Limiti Notevoli

Introduzione ai Limiti Notevoli

• I limiti notevoli sono forme indeterminate comuni.
• Impararli consente di risolvere molti altri limiti.

Limiti Fondamentali

1. Limite di seno

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: ( 0/0 )

2. Limite esponenziale

   • [ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e ]
   • Forma indeterminata: ( 1^{\infty} )
   • Dove ( e \approx 2.718 ) è il numero di Nepero.

Limiti Conseguenti

• Si possono ricavare altri limiti fondamentali da quelli iniziali.

Limite della Tangente

• [ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 ]
  • Riscrivere tangente come ( \frac{\sin x}{\cos x} ).
  • Risultato: 1.

Limite del Coseno

• [ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2} ]
  • Manipolazione: moltiplicare e dividere per ( 1 + \cos x ).

Esempi di Applicazione

1. Esempio 1

   • Calcolare: [ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x + 4x}{x \cos x + 2 \sin x} ]
   • Forma indeterminata: ( 0/0 )
   • Risultato: 2.

2. Esempio 2

   • Calcolare: [ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} - \cos^{2} x}{2x^{2}} ]
   • Forma indeterminata: ( 0/0 )
   • Risultato: ( \frac{1}{2} ).

Altri Limiti Importanti

• Limite del Logaritmo
  • [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 ]
• Limite esponenziale
  • [ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 ]

Limiti Aggiuntivi

• [ \lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln a ]
• [ \lim_{x \to 0} \frac{\log_{a}(1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln a} ]

Conclusione

• Importanza di memorizzare i limiti notevoli.
• Video successivo su esercizi avanzati con limiti notevoli.

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