Система линейных уравнений с параметром

Введение

• Рассматривается система линейных уравнений с параметром $a$ (неизвестное действительное число).
• Вопрос: при каких значениях $a$ существуют:
  • нет решений
  • единственное решение
  • бесконечно много решений
• Переменные: $x$, $y$, $z$ (переменные), $a$ (фиксированное число).

Запись в виде расширенной матрицы

• Система уравнений записана в виде расширенной матрицы:

  \begin{pmatrix} 1 & 1 & a & | & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & a \\ 0 & 0 & a^2 - a & | & 2 \end{pmatrix}

• Важно помнить, что нельзя делить на 0.

Разбор случаев в зависимости от $a$

Случай 1: $a = 1$ или $a = 0$

• Если $a = 1$ или $a = 0$, то $a^2 - a = 0$.

Подслучай $a = 1$

• Последняя строка матрицы: $000~|~0$
• Свободная переменная: $z$.
• Пивоты: первый и второй столбцы.
• Ответ: бесконечно много решений.
• Решение:
  • Пусть $z = t$ (действительное число).
  • $y = 1$
  • $x + z = -2$ $ ightarrow$ $x = -2 - t$
  • Векторное представление решения.

Подслучай $a = 0$

• Последняя строка матрицы: $000~|~2$
• Решение: нет решений ($0 = 2$ невозможно).

Случай 2: $a \neq 0$ и $a \neq 1$

• Можно разделить на $a^2 - a$.

• Приведение матрицы к ступенчатому виду.

  \begin{pmatrix} 1 & 0 & a - 2 & | & -2 \\ 0 & 1 & 0 & | & a \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2(1 - a)}{a(a - 1)} \end{pmatrix}

• Пивоты: в каждом столбце.

• Решение: единственное решение.

• Решение:

  • $x + a z = -2$
  • $y = a$
  • $z = \frac{-2}{a}$
  • Проверка решения при $a = 0$: нет решения (деление на 0).
  • $x = 0$ при $a \neq 1$ и $a \neq 0$.

Заключение

• Важно различать случаи в зависимости от значений параметра $a$.
• Понимание разложения на случаи помогает решать систему.
• Пример демонстрирует важность правильной обработки параметров в линейных уравнениях.