Catatan Kuliah tentang Hipotesis Riemann dan Fungsi Zeta Riemann

Pengenalan

• Prof. Frenkel membahas berbagai cara sulit untuk mendapatkan satu juta dolar.
• Salah satu cara yang sangat sulit: Menyelesaikan Masalah Milenium yang ditetapkan oleh Institut Matematika Clay (2000).
  • Contoh: Hipotesis Riemann oleh Bernard Riemann (1859).
  • Hanya satu dari tujuh masalah yang telah diselesaikan, dan pemecahnya menolak penghargaan tersebut.

Fungsi Zeta Riemann

• Definisi: Fungsi yang memberikan nilai untuk setiap nilai s.
• Rumus: $$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$$
• Contoh: Untuk s = 2, $$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$$
  • Konvergen ke pi kuadrat dibagi 6, dan diselesaikan oleh Leonhard Euler.
• Deret Konvergen vs Divergen:
  • Deret konvergen mendekati batasan yang finite.
  • Contoh: Masalah Basel, batasan yang diselesaikan = $$\frac{\pi^2}{6}$$
  • Deret divergen tidak konvergen ke nilai finite.
  • Contoh: s = -1, deret: $$1 + 2 + 3 + 4 + ...$$

Bilangan Kompleks & Ekstensi

• Mengatasi keterbatasan bilangan riil dengan memperkenalkan bilangan imajiner (i = sqrt(-1)).
• Bilangan kompleks: Jumlah dari bagian riil dan imajiner (misalnya, 2 + 3i).
• Bilangan riil terletak pada garis riil, bilangan kompleks pada bidang kompleks.
• Ekstensi Definisi: Menggunakan kelanjutan analitik untuk memperluas fungsi zeta.

Fungsi Holomorfik & Kelanjutan Analitik

• Fungsi holomorfik memiliki sifat khusus yang memungkinkan ekstensi.
• Riemann menjelaskan cara memperluas fungsi zeta ke semua nilai yang mungkin (kecuali s = 1).
• Hipotesis Riemann berkaitan dengan menemukan nol (nilai untuk s di mana zeta(s) = 0).

Nol dari Fungsi Zeta

• Nol yang Dikenal: Yang jelas adalah bilangan negatif genap (-2, -4, -6, ...).
• Pita Kritis: Area antara bagian riil 0 dan 1.
  • Hipotesis: Semua nol non-trivial berada di garis kritis (bagian riil = 1/2).
  • Konfirmasi komputasi yang ekstensif, tetapi tidak ada sanggahan atau bukti lengkap.
• Koneksi dengan Bilangan Prima:
  • Riemann menghubungkan nol dari fungsi zeta dengan distribusi bilangan prima.
  • Rumus Riemann menghitung bilangan prima hingga setiap n menggunakan fungsi zeta.
  • Hipotesis ini sangat penting untuk hasil mendalam tentang distribusi bilangan prima.

Kesimpulan

• Pentingnya menyelesaikan Hipotesis Riemann terletak pada implikasinya terhadap teori bilangan, khususnya distribusi bilangan prima.