíz cuadrada por ejemplo pero realmente La respuesta es más jugosa que esa o sea por qué yo voy a hacer con jugado Es que yo les digo eh yo literal acá me ponés un n a la cuarta y yo no hago conjugado O sea podría ser conjugado pero con un a la cuarta ya no porque esto acá tendría tendría grado dos si en general y le le va a ganar Esta sí pero en este caso como eh Esta es una lineal Y esta es una cuadrática a la que le estás tomando raíz cuadrada es prácticamente una lineal Sí entonces como que tienen grado muy similar s se pelean está está peleada la cosa acá Entonces cuando está peleada la cosa s e la respuesta más piola de dar para Por qué hacer con jugado es porque si vos estás restando cosas muy similares Cuando vos saques factor común te queda una resta de cosas que tiende a cero Sí y sacar factor común n que tiende infinito por algo que tiende a cero te va a llegar a otra a otra indeterminación infinito por cero que no vas a saber resolver Sí esa es la respuesta más jugosa que uno puede dar pero eh No pretendo tampoco que se entienda tanto habría que hacer ejercicios para ver lo lo que les estoy diciendo sí ver la raíz como potencia un medio podríamos Michel podríamos claro vamos a aplicar conjugado 3n men la raíz cuadrada de n cuad men B por n puse menos no más 3n cu men B subn Ah algo algo que me interesa Qué har vos que te interesan estos ejercicios se está entendiendo o sea te están dando menos miedo las sucesiones o o qué onda Qué estás pensando Sí sí bien da B mayor o igual que 6 me parece puede ser puede ser hagamos rápidamente acá la diferencia de cuadrados No acá es como acá por acá y acá por acá entonces 3n * 3n a ver voy voy más rápido Yo quiero que nadie se pierda si 3n * 3n 9n cu menos la raíces cuadradas multiplicándose me van se van a cancelar Porque me queda la raíz cuadrada al cuadrado y me queda solo lo de dentro si estoy yendo rápido Avísenme si no se entiende abajo me queda el conjugado acá arriba se me cancelan y me queda b b por n arriba me queda B por n Así que puedo puedo Cancelar Muy bien Entonces nada eh Yo acá podría yo pregunté lo de la raíz cuadrada si les gustaba más sacar la el n al cuadrado acá dentro y hubo gente que dijo No yo primero sacaría el n y después me quedaba un n acá abajo voy a hacer ese procedimiento si por esa gente que le gustaba más sacar el factor común n de una lo voy a hacer ahora lo voy a hacer distinto si hiciera lo mismo que antes Perdón esto es un esto es un B mi b y mi se son parecidos eh voy sacar factor común n abajo antes de sacar factor común dentro de la raíz y me va a quedar n * 3 más la raíz 9n cu - p subn sí sobre n y arriba B * n entonces uno puede ver que las B ya las las B la n ya las puedo cancelar O sea que arriba tiende A B y abajo Bueno tiende a algo que todavía no sé porque acá me queda una indeterminación infinito sobre infinito Sí o sea nuestro problema Está acá Sí bueno Y acá otra vez dos formas de hacerlo dos formas totalmente equivalentes sí primera forma n se puede entender como la raíz cuadrada n al cuadrado Sí pero me parece un poco rara esta forma es como que yo decido que n es eso porque lo es Pero por qué lo hago porque ahora puedo tomar la raíz cuadrada de la división sí la raíz cuadrada de la división eh la raíz cuadrada de 9n cuad - B subn todo sobre n cu por qué sobre n la raíz Por qué sobre n la raíz Por qué sobre n la raíz esto de acá o sea era un n pero ahora es la raíz cuadrada n cuadrado si yo lo transformé el n lo transformé en raíz cuadrada de n al cuadrado si no raíz cuadrada n si no hab ahí habría algo raro sí Lupi porque lo quiero meter quiero meterlo dentro de la raíz es un procedimiento que si creo que generalmente se entiende un poco menos de lo que el otro pero Pero bueno quería cambiar un poco de procedimiento s Pero por qué la n original Ah porque saqué factor común n saqué factor común acá me quedó n Por quién acompaña acá el TR y acá Bueno como no hay ningún n puedo pensar como que hay un n acompañando pero un dividido n acá entonces como que me queda esto acompañando al n Ah del 3n bueno Supongo que Supongo que se entendió bien eh distribuyo acá abajo y me queda límite cuando n tiende a infinito d abajo me queda 3 + la raíz cuadrada de 9n cu sobre n cu es 9 y b * n sobre n cu es B sobre n pero con un menos en el medio nos queda 9 - B sobre n arriba la B entonces Finalmente sí nos da como no me acuerdo quién había dicho lo de abajo tiende a 3 más la raí cuadrada 9 o sea 3+ 3 6 o sea que el límite nos da B sobre 6 justamente B sobre 6 me hace maldades esto qui que quiere que distinga la b y el 6 B sobre 6 bien como el límite nos da B sobre 6 B sobre 6 tiene que ser mayor o igual que 1 si o sea vengo acá y llego a que B sobre 6 tiene que ser mayor o igual que 1 por lo tanto B tiene que ser mayor o igual que 6 pasando el 6 multiplicando capaz que no gustó mucho el procedimiento que hice de sacar el L de factor común el transformar eso en raíz cuadrada al cuadrado O sea no me pueden decir que no es válido ahora si si ustedes lo harían capaz que no eh capaz que es mejor sacar cuadrado pero quería variar un poquito el procedimiento para no ser tan cuadrado bueno eh listo tenemos este vamos a al primero de al primero de qué al primero de áreas a ver Ah acá Este de acá el primero bien a ver Déjenme mirar Okay ejercicios Bueno ahora no va a ser ejercicio de sucesiones va a ser ejercicios de integrales definidas y cálculo de áreas o qu largo no no voy a no tengo G de copiar el título sí eh voy a copiar directamente el ejercici graficar las curvas y = 1 sobre x ig x e i ig A Bueno es es una buena pregunta eso es 1/4 por x o es 1 sobre 4x Yo supongo por el espaciado es 1 cu4 por x primer cuadrante me dice en el primer cuadrante qué más okay y hallar el área encerrada se me complica mucho integrar okay esto es un ejercicio yo estos ejercicios de calculas yo lo paro en tres pasos lo separo en tres posibles complicaciones uno identificar el área esto puede ser puede ser difícil puede ser que no se lleven también con las funciones y no saben identificar el área dos planteo el integral puede ser que no puede ser que vean el área pero no sepan plantear qué integral plantear la integral la integral que Calcula dicha área no no una integral cualquiera y tercer paso este te puede ser difícil también resolver la integral o sea que es un ejercicio bastante completo porque te testea conocimiento de funciones conocimiento de integrales conocimiento de integrales definidas más que nada y acá conocimiento de integrales indefinidas y definidas a la vez regla de barro bla bla bla bla bla no sé plantear la integral con tres funciones está bien no es que puede ser que es que vamos a utilizar eh voy a utilizar el a ver Déjenme copiar algo que lo voy a utilizar en algún momento Supongo que todos lo saben igual pero el área encerrada entre dos funciones vamos a poner techo y piso techo y piso entiéndase que una función está por arriba la llamo techo una función está por abajo la llamo piso entre x = a y x = b y acá viene algo que no es obvio se puede calcular como la integral desde a hasta B de techo menos piso o sea quiero quiero que estemos de acuerdo en que la todos la conocemos o o no O no se sabe que no se sabía esto Exacto como dice Rafa Generalmente el techo y el piso va a cambiar entonces hay que ver y de ahí cadaa se calcula con dos funciones claro no lo sabía Bueno sí eh porque uno cuando empieza con integrales definidas es como claro la integral siempre es lo que está debajo del gráfico de la función pero siempre con respecto por arriba el eje x o al revés si la función es negativa por arriba de la función y por debajo del eje x pero siempre está como el eje x no en la integral de una función y es cierto Bueno pero esta es una generalización para cualquier piso no tiene por qué ser el eje x el piso sí se puede deducir esto eh No lo voy a hacer ahora pero se tiene sentido digamos se puede hacer casos donde uno diga Ah claro como integrales con respecto al eje x integrar piso integrar techo se restan bla bla bla hay casos en donde son más visibles que son menos visibles Pero tiene sentido Sí y se puede demostrar también además de hacer sentido Pero no importa vamos a tomar como un hecho eh bu a ver primer eh primer paso identificar el área Bueno tengo que saber funciones hay que saber graficar si yo lo que veo acá es que tengo dos lineales y una homográfica así que estoy tratando de pensar me interesa el primer cuadrante no como me pide primer cuadrante a mí Poco me interesa esta funciones en el resto no O sea yo voy a agarrar y voy a hacer el gráfico primer cuadrante si no me voy a hacer el gráfico de todo me voy a hacer solo el gráfico del primer cuadrante porque me lo dijo acá 1 sobre x la forma es así x la forma es así y un cuar de X crece más crece menos que x entonces su forma es así sí díganme díganme qué tan qué tan obvio fue lo que acabo de hacer o nada que ver o sea flash fuerte por qué esta está por debajo de esta Por qué est es así por qué no es asá o sea alguien tiene alguna duda de esa tipo Qué está haciendo este tipo demasiado De hecho ya por vista te das cuenta No entendí demasiado que respondiste algo que yo pregunté yo me olvidé lo que pregunté ah eh que lo estoy estoy como viendo las funciones y es como Ah chao Las grafico super fácil para mí pero vos mirás y decís Che que ni idea que era así Eso Claro está bien Esto viene de práctica uno y práctica cuatro o sea práctica uno y práctica 4atro No sé qué tan qué tanto me le metieron esas dos prácticas pero primero práctica uno conocen bien las funciones hay que conocer bien las funciones las funciones lineales estudian sí se puede ver que la pendiente si es menor está más eh bajita sí eh Cómo se dice menos inclinada Sí Por así decirlo esta tiene una pendiente uno esta tiene una pendiente un cuarto la homográfica Por qué me fue tan natural así y porque las homográficas también se estudian y cuáles son las asíntotas de una homográfica haces el límite a infinito te da la horizontal en este caso me da cer0 O sea que yo sé que el el eje x funciona como asíntota horizontal de esta de acá Sí entonces por eso la hago acercarse cuando x tiende infinito al eje X Y por qué La hago subir para allá y porque cómo se calculan las asíntotas verticales de una homográfica el límite cuando x tienda al valor que no pertenece al dominio y el valor que veo que no pertenece al dominio es cer0 cuando hago el límite cuando x ti cer me da infinito si viniendo del lado derecho o sea con x positivo me da más infinito por eso no para abajo s entonces que acabo de de balbucear todas cosas de estudio de funciones si todas cosas de hecho me parece práctica 4 eh asíntotas o la parte de límites ya ya no me acuerdo muy bien Creo que no estoy muy seguro pero es como saber conocerse las funciones homográficas conocerse las funciones lineales conocerse las funciones lineales s o sea por eso es que es tan natural el gráfico cuando uno conoce las funciones ahora yoo lo que estoy diciendo es bueno si las conocen muy fácil ahora qué pasa si no las conocen si no tienen la menor idea ustedes miran esto y miran esto y para ustedes es lo mismo si Bueno una forma de zafar de de ese caso es empiecen a reemplazar x si empiecen a meterle x si métanle x o sea si ustedes saben cóm funciona el gráfico de una función si que es los valores que le meto están acá y los valores que me devuelve están acá y uno une los valor que meto con valor que me devuelve Y eso es un puntito del gráfico sí que así se digo así está definida el gráfico de una función uno que puede hacer se puede hacer el vivo y no tiene por qué conocer ninguna función Aunque de hecho a veces es un poco complicado si no se sabe nada eh en uno da uno no en uno da uno de hecho Bueno bueno no lo quiero decir pero en uno me da uno al igual que esta no O sea que justamente justamente sin querer saqué la intersección entre estas dos en uno da uno no en dos me da un medio más chiquito en tres más chiquito en cuatro más chiquito o uno se da cuenta que estaba decreciendo no uno puede ir poniendo puntitos Ah okay Entonces más o menos la hago así sí y qué pasa desde 0 hasta uno porque uno tiene una una duda de bueno Y acá cómo se comporta y reemplacen 0,5 les va a dar 2 0,1 les va a dar 10 y van a ver que a medida que se acercan le da más grande Sí por eso como dice Michel evaluarla sí fíjense O sea arréglense si no se conocen las funciones metan metan numeritos Sí o sea sepan cómo trabaja el gráfico en una función no se no se estanquen Ah no no s grafical no tengo la menor idea es horrible la función Sí de hecho cuando las funciones son muy feas muy feas no básicas como estas porque estas son funciones básicas sí básicas en qué sentido las que estudiaron en la práctica uno pero si yo agarro y les digo no hagan esto grafiques Esta de acá bien fácil no sé 3 sobre x cubo + 2 grafía fácil ahí sí ahí sí evaluame porque qué qué sé yo cómo se comporta esto de acá es una gran composición y multiplicación de las que sí conocemos o sea acá sí se complica pero no me vengan con complicaciones con estas sí O sea no ser complicado porque por algo está la práctica un y la práctica 4 si geogebra toda la vida Está bien no sé cómo va a ser no sé qué carrera Estudias pero en algún momento tenés que conocer las funciones si o sea está todo bien con el geogebra pero lo que pasa es que yo no los o sea yo lo recomiendo y el geogebra para mí es es espectacular pero lo que tiene el geogebra al ser una calculadora gráfica Es que a veces los priva de y no se dan cuenta inconscientemente esto los priva de coner usarse por ejemplo las intersecciones geogebra cuando ustedes le meten esto en geogebra Ah ven miren acá el gráfico miran Ah en uno da Y ustedes qué sabían que en uno daado lo mismo Sí entonces eh Cuidado con las intersecciones o sea realmente Cuidado con las intersecciones que el geogebra se las va a dar o sea se van a ver visibles a veces y ustedes no tienen por qué saberla sí Entonces nada eh está todo bien con el geogebra eh o sea es la diferencia entre utilizar algo como una herramienta y utilizar algo como te estás abusando del algo digamos es como puede ser que vos sepas calcular más o menos esto y de hecho el gráfico no debe ser exactamente así yo voy lo debe graficar mucho más lindo que yo si pero yo sé más o menos O sea identificar el área se hace con un gráfico aproximado si super aproximado bien entonces yo aproximadamente me hice este gráfico y lo que veo es que en el primer cuadrante estas funciones de acá el área encerrada es esto de acá Sí este medio triangulito medio extraño con lados curvos sí alguien quiere que yo especifique un poco más O todos están de acuerdo en que el área es esta y yo puedo continuar con el paso dos de plantear la integral sí o no crecimiento personal No entendí Ah entendí simo Ahí está Agustina vos que me habas preguntado buenísimo genial entonces primer paso identificar el área capaz que este no te costaba o sea vos mirabas el área y decías Ah está todo bien ahora cómo plantear una integral que calcule este área y ahí es otro tema s eh porque la cosa es cómo digo utilizando esto no Ah acá acá yo hay algo que está implícito no el área entre dos funciones entre a y b de techo y piso la cosa es que esta sigue siendo el techo y esta sigue siendo el piso en todo a sí O sea si entre a y b hay un punto en donde esta deja de ser el techo y esta pasa a ser el techo guarda hay que separar Sí o sea Acá está implícito que ustedes se paren en cachos en donde el techo y el piso sean constantes sí O sea que una siempre esté por arriba que el techo del área siempre sea una misma función y que el piso del área siempre sea una misma función sí Entonces yo acá miro y veo que el techo acá es la x y después pasa a ser el techo uno sobre x sí O sea que yo no voy a poner mandale una integral de una porque va a quedar feo O sea me va a quedar Que el techo son dos distintas el piso siempre es esta pero el techo no se ve eso se ve que el techo cambia de hecho Bueno me dio lástima sacar la intersección sin querer pero en uno cambia sí o no podríamos hacer una composición de funciones eh No sí O sea sí la pueden hacer pero de que sirva de ahí en como que no O sea Michel me parece capaz lo que estás pensando es Ah fácil agarr compon esta con esta y suponete que el techo Entonces es la composición No para nada Eso no es cierto te da te va a dar cualquier verdura bueno bien Agustina entonces yo voy a plantear un integral entre 0 y 1 entre 0 y 1 si de techo que es la función x menos el piso que es la función 1/4 de X se entiende que esta de acá es el primer triangulito este o sea este de acá todo este Eso sí o no por qué abierta no Por qué abierta no sé por qué Agustina crees que el área está abierta Yo veo que está cerrada el área justamente veo que x y un cu4 de X se encuentran en cero no se encuentran en cero entonces como que la punta me da justo Ahí Ah por supuesto Agustina por supuesto Sí sí sí sí sí aunque no te digan x = 1 vos podés hacerle vos no tenés Por qué la integral nunca te dice eh si para integrar entre 3 y cu Quiero que me hagas un integral entre 3 y cu no puedes hacer un integral entre 3 y 3,7 y después un integral de 3,7 a 4 si si a vos te parece interesante si justo en 3,7 cambia techo y cambia piso pero en x igual 1 no se encuentran si se encuentran los techos x y 1 sobre x se encuentran en un estas dos se encuentran en uno Agustina me interesaría como que o sea no sé qué complicación estás a ver en x 1 Yo veo que se encuentran en x x = 1 las funciones que a m me presentaron O sea que es un valor como interesante Por así decirlo si los techos Sí pero el piso y el techo no no el piso y el techo no no hay problema eso viene del hecho Ah Agustina capaz que no se entiende esto no O sea si vos tenés una función así una función así y vos integras entre 1 y 3 es lo mismo que integres desde un hasta dos y después de dos hasta TR no O sea Esto va a ser la integral de un hasta dos de la y Esto va a ser la integral de un hasta 3 de la función si yo la suumo me va a dar lo mismo que de uno hasta TR no es necesario que se toquen no Ah Ya entendí Ya entendí áreas Ah ya Claro ya entendí No no no cuando vos le ponés el límite acá Claro ya entendí como que vos querés Claro vos querés cosas así acá vos sí entenderías que esto es el área entre el techo menos el piso Pero si yo te pongo porque integrar desde acá hasta acá se puede se puede y te va a dar esto Claro ya entendí sí como que el hecho de que vos le pongas límites de integración te pone una pared te pone la verticales y hacen que se cierren Sí claro Sí sí sí Ya ya ya entendí claro yo estaba tan metido Ya est tan acostumbrado que es como Cómo el área está cerrada claro no estaría cerrada por las funciones pero sí por el límite Sí cuando vos le planteas que puede ir hasta uno nada más perfecto bien entonces eh Este es el primero entonces y el segundo que va a ser la integral desde uno hasta cierto lugar que no conozco de techo que es 1 sobre x ahora menos piso que es Ah piso sigue siendo esta no me estoy comiendo los diferenciales riquísimos ahí está el problema es hasta dónde lo pongo no como que Cuánto es esto no no no no parece ser tan obvio cuánto Debería ser eso de ahí eh se entiende Lo que dice o sea que voy a sumar estas dos y va a ser mi área total va a ser la respuesta al ejercicio sí o no O sea acá cuando yo complete esto se termina el segundo paso de plantear la integral sí igualas las funciones Exacto o sea igualo 1 sobre x con 1/4 x si 1 sobre x con 1/4 x y para resolver esto yo lo voy a hacer así la x la voy a mover para allá y me queda x cu del lado derecho está para acá y el 4 para allá 4 * 1 4 Sí entonces me queda 4 = x cuadrado bueno esto tiene dos soluciones que son más y os2 pero a mí la que me interesa es dos Sí o sea estamos en un lugar positivo no no me interesa el -2 por qu porque es cierto la función 1 sobre x y la grafico en el tercer cuadrante se va a encontrar con esta de acá en -2 pero a mí me interesa el dos Ahora sí o sea es cierto que es en más men2 Pero a mí no me interesa el -2 se entiende lo que estoy haciendo sí o no díganme si se entiende ese dos de ahí de donde salió Así que acá va un dos Agustina no se entendió el dos okay Mira Agustina eh yo veo que es el valor de X donde se encuentra la función piso un 1/4 x con la función que bueno funcion de techo en el segundo área en la segunda área que es 1 sobre x Entonces yo necesitaría encontrar Dónde se encuentra esta con esta si Dónde se encuentran o sea para qué valor de X esta y esta dan la misma altura si o sea Dónde se encuentran justamente si Entonces yo Qué hago yo igualo si igualo 1/4 x con 1 sobre x Sí porque ambas están igualadas ahí no ambas son la altura Sí si yo le pido que den la misma altura lo que va a pasar Es que me va a dar esta esta x de acá Sí además me da otra porque se encuentra en otro lugar en otro cuadrante pero no interesa sí O sea que las igualo y despejo la ecuación Sí o sea después puede ser puede haer un problema de la ecuación claro o sea el el X lo paso acá multiplicando el cuatro acá no sé si es problema de la ecuación Agustina no sé si no se entiende el planteo o no se entiende la ecuación como la resolv Ah no entiendo para qué lo hiciste vos no hiciste la tabla de valores entonces para sacar lación las igualas listo listo Perdón Ah claro claro no no hice ninguna tabla de valores entonces me hice un gráfico así medio al tuntún más o menos con conocimiento de funciones y veo Ah Parece parecería ser que se encuentran acá Bueno las igualo para ver dónde se encuentran Exacto muy bien lo que pasa igual con tabla de valores Generalmente poner que se encuentran en 7 octavos vos no vas a meter 7 octavos Probablemente sí lo más común es igualarlas para para despejar cuando cuando son iguales entonces listo el planteo de la integral esta Va a ser mi mi mi suma de integrales que van a dar la respuesta al ejercicio estamos todos de acuerdo sí O no voy a resolver esto pasamos al paso tres de resolver la integral sí díganme quiero confirmación un poquito y paso a calcular digo borro un poquito calculo la integral y terminamos s Bueno entonces vamos a borrar ya el gráfico muy lindo pero ya está ya nos ayudó ya nos brindó todo lo que queríamos Ahora yo quiero simplemente agarrar y calcular la integral desde cer hasta 1 de x- 1/4 X diferencial x y sumás Elo a la integral desde 1 hasta 2 de 1 sobre x - 1/4 x buenísimo bueno eh Nada problemas de integrales Cómo digo Acá hay que recordar bueno Cómo se hace una integral definida Sí bueno se hace la integral indefinida y luego se evalúa Sí o sea barra un no hago me encuentro una antiderivada de esto sí evalúo arriba y resto la misma eh antiderivada evaluado en lo de abajo lo mismo acá sí Entonces para encontrar antiderivadas eso puede ser difícil Sí porque ustedes ya saben fracciones simple o sea conocen métodos que bueno pueden ser más o menos difíciles tres veces partes integraciones y después dos veces parte o sea pueden ser difíciles realmente las integrales estas de acá son fáciles sí son fáciles porque yo qué puedo hacer por ejemplo acá x - 1/4 x puedo resolver no es como 1x - 1/4 de la x es 3/4 de la x no diferencial x también se podía hacer por separado pero preferí hacerlo así eh acá por propiedad de la integral puedo separar las integrales y me queda la integral de 1 sobre x diferencial de X desde 1 hasta 2 menos la integral de 1/4 x diferencial de X desde 1 hasta 2 Sí bueno esta de acá el número lo puedo sacar afuera Sí y me queda la integral de x que Cuál es la integral de x es x cu sobre 2 una antiderivada no evaluada entre 0 y 1 Espero que conozcan esta anotación de poner una Barrita número abajo número arriba significa evaluame arriba y restale lo evaluado de abajo s y esta acá la de 1 sobre x en realidad es el logaritmo natural del módulo si en el caso general es el módulo a ver hay ejercicios donde uno se puede confundir si no pone el módulo s Pero bueno vamos a ver en este caso no va a importar menos acá saco 1/4 y me queda la el mismo x cu sobre 2 evaluado entre uno y dos Sí acabo de hacer el paso de integrar indefinidamente Sí integré integré integré sí En este caso fue fácil ahora si les plante un ejercicio que tienen que integrar X por el logaritmo natural de X bueno puede ser que tenga que hacer partes en un en el medio de un ejercicio de área Sí por eso área es difícil porque les puede poner funciones difíciles para identificar el área no Generalmente no no pasa sí Generalmente les ponen estas funciones que son conocidas en la práctica un plantear la integral bueno conocimiento de esto de acá sí tercero resolver la integral bueno puede ser que al ponerles funciones que tienen antiderivadas no muy lindas bueno queda un poco difícil El Paso tres pero en este caso quedó bastante simple Ahora solo resta hacer cuentas s a ver si me acompañan Esto va a ser a ver no sé si me va a entrar todo pero 3 cu4 por si reemplazo el uno me da un 1 al cuadrado sobre 2 menos lo reemplazado en 0 0 al cuadrado sobre 2 acá logaritmo natural del módulo de X sí Ah si alguien eso nadie no vi en el chat ninguna pregunta si acá yo el módulo lo puedo sacar no porque estamos en un lugar positivo vamos a estar evaluando número positivos Así que lo puedo lo puedo descartar reemplazo en dos menos lo reemplazado en uno pero hay que tener mucho cuidado si esto tuviera el tercer cuadrante bueno habría que poner el módulo X Y empieza a dar cosas absurdas Si si no lo hacen - 1/4 por reemplazo en [Música] dos eh Y le resto lo reemplazado en uno sí O sea que lo último que me queda es una cuenta no ya está yo lo único que veo son cuentas números cuentas potencias números Sí o sea de acá en adelante números y bueno saber que logaritmo natural de un da cer no porque a cuánto hay que Elevar a e para llegar a un a la cer a ver si quieren hacemos la cuenta no un esto da 1 Med men 0 1 Med 3 cu por 1 Med 3 así que de la primera integral sacamos un 3 de acá sac un logaritmo natural de 2 sumando y de esta que saco acá puedo Cancelar uno de los dos con uno de los dos y me queda solo un dos 2 men 1/2 es 3 Med y 3 Med por 1/4 es 3/8 Ah se cancela interesante - 3 o o sea que se me cancelan los 3 oav y me queda logaritmo natural de 2 como respuesta de de la integral o sea que Cuál es el área Ada el área es logaritmo natural de dos esperemos que esté bien es el primero de los ejercicios repaso Med Miranda exactamente se me Cancela este con este bueno Agustina Espero que se haya se haya entendido todos los ejercicios de de integrales hacen así con estos tres pasos digamos alguno se puede complicar más que otro dependiendo de las funciones la cantidad de veces que se choquen que se toquen lo difícil que sea calcular las intersecciones puede ser que tenga que hacer resolvente digamos puede ser muchas cosas eh Y es bueno a veces resolver la integral puede ser difícil Te juro que me salvaste la vi bien bueno eh estoy and a ver díganme qué quieren hacer ahora quieren de lo que no abarcamos algo algo que quieran hacer No no recuerdo exactamente se me hace que abarcamos bastante polinomio de tel por ejemplo lo hicimos no sé si quieren hacer algo de eso integrales indefinidas algunos métodos si las cosas que no hicimos digamos no hicimos integrales indefinidas de por si pero si las estuvimos haciendo un poco pero no hicimos un ejercicio que teng tengamos que hacer tres veces partes una integral cíclica unas fracciones simples no no hicimos esas cosas Si y ejerci de Taylor tampoco hicimos s polinomio y el C de la guí esta integrales definidas el cco de la guía esta integrales definidas eh A ver para entonces hagamos hagamos este hagamos uno más de área hagamos uno más de área y después pasamos a polinomio que bueno es un tema como muy distinto como estamos en formato formato área voy a borrar esto para tener más lugar pero se lo lo recuerdan es techo menos piso s y techo y piso constantes por favor bueno y el paso de esto también lo voy a sacar s era como para contarles como yo pienso estos ejercicios El quinto a ver a ver hallar a mayor o igual que 4 para que le áa encerrada entre el gráfico de Uf a ver si un poquito así encerrada entre el gráfico de me estoy quedando sin tinta ahora lo pongo un poquito encerrada entre el gráfico d Okay nos da una función bastante bastante como que les había puesto x - 4 por e a la x cu - 8x + 16 x cu men 8x + 16 y el eje x okay O sea a ver nos pide no terminé eh pero quiero a ver hallar un número mayor que 4 llamado a para que el área encerrada entre el gráfico de esta cosa y el eje x y nos dice además con 0 menor o igual que x menor o igual que a sea igual a Uh este ejercicio me está sonando me está sonando que alguna vez lo hice tengo miedo este ejercicio tengo miedo tengo miedo de que la respuesta esté mal de de que pasaba algo raro me tengo tengo tengo flashbacks Vietnam no estoy leyendo los comentarios a ver eh Hay un ejercicio polinomio de Taylor que incluye un integral y hay que apar Quiz Estaría bueno hacer ese me parece Me parece bien Miranda Me parece bien la el próximo que hacemos entonces va a ser uno de esos O sea que meter teorema fundamental del cálculo junto con Taylor sí que ese sería un ejercicio heavy heavy entender en realidad no tan heavy después que uno lo entiende Entonces los de Taylor son dan miedo pero en realidad no dan miedo bueno a ver este este da un poquito de miedo eh este da un poquito de miedo no porque hallar un número a mayor que 4 para que el área entre esta cosa y el eje x A ver no sé si se entiende esto no Esto me está diciendo que hay que integrar entre cer entre cero y a si o sea vamos a tener cer a y acá vamos a estar integrando s no sé que habrá en el medio pero o sea esto entiéndase como eso S no quiere que integremos en cualquier lado esta con esta qui que integremos acá entre cero y a Sí claro claro Sí sí sí sí claro o sea el dato de a mayor que 4 no sí sí este ejercicio este estos ejercicios A mí me cuesta un poco enseñarlos porque porque cuando uno sabe es difícil dejar de saber a veces no O sea no me quiero no me quiero hacer El capo acá lo que quiero decirles es a veces yo tengo miedo de hacer cosas que me son naturales a mí pero que no son tan naturales en realidad sí en este caso eh Por eso yo suelo quedarme en modo pasivo y que ustedes me digan eh pero ahí justamente Miranda dice algo no hay que tener en cuenta que la función corta en cuatro Sí o sea eso es lo importante no Porque si yo tengo que tengo el eje x y tengo esta función de acá que es horrible que uno puede argumentar no tengo la menor idea de dónde está Es cierto yo tampoco tengo la menor idea de dónde está esa función le voy a no le voy a mentir No sé dónde está esa función no sé cómo es esta función No lo sé la estoy mirando y no lo sé No es que no pienses que yo me lo imagino Ah claro no no no no me lo imagino Sí pero lo que sí veo es que es una multiplicación de una exponencial que siempre es positiva Esto sí lo sé la exponencial la e al algo siempre es positivo y esto de acá que podría ser cer0 sí Entonces yo como que la veo con esos ojos la veo como una multiplicación de algo siempre positivo por algo que podría ser cero sí O sea que la única chance de que esto sea cer0 Es que esto sea cer0 y que entonces x sea 4 ahora a mí qué me interesa que eso sea cero y si vas a calcular el área encerrada entre este gráfico y este sí y el eje x vas a tener el eje X en algún lado no el eje X en algún lado la función no tengo ni idea Dónde está eh yo lo único que sé es que en cu da cero lo único que sé pero esto ya no se me hace tan obvio s no no se me hace tan O sea sí Obvio cuando yo se los digo es como que claro en cu da cer Sí pero por qué yo tendría que buscar eso y porque si a mí me piden el área entre dos funciones tengo que ver dónde se chocan s porque yo no puedo asumir Ah no esta siempre está por arriba de esa no no no lo sé O sea si yo supiera eso Ah bueno ya está esta Va a ser el techo esta Va a ser el piso entre cero y a integral entre cero y a menos piso pero acá no puedo no O sea estas funciones se encuentran Realmente si el eje x y esta función de acá se encuentra Sí entonces yo voy a poner aquí espaciado un cco por acá y un seis no sé un si no sé cuánto seguir porque me dice que a Es mayor que cuatro pero no sé dónde está Sí suponga es que la verdad que no sé d dónde debería estar a pero sé que es mayor que cuatro sé que está por acá si supongamos que está por acá Ah no sé No tengo idea que está ent 4 y 5 ya se lo estoy comentando no sé dónde está No sé si está t4 y 5 podr podría ser que que sea mayor que s Sí sí Olvídate la función esa tiene la forma de una función cúbica tipo x al cubo en x = 4 por alguna razón Eh sí eh No sé O sea me parece que es que lo que pasa s o sea se puede argumentar algo de que por qué debería ser así porquees tiene que ver con la derivada esto de acá arriba justamente esto también se anula en cuatro no esto se anula en cu esto se anula en cuatro o sea Acá hay cositas O sea que la cúbica justamente tiene un punto de inflexión no entonces creo que se puede ver que esta de acá eh tiene segunda derivada igual a cero en cuatro Supongo por lo que me estás diciendo vos Miranda no corta el eje I en cu no Por qué al eje I en cu al eje i en cuatro no Por qué al eje X en cu o sea cuando Ah no Claro me parece que la confusión es la i me da cer0 la i me da o0 que la i me de 0 significa estoy en el eje x eh eso es error super común si la i me da 0 o sea yo meto 4 me queda FX = 4 y FX se lo suele Llamar I no O sea que la i es cero y los puntos cuya y es cer están acá el eje x sí o se el eje x es tiene ecuación y = 0 y el eje y tiene ecuación x = 0 si esa confusión de práctica 1 Sí o sea desde práctica uno no puede tener esa confusión de Uh yo meto el cero Y qué me da Me da me da un punto en el eje x o en el eje y bueno si metes x igual a 0 te dan el eje i Sí si metes I = 0 sí metes I = 0 y despejas la x si querés te da eh del eje x Sí bueno eh yo lo que o sea yo por por Miranda que que que lo dijo en el chat vimos que seguro que acá cortan la función y eh y el eje x qué haría uno si no no tuviera la menor idea uno sabe que tiene que calcular el área entre un número mayor que cuatro Sí de hecho Déjenme Déjenme sacar estos números porque yo no sé si está entre cinco cu Yo sé que está a la derecha si podría estar por acá por acá por acá no sé dónde está el a yo lo puse ahí eh De hecho déjenmelo mover un poquito más allá para tener un poquito más de lugar por las dudas ahí eh la función yo no sé dónde está Sí yo lo único que sé es que en cuatro vale ahí eh qué harían ustedes si no digo lo que tienen que darse cuenta es que no tiene por qué siempre estar abajo siempre estar arriba Ah okay Michel no no tiene por qué siempre estar abajo siempre estar arriba si la función estuviera arriba ya está tenemos la integral planteada no es muy difícil y si siempre está por abajo ya está pero como se pueden encontrar puede ser que campie en techo y piso no entonces uno Ahí es donde dice okay Voy a ver si se encuentran igual a esto a cero si porque el eje x tiene cuación cero y bueno entonces nos quedaría o sea uno se preguntaría así se encuentran si esta es una pregunta natural se encuentran F x y el eje x estoy haciendo esto porque o sea que miralda me lo haya dicho no significa que los demás se hayan dado cuenta si se encuentran FX y el eje x bueno y cómo hacerlo y igualen los además se encuentran donde nos interesa porque capaz se encuentran en un lugar después de a no me interesa s Eh entonces igualo FX a cer si porque la ecuación del eje x es cer no no es = 0 entonces me queda x - 4 por la exponencial x cu - 8x + 16 y acá es donde lo que yo les decía no por eso yo yo también me metí un poquito y les dije directamente que esta siempre es positiva pero no tienen por qué verlo O sea sí lo tien que empezar a ver desde un punto en adelante de que esto no puede dar cer0 sí no puede dar cero la exponencial O sea que lo único que puede dar cer0 es esta O sea que x - 4 tiene que ser C O sea que x tiene que ser 4 entonces acá de este procedimiento que acabo de hacer lo que uno saca es que el único lugar donde se encuentra la función horrible con el eje x es x = 4 Sí dale Lupi nos vemos eh Entonces ya está porque acá hay otra cosa no porque alguien puede tener una duda totalmente legítima es se encontrará una sola vez una sola vez con el eje x o más de una vez y y y es una duda totalmente legítima eh o sea podría ser que la función sea tan horrible que hace fium fium fium empieza a dar y hay que calcular 50,000 áreas Sí podría pasar por qué no va a pasar por el procedimiento que acabamos acabamos de hacer Sí o sea notar que en cuatro da cer0 no es lo mismo que notar que cuatro es el único lugar donde da cero esta función Sí o sea hay que ver bien eso eh o sea se pueden hacer ejercicios bien complicados de cálculo de área sí funciones que se intersectan un montón de veces sí Bueno entonces ahora es donde uno entiende Okay si esta es la única vez que mi función corta al eje x o hace así o hace así sí o está bajando o está subiendo sí no va a volver a bajar sí eh o no va a volver a subir digamos no sé si está bajando o está subiendo no no no lo sabemos y ahora la pregunta es nos interesa saberlo nos interesa saber si sube o baja y puede ser que sí porque si bajara supónganse que que hace esto me funci yo no tengo la menor la menor idea eh pero supónganse que hace esto sí Ah bueno entonces la las áreas que yo tendría que calcular desde cer hasta a no O sea que la tengo que ahí tendría que calcular este área de acá sí entre 0 y cu y después sumarle el área esta de acá no serían estas dos y esta cómo la calcularías el techo es esta ahora qué pasaría si la función va para el otro lado ya está cambió todo acá va cambió Todo cambió mucho esta área el techo estaría acá la función funcionaría como techo acá pero como piso acá sí entonces uno agarra y dice Che Acá hay problemas o sea algo tengo que saber de mi función está haciendo esto o está haciendo esto Sí esa es la pregunta no bua eh Hay hay no sé si alguien tiene algo que aportar alguien se le ocurre que que hacer o sea supónganse que yo no quiero utilizar en absoluto el geogebra claro difi el techo y el piso a la hora de calcular el integral o sea es importante digamos o sea Nosotros sabemos si es así o es así o es asá no sabemos y no Bueno uno podría decir Che hac un un un un un análisis de función con la derivada con no Para qué dónde corta el eje I mm Sí no Está bien está bien lo que dice me gusta Ah mira todos piensan igual dónde corta el y yo la verdad me mandé una ta de valores yo lo que hara evalar en TR clar usted eval en cer tien más como bien bien o sea está totalmente bien los pero me interesó que todos dijer lo mismo lo que haría yo Val me parece me fijaría Y yo que da negativo por ejemplo en men 4 negativo Pos s que está acá Bueno pero lo mismo con cero no si evaluan en cero agarro y digo f en 0 me da -4 por e a la algo miren lo poco que me interesa la e a la algo poco me interesa sí no me interesa cuánto da yo lo que sé es que esto es negativo Sí entonces sé que está por acá por algún lugar por acá sí Entonces ya está acá puede ser que haga una gilada puede ser que no sé cómo hace si hace así o no sé la concavidad pero seguro que va a ser algo así sí no sé si hace esto Esta ondulación media rara que estoy poniendo acá le das valores menores y mayores cerc puede ser Sí sí está totalmente bien Yo yoo ya les digo yo creo que agarraría el tres o el cinco agarraría el cinco que se puede ver que es positivo Sí entonces se dan cuenta que el área o sea ya está graficamos más o menos y el área bueno el área va a ser como nos piden integrar entre 0 y a yo no voy a pasarme de estos límites si Y como me pide el área encerrada entre esta cosa función y el eje x yo veo eje x función entre 0 y 4 o sea que acá ve un área no arriba por ejemplo arriba no hay techo no no no se encierra y acá también otro áa de acá entre 4 y a entonces tendríamos que plantear dos eh dos integrales distintas desafortunadamente hay que plantear dos integrales distintas Sí y después sumarlas y bueno calcular el el área no pero primero planteemos las integrales paso uno completado identificación del área paso dos planteo de integrales eh a ver yo creo que a ver le voy a poner nombre a esta que es y = FX se entiende que una de las integrales va a ser desde 0 hasta 4 de techo que es el C el eje x digamos un error muy común es el eje x ponerle x No la ecuación del eje x es igual cer si acá techo y piso se pone la ecuación igual eso si la f dex digamos la función de X s y acá el piso vendría a ser x - 4 por e a la x cu - 8x + 16 diferencial x y esto calcula el área uno Digamos si uno quiere sí yo sé que ya dijimos que no a la distributiva pero si distribuí la e en tu cabeza ves que que la pendiente Pos pendiente positiva Ah muy interesante eso que que decís Agustina la verdad estás viendo a toda la exponencial como una pendiente sería es un poco raro porque es una función creo no estás pensando en eso está bien tiene sentido tiene sentido que vaya creciendo No sí creo Creo que tiene sentido es medio ror Sí sí como corta una sola vez alje bien en serero es más fácil porque te quedan menos términos y se resume A menos cu claro Michel es más fácil pero yo ni siquiera me molesté en evaluar porque yo sé que algo siempre positivo y a mí no me interesa menos el valor a m me interesa si está abajo o arriba no me interesa que tan abajo tan arriba el conjunto de negatividad la función claro de 0 a 4 y de 4 a muy bien muy bien la otra la otra va a ser desde 4 hasta a de techo ahora mi función es el techo mi FX x cu - 8x + 16 y y mi piso es el eje x o sea que se le restaría el cero eh Déjenme mover un poquito la integral que me quedó medio raro sí Entonces planteo el integral ya estamos es esta y esta la suma no en realidad la suma Esto va a ser mi área Sí si quieres uno le puede poner a sub un es esto a sub2 es esto Sí bueno a todo esto nosotros tenemos que calcular el área y después recién igualar todo esto no y después despejar la a o sea falta falta bastante eh A ver [Música] e va ver que calcular o sea el menos lo puedo sacar no or vamos a calcular el integral no Ah me comí el diferencial Perdón ahí está y acá un menos no este menos 0 menos esto es como menos esto y el menos como que lo puedo sacar para afuera o sea que me queda menos menos la integral esta más la integral esta Por qué hago esto porque quiero que me quede las mismas funciones para integrar para integrar una sola vez indefinidamente recién llego Qué es ese gráfico no coincide con fdx No yo hice cualquier cosa Rafa porque no interesa el gráfico perfecto o sea nosotros lo único que vimos fue que viene de abajo y va para arriba es lo único es lo que basta para hacer el el gráfico estoy intentando utilizar el menos menor geogebra posible Por así decirlo hacerlo el ejercicio lo más fácil posible No sí debe ser totalmente distinta la función pero a grandes rasgos el área No no me importa como yo sé que no se encuentra otra vez ya está y va para arriba y ya está lo único que me interesa no me interesa si tiene concavidad positiva concavidad negativa digo a nosotros no nos piden graficar hermoso esta función no bua entonces eh A ver para puedes factorizar el exponente d Eh factorizar vos decís eh Miranda vos decís factorizar lo por qué factorizar a mí me gusta no factorizar Ah o HM A ver di díganme opiniones sobre este integral que cómo cómo resolverían la integral indefinida dig e Che me olvidé Uy Me olvidé los límites no Uy Me olvidé mi marcador eh entre entre 0 y cu acá puse una integral indefinida Me olvidé de poner entre C y 4 ahí sí sí te queda x- 4 cu ah Claro funciona Ah okay funciona Ah claro no tenes razón no no me di cuenta que 4 er una raíz doble también del exponente pero en el caso general yo no factorizar no yo agarraría sustitución se agarraría esto como u porque veo que es 2x - 8 que es 2 por esto no es lo mismo Sí pero como que imagínate que no te huviera una raíz doble en cu factorizar como que nos quedaría peor todavía no para hacer la substitución porque Ah no pues se podría hacer también No sí se podría lo mismo eh entonces Ah voy a hacer la intergal indefinida acá acá Aparte sí y después vuelvo x - 4 * e a la x cu - 8x + 16 y Déjenme ponerle porque si no se va a empezar a no ver nada yo haría sustitución más fácil no Matías Y la verdad sí a mí Yo veo una sustitución ahí yo veo eso y me queda una sustitución yo no no me molestaría en factorizar pero se puede ver que incluso factorizando e no se aumenta la dificultad de la sustitución digo no no no es que eh Che qué sustituí O sea como que está todoa bien con la sustitución con la con la factorización estoy hablando muy mal Ya voy eh Ya hago la la interet indefinida a ver eh entonces por eso ves acá nos están testeando un poquito de conocimiento de el método de sustitución básicamente si uno no no tiene tan en claro las integrales definidas agarra y piensa que el los ejercicios de áreas son imposibles y no no es que son imposibles O sea no sabes integrar bien si no te llevas tan bien con la integración todavía no te es tan natural pensar en las sustituciones partes y esas cosas s simplemente es eso los ejercicios complejos que utilizan muchas cosas uno puede pensar que son difíciles pero capaz lo que le está costando mucho es la parte sí Bueno vamos con esto u eh si tomo como esto u voy a voy a hacer acá si u es x cu - 2x - 8x + 16 esto de acá vamos a sacarlo el diferencial de u va a ser 2x - 8 por el diferencial de x No la derivada de esto por el diferencial de x y si eh saco dos de factor común me queda 2 por x- 4 diferencial de X Y el dos este lo paso para acá dividiendo entonces finalmente Veo que esto y esto forman mi diferencial de u sobre 2 Entonces mi nuevo integral en el mundo de las V es nos queda la integral de e a la u por diferencial de u sobre 2 Qué bueno esta la podemos resolver como sacándolo 1 medio la integral de e a la u diferencial de u que bueno es ella misma 1/2 e a la u + c y volviendo a la variable original x cu - 8x + 16 sí a ver perdí alguien en el camino de esta de esa resolución de un integral indefinida claro la primera vez que hice este ejercicio mandé la integral límite de c h lo complicado es comprender el problema Sí claro sí sí sí sí es que es que sí sí sí sí uno o sea si le pone una función fea o sea uno siempre en ejercio O sea no les ponen ejercicios tan jodidos sí pero si les pusieran ejercicios un poco más jodidos es como que tienen que estar pensando todo el tiempo en intersecciones si es como quién está arriba de quién cuándo está arriba de quién Dónde se encuentran Sí o sea ejercicios más complicados hay que haar muchas muchas intersecciones bu la integral me dio esto no 1 medio por la la exponencial O sea que se entiende que como yo tengo una antiderivada acá puedo agarrar y evaluar en 4 restar lo evaluado en cero cambiarlo de signo evaluar en a o sea como que esto de acá se vuelve algo Bastante fácil Ya teniendo una antiderivada sí voy a hacer eso pero no sé cómo lo voy a hacer a ver sí vamos a hacer esto o sea esto de acá voy a poner igual y acá voy a seguir a ver menos no me lo quiero olvidar menos corchete después me lo termino olvidando igual menos corchete 1/2 e Uy 1/2 e a la x cu - 8x + 16 evaluado entre 4 y 0 y a esto hay que sumarle eh No vamos a poner corchete siempre la misma antiderivada pero entre 4 y a bu eh puedo ir borrando la antiderivada todo esto todo esto la sustitución el gráfico ya me importa poco no el gráfico me está importando poco eh No se puede convertir en una solo integral usando la propiedad [Música] un Pero esto tiene un menos no tiene un menos esta cómo lo harías O sea si se estuvieran sumando Sí si esto si este menos estuviera yo pondría el integral de c hasta a Pero cómo lo harías con el menos no lo veo tan visible habría que no sé no lo veo tan visible con el menosan Carlos este menos tipo la integral desde 4 hasta A menos la integral desde 0 hasta 4 Eh puede ser que se o sea se pueda eh pero yo no lo veo muy no lo veo no lo veo no no yo quería ver si se podía porque en el momento se me ocurrió y no lo puedo hacer claro es que el menos te jode el menos si fuera un más Sí ya está de 0 hasta cu cu de o hasta a pero el menos no no Bueno vamos a desarrollar para arriba Eh si yo reemplazo en 4 a ver voy a hacer un poquito menos de cuenta porque si no se pone renso esto 4 cuad 16 con este 16 32 y 4 * 8 es 32 O sea que me queda 1/2 cer sí o también mirando la factorización de de Miranda claramente era cero Eso si reemplazo en cero me queda menos 1/2 e a la 16 valores interesantes y esto lo esto Esto es esto no bien con el menos está todo bien bien más emplazo a ver acá en a me va a quedar 1/2 e a la a cuad - 8 a + 16 y a esto tengo que restarle lo reemplazado en 4 pero ya es lo mismo que acá no es la misma se que me va a dar 1 medio Ah a la cero guarda con barro con los 1 medio digo con los 1 medio no con los menos sí hay que restar eh A ver cómo podemos escribir esto un poquito más lindo Avísenme si quieren que haga algo eh Porque recuerden digamos que nosotros queremos que el área sea igual a esto eh yo lo que haría es por ejemplo los e al acero los pongo como menos 1 medio distribuyo por ejemplo el menos lo distribuyo e a la 0 es 1 menos con menos má 1 Med e a la 16 acá me queda Bueno nada la desgracia más 1 Med e cuadrado - 8a + 16 y - 1/2 entonces puedo por ejemplo sacar un do dividido a todo porque lo veo lo quiero poner lo más en esta forma posible no para que se vea a ver quién tiene que ser la para que la igualación sea lo más amena posible quizás una forma de hacerlo No sé por ejemplo si yo pongo el 1 medio lo saco como de factor común pongo un dividido 2 me va a quedar -1 men 1 men 2 voy a poner acá atrás de todo porque lo veo acá acá me 16 al principio no de esto O sea este y este me forman Esto sí Y acá más e a la esta cosa de acá sí capaz es medio rebuscado lo que estoy haciendo eh pero también pueden igualar pum igualan y empiezan a despejar la a y lo pueden hacer No no pasa nada pero se entiende que si yo quiero que esto sea igual a esto el exponente este tiene que ser uno Avísenme porque recuerden no el ejercicio nos dice nos dice un área nos dice quiere que sea área se pone quisquilloso quiere que sea área sea esto porque lo dice el ejercicio o sea quiere que el área sea igual a esto o sea quiere de que esto todo esto sea igual a esto de acá e a la 16 + e - 2 to sobre 2 entonces como que veo que tiene la misma forma o sea dos se me cancelan después se me Cancela este con este me queda e a la Pirulo igual a e Entonces el Pirulo tiene que ser 1 Me parece que acá viene lo turbio no de eso igualado a un creo que nos quedan raíces linda o no queda raíz horrible o sea nos queda entonces a cu - 8a + 16 igual a 1 y nada eh qué s yo paso el uno para acá y hago resolvente esto esto esto Esto me va a quedar menos menos O sea los valores de a me van a quedar Ah tenemos que a Es mayor que 4 No eso recordémoslo -8 más menos la raíz cuadrada te un spoiler ig 5 sí Ok bien sea la resolvente acá Todos la podemos resolver no me imagino B cuadrado es 64 porque es -8 cu -4 por la a es 1 la c es 15 todo dividido 2 por coefici princip que es un 1 Entonces nada menos -8 lo puedo poner como + 8 y acá me queda 4 * 15 es 60 64 - 60 es 4 la raíz cuadrada de 4 es 2 O sea que lo de arriba al final me queda hermoso me queda 8 má men 2 divido 2 y acá dos valores distintos Ah daba lindo no Entonces no ningún recuerdo de Vietnam 8 + 2 10 di 2 5 y el otro caso sería 8 - 2 e 8 - 2 6 di 2 3 no pero bueno este caso como que lo descartamos porque a Es mayor que cuat claro sea est es muy típico eso puede ser que si se cuenta que en un ejercicio hay dos respuesta y supuestamente tiene que ser única fíjense bien las condiciones capaz tiene alguna condición sobre el número que nada que la descarta una de las posibilidades bu ejercicio heavy heavy bastante heavy sobre todo el principio ver que hay que intersectar con el eje x ahí es un error muy común meterle integral entre cero y a pum no por eso es como le decía Agustina digamos integrar entre cero y un número depende bueno puede ser que lo tengos que Separar en 55 áreas si entre cero y ese número las funciones se encuentran un montón de veces sí es tan hermoso cuando dan resultados así la verdad que sí eh Por eso yo tenía tenía el capaz que me había equivocado cuando O sea yo me acuerdo de los ejercicios este ejercicio por ejemplo lo habré resuelto hace años pero me suena me suena mucho me suena lo recuerdo es como que está ahí en mi memoria en algún lado y tenía como el miedo de que iba a dar muy mal pero bueno terminó dando Muy bien buen terminamos esto y alguien me había dicho algo para hacer Ah e Miranda algún ejercicio de polinomio de Taylor junto con teorema fundamental del cálculo Okay a ver teorema fundament Y dónde a ver Taylor para repaso Hay alguno de esos Ah el cu me habías dicho Ah sí el cuatro no Miranda me habías dicho nos dice o sea vamos a poner el título lo estamos haciendo siempre lo mismo eh la la misma sesión 13 en donde les subieron muchos ejercicios para repaso estamos haciendo esos ejercicios de Taylor eh Para repaso no eh Y vamos a hacer el cu qué nos dice sea F de rr derivable hasta el orden 3 Ah qué copie cualqu cosa Esto no cfr la función definida por esos son más Mira Ah les voy a mostrar buen no Mejor primero lo escribo pero les voy a mostrar como yo utilizo una anotación un poquito el sí no vamos a escribirlo vamos a escribirlo el polinomio de Taylor de orden dos Uy ya estoy mal eh de orden siempre estuve mal ahora estoy peor de orden dos en x sub ig 1/5 A ver no estoy leyendo el chat eh eh No no ese no mece uno que tiene ahí está casi me l con ese ejercicio a ver a ver Tengo queal un polinomio de Taylor de orden dos y me dan el centro no el polinomio de tayor un quin podemos seguir la fórmula de siempre del polinomio de tayor vamos a poner el polinomio gusta escribirlo as Como me gusta que pongo orden y después orden n en x0 f f voy a poner la fórmula general no Primero se empieza con f en x0 más F prima en x sub 0 por x - x sub 0 más f seg x sub sobre 2 por x- x sub es Ah x - x sub 0 al cuad más bla bla bla bla bla bla bla sí seguiría tendría que poner el de orden n porque le dije tienea orden n Pero bueno vamos llegar hasta ahí se acuerdan todos de la Fórmula qué elegancia yo le mando pnx No sí está bien no no Yo también le mando pnx lo estoy haciendo para mí pero yo suelo las primeras veces que ahora como mis primeros encontronazos con ustedes que están viendo yo como que suelo poner como que un polinomio es muy dependiente de el orden que lo hagas el centro En donde lo bueno lo quieras centrar el numerito este y de la función no son las tres cosas de las cuales depende un polinomio de Taylor para su construcción digamos entonces acá tenemos una función tenemos un centro tenemos un orden Ya está o sea nuestro polinomio que acá s pongo p en x si no me importa va a ser la función evaluada en el centro un quinto Ok f en 1/5 más F prima en un5 por x - 1/5 más f seg en un5 sobre 2 acá en realidad van factoriales empiezan a aparecer factoriales la fórmula sigue no tiene sus cositas pero bueno llegamos hasta acá está todo bien copié todo bien bien ya puse la función puse un quinto llegué hasta orden dos porque me dicen de orden dos sí buah entonces para resolver el ejercicio tengo que calcular esto esto y esto y se acaba el ejercicio bueno veo la función veo que la derivada no la tenemos de la función y la derivada segunda no Así que yo empezaría con este sí yo empezaría con este de acá se me hace lo más lo más natural no bueno agarremos y evaluamos f en 1/5 sí esto se los recomiendo a todos digamos el polinomio primero plantée lo que quieran no planteen el polinomio planteen el polinomio después Sí ya está tenemos que salar estas cosas Bueno después se pelean capaz est est est capaz que sí pero bueno f en 1/5 no entonces 15 por y acá remplazo la x por 1/5 15 * 1/5 más la integral desde 1 hasta 5 por 1/5 de 1 + t cu arriba un 1 diferencial de T acá No hay ning una x Así que no reemplazo nada 1/5 * 5 es 3 acá me queda más la integral desde 1 hasta un de voy a ser un poquito vulgar voy a poner puntos suspensivos no me interesa de qué sea la integral si vos estás integrando entre uno y un da cer0 Sí no hay chance de otra cosa no no no hay área no puede área encerrada si no hay no hay distancia entre las x Sí así que esto de acá da c Entonces nos queda 3 + 0 3 sí Bueno entonces este de acá ya lo tenemos y da tres si quieren ya lo puedo ir reemplazando Bueno ahora nosotros tendríamos que hallar F prima en un quinto pero F prima ni siquiera la tenemos como función si no la tenemos no la veo no la veo y acá Viene un tema que es Cómo se deriva una función dada por un integral Sí yo no sé si todos entienden que eso es una función sí que eso es una función de x o sea seguro que entiende que esto es una función de X pero no sé si entiende que esto es una función de X pero básicamente Si yo te digo integral desde uno hasta algún lugar hasta desde uno hasta x sí supónganse que es x no 5x eso va a ser una función de X Sí porque claramente si yo te voy variando des dónde hasta dónde integras va a ir variando el resultado y va a tener la misma idea que uno tieneen funciones digamos eh de variar la entrada ir dando distintos resultados eh para un resultado nunca dar dos cosas distintas digo cumple todo digamos eh Yo entiendo eso pero después en la derivada me costó un poco entender Por qué no se puede reemplazar un quinto en la integral por qué no se puede reemplazar un quinto de la integral eh a ver o sea se supone que se aplica el lo s pero no me termina de quedar bien claro OK Vamos a aclarar un poquito el teorema fundamental del cálculo el tfc el tfc te dice doy primero la versión chiquita la versión que va desde un número hasta x si ustedes tienen la función que es integr desde un número a quién sea este hasta x de una función G supónganse de T tengo que poner otra variable porque no tiene digo algo que yo estoy controlando es hasta dónde estás integrando pero la variable esta no importa es la variable digamos del gráfico de la función G sí esto esto quiero que se entienda esto es una función de X sí Entonces yo la puedo derivar con respecto a x claramente Sí y lo que nos dice que da acá viene lo no trivial del del teorema nos dice que da la función original que integraste reemplazada en x Sí o sea el teorema fundamental de cálculo literalmente te dice esto O sea en el límite Ah por qué no se puede reemplazar un quinto en el límite eh eh en el caso de la derivada pero pero vos vos te calculas es que primero tenés que hallar la derivada después reemplazar en un quinto no primero la derivada después reemplazar en un quinto sí O sea no reemplazar en un quinto después hacer la derivada ese es el problema mirando o decís que ese no es el problema Sí sí en la derivada Es que la derivada ya no queda con una integral digamos Porque fíjate que la derivada de una función dada por un integral ya no queda en forma integral A menos que acá dentro tengan una integral también pero no Ah siempre es así queé eh No sé qué revelación tuviste mirando que que una función por integral derivada nunca te queda con un integral o no entendí pero bueno cuestión e eh digo el teorema fundamental es esto Sí nada más nos dice esto Ahora hay una versión generalizada que te dice les doy la función la la forma más generalizada del teorema fundamental del cálculo si quieren teorema fundamental de cálculo con una G de generalizado sí esto nombre que le pongo yo eh No nada oficial no me quiero hacer cargo de nadie desde una función de X hasta otra Bueno tengo Pon una H No porque si no esta G se tiene que integrar entre dos funciones sí que integral entre dos funciones también es una función de hecho es una composición no les queda G x no es tan simple es gn la de arriba por la derivada de la de arriba men G en la de abajo por la derivada de lo de abajo Este es el caso más general del teorema fundamental del cálculo claro claro es que claro no no es es un hecho fundamental de que esto es no o sea es la diferencia entre F quinto derivado y F derivada en un quinto Sí primero derivar acabas que confunde más por la integral porque es como uh la integr la derivada de la integral sigue siendo una integral no sigue siendo integral no se entiende les dejo eh la fórmula general no en este caso va a ser una boludez O sea la de abajo no es un número digamos fíjense que Es lógico no va que esto es una generalización efectivamente Porque si esta fuera un número la derivada de F se cancela No si fuera un número sí Y si hx fuera x acá nos queda G en x por la derivada de x1 O sea que nos queda G x el teorema fundamental del cálculo chiquito digamos el el normal sí Ahora se puede generalizar después a eh de un número hasta una función compuesta y les habrán dicho desde un número hasta una función compuesta eh eh evalúen la de arriba pero multipliquen por la derivada de lo de arriba sí Y también acá está la generalización ahora si también empiez de una función compuesta hasta una función compuesta acá tienen la forma más general de todas per Generalmente no no les ponen de que van de función compuesta a función compuesta hacer una con cer y se cancela claro Sí sí sí esto todo todo digo también capaz que También tenían el de si si en lugar de ser de número a función tienen de función a número hay que poner un menos y también se entiende con esto porque supónganse que esta es un número se me va a cancelar esto y me va a quedar menos lo de acá o sea que nada es la la generalización más más poderosa de todas pero tengo que dejar de tachar porque me va a quedar todo raro buah eh en este caso utilizando esto de acá nos queda que la f prima simplemente tenemos que hacer eh la f prima de X primero es una suma de cosas así que yo derivo primero el 15x que ese es fácil nos da 15 Ahora sí la derivada de la integral sí cómo se deriva la integral bueno Agárrate la función que integraste y evalúa en la de arriba sí O sea agarrate no por no más agarrate la función 1 + t cuadrado pero valala en 5x y multiplica por la derivada de 5x que es 5 esto todo se me Cancela porque como es un número F prima número número número cho todo esto no lo necesito s pregunta boluda Por qué pusiste tfc la G de general medio feo la g general el generalizado digamos pero no no no yo qué s yo no es un nombre tan no me parece un nombre tan oficial como el otro pero no pasa nada bueno tenemos la derivada no pero nosotros queríamos la derivada en un quinto si Entonces qué voy a hacer con la derivada Voy agarrar y evalúo en un bueno a ver a ver si me acompaña con la cuenta la única x está acá Así que yo solo tengo que reemplazar acá 5 por 1/5 1 1 a la cuarta 1 1 + 1 2 1 sobre 2 1/2 1 Med por 5 5 Med O sea que a 15 le tengo que sumar 5 Med y esto que s yo cuánto da 35 Med O sea que esto de acá lo podemos reemplazar con 35 Med Uf buah hay que tenemos que derivar de nuevo y evaluar deo en un quinto Entonces no me sirve ya el teorema fundamental de cálculo porque ya la la función dada por un integral ya la derivamos pero sí nos sirve la derivada la derivada sí nos sirve pero no la evaluación la evaluación ya está Ahora yo tengo que derivar una vez más no entonces tengo que hallar F prima prima el 15 derivado cha cer0 Sí cer0 más ahora la derivada de esto como hay un número multiplicando va a quedar el número multiplicando sí o sea utilizo la propiedad de que número multiplicando una función queda y me queda la derivada de esto que ahora la vemos sí 1 + 5x a la cuarta así no y bueno la cosa es cómo derivar esto la derivada es más sencilla usando la derivada por por división Sí o sea vamos vamos por división vamos por división con esta eh nos queda 5 o sea el c más lo salteo ya 5 por a ver la derivada de arriba o sea 1 derivado por 1 + 5x a la cuarta menos el uno sin derivar por esta derivada no O sea que acá tengo que poner menos la derivada de esta Pero cuál es la derivada de esto la derivada de esto es 0 más la derivada de esto bueno para la derivada de esto por regla la cadena es 4 * 5x c por un 5 no sé si se entiende y todo dividido bueno lo de acá abajo al cuadrado regla del cociente muy bien sea que está acá ya la puedo deshacer bueno y la puedo escribir un poquito más linda No a la segunda derivada antes de evaluar eh un O sea la derivada de un se hace cer digamos esto es 0 entonces me queda solo allá me queda - 4 * 5 * 5x c o sea - 20 x c arriba Ah no - 20 5x c - 20 5x c y abajo bueno 1 + 5x a la cuarta al cuadrado Bueno vamos a reemplazar reemplacemos en un quinto sí Bueno al menos yo me hice quilombo cuando dice sí puede ser puede ser Eh sí sí sí capaz que es más es más equil opado porque o sea Eh vos cuando la expresas a la menos un estás como proponiendo una una una composición más tenes que pensar en una composición más tenes que pensar en que es 5 por x dentro x a la cuarta y todo sumado 1 a la men1 se pone un poquito densa la regla de la cadena Sí en división es como la división sí es más larga es más grande pero en las partes Es más simple Bueno si reemplazamos en un quinto todos los 5 x todos los 5x se me transforman en unos así que me queda -20 arriba y abajo eh 1 + 1 cuadr o sea 4 o sea que me da -5 O sea que acá puedo reemplazar acá con -5 bueno el -5 di 2 lo voy a poner como -5 med2 y me parece que ya estamos no este es el polinomio eh no te falta el c multiplic me me encanta siempre es terrible eh claro el 5 acá hace que esto en lugar de ser -20 es -1 no es 5 - 100 entonces -1 di 4 -25 sí me encanta como esos números entonces eh Por qué Miranda no nos reemplaces qué qué qué qué hice Uh qué estoy teniendo un error ahora mismo y no me estoy dando cuenta o qué está pasando ahora sí me est agarrando recuerdo men 25 Ah no fue anterior no O sea yo ya estaba reemplazando haciendo un montón de cosas y el cco me habían avisado que el cinco estaba ahí y yo chao acá tenemos el polinomio bueno se entendió está todo bien no ejercicio de polinomio de tayor a mí Me aburren bastante porque a mí me divertiría más que le pregunten bueno utilizar este polinomio para aproximar no sé aproximar la integral desde 1 hasta 5 de 1 sobre 1+ t a la cuarta cosas así O sea se puede hacer interesant polomio pero Estos no son interesantes Ahora sí bellísimo El polinomio Bueno listo entonces díganme porque yo estoy no s alguien tiene alguna urgencia algún ejercicio quiere hacer algo alguien siente que no le presté mucha atención quiere hacer algún ejercicio ahora o estamos bien no sé si quedó algo digamos no hicimos mucho No sé integral indefinidas los métodos qué sé yo como que podrían tener muchas dudas que ahora no me estoy no me estoy no estoy recordando eh yo quiero una clase intensiva de series que es donde más deb estoy no mates pero se podrá hacer el ejero ese el teorema del sándwich cuál el teorema swich Dónde está el ejercio el teorema del sándwich Cuál es Ah Es de sucesiones eh sucesiones para el repaso y cuál es el del eh o sea es pero es de los del repaso o no no veo ya te digo no veo ninguno que utilice sandwich Ah está en repaso general Sí el teorema swich es el teorema de la compresión eh el repaso general dónde está está en repaso general punto 4 Ah El sándwich Ah ya me acordé porque lo estás planteando como algo nostálgico porque lo habías preguntado en el grupo más 1 más 2 la n Ya ya estoy leyendo muy mal Perdón si se escuchan algo raro ya no me presten mucha atención eh n tiende a infinito bueno se pueden escuchar los los hermosos gritos de de mi familia eh nos pide este límite no y nos da opciones nos dice e e a la 6 e e a la 6 infinito o ninguna ninguna de esas Era uno con y me escuch losos vea a ver Déjenme ver okay Bueno a ver HM a ver se puede hacer conema al sándwich digo se puede hacer de muchas maneras qué sé yo eh una manera es digo una claramente el problema Está acá Supongo No acá acá es el límite de e eh digamos qué podemos notar acá podemos notar que claramente uno intenta calcular el límite lo de abajo tiende infinito y lo de arriba nada nada no signo de pregunta como que no tienda nada no cuando é entiende infinito el coseno no uno agarra Y dice Bueno estos los Tienen que salir por otro lado Sí o sea cuando uno ve que el límite no tiende a nada no existe no es como no existe vivo infinito a cero no e O sea hay un hecho que es que el coseno de cualquier cosa que yo meta está entre - un y un no O sea en particular el coseno de 2 N está entre -1 y 1 yo te AC te puedo meter cualquier cosa literalmente y el coseno va estar entre os1 y 1 Sí hasta acá bien Supongo ahora el problema es claro Qué pasa cuando le vas al cuadrado no Qué pasa cuando le vas al cuadrado o sea cómo cómo hacerlo digamos para que tenga sentido eh porque yo me acuerdo que el problema era bueno si vos tenés algo entre men1 y 1 y lo vas al cuadrado eh Te queda entre C y uno claro eh Como que Cómo llegar a esto Cómo se deduce que Si eso no ese el problema Cómo deducir de coseno de 2n es que encima en algún sentido es bastante es bastante obvia pero a ver por ser un cuadrado tiene que ser mayor o igual que cer eso O sea que esta de acá Tiene que estar Clara hacer un cuadrado hacer algo cuadrado no puede ser negativo tiene que ser mayor o igual que cer0 ahora por qué tiene que ser menor o igual que uno y lo máximo que vos podés tomar en módulo digo si vos queres que algo al cuadrado sea grande tenés que el módulo que sea grande no módulo grande querés ya sea -2 -3 vos queres grande no importa - 1000 porque - 1000 al cuadrado también va a ser grande ahora el módulo el módulo de esto es menor que uno si el módulo de este coseno no puede ser mayor que 1 Entonces como máximo o va a ser -1 por men1 que es un o un 1 por un que es también un Sí entonces esa sería como una manera de de de pensarlo no Ah se me ocurre otras maneras por ejemplo ver la función que no sé otra se me ocurre ver la función x cu no uno puede ver y la función x al cuadrado entre -1 y 1 la imagen digamos Mira las I de X cuadrado cuando x entre -1 y 1 y ve que es de 0 a 1 s o sea la y está entre 0 y uno entonces como que uno puede pensar eso no si yo tengo algo que está entre como que el coseno me me está haciendo bastante irrelevante si tengo algo entre -1 y 1 si lo le vas al cuadrado va a estar entre 0 y un Si esa es otra forma de verlo sí eh pu se me ocurre otra forma más eh Porque el problema es que vos estás elevando al cuadrado la función cambia de de crecer a de crecer no entonces vos podés separar hacer lo siguiente una forma también es verlo así eh suponete que separate los Mira separate donde el coseno sea entre -1 y 0 o cer digo si el coseno de 2n está entre -1 y 1 o está entre -1 y 0 o está entre 0 y 1 sí cambia el periodo es que el Sí sí cambia cambia sí sí sí sí de hecho me parece que hay alguna alguna equivalencia entre coseno al cuadrado y coseno de 2 tal cosa o sea parece que el periodo se multiplica sí se multiplica por dos se duplica Sí pero en este caso creo que no interesa mucho o sea esog gráfica pero pero sí es cierto entonces o pasa esto o pasa esto sí Entonces ahora pensemos No si pasara esto yo soy un número entre os1 y 1 en os1 y 0 Perdón soy un número negativo qué pasa con los números negativos cuando vos lo elevas al cuadrado Bueno el el que es más chico le empieza a ganar no porque acá la función es decreciente en este en este tramo O sea que este va a ganar ahora uno le va a ganar al coseno de 2n que está entre medio y claramente el cero pobre va a perder porque es el último Entonces el cuadrado es como el último valor que toma si es lo más chico que puede valer Sí entonces sacamos que en el primer caso el coseno s Me faltó el cuadrado ahí está el coseno de 2n al cuadrado está entre un y O sí Y en el otro caso también porque si el coseno do está entre 0 y 1 y vos lo elevas Tenés algo entre 0 y uno y lo elevas al cuadrado Sí ahí la función crece entonces a medida que yo tenga como uno le gana cer0 por ejemplo es natural pensar que 1 al cuadrado le gana 0 al cuadrado Bueno lo mismo pero con un coseno en el medio sí 0 cuadrado va a perder con coseno al cuadrado que a su vez va a perder con 1 al cuadrado Sí bueno Esto acá es cer0 y esto acá es uno o sea que se puede ver que en ambos casos el coseno nos queda entre 0 y 1 o sea el coseno al cuadrado Perdón Es como Hay muchas formas de verlo pero pregunta tonta y no podría ser uno menor o igual que es que no es que no claro claro es muy importante que la función al cuadrado digamos es ese hecho de pensar O sea no es cierto esto no si x está entre a y b entonces x cuadrado está entre a cuadrado y b al cuadrado esto es totalmente falso en el caso general digo esta implicación es falsa en el caso general No es cierto Por ejemplo yo puedo tener un número entre -1 y 2 Por ejemplo yo tengo el número 1 entre men1 y 2 no y yo elevo ambos al cuadrado este al cuadrado me da 1 est al cuadrado me da 4 si y esta cuadrado me da un bueno no sirvió lo que quería hacer men 3 -3 cu 9 Entonces me quedaría como que el 1 estaría entre 9 y 4 cosa que no pasa no como es como multiplicar por men entonces cambia de lado del signo Sí en algún sentido claro Ah bueno esa es otra forma eh va Sí o sea es otra forma de pensarlo digamos eh como uno podría decir un poco más rebuscado capaz e como estamos multiplicando por coseno de 2n a ambos lados podríamos decir eh Como el coseno de 2n en este caso es negativo cambia de de lado de la desigualdad sí se se se puede o sea se puede se puede ver de muchas maneras esto pero si vos tenés el hecho fundamental es que no no el coseno vale muy poquito O sea si vos tenes un número entre -1 y 1 el cuadrado va estar entre 0 y un sí siempre me complico la vida Sí lo que pasa es que no multiplicas por lo mismo en los tres lugares si multiplicas por lo mismo Sí es más simple sí es más simple ver lo que vos decís lo de multiplicar por un número negativo está todo bien pero sí sí yo podría seguir dando otra formas Pero cuestión qué estaba haciendo ah eh Entonces si el coseno de 2n está entre -1 y 1 el coseno al cuadrado está entre cer y 1 Sí bueno Y a mí qué me importa esto Bueno a mí me importa esto porque si el coseno al cuadrado está entre 0 y 1 Sí si el coseno al cuadrado está entre 0 y 1 entonces Ahora sí divido por 2 a la n + 4 en los tres lugares Por qué puedo hacer esto porque 2 a la n + 4 es un número positivo si son siempre positivos Entonces por qué yo no podría digo no podría mantener el orden me refiero la desigualdad no 1 sobre 2 a la n + 4 Sí ahora el límite claro Entonces como tenemos algo que está entre o y 1 si yo lo divido por algo positivo va a seguir siendo o sea Esto va a seguir siendo le va a ganar a cero sobre esto porque esto le gana a esto sí Y son todas cosas positivas sí Cos distinto sería si esto fuera negativo Sí y seguro que van a perder con uno porque el coseno al cuadrado pierde con uno sí Entonces esta desigualdad espero Pero que sea cierta en su cabeza no entonces uno dice Bueno si esto siempre está entre esto y esto si siempre siempre está entre esto y esto ustedes calculen el límite a esto a Cuánto tiende esto de acá es la función siempre cero tiende a cero Sí cuando n tiende infinito y esto de acá también digo ni siquiera hay indeterminación sí Entonces lo del medio también por el teorema del la compresión el teorema del sándwich teorema del emparedado tiende a cerlo también sí por sándwich tiende a cero también estoy siendo medio vulgar en [Música] mi en mis anotaciones Pero bueno y calcul los límites de los extremos lo mismo entonces V eso Perfecto entonces seguro que acabamos de sacar el límite que no teníamos ni idea porque la de arriba no había digo no existe el límite Aunque supiéramos que la de abajo tendía a infinito teníamos un problema Bueno por el teorema del sándwich lo resolvemos de esta de esta manera sí entonces eh Nada este límite si yo lo lo recuadro como un todo digamos esto de acá tiende a cero Sí bueno después está el otro no cer por acot también se puede si cero por agotado también se puede cero por agotado se puede porque claro una vez que probas que el coseno este está acotado podés el 2 a la n + 4 lo ponés como por 1 sobre 2 a la n + 4 y tenés algo que tiende a cero si o sea algo tiende a cero multiplicando al coseno al cuadrado que está acotado Si esa es otra forma de verlo de hecho la propiedad cero por acotada es una es un caso particular del teorema del sándwich Sí esa es otra forma de verlo Sí entonces bueno por todo lo que ustedes quieran eso tiende a cero y eh nos queda esta de acá y esta de acá se puede ver que es una indeterminación vamos vamos a terminar el ejercicio no lo quiero dejar así se puede ver que es una indeterminación uno al infinito no eh Y bueno estas se tratan con el límite de sí límite del número e que tiene todo su procedimiento super forzado y nada límite del número e que cuál es es el límite O sea si a sub n tiende a infinito Entonces el límite de 1 + 1 sobre a subn a la misma a sub n te da e o sea eso es lo único que hay que recordar digamos al menos ya tenemos el más un en la fracción claro Ah cer pora mucho más fácil este el límite de odias Michel y es es llevarte bien con digo hay mucha manipulación algebraica s el uno más ya lo tenemos pero no tenemos el uno sobre una sucesión tenemos dos sobre O sea que este de Acá no está molestando Así que uno agarra Y dice Bueno el límite lo hago aparte no al igual que hicimos aparte de este una forma de arreglar eso que es dividir por dos arriba y abajo s o sea una forma si ustedes no tienen el número dos acá agarren y dividan por eso o sea dividan por lo que tengan ahí arriba y va a ser uno seguro 2 di 2 o sea 2 di 2 y abajo también por favor dividan por dos porque si no la equivalencia se va s Entonces nos queda límite cuando n tiende infinito de 1 + 2 sobre 2 1 n sobre 2 Bueno n sobre 2 y 3n no e lo expresas como uno sobre esa es otra forma también es comienzo a hacer muchas cosas raras lasas que salen bien claro otra forma de pensarlo es en lugar de dividir es pensar una fracción siempre puede ser expresada como uno sobre la fracción dada vuelta que es lo que nos quedó no Bueno entonces yo siempre chequeo que esto tiende infinito Sí porque el límite funciona siempre y cuando la a sub n tiende infinito si no no funciona nada Lo que pasa es que si ustedes determinaron bien que la indeterminación en un principio Era uno al infinito y lo llegan los llevan a esta forma yo les aseguro que esto le va a dar infinito Ahora hay gente que bueno no chequea no chequea la indeterminación y se pone hacer e el límite de e y al final el esto tendía a 1 medio y eso tendía a infinito O sea que límite ya era cero Sí entonces cuidado con eso siempre para resolver un límite nos fijamos Qué tipo de indeterminación tenemos de hecho ambos límites yo primero evalué sí y vi problemas sí acá vemos problemas después en el exponente multiplicas por n sobre 2 y 2 sobre n más fácil Sí en este caso Bueno sí lo que decís se puede hacer un caso más general eh Por ejemplo acá si yo quiero un n sobre 2 acá arriba yo el TR como que lo lo muevo un poquito divido por el dos y multiplico por el dos Sí como que no agrego el n porque el n ya lo tengo pero es un caso particular eh En el caso general funciona lo de Miranda de Tenés algo asqueroso acá multiplicar y dividir por eso sí porque nada que ver con lo que tenías arriba en este caso como son parecidos uno puede hacerse este truquito de acá sí Entonces multiplico divido por dos lo acomodo como yo quiero entonces me queda eh acá el último paso es aplicar eh Potencia de potencia y nos queda límite cuando n tiende infinito de 1 + 1 sobre n sobre 2 arriba un n sobre 2 pero y todo esto yo como es algo multiplicando el exponente si el 3 * 2 es algo multiplicando el exponente lo puedo poner acá sí Entonces nada el de adentro tiene todas las chances de ser e digo tiene cumple todo y 3 * 2 es 6 por lo tanto e a la 6 entonces bueno la respuesta correcta es esta yo iría redondeando no sé si alguien quiere hacer algo listo que aplicar L por no pero igual cómo le vas a clavar lit a eso sacate un factor común seguro que lo puede ser por factor común y no en hospital sacate unos nes de factor común no le estás metiendo una basuca le tiraste le mandaste el buen lit y además además estamos en sucesiones o sea Ahí sí que te te meam mamaste mir Sí sí es que te va a dar bien te va a dar bien porque yo no te digo que esté mal pero le metiste una basuca y además bueno eh Supongo que derivase una sucesión Bueno ya fue derivar una sucesión tampoco Nadie se murió me di de baja Anis pero gracias bueno eh vamos terminando porque ya las yo ya veo que no están conectando mucho ya me empieza a acostar Eh Así que gracias a todos por por acompañarme en este en este primer vivo fue el primer vivo de de YouTube Espero que espero que se haya se haya visto bien al menos la calidad eso lo veré ahora vamos a ver esta cámara Tiene lo suyo eh Y bueno nos veremos Quizás quizás en un repaso para el final puede ser puede ser que sí preparas para el final sí doy clases particulares Sí sí yo tengo que com Sí es que estoy o sea yo ahora estoy dando un curso para análisis de 21 el curso a veces lo promocion en los grupos pero no tanto porque ya eh buenísimo buenísimo gente Así que no sé cómo funciona esto Saludos desde Ecuador excelente Ah desde Ecuador bueno buenísimo Muchas gracias Kelly hacés algo como esto pero para álgebra Y sabes que no todavía no Agustina todavía no e estaba pensando todavía lo tengo para pensar porque tengo que seguir mi carrera estudias algo justamente respondo las 12 en una estudio licenciatura en matemática pero no voy muy avanzado voy en digamos después del cbc digamos después del cbc un año hecho y estoy como en la mitad del segundo año después del cbc Por así decirlo o sea falta una banda pero bueno es Es complicado hacer todo junto Saludos des Ah y lo de álgebra no me re olvidé Lo de álgebra estoy pensando capaz que armamos un curso con el Instituto a probar si de álgebra si depende de mí No si si yo quiero darlo Y si veo que tengo los tiempos Eh ya ya iremos viendo eso en todo caso lo no sé no sé cómo nos contactaremos capaz que lo pongo en un grupo no sé Saludos Z claro saludos de zona Sur Yo también estoy en zona Por qué no V avanzado en la carrera con todo lo que sabes de matemática no Mati Es que sabes que no es normal pensar que yo sé mucho pero no no vos no sabes lo que se puede saber O sea yo yo entiendo porque he estado en su posición yo veo mis profesores es como pero Flaco cómo vas a hacer tal eminencia o sea literalmente le haría lavados de pies o sea yo es como que no puedo es demasiada sabiduría entendés bueno eh Pasa un montón pasa un montón pero mi profesor seguramente también me dice no No yo no sé nada Comparado con tal es todo relativo sí es todo muy relativo eh yo desde que desde que cursé el 2000 2015 2015 terminé el colegio 2016 hice el cbc para bioquímica después me cambié yo hice un hice como dos cbc digamos eh Y hice hice bastante bioquímica hice casi un año de bioquímica salvo una materia después cbc digamos cbc bioquímica después casi un año completo de bioquímica y me cambié y en bioquímica tuve matemática sí matemática B basada en la que se ve acá en el cbc matemática de varias variables digamos y a la vez algunas cosas de una variable I vanan metiendo un poco más tranqui eh pero cuando vine a análisis yo ya sabía cosas yo ya había cosas que yo conocía sí quizás no todas pero yo ya conocía Entonces no por ejemplo no necesitaba hacer toda la guía cosas así pero porque yo simplemente me pasé más años de mi vida haciendo otras cosas Sí y siempre la matemática a mí me encantó o sea claramente yo te hago todos los ejercicios de la guía Eh Así que no saber mucho sí O sea te puedo decir que sí con respecto a ustedes en todo caso pero saber mucho en general no O sea no no no no no no no con respecto a mis compañeros con respecto a a mis no lo que se puede saber O sea no eh si lo llegas a hacer no una tutera más en mi vida no sabes lo que yo no sé que no s claro claro es que es que sí O sea uno piensa que o sea análisis yo análisis de c la conoceré de arriba a abajo y ni siquiera si hay cosas que todavía por ejemplo Hay un montón digo es que hay tantas cosas para ver porque por ejemplo yo [Música] por ejemplo este límite Por qué es no les cuenta ningún Por qué a ustedes no les cuan ningún Por qué no hay ningún Por qué literal tiran todo de cabeza es como Pero bueno está bien que no todos van a hac matemáticas y no todos les interesa Che por qué esto es e y no no es e+ 0,1 no sé o Por qué est este límite existe por este límite existe digamos y por qué lo podemos definir como el número e o sea realmente hay muchas análisis que no les están demostrando hay muchísimos teoremas que ven que no se los demuestran después van a Steward Y probablemente tiene su su demostración pero no se las obligan digamos Por así decirlo y capaz está bien digamos en algún momento capaz más adelante verán algunas demostraciones algunas no y uno se lo va creyendo y nada o sea la matemática en general tiene esto de que es difícil demostrar todo que a uno le están enseñando es Es realmente difícil eh Como que si vos intentas demostrar todo lo que usá es como que es como que la matemática Yo lo pienso así como tiene fosas sí es como vos puedes venir en tu vida en tu curso todo bien y de repente tenes que demostrar algo que parece fácil pero no es para nada fácil tuviste que bajar hasta acá a la profundidad de las Matemáticas y no quieren hacer esto los profes entonces agarran y no sé te te llegan hasta ahí si te dicen Ah bueno créetelo más o menos sí Y es como Bueno uno sigue yendo por los cursos de la vida Pero sigue con la duda de Por qué eso es cierto o cóm eso se demuestra sí eh a ver voy a leer un poquito más porque me fui por la rama eh pero conozco ingenieros ya recibidos que no te saben hacer una derivada y vos con lo que sabés estás en segundo año Bueno yo no conozco muchos ingenieros Así que no no no podría decir nada sobre eso pero pero sí hay todo tipo de gente si hay todo tipo de gente uno se siente un simple mortal sos re Te felicito gracias me pasa lo mismo con el TR la señora que trabaja con él Cuál es la señora que trabaja con él Cuál es la señora que trabaja con él Esa esa no la tengo mucho pero el traductor ingeniería me parece es porque se nota que le interesa la matemática le interesan los porqués Sí entonces pasa eso o sea es ese tipo de persona digamos que no quiere Que canceles cosas quiere que aprendas en serio no quiere que apruebes quiere que aprendas y a mí también me pasa bastante eso porque yo te podría decir muchas cosas acá por ejemplo yo les podría haber dicho viste en un caso que le dije lo del polinomio lo de la raíz enésima del polinomio y le digo bueno la raíz enésima de cualquier polinomio tiend uno y por qué y bueno porque lo saqué de La Galera y ya está Pero bueno no no quise hacer eso saber que ten la capacidad de No eso Por supuesto que no lo de de tener la capad enseñar eso en absoluto yo creo que a mí se me da bien eso eso es totalmente distinto capaz que uno puede o sea capaz que yo sé bastante Pero hay gente que sabe mucho más pero la capacidad de enseñar de este está por acá y la mía Está más o menos por acá Pon l Sí entonces como que pasa pasa bastante eso hay mucha gente que sabe un montón pero una banda y cuesta mucho expresar lo que sabe Sí pero sabe es es increíble lo que sabe Yo yo les digo tuve compañeros que no no no no O sea está en otro nivel está en otro nivel Simplemente porque también está una diferencia entre la inteligencia Y la sabiduría capaz que vos te estás cruzando con alguien que crees que es re inteligente pero capaz que lo único que pasó fue leer libros desde no sé qué edad entonces obviamente va a ser más sabio que vos otra cosa es que sea más inteligente puede ser que te encuentres con alguien mucho más inteligente que vos puede ser por supuesto que sabe hacer las cosas mejor que vos que le funciona más rápido el cerebro puede ser sí pero a veces también pasa eso de confundirse sabiduría con con inteligencia Michel ninguna Me da cosa el puentecito que te arman los profes listo Tom claro mucha fórmula much yo no sé están qué siguen ustedes pan Pónganme las carreras que siguen A ver quiero ver qué onda eso para no sé me interesa Agustina con ser un montón de cosas que no te demuestran cosas que te harían más fácil comprender por supuesto Es que de hecho a m me da una bron O sea me da bronca pero a la vez lo entiendo porque usted a usted no no le dan una definición en serio de Límite si que en el cbc sí se da una definición en serio si a usted le da una definición en serio de Límite aunque sea jodida jodid sima es la definición épsilon delta del límite se entiende mucho más sí esto de se acerca a tal cosa se hace preciso Sí se hace preciso es como se ponen desigualdades es en serio la la cosa No no es Ah bueno Más o menos tiro de los pelos y se acerca al tal número porque me hice una tablita no se demuestran cosas o sea realmente la la definición de Límite es a mí Yo creo que es lo que más me gusta Yo creo que lo más me gusta es la definición de Límite y todo lo que de ello se desencadena eh pero es loquísima O sea a mí me encantaría mostrárselas es es conocida Igualmente la definición éon Delta y se entiende muchísimo más pero muchísimo más muchísimo más se entiende la tendencia infinito o sea se entiende un montón de cosas sí Ah María Inés eh vagati okay pero trabaja con él yo pensé que simplemente él le hizo unos videos a ella eh Yo no sabía eso yo la es la la la mujer la me parece excelente No a mí me encanta yo me los Miré una vez pero tranquilamente creo que alguno lo habré visto dos veces algún video pero es es increíble es es muy muy o sea te te inspira digamos Esa esa Son son de las de los buenos docentes eh es un feno estuvo en la tele y todo no sí sí sí es una genia señor no qui ser mi abuela estoy mirando el vivo eh ingeniería industrial licenciatura en ciencia de datos de la confusa química ingeniería informática ingeniería ciencia de la atmósfera ciencias físicas tenemos ahí tenemos un físico Franco poret Mostrar cosas eh Nada qué s yo hay gente no veo muchos de exactas veo muchos de ingeniería más que nada bueno igual ciencias la for es de exactas eh la s gracias al traductor ingeniera le quiero hacer un altar claro No no es que o sea aunque yo porque yo me acuerdo Yo cuando cursé análisis allá por 2018 me parece por el cbc yo no te digo que yo entendía te digo que capaz un poco la remaba con la la definición posta de Límite pero eso es lo importante o sea lo importante es que te la presenten al menos y que vos sepas que hay una definición y que sepas que no la entendés si no ni siquiera te la presentan no tenés ni idea es como que pensás que mal entendés al límite y es como Ah bueno medio tirado los pelos tiende tiende tiende el seno de X es x cosas así sí eh No sé o sea realmente se aprende se aprende muchísimo de de las buenas definiciones son videos no trabajan juntos claro yo yo pensaba lo mismo eh ingeniería química licenciatura en química es Exacto licenciatura en química Ah claro eh química claro dijiste química sí sí sí sí licenciatura en ciencias químicas sí sí sí sí eh estoy en la B Fran no no no pero realmente o sea es increíble eh yo les digo es increíble cuando ustedes Si siguen si es que siguen por las vueltas de la vida siguen agarren una mirada a lo que ustedes sabían Después de terminar el análisis y se van a dar cuenta que hay un montón de cosas que ustedes aprendieron Después de terminar la cursada de de la misma cursada Sí o sea Igualmente esto también con la con la virtualidad y con el nivel de u21 que para mí es un poquitito menor que el del cbc en varios en varios aspectos eh Como que baja un poco el nivel y les presenta menos menos temas e y con la virtualidad sumado a eso yo veo que el nivel bajó un montón o sea el nivel bajó una banda es increíble lo que no lo que se puede no saber es es terrible yo me vienen por clases particulares y yo les empiezo a preguntar qué es una sucesión Qué es una deriv o sea preguntas conceptuales si preguntas conceptuales si preguntas que te hacen realmente eh uno Ahí es donde ve si si sabe o no Si si sabe o no realmente decime que es una derivada Dame que es una derivada entendés no me hagas el límite Sí qué s yo yo no aprendo O sea me Pues si me si me sabes hacer el límite de lo único que me hacés es que O te lo aprendiste muy mecánico o sabes reglas de los números sí no no no me parece muy muy interesante eh Pero bueno gente me me tengo que ir retirando ya son 11:15 estuvimos 6 horas y cuar estuvimos una banda de tiempo Eh en1 no nada ya está abajo puede ser Sí sí sí s es que sí yo les digo el cbc lo comparo lo comparo con mi cursada capaz yo tenía los mejores profes eh No sé yo a mis profes los recontra Quise pero me encantaron me acuerdo yo me quedaba preguntando yo me quedaba preguntando como media hora la los profes se querían ir no no el chavón al entrar la carrera haciendo análisis se hace más complicado análisis 1 de la carrera o no hay mucha diferencia con hacerla por cc para mí se hace más difícil eh giancarlos No sé qué qué estarán haciendo ahora en la virtualidad análisis de cbc yo no sé si seguirán por ejemplo eh pero para mí las teóricas de análisis del cbc son más ricas Sí están mejor armadas yo por ejemplo tengo la las guías están distintas Arm al menos la guía por ejemplo de integrales empieza distinto y empieza con el ejercicio 12 de la deua 21 sí que así tendría que pensar O sea yo estoy en desacuerdo al menos con la parte de integrales du 21 con el orden Sí tienen que ponerle lo de cálculo lo de teorema fundamental del cálculo lo tienenen que poner al principio sí porque si no al principio están integrando indefinidamente cuando ya en realidad para integrar indefinidamente están usando el teorema fundamental de cálculo pero se lo presentan después en la guía Y es como no se entiende nada así O sea no tan mal o sea nada igual es difícil hacer una guía es difícil que sea gradual que todo tenga sentido que vayan es difícil armar una guía no pero nada Creo que el análisis nunca nos dieron teoría eh les dan teorías o sea u 21 tiene su teoría Sí pero bueno no no les prestan tanta atención no sé o sea realmente en las teóricas del cbc por ejemplo las teóricas análisis del cbc hay demostraciones hay demostraciones hay bastantes más demostraciones que en ua 21 s Entonces cuando uno termina el cbc al menos sabe que no entiende las demostraciones o menos alguna la entiende o se empieza a encontrar con demostraciones si con cosas o sea si vos queres demostrar algo es difícil demostrar algo no es fácil demostrar algo en la generalidad de los casos no me la bueno adió universidad narcotráfico pero el teorema no lo funcion al principio pero fíate eer de la guía los ejercicios de la guía para mí no tienen sentido s para mí tendría que ser ejercicio 12 13 14 me parece y después ir al uno si despues ir al uno o sea están medio raros están medio uno lo mira y es como Qué raro de hecho yo me acuerdo la del cbc empieza con es como que es como esta parte del cbc está acá primera s la del teorema la del tfc sí no no digo que en la teoría en la teoría sí se los presentaron antes Supongo que sí me parece no lo recuerdo exactamente pero en la guía en la guía de ejercicios Sí porque hacer una guía de ejercicios no joda eh yo antes de hacer algo me vi el video de integrales del traductor de ingeniería Sí yo lo super recomiendo o sea es un genio Sí pero ahí vas a aprender s a probar no sé quizás haya cosas mejores para probar pero para aprender está bueno Nico qué estudias o estudiaste vos estoy estudiando licenciatura en ciencias matemáticas sí estoy en segundo año recién después del cbc o sea sin contar el cbc segundo año eh con límites lo mismo encima que tenés encima que tenés profe que te están guiando sí Supongo que te estarán guiando ahora en la virtualidad también no sé también está el tema de que bueno la virtualidad atacó y hay gente que no tiene tecnología o sea es todo un problema realmente me va a costar análisis dos si apruebo análisis va a estar raspando y sin entender sí te va a costar Mati quédate tranquilo que te va a costar le decía quédate tranquilo que te va a costar Sí es que todo lo que ustedes vean ahora se va a generalizar a varias variables Sí todo todo todo todo todo o sea esto es la base todo lo que vamos acá la base después varias variables sí eh Me va a costar Bueno gracias por todo me voy a hacer unos videos con tu Buenas noches Miranda eh quiara Bueno me voy a poner a repasar Me parece perfecto antes de charlar conmigo Después pasar el link para invitarte lo del café Ah lo del café lo del café sí no como que lo del café claro yo como no le puse descripción para para los que quieran no me me da un poco de vergüenza decirlo pero para los que quieran ahí hay una aplicación si quieren invitarme un un cafecito así eh si quieren Sí si si les gustó la clase si les sirvió eh ahí tienen un link sí que me olvidé lo tendría que haber puesto en la en la descripción eh perfecto que and and anda repasar eh Mich s estoy al tanto del cc es más llevadero me voy te buenísimo O sea que básicamente un el agua del agua puede ser puede ser no sé yo yo no conozco tantas universidades le he dado a gente de otras universidades clases y hay ha hay universidades bastante interesantes O sea no s tampoco es que sé tanto no pero veo guías lindas armadas sí lindas Sí o sea no sé ya lo veo un poquito más le falta algunas cositas pero bueno gente quiero dejar de charlar son 11:20 voy a terminar el vivo cuando pueda no sé cómo funciona bien Esto cuando pueda lo voy a subir y y nada quizás nos vemos en un repaso para el final Lo pondré en los grupos en su momento s Así que nada vamos a vamos a ir finalizando la la transmisión no sé queé pasa igual si hago esto