Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Introduzione

• Discussione sul teorema fondamentale del calcolo integrale.
• Si evita la dimostrazione e si parte dalla funzione integrale.

Funzione Integrale

• Considerazione di una funzione f definita sull'intervallo chiuso [a, b] con valori in R.
• Funzione integrabile sull'intervallo [a, b].
• Definizione della funzione integrale F:
  • F(x) = [ \int_a^x f(t) dt ]
  • La variabile t è all'interno dell'integrale, mentre x è la variabile della funzione integrale.
  • F rappresenta l'area sottesa al grafico da a fino a x.
• F è continua e F(a) = 0.

Enunciato del Teorema Fondamentale

• F definita come l'integrale di f:
  • [ F'(x) = f(x) ] per ogni punto interno all'intervallo [a, b].
  • Negli estremi a e b, considerare la derivata destra e sinistra.

Dimostrazione

1. Calcolo della derivata della funzione integrale:

   • F'(x) = [ \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} ]
   • Scomposizione in integrali:
     • [ F(x+h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) dt ]
   • Applicazione del teorema della media integrale.
   • Esistenza di un punto c in (x, x+h) tale che:
     • [ \int_x^{x+h} f(t) dt = f(c)h ]
   • Quindi:
     • [ F'(x) = f(c) ] con c che tende a x quando h tende a 0.

2. Per la derivata a sinistra:

   • Usare h negativo:
     • [ F'(x) = f(c) ] con c appartenente a (x+h, x).

3. Conclusione:

   • [ F'(x) = f(x) ] pertanto si dimostra la tesi del teorema._

Concetto di Primitiva

• F è una primitiva di f se:
  • [ F'(x) = f(x) ]
• Esistono infinite primitive di una funzione f, differendo per una costante.
• Relazione tra primitive:
  • [ F(x) - G(x) = C ] (una costante reale).

Conseguenze del Teorema

• Per una funzione continua f:
  • [ \int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a) ] dove F è una primitiva.
  • Permette di calcolare l'area sottesa al grafico della funzione f sull'intervallo [a, b].

Esempio di Applicazione

• Calcolo dell'integrale da -1 a 2 di 3x^2:
  • Si considera la funzione primitiva F(x) = x^3.
  • Calcolo:
    • [ F(2) - F(-1) = 2^3 - (-1)^3 = 8 - (-1) = 9 ]
• Conclusione: l'area sottesa è 9.

Conclusione

• Importanza del teorema nel calcolo integrale e nell'analisi matematica.
• Invito a seguire il canale e iscriversi.