Bonjour à tous, alors cette vidéo elle est destinée donc à ceux qui se lancent dans une prépa ou dans des maths dans le supérieur et je vais vous parler aujourd'hui des sommes. Je vais redéfinir ou définir pour ceux qui ne connaissent pas donc ce fameux symbole sigma. Je vais rappeler vraiment toutes les propriétés qu'il faut connaître en début de supérieur.
Donc on va parler de sommes, produits de sommes, sommes rectangulaires, sommes triangulaires. On parlera aussi... De somme télescopique, je donnerai une formule ou deux, A puissance n moins B puissance n.
Et donc il y a beaucoup de choses à faire. On commence tout de suite, alors, qu'est-ce que c'est que ce symbole sigma ? On va travailler nous sur des complexes.
La plupart des exemples que je donnerai seront des exemples réels, mais on peut comme ça travailler avec des nombres complexes. Le premier exemple qu'on peut donner, c'est avec la lettre Z. Imaginez, je vais faire Z5 plus Z6 plus Z7 plus Z8. Eh bien ici, on a inventé un symbole qui permet d'écrire ça. de façon plus condensée.
On va écrire sigma, donc c'est le symbole dédié au somme, c'est la majuscule grecque pour le S, le sigma. Ici, on voit bien que tous les termes, ici on a quatre termes, ils ont tous ce symbole. ce Z en commun, donc on va mettre Z ici, et ce qui change, c'est que l'indice ici varie de 5 à 8. Donc cet indice, on va lui attribuer une lettre, donc ici, on peut mettre I, et ici, on écrira que I va varier de 5 à 8. Et on écrira I égale 5, et ici, 8. Donc, première valeur de I, dernière valeur de I, et on va balayer tous les entiers qui sont entre 5 et 8. Et donc, une autre... La notation ici, pour dire que i est un entier entre 5 et 8, on peut écrire i entier entre 5 et 8, 5 et 8 inclus, et bien on va écrire i appartient à l'intervalle donc on va écrire 5, 8 jusque là, et on va mettre 2 barres. Quand on met 2 barres comme ça au niveau des crochets, ça veut dire qu'on ne prend que les nombres entiers qui sont entre ici 5 et 8. Go !
Par exemple, je prends deux entiers positifs m et p. Si je prends xm plus xm plus 1 plus, etc. jusqu'à xp, c'est la somme de tous les termes qui s'écrivent x, y, avec l'indice x. varie ici de m à p. On peut écrire aussi somme pour i appartenant donc à l'intervalle avec le double ici par m p. Des sommes que vous avez déjà rencontrées en terminale ou en première, si je prends un nombre n, entier naturel, 1 plus Q plus Q carré plus etc. jusqu'à Q puissance n, et bien ça c'est la somme.
Donc ici, pour y allant de... Donc ici vous avez le 1, c'est la puissance... 0 pour y allant de 0 à n des puissances de Q. Donc Q puissance évidemment ici on va prendre Q différent de 0 pour pouvoir considérer si un 0 puissance 0 premier terme.
Mais voyez qu'ici, vous avez déjà vu ça. Alors maintenant on va parler de cet indice i. C'est un indice qui est vraiment temporaire et on peut le changer ici. Cette somme, je peux très bien dire que c'est la somme de par exemple p égale 0 à n des q puissance p.
Alors il y a des choix qui sont plus ou moins heureux en fonction du contexte. Vous voyez qu'ici un mélange avec q et p ça peut être gênant donc pour ça... qu'on va adapter souvent la lettre à la situation pour pas qu'il y ait de confusion possible.
Mais ici, les lettres qu'on utilise souvent et qui ont à peu près la même stature, par exemple J et I, on peut s'en servir dans les mêmes cadres. Donc en haut, si j'avais écrit somme de i égale m à n de xi, je peux mettre somme de k égale m à p de xk. Formule que vous avez vue forcément avec...
les sommes des termes de suite arithmétique et géométrique, on a parlé de géométrique avec la Q puissance I, vous avez aussi la somme des entiers, des entiers de 1 à n. Par exemple, la somme de k égale 1 à n. nombreux cas, c'est-à-dire...
Alors ça, c'est une écriture avec le symbole SOM. Si vous enlevez le symbole SOM, on dit qu'on écrit en extension. Ici, si j'enlève le symbole, je vais donc remplacer K d'abord par 1, j'aurai 1, plus la même chose en remplaçant K par 2, plus 3, etc. jusqu'à l'entier n. Donc ça, c'est la somme des entiers de 1 à n.
Il y a une formule que vous connaissez, je la rappelle en passant, parce qu'elle est très importante. C'est ceci. Donc vous voyez, je vous ai donné la somme de k égale à k dn. Si ça vous arrange, ça sera aussi... la somme de i égale à n des i.
Ça sera de toute façon n fois n plus 1 sur 2. À la fin, quand on arrive à exprimer sa somme, sa molle somme, ici, votre indice, i ou k, n'apparaît plus. Il a disparu. Il est vraiment temporaire le temps de votre calcul, donc vous pouvez le changer en fonction de la situation. Alors les choses qu'il faut éviter de faire.
Ici, je vous donne la somme des entiers de 1 à n. Donc ici, je vais faire varier quelque chose de n. Évitez évidemment de prendre n, d'accord ?
Ça n'a pas de sens parce qu'ici, n doit à la fois varier et être fixe. Donc ça, absolument à éviter. On ne peut pas prendre une lettre qui est déjà utilisée dans l'expression de votre terme. OK.
Donc ici, toutes lettres, mais différentes de n. Jusque présent, vous avez parlé de sommes avec des indices qui décrivent des intervalles d'entiers. On peut imaginer des sommes. Ici, on va faire une somme sur un ensemble qui n'est pas forcément un intervalle avec les entiers.
On peut par exemple prendre i appartenant à un ensemble de 4, 6, 8. Et on fait la somme par exemple des 2i. Dans ce cas-là, on remplit. on remplace d'abord i par 2, ça me fera donc 2 fois 2, 4, plus, ensuite on remplace i par 4, 2 fois 4, 8, plus 2 fois 6, 12, plus 2 fois 8, 16, vous voyez. Maintenant, à l'intérieur de notre symbole somme, on peut retrouver la lettre ici, une lettre fixe, par exemple n, je peux imaginer la somme pour égaler à n des i plus n.
Alors, ça signifierait en fait qu'on remplace i successivement par tous les entiers de la lettre. donc j'aurai 1 plus n pour le premier terme, plus 2 plus n, plus 3 plus n, etc., jusqu'au dernier qui sera n plus n. Et vous voyez bien que dans notre somme, chaque terme, il y a deux parties.
La partie ici où il y a le i qui évolue d'un en un, et la partie avec n qui ne bouge pas. Alors quand on calcule comme ça des sommes, on a le droit, ce sont des sommes finies, on peut séparer en plus. plusieurs sommes, c'est-à-dire que la somme de i égale 1 à n, de i plus n, on peut la découper en deux.
Ça sera la somme de i égale 1 à n, d i, plus la somme de i égale 1 à n, d n. Et après, il y a deux types de calculs. Les calculs où à l'intérieur, ça dépend encore de l'indice, comme ici, et là, à l'intérieur, ça ne dépend plus de l'indice. Donc la première somme, il va falloir apprendre par cœur, celle-là, on en a déjà parlé, c'est les entiers de 1 à n.
Donc on sait que c'est n fois n. plus 1 sur 2. C'est vraiment une des sommes les plus importantes. Donc, je l'écris avec i, vous avez la même avec k, p, ou n'importe quel indice différent de n.
Donc, somme de i égale à n des i, c'est donc n fois n plus 1 sur 2. Ensuite, on a une deuxième somme. Alors, cela, c'est bien de l'écrire comme on dit, next and so. Donc, on va varier i de 1 à n, sauf que quand vous faites ça, à chaque fois, ça ne bouge pas parce que n est fixe donc ça c'est n plus n plus n plus n plus n etc vous devez bien comprendre que vous avez écrit n ici n fois donc vous aurez une somme qui sera n fois n plus 1 sur 2 plus n fois n donc plus n carré et après vous avez comme ça un petit travail vous voyez il faudra bien regarder à chaque fois si à l'intérieur vous avez quelque chose qui démarre dépend ou pas de la variable.
Une deuxième formule très importante, la somme des carrés. Somme de i égale 1 à n des carrés. À connaître par cœur, n fois n plus 1 fois 2n plus 1. Donc ça commence pareil. deuxième plus 1, par contre c'est divisé par 6. Exemple, je veux faire somme de i égale 1 à n, donc par exemple i moins 1 fois n moins i. Comment je vais faire ?
Je vais développer à l'intérieur de ma somme du symbole. Donc ici, en remet ou pas des parenthèses, s'il y a des ambiguïtés, on met. Donc ici j'ai i fois n, je vais écrire plutôt n. fois i, i fois moins i, donc moins i carré, moins 1 fois n, moins n, et ici, moins 1 fois moins i, plus i.
Et je ne sais pas, eh bien, je vous l'ai dit, c'est une somme finie, on peut se séparer. Donc on va dire, somme i égale 1, a n d n i. Ensuite, ça sera plus, si vraiment on veut détailler au début, i égale a n d moins i carré, plus somme de i égale a n d moins n. plus la somme de i égale à n d i. Alors, il y a des choses, après, qu'on va faire directement.
Par exemple, ici, ce n est indépendant de i, donc on peut le mettre devant. On peut factoriser par n. Ici, c'est pareil avec ce moins.
C'est un moins 1, donc on va pouvoir le mettre devant ici, ce moins. C'est pareil, donc directement on écrira, et bien somme de i égale 1 à n, donc ici n fois cette somme d i, moins somme i égale 1 à n d i carré, moins somme de i égale 1 à n d n, plus donc somme de i égale 1 à n d i. Vous voyez qu'on a 4 sommes.
Alors ici, on reconnaît. n fois la formule d'en haut. Donc, somme des entiers de la n, n fois n plus 1 sur 2. La deuxième somme, vous la connaissez, je vous ai dit de la prendre par cœur. Ça sera n fois n plus 1 fois 2n plus 1 sur 6. La troisième, alors ici, n est indépendant, donc, si on voulait, on pourrait même sortir le n. On aurait, en fait, ici, n fois la somme de i égale 1 à n de 1. Et ça, ça vaut 1. Donc, ça, ça fait...
en fait, ça fera n ici fois n, donc ça fait n². On retrouve notre n² tout à l'heure. Donc ici, je retiens n fois n, donc n², et cette dernière somme qu'on connaît, n fois n plus 1 sur 2. Vous voyez comment on fait, on se sépare en plusieurs sommes, on sort ce qui ne dépend pas de l'indice, et après il faut que... connaître quelques sommes de références, somme des i, somme des i².
Il y a des formules pour la somme des cubes. Il faut connaître quand même la somme des i et la somme des i², c'est très important et ça se retrouve très souvent. Je vais vous donner quand même la somme des cubes, parce que c'est une formule formidable, vraiment magnifique.
Elle s'appelle la formule ou théorème de Nicomac. La somme des cubes, c'est le carré de la somme d'en haut. c'est la somme de I à N, I au carré, c'est-à-dire N carré fois N plus 1 au carré sur, ici 2 au carré, donc sur 4. Vraiment une formule exceptionnelle. Je mettrai les liens si vous voulez pour...
mais j'ai proposé plusieurs démonstrations de cette formule de Nicomac. Donc, c'est à voir. En tout cas, c'est très intéressant.
Maintenant, parlons de changement d'indice. Alors, parfois, on a besoin d'abord de changer l'indice. Ici, voilà la somme de k égale 1 à n de x.
XK, donc j'ai mis la somme, eh bien, on peut considérer, en changeant justement l'indice, qu'on peut faire varier un indice entre 0 et n-1. Vous voyez bien, entre 0 et n-1, il y a autant de nombres qu'entre 1 et n, autant d'entiers. Par contre, ici, si je considère mon i, je ne vais pas mettre XP, parce que XP, ça commencera à X0.
Vous voyez que je n'ai pas de X0. Il faut absolument que je commence à X égale. Enfin, ici, à X1, et que je finisse à Xn. La prochaine.
je commencerai à x0 et je finirai à xn-1. Donc ici je vais mettre p plus 1 et donc cette somme de 1n dxk c'est la même que la somme de 0n-1 dxp plus 1. On a fait ce qu'on appelle un changement d'indice. Donc on peut en fait ici considérer qu'on a pris donc k égal p plus 1 d'accord donc dans ma somme d'en haut et bien k est remplacé par p plus 1 donc ici p sera égal à k moins 1, donc si je choisis de prendre P il faudra que je prenne pour la plus petite valeur je vais prendre K égal 1, donc ça me fera P égale 0 la plus grande valeur, je prends K égal n ça me donne P égal n moins 1 et dedans, au lieu de mettre XK je remplace K par P plus 1 et vous voyez, comme ça, on fait ce qu'on appelle un changement d'indice on a décalé, alors là j'ai décalé de 1 on peut évidemment faire la somme par exemple 2P égale 2 à n plus 1 alors Alors ça, évidemment, pour faire ça, je vais prendre, alors je ne vais pas mettre P, par exemple, on peut mettre une autre lettre, vous avez le choix.
Si vous voulez laisser P, et bien dans ce cas-là, il faudra prendre P égale à K plus 1. Dans ce cas-là, quand K vaut 1, et bien ici, P vaudra 2. Quand K vaut N, P vaudra N plus 1. Par contre, dedans, vous aurez X, et comme j'avais XK, j'aurais X ici, j'aurais P moins 1. Donc il y a plein de façons de changer l'indice. L'important, c'est évidemment de retrouver tout le monde à la fin. Donc, quand vous écrivez signing, tenso, on doit retrouver la même somme. Et donc déjà, si on est sûr, il faut le même nombre de termes. Parlons à présent de somme télescopique.
Alors une somme télescopique, qu'est-ce que c'est ? C'est une somme qui peut s'écrire sous la forme suivante. Donc vous avez la somme, alors de k égale, on va prendre m.
exemple jusqu'à n et dedans vous avez des termes. Parfois on prend des complexes, je vais mettre z vous aurez ici donc zk plus 1 moins zk. Alors qu'est ce qu'ils ont de particulier ces sommes ?
Si je les écris, On va avoir le premier, donc ça sera ZM plus 1 moins ZM, plus le deuxième, ZM plus 2 moins ZM plus 1. Je vais mettre des parenthèses. Et comme ça, on les écrit tous. Je vais même en écrire un troisième.
J'aurai donc ZM plus 3 moins ZM plus 2, etc. Jusque, c'est bien, donc l'avant-dernier terme. Alors, le dernier, je vais l'écrire.
Ça sera donc... Quand on remplace kappa n, donc Zn plus 1 moins Zn, donc l'avant-dernier, ça sera Zn moins Zn moins 1. Eh bien, qu'est-ce qu'on remarque si on enlève les parenthèses ? Eh bien, il y a pas mal de choses qui s'annulent et qui disparaissent. Vous avez ici le Zm plus 1 qui s'annule avec le moins Zm plus 1 dessus, qui est après. Le Zm plus 2 s'annule avec le Zm plus 2 d'après, etc.
D'accord ? Ensuite, ici, celui-ci s'annula avec... avec celui qui est après, etc. Jusqu'à la fin, il n'y en a qu'un seul à la fin qui ne va pas s'allumer. Alors le Zn, vous voyez, lui, a été simplifié.
Le Zn-1 a été simplifié par celui qui était juste avant. Il va vous rester, en fait, un petit morceau du premier, moins Zm, et le dernier, plus Zn, plus 1, qu'on écrit plus tôt. Donc Zn plus 1, moins Zm. Alors là, je vais vous donner deux exemples.
Je crois que l'exemple que tout le monde donne est plus classique pour illustrer un peu. ces sommes dites télescopiques qui apparaissent vraiment très souvent. Première somme.
Si vous voulez faire la somme des 1 sur k fois k plus 1. Et k variant, on ne peut pas commencer à 0, donc on va le faire varier de 1, par exemple, jusqu'à n. Il se trouve que 1 sur k fois k plus 1, ça peut s'écrire d'une façon, d'une forme avec une soustraction. Et on peut écrire ça soit...
forme 1 sur k moins 1 sur k plus 1. D'accord ? Et ça, c'est une somme télescopique. Regardez bien. Alors, ici, c'est vraiment...
vous voulez avoir ce qu'on a en rho, c'est la somme de k égale 1 à n, donc des moins 1 sur k plus 1, moins, donc moins 1 sur k. On a bien ici un zk plus 1, un zk, donc qu'est-ce qui va nous rester ? Alors en général, on n'utilise pas la propriété, on regarde. Donc quand on écrit tout, il va vous rester le terme avec k, donc le 1 ici, et il vous restera le terme avec n plus 1, donc moins 1 sur n plus 1. il va vous rester ceci, très vite, vous voyez, et donc on a réussi à exprimer cette somme de façon très très rapide. Sinon, on écrit tout, on regarde pour k égale 1, ça fait 1 sur 1 moins 1 sur 2, ensuite on écrit ça au terme suivant, ça fera 1 sur 2 moins 1 sur 3, etc. jusqu'au dernier, et ça sera 1 sur n moins 1 sur n plus 1, et vous voyez qu'ici, les 1 demi s'annulent, le 1 tiers s'annulent, le 1 sur n s'annule, il reste 1 moins 1 sur n plus 1, vous voyez, très très rapide.
rapide. Autre formule qui me vient à l'esprit, vous avez aussi un logarithme de ln, par exemple, de 1 plus 1 sur k. Ça aussi, c'est très très connu.
Alors, je vous le montre rapidement. Ici, à l'intérieur, on met au même délimitateur, ça fait k plus 1 sur k. Vous avez un logarithme d'un quotient.
Et donc, vous voyez que c'est ln de k plus 1 moins ln de k. Et là, vraiment, on a une belle somme télescopique. On a ici un zk plus 1, zk.
Qu'est-ce qui va nous rester ? Eh bien, le dernier, ln de n plus 1, moins le premier, le ln de 1. C'est-à-dire, ici, ça fait 0, donc il reste ln de n plus 1. Vous voyez vraiment l'intérêt de ces sommes télescopiques. Exemple aussi d'utilisation.
On peut montrer facilement que k fois k plus 1 sur 2, moins k moins 1 fois k sur 2 est égal à k. Donc ici, quand on fait la somme, donc pour k égale 1 à n. Donc, des k. On peut considérer que c'est la somme de k égale 1 à n, de k fois k plus 1 sur 2, moins k moins 1, k sur 2. Si vous remarquez bien, c'est une somme télescopique. Ici, c'est zk plus 1, ça c'est zk.
Il va me rester donc le dernier. n fois n plus 1 sur 2, moins le premier, donc pour k égal à 1, c'est-à-dire moins 0. Et vous venez de montrer en quelques lignes que la somme des entiers de 1 à n, c'est n fois n plus 1 sur 2. Ça, c'est des choses qu'on peut utiliser même pour la somme des carrés, pour la somme des cubes, à condition d'arriver à trouver la bonne solution. soustraction.
Maintenant, parlons de somme double. Pour une somme double, il faut déjà un terme qu'on peut inscrire ici dans un tableau. Ici, en ligne, on va mettre la valeur de i et en colonne, la valeur de j.
Ici, Je vais donc avoir, on va faire des sommes ici avec x, ça pourrait être z, si c'est des complexes. Donc ça, c'est le terme x11. D'accord ?
Alors souvent, on met même, pour donner des exemples, au lieu de mettre x, on met l'autre a. Donc ici, ça sera le terme a11. Ici, a21.
Donc i vaut 2, j vaut 1, etc. On va dire que i peut prendre les valeurs de 1 à n. Donc on va aller jusqu'à n1.
A côté, vous voyez qu'ici, on aura a12. Voilà. jusqu'au dernier a1p. Alors p peut être différent de n.
Ici j'ai pris p un peu plus grand. Donc ici par rapport à a2, 2 et on va continuer donc à remplir tout ça. en bas ça sera ANP.
Donc voilà, ici on remplit tout ça. En dernière ligne, ici la valeur de I c'est toujours N, donc là j'ai AN2, etc. Et bien ce qu'on peut faire...
faire, c'est la somme de tous les termes qui sont dans les cases. C'est-à-dire la somme pour i et j variant entre, donc i varie entre a et n, et j varie entre a et p. Donc on va écrire ça comment ? Eh bien on peut dire, il y a plein de façons de l'écrire.
Tout d'abord, on peut dire ici, 1 inférieur à i inférieur à n, et en même temps ici, on peut écrire comme ceci. J'ai mis la lettre P. Ici, ça sera la somme des A et J. Ça s'appelle une somme double.
Alors, il n'y a qu'un symbole somme. Mais vous voyez qu'on somme à la fois sur les lignes et sur les colonnes. Ici.
Évidemment, ce qu'il y a sous le symbole, on peut l'écrire de plusieurs façons. On peut dire aussi que le couple IJ appartient donc au produit cartésien, donc 1N, c'est avec mon exemple, croix, 1P. D'accord ? Avec ces doubles barres dont je vous ai parlé au début. D'accord ?
Qui veut dire qu'on ne prend que les entiers. Alors, ce sont des rotations qui sont un peu longues. On ne va pas utiliser ça la plupart du temps. Vous comprenez bien qu'on va faire la somme de tout. Donc, on pourrait dire qu'on fait prendre la somme...
la première ligne, puis on ajoute la somme de la deuxième ligne. Dans ces cas-là, on va pouvoir écrire ça en disant qu'on va faire la somme pour toutes les lignes, donc pour i allant de 1 à n, et pour chaque ligne, on fait la somme pour j allant de 1 à p. Donc ça sera la somme, ici, de toutes les sommes.
avec j allant de 1 à p éther a i j. D'accord ? Donc, vous voyez pourquoi on parle de somme double. Ici, on a une somme, on fait la somme ici de la première ligne avec la somme de la deuxième, etc.
Alors, ça, c'est la somme ici de toutes les lignes. Vous pouvez aussi choisir de faire toute la première colonne, puis la deuxième et d'ajouter les colonnes entre elles. Donc, ça ferait somme de j égale 1 à p, de la somme de i égale 1 à n, des a et j, vous voyez, on peut dans le cas des sommes finies, intervertir comme ça, nos deux symboles, sommes et parfois, en intervertissant, on arrive à faire le calcul qu'on n'aurait pas réussi à faire sans intervertir. Eh bien, ces sommes rectangulaires, elles apparaissent très souvent. Quand on fait, par exemple, le produit de deux sommes, imaginez, je fais somme pour i allant de 1 à n des ai, et je multiplie par une deuxième somme, donc ici, je vais mettre une deuxième lettre, J égale 1 par exemple à M des BJ.
Et bien ici, comme si en fait on avait un tableau. Mais au lieu d'avoir des AIJ dans notre tableau, on aura les produits des AI et des BJ. Alors ici j'ai mis M. Si je veux utiliser mon tableau, il faut que je fasse une somme de Kp. Donc vous voyez que là, qu'est-ce qui va se passer ?
Je vais devoir multiplier chaque AI, donc A1, A2 jusqu'à N, par chacun des BJ, de B1 jusqu'à B1. BP et donc ici et bien c'est tout simplement la somme donc de i égale 1 à n en même temps de j égal à p donc on va être obligé d'écrire nos fameux double symbole donc ici i à n et j varie de 1 à p d à i fois b j donc vous voyez que ça va apparaître très souvent parce que des produits de sommes c'est fréquent On introduit aussi le carré d'une somme, somme de i égale 1 à n d'ai au carré. Et donc ici, on a un produit, sauf qu'ici, les deux indices vont varier entre 1 et n pour les deux, donc ça sera la somme. Ici, on écrira avec notre petite virgule, voilà.
des A, donc ici, on a ici des AI fois AJ. Donc ça va être découpé en deux, on va voir ça plus tard, dans les sommes dites triangulaires. Donc ça c'est les sommes rectangulaires, on a un tableau, on fait des sommes d'abord par les lignes, ou alors d'abord par les colonnes, un sens ou l'autre, ça sera à vous de choisir en fonction des exercices. donc ça sert à calculer des produits donc quand vous ferez le chapitre sur les matrices si vous avez déjà vu les matrices ça sert à démontrer pas mal de choses parce que quand on fait des produits de matrices c'est plein de sommes partout et donc ces choses là vont servir pour les démonstrations Et on arrive maintenant sur le dernier point sur lequel il faut insister, ce qu'on appelle les sommes triangulaires. On l'a vu donc, je répète, la somme rectangulaire.
Donc ici, la somme des A, I, J, qu'on peut faire soit en commençant par les I, donc je vais écrire I allant de 1 à N. de la somme de j égale 1 à n, des a et j. D'accord ? Alors, on met une virgule ou pas.
On va se passer de la virgule ici. Je vais écrire ça tout simplement à j, il n'y a pas d'ambiguïté. Vous pouvez aussi faire la somme.
Donc, comme je l'ai dit, d'abord parler j, et ensuite parler j, ça donne ceci. Donc là, vous avez bien compris, vous avez fait la somme de tous les termes du tableau. Donc ici, j'ai un tableau.
Alors, pour faire ça, évidemment les deux sommes jusqu'à n place donc là j'ai des sommes dit diagonaux enfin des termes diagonaux ici j'ai a1 a2 2 etc etc avec a n n ici en première colonne j'ai les a1 A21 et ensuite ça terminera par AN1 ici à droite j'ai des A donc ce qui change ici, le 1 ne change pas, c'est A12, A13 etc. jusqu'au dernier A1N alors, votre tableau, il est divisé en 3 parties, les termes ici sur la diagonale donc on appelle les termes diagonaux... i correspond au cas où i est égal à j. D'accord ?
Ensuite, vous avez les termes qui sont au-dessus de cette diagonale. Toutes les cases au-dessus. Donc c'est le triangle supérieur.
Et bien là, on a des nombres i qui sont plus petits que les nombres j. Et quand on est en dessous de la diagonale, on a des nombres i qui sont plus grands que les nombres j. Donc ça découpe chaque tableau carré comme ça en trois zones.
La zone diagonale, où i est égal à j. La zone supérieure, où i est plus petit que j. La zone inférieure, où i est effectivement plus grand que j.
Eh bien, ça donne des idées. Et on va par exemple introduire la somme des termes. qui sont strictement au-dessus de la diagonale.
Alors, comment on va noter ça ? Ce sera la somme de a et j, avec ici, toujours i et j, mais on va mettre i strictement plus petit que j. Ça, ça indique qu'on est strictement...
au dessus de la diagonale. Une somme triangulaire sans la diagonale. On aura un concept de somme triangulaire avec la diagonale.
Ici on mettra i inférieur ou égal à j. Donc là vous aurez la diagonale et ce qu'il y a au dessus. Somme triangulaire supérieure avec diagonale.
Et vous avez évidemment les sommes triangulaires inférieures avec ou sans diagonale. Alors comment on fait ces calculs de somme ? Alors attaquons nous aux sommes triangulaires avec diagonale. Comment on va faire ?
la somme ? Eh bien, on va regarder colonne par colonne. Donc ici, colonne par colonne, donc à la fin, je ferai la somme de toutes les colonnes, donc de j égale à n, et dans chaque colonne, il varie de 1 jusqu'à la diagonale, donc de 1 jusqu'à j.
Donc je ferai la somme ici pour y allant de 1 à j d a i j. Vous voyez, c'est pas si simple que ça. Donc là, c'est donc des sommes très bien avec la diagonale.
Alors si, je préfère faire la somme en faisant oui là j'ai fait la somme par colonne, et si je fais la somme des lignes ? Ça veut dire qu'ici, à la fin, je vais faire la somme pour i égale 1 à n, et sur chaque ligne, qu'est-ce qui se passe ? Mais attention, j varie de i jusqu'à n.
Donc ici, j commence à i et finit à n. Donc ça, ça peut être assez compliqué. Donc il faut bien y réfléchir tout de suite. Pour les sommes triangulaires sans la diagonale, c'est à peu près pareil, là c'est toujours des triangulaires supérieures. Par contre, ici, i est strictement plus petit.
D'accord ? Donc, quand on regarde, eh bien, je vais regarder, je vais de i égale 1, comme je ne dois pas prendre la diagonale, ici, je vais de i égale 1 à j moins 1. C'est pour ça que là, eh bien, la somme commence ici à 2. Et par contre, il varie de 1 à j moins 1. Vous voyez, c'est assez compliqué. Si je fais ensuite plutôt des lignes, je vais donc faire la somme sur toutes les lignes, d'accord ?
Mais encore une fois, eh bien, il commence à 2. et vous voyez que il faudra prendre J de I plus 1 jusqu'à N. Donc des petites variations minimes entre les formules donc il faut vraiment les comprendre, les utiliser plusieurs fois. Je mettrai en description encore une fois vraiment les exercices que j'ai fait sur ces sommes qui sont vraiment très sympas moi je trouve.
Après c'est très technique, pas très compliqué en fait quand on sait faire après mais c'est très technique, des petits échanges de symboles tout ça donc assez joli. Et c'est bien de s'entraîner avant d'arriver en prépa ou post-bac, pour ceux qui veulent vraiment dominer tout ça. Et on finira par deux formules, qui sont vraiment capitales, la formule dite du binôme A plus B.
puissance n, a plus b puissance n, et bien c'est la somme pour k égale 0 à n, dk parmi n, ak, b puissance n moins k. Rappelez-vous. vous avez peut-être utilisé ce genre de choses quand on utilisait la loi binomiale en terminale donc ça, ça sert à développer des sommes la puissance 2, la puissance 3, la puissance 4 ça utilise, on verra plus tard, donc les coefficients fissure en binomio, le triangle de Pascal.
Et donc, on est vraiment en plein dans les sommes. Ensuite, autre formule très importante, A puissance n moins B puissance n, une formule de factorisation. La première, c'est une formule de développement. Là, c'est une formule de factorisation. Vous pouvez factoriser par A moins B, et vous trouverez aussi ici une jolie somme, la somme de k égale 0 à n moins 1 dA k B n moins k moins 1. moins 1. Donc ça, c'est à l'utiliseur, je vais vous la montrer une fois.
Par exemple, si vous voulez, A4, on va faire A4 moins B4, même si ça, on peut le faire autrement, comme ça, remarquez, on vérifiera. Ça fait 1 moins B, fois donc, alors, ça va être la somme de K égale 0 à N moins, donc N vaut 4, donc à 3, des A, K, B, donc 4 moins 1, donc 3 moins K. Alors, ce qui me donne...
ici donc a0 b3 plus a1 b2 plus a2 b1 plus a3 b0 ce qui donne plus simplement je vais écrire au dessus a moins b fois donc on peut même mettre a3 en premier a3 plus a2b plus ab plus b3 voilà Vous voyez, l'idée de tout ça, c'est vraiment de pouvoir factoriser rapidement quand on a x puissance 5 moins 1. C'est du même genre, c'est du a5 moins b5 avec b égale à 1. Tant qu'on est dans ce chapitre de somme, je peux introduire la notation produit. Il existe donc une notation pi par exemple de k égale à n des k par exemple. Eh bien, au lieu d'être la somme des entiers de n, ça sera le produit.
Donc là, on aura un... 1 x 2 x 3 x 4, etc. jusqu'à n. Et ça, d'ailleurs, c'est la définition de n factorel ou factoriel n. D'accord ? Et ça, pour n supérieur ou égal à 1. En petit cas particulier, je rappelle que 0 factorel vaut 1. Mais ce n'est pas avec cette formule qu'on le voit.
Donc, ces produits, c'est pareil. On peut faire des produits avec plusieurs indices. Des produits de produits, tout ça.
mais c'est dans l'idée, on est à peu près dans la même chose, il y a des produits télescopiques aussi, quand on fait un produit de k égale à n, quand on fait des z, k plus 1 sur zk. Vous comprenez bien que le premier facteur, ce ne sont pas des termes, ce sont des facteurs, c'est z2 sur z1. On multiplie ensuite par z3 sur z2. Vous voyez tout de suite la simplification. Et donc le dernier terme, ce sera zn sur zn moins 1. Donc quand je simplifie, il va me rester zn sur zn moins 1. Zn, je dis des bêtises, sur z1.
Alors rappelez-vous, produit somme, Quand vous avez un produit, vous prenez un logarithme et ça transforme en somme. On peut toujours se ramener avec les produits à des sommes en utilisant le logarithme, évidemment, condition que tout soit strictement positif. Mais ce sont des astuces qu'on peut comme ça retrouver.
On va s'arrêter là. Il y en a beaucoup, évidemment, si vous n'avez jamais vu ce chapitre. Mais pas tout démontrer, bien sûr.
Il faut de toute façon faire des exemples. Ce sont des exercices simples pour pratiquer. Donc je vous dis... J'en ai fait quelques-uns, les grands classiques, il faut faire et refaire pour que ce genre de petites notions ne vous échappent plus. Vous apprenez évidemment par cœur la formule du binôme, la factorisation de n-bn, les sommes des entiers, les sommes des carrés.
Vous pouvez même apprendre, si vous voulez, la formule de Nicomac, très jolie, somme des cubes, facile à retenir, c'est le carré de la somme des entiers. Bien comprendre, donc, ensuite les sommes télescopiques, carré d'une somme. Il y a du travail. J'espère que ça vous aura permis comme ça d'avoir un petit panorama de ce qui vous attend en début de post-dac et notamment en début de prépa. Tout ça, c'est vraiment, par exemple, le programme de MPSI.
Donc, j'espère que ça vous aura permis comme ça de vous donner des petites pistes de travail pour bien préparer l'année qui arrive. Voilà, je vous souhaite une bonne fin de journée à tous en espérant que ça vous ait plu. Et n'hésitez pas à commenter, évidemment. A bientôt.